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05a-integrais de linha

  1. 1. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Integrais de linha An´alise Matem´atica II – C´alculo II Sandra Gaspar Martins 2o Semestre 2013/14 Vers˜ao de 30 de Maio de 2014 sandra.martins@adm.isel.pt 1/49
  2. 2. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Equa¸c˜oes param´etricas da curva C de R2 Defini¸c˜ao Seja C uma curva/linha de R2 tal que x = f (t) y = g(t) , t ∈ I = [a, b] ⊂ R, com f e g fun¸c˜oes cont´ınuas em I. A t chama-se a vari´avel ou parˆametro. A orienta¸c˜ao da curva C corresponde ao sentido definido pelos valores crescentes de t no intervalo I. Ao ponto (x, y) correspondente a t = a chama-se origem ou ponto de partida e ao correspondente a t = b chama-se extremidade ou ponto de chegada da curva. 2/49
  3. 3. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Outra forma de descrever a curva C ´e utilizando fun¸c˜oes vetoriais: r : I = [a, b] −→ R2 t −→ r(t) = (f (t), g(t)) r(a) ´e a origem ou ponto de partida e r(b) ´e a extremidade ou ponto de chegada de C. Exemplo: Represente geometricamente a curva C: r : [−1, 1] −→ R2 t −→ r(t) = (t, t2) ou seja, x = t y = t2 , t ∈ I = [−1, 1] ou seja, r(t) = (t, t2 ), t ∈ [−1, 1] 3/49
  4. 4. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios Represente geometricamente as curvas: 1 r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 2] 2 r(t) = (t, sin(t)), t ∈ [0, π] 3 r(t) = (t, √ t), t ∈ [0, 9] 4 r(t) = (t, t + 3), t ∈ [0, 5] 5 r(t) = (t, t), t ∈ [0, 2] 6 r(t) = (t, −t), t ∈ [0, 2] 7 r(t) = (1 + 2t, 2 + t), t ∈ [0, 1] 8 r(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ [0, 2] 9 r(t) = (t + 1, t2 + 3), t ∈ [0, 2] 10 r(t) = (|t|, |t|2), t ∈ [−2, 2] 11 r(t) = (|t|, |t| + 3), t ∈ [−3, 3] 4/49
  5. 5. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios Represente geometricamente as curvas: 1 r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ [0, 2π] 2 r(t) = (2 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [0, π] 3 r(t) = (cos(t) − 2, sin(t) + 3), t ∈ [0, π 2 ] 4 r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π] 5 r(t) = (5 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [π, 2π] 6 r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [−π, π 3 ] 7 r(t) = (cos(t) − 4, sin(t) + 2), t ∈ [−π 2 , 0] 8 r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)), t ∈ [0, 4π] 9 r(t) = (sin(t) − 1, cos(t) + 3), t ∈ [π 2 , 2π] 5/49
  6. 6. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Defini¸c˜ao Uma parametriza¸c˜ao de um segmento de reta com origem em A e extremidade em B, pode ser: r(t) = A + t(AB), t ∈ [0, 1]. Defini¸c˜ao Seja C uma curva dada pelo caminho r(t), t ∈ [a, b] com origem em A = r(A) e extremidade em B = r(B). A curva −C (com origem em B e extremidade em A) ´e dada pelo caminho inverso de r, r∗, obt´em-se se r substituindo t por −t, ou seja, r∗ (t) = r(−t), t ∈ [−b, −a] . Exemplo: Parametrize o segmento de reta de R2 que come¸ca em (0,1) e termina em (2,3) e o caminho inverso. 6/49
  7. 7. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios I Parametrize as seguintes curvas e as curvas inversas: 1 O segmento de reta que come¸ca em (1,2) e termina em (-1,-3). 2 A parte da reta y = 2x para x ∈ [−2, 3]. 3 A parte do gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = ex2 − 1 para x ∈ [0, 1]. 4 As linhas que se seguem: 7/49
  8. 8. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios II Nota: Repare que a parametriza¸c˜ao n˜ao ´e ´unica. 8/49
