INTRODUÇÃO
AOS MÉTODOS
NUMÉRICOS
Celme Torres F. da Costa
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
Campus Cariri
2010
Introdução aos Métodos Numéricos
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Sumário
1. Introdução aos Métodos Numéricos...............................................
Profª Celme Torres
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8.1. Sistemas discretos e funções de base .....................................................78
8.1...
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1. Introdução aos Métodos Numéricos
Os modelos são ferramentas projetadas para represen...
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1.1.1. Soluções Analíticas
Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída n...
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1.1.2. Método das diferenças Finitas
O método das diferenças finitas substitui a equaçã...
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Figura 2 – Malha de elementos finitos.
1.1.4. Método dos momentos (MOM)
O método dos momentos (MOM) t...
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horizontais, com as propriedades do solo sendo as mesmas em qualquer local na camada. O...
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utilizado na resolução de problemas envolvendo transferência de calor ou massa e em me-
cânica dos fl...
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2. Condições de Contorno
O objetivo da maioria das análises numéricas é determinar fun...
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dições no início do processo físico (condição inicial). A definição precisa das condições de
contorn...
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3. Sistemas de Equações Diferenciais
3.1.1. Sistemas de Equações Diferenciais
As equaç...
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onde F1, F2, ..., Fn são quaisquer funções de (2n+1) variáveis reais, que definem o sistema.
O siste...
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(b)
t
t
dx
3x 4y e sin 2t
dt
dy
5x 9y 4e cos2t
dt



   

   

A forma...
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Exemplo 3.2
Verifique que o vetor p
3t 4
X
5t 6
 
  
  
é uma solução particular do sistem...
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Tendo,
O vetor de saída está na mesma direção e sentido que o vetor de entrada. Neste ...
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Então  é um autovalor de A e v é um autovetor de A associado ao autovalor de .
Se A é uma matriz n...
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1
2
1 2
1 2
(A I)k 0
(A 5I)k 0
k3 4 1 0
5 0
1 7 0 1 k
2k 4k 0
k 2k 0
  
 
  
...
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a b
E
c d

Considere a matriz resultante de 1
E AE
, multiplicada por
1
0
 
 
 

 

1
1
...
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22 3
det(A I) 3 4 0
2 1

       

Ao autovalores do sistema são: 1 1  ...
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Exemplo 3.5
Verificamos que o vetor p
3t 4
X
5t 6
 
  
  
é uma solução particular do sist...
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d)
1 5 sin t
X' X
1 1 2cost
   
    
    
(2) Sejam T1 = T1(t) e T2 =...
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Resolvendo o sistema para as variáveis e teremos:
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Uma vez que decomposição d...
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(3.14)
A solução de sistemas lineares pode ser resolvida também pelo Método de Gauss.
...
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Observe que após eliminarmos x1 da segunda à última equação, esquecendo-se de L1, fica-
se com um si...
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Solução:
Algumas Considerações:
 Numa dada matriz, quando se subtrai de uma linha out...
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Exercícios
Resolva os sistemas abaixo aplicando o método de Gauss
a) b)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x 6x x 7
...
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4. Métodos dos Resíduos Ponderados
São métodos de aproximação utilizados para resolver...
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4.1.1. Método de colocação pontual
Para este método, as funções ponderadoras são funções ponderadora...
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Em outras palavras, este método impõe que o resíduo seja zero em determinados pontos d...
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Exemplo 4.2
Considerando a mesma equação diferencial, com o objetivo de verificar o acréscimo de
pre...
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Comparação gráfica entre e e a solução exata.
Figura 5.2 – Comparação gráfica entre as...
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e
Considerando a solução aproximada,
Como há apenas um coeficiente a ser determinado, o intervalo de...
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O que dá origem ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
e
Assim,...
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Minimizando essa integral, temos:
(4.9)
Ou,
(4.10)
Ou seja, por esse método, as funções ponderadoras...
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Exemplo 4.4
Aplicando o método dos mínimos quadrados a nossa já conhecida equação dife...
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(4.12)
Sendo,
o conjunto , com . Podendo
o mesmo ser escrito ma forma:
(4.13)
Exemplo 4.5
Vamos apli...
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4.1.5. Exercícios
(1) Aplique o método de colocação pontual e o método dos mínimos qua...
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5. Introdução aos Métodos Variacionais
A análise de problemas de engenharia envolve o isolamento de ...
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O domínio de F(x) é a bx x x  . A relação funcional implica que, para cada valor da ...
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Como x é infinitamente pequeno, x é sempre maior que 2
x e que 3
x e assim su-
cessivamente.
Por...
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No caso da 2ª derivada ser nula, tais pontos são denominados de pontos de sela ou pont...
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2df
3x 3x 6 0
dx
   
A qual será definida para 1
2
x 1
x 2


 
Ao se verificar a segunda d...
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Por exemplo, seja a seguinte função: f(x,y,z,...)
Ao se dar valores às variáveis indep...
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Considere agora que g é uma função que faz o funcional F ser estacionário.
Definindo um grupo de fun...
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(f.g) f g fg   
2
f f g fg
g g
   
  
 
n n 1
(f ) nf f
  
Pretend...
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 3ª ordem 
3
3 3
3
0
d
d 

   

A equação para variacional total  pode ser escrita na fo...
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O símbolo age como um operador diferencial com respeito às variáveis dependentes,
com ...
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(4.23)
O que só pode ser verdade para qualquer variação de se:
(4.24)
com, Essa expressão é gerada p...
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Determinação do funcional F usando a equação de Euler:
Assim, usando a equação (10), t...
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É bom enfatizar que a função h(x) que minimiza o funcional acima é também a solução da
ED que rege o...
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b
x
x a
F
h 0
h
 
  
 
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6. Métodos Variacionais
6.1.1. Método de Ritz
O primeiro passo do método de Ritz é assumir uma soluç...
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O que resultará em um sistema de n equações com n coeficientes a determinar
.
Uma vez ...
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Logo,
Dessa forma:
Minimizando então I:
Portanto,
Vamos agora usar a seguinte a solução aproximada:
...
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Resolvendo o sistema acima para e , obtemos:
e,
Dessa forma,
A seguir faremos uma comp...
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Usando a solução aproximada,
Onde,
e,
Neste caso, como as funções de aproximação são invariáveis,
Su...
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O primeiro termo da expressão acima é o princípio básico do Método de Galerkin. O se-
...
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y(0) 1
y(2) 0


