Presentación e indice

Habilidades lógico matemático- PRONACAP

EQUIPO DOCENTE:

CABREJO PAREDES GUISELA
CHUQUILÍN TERÁN SEGUNDO
GARCIA GRADOS OSCAR ESTEBAN
GONZALEZ CASTRO JEANETTE
MACARLUPÚ ASMAT ANA MARÍA
SISNIEGAS GONZALES MANUEL ANTONIO
VALENCIA YUPANQUI NÉSTOR

1


PRESENTACIÓN

Cumpliendo con el objetivo general del programa de capacitación docente que es
normar y orientar las acciones de capacitación dirigidas a mejorar las capacidades,
conocimientos, actitudes y valores para el desempeño de los docentes de Educación
Básica Regular, en función de sus demandas educativas y la de su respectivo contexto
socio cultural y económico-productivo y haciendo énfasis en el desarrollo de sus:
capacidades comunicativas, capacidades lógico matemáticas y dominio del currículo y
especialidad académica según nivel; el equipo docente de “Habilidades Lógico
Matemático” en el item 19 Ascope-La Libertad, ha elaborado el presente material didáctico
complementario a los temas desarrollados en el programa.
Dicho material contiene información teórica y práctica dirigido a docentes del
nivel secundario; específicamente de los temas:

 Lógica
 Numeración
 Estadística y probabilidades
 Geometría.

Esperando haber logrado cumplir las expectativas puestas en este programa de
actualización y capacitación docente, auguramos a ustedes muchos éxitos en su desempeño
profesional en beneficio de la mejor formación de nuestros estudiantes.

2


EQUIPO DOCENTE.

INDICE

PRESENTACIÓN

I. TEMAS DESARROLLADOS
Sistema de numeración……………............................... 4
Divisibilidad……………………………………………….. 8
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor......... 12
Fracción decimal…………………………………………. 15
Funciones…………………………………………………. 20
Áreas de regiones poligonales………………………….. 24
Volúmenes………………………………………………… 28

II. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………… 41

3


SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es el conjunto de reglas y principios que determinan la forma
de leer y escribir correctamente a los números.
1. Definiciones Previas:
a) Numeración: Rama de la aritmética que estudia las leyes y principios para
escribir y leer a los números.
b) Número: Idea de cierta cantidad.
c) Numeral: Símbolo que representa al número.
d) Números Dígitos: Son los que están formados por una sola cifra.
e) Cifras Significativas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
f) Cifra no Significativa: 0

2. Principales Sistemas de Numeración:

Base Sistema Cifras Disponibles
2 Binario 0, 1
3 Ternario 0, 1, 2
4 Cuaternari 0, 1, 2, 3
5 o 0, 1, 2, 3, 4
6 Quintario 0, 1, 2, 3, 4, 5
7 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8 Eptal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9 Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
11 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α
12 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β
... Duodecima ...
n l 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β, γ, ..., (n-2),
... (n-1)
enésimas

α = 10, β = 11, γ = 12

3. Propiedades:
1) La base de un sistema de numeración es un número entero positivo mayor que
1.
2) La base indica el número de cifras disponibles.
3) En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero.
4) El máximo valor de una cifra es una unidad menor que la base.
5) Un número expresado en dos sistemas de numeración distintos en la igualdad,
se notará que aquel que tenga el “numeral mayor” le corresponderá la “base
menor” y viceversa.
6) Un número expresado en dos sistemas de numeración distintos, en la igualdad,
a igual cantidad de cifras será el de base menor aquel que tenga la primera

4


cifra de la izquierda de mayor valor absoluto, si fueran iguales se comparan las
segundas cifras y así sucesivamente.
7) Reconocimiento cuando un número es par o impar en cualquier sistema:
 Base Par cuando la última cifra sea par y es impar cuando la última cifra
es impar.
 Base Impar cuando la suma de sus cifras sea par y será impar cuando la
suma de sus cifras sea impar

4. Representación Literal de un Número:
 a : Número de una cifra (1, 2, 3, ..., 9)
 ab : Número de dos cifras (10, 11, 12, 13, ..., 97, 98, 99)
 abc : Número de tres cifras (100, 101, ..., 997, 998, 999)
 abcd : Número de cuatro cifras (1000, 1001, ... , 9998, 9999)
 aaaa : Número de cuatro cifras iguales (1111, 2222, 3333, ...)
 2(2a )(3a ) : Número de tres cifras (223, 246, 269, ...)

5. Escritura y lectura de un número en cualquier sistema:
450(10 = Cuatrocientos cincuenta.
530(6 = Cinco, tres, cero en base seis.
875(9 = Ocho, siete, cinco en base nueve.
αβ79(12 = alfa, beta, siete, nueve en base doce.

6. Valor Absoluto y Valor Relativo de un Número:
 Valor Absoluto: Es el valor que toma una cifra por su símbolo.
 Valor Relativo: Es el valor que toma una cifra por su posición que ocupa en el
número.

Valor Absoluto: 5
92 6 5
Valor Relativo: 500

7. Descomposición Polinómica:
Es la expresión de un número en sus valores relativos.
abcde( n = a.n4 + b.n3 + c.n2 + d.n + e.n0
a b c d
0, abcd ( n = a.n-1 + b.n-2 + c.n-3 + d.n-4 = + 2 + 3 + 4
n n n n
d e f
abc, def ( n = a.n2 + b.n + c.n0 + + 2+ 3
n n n

8. Conversiones::

1º Caso: De base “n” a base 10
Convertir 2314(5 → al sistema decimal
 Método: Descomposición Polinómica.
2314(5 = 2 × 53 + 3 × 52 + 1 × 51 + 4 × 50 = 2 × 125 + 3 × 25 + 1 × 5 + 4 × 1 =
334
 Método: Ruffini

2 3 1
4
5 10 65 330
5


2º Caso: De base 10 a base “n”
Convertir 482 → N(5
 Método: Divisiones Sucesivas.