  9. 9. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Equa¸c˜oes param´etricas da curva C de R3 Defini¸c˜ao Seja C uma curva/linha de R3 tal que    x = f (t) y = g(t) z = h(t) , t ∈ I = [a, b] ⊂ R, ou seja, r : I = [a, b] −→ R3 t −→ r(t) = (f (t), g(t), h(t)) ou seja, r(t) = (f (t), g(t), h(t)), t ∈ [a, b] 9/49
  10. 10. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios Represente geometricamente as curvas: 1 r(t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1] 2 r(t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3] 3 r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2] 4 r(t) = (0, |t|, |t|2 + 3), t ∈ [−3, 4] 5 r(t) = (cos(t), sin(t), 2), t ∈ [0, 2π] 6 H´elice circular: r(t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4π] 7 H´elice el´ıptica: r(t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π] 10/49
  11. 11. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte que representa o cilindro {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5} 11/49
  12. 12. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Classifica¸c˜ao de curvas Defini¸c˜ao Seja C uma curva dada por r(t), t ∈ [a, b]. A curva C diz-se fechada se a origem coincide com a extremidade, ou seja, r(a) = r(b). Caso contr´ario a curva diz-se aberta. A curva C diz-se simples se n˜ao se intersecta a si pr´opria (excluindo a origem e a extremidade). 12/49
  13. 13. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Vetor tangente e reta tangente Defini¸c˜ao Seja C uma curva de Rn dada por r(t), t ∈ [a, b]. Designa-se por vetor tangente `a curva C no ponto P0 = r(t0) a derivada r (t0) = lim h→0 r(t0 + h) − r(t0) h , t0 ∈]a, b[ quando existe e ´e n˜ao nula. A reta tangente `a curva em P0 = r(t0) ´e dada por: (x, y, z) = r(t0) + tr (t0), t ∈ R 13/49
  14. 14. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green 1 Considere o caminho, r(t), que leva de A = (1, 0) para B = (−1, 0), ao longo de uma circunferˆencia de equa¸c˜ao x2 + y2 = 1 em sentido directo (anti-hor´ario). Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva no ponto (0,1). 2 Considere o caminho, r(t), que leva de A = (1, 0) para B = (0, 2), ao longo de uma elipse de equa¸c˜ao x2 + y2 4 = 1 em sentido directo (anti-hor´ario). Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva no ponto correspondente a t = π 4 . 3 Determine a reta tangente `a curva representada pela fun¸c˜ao r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t) no ponto t0 = π 4 . 14/49
  15. 15. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Aplica¸c˜oes Se r(t) der origem a uma curva que traduz o movimento de um corpo ou part´ıcula, r (t) corresponder´a ao vetor velocidade, ou seja, v(t) = r (t). O vetor acelera¸c˜ao ser´a a(t) = v (t) = r (t). Exemplo: Considere um objecto que se move ao longo de uma curva C dada por r(t) = (t − 2, t2 ). Determine os vetores velocidade e acelera¸c˜ao nos instantes t = 0 e t = 1. Represente-os. 15/49
  16. 16. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Defini¸c˜ao Uma curva C de Rn dada por r(t), t ∈ [a, b] diz-se regular se a derivada r (t) existe e ´e cont´ınua (o que significa que r(t) ∈ C1) e n˜ao nula em ]a, b[. C ´e seccionalmente regular se se puder dividir num n´umero finito de curvas regulares. Nota: Se um caminho ´e regular, a curva por ele descrita n˜ao apresenta bicos nem esquinas angulosas pois a derivada evolui sem varia¸c˜oes bruscas de direc¸c˜ao ou sentido. 16/49
  17. 17. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Integral de linha de campo escalar Considere uma linha/curva em R3 E o campo escalar f (x, y, z) que a cada ponto (x, y, z) (de R3- em particular da curva) faz corresponder um n´umero/quantidade/altura. 17/49
