Probabilidades e explicação lei de laplace

15.302 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
15.302
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
123
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Probabilidades e explicação lei de laplace

  1. 1. Conteúdos desta unidade:  A linguagem das probabilidades; AMEI Escolar  Cálculo da probabilidade de um Matemática acontecimento: Lei 9º Ano de Laplace. A escala Probabilidades e Estatística das probabilidades;  Frequência relativa e probabilidade: Lei A linguagem das probabilidades dos Grandes  As experiências podem ser consideradas: Números; - aleatórias ou casuais: quando é  Tabela de dupla impossível calcular o resultado à partida; entrada, diagrama de - deterministas ou causais: quando à árvore e diagrama de partida é possível prever o resultado. Venn. Exemplos: Abrir a mão, largar uma moeda e verificar se cai ou não - experiência determinista Abrir a mão, largar uma moeda e verificar que face cai voltada para cima - experiência aleatória  Às probabilidades só interessa o estudo de experiências aleatórias. O conjunto de resultados ou espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência. Representa-se por S, Ω (letra grega chamada ómega), E ou U. A qualquer subconjunto de S chama-se acontecimento.Exemplos:No lançamento de um dado numerado de 1 a 6:Ω = {1,2,3,4,5,6}- acontecimento A: “Sair um divisor de 4”A = {1,2,4}- acontecimento B: “Sair um nº menor que 5”B = {1,2,3,4}  Os acontecimentos podem ser classificados em: - acontecimento certo: aquele que ocorre sempre, ou seja, é formado por todos os elementos do conjunto de resultados;
  2. 2. - acontecimento impossível: aquele que nunca ocorre, ou seja, não tem qualquer elemento do conjunto de resultados; - acontecimento elementar: é formado por um só elemento do conjunto de resultados; - acontecimento composto: é formado por dois ou mais elementos do conjunto de resultados.Exemplos:No lançamento de um pião, com 8 faces numeradas:- acontecimento A: “Sair um número maior que 0 mas menor que 9”A = {1,2,3,4,5,6,7,8}  acontecimento certo- acontecimento B: “Sair um número maior que 11”B = { }  acontecimento impossível- acontecimento C: “Sair um nº par e primo”C = {2}  acontecimento elementar- acontecimento D: “Sair um nº ímpar”D = {1,3,5,7}  acontecimento composto  Como viste, alguns acontecimentos são certos e outros impossíveis. Alguns acontecimentos podem ainda ser prováveis e improváveis ou poucos prováveis e muito prováveis. Acontecimentos com a mesma probabilidade são acontecimentos equiprováveis.Exemplos:Ao retirar uma bola de um saco com 6 bolas sendo 4 azuis, 1 vermelha e 1 verde:- é provável sair uma bola azul;- é pouco provável sair uma bola verde;- é certo sair uma bola azul, vermelha ou verde;- é muito provável sair uma bola azul ou verde;- é impossível sair uma bola roxa;- é equiprovável sair uma bola vermelha ou sair uma bola verde.
  3. 3. Exercícios 1:1 Determina quais destas experiências são aleatórias e quais são deterministas. Justifica.1.1 Colocar água no congelador e anotar o estado físico passado 7 horas.________________________________________________________________________________________________________________________________________1.2 Tirar uma carta de um baralho e anotar o número e o naipe.________________________________________________________________________________________________________________________________________1.3 Rodar um pião numerado de 1 a 8 e anotar o número que sai.________________________________________________________________________________________________________________________________________2 Considera a seguinte experiência: num saco há 10 bolas numeradas. A Rita vai tirando bolas ao acaso e regista num caderno o número da bola.2.1 Indica o espaço amostral desta experiência.____________________________________________________________________2.2 Classifica os seguintes acontecimentos. Justifica.2.2.1 acontecimento A: “Sair um número maior que 10”________________________________________________________________________________________________________________________________________2.2.2 acontecimento B: “Sair um número entre 2 e 7”________________________________________________________________________________________________________________________________________2.2.3 acontecimento C: “Sair um número menor que 11 mas maior que 0”________________________________________________________________________________________________________________________________________3 Completa as frases com provável, pouco provável, certo, impossível e equiprovável.3.1 É ____________ que num dia de Outono chova.3.2 É ____________ nevar durante a Primavera.3.3 É ____________ no lançamento de um dado sair um número entre 0 e 7.3.4 É ____________ no lançamento de uma moeda sair cara ou coroa.
