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Radici quadrate mod n
1. Università degli Studi di Camerino – Corso di Laurea Specialistica in Informatica
(Classe 23S) – Anno Accademico 2008/2009
Seminario sul corso di “Codici e Crittografia”
Docente: Prof. Toffalori Carlo
Dott. Ficcadenti Stefano
2. • Radici Quadrate
• Radici Quadrate modulo N
• N primo dispari
Sommario
• N primo dispari
• N composto dispari
• Conclusioni
Seminario sul Corso di “Codici e Crittografia” Radici Quadrate mod N
3. In Z: 1,4,9,16 Quadrati
±1, ±2, ±3, ±4 Radici
Stesso problema modulo N:
Radici Quadrate
Stesso problema modulo N:
• a quadrato mod N
• radici quadrate di a mod N
Seminario sul Corso di “Codici e Crittografia” Radici Quadrate mod N
4. Radici Quadrate mod N
• 1, 4, 9 restano quadrati anche mod N
• Es. )15(mod52510 2
≡≡
• Quadrati modulo 3:
• 1 ha 4 radici quadrate modulo 8 (±1 e ±3 -> 1,3,5,7)
Per a quadrato mod N …. quante radici quadrate ?
)3(mod21 2
≡)3(mod20 2
≡
Seminario sul Corso di “Codici e Crittografia” Radici Quadrate mod N
5. N primo dispari
“Siano N un primo dispari, a un intero primo con N.
Se a è un quadrato modulo N, allora a ha esattamente
due radici quadrate modulo N, tra loro opposte”
Es.
1. a = 1 N = 3
2 radici quadrate ±1 (cioè 1 e 2) modulo 3
2. a = 1 N = 5
2 radici quadrate ±1 (cioè 1 e 4) modulo 5
Seminario sul Corso di “Codici e Crittografia” Radici Quadrate mod N
6. Possibili radici modulo N
Siano N un intero dispari >2, a un intero primo con N.
Se a è un quadrato modulo N, allora a ha almeno due
radici quadrate distinte modulo N
Per N composto dispari >2:Per N composto dispari >2:
Teorema del Resto Cinese
Siano interi > 1 a due a due primi tra loro.
Allora, per ogni scelta di interi esiste un intero x
tale che
per ogni j ≤ n
nNN ,...,0
nbb ,...,0
)(mod jj Nbx ≡
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7. Siano interi dispari > 1 a due a due primi
tra loro; sia poi il loro prodotto, e sia a un
intero modulo N. Allora a è un quadrato modulo
N se e solo se a è un quadrato modulo per ogni
N composto dispari
nNN ,...,0
∏<
=
nj
jNN
NN se e solo se a è un quadrato modulo per ogni
j ≤ n. In tal caso a ha almeno radici quadrate
modulo N. Se poi sono tutti primi, a ha
esattamente radici quadrate modulo N.
jN
1
2 +n
nNN ,...,0
1
2 +n
Seminario sul Corso di “Codici e Crittografia” Radici Quadrate mod N
8. Esempio
Sia N = 15 = 3 ∙ 5. Allora a = 1 ammette:
• 2 radici quadrate ± 1 (cioè 1 e 2) modulo 3
• 2 radici quadrate ± 1 (cioè 1 e 4) modulo 5
)15(mod411)5(mod1),3(mod2 −≡≡→≡≡ xxx
Col teorema del Resto Cinese troviamo tutte le radici
quadrate di 1 modulo 15 (esse vengono a coincidere
con ± 1, ± 4 modulo 15)
Esattamente radici quadrate per N = 15
)15(mod411)5(mod1),3(mod2 −≡≡→≡≡ xxx
422 211
==+
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9. Conclusioni
E’ possibile “contare” il numero delle radici quadrate
modulo N per N primo e per certi valori di N composto
Problemi successivi:
• quali a sono quadrati modulo N ?
• come determinare le loro radici quadrate modulo N ?
Seminario sul Corso di “Codici e Crittografia” Radici Quadrate mod N