  18. 18. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Com os valores da fun¸c˜ao em todos os pontos Obtemos uma cortina/muro sobre a linha. O integral de linha de campo escalar d´a-nos a ´area dessa cortina. D´a-nos a quantidade total de f (x, y, z) sobre a linha (afetada de sinal, conforme est´a acima ou abaixo da curva). 18/49
  19. 19. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Por exemplo: Se f (x, y, z) d´a a quantidade de ´agua que choveu no ponto (x, y, z) durante um certo dia, o integral de f d´a a quantidade total de ´agua que choveu sobre essa curva nesse dia. Se f (x, y, z) d´a temperatura no ponto (x, y, z) num dado momento, podemos saber a temperatura m´edia sobre essa linha dividindo o valor do integral pelo comprimento da linha. Se a linha for um arame com densidade dada pela fun¸c˜ao ρ(x, y, z), o integral de ρ ao longo da linha d´a a massa total do arame. 19/49
  20. 20. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Como vamos obter este valor? Seja C uma curva dada por r(t), t ∈ [a, b]. Dividindo o intervalo [a, b] em n intervalos [ti , ti+1], i = 0, ..., n − 1. Dividimos, tamb´em, a curva C em n intervalos [r(ti ), r(ti+1)]. ||r(ti+1) − r(ti )|| d´a-nos aproximadamente o comprimento do ”intervalo i”da curva. 20/49
  21. 21. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Logo f (r(ti ))||r(ti+1) − r(ti )|| d´a-nos aproximadamente a ´area a azul: Somando as ´areas de todos os intervalos obtemos n−1 i=0 f (r(ti ))||r(ti+1) − r(ti )|| teremos a ´area de toda a cortina/muro. 21/49
  22. 22. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Repare que ||r(ti+1)−r(ti )|| ∆t ≈ ||r (ti )|| pelo que a ´area total pode ser escrita como n−1 i=0 f (r(ti ))||r (ti )|| ∆t Passando ao limite lim n→+∞ n−1 i=0 f (r(ti ))||r (ti )|| ∆t obtemos b a f (r(t)) r (t) dt que ´e o valor exato da ´area da cortina, ´e potanto, o que designamos por integral de linha de campo escalar. 22/49
  23. 23. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Defini¸c˜ao Seja C uma curva dada por r(t), t ∈ [a, b]. Seja f : Df ⊂ Rn −→ R um campo escalar cont´ınuo cujo dom´ınio Df contem todos os pontos da curva C Chamamos integral de linha do campo escalar f ao longo da curva C ao integral C f ds = b a f (r(t)) r (t) dt Notas: Este integral n˜ao depende da parametriza¸c˜ao escolhida para C. http://www.personal.psu.edu/dpl14/java/calculus/lineintegral.html 23/49
  24. 24. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Propriedades Propriedades dos integrais de linha de campos escalares: Seja f e g campos escalares cont´ınuos com Df , Dg ⊂ Rn e C curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg . C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df . −C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em Df ). α, β ∈ R. 1 −C f ds = C f ds 2 C αf + βg ds = α C f ds + β C g ds 3 C1∪C2 f ds = C1 f ds + C2 f ds Aplica¸c˜oes: A massa de uma linha C com densidade dada pela fun¸c˜ao ρ(x, y, x) ´e C ρ ds 24/49
  25. 25. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios I 1 Calcule C f ds onde f (x, y) = x e C ´e a linha da figura: 2 Calcule C y ds onde C ´e a meia circunferˆencia de raio 2 centrada na origem percorrida no sentido anti-hor´ario desde o ponto (2,0) at´e ao ponto (-2,0). (R: 8) 3 Sabendo que a densidade de um fio ´e dada por ρ(x, y) = 2 √ x − y onde C tem a forma de um segmento de reta com origem em (0,0) e extremidade em (1,1). Calcule a massa desse fio. (R:5 √ 2 6 ) 25/49
  26. 26. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios II 4 Calcule C x + z ds onde C ´e o segmento de reta que tem origem em (0,2,3) e termina em (2,1,0). (R:5 √ 14 2 ) 5 Calcule C x + y + z ds onde C ´e a linha de equa¸c˜ao param´etrica    x = cos(t) y = sin(t) z = t entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2π). R: 2 √ 2π2 26/49