  4. 4. Cálculo da probabilidade de um acontecimento: Lei de Laplace. A escala das probabilidades  Para calcular a probabilidade de um acontecimento seguimos a Lei de Laplace que diz: - a probabilidade de um acontecimento A é igual ao número de casos favoráveis a A, a dividir pelo número de casos possíveis. Lei de Laplace:Exemplos:Ao retirar uma bola de um saco com 6 bolas sendo 4 azuis, 1 vermelha e 1 verde qualé a probabilidade de sair uma bola azul?Nº de casos favoráveis: 4 (porque há 4 bolas azuis)Nº de casos possíveis: 6 (porque o total das bolas é 6)P(sair uma bola azul) = = = = 0,66 (x 100) = 66 %  A probabilidade de um acontecimento varia entre 0 e 1 ou, em percentagem, entre 0% e 100%. Ou seja: - a probabilidade de um acontecimento certo é 1 ou 100%; - a probabilidade de um acontecimento impossível é 0 ou 0%.  Assim os acontecimentos podem ser colocados numa escala das probabilidades. Escala das probabilidades |---------------------------------------------|---------------------------------------------| 0% 50% 100%
  5. 5. Exemplos:Num saco com 4 bolas, 2 azuis e 1 verde e 1 amarela, qual a probabilidade de:- acontecimento A: “tirar uma bola amarela”P(tirar um bola amarela) = = = 0,25 (x 100) = 25 % |----------------------|----------------------|--------------------------------------------| 0% 25% 50% 100% A Exercícios 2: 1. Considera a seguinte experiência: foi feito um estudo numa escola com 33 alunos em que era perguntado qual o sabor de gelado favorito. Os resultados foram os seguintes: Chocolate Limão Morango Nata Baunilha 12 3 9 4 5 1.1 Determina a probabilidade de, escolhido um desses alunos ao acaso: a) acontecimento A: “ter como sabor favorito morango” b) acontecimento B: “ter como sabor favorito limão” c) acontecimento C: “ter como sabor favorito nata” d) acontecimento D: “ter como sabor favorito chocolate” e) acontecimento E: “ter como sabor favorito baunilha”
  6. 6. Exercícios 2:1.2 Coloca os acontecimentos anteriores nesta escala de probabilidades. |--------------------------------------------|--------------------------------------------| 0% 50% 100%1.3 Considera que a escola tem 645 alunos. Qual a probabilidade de, escolhido umaluno ao acaso, este ter participado no estudo? Frequência relativa e probabilidade: Lei dos Grandes Números  A Lei dos Grandes Números diz o seguinte: - para um grande número de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade.Exemplos:No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de:- acontecimento A: “sair cara”P(sair cara) = = = 0,5 (x 100) = 50 %O João realizou esta experiência 1000 vezes e registou os resultados numa tabela: Nº de lançamentos Vezes que saiu cara 5 1 100 35 500 232 1000 492fr(sair cara) = = = = 0,492 (x 100) = 49,2 %
  7. 7. Exercícios 3:1. Os alunos de uma turma de 9º ano decidiram fazer uma experiência na suafreguesia. Dirigiram-se à praça principal e pediram a todas as pessoas que lápassaram para escolherem à sorte uma bola, de uma caixa com 3 bolas, 1 azul, 1verde e 1 laranja.Estes foram os resultados: Azul Verde Laranja 232 224 2301.1 Indique a probabilidade de, escolhida uma das pessoas ao acaso, esta ter tirado uma bola que não fosse azul.1.2 Se tivessem sido abordadas o dobro das pessoas o que aconteceriam aos resultados?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2 Realizou-se a seguinte experiência 600 vezes: retirar um bola de um saco com 3 bolas, 1 verde e 2 vermelhas, e registou-se os resultados numa tabela. Verde Vermelho 198 4022.1 Explica os resultados utilizando a Lei dos Grandes Números.
