46769481 guia-de-investigacion-de-operaciones-i[1]

Instituto Tecnológico Superior de
Misantla

Investigación de Operaciones I
Ingeniería Industrial

Alumno(a): _______________________________________________________

Gregorio Fernández Lambert
Noviembre, 2009.

¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LA REALIDAD?

Conocer todos los hechos y relaciones a la
problemática
“el saber todo sobre el todo”
<lo cual resulta claramente imposible> Identificar todas las alternativas
posibles de solución a un problema
<en muchos de los casos esto es
posible>
Estar bien
informado Conocer todas
las alternativas

SOLUCIÓN DE
Ser un optimizador
económico, esto es
PROBLEMAS
“maximizar los beneficios
económicos y minimizar los
cosos económicos” Ser objetivo

¿Cómo se toman las decisiones?

Recomendación

Corazonada
Presión

Preferencia
Temor

Influencia Experimentación

Conveniencia
Base Científica

LA DECISIONES TOMADAS PUEDEN SER BAJO:
Elementos de un problema de decisión

RIESGO

CERTEZA INCERTIDUMBRE

TOMA DE DECISIONES :
- POR MEDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES,
- MEDIANTE MÉTODOS ESTADÍSTICO,
- ENFOQUE BASADO EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL

MODELO DE “SIMON” PARA TOMA DE DECISIONES

Defínase el
problema

Muchas Soluciones
(elévense los criterios)

Establézcanse los Búsquense las
criterios de solución soluciones

Pocas Soluciones
(disminúyanse los criterios) SOLUCIÓN
SATISFACTORIA

“Una Solución Satisfactoria, No es siempre es una solución óptima”

EL PAPEL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS DE DECISÓN

Guía en la Toma de decisiones;

Ayuda en la Toma de Decisiones;

Automatizar la Toma de Decisiones.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIÓN

Sentido Racional
Sentido Lógico

Juicio; Experiencia;
Técnica y/o herramientas
Intuición; Habilidad;
para la solución de problemas
Destreza; Conocimiento.

Solución de
satisfactoria Problemas económico

TOMA DE DECISIÓN

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS

MODELO: Representación de algún aspecto de la realidad.

“Intento de representar o explicar algo que forma parte del
mundo real usando menos que esa realidad”


VENTAJAS DE UN MODELO:

Explican y/o predicen el comportamiento de sistemas:
• Menos Recursos;
Financieros; Materiales; Humanos; Espacios.

DESVENTAJAS DE UN MODELO:

Por su naturaleza misma de ser modelos,
son menos que la realidad.


SELECCIÓN DEL MODELO:

Este dependerá tanto del SISTEMA real bajo estudio como del
propósito del estudio, su validez, confiablidad y simplicidad.

“Conjunto organizado de actividades o partes
relacionadas que se persiguen o con un fin común”

Selección del Modelo:

Un modelo es válido si lleva a los mismos
resultados que se obtendrían en el mundo real.

El principio de economicidad y simplicidad está presente
en la selección del modelo.

La complejidad debe aceptarse sólo cuando sea necesario


Kennet Boulding sugiere un esquema de clasificación para los sistemas
basado en su complejidad:

Estáticos.- Poseen una estructura pero no movimiento.

Dinámicos.- Poseen estructura y movimiento (siguiendo patrones
determinados).

ENFOQUE DE SISTEMAS

medio ambiente
ABIERTO.- Gobiernos comunidad
Habitantes Bienes y
Interactúa con su medio ambiente. Materiales EMPRESA Servicios
Información
Dinero clientes

CERRADO.- medio ambiente excluido
Gobiernos
Se construye como un Habitantes
Bienes y
Materiales EMPRESA
sistema abierto y se Servicios
Información
limita a factores Dinero
relevantes

Clasificación de los modelos:

Normativos:
Llamados también prescriptivos (con frecuencia se usan como guía).

Descriptivos:
Solo describen una realidad potencial del experimento.

Concretos:
Poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.

Abstractos:
No poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.

Modelos de Toma de Decisión

CATEGORIAS CONSECUENCIAS

Certidumbre Determinista

Riesgo Probabilística

Incertidumbre Desconocidas

Conflicto Influenciadas
(tendenciosas)

Uso de Datos para la Toma de Decisión

“Los hechos no dejan de existir porque se ignoren”, y
cuando se ignoran, la posibilidad de tomar una decisión
adecuada o de alta calidad, es decreciente.

“Sólo en DIOS confío. Los demás traiganme datos”

Uso de Datos para la Toma de Decisión

Datos: Hechos o conceptos conocidos o supuestos.
Representan una base parcial sobre la que se toman
decisiones, dado que nos ayudan a describir los
sistemas del mundo real (generalmente se expresan en
forma numérica).

Continuos Discretos

¿Qué es la Investigación de Operaciones?

“ENFOQUE PARA RESOLVER PROBLEMAS ADMINISTRATIVOS
COMPLEJOS MEDIANTE EL USO DE LAS MATEMÁTICAS Y LA
COMPUTACIÓN”

ADMINISTRATIVOS
Desde el punto de vista del manejo de recursos.

MATEMÁTICAS
Para desarrollar un modelo que permita resolver el problema.

COMPUTACIÓN

Para desplegar el modelo y agilizar el resultado del problema.