Encontre o funcional associado à equação diferencial e encontre uma solução aproxi...
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Figura 6.2 – Divisão de um domínio qualquer em elementos lineares.
Resolvendo o sistem...
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Figura 6.3 – Interpolação linear de um elemento.
Exemplo 6.2
Considere a já conhecida equação difere...
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Mas como, podemos reescrever o termo da seguinte forma:
Sendo a matriz transposta de ....
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Agora as condições de contorno podem ser impostas. Voltando ao nosso exemplo. Se divi-
dirmos o domí...
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Assim, para o elemento 1, temos:
Para o elemento 2,
Fazendo a montagem do sistema glob...
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Usando a 2ª linha do sistema encontramos o valor para h2
A solução gráfica apresenta-se da seguinte ...
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7. Métodos das Diferenças Finitas
Como mencionado anteriormente, a idéia básica do mét...
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Uma forma alternativa de se obter fórmulas aproximadas de diferenças finitas é através de
séries de ...
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Que é a aproximação de diferença progressiva. Pode-se notar que foram desprezados os
t...
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Reescrevendo a expressão (7.12), desprezando-se as derivadas de ordem superior, temos:
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Que é ...
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Reescrevendo os termos, temos:
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Adotando-se , o problema irá apresentar 4 incógnita...
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Figura 7.2 – Comparação gráfica da solução exata e da solução por diferenças finitas
com aproximação...
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Uma alternativa à solução acima é a de se aplicar a equação (i) também no ponto ,
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Figura 7.3 – Comparação entre a solução exata e a solução por diferenças finitas com
aproximação reg...
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Encontre a solução numérica pelo método das diferenças finitas com aproximação central...
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8. Métodos dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma técnica de análise numér...
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Elemento tridimensional de oito nós
Figura 8.1 – Tipos de elementos finitos
A fundamen...
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Para exemplificar, vamos considerar um problema unidimensional no qual h(x) é a variável
dependente....
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8.1.1. Sistemas discretos e funções de base
8.1.2. Funções de base
As funções de base ...
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Figura 8.2 –Subdivisão do domínio e funções de base: (a) subdivisão do domínio, (b)
funções de base,...
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(8.6)
De acordo com a Figura 8.2(b), as funções de base são definidas como segue:
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  1. 1. INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Celme Torres F. da Costa UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ Campus Cariri 2010
  2. 2. Introdução aos Métodos Numéricos 2 Sumário 1. Introdução aos Métodos Numéricos................................................................... 4 1.1. Soluções Analíticas.................................................................................... 5 1.2. Método das diferenças Finitas ................................................................... 6 1.3. Método dos elementos finitos .................................................................... 6 1.4. Método dos momentos (MOM) .................................................................. 7 1.5. Método dos elementos analíticos............................................................... 7 1.6. Método das camadas finitas ...................................................................... 7 1.7. Método de elementos de contorno (MEC) ................................................. 8 1.8. Método dos volumes finitos........................................................................ 8 2. Condições de Contorno.................................................................................... 10 2.1. Condições de contorno naturais .............................................................. 11 2.2. Condições de contorno geométricas........................................................ 11 3. Sistemas de Equações Diferenciais ................................................................. 12 3.1. Sistemas de Equações Diferenciais......................................................... 12 3.1.1. Sistemas homogêneos ...................................................................... 12 3.1.2. Sistemas não homogêneos ............................................................... 14 3.2. Conceito de autovalor e autovetor ........................................................... 15 3.3. Diagonalização de matrizes..................................................................... 18 3.4. Solução geral de sistemas homogêneos ................................................. 19 3.5. Solução geral de sistemas não homogêneos .......................................... 20 3.5.1. Exercícios e Aplicações de sistemas de equações diferenciais ........ 21 3.6. Solução de sistemas lineares .................................................................. 22 3.6.1. Exercícios.......................................................................................... 27 4. Métodos dos Resíduos Ponderados ................................................................ 28 4.1. Método de colocação pontual .................................................................. 29 4.2. Método dos subdomínios......................................................................... 32 4.3. Método dos mínimos quadrados.............................................................. 34 4.4. Método de Galerkin.................................................................................. 36 4.5. Exercícios ................................................................................................ 38 5. Introdução aos Métodos Variacionais............................................................... 39 5.1. Cálculo variacional................................................................................... 39 5.2. Máximo e mínimo de funções .................................................................. 39 5.3. Funcional ................................................................................................. 43 5.3.1. Funcional de uma função .................................................................. 44 5.3.2. Determinação do Funcional - Equação de Euler ............................... 47 5.3.3. Exercícios.......................................................................................... 51 6. Métodos Variacionais ....................................................................................... 53 6.1. Método de Ritz......................................................................................... 53 6.1.1. Exercícios.......................................................................................... 58 6.2. Método de Rayleigh-Ritz.......................................................................... 59 7. Métodos das Diferenças Finitas ....................................................................... 66 7.1. Derivadas de ordem superior................................................................... 68 7.2. Exercícios ................................................................................................ 73 8. Métodos dos Elementos Finitos ....................................................................... 75
  3. 3. Profª Celme Torres 3 8.1. Sistemas discretos e funções de base .....................................................78 8.1.1. Funções de base................................................................................78 8.1.2. Exemplos de sistemas discretos ........................................................81 8.1.2.1. Mola elástica ................................................................................81 8.1.2.2. Torção em barra circular ..............................................................82 8.1.2.3. Fluxo de um fluido em um tubo....................................................83 9. Métodos dos Elementos Finitos Bidimensional.................................................94 9.1. Modelos de elementos finitos ...................................................................95 9.1.1. Funções de forma ..............................................................................95 9.1.2. Elemento triangular linear...................................................................96 9.1.3. Teorema de Green-Gaus ...................................................................98 9.1.4. Imposição das condições de contorno .............................................100 9.1.5. Determinação da matriz de rigidez...................................................101 9.1.6. Determinação do vetor de carga nodal.............................................102
  4. 4. Introdução aos Métodos Numéricos 4 1. Introdução aos Métodos Numéricos Os modelos são ferramentas projetadas para representar uma versão simplificada de um problema real. É uma tentativa para compreensão dos processos físicos, químicos e bioló- gicos traduzidos em termos matemáticos. O objetivo da modelagem é o de prever ou predi- zer cenários onde estão envolvidos variáveis desconhecidas, como, por exemplo, a varia- ção da carga hidráulica ou distribuição de concentrações de espécies químicas em um sis- tema aqüífero no tempo e no espaço (BEDIENT et al., 1994), variação de temperaturas, análise de estruturas, entre outras. No desenvolvimento de um modelo, o primeiro passo é o desenvolvimento de um modelo teórico ou conceitual, que consiste na descrição dos processos envolvidos e no conheci- mento do comportamento do sistema analisado. O próximo passo é traduzir esse modelo teórico em termos matemáticos, o chamado modelo matemático, que é o conjunto de equa- ções diferenciais associada ao conjunto de equações de condições iniciais e de condições de contorno. Finalmente, a solução das equações sujeitas às condições de contorno impos- tas é obtida utilizando métodos analíticos ou numéricos. Quando os modelos consideram as variáveis de entrada e/ou os parâmetros dependentes de funções aleatórias (probabilidade) esses modelos são definidos como modelos ESTO- CÁSTICOS ou PROBABILÍSTICOS, do contrário, são DETERMINÍSTICOS. Os mo- delos baseados em resultados experimentais, são ditos modelos EMPÍRICOS (COSTA, 2000). Uma vez que o modelo teórico é formulado e os parâmetros apropriados tenham sido de- terminados, o próximo passo é achar uma solução para as equações que governam o pro- blema, considerando as condições iniciais e de contorno. As técnicas mais utilizadas na solução destas equações são: solução analítica, método dos momentos, método das cama- das finitas, elementos de contorno, diferenças finitas e elementos finitos, descritas a seguir.
  5. 5. Profª Celme Torres 5 1.1.1. Soluções Analíticas Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação dife- rencial reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução analítica da equação di- ferencial no intervalo. Porém, nem toda equação diferencial possui necessariamente uma solução analítica. Quando resolvemos uma equação diferencial, normalmente obtemos uma família de curvas ou funções contendo um parâmetro arbitrário tal que, cada membro da família é uma solu- ção da equação diferencial. As soluções das equações diferenciais são divididas em Explícitas ou Implícitas. Uma so- lução explícita é qualquer função y(x) que verifique a equação num intervalo a x b  . Ou seja, uma solução na qual a variável dependente é expressa somente em termos da vari- ável independente e das constantes. Para nossos propósitos, vamos pensar que uma solução explicita seja da forma y f(x) , a qual pode ser manipulada, calculada e diferenciável por meio das regras padrão. Isto é, a variável dependente pode ser isolada e igualada a uma ex- pressão, a qual é função apenas da variável independente, não ambígua. Uma solução implícita é uma relação g(x,y) 0 que verifique a equação. Dizemos que uma relação g(x,y) 0 é uma solução implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I. Isto é, a variável dependente (função) não pode ser isolada e igualada a uma expressão que dependa apenas da variável independente, ou quando isto for possível então a expressão será ambígua. As soluções analíticas são ideais para um rápido cálculo preliminar, são válidas para estu- dos de sensibilidade e úteis para checar resultados de análises mais complexas. Toda base teórica para determinação das soluções analíticas de equações diferenciais foram descritas e assimiladas em disciplinas anteriores envolvendo equações diferencias ou matemática aplicada.