482 5
Regla: Se96
32
2 divide 5 número entre el valor “n”, el cociente resultante se vuelve a
el
dividir entre “n” y 19 sucesivamente hasta obtener un cociente menor que “n”.
46 así 5
El número1en base “n” 3
4 estará ⇒ 482 → 3412(5
formado por el último cociente y los residuos
obtenidos desde la última división hasta la primera.

3º Caso: De base “n1” a base “n2” (donde n1 ≠ n2 ≠ 10

Base: n1 → Base: 10 → Base: n2
Descomposición Polinómica Divisiones Sucesivas
O Ruffini

Conversión de Sistemas en Números Menores que la Unidad:

1º Caso: De base “n” a base 10

Convertir → N(10
 Método: Descomposición Polinómica.
a b c d e
0, abcde( n = + 2 + 3 + 4 + 5
n n n n n

Convertir 0,23(4 → N(10
2 3 8+3 11
0,23(4 = + 2 = =
4 4 16 16
⇒ 0,23(4 → 0,6875

2º Caso: De base 10 a base “n”

Convertir 0,6578 → al sistema octal
 Método: Multiplicaciones Sucesivas.

0 6578 × 8= 5,2624
5 2624 × 8 = 2,0992
2 0992 × 8 = 0,7936
0 7936 ⇒ 0,6578 → 0,520(8

Regla: Se multiplica la parte decimal por el número a convertir, del resultado se
separa la parte entera y la parte decimal se sigue multiplicando por la base, se
vuelve a separar la parte entera y la parte decimal se vuelve a multiplicar por la
base y así sucesivamente. El número convertido a la nueva base tiene como
cifras aquellas que fueron separadas en el orden dado.

3º Caso: De base “n1” a base “n2” (Ambas bases diferentes de10)

Base: n1 → Base: n2
1º Se convierte a base 10º
Descomposición Polinómica, o

6
Ruffini


2º El resultado se convierte a la base pedida Divisiones sucesivas

9. Operaciones en Bases Distintas a la Base10:
3452(7 +
9.1 Adición: 3452(7 + 12564(7 + 214336(7 12564(7
Regla:
1. Primer orden: 2 + 4 + 6 = 12 ⇒ ¿Con 12 cuántos 7 se pueden formar?
214336(7
12 : 7 = 1 + 5, escribimos el 5 y llevamos 1.
234015(7
2. Segundo orden: 1 + 5 + 6 + 3 = 15 : 7 = 2 + 1, escribimos el 1 y llevamos
2.
3. Tercer orden: 2 + 4 + 5 + 3 = 14 : 7 = 2 + 0, escribimos el 0 y llevamos 2.
4. Cuarto orden: 2 + 3 + 2 + 4 = 11 : 7 = 1 + 4, escribimos el 4 y llevamos 1.
5. Quinto orden: 1 + 1 + 1 = 3, escribimos el 3.
6. Sexto orden: 2 = 2, escribimos el 2

9.2 Sustracción: 133573(12 –
133573(12 – 89356(12
89356(12
Regla: “Una unidad de un orden (1266219 cualquiera es 12 unidades del orden
inmediato inferior”,significa al restar, cuando decimos “le presta 1”, equivale
a prestar 12 unidades.
1. Primer orden: El 7 le presta 1 al 3 ⇒ 12 + 3 = 15 – 6 = 9, escribimos el 9.
2. Segundo orden: El 7 prestó 1 y queda en 6 ⇒ 6 – 5 = 1, escribimos el 1.
3. Tercer orden: 5 – 3 = 2, escribimos el 2.
4. Cuarto orden: El 3 le presta 1 al 3 ⇒ 12 + 3 = 15 – 9 = 6, escribimos el 6.
5. Quinto orden: El 3 al prestar 1 se queda en 2 ⇒ 12 + 2 = 14 – 8 = 6,
escribimos el 6.

9.3 Multiplicación:
243(5 × 3(5 243(5 ×

3(5
1334(12
Regla:
1. Primer orden: 3 × 3 = 9 ⇒ ¿Con 9 cuántos 5 se pueden formar? 9 : 5 = 1
+ 4, escribimos el 4 y llevamos 1.
2. Segundo orden: 1 + 4 × 3 = 13 ⇒ 8 : 5 = 2 + 3, escribimos el 3 y
llevamos 2.
3. Tercer orden: 2 + 3 × 2 = 8 ⇒ 8 : 5 = 1 + 3, escribimos el 3 y llevamos 1.
4. Cuarto orden: escribimos el 1.

9.4 División: 25403(7 5(7
25403(7 : 5(7
44 3626(7
20
43
1
Regla: Se toma un grupo de cifras que forman un número en base 7, se
convierte a base 10 y el resultado se divide entre 5.

1. 25(7 = 19 : 5 = 3 y residuo 4. 2. 44(7 = 32 : 5 = 6 y residuo 2.
Se baja el 4 Se baja el 0

7


3. 20(7 = 14 : 5 = 2 y residuo 4. 4. 43(7 = 31 : 5 = 6 y residuo 1.
Se baja el 3

DIVISIBILIDAD

Definición: Estudia las condiciones que debe cumplir un número entero para ser
dividido exactamente por otro.

DIVISIÓN EXACTA: Un número entero (D) es divisible por otro entero positivo (d)
cuando el cociente (Q) es entero y el resto igual a cero.

D d
(0) Q
∴ D = dQ

Ejemplo:

54 es divisible entre 9, porque 54 9 54 = 9 × 6
(0) 6

Divisor: Es el número que divide exactamente a otro número. Los divisores son
limitados

Ejemplo: Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Múltiplo de un Número: Es el número que lo contiene a este, un número exacto de
º
veces. Se simboliza por: a= b, a = mb
Se lee:
“a es múltiplo de b”
“b es sub múltiplo de a”
“b es factor de a”

Los múltiplos de un número son ilimitados

Ejemplo:

1. 84 es múltiplo de 7 ⇒ 84 = 7 (12)
0
2. 108 = 9 ⇒ 108 = 9(12)
.