Metodología de la Investigación de Operaciones

Todas las técnicas de solución de problemas tienen algo en común,
esto es, que manejan el mismo enfoque, la misma metodología

La aplicación del METODO CIENTÍFICO.

Modelo general de
Programación Lineal (Maximización o Minimización)

Función Objetivo:

Define la efectividad del modelo como función de la
variable de decisión.

Variables de Decisión:

Son las cantidades que deben deteerminarse en la
solución del modelo.

Restricciones:

Son aquellas condicionantes que imposibilitarían o
restringirían el logro y objetivos del problema.


METODO CIENTÍFICO.

Definición del problema; que represente
el problema o
Formular un modelo matemático; situación a
resolver. Estos
Derivar una solución para el modelo; pueden ser
lineales o
Validar la solución del modelo;
No lineales.

Implementar resultados.

DEFINICIÓN DE MODELO

Sistema
Sistema Variables Relaciones
Real Modelo
Real Asumido
Relevantes Relevantes

Método
de
Solución

Solución al Juicio y Experiencia Solución
Decisiones Interpretación
problema del del tomador al
sistema real de decisiones Modelo

La solución al problema se dá por la implementaciónn de la solución en el sistema real

Las partes de un MODELO MATEMÁTICO en IO , son:

Variables de Decisión: ¿Qué es lo que se va a decidir?

Función Objetivo: ¿Qué es lo que se quiere lograr?

Restricciones: ¿Qué es lo que nos limita
para lograr el objetivo?

Recursos Objetivos

Estructura de un problema de
Programación Lineal

Requerimientos:
• Demandas;
¿Qué se puede • Especificaciones;
cuantificar? • Tiempos de entrega; ....
• Etcétera...

Utilidades: MAXIMIZAR
¿Qué se puede
optimizar?
Desperdicios: MINIMIZAR

Modelo general de

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
x , x , ... , xn > 0
1 2

Modelo general de

Función Objetivo

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
x , x , ... , xn > 0
1 2

Modelo general de

Coeficiente de la FO

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
x , x , ... , xn > 0
1 2

Modelo general de

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
Restricciones

x , x , ... , xn > 0
1 2

Modelo general de

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
Coeficiente de restricción x , x , ... , xn > 0
1 2

Modelo general de

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
x , x , ... , xn > 0
1 2

Condición del recurso o requerimiento

Modelo general de

Recursos
o
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn Requerimientos

sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
x , x , ... , xn > 0
1 2

Modelo general de

Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:
ax ax
11 1+ 12 2 + ... + ax n n <, =, > b1
ax ax
21 1+ 22 2 + ... + ax n n <, =, > b2

a m1 x 1+ a m2x 2 + ... + a mn xn <, =, > bn
x , x , ... , xn > 0
1 2
Restrición de No - Negatividad


Construir el Problema
Observación Cuidadosa

Formular el
Definición Identificar el Problema Desarrollar el
del problema Sistema Modelo
a resolver

Proponer la
Hipótesis
Validación de la
Hipótesis

No Es válida la Derivar una
Implementar solución Solución
Resultados

Sí
Modificar el
Modelo

Requerimientos para resolver un
Modelo por PL

Plantearse una F.O. En términos de variables de decisión, es decir, X1, X2, ..., Xn

Las variables del problema deben estar interrelacionadas para
generar el “resultado total”

Plantear las restricciones.

Las restricciones deberán estar relacionadas con la disponibilidad o
usos de los recursos, la satisfacción de los requerimientos o el
surtimiento de la demanda (deben ser en forma lineal).

Valores de la variables .

Estos pueden ser fracionarios, pero deben ser mayores o iguales que
cero.

Tipos de soluciones

No-Básica

Factible Básica No-Óptima
Básica
Solución Básica Óptima

Degenerada

No-Factible

El arte de plantear problemas

La habilidad para transformar un problema del mundo real
en un modelo de PL debidamente planteado es un ARTE

Recomendación

El arte de plantear problemas se mejora con:

• paciencia,
• práctica,
• una estructura apropiada para aprobarlos.

Planteamiento de Problemas

Se tiene un proceso en el cual pueden fabricarse tres
productos distintos. El único recurso limitado para la
operación es la mano de obra, de la cual se disponen 400
horas hombre por semana.

Se sabe que el producto 1 requiere 8 horas de mano de obra
por unidad fabricada; el producto 2 requiere 4 horas por
unidad y el producto 3 requiere 2 horas por unidad.

El margen de contribución a las utilidades del producto 1 es
de $12.00 por unidad; el producto 2 contribuye con $10.00 y
el producto 3 contribuye con $8.00.

Desarrolle un modelo que MAXIMICE las ganancias a través
de la contribución total a utilidades.


Paso 1.- Definir las variables:

Sea: x 1 ≈ unidades del producto 1

x 2 ≈ unidades del producto 2

x 3 ≈ unidades del producto 3

Paso 2.- Definir la Función Objetivo:

Max. Z= 12 x1 + 10 + 8
x2 x3


Paso 3.- Descripción de las restricciones:

Modelo de requerimientos totales:

8x1 + 4x2 + 2x3

Relación Funcional:

8x1 + 4x2 + 2x3 < 400


Max. Z= 12 x1 + 10 x2 + 8 x3

s.a. 4 x2 < 400
8 x1 + + 2 x3

x1 , x2 > 0

METODO GRÁFICO

• Método de solución de un problema de PL que se
restringe a dos variables.

