VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
METODOLOGIA DO ENSINO
DA MATEMÁT...
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB
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Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
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Orientações para o Autoestudo
O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetiv...
Dicas para o Autoestudo
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SUMÁRIO
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programático
UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS
I. ESTRUTURAS COGNITIVAS QUE OPERAM
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11Contextualização da Disciplina
Com origem nas civilizações gregas, a Matemática vem desempenhando um papel importante no...
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1.1 - Introdução
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Conceitos Fundamentais da Matemática
2.1 - Construção da Aritmética
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A distinção entre os dois tipos de abstração pode
parecer sem importância, enquanto a criança está
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O pensamento da criança evolui e passa por estágios
e em cada estágio ela tem uma maneira particular de
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  1. 1. VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA Rio de Janeiro / 2008 Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco Conteudista Monica Baeta Marques
  2. 2. UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB. Universidade Castelo Branco - UCB Avenida Santa Cruz, 1.631 Rio de Janeiro - RJ 21710-250 Tel. (21) 3216-7700 Fax (21) 2401-9696 www.castelobranco.br Un3m Universidade Castelo Branco Metodologia do Ensino da Matemática / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2008. - 56 p.: il. ISBN 978-85-7880-040-6 1. Ensino a Distância. 2. Título. CDD – 371.39
  3. 3. Apresentação Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu- ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es- peram retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua. Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe- cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica. Seja bem-vindo(a)! Paulo Alcantara Gomes Reitor
  4. 4. Orientações para o Autoestudo O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito. Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com- plementares. As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1. Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades. Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas. A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 30 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso. Bons Estudos!
  5. 5. Dicas para o Autoestudo 1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo. 2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções. 3 - Não deixe para estudar na última hora. 4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor. 5 - Não pule etapas. 6 - Faça todas as tarefas propostas. 7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina. 8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação. 9 - Não hesite em começar de novo.
  6. 6. SUMÁRIO Quadro-síntese do conteúdo programático .................................................................................................. 09 Contextualização da disciplina..................................................................................................................... 11 UNIDADE I ESTRUTURAS COGNITIVAS QUE OPERAM NA CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS 1.1 - Introdução............................................................................................................................................. 13 1.2 -Acriançade0a6anos:queconhecimentospodemedevemconstruir............................................................... 18 UNIDADE II CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA 2.1 - Construção da Aritmética .................................................................................................................... 22 2.2 - A noção de quantidade.......................................................................................................................... 25 2.3 - A noção de números perceptuais.......................................................................................................... 26 2.4 - As operações de classificação e seriação.............................................................................................. 27 2.5 - Grandezas e medidas............................................................................................................................ 28 2.6 - Espaço e forma..................................................................................................................................... 29 UNIDADE III ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS QUE POSSIBILITAM A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS FUNDA- MENTAIS DA MATEMÁTICA 3.1 - O problema como ponto de partida da atividade matemática.............................................................. 32 3.2 - O problema como estruturador de uma situação que deve ser resolvida ............................................ 33 3.3 - O saber matemático como um sistema conceitual que permite resolver as situações-problema........ 37 3.4 - Algumas considerações complementares para a construção de conceitos matemáticos..................... 