El Cero:
a) El cero es divisible por cualquier número. Ejemplo: 0 ÷ 12 = 0.
b) Ningún número es divisible por cero. Ejemplo: 12 ÷ 0 no está definido
c) El cero es múltiplo de cualquier número
0
Ejemplo: 0 . 14 = 0 ; 0 = 14

Propiedades de la Divisibilidad:
a) “Si un número divide a otros divide también a su suma”.
Ejemplo:

8


12 + 9 21
12 : 3 = 4, 9 : 3 =3 = =7
3 3

b) “Si número divide a otro; divide también a todo múltiplo de este número”
Ejemplo:
18 : 3 = 6, un múltiplo de 3 es 9 ∴ 18 : 9 = 2

c) “Si un número divide a otros dos, divide también a su diferencia”.
Ejemplo:
27 − 18 9
27 : 9 = 3, 18 : 9 =2 = =1
9 9

d) “Si un número divide al todo y a una parte; divide también a la otra parte”.
Ejemplo:
54 : 18 = 3, como 18 = 9 × 2 ⇒ 54 : 9 = 6, 54 : 2 = 2

DIVISIÓN INEXACTA :

Por Defecto:

D d
R Q ⇒ D = dQ + R

Por Exceso:

D d
r Q +1 ⇒ D= d(Q+1) - r

Ejemplos:

Por Defecto Por Exceso

a)
37 5 37 5
2 7 ⇒ 37 = 7(5) + 2 3 8 ⇒ 37 = 8(5) – 3

0 0
37 = 5 + 2 37 = 5 – 3

b)
50 8 50 8
2 6 ⇒ 50 = 6(8) + 2 6 7 ⇒ 50 = 7(8) – 6
0 0
50 = 8 + 2 50 = 8 – 6

La suma de ambos residuos sin tener en cuenta los
signos es igual al divisor, en este caso 8.

Criterios de Divisibilidad:

9


a) Divisibilidad por 2.: Un número es divisible entre 2 cuando el numeral termina en
cero o cifra par. Ejemplo: 234, 4390, 12348, 2136

b) Divisibilidad entre 3 o 9: Un número es divisible entre 3 o 9, cuando la suma de
todas sus cifras es un múltiplo de 3 o de 9.
Ejemplo: 435 4+3+5= 12 y este es múltiplo

c) Divisibilidad entre 4. Un número es divisible entre cuatro cuando sus dos últimas
cifras son ceros o múltiplos de cuatro.
Ejemplo : 43200, 2348, 96, etc.

d) Divisibilidad entre 5: Un número es divisible entre cinco cuando termina en cero o
en cinco. Ejemplo: 3210, 35475, 320, 125, etc.

e) Divisibilidad entre 11: Cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar
impar y la suma de las cifras de lugar par de derecha a izquierda; nos da cero o
múltiplo de 11.
Ejemplo:
Demostrar si 1836547295 es divisible entre 11.

Suma de cifras de lugar impar:
5+2+4+6+8 = (25)
18 3 6 547 29 5
Suma de cifras de lugar par:
9+7+5+3+1= 25

Entonces: (25 ) – 25 = 0

f) Divisibilidad entre 7: Un número es divisible por 7 cuando la suma o diferencia
de sus cifras previamente multiplicadas de derecha a izquierda por 1, 3, 2, -1,
-3, -2, nos da un múltiplo de 7 o cero.
Ejemplo:
Determinar si el número 760493636 es divisible entre 7.

7 6 0 4 9 3 6 3 6
× × × × × × × × ×
2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
14+18 + 0 -8 -27 -3 +12 +9 + 6 = 21 este sí es múltiplo de 7

g) Divisibilidad por 13: Dado el número que separa la primera cifra de la derecha y
se resta a lo que queda a la izquierda 9 veces de la cifra que se ha separado y
así sucesivamente, si el resultado final es cero o múltiplo de 13 entonces “el
0 47 502
numero es 13 ”.
9 × 2 = 18
Ejemplo: 4750 –
18
4732
9 × 2 = 18
473 –
18
455
9 × 5 = 45
45 –
45 10
0
⇒ 47502 =


Números Primos: Es todo número que puede dividirse por si mismo o por la unidad.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc

Números Compuestos: Es aquel número que tiene más de dos divisores.
Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, etc.

Descomposición de un Número en sus Factores Primos: Todo número entero (N)
mayor que la unidad se puede descomponer como el producto de factores primos.
Esta descomposición es única y se llama también descomposición canónica.

N = aα bβ cθ...

Ejemplo: Descomponer 8400 en sus factores primos.

8400 = 24 × 3 × 52 × 7

11


MINIMO COMÚN MÚLTIPLO Y
MÁXIMO COMUN DIVISOR

1. El M.C.D de varios enteros positivos, es el mayor de los divisores
comunes.
Ejemplo:
Divisores de 18 : D8 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores de 12: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisores comunes: {1, 2, 3,6}
Mayor divisor común: 6
⇒ El mayor número que divide a 18 y 12 a la vez es 6.

2. Propiedades del M.C.D.:
a) Si dos números son divisibles, el menor de ellos es su MCD.
Ejemplo: El MCD de 108 y 27 es 27 porque 108 es divisible entre 27.

b) El MCD nunca es mayor que uno de los números.

c) El MCD de dos números PESI es la unidad.

d) El MCD de varios números puede obtenerse por descomposición simultánea:
Consiste en descomponer simultáneamente dos o más números en sus factores primos,
hasta obtener números divisores PESI. El MCD es el producto de los divisores comunes
extraídos.
NOTA: PESI son números que son divididos al mismo tiempo por la unidad
Ejemplo: Hallar el MCD de 20 y 15
Solución

20 – 15 5 → MCD
4 – 3

PESI

e) El MCD de dos o más números puede obtenerse por descomposición canónica.
Consiste en descomponer independientemente en sus factores primos, cada uno de los
números dados, luego el MCD será el producto de factores comunes, afectados de su
menor exponente.
Ejemplo: Hallar el MCD de 1440 y 2268
1440 = 25 . 32 . 5 ⇒ MCD = 22 . 32 = 36
2268 = 22 . 34 . 7

f) Obtenemos también el MCD de dos números por el Algoritmo de Euclides o Método de
Divisiones Sucesivas:“Se divide el número mayor entre el menor, a su vez el menor
entre el primer residuo, luego dividimos el primer residuo entre el segundo residuo y así
sucesivamente hasta llegar a un residuo igual a cero. El último divisor empleado es el
MCD.
Ejemplo: Encontrar el MCD de 1650 y 630