• Proporciona una mejor comprensión del problema y
facilita la interpretación de algunos pasos y resultados
obtenidos en el método de solución algebraico.

ferlam

METODO GRAFICO

La representación gráfica queda definida en el primer plano del eje
cartesiano. Esto no implica que no pueda ser utilizado otro plano
cartesiano, sin embargo, en lo general este puede ser presentado
en cualquier otro si así lo exigen las restricciones.

Las restricciones obtenidas en cada modelación de PL, definen un área
que contienen un número infinito de puntos, la cual NO excede la
desigualdad de restricción.

METODO GRAFICO

Ilustración de la graficación de tres restricciones: A, B, C.
x2
x2 x2

R1 R2 R3

A) B) C)

x1 x1 x1

R3 x2

R2

R1

x1

METODO GRAFICO

La graficación de las restricciones proporciona la Región Factible (zona factible) y
Solución Óptima.

Obtención de la región factible.
La región factible queda definida por aquellos puntos que satisfacen todas las
restricciones simultáneamente.

x2

x1

METODO GRAFICO / procedimiento

1 En una gráfica bidimensional ubicar las restricciones de No Negatividad usando
las variables de decisión X1 , X2 como los ejes de coordenadas.

x2

x1

Las restricciones de No Negatividad (X1 , X2 > 0) limitan a
utilizar la parte positiva de los ejes (cuadrante I).

2 Graficar cada una de las restricciones, tomando en cuenta el tipo de restricción
de que se trate ( > , = , <) . La graficación de las restricciones sobre el cuadrante
delimitarán el área factible (espacio de solución al problema).

METODO GRAFICO / procedimiento

Ejemplo para la graficación:

Max Xo = 3X1 + 5X2
s.a 2X1 + X2 < 230
X1 + 2X2 < 250
X2 < 120
X1, X2 > 0

PROCEDIMIENTO:

À Remplazar el signo de desigualdad con un signo de igualdad.
Á Para cada restricción: asignar arbitrariamente a cada variable el valor de cero y
deducir el valor de la otra variable.
Â Trazar la línea resultante con los valores obtenidos de X1 , X2 sobre el cuadrante.
Ã Identificar el lado factible (dirección) de la línea.
Ä Como resultado del trazado de cada restricción, definir la región factible.

METODO GRAFICO

Obtención de la Solución Óptima.

Una vez graficadas las restricciones y definida la Región o Zona de Factibilidad, se
grafica la Función Objetivo igualando a ésta a un valor arbitrario. El valor de la FO
puede ser uno aproximado al resultado esperado o bien puede obtenerse el par
ordenado de la Región Factible.

Definido el par ordenado (X1 , X2 ), se traza
x2
una recta la cual representa a la FO, la cual
se desplaza paralelamente en la dirección
requerida (Maximización o Minimización)
hasta encontrar el valor (solución única) o los
valores (solución múltiple) de las variables de
decisión X1 , X2 que hagan que la función
x1
objetivo sea óptima.

METODO GRAFICO
Solución Óptima.

La solución óptima queda definida
por los valores de X1 , X2 que hacen
x2 de la FO la mejor.
Valores de las
Función Objetivo
Para Maximización sería el
punto más lejano que toque
la pendiente de la FO
dentro de la región factible.

x1

¡ RECUERDA !

En la resolución de problemas de PL se pueden observar las siguientes propiedades
geométricas con la consecuente interpretación real:

+ Óptima.- Es decir, que tiene una solución con el valor de las variables que
que hace de la FO la mejor.

+ Infactible.- Es decir, que no existen valores de las variables que satisfagan
todas las restricciones simultáneamente.

+ Ilimitadas.- Es decir, que existen valores factibles de las variables que hacen
la función objetivo tan grande o tan pequeña como se desee.

+ Óptimas múltiples.- Es decir, que existe más de una sola solución óptima.

METODO GRAFICO

CONCLUSIONES:

• Cada solución factible básica de un problema de PL corresponde a un
punto extremo del espacio de soluciones factibles.

• Existe un punto extremo del espacio de soluciones factibles, que puede ser
no único, para el cual la función objetivo alcanza su valor óptimo.

Identificación de los tipos de solución en el método gráfico

• Solución Óptima Finita Única.

• Solución Óptima Finita Alternativa o Múltiple.

• Solución Óptima No Acotada.

• Región factible Vacía.

SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA

• Sólo ocurre en un punto extremo.

Acotada No - Acotada
Función Objetivo Función Objetivo
Óptimo Óptimo
Único Único

Región Factible
Región No - Acotada
Factible
Acotada

SOLUCIÓN ÓPTIMA FINITA, ALTERNATIVA O MÚLTIPLE

Acotada No - Acotada

Función Objetivo Función Objetivo
Rayo Óptimo
Óptimo
Alternativos

Región Factible
Región No - Acotada
Factible
Acotada

SOLUCIÓN ÓPTIMA NO - ACOTADA

Función Objetivo

Óptimo = + α para Maximización

Región
Factible Óptimo = - α para Minimización.
No - Acotada

REGIÓN FACTIBLE VACÍA

También se conoce como:

• Problema No factible.