39 UNIDADE IV APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIL E NO ENSINO FUNDAMENTAL 4.1 - Na Informática ..................................................................................................................................... 43 4.2 - No Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade............................................................... 44 4.3 - Coleta, organização, comunicação e interpretação de dados................................................................ 46 4.4 - Leitura de tabelas, gráficos e outras formas de representação de dados............................................... 46 Glossário....................................................................................................................................................... 51 Gabarito......................................................................................................................................................... 54 Referências bibliográficas............................................................................................................................. 55
  7. 7. Quadro-síntese do conteúdo programático UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS I. ESTRUTURAS COGNITIVAS QUE OPERAM NA CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATE- MÁTICOS 1.1. Introdução 1.2. A criança de 0 a 6 anos: que conhecimentos po- dem e devem construir • Analisar o desenvolvimento cognitivo do ser huma- no sob a ótica do construtivismo amparado por três teóricos: Piaget, Vygotsky e Wallon; • Reconhecer os conceitos matemáticos que crianças de 0 a 6 anos podem adquirir; • Analisar como a construção do conhecimento mate- mático é promovido. II. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATE- MÁTICA 2.1. Construção da Aritmética 2.2. A noção de quantidade 2.3. A noção de números perceptuais 2.4. As operações de classificação e seriação 2.5. Grandezas e medidas 2.6. Espaço e forma • Identificar conceitos fundamentais da Matemática e como devem ser desenvolvidos na Educação Infantil e no Ensino Fundamental; • Refletir sobre novas possibilidades do conhecimen- to matemático; • Refletir sobre novas teorias na Educação Matemá- tica. III. ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS QUE POS- SIBILITAM A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA 3.1. O problema como ponto de partida da atividade matemática 3.2. O problema como estruturador de uma situação que deve ser resolvida 3.3. O saber matemático como um sistema conceitual que permite resolver as situações- proble- ma 3.4. Algumas considerações complementares para a construção de conceitos matemáticos • Refletir e analisar os princípios metodológicos que devem nortear a prática pedagógica em Matemática; • Refletir e analisar as novas possibilidades de cons- truir conceitos matemáticos; • Refletir e discutir princípios que favoreçam a apren- dizagem significativa de conceitos matemáticos; • Refletir sobre o papel do professor de Matemática no mundo contemporâneo. IV. APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA NA EDU- CAÇÃO INFANTIL E NO ENSINO FUNDAMEN- TAL 4.1. Na Informática 4.2. No Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade 4.3. Coleta, organização, comunicação e interpretação de dados 4.4. Leitura de tabelas, gráficos e outras formas de representação de dados • Refletir, analisar e discutir as diversas possibilida- des de aplicações de conceitos matemáticos na Edu- cação Infantil e no Ensino Fundamental.
  8. 8. 11Contextualização da Disciplina Com origem nas civilizações gregas, a Matemática vem desempenhando um papel importante no sistema educacional. É uma ciência viva, dinâmica, em constante desenvolvimento e, apesar de apresentar uma carac- terística universal, desde os tempos mais remotos vem atuando como filtro social, trazendo como consequência o preconceito. Entretanto, a Educação Matemática é útil como instrumentador para a vida e para o trabalho, é parte integran- te de nossas raízes culturais, ajuda a pensar com clareza e a raciocinar melhor, apresenta caráter universal e uma beleza intrínseca como construção lógica e formal. Por conseguinte, a Educação Matemática vem passando por sérias avaliações, reflexões e críticas ao longo dos anos. Vários autores, diante da rapidez crescente dos avanços tecnológicos e científicos, estão preocupados com o rumo que o ensino da Matemática tem tomado, concordando que, para esse ensino, urge a necessidade de mudanças, descobertas de novos caminhos, novos paradigmas, novas concepções e novas práticas. Educadores e pesquisadores compromissados com uma educação que forme alunos críticos e criativos devem estar sempre procurando refletir sobre a maneira habitual de proceder, discutir novas fontes teóricas, novas alternativas às práticas escolares, novos princípios metodológicos para não perpetuarem um ensino de mera transmissão de conteúdos, totalmente desprovido de significados. Consequentemente é preciso que utilizemos recursos metodológicos que, além de trabalharem com atividades concretas, envolvam o mesmo num processo reflexivo sobre a atividade. Importa, portanto, analisar o ensino da Matemática na Educação Infantil e no Ensino Fundamental na cons- trução e aplicação de conceitos fundamentais da Matemática no cotidiano escolar, bem como estratégias me- todológicas educacionais pertencentes ao currículo, levando em conta as reais necessidades dos alunos. Acre- ditamos que ensinar Matemática através da resolução de problemas favorece um fazer pedagógico que melhor atenda às expectativas dos professores, contribuindo, de um lado, para análise de diferentes práticas pedagógi- cas e, de outro, para a elaboração crítica de outras representações da Educação Matemática.