12


Cocientes 2 1 1 1 1 1 2
Sucesivos
Divisores 165 630 390 240 150 90 60 30
Sucesivos 0
Residuos 390 240 150 90 60 30 0
Sucesivos
MCD(1650, 630) = 30

g) MCD (A, B, C) = d
A B C
⇒ = p; = q; =r ⇒ A = pd; B = qd; C = rd
d d d
donde: A, B y C son múltiplos del divisor ; p, q, r son PESI.

h) Para dos números A y B
MCD (A, B) = d
A – B MCD
⇒ = q1; = q2
q1 – q2

PESI
donde: q1 y q2 son PESI ⇒ A = MCD . q1
B = MCD . q2
i) El producto de dos números enteros siempre es igual al producto de su MCD por su
MCM
A × B = MCD . MCM

Ejemplo: 4 × 3 = 12
MCM (4, 3) = 12
MCD (4, 3) = 1
⇒ 4 × 3 = 12 × 1

3. El M.C.M.: El M.C.M. de varios enteros positivos, es el menor entero que sea
divisible entre cada uno de ellos. El MCM es el menor de los múltiplos comunes
Ejemplo:
Sean los números 8 y 12
Sus múltiplos son:
M8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
M12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...

Múltiplos comunes: {24, 48, ...} ⇒ El MCM de 8 y 12 es 24, que es menor de los
múltiplos comunes.

4. Propiedades del M.C.D.:
a) El MCM nunca es menor que alguno de los números.
Ejemplo: MCM (6, 9, 27) = 54

b) Si de varios números, el mayor de ellos es el múltiplo de los otros, entonces el MCM es
el mayor número.
Ejemplo: MCM (5, 10, 15, 90) = 90

c) El MCM de dos números PESI es el producto de dichos números
Ejemplo: Como 6 y 23 son primos entre sí (PESI) ⇒MCM es 6(23)= 138

d) Métodos de Obtención del MCM.

13


1) Descomposición Simultánea:
Para calcular el MCM de varios enteros, se ordenan en fila y se extraen sus
divisores comunes y no comunes. Finalmente el MCM se obtiene multiplicando los
divisores comunes y no comunes extraídos.

Ejemplo: Hallar el MCM de 12, 18, 15
Solución

12 – 18 – 15 2
6 9 15 2
3 9 15 3
1 3 5 3 MCM = 22 × 32 × 5 = 180
1 1 5 5
1 1 1

El MCM de 12, 18 y 15 es 180

2) Por Descomposición Canónica:
Dados varios enteros y obtenida la descomposición canónica de cada uno, el MCM
es igual al producto de los divisores primos comunes y no comunes, elevados a su
mayor exponente con que aparecen en la descomposición canónica.

Ejemplo: Hallar el MCM de 1440 y 2268

1440 = 25 × 32 × 5
2268 = 22 × 34 × 7
⇒ MCM = 25 × 34 × 5 × 7 = 90720.

14


FRACCIONES DECIMALES

a
A la expresión simbólica “ ”, donde a y b son números enteros,
b
siendo b diferente de cero, se llama fracción; el número
a
representado por la fracción se llama número racional
b

2
Ejemplo: 0,4 representa un número racional, puesto que se puede escribir como .
5

3 6 12 30
Otros ejemplos: , , , , etc.
2 4 8 20

Elementos:

 a : numerador
a 
Sea la fracción f =  b : deno min ador
b 
− : raya de fracción

Clasificación:

1. Comunes u Ordinarias: cuando el denominador es diferente de una potencia de 10.
( b ≠ 10n , n ∈ N )
2. Decimales: cuando el denominador es una potencia de 10. ( b = 10n , n ∈ N )

3. Propias: Cuando el numerador es menor que el denominador.
a 3 8 
Sea entonces a < b  , ,... 
b  7 11 
4. Impropias: Cuando el numerador es mayor que el denominador.
a  12 17 25 
Sea entonces a > b  , , ,...
b 5 9 5 
5. Iguales a la Unidad: Cuando numerador y denominador son iguales.
a  7 15 23 
Sea entonces a = b  , , ,... 
b  7 15 23 
2 3 12
6. Homogéneas: Igual denominador: , ,
5 5 5
8 5 1
7. Heterogéneas: Diferentes denominadores: , ,
7 4 10

15


a ak 6 2
8. Equivalentes: f = yF= ⇒ f es equivalente a F: es equivalente a
b bk 9 3
9. Irreductibles: a y b son primos entre si, es decir el único número que los divide a la vez
7 5
tanto al numerador como al denominador es la unidad. Ejemplo: ,
15 7
10. Inversas: El numerador de una es el denominador de la otra y el denominador de una
a b
es el numerador de la otra: es inversa de , a ≠ 0 ≠ b.
b a

Propiedades:
a) Si el numerador y denominador se multiplica o divide por un mismo número, la
fracción no se altera.

b) De varias fracciones homogéneas, es mayor la que presenta mayor numerador: así
8 5 1 8 5 8 1
, , ⇒ > y > .
12 12 12 12 12 12 12
c) De varias fracciones heterogéneas, cuyos numeradores son iguales, es mayor la que
presenta menor denominador, así
13 13 13 13 13 13 13
, , ⇒ > y > .
110 101 121 101 110 101 121
d) El MCM de dos o más fracciones irreductibles es igual al MCM de los numeradores
entre el MCD de los denominadores, así
a c e
Si f 1 = , f 2 = , f 3 =
b d m
MCM(a , c, e)
MCM ( f1, f 2 , f3 ) =
MCD(b, d, m)

e) El MCD de dos o más fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores
entre el MCM de los denominadores, así
a c e
Si f 1 = , f 2 = , f 3 =
b d m
MCD(a , c, e)
MCD ( f1, f 2 , f3 ) =
MCM(b, d, m)

Clases de Fracciones Decimales (F.D.)