• Problema Infactible.

• Problema Inconsistente.

• Problema con región factible vacía.
Ejemplo:

Min Xo = - 2X1 + 3X2

s.a : - X1 + 2X2 < 2

2X1 + X2 < 3

X2 > 4

X1 , X2 > 0

REGIÓN FACTIBLE VACÍA

No se logra limitar
un área

Método Simplex
Considere el siguiente modelo en PL, y
resuélvalo por el Método Simplex:

Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0

Método Simplex
1er. Paso:
Transforme el modelo a su forma estándar:

Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0
0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000

X 1 , X2 , S1 , S2 , S3 > 0

Método Simplex
El sistema nos muestra tres ecuaciones con cinco
variables, es decir: n = 5, m = 5, por lo tanto se tiene una
sistema con solución múltiple.

Cuando n=m, entonces sólo tiene un solución óptima.

El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tiene
una solución única dado que n>m. En general, el Número de
soluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donde
n>m, es:

n! 5!
mC n = = = 10 soluciones básicas.
m! (n-m)! 3! (5-2)!

Método Simplex
1er. Paso:
Entran al Tableu, las variables que son unitarias (que sus
vectores son unitarios).

Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0
0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000

X 1 , X2 , S1 , S2 , S3 > 0

Método Simplex
2do. Paso:
Construir el Tableu:
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100
S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800
S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000

Esta tabla se le conoce también como Tabla de Solución Básica Inicial, en donde:
S1 = 1100
S2 = 1800 En términos de resultado, diríamos que como Z = 0, no se estaría
S3 = 2000 fabricando nada; los recursos materiales se conservan.
Z=0

Método Simplex
3er. Paso:
Iniciar la solución del problema haciendo uso del
Criterio de Optimalidad y Factibilidad.

Criterio de Optimalidad

Caso de Maximización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos
del renglón Z son positivos o ceros.

Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,
la variable con el valor más negativo en el renglón Z.

Método Simplex
3er. Paso:
Criterio de Optimalidad

Caso de Minimización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos
del renglón Z son negativos o ceros.

Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,
la variable con el valor más positivo en el renglón Z.

Método Simplex
3er. Paso:
Criterio de Factibilidad

La variable que se selecciona para salir de la Base es aquella con el
menor cociente de los elementos del vector solución entre los
elementos del vector de la variable que entra a la Base, y que sean
mayores que cero.

Método Simplex
En este vector sólo aparecen las
variables que dan solución al problema.
Vector
Base Variables Básicas
Solución

Renglón Z

Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100
S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800
S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000

Variables que dan Vectores “unitarios” que como consecuencia dan solución
solución al problema al problema. Razón la que las variables de estos vectores
se encuentran en la Base (Vector Base)

Método Simplex
Dado que la Función es de Maximización, con base al criterio de
Optimalidad, X2 es la variable que entra a la Base por ser la variable más
negativa en el renglón Z.

Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100 1100/0.05 = 22,000

S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800 1800/0.10= 18,000

S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000 2000/0.05= 40,000

De acuerdo al Criterio de Factibilidad, S2 es la variable que se selecciona
para salir de la Base, ya que ella es la que tiene el menor cociente de los
elementos del vector solución entre los elementos del vector de la variable
que entra a la Base, y que son mayores que cero.

Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
Para que la variable que entra a la Base forme parte de la solución, el vector
correspondiente de la variable en la Tableu -dentro de las variables básicas-
debe hacerse unitario, para lo cual se efectuarán operaciones de “renglón” de la
siguiente forma:

1. Dividir todos los elementos del renglón de la variable que sale de Base entre
el elemento pivote, el cual se encuentra en la intersección de dicho renglón
con la columna de la variable que se introduce a la Base. Esto hace que el
elemento pivote se haga 1 (unitario). Para el caso de este ejercicio, sería
0.10.

2. Transformar mediante operaciones de renglón los renglones diferentes al de
la variables que sale de la Base, de manera que los elementos en la columna
de la variable que se introduce a la Base se hagan cero.

Método Simplex
4to. Paso:
(1)
Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución

Renglón de X2 0 0.5 0.1 0 1 0 1800
0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10

Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución

Renglón de X2 0 0.5 1 0 10 0 18,000

( 2 ) Ahora, transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros.

Método Simplex
4to. Paso:
(2)
Dado que al transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros se afecta a un
elemento de un renglón, todos los elementos del renglón también debe ser afectados por la
operación de renglón.

R1 Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
R2 S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100
R3 X2 0 0.5 1 0 10 0 18,000
R4 S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000

Operación del Renglón 1 (R1) para hacer cero al elemento: R3*(20) + R1

X2) 1*(20) + (-20) = 0 ; X1) 0.5*(20) + (-18.5) = - 8.5 ; S1) 0*(20) + 0 = 0;
S1) 10*(20) + 0 = 200; S3) 0*(20) + 0 = 0; Solución) 18,000 (20) + 0 = 360,000.

Método Simplex
4to. Paso:
Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución
R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000
R2 S1 0.05 0.05 1 0 0 1100
R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000
R4 S3 0.10 0.05 0 0 1 2000

Operación del Renglón 2 (R2) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R2

X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0;
S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(20) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.