  8. 8. Tabela de dupla entrada, diagrama de árvore e diagrama de Venn  A contagem do número de casos favoráveis (nº de c.f.) e do número de casos possíveis (nº de c.p.), necessária para a determinação de uma probabilidade, segundo a Lei de Laplace, nem sempre é uma tarefa fácil.  Nos problemas mais complexos, é usual recorrer-se a esquemas que permitam conhecer mais facilmente o nº de c.f. e o nº de c.p. Destes destacam-se: - diagrama de Venn; - tabela de dupla entrada; - diagrama de árvore.Exercício Resolvido - Diagrama de VennNum diagrama de Venn, cada grupo estudado é representado por uma oval oucircunferência, dentro da qual se coloca o número de casos favoráveiscorrespondente. Toma atenção no seguinte problema:Dos 80 trabalhadores de uma fábrica, 25 declararam que não lêem nenhum jornal,25 que lêem diariamente o jornal Alfa e 40 que lêem diariamente o jornal Beta.Escolhe-se aleatoriamente um desses 80 trabalhadores. Qual a probabilidade desteler os dois jornais?80 - 25 = 55 trabalhadores que lêem jornal25 + 40 = 65 jornais Alfa ou Beta que são lidos65 - 55 = 10 trabalhadores que lêem o mesmo jornal25 - 10 = 15 trabalhadores que só lêem o jornal Alfa40 - 10 = 30 trabalhadores que só lêem o jornal Beta10 + 15 + 30 + 25 = 80 trabalhadoresP(ler os dois jornais) = = = = 0,125 (x 100) = 12,5 %
  9. 9. Exercício Resolvido - Tabela de Dupla EntradaSão lançados dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Qual aprobabilidade de a soma dos pontos saídos ser 3?Para registar todas as somas possíveis, podes criar uma tabela de dupla entrada,onde cada entrada representa uma soma possível P(sair 3 como soma) = = = = 0,055 (x 100) = 5,5 %Exercício Resolvido - Diagrama de ÁrvoreLança-se uma moeda equilibrada (ainda de escudos) ao ar, três vezes seguidas. Qualé a probabilidade de se obter duas vezes escudo e uma vez face?Para determinarmos quantos casos são podemos utilizar um diagrama de árvore, emque cada coluna representa um dos lançamentos.P(obter duas vezes escudo e uma vez face) = = = 0,375 (x 100) = 37,5 %
  10. 10. Exercícios 4:1. Num inquérito feito a uma turma de 25 alunos do 9º ano acerca do quecomiam durante o intervalo, 10 disseram que comiam fruta trazida de casa e 18disseram que compravam qualquer coisa no bar da escola. Só 2 disseram nãocomer nada. Com os dados do enunciado, completa o Diagrama de Vennseguinte.2. São lançados dois dados equilibrados com as faces numeradas de 1 a 6. Quala probabilidade de sair um duplo (sair o mesmo número nos dois dados, como 6e 6 ou 5 e 5)? Completa a tabela de dupla entrada em baixo e resolve oexercício.
  11. 11. Exercícios 4:3. Um casal tem três filhos. O pai tem olhos castanhos e a mãe tem olhosverdes. Considerando que os filhos apenas poderão ter olhos castanhos ouverdes e que a probabilidade de cada um destes acontecimentos é igual, realizaum diagrama de árvore e calcula:a) a probabilidade de terem todos olhos da mesma cor.b) a probabilidade de nenhum ter olhos verdes.

×