  6. 6. Introdução aos Métodos Numéricos 6 1.1.2. Método das diferenças Finitas O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial por um conjunto de equa- ções lineares algébricas que são resolvidas de forma aproximada (McDONALD; HAR- BAUGH, 1988). As idéias fundamentais foram estabelecidas e usadas por matemáticos do século XVIII, tais como Taylor e Lagrange (GOMES, 2000). No método das Diferenças Finitas, uma equação diferencial (de natureza contínua) é substituída por uma série de e- quações algébricas, chamadas de diferenças finitas, em pontos discretos. Esse método é o mais antigo e o mais divulgado e foi o primeiro a ser usado para a solução sistemática de problemas de água subterrânea. Figura 1. Malha de diferenças finitas. 1.1.3. Método dos elementos finitos O método dos elementos finitos substitui a equação diferencial por uma formulação vari- acional do problema, que leva a resolução aproximada de um sistema de equações lineares algébricas (ZIENKIEWICZ, 1977). Baseia-se na divisão do domínio do problema em sub- domínios, o que permite a representação de domínios complexos como um conjunto de subdomínios mais simples – chamados Elementos Finitos. Cada elemento finito é conecta- do aos elementos vizinhos através de nós. O conjunto dos elementos e dos nós é chamado de malha. A Figura 1.0 mostra uma malha de elementos finitos. i, ji-1, j i+1, j i, j+1 i, j-1i-1, j-1 i+1, j-1 i-1, j+1 i+1, j+1 i+2, j+2 i+2, j-2 x y x y
  7. 7. Profª Celme Torres 7 Figura 2 – Malha de elementos finitos. 1.1.4. Método dos momentos (MOM) O método dos momentos (MOM) tem a sua origem – como muitas outras idéias em esta- tística - no trabalho precursor de Lord Karl PEASON (1857). Pearson havia construído o seu sistema de famílias de distribuições de probabilidade e necessitava um procedimento automático para, uma vez escolhida a família apropriada, estimar os parâmetros da particu- lar curva (ou função de densidade) que melhor se ajustaria aos dados. Como tais parâme- tros eram, geralmente, relacionados aos momentos da distribuição através de funções algé- bricas não muito complicadas, ele propôs que se igualasse os valores dos momentos amos- trais aos momentos teóricos, conforme descritos por tais funções. Desse modo, indo-se até o momento de ordem igual ao número de parâmetros a estimar, se obtinha um sistema de tantas equações quanto incógnitas – os parâmetros – a resolver. 1.1.5. Método dos elementos analíticos O método dos elementos analíticos é baseado no princípio da superposição de várias fun- ções analíticas. Este princípio consiste da adição de soluções individuais para cada elemen- to. A solução do problema é obtida através da adição de todas as influências dos elementos analíticos individuais, representados pelas funções analíticas, que correspondem às caracte- rísticas do sistema em estudo. 1.1.6. Método das camadas finitas O método das camadas finitas, descrito por ROWE e BOOKER (1985 a, b; 1987), se a- plica a situações onde a hidroestratigrafia pode ser idealizada como composta de camadas
  8. 8. Introdução aos Métodos Numéricos 8 horizontais, com as propriedades do solo sendo as mesmas em qualquer local na camada. O método das camadas finitas é muito utilizado em problemas de dimensionamento de pavi- mentos. 1.1.7. Método de elementos de contorno (MEC) O Método dos elementos de contorno ou Boundary Element Method – BEM, é um méto- do computacional para a solução de sistemas de equações diferenciais, formuladas em forma integral. É aplicado em diversas áreas da engenharia, como em mecânica dos flui- dos, acústica, eletromagnetismo e estudo de fraturas. O método possui melhor desempenho que o método dos elementos finitos em certas cir- cunstâncias, como por exemplo, quando o domínio de estudo for infinito ou semi-infinito. No método de elementos de contorno (MEC), primeiramente ocorre a transformação da equação diferencial parcial que descreve o comportamento da incógnita no interior e no contorno do domínio, em uma equação integral que envolve somente incógnitas em seu contorno. A seguir, faz-se a discretização do contorno em elementos de superfície e, por fim, encontra-se a solução do sistema de equações algébricas resultantes. As principais vantagens do MEC estão no fato de que somente o contorno (ou contornos) do domínio deve ser dividido em sub-regiões (discretizado). Nos outros métodos (Elementos Finitos e Diferenças Finitas), todo o domínio deve ser discretizado. Desta forma, a dimensão do problema é efetivamente reduzida em uma dimensão (BREBBIA e SKERGET, 1984). 1.1.8. Método dos volumes finitos O método dos volumes finitos é um método de resolução de equações às derivadas parci- ais baseado na resolução de balanços de massa, energia e quantidade de movimento a um determinado volume de meio contínuo. Este método evoluiu das diferenças finitas e não apresenta problemas de instabilidade ou convergência, por garantir que, em cada volume discretizado, a propriedade em questão (por exemplo, a massa) obedece à lei da conservação de massa. É um método largamente
  9. 9. Profª Celme Torres 9 utilizado na resolução de problemas envolvendo transferência de calor ou massa e em me- cânica dos fluidos. Figura 1.1 - Diagrama de métodos de solução de um problema físico.
  10. 10. Introdução aos Métodos Numéricos 10 2. Condições de Contorno O objetivo da maioria das análises numéricas é determinar funções desconhecidas, chama- das variáveis dependentes, que satisfaçam um dado conjunto de equações diferenciais em um domínio ou região e algumas condições de contorno na borda do domínio. Um domínio é uma coleção de pontos no espaço com propriedades que se P é um ponto no domínio, en- tão todos os pontos próximos a P pertencem ao mesmo domínio. Esta definição implica que um domínio consiste somente de pontos internos. Os símbolos Ω são utilizados para denotar um domínio arbitrário e Γ para determinar seu contorno. Γ (contorno) Ω (domínio) Figura 1.2 – Esquema de apresentação do domínio e seu contorno. Em matemática, no ramo de equações diferenciais, um problema de valor de contorno ou de fronteira é uma equação diferencial provida de um conjunto de restrições adicionais, as chamadas condições de contorno. Uma solução para um problema de valor de contorno é aquela que seja solução da equação diferencial e satisfaça as condições de contorno. Problemas de valor de contorno surgem em diversos ramos, assim como toda equação dife- rencial também o terá. Problemas envolvendo a equação de onda, bem como a determina- ção dos modos normais, são frequentementes classificados como problemas de valor de contorno. Um problema de valor de contorno deve ser bem determinado. Isto é, dado certas condições para o problema, haverá então solução única, que depende continuamente das condições citadas. A solução de qualquer equação diferencial dependente do tempo (transiente) requer a espe- cificação de condições na fronteira do sistema estudado (condições de contorno) e as con-
  11. 11. Profª Celme Torres 11 dições no início do processo físico (condição inicial). A definição precisa das condições de contorno e inicial é a parte mais importante para os processos de modelagem. Quando as variáveis dependentes são funções de uma variável independente (x), o domínio é um segmento de reta, dito, nesse caso, unidimensional, e os pontos limites são chamados pontos de contorno. Quando as variáveis dependentes são funções de duas variáveis inde- pendentes (x, y), o domínio é bidimensional, sendo dado por uma superfície ou área, ge- ralmente um plano. 2.1.1. Condições de contorno naturais As condições de contorno naturais se referem à derivada da função que está sendo analisa- da. No caso de escoamento corresponde aos valores de fluxo no contorno do domínio, assim como os pontos de perda ou ganho (poços, vazões, carga hidráulica). No caso de análise de estruturas as condições de contorno naturais representam as forças concentradas e distribu- ídas existentes no sistema físico analisado. 2.1.2. Condições de contorno geométricas As condições de contorno geométricas são os valores da função ao longo do contorno ou domínio. No caso de análise de estruturas correspondem aos apoios e as restrições do sis- tema.
  12. 12. Introdução aos Métodos Numéricos 12 3. Sistemas de Equações Diferenciais 3.1.1. Sistemas de Equações Diferenciais As equações diferenciais ordinárias simultâneas envolvem duas ou mais equações que con- tém derivadas de duas ou mais funções incógnitas de uma única variável independente. Se x, y e z são funções da variável t, então: 2 2 2 2 d x 4 5x y dt d y 2 3x y dt           e, 2 x ' 3x y' z' 5 x ' y' 2z' t x y' 6z' t 1              São exemplos de sistemas de equações diferenciais. Soluções de um Sistema Uma solução de um sistema de equações diferenciais é um conjunto de funções diferenciá- veis x f(t) , y g(t) , z h(t) , etc., que satisfaz cada equação do sistema em algum in- tervalo I. Os sistemas de equações diferenciais podem ser resolvidos por: (i) Método dos operadores, através da eliminação algébrica sistemática; (ii) Método da transformada de Laplace (iii) Método de autovetores e autovalores de matrizes Sistemas homogêneos Um sistema de equações diferenciais é um conjunto de n ED, com uma variável indepen- dente e n variáveis dependentes, que podem ser escritos da seguinte forma:       ' ' '1 1 1 2 n 1 2 n ' ' '2 2 1 2 n 1 2 n ' ' 'n n 1 2 n 1 2 n dy F y , y ,..., y , y , y ,..., y ,x dx dy F y , y ,..., y , y , y ,..., y ,x dx dy F y , y ,..., y , y , y ,..., y ,x dx    
  13. 13. Profª Celme Torres 13 onde F1, F2, ..., Fn são quaisquer funções de (2n+1) variáveis reais, que definem o sistema. O sistema de EDO lineares pode ser escrito numa forma simplificada, usando a notação vetorial, onde y é um vetor com n componentes, cada uma delas função de x, e F é um vetor com n componentes, funções de y, x e y’. Um caso especial na teoria de ED é quando o vetor de funções F, no sistema de equações tem a forma: onde A é uma matriz quadrada n x n de funções que dependem unicamente de x, f é um vetor com n componentes dependentes de x. Exemplo 3.1 1. Escreva em forma matricial os sistemas (a) 1 1 2 2 1 2 y ' x x y ' 4x x      Na forma vetorial, o sistema pode ser escrito como: O vetor f é nulo e a matriz A é igual a 1 1 A 4 1        dy dy F y,x, dx dt        F Ax f  1 1 2 2 y ' x1 1 y ' 4 1 x                Princípio da Superposição Seja 1 2 nx ,x ,...,x um conjunto de vetores solução de um sistema de EDO homogêneo em um intervalo I. Então a combinação linear 1 1 2 2 n nx c x c x ... c x    Onde, c1, c2 e cn são constantes arbitrárias, é também solução do sistema no intervalo.
  14. 14. Introdução aos Métodos Numéricos 14 (b) t t dx 3x 4y e sin 2t dt dy 5x 9y 4e cos2t dt              A forma matricial temos: t t x' 3 4 x e sin 2t y' 5 9 y 4e cos2t                           t t 3 4 e sin 2tdX X 5 9dt 4e cos2t                Onde, x X y        2. Verifique que 2t 1 2t e x e            e 6t 2 6t 3e x 5e          são soluções do sistema de EDO’s 1 3 X' X 5 3        , no intervalo ( , )  , onde x X y        . Temos que, 2t 1 2t 2e x ' 2e            2t 2t 2t 2t 1 12t 2t 2t 2t 1 3 2e e 3e 2e Ax x' 5 3 2e 5e 3e 2e                                               6t 2 6t 18e x ' 30e          6t 6t 6t 6t 2 26t 6t 6t 6t 1 3 3e 3e 15e 18e Ax x' 5 3 5e 15e 15e 30e                                     Logo, x1 e x2 são soluções da EDO. Sistemas não homogêneos Para sistemas não homogêneos, uma solução particular xp em um intervalo I é qualquer vetor, sem parâmetros arbitrários, cujos elementos são funções que satisfazem o sistema, dX A(t)X F(t) dt  