Método Simplex
4to. Paso:
R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000
R2 S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200
R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000
R4 S3 0.10 0.05 0 0 1 2000


X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0;
S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(-0.05) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.

Método Simplex
4to. Paso:
R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000
R2 S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200
R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000
R4 S3 0.10 0.05 0 0 1 2000


X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.1) = 0.075; S1) 10*(-0.05) + 0 = -0.5;
S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S3) 0*(-0.05) + 1 = 1 ; Solución) 18000*(-0.05) + 2000 = 110.

Método Simplex
4to. Paso:

R1 Z - 8.5 0 0 200 0 360,000
R2 S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200
R3 X2 0.5 1 0 10 0 18,000
R4 S3 0.075 0 0 - 0.5 1 1100

Nueva Solución:
S1 = 200
X2 = 18,000
S3 = 1100
Z = 360,000

Método Simplex
4to. Paso:

R1 Z 0 0 340 30 0 428,000
R2 X1 1 0 40 - 20 0 8,000
R3 X2 0 1 0 20 0 14,000
R4 S3 0 0 -3 1 1 500

Solución óptima:
X1 = 8,000
X2 = 14,000
S3 = 500
Z = 428,000

Solución por Gauss-Jordan
Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0

El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tiene
una solución única dado que n>m. En general, el Número de
soluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donde
n>m, es:
n! 5!
m Cn= = = 10 soluciones básicas.
m! (n-m)! 3! (5-2)!

Dado que n-m = 2; para la construcción de la matriz, debemos
asignar le 0 (cero) en cada interacción a dos variables.

Creación de la Tabla: por cada solución básica se asignan ceros a dos variables.

Solución
Básica
X1 X2 S1 S2 S3 F.O.

1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
10 0 0

Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0
0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000

X1, X2, S1, S2, S3 > 0

Solución Básica Inicial:

S1 S2 S3 Solución
1 0 0 1100
0 1 0 1800
0 0 1 2000

Solución Básica Inicial:
Solución
Básica
X1 X2 S1 S2 S3 F.O.

1 0 0 1100 1800 2000 0

2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
10 0 0

X2 S2 S3 Solución
Solución 2: 0.05 0 0 1100
0.10 1 0 1800
0.05 0 1 2000

R1 X2 S2 S3 Solución
0.05 0.05 0 0 1100
0.10 1 0 1800
0.05 0 1 2000

X2 S2 S3 Solución
1 0 0 22000
0.10 1 0 1800
R1*(-0.10) + R2
0.05 0 1 2000
R1*(-0.05) + R3
X2 S2 S3 Solución
1 0 0 22000
0 1 0 - 400
0 0 1 900

Solución
Básica
X1 X2 S1 S2 S3 F.O.

1 0 0 1100 1800 2000 0

2 0 22000 0 - 400 900 440,000 Solución No factible
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
10 0 0

Solución
Básica
X1 X2 S1 S2 S3 F.O.

1 0 0 1100 1800 2000 0

2 0 22000 0 - 400 900 440,000 Solución No factible
3 0 18000 200 0 1100 360,000

4 0 40000 -900 - 2200 0 800,000 Solución No factible
5 22000 0 0 700 -200 407,000 Solución No factible
6 36000 0 -700 0 -1600 666,000 Solución No factible

7 20000 0 100 800 0 370,000

8 8000 14000 0 0 500 428,000

9 18000 4000 0 500 0 413,000

10 14676.6 10666.6 - 166.6 0 0 Solución No factible

Z = 428,000; 5 Soluciones Básicas No Factibles;
X1 = 8,0001; 1 Solución Básica Factible Óptima;
X2 = 14,000; 4 Soluciones Básicas Factibles No Óptimas;
S3 = 500. 0 Soluciones Básica Degeneradas.

Método Gráfico
Importante:

Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión.

Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0

Método Gráfico
Importante:

Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión.

Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000

X1, X2 > 0
Obtención de pares ordenados a partir de cada restricción:
0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
Haciendo X1 = 0 Haciendo X2 = 0
Sí , X1 = 0, X2 = 22000 Sí , X2 = 0, X1 = 22000

Punto 1: (0, 22000) Punto 2: (22000, 0)

Método Gráfico
Graficar en el Primer Plano:
Punto 1: (0, 22000) Punto 2: (22000, 0)

X2
Restricción:
0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100

(0, 22000)

(22000, 0)

0 X1

VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX
“Método de Penalización o Método de las EMES”

Ejemplo: Hallar la solución óptima del siguiente problema:

Máx X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3

s.a. 2X1 + X2 + X3 < 2
3X1 + 4X2 + 2X3 > 8
2X1 + 3X2 + X3 = 6

Xj > 0


PROCEDIMIENTO:
PASO 1:
Escribir el problema en forma estándar e incorporar la función objetivo a las
restricciones:

X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 0
2X1 + X2 + X3 + S1 = 2
3X1 + 4X2 + 2X3 - S2 = 8
2X1 + 3X2 + X3 = 6


PROCEDIMIENTO:
PASO 2:
Como existen tres restricciones, deben existir tres vectores unitarios. Observamos
en el caso que sólo existe uno (S1), ya que S2 es negativo, debemos insertar
variables artificiales.