A) Fracciones Decimales Limitadas: Son:
1) F.D. Exacta (F.D.E.): Tiene la siguiente forma: 0, abcd ;
Ejemplos: 0,2; 0,135; 0,1111.

2) F.D. Periódica Pura (F.D.P.P): Tiene la forma f = 0,abcabcabc... ó f =
0, abc ;
Ejemplos: 0,333... = 0, 3 ; 0,283283... = 0, 283 .

3) F. D. Periódica Mixta (F.D.P.M.): Tiene la forma f = 0,abcbc... ó f =
0, a bc ;
Ejemplo: 0,234545... = 0,2345 .

B) Fracciones Decimales Ilimitadas: Son:
1) Números Irracionales:

16


Ejemplos:
2 = 1,4142136... ; 3 = 1,7320506...

2) Números Trascendentes:
Ejemplo:
π = 3,14159265... ; e = 2,71828183...

Transformación de Fracciones:

A) De Fracción Decimal a Fracción Ordinaria: La fracción Ordinaria que se obtiene se
llama GENERATRIZ.

a) Generatriz de una F.D.E.:

Teorema: La generatriz de una FDE tiene como numerador la parte decimal y
como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la
fracción.
a a a ...a
Ejemplo: Si f = 0, a1a 2a 3 ...a n ⇒ f = 1 2 3n n
10
283
Ejemplo: Si f = 0,283 ⇒ f =
1000

b) Generatriz de una F.D.P.P.:

Teorema: La generatriz de una FDPP tiene como numerador el período y como
denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período
menos 1.
b b b ...b
Ejemplo: Si f = 0, b1b 2 b3 ...b n ⇒ f = 1 2 m3 m
10 − 1
211 211
Ejemplo: 0, 211 = 3 =
10 − 1 999
c) Generatriz de una F.D.P.M.:

Teorema: La generatriz de una FDPM es una combinación de los dos casos
anteriores, esto es,
Si f = 0, a1a 2 ...a n b1b 2 ...b m
a1a 2 ...a n b1b 2 ...b m − b1b 2 ...b m
⇒ f=
10 n (10m − 1)
2847 − 28 2819
Ejemplo: Sea 0,2847 ⇒ 2 2
=
10 (10 − 1) 9900

B) De una Fracción Ordinaria a Fracción Decimal:

Teorema: La transformación se consigue dividiendo el numerador entre el
denominador, hasta encontrar cualquiera de los tres tipos de fracciones mencionadas.
Ejemplos:
5 9
= 0,625; = 0,25714285714285...
8 35

17


7 181
= 0,777... =7,541666...
9 24

Operaciones con Números Racionales:

Adición y Sustracción:

Regla 1: Para adicionar o sustraer fracciones homogéneas, se adicionan o sustraen los
numeradores y se escribe el mismo denominador.
Ejemplo 1: Efectuar:
16 8 1 25
+ + =
64 64 64 64

Ejemplo 2:
46(8 27 (8 16(8
− =
77 (8 77 (8 77 (8

Regla 2: Para adicionar o sustraer fracciones heterogéneas, se les hace irreductibles,
luego se les transforma a fracciones homogéneas y se procede según la regla 1.
Ejemplo 1:
8 15 17 4 1 1
+ + = + +
18 45 41 9 3 3
4 3 3 10 1
= + + = =1
9 9 9 9 9

Ejemplo 2:
23(5 14(5 13 3 52 − 21 31
− = − = =
12(5 22(5 7 4 28 28
111(5
=
103(5

Multiplicación:

Regla: Para multiplicar fracciones, se multiplican entre sí los numeradores y los
denominadores respectivamente, y el resultado, si es posible se simplifica.

Ejemplo 1: Efectuar
101 81 101 × 81 8161
× = =
203 45 203 × 45 9135

Ejemplo 2: Efectuar
24(6 15(6 24(6 × 15( 6 4521( 6
× = =
32( 7 45( 7 32( 7 × 45( 7 2133(7

Fracción de Fracción:

Es una o más partes iguales de una fracción.

18


Regla: Para obtener la fracción de otra fracción basta multiplicar entre sí ambas
fracciones.
2 3 2 3 1
Ejemplo 1: Hallar de ⇒ × =
3 4 3 4 2

5
Ejemplo 2: Encontrar los de 0, 81
7
Solución
5 81 5 9 45
× = × =
7 99 7 11 77

16(8 27 (8
Ejemplo 3: Hallar los de
34(5 41(5
Solución
16(8 27 (8 502(8
× =
34(5 41(5 3044(5

División:

Regla; Para dividir fracciones, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de la
fracción divisor; si es posible el resultado se simplifica.
21 7 21 5 3
Ejemplo 1: Efectuar : ⇒ × =
25 5 25 7 5

25( 7 42(8 25(7 61( 7 2245( 7
Ejemplo 2: Efectuar : = × =
36(8 61( 7 36(8 42 (8 1774(8

19


FUNCIONES

En el estudio de unos u otros procesos del mundo real (físicos,
químicos, biológicos, económicos y otros) constantemente nos encontramos con unas u otras
magnitudes que los caracterizan y que cambian en el transcurso de los procesos analizados. A
menudo ocurre que la variación de una magnitud va acompañada por la variación de la otra o
incluso, la variación de una magnitud es causa de la variación de otra.

Por ejemplo, la demanda de carne puede depender del precio actual en el mercado, la
cantidad de contaminación en el aire de un área metropolitana puede depender del número de
automóviles en la vía, o el valor de una botella de vino puede depender de su añejamiento.
Con frecuencia tales relaciones pueden representarse matemáticamente como funciones.
En términos generales una función consta de dos conjuntos y de una regla que relaciona los
elementos de un conjunto con los elementos del otro. Por ejemplo se desea determinar el efecto
del precio sobre el número de unidades de un producto que se venderá a ese precio. Para
estudiar esta relación se necesita conocer el conjunto de precios admisibles, el conjunto de
niveles de venta posibles y una regla para asociar cada precio a un nivel de ventas particular.