  9. 9. 13UNIDADE I Estruturas Cognitivas que Operam na Cons- trução dos Conceitos Matemáticos 1.1 - Introdução Antes de considerarmos quais conhecimentos as crianças necessitam adquirir, é de suma importância que analisemos como o desenvolvimento cognitivo do ser humano se promove e, consequentemente, como as crianças constroem seus conhecimentos a partir de uma perspectiva construtivista, já que, de acordo com Miranda (2000:23-24), o construtivismo é defi- nido como “uma dimensão constitutiva e, portanto, um aspecto não-casual, não-acessório e não-secundá- rio, das reformas educacionais que se processam, na atualidade, em vários países do mundo”. Baseados na perspectiva descrita, que discute o conceito de cons- trutivismo fundamentando-se em teorias psicológi- cas da aprendizagem ou do desenvolvimento, é que discutimos a construção do conhecimento, uma vez que as respectivas teorias se orientam “pelo princípio de que o aluno, mediante sua ação e auxiliado pelo professor, deva ser o agente de seu próprio conheci- mento”. Segundo Goulart (2002: 13), a origem e a evolução do conhecimento podem ser explicadas, atualmente, por três vertentes diferentes. Alguns teóricos, como Konrad Lorenz e Noam Chomsky, defendem o inatis- mo e concordam que “o conhecimento é pré-formado, ou seja, já nascemos com as estruturas do conheci- mento”. No empirismo, de forma inversa, acreditam que “o conhecimento tem origem e evolui a partir da expe- riência que o sujeito vai acumulando” (Ibidem). Po- demos citar J. B. Watson e B. F. Skinner como seus adeptos mais famosos. Um último modelo teórico e objetivo desta unida- de é o construtivismo, em que adeptos como Piaget, Wallon, Vygotsky, Leontiev e Luria admitem que “o conhecimento resulta da interação do sujeito com o ambiente” (Ibidem: 14). Portanto vamos examinar alguns estudiosos cujas teorias psicológicas tratam do desenvolvimento do conhecimento humano: Piaget, que declarava que o conhecimento vem da interação do indivíduo com o meio; Vygotsky, que conferiu um imenso valor à interação social no processo de construção das fun- ções psicológicas humanas; e, enfatizando a impor- tância da emoção, nos deparamos com Wallon, cujas ideias contribuíram para o pensamento interacionista que considerava vários aspectos do sujeito – afetivo, cognitivo e motor. Consequentemente conduzindo à autonomia moral e intelectual, possibilitando ao indi- víduo a real construção do conhecimento. Sabemos que não existe uma única teoria que me- lhor responda a todos os aspectos dos processos de desenvolvimento e aprendizagem. Os teóricos aqui citados fornecem subsídios necessários para que compreendamos a complexidade do sujeito e a for- ma como ele aprende e se desenvolve, possibilitando para nós, educadores, uma atuação pedagógica com- prometida, integrada e contextualizada à sociedade em que vivemos. Jean Piaget De acordo com Goulart (2002), Piaget evidencia três aspectos distintos do desenvolvimento psíquico, analisados sob a ótica da relação que um sujeito es- tabelece com o outro, perpassando em um primeiro momento pela anomia (ausência de regras), depois pela heteronomia (regras imposta pelo outro) e, por último, chegando à autonomia. São eles: • Funções do conhecimento – envolvendo o pensa- mento, as percepções e a construção de conceitos. • Funções de representação da realidade – envol- vendo linguagem, jogo, imitação, desenho. • Funções afetivas – mola propulsora do desenvol- vimento cognitivo. A maior parte de seus estudos foi dedicada às fun- ções do conhecimento (desenvolvimento cognitivo), nos quais a visão piagetiana, até hoje, vem sendo usa- da e desenvolvida nos meios educacionais. O desenvolvimento cognitivo, para Piaget, abrange quatro estágios: sensório-motor, pré-operatório, ope- ratório concreto e das operações formais. Em cada estágio, o conhecimento é inserido em uma estrutura. Identificam-se as funções constantes, “comum a todas as idades. Em todos os níveis, a ação supõe sempre um interesse que a desencadeia, podendo-se tratar de uma necessidade fisiológica, afetiva ou intelectual” (Piaget, 1999: 14). Paralelas às funções constantes, percebe-se as estruturas variáveis – maneiras da ati-