  15. 15. Profª Celme Torres 15 Exemplo 3.2 Verifique que o vetor p 3t 4 X 5t 6         é uma solução particular do sistema não-homogêneo 1 3 12t 11 X' X 5 3 3              , no internalo ( , )  . Solução Temos que, p 3 X' 5        p 1 3 12t 11 1 3 3t 4 12t 11 X 5 3 3 5 3 5t 6 3                                    12t 14 12t 11 3 2 3 5                        Logo, o vetor p 3t 4 X 5t 6         é solução particular do sistema homogêneo. 3.1.2. Conceito de autovalor e autovetor Dado o sistema: 8 2 1 14 2 11 3 35                  Teorema Seja 1 2 nx ,x ,...,x um conjunto de vetores solução de um sistema de EDO homogêneo em um intervalo I e seja Xp um vetor arbitrário solução do sistema não homogêneo no mesmo intervalo. Então a combinação linear 1 1 2 2 n n px c x c x ... c x X     É também uma solução do sistema não-homogêneo no intervalo, para quaisquer valores das constantes c1, c2 e cn . vetor de entrada vetor de saída
  16. 16. Introdução aos Métodos Numéricos 16 Tendo, O vetor de saída está na mesma direção e sentido que o vetor de entrada. Neste caso: Sendo  um escalar e v um vetor. Logo, v é chamado de AUTOVETOR de A e  um AUTOVALOR de A associado ao ve- tor v. Considere a matriz quadrada . Se  for um número complexo e v um vetor com- plexo não nulo de dimensões n, satisfazendo a identidade: 8 2 1 12 1 12 2 11 2 24 2                         Av v  n n A R   Av v  vetor de saídavetor de entrada vetor de saída vetor de entrada Teorema de Cayley-Hamilton Qualquer matriz quadrada satisfaz sua própria equação característica. Isto é, se e somen- te se, n n 1 2 n n 1 2 1 odet(A I) b b ... b b b            Então, n n 1 2 n n 1 2 1 ob A b A ... b A b A b I 0      
  17. 17. Profª Celme Torres 17 Então  é um autovalor de A e v é um autovetor de A associado ao autovalor de . Se A é uma matriz n x n sobre R e I é a matriz identidade de mesma ordem de A, defini- mos o polinômio característico de A como: f( ) det( I A)    Os autovalores de A podem ser obtidos a partir da existência de escalares  e vetores não- nulos v para os quais Av v  . Este sistema pode ser escrito como: Av Iv (A I)v 0     Sendo I é a matriz identidade. Para que a solução não seja nula, o determinante deve ser igual a zero (equação característica), logo: det( I A) 0   OBS: O número de autovalores é sempre igual a ordem da matriz. Exemplo 3.3 (1) Calcule o autovalor da EDO: 2y'' 6y' 4y 0   Pelo teorema de Cayley-Hamilton 2 1 2 2 6 4 0 logo, 2 1          (2) Calcule os autovalores e autovetores da matriz 3 4 A 1 7       Pelo teorema de Cayley-Hamilton 2 2 1 2 3 4 det(A I) ( 5) 0 1 7 5              Para encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor, fazemos:
  18. 18. Introdução aos Métodos Numéricos 18 1 2 1 2 1 2 (A I)k 0 (A 5I)k 0 k3 4 1 0 5 0 1 7 0 1 k 2k 4k 0 k 2k 0                        Por esse sistema temos que 1 2k 2k . Escolhendo a solução trivial 2k 1 , temos o úni- co autovetor do sistema, dada por: 1 2 K 1        3.1.3. Diagonalização de matrizes Seja C uma matriz qualquer a b C c d  Se multiplicarmos C por 1 0       a b 1 a C c d 0 c               1ª coluna de C Multiplicando C por 0 1       a b 0 b C c d 1 d               2ª coluna de C Suponha uma matriz A2 x 2 cujos autovetores e autovalores são: 1 1 2 2 v v     Se uma matriz E 2 x 2 é formada pelos autovetores de A e se, 1 a v c        e 2 b v d       
  19. 19. Profª Celme Torres 19 a b E c d  Considere a matriz resultante de 1 E AE , multiplicada por 1 0           1 1 a v c 1 E A E 0         . Temos, 1 1E Av Onde, 1 1 1Av v  1 1 1 1 1 1E v E v     Se, 1 1 E v 0        1 1 1 E v 0         Assim, 11 1 1E v 0           1ª coluna de 1 1E Av Do mesmo modo se multiplicarmos 1 E AE por 0 1       , obtemos a 2ª coluna de 1 1E Av Portanto, 11 2 0 E AE 0     , diagonaliza a matriz A. 3.1.4. Solução geral de sistemas homogêneos Seja 1 2 n, ,...,   n autovalores reais distintos de uma matriz de coeficientes A do sistema X' AX , onde x X y        , e sejam 1 2 nk ,k ,...,k os autovetores correspondentes. Então a solução geral do sistema no intervalo ( , )  é dada por: 1 2 nt t t 1 1 2 2 n nX c k e c k e ... c k e       Exemplo 3.4 Resolva dx 2x 3y dt dy 2x y dt         A equação característica é
  20. 20. Introdução aos Métodos Numéricos 20 22 3 det(A I) 3 4 0 2 1           Ao autovalores do sistema são: 1 1   e 2 4  Para 1 1   , temos para (A I)K 0  1 2 1 2 3k 3k 0 2k 2k 0      Resolvendo o sistema: 1 2k k  Quando 2k 1  , o autovetor correspondente é 1 1 k 1   Para 2 4  , temos para (A I)K 0  1 2 1 2 2k 3k 0 2k 3k 0       Resolvendo o sistema: 2 1 3k k 2  Quando 2k 2  , o autovetor correspondente é 2 3 k 2  Como a matriz A de coeficientes é uma matriz 2 x 2, achamos duas soluções linearmente independentes na forma: t 1 1 X e 1        e 4t 2 3 X e 2        A solução geral do sistema de EDO homogêneo é dada por: 1 2t t t 4t 1 1 2 2 1 2 1 3 X c k e c k e c e c e 1 2                   t 4t 1 2 t 4t 1 2 x(t) c e 3c e y(t) c e 2c e          3.1.5. Solução geral de sistemas não homogêneos Seja Xp uma solução do sistema não-homogêneo X' A(t)X F(t)  em um intervalo I, e denotemos por p 1 1 2 2 n nX c X c X ... c X    A solução geral no mesmo intervalo, do sistema homogêneo X' A(t)X correspondente. Define-se solução geral do sistema não-homogêneo no intervalo como c pX X X  .
  21. 21. Profª Celme Torres 21 Exemplo 3.5 Verificamos que o vetor p 3t 4 X 5t 6         é uma solução particular do sistema não- homo- gêneo 1 3 12t 11 X' X 5 3 3              , no internalo ( , )  . Para a parte homogênea da EDO temos dx 1x 3y dt dy 5x 3y dt         Resolvendo aplicando autovetor e autovalores de matriz, temos: 2t 1 1 X e 1        e 6t 2 3 X e 5        A solução não homogênea Xn é dada por  2t 6t n 1 3 X e e 1 5              A solução geral do sistema de EDO’s pela definição é n pX X X  , logo: 2t 6t1 3 3t 4 X e e 1 5 5t 6                         2t 6t 2t 6t x(t) e 3e 3t 4 y(t) e 5e 5t 6              Exercícios e Aplicações de sistemas de equações diferenciais (1) Encontre a solução geral dos sistemas de equações diferenciais a) dx x 2y dt dy 4x 3y dt         b) 0,1 0,075 1,5 Q' Q 0,1 0,2 3              c) dx 2x y dt dy 5x 4y dt          
  22. 22. Introdução aos Métodos Numéricos 22 d) 1 5 sin t X' X 1 1 2cost               (2) Sejam T1 = T1(t) e T2 = T2(t) as temperaturas, no instante t, nos ambientes 1 e 2, res- pectivamente. Admita que as temperaturas estejam variando nas seguintes taxas dT1 T1 4T2 dt dT2 2T1 3T2 dt         Suponha que T1(0) = 20 e T2(0) = 10. Determine as temperaturas, no instante t, nos ambientes 1 e 2. (3) O tanque A contém 50 litros de água que foram dissolvidos 25 gramas de sal. Um se- gundo tanque B, contém 50 litros de água pura. Bombeia-se o líquido para dentro e para fora dos tanques as taxas indicadas na figura. O sistema de equações diferenciais que des- creve o problema de tanques de mistura é 1 1 2 2 1 2 dx 2 1 x x dt 25 50 dx 2 2 x x dt 25 25          onde as condições iniciais são dadas por 1x (0) 25 e 2x (0) 0 . Aplicando autovetor e autovalor de matriz encontre a solução do sistema de equações diferenciais 3.1.6. Solução de sistemas lineares Vamos considerar a solução do sistema linear: usando o fato de que qualquer matriz quadrada pode ser expressa como um produto de uma matriz triangular infe- rior [L] e uma matriz triangular superior [U], temos: (3.1) Considerando n = 3, (3.2) [A]{x} {B} n n[A]  [A] [L][U] 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 a a a l 0 0 1 u u a a a l l 0 0 1 u a a a l l l 0 0 1                           
  23. 23. Profª Celme Torres 23 Resolvendo o sistema para as variáveis e teremos: (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Uma vez que decomposição da matriz A é feita, a resolução do sistema é feita da seguinte forma: (3.7) (3.8) Definindo um vetor [Z], como: (3.9) Portanto, (3.10) O sistema pode ser resolvido por substituição: onde, i = 1,..., n (3.11) Encontrados os valores de {Z} podemos calcular {X} usando: (3.12) Ou, (3.13) A solução é dada então por: ijl iju 11 11l a 21 21l a 31 31l a 12 12 11 a u l  22 22 21 12l a l u  32 32 31 12l a l u  j 1 ij ij ik kj k 1 i 1 ij ij ik kj k 1ii l a l u se i j 1 u a l u se i j l                  [A]{X} {B} [L][U]{X} {B} [U]{X} {Z} [L]{Z} {B} i 1 i ik k k 1 i ii b l z z l      [U]{X} {Z} 1 12 2 13 3 1n n 1 2 23 3 2n n 2 3 3n n 3 n n x u x u x ... u x z x u x ... u x z x ... u x z x z             
  24. 24. Introdução aos Métodos Numéricos 24 (3.14) A solução de sistemas lineares pode ser resolvida também pelo Método de Gauss. Exemplo 3.6 Seja o sistema: Para eliminar x1 da segunda linha, basta multiplicar a primeira linha por 5/10 , isto é, por a21/a11 , o que torna o coeficiente de x1 na primeira linha igual ao de x1 na segunda linha. Em seguida basta subtrair a primeira linha modificada da segunda, o que zerará o coefi- ciente de x1, eliminando-o da segunda equação. Repetir essa operação para a terceira linha, multiplicando a primeira por a31/a11 , antes de subtraí-la da terceira. O mesmo para a quarta linha, quinta linha etc... Na enésima linha multiplica-se a primeira por an1/a11 e subtrai-se da enésima, eliminando- se, dessa linha, a variável x1. O mesmo raciocínio é repetido para a variável x2 da terceira equação em diante, para a variável x3 da quarta em diante, até que a penúltima variável, xn-1 seja eliminada da última equação. Nesse momento o sistema estará triangularizado. A partir desse ponto começa a segunda fase, “backward”, quando se calcula, na última equação, a última variável, xn ; leva-se xn à penúltima equação e se calcula a penúltima variável, xn-1 ; leva-se xn e xn-1 à antepenúltima equação e se calcula a antepenúltima vari- ável, xn-2 , etc... até ser calculada a primeira variável na primeira equação. Sendo Li a linha i , a eliminação da variável xj dessa linha se dará pela operação: Nova Li = Li – aij/ajj . Lj , variando-se j de 1 a n-1 e i de j+1 até n. No sistema apresentado: n 1 i i i,k 1 k 1 k 1 x z u x        1 2 3 1 2 3 1 2 3 10x 5x 3x 17 5x 8x 2x 19 2x 3x 8x 0            1 2 3 1 2 3 1 2 3 10x 5x 3x 17 5x 8x 2x 19 2x 3x 8x 0           
  25. 25. Profª Celme Torres 25 Observe que após eliminarmos x1 da segunda à última equação, esquecendo-se de L1, fica- se com um sistema de 2 equações a 2 incógnitas, isto é, diminuiu-se de 1 a ordem do sis- tema anterior; no caso passamos a ter um sistema de duas equações a duas incógnitas. Para se eliminar x2 da terceira equação, trabalha-se da mesma maneira: Tem-se agora um sistema de 1 equação a 1 incógnita. O sistema completo fica sendo: O sistema está triangularizado e começa, nesse momento, a segunda parte, a solução propriamente dita do sistema. 2 2 1L L 5/10L  2 1 2 3L 0x (8 2,5)x (2 1,5)x 19 8,5       2 1 2 3L 0x 5,5x 0,5x 10,5    3 1 2 3L 0x 2,0x 7,4x 3,4     2 3 2 3 5,5x 0,5x 10,5 2,0x 7,4x 3,4       3 3 2L L 2,0/5,5L  3 2 3L 0x (7,4 0,182)x 3,4 3,818      37,218x 7,218  1 2 3 1 2 3 1 2 3 10x 5x 3x 17 0x 5,5x 0,5x 10,5 0x 0x 7,218x 7,218            
  26. 26. Introdução aos Métodos Numéricos 26 Solução: Algumas Considerações:  Numa dada matriz, quando se subtrai de uma linha outra linha multiplicada por uma constante, o determinante da matriz não se altera. Como no processo de eliminação, o que se fez foi sempre subtrair de uma linha outra linha multiplicada por uma cons- tante, conclui-se que ao ser triangularizada, a matriz original manteve constante o valor do determinante.   O determinante de matriz triangular é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. Dessa maneira, o determinante da matriz original, antes de ser triangulari- zada pelo método de Eliminação de Gauss, será dado pelo produto dos elementos da diagonal principal da matriz triangular resultante.  No processo de eliminação da variável xj da linha i, faz-se a transformação ij i j jj a L L a  . No caso de ajj ser zero, deve-se renumerar as linhas para se conseguir ajj diferente de zero.  Na verdade, o ideal seria conseguir uma linha j tal que, além de ter ajj diferente de zero, tivesse esse elemento com o maior módulo possível e os demais elementos da linha j o menor possível para que alterasse o mínimo a linha i, da expressão ij i j jj a L L a  . Dessa maneira diminuem os erros propagados de uma linha para outra no processo de eliminação. Levar em conta a escolha adequada da linha que será a linha j, para minimizar a propagação dos erros aumentando a precisão do método, é a chamada Condensação Pivotal. 3 2 1 x 1,0 x (10,5 0,5( 1,0))/5,5 2,0 x (17 5.2,0 3.( 1,0))/10 1,0            1x 1,0 2x 2,0 3x 1,0 
  27. 27. Profª Celme Torres 27 Exercícios Resolva os sistemas abaixo aplicando o método de Gauss a) b) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2x 6x x 7 x 2x x 1 5x 7x 4x 9             x 3y 2z 7 4x y 3z 5 2x 5y 7z 19            
