Presentacion de Ecuaciones Diferenciales variacion de parametros

1. Ecuaciónes Diferenciales VARIACIÓN DE PARÁMETROS Salvador Solis Valdez

2. Para explicar este tema comenzare con un ejemplo: Solucion de y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex) y’’ + 3y’ + 2y = 0 Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes de la homogenea asociada: m2 + 3m + 2 = 0 (m + 2)(m + 1) = 0 m1 = -2; m2 = -1

3. yh = C1 e-2x + C2 e-xç y1 y2 Y ENCONTRAMOS Y1 Y Y2

4. 2.- Por cramer hallamos W(y1; y2) W(y1; y2) = e-2xe-x = -e-3x + 2e-3x = e-3x -2e-2x -e-x

5. 3.- Hallamos U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = -e2x sen (ex) W(y1; y2) e-3x U’2 = y1f(x) = e-2xsen (ex) = exsen (ex) W(y1; y2) e-3x

6. 4.Integramos u1 = ∫ u’1 dx y u2 = ∫ u’2 dx u1 =∫ u’1 dx = ∫-e2x sen (ex) dx z= ex haciendo dz = ex dx dx = dz/z

7. = -∫z2sen(z) dz/z = -∫z sen(z) dz integrando por partes v = z dv = dz dw = -sen zdz w = cos z = z cos z -∫cos z dz = z cos z - sen z = ex cos(ex) - sen (ex)

8. u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx =∫z sen z dz/z = ∫senz dz = -cos z = -cos(ex)

9. 5. La solucion particular yp = u1y1 + u2y2 yp = u1y1 + u2y2 = [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex) = -e-2xsen (ex)

10. 6. La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2 y = yh + yp = C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex) Espero que este ejemplo les haya ayudado