Al incorporar las variables artificiales, recordar que debemos penalizar la función
objetivo con “un valor muy superior a cero” al que definiremos como “M”. Para ello
primero, insertemos las variables artificiales en las restricciones que sea necesario,
y ello es en donde no se tenga un vector unitario:

X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 0
2X1 + X2 + X3 + S1 = 2
3X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 8
2X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6


PROCEDIMIENTO:
PASO 2:

Una vez colocadas las variables artificiales en las restricciones, ahora penalizar la
función objetivo con una valor “Muy Grande” a través de “M”:

Max X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3 -MA1 -MA2 = 0

entonces:

X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 + MA1 + MA2 = 0
2X1 + X2 + X3 + S1 = 2
3X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 8
2X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6


PROCEDIMIENTO:
PASO 3:
Incorporar el sistema al Tableu:
Como A1 y A2 alteran las ecuaciones, en la primera oportunidad deben salir del
sistema.
Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución

R1 X0 1 -3 -2 -3 0 0 M M 0
-3M-3 -4M-2 -2M-3 0 M 0 M -8M
X0 ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M
R2 S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2
R3 A1 0 3 4 2 0 -1 1 0 8
R4 A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6

R3(-M)+R1 R4(-M)+R1


PROCEDIMIENTO:
PASO 4:
Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.

Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución Cociente

X0 ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M
S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2 2/1= 2
A1 0 3 4 2 0 -1 1 0 8 8/4= 2
A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6 6/3= 2

¿cuál sale?

PROCEDIMIENTO:
PASO 4:

Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución Cociente

X0 ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M
S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2 2/1= 2
A1 0 3 4 2 0 -1 1 0 8 8/4= 2
A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6 6/3= 2

Como los tres cocientes son iguales, es recomendable utilizar algún método de
“desempate”, de tal forma que no se cicle el proceso de solución. Para ello
estudiaremos dos métodos:

• PERTURBACIÓN.
• LEXICOGRÁFICO.

“Método de Desempate”
PERTURBACIÓN:

Este método modifica los recursos (bi).

bi = bi + âi1 ε1 + ai2 ε2 + ai1 ε3 + ... + âin εn

en donde ε adopta valores cercanos a cero : ε → 0
Supongamos que ε = 0.01
Ѣ1 = 2 + 2(0.01)1 + 1(0.01)2 + 1(0.01)3 + 1(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 0(0.01)7 = 2.02
Ѣ2 = 8 + 3(0.01)1 + 4(0.01)2 + 2(0.01)3 + 0(0.01)4 - 1(0.01)5 + 1(0.01)6 + 0(0.01)7 = 8.03
Ѣ3 = 6 + 2(0.01)1 + 3(0.01)2 + 1(0.01)3 + 0(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 1(0.01)7 = 6.01


PERTURBACIÓN:
Una vez obtenidos los valores br afectados, recalcular los cocientes con los
nuevos valores br :

S1 = 2.02/1 = 2.02
A1 = 8.03/4 = 2.0075
A2 = 6.02/3 = 2.006

Sale de la Base


LEXICOGRÁFICO:

Considera los elementos de los vectores unitarios para obtener cocientes
básicos. Si el producto cociente no logra ser desempatado, se proseguirá
con el siguiente vector.

En nuestro caso tenemos tres vectores. El vector primario es S1 , el
secundario A1 , y el terciario A2. Ellos se aprecian en la Base del Tableu, en
el orden de aparición de sus restricciones respectivas.
A cuerdo a nuestro caso, el primer desempate se da como sigue:

Ѳ1 = 1er vector básico/yrk ,si existe empate, se prosigue con el
segundo vector Ѳ2 , hasta su agotamiento.


LEXICOGRÁFICO:

Variable en la Ѳ1 Ѳ2 Ѳ3
Base
S1 2/1 = 2 1/1 = 1
A1 8/4 = 2 0/4 = 0 ¼ = 0.25
A2 6/3 = 2 0/3 = 0 0/3 = 0

Menor cociente


PROCEDIMIENTO:
PASO 4:

Base X1 X2 X3 S1 S2 A1 Solución
-2/3 M–
X0 -1/3 M – 5/3 0
7/3
0 M 0 4

S1 4/3 0 2/3 1 0 0 0

A1 1/3 0 2/3 0 -1 1 0

X2 2/3 1 1/3 0 0 0 2


PROCEDIMIENTO:
PASO 4:

Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución

X0 -1/2 0 0 0 -7/2 M 4

S1 1 0 0 1 1 0

X3 1/2 0 1 0 - 3/2 0

X2 1/2 1 0 0 1/2 2


PROCEDIMIENTO:
PASO 4:

Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución

X0 3 0 0 7/2 0 4

S2 1 0 0 1 1 0

X3 2 0 1 3/2 0 0

X2 0 1 0 - 1/2 0 2

X0 = 4; Solución Factible Óptima Degenerada:
S2=0;
X3=0;
X2=2.

MÉTODO DOBLE FASE

Este método surge como alternativa a la resolución con el método

de la “M”, y como su nombre lo indica, se resuelve, en dos fases.

Este método atiende casos en los que puede encontrarse restricciones

no sólo del tipo <, sino también del tipo >, o en su forma estándar ( = ).

MÉTODO DOBLE FASE

En la fase I, se intenta determinar una solución básica
factible a partir de la minimización de la función objetivo
artificial, obtenida ésta como suma de todas las variables
artificiales consideradas (o maximización con signo
negativo de las variables artificiales).