  28. 28. Introdução aos Métodos Numéricos 28 4. Métodos dos Resíduos Ponderados São métodos de aproximação utilizados para resolver equações diferenciais. Estes métodos têm diversos procedimentos, dentre os quais se destacam o Método de Galerkin, o Método da Colocação, o Método do Subdomínio e o Método dos Mínimos Quadrados. A solução aproximada, para o caso de problemas unidimensionais, é do tipo: (4.1) Onde são as funções que satisfazem as condições de contorno do problema e são coeficientes que serão determinados a partir da imposição de que o erro resultante do uso desta solução aproximada seja mínimo. A seguir essa solução é substituída diretamente na equação diferencial. Como a solução aproximada não satisfaz a equação, haverá como resultado da substituição um erro ou resíduo . Esse erro é então multiplicado por uma função ponderadora e a integral desse pro- duto é igualada a zero: (4.2) Onde D é o domínio do problema e o número de funções ponderadoras é igual ao número de coeficientes desconhecidos . Os métodos dos resíduos ponderados mais conhecidos são o método de colocação pontual, método dos subdomínios, método dos mínimos quadrados e método de Galerkin. Veremos a seguir cada um deles. n n i i i 1 h (x) a N (x)    iN (x) ia nh (x) R(x) iW (x) i D W (x)R(x)dx 0  iW (x) ia
  29. 29. Profª Celme Torres 29 4.1.1. Método de colocação pontual Para este método, as funções ponderadoras são funções ponderadoras do tipo de Delta-Dirac . Uma das propriedades da função Delta-Dirac é: (4.3) Sendo assim, se a função aproximada tem n coeficientes , então: (4.4) Portanto, (4.5) Ou ainda, (4.6) Expandindo a expressão acima teremos: (4.7) iW (x)  ix x   i if(x) x x dx f(x )    ia  1 2 nR R x,a ,a ,...,a  i 1 2 n D W (x)R x,a ,a ,...,a dx 0     i 1 2 n D x x R x,a ,a ,...,a dx 0            1 1 2 n 2 1 2 n 3 1 2 n n 1 2 n R x ,a ,a ,...,a 0 R x ,a ,a ,...,a 0 R x ,a ,a ,...,a 0 R x ,a ,a ,...,a 0     
  30. 30. Introdução aos Métodos Numéricos 30 Em outras palavras, este método impõe que o resíduo seja zero em determinados pontos do domínio . O número de pontos n é o mesmo número de coeficientes da solu- ção aproximada. Exemplo 4.1 Vamos considerar nossa já conhecida equação diferencial: Sujeita as condições de contorno e Uma solução aproximada para esta equação pode ser: Observe que satisfaz as condições de contorno no problema. Usando o método de colocação pontual, nos vamos resolver o problema de forma que o resíduo R(x) seja zero para , assim: Logo, Impondo a condição de R(x) = 0 Deste modo,  1 2 nx ,x ,...,x 2 2 2 d h 10x 0 dx   0 x 1  h(0) 0 h(1) 0  1 1h (x) a x 1 x  1h (x) 1x 0,5 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 12 d h 10x R(x) dx h a x(1 x) a x a x dh a 2a x dx d h 2a dx           2 1 1R(x,a ) 2a 10x   1 2 1 1 R(x,a ) 0 2a 10x 0 a 1,25       1h (x) 1,25x 1 x 
  31. 31. Profª Celme Torres 31 Exemplo 4.2 Considerando a mesma equação diferencial, com o objetivo de verificar o acréscimo de precisão da solução ao se aumentar o número de termos da função de aproximação, va- mos agora considerar uma solução aproximada do tipo: Assim, Logo, Simplificando, Como agora existem temos dois coeficientes a determinar, vamos impor que em dois pontos do domínio do problema. Podemos escolher esses pontos aleatoriamente. Escolhendo e , temos: Resolvendo o sistema acima para a1 e a2, Assim ,    2 2 1 2h (x) a x 1 x a x 1 x        2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 22 d h 10x R(x) dx h a x 1 x a x 1 x a x a x a x a x dh a 2a x 2a x 3a x dx d h 2a 2a 6a x dx                   2 1 2 1 2 2R(x,a ,a ) 2a 2a 6a x 10x     2 1 2 1 2 2R(x,a ,a ) a a 3a x 5x     1 2R(x,a ,a ) 0 1x 0,3 2x 0,6 2 1 2 2 2 1 2 2 a a 3a (0,3) 5(0,3) 0 a a 3a (0,6) 5(0,6) 0           1 2 a 0,6 a 1,5      2 2h (x) 0,6x 1 x 1,5x 1 x   
  32. 32. Introdução aos Métodos Numéricos 32 Comparação gráfica entre e e a solução exata. Figura 5.2 – Comparação gráfica entre as soluções encontradas utilizando o Método de Colocação Pontual e a solução exata. 4.1.2. Método dos subdomínios Neste caso, todas as funções ponderadoras são a unidade . Isto equivale a reque- rer que a integral do resíduo desapareça em determinados intervalos do domínio. O número desses intervalos é igual ao número de coeficientes indeterminados da solução aproximada. Vamos aplicar esse método à equação diferencial dos exemplos anteriores. Exemplo 4.3 Vamos considerar nossa já conhecida equação diferencial: Sujeita as condições de contorno 1h (x) 2h (x) 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Solução h1 Solução h2 Solução Exata iW (x) 1 2 2 2 d h 10x 0 dx   0 x 1 
  33. 33. Profª Celme Torres 33 e Considerando a solução aproximada, Como há apenas um coeficiente a ser determinado, o intervalo de integração será o pró- prio domínio do problema . Vimos que, Assim, Portanto, No caso de escolhermos uma função do tipo: Vimos que, Como agora existem dois coeficientes a serem determinados, usaremos dois intervalos e . h(0) 0 h(1) 0  1 1h (x) a x 1 x  0 x 1  2 1 1R(x,a ) 2a 10x   1 1 0 R(x,a )dx 0 1 3 1 0 10 2a x x 0 3    1 5 a 3   1 5 h (x) x 1 x 3      2 2 1 2h (x) a x 1 x a x 1 x    2 1 2 1 2 2R(x,a ,a ) 2a 2a 6a x 10x     0 x 0,5  0,5 x 1,0  0,5 1 2 0 1,0 1 2 0,5 R(x,a ,a )dx 0 R(x,a ,a )dx 0    
  34. 34. Introdução aos Métodos Numéricos 34 O que dá origem ao seguinte sistema de equações: Resolvendo o sistema, temos: e Assim, Comparação gráfica entre e e a solução exata utilizando o método dos subdomínios. Figura 5.3 – Comparação gráfica entre as soluções encontradas utilizando o Método dos Subdomínios e a solução exata. 4.1.3. Método dos mínimos quadrados Este método requer que a integral do quadrado do resíduo seja minimizado. A integral do quadrado do resíduo é dada por: (4.8) 1 2 1 2 a 0,25a 0,4167 a 1,25a 2,917         1 5 a 6  2 5 a 3     2 2 5 5 h (x) x 1 x x 1 x 6 3     1h (x) 2h (x) 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Solução h1 Solução h2 Solução Exata   2 1 2 n D Q R(x,a ,a ,...,a ) dx 
  35. 35. Profª Celme Torres 35 Minimizando essa integral, temos: (4.9) Ou, (4.10) Ou seja, por esse método, as funções ponderadoras são: (4.11)   2 1 2 n D 1 1 R(x,a ,a ,...,a ) dx Q 0 a a            2 1 2 n D 2 2 2 1 2 n D n n R(x,a ,a ,...,a ) dx Q 0 a a R(x,a ,a ,...,a ) dx Q 0 a a                2 1D R dx 0 a     1D R Rdx 0 a    2 2D R dx 0 a     2D R Rdx 0 a    2 nD R dx 0 a      nD R Rdx 0 a     1 1 2 2 n n R W (x) a R W (x) a R W (x) a          
  36. 36. Introdução aos Métodos Numéricos 36 Exemplo 4.4 Aplicando o método dos mínimos quadrados a nossa já conhecida equação diferencial: Sujeita as condições de contorno e Usado a função aproximada, Vimos que, Logo, Portanto, Que é o mesmo resultado obtido usando o método dos subdomínios. Desta forma, se usar- mos uma função de aproximação com dois coeficientes, obteremos o mesmo resultado do método dos subdomínios. É importante ressaltar que essa igualdade dos resultados entre os métodos acontece para a equação diferencial usada nos problemas e não se estende genericamente para qualquer tipo de equação diferencial. 4.1.4. Método de Galerkin Neste método, as funções ponderadoras são iguais as funções de aproximação . Assim, 2 2 2 d h 10x 0 dx   0 x 1  h(0) 0 h(1) 0  1 1h (x) a x 1 x  2 1 1R(x,a ) 2a 10x   1 1 R W (x) 2 a      1 1 2 1 10 0 R Rdx a 5x dx 0 a       1 5 a 3  iW (x) iN (x)
  37. 37. Profª Celme Torres 37 (4.12) Sendo, o conjunto , com . Podendo o mesmo ser escrito ma forma: (4.13) Exemplo 4.5 Vamos aplicar o método de Galerkin para resolver a equação diferencial: Sujeita as condições de contorno e Usado como função de aproximação, Vimos que, e, Portanto, Logo, Usando agora uma função de aproximação com dois coeficientes, temos: E repetindo o mesmo procedimento, teremos: e, i i D D W (x)R(x)dx N (x)R(x)dx 0     1 2 n[N] N ,N ,...,N i D N (x)R(x)dx 0  i 1,2,...,n  T D N R(x)dx 0  2 2 2 d h 10x 0 dx   0 x 1  h(0) 0 h(1) 0  1 1h (x) a x 1 x  1N (x) x(1 x)  2 1R(x) 2a 10x   1 2 1 0 x(1 x)( 2a 10x )dx 0    1 3 a 2     2 2 1 2h (x) a x 1 x a x 1 x    1 3 a 2  2 5 a 3 
  38. 38. Introdução aos Métodos Numéricos 38 4.1.5. Exercícios (1) Aplique o método de colocação pontual e o método dos mínimos quadrados para encontrar a solução aproximada da equação diferencial no intervalo de 0 x 20  . Utilize um programa gráfico (Maple ou Excel) para representar graficamente as soluções indicando qual mais se aproxima da solução exata da EDO. y'' 0,25x 0  y(0) 2 e y'(0) 2 (2) Aplique o método de Galerkin e o método dos subdomínios utilizando dois coeficientes para encontrar a solução aproximada das equações diferenciais no intervalo de 0 x 1  . Utilize um programa gráfico (Maple ou Excel) para representar graficamente as soluções indicando qual mais se aproxima da solução exata da EDO. 2 2 d y dy 2x dx dx   y(0) 1 e y'(0) 3 (3) Encontre a solução aproximada da equação diferencial no intervalo indicando utilizando os métodos dos resíduos ponderados, colocação pontual, mínimos quadrados, subdomínios e o método de Galerkin. Represente graficamente as soluções aproximadas comparando com a solução exata da EDO. (a) 2 16y'' 8y' 0,150x   0 x 10  y(0) 2  e y'(0) 1 (b) t y'' 3y' 4y 2e    0 x 1  y(0) 1 e y'(0) 0 (c) 2 2 d y 4y 3sin 2t dt   0 x 2  y(0) 2  e y'(0) 1  (4) Considere a equação diferencial que rege a distribuição da temperatura T(x), em uma barra trocando calor com o ambiente, cuja temperatura é de 25ºC. Sujeita as condições de contorno: T(0) 150 dT (2) 0 dx     Proponha uma solução com um termo e outra com dois termos e ache os valores dos coefi- cientes dessas soluções usando o método de colocação pontual, o método dos subdomínios, dos mínimos quadrados e o método de Galerkin. Compare a graficamente a solução com dois termos de cada método com a solução analíti- ca e determine qual método mais preciso, neste caso. 2 2 d T 3(T 25) 0 dx    0 x 2 
  39. 39. Profª Celme Torres 39 5. Introdução aos Métodos Variacionais A análise de problemas de engenharia envolve o isolamento de um elemento diferencial da região ou domínio onde o fenômeno está ocorrendo. MODELO MATEMÁTICO RESULTANTE  EQUAÇÃO DIFERENCIAL Tipos de solução de uma Equação Diferencial 1. Solução analítica ou Exata 2. Solução aproximada ou solução numérica. A solução analítica é a ideal, pois ela se constitui de uma expressão (equação) que satisfaz a equação diferencial e suas condições de contorno, portanto para obtermos o valor exato da variável dependente da equação diferencial em qualquer ponto do domínio do problema, basta substituirmos as coordenadas desse ponto na equação solução. 5.1.1. Cálculo variacional O cálculo variacional é uma parte da análise matemática que trata de problemas de máxi- mos e mínimos de tipos especiais de funções, chamadas FUNCIONAIS. Vários são os motivos que tornam convenientes o estudo do cálculo variacional. O princi- pal deles é que este se constitui em uma alternativa que permite definir com mais clareza os conceitos básicos que correspondem a problemas de engenharia governados por siste- mas de equações diferenciais. O cálculo variacional é especialmente aplicável a problemas de mecânica dos meios contí- nuos. Através do uso de princípios de energia, é possível formular os problemas na forma variacional. 5.1.2. Máximo e mínimo de funções Suponha a seguinte função apresentada no gráfico.
  40. 40. Introdução aos Métodos Numéricos 40 O domínio de F(x) é a bx x x  . A relação funcional implica que, para cada valor da va- riável x, um único valor será obtido para a função F(x), dentro do domínio. O menor valor de F(x) dentro do domínio é o mínimo absoluto da função F(xa) e o máxi- mo absoluto é dado por F(xb). Além disso, podem existir valores mínimos e máximos rela- tivos. Por exemplo; a função F(x) terá mínimo relativo ou um máximo relativo, para um certo valor da variável independente x, quando todos os valores de F(x) na vizinhança infinite- simal de x: x x  , com x tão pequeno quanto se queira, seja maior ou menor, respecti- vamente, que F(x). Para estudar as condições que determinam os valores extremos relati- vos, é conveniente expandir F(x) em uma Série de Taylor em torno de x. 2 3 2 3 2 3 x dF 1 d F 1 d F F(x x) F(x) x x x ... dx 2! 3!dx dx           (4.1) O incremento F será dado por: 2 3 2 3 2 3 x dF 1 d F 1 d F F(x x) F(x) x x x ... dx 2! 3!dx dx           (4.2) Observe que haverá um mínimo relativo quando:  F(x) é sempre menor que F(x x)  , não interessando o valor de x , para F 0   F positivo;  Para F 0   F negativo  máximo relativo. F(x) x xbx2x1xa