1. Definición: Una función es una regla que asigna a cada objeto de un conjunto A
exactamente un objeto de un conjunto B.
Al conjunto A se le llama conjunto de partida y al conjunto B conjunto de llegada.

A B

a) Una función como correspondencia entre dos conjuntos.
Insumo Producto
x f(x)
f
máquina

20


2. Dominio y Rango:

Sea f : A → B una función de A en B
a) El dominio de f denotado por D(f) se define
D(f) = {x ∈ A / ∃! y ∈ B tal que y = f(x)} ⊂ A

b) El rango de f denotado por R(f) se define
R(f) = {y ∈ B / ∃ x ∈ A tal que y = f(x)} ⊂ B

c) El gráfico de f denotado por G(f) se define
G(f) = {(x, f(x) / x ∈ D(f)} ⊂ A × B

A f B

Dom(f) Ran(f)

x f(x
)

Ejemplo 2:

Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {a, b, c, d}

Si f = {(1, a), (2, b), (3, b), (4, c)},

entonces
D(f) = {1, 2, 3, 4] y R(f) = {a, b, c}

3. Aplicación: Sea f : A → B una función de A en B. Una función f se llama aplicación de A
en B si D(f) = A.

Ejemplo 3:

Dados A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e}
f = {(1, b), (2, a), (3, d)} es una función de A en B, sin embargo no es una aplicación de
A en B pues D(f) ≠ A.

4. Algunas Funciones Especiales: Las funciones que a continuación se presentan, son de uso
frecuente, por ello es necesario recordar sus características.
Presentamos las siguientes:

a) Función Constante:
f:R→ R
x → f(x) = k, k = cte.
Y
f(x) = k

X

21


Dominio de f = R Rango de f = {k}

b) Función Identidad:
f:R→ R x → f(x) = x
Y
f(x) = x

Dominio de f = R Rango de f = R
X
c) Función Lineal:
f:R→ R
x → f(x) = ax
donde a es una constante diferente de cero
• a>0
Y

f(x) = ax

X

• a<0
Y
f(x) = ax

X

Dominio de f = R Rango de f = R
Su gráfica es una recta que pasa por el origen. La pendiente de la recta es “a”.

d) Función Valor Absoluto:
f:R→ R
x → f(x) = x
Y

X
Dominio de f = R Rango de f = [0, +∞ >

Nota:
 x, x ≥ 0
x = 
− x , x < 0

22


e) Función Máximo Entero:
f:R→ R
x → f(x) = || x ||
|| x || = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈ Z
Y

X

Dominio de f = R Rango de f = Z

Nota:
• Si x ∈ [-2, -1> entonces || x || = -2
• Si x ∈ [-1, 0> entonces || x || = -1

f) Función Raíz Cuadrada:
f:R→ R
x → f(x) = x
Y

X
Dominio de f = [0, +∞ > Rango de f = [0, +∞ >
g) Función Signo:
f:R→ R
 1 x>0

x → f(x) = sgn(x) =  0 x = 0
− 1 x < 0
Y


1

0 X
-1

Dominio de f = R Rango de f = {-1, 0, 1}

h) Función Cuadrática:
f:R→ R
x → f(x) = x2
Y

Dom(f) = R
Ran(f) = R+
X

23


5. Clases de Funciones:
a) Función Inyectiva: Una función f : A → B es inyectiva si
f(x1) = f(x2) con x1, x2 ∈ A implica x1 = x2.

b) Función Sobreyectiva: Una función f : A → B es sobreyectiva si
∀ y ∈ B ∃ x ∈ A tal que f(x) = y

c) Función Biyectiva: Una función f : A → B es biyectiva si f es inyectiva y
sobreyectiva.

ÁREA DE LAS PRINCIPALES REGIONES POLIGONALES

A) Del Triángulo:

1) Fórmula básica del triángulo:
B
b×h
A∆ABC =
2 h
A H C
b

2) Del triángulo equilátero:
B
2
l 3
A∆ABC = l l
4
A C
l

3) Del triángulo rectángulo:
B
ABxAC
A∆ABC =
2
A C

4) Del triángulo escaleno en función del semiperímetro:

A∆ABC = p( p − a )(p − b)(p − c) B
a+b+c
p=
2 c a

A C
b

24


5) Del triángulo en función de dos lados y el ángulo comprendido entre dichos
lados:
B
AB× AC
A∆ABC = senα
2
A α

C

B) Del Cuadrilátero:

1) Del cuadrado: l

A = l2 l l

l
2) Del rectángulo:

A=l.a
a

l
3) Del paralelogramo:
B C
A=b.h
h
A D
b

4) Del trapecio:
B b C
(B + b) h
A= h
2
A D
B H

5) Del rombo: B

D×d
A=
2 A C
O
donde:
D : diagonal mayor
d : diagonal menor D

C) De un Polígono Regular:
B C
A = p . ap
O
A D
ap

F E
25


a+b+c
p=
2
ap : apotema

2. Área de figuras curvas:

a) Círculo:
r
A=π r 2

Longitud de la Circunferencia:
LC = 2π r

b) Sector Circular:
α 
A SC AOB = π r2 
 
 360 
L ∩ = 2π r  α 
 
AB
 360 

c) Segmento Circular:

A seg AB = ASC AOB − A ∆AOB

d) Corona Circular:

A = π (R2 – r2)

e) Trapecio Circular:

πα 2 2
ATC = (R – r )
360

f) Zona Circular:

AZC = A seg CD − A seg AB

Áreas y Volumen de figuras sólidas:

a) Cilindro Circular Recto o de Revolución:
Sus bases son círculos y sus generatrices son perpendiculares a sus bases.
R
Área lateral: Al = 2πRg = 2πRh B O’

g h
26

B O
R


Área total: At = Al + 2B
At = 2πRg + 2πR2
At = 2πR(g +R)