Si el valor de este objetivo artificial es cero, tendremos
una solución inicial para el problema original, y entonces
se pasa a la fase II. En otro caso, el problema es
infactible.

MÉTODO DOBLE FASE

En la fase II, se aplica el método simplex al problema
original (si no se tienen variables artificiales en la base al
final de la fase I), utilizando la solución básica obtenida en
la primera fase, como solución de partida.

Si al final de la fase I existen en la base variables
artificiales (con valor a cero), la función objetivo que se
considera es la original del problema más esas variables
artificiales, a las que se les asigna un coeficiente cj nulo.

Cuidar que al principio de la fase II se prescinda de las
columnas correspondiente a las variables artificiales que
estuviesen en la base al final de la fase I.

MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución

Paso 0. Poner el modelo en la forma estándar.

Modelo Forma Estándar
Min X0 = 4 X1 + X2 X0 - 4X1 - X2 – A1 + 0S1 – A2 + 0S2 = 0
3 X1 + X2 + A1 =3
s.a. 3 X1 + X2 = 3
4 X1 + 3 X2 - S1 + A2 =6
4 X1 + 3 X2 > 6
X1 + 2 X2 < 4
X1 + 2 X2 + S2 = 4

X1, X2 > 0

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.
Paso 1.

Modificar el objetivo considerando la maximización de
la función objetivo artificial Zº, la cual se construye
cambiando los coeficientes de la función objetivo del
Paso 0 colocándoles -1 a las variables artificiales, y 0 al
resto.
X0 - 4X1 - X2 – 1 A1 + 0S1 – 1A2 + 0S2 = 0

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.
Paso 2.

• Construir el Tableu.
• Colocar la función objetivo artificial Zº (penalizada)
como una fila (renglón) dentro del Tableu.
• Sumar los elementos de filas (renglones) de las
variables artificiales que se encuentren en la base a
cada elemento de cada vector a la función objetivo
original, y crear una nueva función objetivo Z*.

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.
Paso 2.
Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución

Zº 0 0 0 0 -1 -1 0

Z* 7 4 -1 0 0 0 9

A1 3 1 0 0 1 0 3

A2 4 3 -1 0 0 1 6

S2 1 2 0 1 0 0 4

X1 = 4 + 3 + 0 = 7; S1 = -1 + 0 + 0 = -1; A1 = 0 + 1 - 1 = 0

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.
Paso 2: Iniciar el proceso.
Recordar que para eliminar del problema a las variables
artificiales, la FO se reemplaza Temporalmente por la
Minimización de la suma de dichas variables”
Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución

Z* 7 4 -1 0 0 0 9

A1 3 1 0 0 1 0 3

A2 4 3 -1 0 0 1 6

S2 1 2 0 1 0 0 4

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.
Paso 2: Iteración Nº 1. La solución no es óptima.
Observe que como A1 salió de la base,
ésta ya no aparece en el Tableu actual.

Base X1 X2 S1 S2 A2 Solución

Z* 0 5/3 -1 0 0 2

X1 1 1/3 0 0 0 3

A2 0 5/3 -1 0 1 6

S2 0 5/3 0 1 0 4

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.
Paso 2: Iteración Nº 2. Solución óptima de la Fase I.

Base X1 X2 S1 S2 Solución

Z* 0 0 0 0 0

X1 1 0 1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 0 6/5

S2 0 0 1 1 1

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.

Conclusión:

Dado que se tiene una solución óptima en la fase I, y las

variables artificiales A1, y A2 han sido eliminadas,

entonces el problema original sí tiene una solución

factible, y para determinar ésta, se continua con la fase II.

MÉTODO DOBLE FASE

FASE I.

Conclusión:
Si se llegase a presentar una solución óptima y las
variables artificiales no lograran ser eliminadas, puede
ocurrir que no exista una solución factible para el
problema, y puedan darse contradicciones, por ejemplo
que X1 < 5, y X1 > 20, lo cual No puede ser; o bien que el
problema inicial no esté adecuadamente planteado.

MÉTODO DOBLE FASE

FASE II.

El proceso inicia con la incorporación de la función
objetivo original al Tableu óptimo de la fase I, y se
procede a efectuar los ajustes necesarios para que las
variables que deciden al problema continúen siendo
unitarias.

Una ves arreglado el Tableu, se continua con la
aplicación de los criterios de Optimalidad y
Factibilidad según la FO original, hasta llegar a la
solución óptima final.

MÉTODO DOBLE FASE

FASE II.
Paso 3: Incorporación de Z0 original al Tableu.


Incorporación de Z0 original. Z0 -4 -1 0 0 0

Renglón Z0 ajustado. Z0 0 0 1/5 0 18/5

El ajuste se realiza X1 1 0 1/5 0 3/5
mediante operación
de renglón. X2 0 1 -3/5 0 6/5

S2 0 0 1 1 1

MÉTODO DOBLE FASE

FASE II.
Paso 4: Continuar aplicando los criterios de
Optimalidad y Factibilidad..


Z0 0 0 1/5 0 18/5

X1 1 0 1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 0 6/5

S2 0 0 1 1 1

MÉTODO DOBLE FASE

FASE II.