  41. 41. Profª Celme Torres 41 Como x é infinitamente pequeno, x é sempre maior que 2 x e que 3 x e assim su- cessivamente. Portanto,  Se x dF 0 dx  , o sinal de F será indefinido, pois depende do sinal de x ;  Se x dF 0 dx  , não teremos ponto de mínimo e de máximo. Então, para se garantir que a função terá pontos de mínimo e de máximo relativo a primei- ra derivada obrigatoriamente será zero  x dF 0 dx  . Os pontos que satisfazem essa condição são chamados de pontos estacionários. Neste ca- so, como 2 x é sempre positivo, a característica de um ponto estacionário dependerá do sinal da 2ª derivada de F(x): 2 2 x d F dx .  Se 2 2 x d F 0 dx   mínimo relativo  Se 2 2 x d F 0 dx   máximo relativo Se a derivada segunda for nula, haverá um ponto neutro. Neste caso, devem ser analisados os sinais das derivadas de ordem superior, para se determinar a natureza do ponto estacio- nário. Se todas as derivadas até a ordem n 1 forem nulas, a natureza do ponto estacioná- rio dependerá do sinal da enésima derivada. Se n for par, será aplicado para o último termo da Série de Taylor o mesmo critério que se usa para a 2ª derivada. Se n for impar, o termo n n n x 1 d F x n! dx  , vaiará com o sinal de x e não se terá um máximo ou mínimo relativo, e sim um ponto indefinido.
  42. 42. Introdução aos Métodos Numéricos 42 No caso da 2ª derivada ser nula, tais pontos são denominados de pontos de sela ou pontos de inflexão. Uma análise prévia pode ser estendida a funções de mais de uma variável independente. Por exemplo, funções do tipo: F(x,y), com duas variáveis independentes. Ao se expandir esta função em uma Série de Taylor, temos: 2 2 2 2 2 2 2 x,y x,y x,y x,y x,y F F(x x, y y) F(x, y) F F 1 F F F F x y x 2 x y y ... x x 2! x yx y                               (4.4) Como visto anteriormente, haverá um ponto estacionário quando: x,y x,y F F 0 x y       E a característica do ponto estacionário será determinada, na forma:   2 2 2 2 2 2 x,y x,y2 2 2 2 2 2 2x,y x,y x,y 2 x,y x,y F F x yx xF F F x 2 x y y x y yx yx y F F y x y y                                        (4.5) A fórmula acima é quadrática e o sinal depende da natureza da matriz das derivadas de 2ª ordem, assim:  Quando a matriz é positiva definida, com autovalores positivos, tem-se um ponto de mínimo.  Quando a matriz é negativa definida, com autovalores negativos, tem-se um ponto de máximo. Exemplo 5.1 Considere a função 3 23 f(x) x x 6x 2    Os pontos estacionários dessa função são dados por:
  43. 43. Profª Celme Torres 43 2df 3x 3x 6 0 dx     A qual será definida para 1 2 x 1 x 2     Ao se verificar a segunda derivada : 2 2 d f 6x 3 0 dx    Pode verificar que f(1) é um ponto de mínimo relativo e f(-2) é um ponto de máximo relati- vo. Exemplo 5.2 Considere a função 2 2 f(x,y) x 2xy 4y 2x 8y     Haverá um ponto estacionário quando: f 2x 2y 2 0 x f 2x 8y 8 0 y             Reescrevendo temos: 2x 2 2 2x 8y 8       A matriz da 2ª derivada é dada por: 2 2 2 2 2 2 F F x y 2 2x 2 0F F x y y                       Cujos autovalores são positivos  ponto estacionário é um ponto de mínimo. 5.1.3. Funcional A seção anterior tratava de determinar pontos estacionários de funções. O problema do cál- culo variacional também se refere à determinação de pontos estacionários, mas definidos para funções especiais, chamadas funcionais.
  44. 44. Introdução aos Métodos Numéricos 44 Por exemplo, seja a seguinte função: f(x,y,z,...) Ao se dar valores às variáveis independentes, um valor numérico é obtido para a função f. Determina-se assim, um grupo de valores de x, y, z, ..., para o qual define-se um ponto es- tacionário para f. O FUNCIONAL é um tipo especial de função, no qual as variáveis independentes não são simples números, mas funções desconhecidas. Ou seja, um funcional é um grupo (ou uma função) que depende de outras funções. Funcionais são chamados de F ou . 1 2 2 0 1 x xx 0 3df 8d f F (2f )dx dx dx F G(g,g ,g ,x)dx       Onde, x df f dx  e 2 xx 2 d f g dx  Tanto F quanto G são considerados FUNCIONAIS. Quando se adota diferentes valores para as funções desconhecidas f, se obtém diferentes valores para os funcionais. Em geral um funcional pode depender de várias funções, as quais podem depender de uma ou mais variáveis independentes. 5.1.4. Funcional de uma função Considere o funcional no domínio a bx x x  b a x x x F G(g,g ,x)dx  Condições de contorno para g: a a b b g(x ) g g(x ) g  
  45. 45. Profª Celme Torres 45 Considere agora que g é uma função que faz o funcional F ser estacionário. Definindo um grupo de funções: g( ,x) g(x) (x)   onde,  é um escalar infinitesimal e (x) é uma função conhecida com as seguintes condi- ções: a b (x ) 0 (x ) 0     Podendo escrever então: f g g  onde, g (x)   Sendo  o símbolo variacional e significa a 1ª variação de g. No cálculo variacional α corresponde a x da Série de Taylor. Dessa forma, o funcional é dado por: b a x x xx G G F g g dx g g              (4.6) 5.1.5. Propriedades de um Funcional: d( f) (df)   (f g) f g     xa xb 𝑛(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑛(𝑥) 𝛼𝑛(𝑥)
  46. 46. Introdução aos Métodos Numéricos 46 (f.g) f g fg    2 f f g fg g g          n n 1 (f ) nf f    Pretende-se agora determinar as condições para que o funcional  seja estacionário através do estudo da variação de f f  . Isto é semelhante ao caso de funções onde a existência de um ponto estacionário é determinada para um certo valor de x através do estudo variacio- nal de f(x) no ambiente x x  . Se considerarmos, b a x x x x (g) F(f ,f ,x)dx      (4.8) Onde f e  são conhecidos, portanto o funcional  só depende de α. Expandindo  em torno de f através de uma Série de Taylor, temos: 2 3 2 3 2 3 0 0 0 d 1 d 1 d (g) (f) ... d 2! 3!d d                   (4.9) 2 3 2 3 2 3 0 0 0 d 1 d 1 d (g) (f) ... d 2! 3!d d                    (4.10) Dessa forma é possível definir a variação do funcional , de acordo com a ordem da equa- ção diferencial:  1ª ordem  0 d d        2ª ordem  2 2 2 2 0 d d       
  47. 47. Profª Celme Torres 47  3ª ordem  3 3 3 3 0 d d        A equação para variacional total  pode ser escrita na forma: 2 31 1 ... 2! 3!           (4.11) De maneira semelhante aos caso de funções, a natureza de ponto estacionário, isto é, se é um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão, dependerá do sinal da derivada de 2ª ordem. 5.1.6. Determinação do Funcional - Equação de Euler Considere uma integral da forma: (4.12) Com, (4.13) Onde o integrando é uma dada função de x, h e hx. Tanto I(h) como F são chamados de funcional. A palavra funcional significa função de funções. Considere o funcional . Uma mudança de em h, onde é uma constante e w é uma função, é chamada de variação de h e é denominada: (4.14) Onde é chamado de símbolo variacional. A primeira variação de F em h é definida por: (4.15) b x a I(h) F(x,h,h )dx  h h(x) x dh h dx  xF(x,h,h ) xF(x,h,h ) w  h w    x x F F F h h h h         
  48. 48. Introdução aos Métodos Numéricos 48 O símbolo age como um operador diferencial com respeito às variáveis dependentes, com a seguinte propriedade: (4.16) Considere agora o problema de se determinar o mínimo do funcional: (4.17) A condição necessária para minimizar esse funcional é que a primeira variação de I deve ser zero, ou: (4.18) Usando a condição para o funcional ser estacionário, temos: (4.19) Podemos ainda escrever: (4.20) Assim, (4.21) Usando integral por partes ( ) com, e (4.22)  b b a a dh d( h) dx dx h(x)dx h(x)dx             b x a I(h) F(x,h,h )dx  b x a I F(x,h,h )dx 0     b x x a F F I h h dx 0 h h              x dh d( h) h dx dx      b x a F F d( h) I h dx 0 h h dx              udv uv vdu    v h  x F u h    b b x x a a F d F F I h h dx h h dx h h                          
  49. 49. Profª Celme Torres 49 (4.23) O que só pode ser verdade para qualquer variação de se: (4.24) com, Essa expressão é gerada pela condição de contorno do problema. Este resultado é uma equação diferencial com h e hx como pseudovariáveis independentes. A equação 4.24 é chamada de Equação de Euler ou Euler-Lagrange. É importante salientar que, a função h(x) que minimiza o funcional I é a mesma função que satisfaz a equação diferencial de Euler. Exemplo 5.3 Determine o funcional da equação diferencial: Sujeita as condições de contorno e Como h é uma constante nos extremos do intervalo , a variação de é zero nestes pontos. Este tipo de condição de contorno é denominada essencial ou geométrica. Neste caso, b b x x a a F d F F I h dx h 0 h dx h h                           h x F d F 0 h dx h          b x a F 0 h    2 2 2 d h 10x 0 dx   h(0) 0 h(1) 0 0 x 1  h 1 x 0 F h 0 h       
  50. 50. Introdução aos Métodos Numéricos 50 Determinação do funcional F usando a equação de Euler: Assim, usando a equação (10), temos: Integrando a 2ª integral por partes e considerando e , temos: (E.1) Analisando novamente a 2ª integral da expressão acima, usando d( h) (dh)   , a seguinte identidade é considerada: Se, na equação (E.1) assumirmos que, , teremos: Como a variação de x2 é zero, e usando , temos: Portanto, o funcional F associado à equação diferencial do problema é: 2 2 2 2 F d F d h d dh 10x 10x h dx x dx dxdx                   1 2 0 1 1 2 0 0 d dh I 10x hdx 0 dx dx d dh I 10x hdx hdx 0 dx dx                           u h  dh v dx   1 11 2 0 0 0 d hdh dh I 10x hdx h dx 0 dx dx dx             1 1 1 2 0 0 0 d hdh dh dh 1 dh I dx dx dx dx dx dx dx 2 dx               1 0 dh h 0 dx   1 2 2 0 1 dh I 10x h dx 2 dx                b b a a Fdx Fdx     1 2 2 0 1 dh I 10x h dx 2 dx              
  51. 51. Profª Celme Torres 51 É bom enfatizar que a função h(x) que minimiza o funcional acima é também a solução da ED que rege o problema. O funcional acima é chamado de forma variacional ou forma fraca da ED. Lembrando que I não é uma solução, apenas o funcional da ED. 5.1.7. Exercícios (1) Determine o funcional associado às equações diferenciais sujeita as condições de con- torno apresentadas. a) sendo, x x h(0) 0 h(5) 100 h (0) 1 h (5) 0      b) 2 2 2 2 d f 9f 5x dx   onde, 0 x 5  sendo, f(0) 9 e f(5) 0 c) 3 3 d f 5f 0 dx   onde, 0 x 4  sendo, df(0) 0 dx  e f(4) 0 (2) Determine a equação de Euler associada ao funcional Sabendo que: 1 2 2 0 1 dh I 10x h dx 2 dx             4 2 4 2 d h d h 8 4h 10 dx dx    0 x 5  b x xx a I F(x,h,h ,h )dx 0   b x xx a F d F h 0 h dx h             
  52. 52. Introdução aos Métodos Numéricos 52 b x x a F h 0 h       
  53. 53. Profª Celme Torres 53 6. Métodos Variacionais 6.1.1. Método de Ritz O primeiro passo do método de Ritz é assumir uma solução aproximada para a equação diferencial na forma de uma série finita: (6.1) Onde as constantes ai são chamadas coeficientes de Ritz e as funções Ni(x) são conhecidas como funções de aproximação. Como hn é uma solução da equação diferencial, hn deve satisfazer as condições de contorno essenciais. Qualquer condição de contorno natural já está incluída na formulação variacio- nal. O passo seguinte no Método de Ritz usa o princípio de que a função que minimiza o funcional também é a solução da equação diferencial associada ao funcional, assim como: (6.2) Após a substituição de em , este funcional se torna função dos parâmetros ou e a condição necessária para minimizar I será: (6.3) n n i i i 1 h a N (x)    h(x) I(x) n n i i i 1 h a N (x)    nh I(h) 1 2 na ,a ,...,a 1 2 nI(a ,a ,...,a ) 1 2 n I 0 a I 0 a I 0 a         
  54. 54. Introdução aos Métodos Numéricos 54 O que resultará em um sistema de n equações com n coeficientes a determinar . Uma vez conhecidos os valores desses coeficientes (conhecidos como coeficientes de Ritz), então a solução aproximada será conhecida. Exemplo 6.1 Considere a equação diferencial: Sujeita as condições de contorno e Como vimos o funcional associado a essa equação diferencial é: Usando o método de Ritz, vamos assumir a seguinte solução aproximada: Observe que h1 satisfaz as condições essenciais e de contorno, portanto: i(a ,i 1,2,...,n) nh 2 2 2 d h 10x 0 dx   0 x 1  h(0) 0 h(1) 0 1 2 2 0 1 dh I 10x h dx 2 dx             1 1h a x(1 x)  1 1 2 1 1 1 1 h a x(1 x) h a (1x x ) dh a (1 2x) dx      
  55. 55. Profª Celme Torres 55 Logo, Dessa forma: Minimizando então I: Portanto, Vamos agora usar a seguinte a solução aproximada: Usando os dois resultados acima, obtemos: Minimizando agora I com respeito a e obteremos o seguinte sistema de equações: 2 2 21 1 1 dh a1 a (1 2x) 2 dx 2            1 2 23 4 1 1 0 a I 10a x x 1 2x dx 2            1 14 5 2 2 3 1 1 0 0 2 1 1 x x 4 I 10a a x 2x x 4 5 3 a a I 2 6        1 I 0 a    1a1 0 2 3   1 3 a 2    1 3 h x 1 x 2   2 2 1 2 22 1 2 h a x(1 x) a x (1 x) dh a (1 2x) a (2x 3x ) dx         2 2 1 1 2 1 2 2a a a a a a I 6 2 3 6 15       1a 2a
  56. 56. Introdução aos Métodos Numéricos 56 Resolvendo o sistema acima para e , obtemos: e, Dessa forma, A seguir faremos uma comparação gráfica, usando o Maple, entre e e a so- lução exata: Figura 6.1 – Comparação gráfica entre as soluções encontradas utilizando o Método de Ritz e a solução exata. Verificamos que a função aproximada encontrada ao se usar o Método de Ritz através do método variacional coincidiu com a solução obtida aplicando o Método de Galerkin. Tal fato não foi uma coincidência. Considerando a equação resultante da minimização do fun- cional I, 1 2 1 1 2 2 a aI 1 0 a 2 3 6 a 2aI 1 0 a 3 6 15             1a 2a 1 3 a 2  2 5 a 3     2 2 2 5 h x 1 x x 1 x 3 3     1h (x) 2h (x)  410 h(x) x x 12   0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Solução h1 Solução h2 Solução Exata