Volumen: V = B.h = B.g

donde: B → área de la base
g=h

b) Pirámide

Área Lateral (SL): SL = p.a
donde:
p : semiperímetro.
a : apotema de la pirámide.
∗ Área Total (ST):
ST = SL + SB
donde:
SB : área de la base.
∗ Volumen (V):
SB h
V=
3

c) Cono:
V

Elementos:
g Altura: h
h
Generatriz: g
Base: B
A H Vértice: V

Área Lateral: SL = π r.g
r : radio de la base

Área Total: ST = π r(g + r) = SL + B

B : π r2

1 B.h
Volumen: V= π r2h =
3 3

d) Esfera:

Área de la Esfera: SE = 4π R2

27


4
Volumen de la Esfera: VE = π R3
3

VOLÚMENES

Ejercicio nº 1 Expresa en cm3:

a) 1 m3

b) 5 400 mm3

c) 0,003 dam3

Solución:

a) 1 m3 = 1 · 1 000 000 cm3 = 1 000 000 cm3

b) 5 400 mm3 = 5 400 : 1 000 cm3 = 5,4 cm3

c) 0,003 dam3 = 0,003 · 1 000 000 000 cm3 = 3 000 000 cm3

Ejercicio nº 2 Calcula el volumen de estos cuerpos:

Solución:

28


4 3
V = πr 2 h = V = ABASE ⋅ h = V = πr =
3
4
= 3,14 ⋅ 25 ⋅ 12 = = 8 2 ⋅ 16 = = ⋅ 3,14 ⋅ 7 3 ≈
3
= 942 cm 3 = 1 024 cm 3 ≈ 1 436 cm 3

Ejercicio nº 3 Halla el volumen de este prisma de base hexagonal regular:

Solución:

a= 10 2 − 5 2 = 8, 66 cm

29


V = ABASE ⋅ h
P ⋅ a 60 ⋅ 8, 66
ABASE = = = 259, 8 cm
2 2
V = 259, 8 ⋅ 25 = 6 495 cm 3

Ejercicio nº 4.-

Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 24 cm de lado
y su arista lateral es de 37 cm.

Solución:

a= 24 2 + 24 2 = 33, 9 cm
a
= 16, 95 cm
2
h= 37 2 − 16, 95 2 = 32, 9 cm

ABASE ⋅ h 242 ⋅ 32,9
V = = = 6 316, 8 cm3
3 3
Ejercicio nº 5.-

Calcula el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de
12 cm.

Solución:

h= 25 2 − 12 2 = 21, 9 cm

ABASE ⋅ h 3,14 ⋅ 122 ⋅ 21,9
V = = = 3300, 8 cm3
3 3

Ejercicio nº 6.-

Calcula el volumen del tronco de pirámide y del tronco de cono:

30


Solución:

6 ⋅ 34 ⋅ 29,4
A BM = = 2998,8 cm2
2
x + 15 x
ABASE ⋅ h 2 998, 8 ⋅ 20 = → 3 x + 45 = 6 x → x = 15 cm
VPG = = = 19 992 cm 3 6 3
3 3
3 A ⋅ h 3,14 ⋅ 6 2 ⋅ 30
 1 1 VCG = BASE = = 1 130, 4 cm 3
VPP =   ⋅ VPG = ⋅ 19 992 = 2 499 cm 3 3 3
 2 8
3,14 ⋅ 3 2 ⋅ 15
VTRONCO = 19 992 − 2 499 = 17 493 cm 3 VCP = = 141, 3 cm 3
3
VTRONCO = 1 130, 4 − 141, 3 = 989,1 cm 3
Ejercicio nº 7.-

Teniendo en cuenta las medidas señaladas, calcula el volumen de esta figura:

Solución:

VC = AB ⋅ h = 3,14 ⋅ 8 2 ⋅ 25 = 5 024 cm 3
1  4 2  4 ⋅ 3,14 ⋅ 8 2
VSE =  πr  = = 133, 97 cm 3
23  6
VFIGURA = 5 024 + 133, 97 = 5 157, 97 cm 3

Ejercicio nº 8.-

31


Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de
25 cm. Queremos llenarlo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua
necesitamos?
Solución:

VC = AB ⋅ h = 3,14 ⋅ 6 2 ⋅ 25 = 2 826 cm 3
2 826 cm 3 = 2, 826 litros
2
⋅ 2, 826 = 1, 884
3

Necesitamos 1,884 litros de agua.

Ejercicio nº 9.-

Expresa en m3:

a) 15 500 dm3

b) 23 dam3

c) 0,003 hm3

Solución:

a) 15 500 dm3 = 15 500 : 1 000 m3 = 15,5 m3

b) 23 dam3 = 23 · 1 000 m3 = 23 000 m3

c) 0,003 hm3 = 0,003 · 1 000 000 m3 = 3 000 m3

Ejercicio nº 10.-

Calcula el volumen de estos cuerpos:

Solución:

32


ABASE ⋅ h V = ABASE ⋅ h =
V = ABASE ⋅ h = V = =
= 9 ⋅ 7 ⋅ 20 = 3 = 3,14 ⋅ 6 2 ⋅ 15 =
3,14 ⋅ 5 2 ⋅ 17
= 1 260 cm 3 = = = 1 695, 6 cm 3
3
= 444, 8 cm 3

Ejercicio nº 11.-

Halla el volumen de este prisma cuyas bases son triángulos equiláteros:

Solución:

h1 = 9 2 − 4, 5 2 = 7, 8 cm

33


V = ABASE ⋅ h
b ⋅ h 9 ⋅ 7, 8
ABASE = = = 35,1 cm 2
2 2
V = 35,1 ⋅ 15 = 526, 5 cm 3

Ejercicio nº 12.-
Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 20 cm de lado
y su arista lateral es de 29 cm.
Solución:

h = 292 − 202 = 21 cm
a = 202 − 102 = 17,3 cm
A ⋅h
V = BASE
3
P ⋅ a 120 ⋅ 17,3
ABASE = = = 1038 cm2
2 2
1038 ⋅ 21
V = = 7 266 cm3
3