  27. 27. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Comprimento de uma linha O integral de linha do campo escalar f (x, y, z) = 1 d´a o comprimento da linha, ou seja: Defini¸c˜ao Seja C uma curva dada por r(t), t ∈ [a, b]. Chamamos comprimento da linha/curva C com origem em A = r(a) e extremidade B = r(b) ao integral lC = b a r (t) dta a Este integral n˜ao depende da parametriza¸c˜ao escolhida para C. 27/49
  28. 28. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios 1 Prove que o per´ımetro de uma circunferˆencia de raio R ´e 2πR. 2 Determine k de modo que o comprimento da reta y = −2x + 1 entre 0 e k seja 2. 3 Considere r(t) = 4 sin(t)e1 + 3te2 + 4 cos(t)e3, t ∈ [0, π] Esboce a curva e calcule o seu comprimento. (R : 5π) 4 Determine o comprimento da curva C de equa¸c˜oes x = et cos(t) y = et sin(t) , t ∈ 0, π 2 5 Determine o comprimento do arco de curva dado por    x = aet cos(t) y = aet sin(t) z = aet desde (a, o, a) at´e (−aeπ, 0, aeπ). R: √ 3a(eπ − 1) 28/49
  29. 29. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Defini¸c˜ao Seja C uma curva dada por r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Seja f : Df ⊂ Rn −→ R3 f = (f1, f2, f3) um campo vetorial cont´ınuo cujo dom´ınio Df contem todos os pontos da curva C. Chamamos integral de linha do campo vetorial f ao longo da curva C ao integral C f · dr = b a f (r(t)) · r (t) dt = b a f1 dx + f2 dy + f3 dz Notas: Se admitirmos que f representa um campo de for¸cas, o integral da fun¸c˜ao vetorial f ao longo da linha C representa o trabalho realizado por f para deslocar uma part´ıcula ao longo da linha C . Este integral n˜ao depende da parametriza¸c˜ao escolhida para C. http://mathinsight.org/line_integral_vector_field_ introduction 29/49
  30. 30. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Propriedades Propriedades dos integrais de linha de campos vetoriais: Seja f e g campos escalares cont´ınuos com Df , Dg ⊂ Rn e C curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg . C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df . −C a curva inversa da curva C (totalmente contidas em Df ). α, β ∈ R. 1 −C f · dr = − C f · dr 2 C αf + βg · dr = α C f · dr + β C g · dr 3 C1∪C2 f · dr = C1 f · dr + C2 f · dr 30/49
  31. 31. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios: 1 Calcule o trabalho realizado pela for¸ca f (x, y) = (x2 − 2xy, 2xy + y2) ao longo da linha y = x2 desde (0,0) at´e (3,9). R:405.9 2 Calcule o trabalho realizado pela for¸ca f (x, y) = (1 + xy, x − y) no deslocamento do seu ponto de aplica¸c˜ao ao longo da linha fechada definida por y = x, y = −1, x = 0 e x = 2 no sentido hor´ario. R:−2 3 3 Calcule o trabalho realizado pela for¸ca f (x, y) = (y, x) ao deslocar uma part´ıcula desde (0,0) at´e (1,1) ao longo das linhas 1 y = x 2 y = x2 3 y = x3 R:1 31/49
  32. 32. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Interpreta¸c˜ao Imagine que est´a a remar num rio com alguma corrente. `As vezes est´a a trabalhar contra a corrente, outras vezes est´a a movimentar-se gra¸cas a ela. No final tem a sensa¸c˜ao de saber se, em geral, foi ajudado ou prejudicado pela corrente. O integral de linha mede o grau em que uma curva num campo de vectores est´a, em geral, a ir com o campo de vectores ou contra ele. Lembre-se que para quaisquer dois vetores u e v o produto interno u · v ´e positivo se u e v apontam aproximadamente na mesma direc¸c˜ao (isto ´e, se o ˆangulo entre eles ´e inferior a π 2 ). O produto interno ´e zero se u ´e perpendicular a v e ´e negativo, se eles apontam aproximadamente em direc¸c˜oes opostas (isto ´e, se o ˆangulo entre eles ´e maior do que π 2 ). 32/49