  57. 57. Profª Celme Torres 57 Usando a solução aproximada, Onde, e, Neste caso, como as funções de aproximação são invariáveis, Substituindo a expressão acima na equação do funcional, temos: Como, não depende de x, Considerando que, é a equação diferencial associada ao funcional I, e que a solução aproximada foi usada, Teremos, Para a expressão acima ser verdadeira para qualquer valor de , b b x x a a F d F F I h dx h 0 h dx h h                           n T m i i i 1 h h (x) a N (x) [a][N]     1 2 n[a] [a ,a ,...,a ] 1 2 n[N] [N ,N ,...,N ] T [N] T h [a][N]   b b T T x x a a F d F F I [a][N] dx [a][N] 0 h dx h h                           [a] b b T T x x a a F d F F I [a] [N] dx [a][N] h dx h h                         x F d F h dx h          mh (x) m x F d F dx R(x) h dx h          b b T T x a a F I [a] [N] R(x)dx [N] h               [a]
  58. 58. Introdução aos Métodos Numéricos 58 O primeiro termo da expressão acima é o princípio básico do Método de Galerkin. O se- gundo termo refere-se às condições de contorno naturais do problema. Podemos então concluir que havendo um princípio variacional para o problema, a solução através do uso do método de Galerkin coincide com a solução do método variacional. Essa é a razão pelo qual o Método de Galerkin é o escolhido como fundamento para o Método dos Elementos Finitos (MEF). 6.1.2. Exercícios (1) Considere a seguinte equação diferencial Sujeitas as condições de contorno: a) Ache o funcional associado a essa equação diferencial b) Pode a seguinte equação 1 x T (x) sin 10   ser usada na solução aproximada? Se puder, usando o Método de Ritz, ache a solução aproximada usando a função acima e compare graficamente com a solução exata. c) Usando a função aproximada , ache os coeficientes e . d) Faça um gráfico comparando as soluções (b) e (c) com a solução exata. (2) Dada a seguinte equação diferencial Sujeitas as condições de contorno: b b T T x a a F [N] R(x)dx [N] 0 h            2 2 d T 100 0 dx   0 x 10  T(0) 0 T(10) 0   2 1 2 x 3 x T (x) a sin a sin 10 10     1a 2a 2 2 d y 6y 10x dx   0 x 2 
  59. 59. Profª Celme Torres 59 y(0) 1 y(2) 0   Encontre o funcional associado à equação diferencial e encontre uma solução aproxi- mada usando o Método de Ritz. 6.1.3. Método de Rayleigh-Ritz No método de Ritz apresentado anteriormente, as funções de Ni(x) eram válidas em todo o domínio do problema. No método de Rayleigh-Ritz, essas funções de aproximação são vá- lidas apenas em trechos do problema. Portanto, o domínio do problema é dividido em ele- mentos e as funções de aproximação são específicas para esses elementos. Vamos analisar agora como encontrar essas funções de aproximação Ni(x), também co- nhecidas como funções de forma. Considere um problema cujo domínio é o intervalo que será dividido em M in- tervalos ou elementos finitos. Nos limites de cada elemento, há dois nós – denominados genericamente de i e j. Como, nesse caso, cada elemento e tem dois nós, uma interpolação polinomial linear deve ser usada como função de interpolação no elemento, portanto: De acordo com a Figura 5.4, podemos constatar que: (6.4) Portanto, (6.5) a x b  e h (x) cx d  e i i e j j x x h h x x h h       i i j j h cx d h cx d    
  60. 60. Introdução aos Métodos Numéricos 60 Figura 6.2 – Divisão de um domínio qualquer em elementos lineares. Resolvendo o sistema para achar c e d, temos: e (6.6) Assim, (6.7) Onde e são as funções de forma. Logo, (6.8) h (x) e hi hj xj xi h(x) x x = a x = b 1 2 3 i j ne1 e 2 em e j i j i h h c x x    i j j i j i h x h x d x x    je i i j i i j j j i j i x x x x h (x) h h N (x)h N (x)h x x x x         iN (x) jN (x) j i j i j i x x x x [N] x x x x          
  61. 61. Profª Celme Torres 61 Figura 6.3 – Interpolação linear de um elemento. Exemplo 6.2 Considere a já conhecida equação diferencial: Sujeita as condições de contorno e Como vimos o funcional associado a esse equação diferencial é: Se dividirmos o domínio em vários trechos (elementos), temos: Sendo, e, Minimizando o funcional do elemento, temos: h =N(x)h + e i i N(x)hj j hi hj x i je 1,0 1,0N (x)i N (x)j 2 2 2 d h 10x 0 dx   0 x 1  h(0) 0 h(1) 0 1 2 2 0 1 dh I 10x h dx 2 dx             j j i i x 2x e e e 2 e x x dh 1 dh I h 10x h dx dx 2 dx               n e e 1 I I       ee h N a   ie j a a a         
  62. 62. Introdução aos Métodos Numéricos 62 Mas como, podemos reescrever o termo da seguinte forma: Sendo a matriz transposta de . Da mesma forma podemos simplificar o segundo termo da integral, onde: Portanto, Ou ainda, O que pode ser escrito de forma simplificada: Sendo, [K]e a matriz de rigidez do elemento; {f}e é conhecido como vetor de carregamento nodal do elemento e {a}e é o vetor dos valores aproximados a função no nó do elemento. Depois que as matrizes [K]e e os vetores {f}e e {a}e de todos os elementos serem conheci- dos, encontra-se o sistema global do problema, na forma:         j j i i x 2xe e e e 2 e e e e x x dI dh dh dh 1 d dh 10x dx 0 dx 2 dxd a d a d a d a                 ee h N a     e T e dh N d a   T N  N                   2e e e e e e e e e e e e e dh 1 d dh 1 dh d dh (2) 2 dx 2 dx dxd a d a d a d dh dh dx dxd a d N d Nd a a dx dxd a                                     T ed N d N a dx dx              j j j i i i x xx Te T T e2 e x x x d N d NdI dh N 10x N dx a dx 0 dx dx dxd a                 j j j i i i x xxT e T T2 x x x d N d N dh dx a N 10x N dx dx dx dx                   e e e K a f     K a f
  63. 63. Profª Celme Torres 63 Agora as condições de contorno podem ser impostas. Voltando ao nosso exemplo. Se divi- dirmos o domínio em dois elementos, temos dois elementos e três nós, conforme a Figura 5.6. Figura 6.4 – Elementos lineares Para cada elemento, temos: Para os dois elementos do problema: Analisando o termo, Analisando agora a integral,     j i x T e j i x 1 1d N d N 1 K dx 1 1dx dx x x            1 2 2 2 K K 2 2                    j j i i xx T Te 2 x x dh f N 10x N dx dx      j i x e e i jT i ij i j ij jx e e j i e i e j N (x ) N (x )dh (x ) dh (x )dh N N (x )N (x )dx dx dx dh (x )0 1 dh (x ) 1 0dx dx dh (x ) dx dh (x ) dx                                          e1 e2 1 2 3 0,5 0,5
  64. 64. Introdução aos Métodos Numéricos 64 Assim, para o elemento 1, temos: Para o elemento 2, Fazendo a montagem do sistema global: Levando em consideração a equação da continuidade, podemos impor, que: Dessa forma o sistema global se reduz a forma:     j i x 4 3 4 j j i iT2 4 4 j i j i j ix x 4x x 3x10 10x N dx 10 x x 3x 4x x x                1 1 1 1 2 dh (x ) 0,104 dx f dh (x ) 0,313 dx                  2 2 2 2 3 dh (x ) 1,146 dx f dh (x ) 1,771 dx                1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 dh (x ) 0,104 dx h2 2 0 dh (x ) dh (x ) 2 2 2 2 h 1,459 dx dx 0 2 2 h dh (x ) 1,771 dx                                         1 2 1 2dh (x ) dh (x ) dx dx 
  65. 65. Profª Celme Torres 65 Usando a 2ª linha do sistema encontramos o valor para h2 A solução gráfica apresenta-se da seguinte forma: Figura 6.5 – Comparação gráfica entre as soluções encontradas utilizando o Método de Rayleigh-Ritz e a solução exata. 1 1 1 2 2 3 3 dh (x ) 0,104 h2 2 0 dx 2 4 2 h 1,459 0 2 2 h dh (x ) 1,771 dx                                  2h 0,365 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 Solução Exata Rayleigh-Ritz
  66. 66. Introdução aos Métodos Numéricos 66 7. Métodos das Diferenças Finitas Como mencionado anteriormente, a idéia básica do método das diferenças finitas (MDF) consiste na aproximação das derivadas parciais de uma equação diferencial através de fór- mulas de diferenças, e satisfação dessa equação aproximada de diferenças em determina- dos pontos do domínio (região). Isto conduz a um sistema de equações algébricas cuja so- lução fornece o valor da função desejada nos pontos pré-determinados. Por definição, a derivada de uma função u(x) num ponto é dada por: (7.1) De forma aproximada, pode-se tomar: (7.2) Onde h é um incremento pequeno, porém finito. Esta aproximação é chamada de diferença progressiva, já que no seu cálculo aparecem os valores de u nos pontos e . De maneira análoga, pode-se definir uma aproximação de diferenças regressi- vas na forma: (7.3) E um esquema de diferença central: (7.4) As aproximações acima podem ser visualizadas na Figura 6.1. 1x x i i i h 0 x x u(x h) u(x )du lim dx h         i i i x x u(x h) u(x )du dx h        1x x 1x x h  i i i x x u(x ) u(x h)du dx h        i i i x x u(x h) u(x h)du dx 2h        
  67. 67. Profª Celme Torres 67 Uma forma alternativa de se obter fórmulas aproximadas de diferenças finitas é através de séries de Taylor. Desta maneira, é possível estimar o erro cometido em cada tipo de apro- ximação. A expansão em série de Taylor do valor de u em , em torno do valor de u em , é dada por: (7.5) Figura 7.1 – Interpretação gráfica das aproximações por diferenças finitas Que pode ser reescrita na forma: (7.6) Tornando-se: (7.7) ix x h  ix x i i i i 2 2 3 3 n n i i 2 3 n x x x x x x x x du h d u h d u h d u x(x h) u(x ) h ... dx 2 6 2ndx dx dx                                x+hi xi y x x- hi h h y= u(x) tg i i i i 2 2 3 n n i i 2 3 n x x x x x x x x u(x h) u(x )du h d u h d u h d u ... dx h 2 6 2ndx dx dx                               i i i x x u(x h) u(x )du dx h       
  68. 68. Introdução aos Métodos Numéricos 68 Que é a aproximação de diferença progressiva. Pode-se notar que foram desprezados os termos relativos à derivada de segunda ordem e de ordem superior. Como h é um valor pe- queno, maior termo desprezado é igual a uma constante multiplicada por h, ou seja, é da ordem de h. Analogamente, (7.8) Que dá a aproximação: (7.9) Para se obter a aproximação de diferença central, subtrai-se (5.8) de (5.5), chegando-se a: (7.10) Ou, (7.11) O erro cometido pelo esquema de diferença central é menor que o de diferença progressiva ou regressiva. 7.1.1. Derivadas de ordem superior Para se obter aproximações por diferenças finitas para derivadas de ordem superior, pode- se empregar séries de Taylor ou uma maneira mais intuitiva, através da aplicação repetida da aproximação (6.2) a (6.4). Tomando-se, por exemplo, a derivada de segunda ordem, po- de-se somar as expressões (6.5) e (6.8), obtendo-se: (7.12) i i i i 2 2 3 3 n n i i 2 3 n x x x x x x x x du h d u h d u h d u x(x h) u(x ) h ... dx 2 6 2ndx dx dx                                i i i x x u(x ) u(x h)du dx h        i i i 3 3 n n i i 3 n x x x x x x du h d u h d u x(x h) u(x h) 2h ... dx 3 ndx dx                         i i i x x u(x h) u(x h)du dx 2h           i i i 2 4 4 n n 2 i i i 2 4 n x x x x x x d u h d u h d u u(x h) u(x h) 2u x h ... 12 3ndx dx dx                          
  69. 69. Profª Celme Torres 69 Reescrevendo a expressão (7.12), desprezando-se as derivadas de ordem superior, temos: (7.13) Que é a aproximação de diferença central para a derivada de segunda ordem. Outra opção é aproximar a derivada segunda como uma diferença entre derivadas de pri- meira ordem: (7.14) (7.15) Cujo resultado é igual a equação (7.13). Os dois processos acima podem ser estendidos pa- ra a determinação de qualquer ordem de derivada. Exemplo 7.1 Seja o problema descrito pela equação e condições de contorno abaixo: Resolver a equação diferencial pelo método das diferenças finitas, com aproximação de diferenças centrais. A equação aproximada de diferenças centrais é dada por: i 2 i i i 2 2 x x u(x h) 2u(x ) u(x h)d u dx h           i i i 2 x x h / 2 x x h / 2 2 x x du du dx dxd u hdx                            i i i i i 2 2 x x u x h u(x ) u x u(x h) d u h h hdx            2 2 d u u x 0 (1 x 0) dx 0 em x 0 u 0 em x 1         
  70. 70. Introdução aos Métodos Numéricos 70 Reescrevendo os termos, temos: (i) Adotando-se , o problema irá apresentar 4 incógnitas, correspondentes ao valor de u nos pontos: É necessário então, gerar 4 equações, que são obtidas aplicando a equação (i) nesses 4 pontos. Introduzindo as condições de contorno e arrumando em forma matricial: Dessa forma, obtemos os valores de u nos pontos determinados: A solução exata do problema é dada por: Comparando graficamente a solução dada por diferenças finitas com aproximação central com a solução exata da ED, temos:  i i i i i2 u x h 2u(x ) u(x h) u(x ) x 0 h          2 2 i i i iu x h (h 2)u(x ) u(x h) h x       h 0,2 x 0,2 x 0,4 x 0,6 x 0,8     i i i i x 0,2 0,4u 1,96u(0,2) 0,0u 0,008 x 0,4 0,6u 1,96u(0,4) 0,2u 0,016 x 0,6 0,8u 1,96u(0,6) 0,4u 0,024 x 0,8 1,0u 1,96u(0,8) 0,6u 0,032                         1,96 1 0 0 0,2u 0,008 1 1,96 1 0 0,4u 0,016 0 1 1,96 1 0,6u 0,024 0 0 1 1,96 0,8u 0,032                                         u(0,2) 0,0362 u(0,4) 0,0630 u(0,6) 0,0713 u(0,8) 0,0527     sinx u sin1 x  