Solución óptima
Z0 0 0 0 -1/5 17/5
Z0 = 17/5
X1 1 0 0 -1/5 2/5 X1 = 2/5
X2 = 9/5
X2 0 1 0 3/5 9/5

S1 0 0 1 1 1

DUALIDAD
Antecedentes:

• La programación lineal puede ser usada para resolver una
extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea
para maximizar utilidades o minimizar costos.

• Las variables de decisión, en cada caso la solución óptima,
explica cómo podrían ser asignados los recursos para obtener
un objetivo establecido.

DUALIDAD

Todo problema de PL tiene asociado a él otro
problema cuya formulación se deriva del
primero. Un problema es llamado “primo”
(primero) y el otro dual.

Ahora veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia
otro problema de programación lineal, llamado el problema de
programación dual.

DUALIDAD

La “solución óptima” del problema de programación dual, proporciona
información respecto del problema de programación original, tal como:

1. los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasos
asignados en el problema original.

2. la solución óptima del problema original y viceversa.

Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el
problema de programación primal.

DUALIDAD
Problema Dual cuando el primo está en la forma canónica:

Primo: Max X0 = ∑ Cj Xj Dual: Min X0 = ∑ bi YI

n n
s.a. ∑
j=1
aij Xj < bi ; i = 1, 2, …, m. ∑ aijj=1 i
X > Cj

n Xj > 0 n Yi > 0
j=1 j=1

en donde Yi , es la variable dual asociada a la i-ésima restricción primal.

“A PARTIR DEL DUAL PODEMOS TOMAR DECISIONES”

DUALIDAD
El problema DUAL se obtiene del problema primo de la siguiente manera, y viceversa:

1. Cada restricción en un problema corresponda a una variable en el otro.
2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en el problema son iguales a los
coeficientes respectivos de la F.O. en el otro.
3. Un problema busca Maximizar y el otro Minimizar.
4. El problema de Maximizar tiene problemas de “ < “ y el de Minimizar, tiene “ > “.
5. Las variables en ambos problemas son No-Negativas.

PRIMO: DUAL:
Max X0 = C1 X1 + C2 X2 Min X0 = b1 Y1 + b2 Y2
s.a. a11 X1 + a12 X2 < b1 s.a. a11 y1 + a12 y2 > C1
a21 X1 + a22 X2 < b2 a21 Y1 + a22 Y2 > C2

X1 , X2 > 0 Y1 , Y2 > 0

DUALIDAD
Correspondencia Primal-Dual

del primo al Dual del Dual al Primo
Max Min
Restricción < Variables >
Restricciones = Variables irrestrictas
Restricciones > Variables < 0
Variables > 0 Restricciones >
Variables irrestrictas Restricciones =
Variables negativas (0 < ) Restricciones <

DUALIDAD
Durante una solución PRIMO, encontraremos que los valores de las
iteraciones en el Primo SERÁN MAYORES que los valores de la
iteraciones del DUAL, sin embargo al final (la última iteración) se llega al
mismo resultado.

Tipos de soluciones
PRIMO DUAL
Óptimo Óptimo
No Factible o No Acotado No Factible
No Factible No Acotado o No Factible

DUALIDAD
“Precio Sombra”

Se define como la proporción con que mejora el valor de la función
objetivo a partir de la i - ésima restricción, dependiendo si se trata
de maximización tiende a aumentar, y a disminuir cuando es de
minimización.

DUALIDAD
ESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL
MODELO DUAL”
Una compañía produce dos tipos de artículos: la unidad del Tipo I que
se vende a $106 pesos, y la del Tipo II a $144 pesos.

Para el presente mes la empresa cuenta con 2000 minutos de mano de
obra en el departamento de ensamble, 1800 minutos en el
departamento de revisión, y con 1000 minutos en el departamento de
empaque.

El número de minutos requeridos en cada departamento para la
fabricación de una unidad de cada uno de los artículos se proporciona
en la siguiente Tabla.

Tiempo disponible (min) en los departamentos
Artículo
Ensamble Revisión Empaque
Tipo I 3 2 1
Tipo II 2 3 2

DUALIDAD
MODELO DUAL”
Otros datos:

Pago por cada minuto de trabajo en departamentos
Ensamble Revisión Empaque
$10 $8 $20

El administrador de la empresa desea determinar el programa de
producción que maximice la utilidad total del mes de la compañía.

DUALIDAD
MODELO DUAL”
Tabla de costos, y determinación de la utilidad neta por artículo:

Artículo
Concepto
Tipo I Tipo II
Precio de Venta 106 144
Costo de producción 66 84
Costo de ensamble 30 20
Costo de revisión 16 24
Costo de empaque 20 40
Utilidad unitaria neta 66 84

DUALIDAD
Construcción del modelo

Definición de la variable:

Sea Xi, el número de artículos del Tipo i (i= 1, 2) que deben producirse
mensualmente, a fin de maximizar la utilidad de la compañía.

Máx X0 = 40X1 + 80X2

s.a. 3X1 + 2X2 < 2000 min (depto. ensamble)
2X1 + 3X2 < 1800 min (depto. revisión)
X1 + 2X2 < 1000 min (depto. empaque)

Xi > 0; Vi

DUALIDAD
Solución mediante Win QSB

Incremento en $ por cada minuto que
se incremente en los departamentos.

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