Ejercicio nº 13.-

10 cm.
Solución:

h= 20 2 − 10 2 = 17, 3 cm

ABASE ⋅ h 3,14 ⋅ 102 ⋅ 17,3
V = = = 1810, 7 cm3
3 3

Ejercicio nº 14.-


34


Solución:

A BASE⋅ h
VPG = = 720 cm3
3
3 3
 5   1 1
 15  =  3  = 27
   
1
VPP = ⋅ VPG = 26,7 cm3
27
VTRONCO = VPG − VPP = 693,3 cm3

x + 16 x
= → 6 x + 96 = 8 x → x = 48 cm
8 6
A ⋅h
VCG = BASE = 4 287,1 cm 3
3
A ⋅h
VCP = BASE = 1 808, 6 cm 3
3
VTRONCO = VCG − VCP = 4 287,1 − 1 808, 6 = 2 478, 5 cm 3

Ejercicio nº 15.-


35


Solución:
14  4
VSE =  πr 2  = ( 3,14 ⋅ 25 ) = 52,3 cm 3
23  6
AB ⋅ h
VC = = 314 cm 3
3
VFIGURA = 52, 3 + 314 = 366, 3 cm 3

Ejercicio nº 16.-

Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m x 15m x 3m.
¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar los 4/5 de su volumen?

Solución:

VP = 25 ⋅ 15 ⋅ 3 = 1 125 m 3 volumen total
1 125 m 3 = 1 125 ⋅ 1 000 dm 3 = 1 125 000 litros
4
⋅ 1 125 000 = 900 000 litros
5

Son necesarios 900 000 litros.

Ejercicio nº 17.-

Expresa en mm3:

a) 23 cm3

b) 7 dm3

c) 0,045 m3

Solución:

a) 23 cm3 = 23 · 1 000 mm3 = 23 000 mm3

b) 7 dm3 = 7 · 1 000 000 mm3 = 7 000 000 mm3

c) 0,045 m3 = 0,045 · 1 000 000 000 mm3 = 45 000 000 mm3

Ejercicio nº 18.-


36


Solución:

60 ⋅ 8,66
A BASE = = 259,8 cm
2

V = ABASE ⋅ h = ABASE ⋅ h 4 3
V = = V = πr =
= 3,14 ⋅ 42 ⋅ 11 = 3 3
259,8 ⋅ 25 4
= 552,64 cm3 = = = ⋅ 3,14 ⋅ 113 =
3 3
= 2165 cm3 = 506,6 cm2

Ejercicio nº 19.-

Halla el volumen de este prisma de base cuadrada:

Solución:

37


h= 37 2 − 12 2 = 35 cm

V = ABASE ⋅ h
V = 122 ⋅ 35 = 5 040 cm3

Ejercicio nº 20.-

Calcula el volumen de una pirámide regular cuya base es un hexágono de 18 cm de lado
y su altura es de 40 cm.

Solución:

a= 18 2 − 9 2 = 15, 6 cm

ABASE ⋅ h
V =
3
P ⋅a
ABASE = = 842, 4 cm 2
2
842, 4 ⋅ 40
V = = 11 232 cm 3
3

Ejercicio nº 21.-

2,5 cm.

Solución:

38


h= 10 2 − 2, 5 2 = 9, 7 cm

ABASE ⋅ h 3,14 ⋅ 2,52 ⋅ 9,7
V = = = 63, 4 cm3
3 3

Ejercicio nº 22.-

Calcula el volumen del tronco de pirámide y del tronco de cono:

Solución:

A BASE⋅ h
VPG = = 800 cm3
3
3 3
 12   1 1
 24  =  2  = 8
   
1
VPP = ⋅ VPG = 100 cm3
8
VTRONCO = VPG − VPP = 700 cm3

39


10 + x x
= → 20 + 2 x = 4 x → x = 10 cm
4 2
A ⋅h
VCG = BASE = 334, 9 cm 3
3
A ⋅h
VCP = BASE = 41, 9 cm 3
3
VTRONCO = VCG − VCP = 293 cm 3

Ejercicio nº 23.-


Solución:

AB ⋅ h 92 ⋅ 9 
VPG = = = 243 cm3 
3 3 
3
3
 1
3
1 

 9  =  3  = 27  VTRONCO = 243 − 9 = 234 cm
3

    
1 
VPP = ⋅ 243 = 9 cm3 
27 

VCUBO = a = 9 = 729 cm
3 3 3

VFIGURA = 729 + 234 = 963 cm3

Ejercicio nº 24.-

40


El suelo de un depósito cilindrico tiene una superficie de 45 m2. El agua que contiene
alcanza 2,5 metros. Para vaciarlo se utiliza una bomba que extrae 8 hl por minuto.
¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?

Solución:

VAGUA = AB · h = 45 · 2,5 = 112,5 m3 = 112 500 litros
112 500 : 800 = 140,625 minutos ≈ 2h 20 min 37 s

BIBLIOGRAFÏA

• Baldor, Aurelio “Geometría”. Edición 1986-1987. impreso en España.

• Baum, Manfred y otros.”Matemática para Todos” . Número: 1-2. Primera Edición.
Traducido y Adaptado por Instituto APOYO.Lima Perú. 2006

• Grupo Santillana. “Claves@Com.” Segunda edición. Lima Perú.2004

• Leon Castillo, Ronald. “Razonamiento Matemático”.2da Edición. Trujillo Perú.2000

• Mitacc Maximo y otros. Matemática 1 y 2. Primera Edición. Bachillerato Peruano.
Ministerio de Educación. Lima Perú . 2000

• Palomino Alva David. “QUBO”. Revista de Educación Matemática. Bachillerato
Peruano.Ministerio de Educación. Lima-Perú.2000.

• Rojas Puémape, Alfonso.”Matemática” . Primera Edición. Lima - Perú. 2004

• Sainz Jarauta Juan Manuel y otros.“Programaciones de Aula por Niveles de
Profundización”- AREA DE MATEMATICA.1º A 4T0 ciclo ESO. Primera Edición.
Navarra . España.2002.

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