  71. 71. Profª Celme Torres 71 Figura 7.2 – Comparação gráfica da solução exata e da solução por diferenças finitas com aproximação central. Exemplo 7.2 Resolver a Equação Diferencial do exemplo anterior, com a condição de contorno natural, dada por: O problema agora possui 5 incógnitas, já que também não se conhece o valor de u no pon- to . É necessário, então, obter mais uma equação pela aproximação de diferença re- gressiva da condição de contorno natural. Substituindo esta aproximação e a condição de contorno em no sistema de equa- ções, temos: du 1 em x 1 dx   x 1 x 1 du 1,0u 0,8u 1 u(1,0) 0,2 u(0,8) dx 0,2           x 0
  72. 72. Introdução aos Métodos Numéricos 72 Uma alternativa à solução acima é a de se aplicar a equação (i) também no ponto , envolvendo o valor de u no ponto fictício e utilizar uma aproximação de diferen- ças centrais para a condição de contorno natural. Nesta caso, o sistema final terá 5 equa- ções e 5 incógnitas, na forma: A solução da ED considerando o primeiro sistema através da condição de contorno natu- ral com diferença finita regressiva é: Considerando a condição natural com diferenças finitas aproximadas, temos: A solução exata do problema é dada por: Comparando graficamente a solução dada por diferenças finitas com aproximação regres- siva com a solução dada por diferenças centrais e a solução exata da ED: 1,96 1 0 0 0,2u 0,008 1 1,96 1 0 0,4u 0,016 0 1 1,96 1 0,6u 0,024 0 0 1 0,96 0,8u 0,232                                         x 1 x 1,2 0,2u 0,0081,96 1 0 0 0 0,4u 0,0161 1,96 1 0 0 0,6u 0,0240 1 1,96 1 0 0,8u 0,0320 0 1 1,96 1 1,0u 0,4400 0 0 2 1,96                                                     u(0,2) 0,4415 u(0,4) 0,8573 u(0,6) 1,2229 u(0,8) 1,5155 u(1,0) 1,7155      u(0,2) 0,5423 u(0,4) 1,0550 u(0,6) 1,5094 u(0,8) 1,8794 u(1,0) 2,1422      2sinx u cos1 x  
  73. 73. Profª Celme Torres 73 Figura 7.3 – Comparação entre a solução exata e a solução por diferenças finitas com aproximação regressiva e aproximação central. 7.1.2. Exercícios (1) Seja o problema descrito pela EDO sujeito as condições de contorno apresentadas: 2 2 2 d H 10x 0 dx   0 x 1  H(0) 0 H(1) 0   Resolva a EDO pelo método das diferenças finitas com aproximação de diferença central. (2) Considere a seguinte equação diferencial de transferência de calor: Sujeitas as condições de contorno: 2 2 d T 100 0 dx   0 x 10  T(0) 0 T(10) 0  
  74. 74. Introdução aos Métodos Numéricos 74 Encontre a solução numérica pelo método das diferenças finitas com aproximação central, aproximação regressiva e aproximação progressiva. Compare graficamente as soluções a- proximadas com a solução exata da EDO. (3) Aplique o método das diferenças finitas com aproximação progressiva para encontrar a solução aproximada da equação diferencial no intervalo. Mostre graficamente as so- luções exata e aproximada utilizando um programa gráfico (maple ou Excel). y' 4 2x  y(1) 5 0 x 1  considere h = 0,25 (4) Aplique o método das diferenças finitas com aproximação regressiva para encontrar a solução aproximada da equação diferencial no intervalo. Mostre graficamente as solu- ções exata e aproximada utilizando um programa gráfico (maple ou Excel). y' cos(x) 1  y(0) 1  0 x 120  considere h =  (5) Aplique o método das diferenças finitas com aproximação central para encontrar a so- lução aproximada da equação diferencial no intervalo. Mostre graficamente as solu- ções exata e aproximada utilizando um programa gráfico (maple ou Excel). 2 y' yx y  y(0) 1 0 x 2  considere h =  (6) Aplique o método de diferenças finitas com aproximação central para encontrar a so- lução aproximada das equações diferenciais nos intervalos definidos. a) y'' 2y' y x   0 x 1  y(0) 2 e y'(1) 0 (use h = 0,25) b) y'' 2y' x  0 x 6  y(0) 4 e y'(6) 2 (use h = 1,50)
  75. 75. Profª Celme Torres 75 8. Métodos dos Elementos Finitos O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma técnica de análise numérica para obtenção de soluções aproximadas em problemas de valor de contorno, sendo aplicados uma grande variedade de problemas de engenharia. Uma das principais publicações sobre MEF ilustra sua aplicação na análise de tensões em estruturas aeronáuticas, mas sua utilização esten- deu-se rapidamente para outros campos da engenharia (Huebner, 1995). O MEF consiste em dividir (discretizar) o domínio de soluções do contínuo em uma quan- tidade finita de subdomínios simples, denominados elementos finitos. Esses elementos são representados matematicamente quase sempre por expansões polinomiais, denomina- das funções de forma do elemento. O conjunto desses elementos, que podem assumir as mais variadas formas, é denominado malha. A solução global é obtida pelo somatório das soluções locais de cada elemento. Um elemento finito pode ser unidimensional, bidimensional ou tridimensional. A Figura 8.1 ilustra alguns tipos de elementos finitos. Elemento unidimensional linear de dois nós. Elemento triangular de três nós. Elemento quadrilátero de quatro nós. Elementos quadrilátero de oito nós.
  76. 76. Introdução aos Métodos Numéricos 76 Elemento tridimensional de oito nós Figura 8.1 – Tipos de elementos finitos A fundamentação do método dos elementos finitos conta com três etapas distintas: sua concepção matemática, aplicações e análise física e sua utilização na engenharia. A formulação do MEF requer a existência de uma equação integral, de modo que seja pos- sível substituir a integral sobre um domínio complexo (de volume V) por um somatório de integrais de subdomínios de geometria simples (de volume Vi). (8.1) Onde se pressupõe que: (8.2) Se for possível calcular todos as integrais dos subdomínios Vi, basta efetuar o somatório correspondente ao segundo membro de (1) para se obter a integral estendida a todo o do- mínio. Cada subdomínio (Vi) corresponde a um elemento finito de geometria simples (e.g., segmento de reta, triângulo, quadrilátero, tetraedro, paralelepípedo). Neste módulo apresentaremos problemas de engenharia em uma dimensão, nos quais o método dos elementos finitos pode ser aplicado. Como nesses casos só existe uma variável independente, as equações que regem estes problemas são equações diferenciais ordinárias. Uma vez conhecida a equação diferencial que rege o problema e discretizado o domínio (ou geometria) em elementos finitos, nós devemos encontrar funções que se aproximem da solução verdadeira (geralmente desconhecida) dentro de cada elemento finito. Essas fun- ções de aproximação são também conhecidas como funções de forma. i n i 1v v fdV fdV     n i i 1 V V   
  77. 77. Profª Celme Torres 77 Para exemplificar, vamos considerar um problema unidimensional no qual h(x) é a variável dependente. Então as funções de forma são usadas para interpolar o valor da variá- vel h entre os nós dos elementos, da seguinte maneira: (8.3) Onde o superscrito e significa que a função só é válida dentro de um elemento e não em todo o domínio. são os valores que a variável h assume nos nós do elemento e n é o número de nós de cada elemento. Escrevendo a equação acima em forma matricial: (8.4) Onde é a matriz linha que contém as funções de aproxi- mação e é o vetor que contém o valor da variável h nos nós do elemento. A maior dificuldade que os métodos aproximados estudados apresentam, como é o caso do método dos elementos finitos, é a escolha da função de aproximação a ser empregada em um problema complexo. Essas funções, em geral, têm que satisfazer exatamente as condi- ções de contorno essenciais do problema e, além disso, representar adequadamente a geo- metria e propriedades físicas do meio. Em termos computacionais, para poder-se usar esses conceitos de forma sistemática, empregam-se funções de aproximação locais ao invés das globais. Desta maneira, discretiza-se (divide-se) inicialmente o domínio contínuo em um certo nú- mero de elementos e aplica-se uma aproximação local da variável do problema em cada um desses elementos. Fazendo-se, posteriormente, a junção de todos os elementos, obtém- se um sistema de equações relativo ao modelo discreto, com um número finito de incógni- tas. iN (x) n e e i i i 1 h (x) N (x)h    e h (x) e ih e e h (x) [N]{h} 1 2 n[N] [N (x) N (x) ...N (x)] 1 2e 3 h h {h} h               
  78. 78. Introdução aos Métodos Numéricos 78 8.1.1. Sistemas discretos e funções de base 8.1.2. Funções de base As funções de base representam, em princípio, funções que são definidas e possuem valo- res diferentes de zero em todo o domínio. A formulação clássica não fornece um método sistemático para definição das funções de base, existindo para cada caso uma infinidade de funções possíveis. Levando-se em conta que a precisão e qualidade dos resultados depende fortemente da escolha das funções de base, isto se constitui uma séria desvantagem. A situ- ação é ainda mais complicada quando se considera domínios em 2 e 3 dimensões com ge- ometrias complexas. Uma escolha inadequada das funções de base pode levar a um sistema de equações mal-condicionado e de difícil solução ou até mesmo impossível de resolver numericamente. Por estes motivos, o Método de Galerkin possui uso restrito na solução de casos práticos. O MEF pode ser considerado uma modificação do Método de Galerkin onde as funções de base são definidas de forma sistemática e levando a sistemas de equações numericamente estáveis e fáceis de resolver, evitando desta forma as dificuldades mencionadas. No MEF são utilizadas funções de base que só tem valores diferente de zero em uma pequena parte do domínio. Conforme será visto, a escolha deste tipo de funções simplifica consideravel- mente a obtenção da solução aproximada do problema. Devido à sua forma particular, elas são também conhecidas como funções piramidais. O uso deste tipo particular de funções constitui-se, desta forma, numa das características principais do MEF, sendo que a sua efi- cácia está ligada à esta forma particular das funções de base. Exemplos de funções de base piramidais em uma dimensão são mostrados na Figura 7.2.
  79. 79. Profª Celme Torres 79 Figura 8.2 –Subdivisão do domínio e funções de base: (a) subdivisão do domínio, (b) funções de base, (c) derivada das funções de base e (d) forma da função de aproxima- ção. Com o objetivo de definir conjunto de funções piramidais, como as mostradas na Figura 8.2, é necessário primeiramente dividir o intervalo [0,1] em um conjunto de n subinterva- los, os quais por simplicidade serão todos do mesmo tamanho. Este conjunto de intervalos será denominado genericamente de malha. Considerando, portanto, intervalos de igual ta- manho resulta para a dimensão de cada um dos intervalos a relação, Figura 8.2(a): (8.5) Adotando-se a nomenclatura comum no MEF, os subintervalos são denominados de ele- mentos e os pontos comuns de cada subintervalo são denominados de nós. Assim, cada e- lemento é limitado pelos seguintes nós: 1 0 1 h n n   
  80. 80. Introdução aos Métodos Numéricos 80 (8.6) De acordo com a Figura 8.2(b), as funções de base são definidas como segue: (8.7) As funções lineares definidas por (7.7) são chamadas de funções de base definidas por tre- chos. A sua característica principal é o fato de que elas são diferentes de zero apenas em um pequena parcela do domínio, no caso considerado o domínio é o intervalo [0,1]. Por este motivo elas são por vezes denominadas de funções de base local. Esta característica particular simplifica enormemente a solução do problema por métodos numéricos. As deri- vadas das funções de base são mostradas na figura 1c e dadas matematicamente por: (8.8) Com as definições anteriores, a solução aproximada será composta de segmentos de retas, ou seja ela será to tipo linear por trechos, conforme mostra a figura 7.2(d). Observa- se ainda que função de aproximação é contínua, não havendo saltos nos pontos de transi- ção entre um elemento e outro. Esta característica é em geral desejada na solução. Haverá entretanto uma descontinuidade na derivada da função, conforme mostra a figura 7.2(e). Isto não causa, todavia, problemas. Caso seja necessário continuidade, também na derivada de primeira ordem,da função de aproximação, poderão ser escolhidas funções de base de ordem maior, por exemplo um polinômio de segunda ordem. O procedimento delineado kx k h  k 0,1,2,3,...n k 1 k 1 k 1 k j k 1 k k 1 k 1 0 0 x x x x x x x h(x) x x x x x h 0 x x 1                        k 1 k 1 k j k k 1 k 1 0 0 x x 1 x x xd (x) h 1dx x x x h 0 x x 1                     nu (x)

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