  33. 33. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green O integral de linha de f adiciona o produto interno de f e ∆r ao longo do caminho. Se ||f || ´e constante, o integral de linha d´a um n´umero positivo se f (maioritariamente) apontar na mesma dire¸c˜ao que C, e um n´umero negativo se f (maioritariamente) apontar na dire¸c˜ao oposta `a de C. O integral de linha ´e zero se f ´e perpendicular ao percurso em todos os pontos, ou se as contribui¸c˜oes positivas e negativas se anularem. Em geral, o integral de linha de um campo vectorial f ao longo de uma curva C mede at´e que ponto C vai com f ou contra f . (De: Hughes-Hallett, Calculus) 33/49
  34. 34. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcio Considere o campo vetorial f e as curvas C1, C2, C3, e C4 apresentadas na figura. As curvas C1 e C3 tˆem o mesmo comprimento. Quais dos seguintes integrais s˜ao positivos? E negativos? Ordene-os de forma crescente. Ci f · dr i = 1, 2, 3, 4 R: C4, C1, C3, C2 34/49
  35. 35. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcio Qual o sinal do integral dos seguintes campos vetoriais nas respetivas linhas? R: 1.neg 2.pos 3.zero 4.pos 5.zero 35/49
  36. 36. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Campos conservativos Imagine que pretende transportar um sof´a de um r´es-do-ch˜ao para o 1o andar. Ter´a que ”lutar”contra a gravidade. A for¸ca que vai ser feita ´e a mesma quer v´a pelo elevador quer v´a pelas escadas. Vamos modelar este problema e confirm´a-lo: A for¸ca da gravidade pode ser modelada por f (x, y, z) = (0, 0, −9.8). Vamos modelar o caminho do elevador pelo segmento de reta entre (0,0,0) e (0,0,2). O primeiro lance de escadas pelo segmento de reta que come¸ca em (0,0,0) e termina em (0,1,1) e o segundo pelo segmento de reta que come¸ca em (0,1,1) e termina em (0,0,2). Calcule o trabalho realizado por esta for¸ca ao longo dos dois caminhos. 36/49
  37. 37. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Nesta sec¸c˜ao consideremos apenas campos vetoriais f = (f1, f2, ..., fn) cujas componentes sejam cont´ınuas num conjunto aberto, simplesmente conexo. Defini¸c˜ao f : Rn −→ Rn ´e um campo conservativo (ou campo gradiente) se existe ϕ : Rn −→ R f = ϕ(x), ou seja, (f1, f2, ..., fn) = ∂ϕ ∂x1 , ∂ϕ ∂x2 , ..., ∂ϕ ∂xn `A fun¸c˜ao ϕ chama-se a fun¸c˜ao potencial geradora de f . 37/49
  38. 38. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Vejamos se f (x, y) = (2xy3 + 1, 3x2y2 + 12y3) ´e conservativo. Ou seja, vamos procurar ϕ(x, y) : f (x, y) = ϕ(x, y) = ∂ϕ ∂x , ∂ϕ ∂y    ∂ϕ ∂x = 2xy3 + 1 ⇒ ϕ(x, y) = x2y3 + x + C(y) ⇓ ∂ϕ ∂y = 3x2y2 + 12y3 ∂ϕ ∂y = 3x2y2 + 0 + C (y) comparando: C (y) = 12y2 C(y) = 4y3 + k portanto ϕ(x, y) = x2 y3 + x + 4y3 + k, k ∈ R Ou seja, f ´e conservativo. 38/49
  39. 39. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios: Verifique se os seguintes campos vetoriais s˜ao conservativos: 1 f (x, y) = (2xy3, 3x2y2 + 2y) 2 f (x, y) = (2x + 2y, 2x − 3y2) 3 f (x, y) = (cos(y) − 2y cos(x), −x sin(y) − 2sin(x)) 4 f (x, y, z) = (2xyz, x2z + 2, x2y + 3z2) 5 f (x, y) = (yexy , xexy ) 6 f (x, y) = (2xy5, x5y2) 39/49
  40. 40. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Teorema Seja C uma curva dada por r(t), t ∈ [a, b], portanto com origem A = r(a) e extremidade B = r(b). Se um campo vetorial f ´e conservativo, isto ´e, f = ϕ ent˜ao w = C f · dr = ϕ(B) − ϕ(A) ou seja, o trabalho realizado por f ´e independente do caminho. Nota: Quando o campo ´e conservativo o trabalho ao longo de uma linha fechada ´e 0. 40/49
  41. 41. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Demonstra¸c˜ao: w = C f · dr = b a f (r(t)) · r (t) dt = b a ϕ(r(t)) · r (t) dt = b a dϕ(r(t)) dt dt = ϕ(r(b)) − ϕ(r(a)) = ϕ(B) − ϕ(A) 41/49
  42. 42. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios 1 Calcule o valor do integral C f · dr onde f (x, y) = (2xy − y4 + 3, x2 − 4xy3) sendo C um caminho qualquer que une os pontos (1,0) a (2,1). 2 Calcule o trabalho de f (x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz) ao longo da espiral descrita pelo caminho r(t) = (5 cos(t), √ t, 5 sin(t)) com t ∈ [0, 4π]. 3 Considere o campo vetorial F(x, y) = (x2 + y2, αxy), com α ∈ R. 1 Determine o valor de α para o qual F ´e um campo gradiente. 2 Para o valor de α determinado na al´ınea anterior calcule o trabalho realizado pelo campo F ao longo do caminho γ(t) = (t, et2 −1 ), t ∈ [0, 1]. 42/49
  43. 43. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Teorema Seja f : Rn −→ Rn. f ´e conservativo, se e s´o se, Jf = JT f . Ou seja, sse a matriz Jacobiana ´e sim´etrica. Nota: No caso de f : R2 −→ R2. f ´e conservativo, se e s´o se, ∂f1 ∂y = ∂f2 ∂x . 43/49
  44. 44. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios: Confirmemos agora de outra forma se s˜ao, ou n˜ao, conservativos os campos vetoriais que estud´amos atr´as: 1 f (x, y) = (2xy3, 3x2y2 + 2y) 2 f (x, y) = (2x + 2y, 2x − 3y2) 3 f (x, y) = (cos(y) − 2y cos(x), −x sin(y) − 2sin(x)) 4 f (x, y, z) = (2xyz, x2z + 2, x2y + 3z2) 5 f (x, y) = (yexy , xexy ) 6 f (x, y) = (2xy5, x5y2) 44/49
  45. 45. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Teorema de Green Seja C uma curva dada por r(t), t ∈ [a, b], fechada, simples, seccionalmente de classe C1, orientada no sentido positivo1 cujo interior ´e a regi˜ao A. Seja f : Df ⊂ R2 −→ R2, f = (f1, f2) um campo vetorial de classe C1 cujo dom´ınio Df contem todos os pontos da curva C e do seu interior, A. Ent˜ao C f · dr = A ∂f2 ∂x − ∂f1 ∂y dx dy. 1 deixando `a esquerda os pontos do interior de C. 45/49
  46. 46. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios I 1 Verifique o teorema de Green para a fun¸c˜ao f (x, y) = (2y, x + 3) e a seguinte regi˜ao sombreada: R: −π 2 2 Use o teorema de Green para a confirmar que a ´area de um c´ırculo de raio R ´e πR2. 3 Verifique o teorema de Green para a fun¸c˜ao F(x, y) = 2xye1 + (x − y)e2 para a regi˜ao de R2 em que 0 ≤ y ≤ x + 2 e x2 + y2 ≤ 4. R: π − 2 3 46/49
  47. 47. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios II 4 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo de for¸cas F(x, y) = (1 + y, y + x) ao deslocar uma part´ıcula ao longo da fronteira de R percorrida no sentido positivo em que R = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 < 4, y ≤ x, x ≥ 0 . 5 Utilize o teorema de Green para calcular o valor de D yex+y dx dy com F(x, y) = (yex+y , ex+y ) e D = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 . 47/49
  48. 48. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Exerc´ıcios III 6 * Considere a linha L = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1, x ≤ 0 ”percorrida de baixo para cima”e o campo vetorial F(x, y) = (xy2, xy). Use o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por F ao longo de L. R: 0 7 Considere a regi˜ao R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ x2 − 1 . Calcule a ´area de R sem calcular integrais duplos. Nota: P(sin2 (x)) = x 2 − sin(2x) 4 P(cos2(x)) = x 2 + sin(2x) 4 48/49
  49. 49. AM2 Linha Vetor tangente e reta tangente Integral de linha de campo escalar Comprimento de uma linha Integral de linha de campo vetorial Campos conservativos Teorema de Green Autora: Sandra Gaspar Martins Com base no trabalho de: Nuno David Lopes e Cristina Janu´ario 49/49

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