  10. 10. 14 vidade mental se organizar – modos sucessivos para atingir o equilíbrio. Piaget descreve que cada estágio, composto pelas estruturas que o determinam, “pos- sui uma forma particular de equilíbrio, efetuando-se a evolução mental no sentido de uma equilibração1 sempre mais completa” (Ibidem: 15). Ainda que a sequência dos estágios instituída por Piaget evolua de forma ampla e contínua, podem ocorrer pequenas alterações quanto à idade estipulada em cada um. Como ele mesmo afirma, “o desenvol- vimento mental é uma construção contínua, compará- vel à edificação de um grande prédio que, à medida que se acrescenta algo, ficará mais sólido”. (Palan- gana, 2001: 14) Portanto privar a criança/adoles- cente de desafios possibilita um atraso ou progresso das etapas de desenvolvimento. E por conseguinte, Piaget descreve como a criança e o adolescente evo- luem pelos quatro estados, que ele próprio chama de fases de transição (Piaget, 1975). No primeiro estágio, denominado sensório-motor (0 a 2 anos), a criança faz uso das percepções sensoriais (sucção) para explorar o mundo que a rodeia, ou seja, a criança explora o meio físico através de seus es- quemas motores, por exemplo: pegar, jogar, morder. Nessa fase, a criança vai desenvolvendo a noção do seu eu, conhecendo seu corpo e percebendo que faz parte do contexto. Também é marcado pela constru- ção prática das noções de objeto, espaço, causalidade e tempo (Macedo, 1991). O segundo estágio do desenvolvimento cognitivo é definido por Piaget como pré-operatório ou objeti- vo simbólico (2 a 6/7 anos). A criança já é capaz de manusear esquemas simbólicos – desenho, jogo, lin- guagem – só conseguindo ver o mundo a partir dela mesma, assim é também conhecido como o estágio da Inteligência Simbólica. Macedo (1991), ainda ressal- ta que a atividade sensório-motora não está esquecida ou abandonada, mas refinada e mais sofisticada. Se oferecermos duas massinhas iguais em formatos dife- rentes, por exemplo, uma em forma de bola e a outra em forma de salsicha, a criança negará que a quanti- dade de massas continue igual, já que os formatos são diferentes. Portanto a criança não estabelece relações entre as situações apresentadas. Alguns aspectos da criança no referente estágio: • É egocêntrica, centrada em si mesma, e não conse- gue se colocar, abstratamente, no lugar do outro. • Não aceita a ideia do acaso e tudo deve ter uma explicação (é a fase dos “porquês”). 1 Em Piaget, no mecanismo de equilibração, ocorre a passagem de uma situação de menor equilíbrio para uma de maior equilíbrio. Uma fonte de desequilíbrio acontece quando se espera que uma situação aconteça de determinada maneira, e não acontece. O desequilíbrio deve ser resolvido por meio de um processo de assimilação e acomodação de uma nova situação. Portanto o equilíbrio será restabelecido, para em seguida sofrer outro desequilíbrio, resultando em fases mais ou menos duradouras de desequilíbrio e de busca de um novo equilíbrio. O balanço entre assimilação e acomodação é chamado de adaptação. “Esta é a forma geral de equilíbrio psíquico. O desenvolvimento mental aparecerá, então, em sua organização progressiva como uma adaptação sempre mais precisa à realidade” (Piaget, 1999: 17). • Já pode agir por simulação, “como se”. • Possui percepção global sem discriminar deta- lhes. • Deixa se levar pela aparência sem relacionar fa- tos. O estágio operatório concreto (6/7 até 11/12 anos) é o que vem logo a seguir. A criança já é capaz de executar operações concretas, conseguindo fazer re- lações e abstrair dados da realidade. Desenvolve tam- bém a capacidade de representar uma ação no sentido inverso de uma anterior, anulando a transformação observada (reversibilidade). Durante o desenvolvi- mento mental da criança, aparecem operações lógicas e operações infralógicas. “Umas são indispensáveis ao desenvolvimento das outras” (Goulart, 2002: 41). Nas operações lógicas surgem as operações de classificação, seriação e compensação simples. As operações infralógicas são resultantes da “construção de invariantes físicas (substância, peso, volume) e de invariantes espaciais (conservação da superfície do comprimento, do volume, estabelecimento de hori- zontais e verticais etc.)” (Goulart, 2002: 41). O terceiro estágio é de suma importância para o de- senvolvimento mental da criança, pois marca o início da escolaridade. Novos modos de organização e cons- trução do pensamento vão aparecendo e complemen- tando os do período anterior. Segundo Piaget (1999: 42): (...) a criança de sete anos começa a se liberar de seu egocentrismo social e intelectual, tornando-se, então, capaz de novas coordenações, que serão da maior importância, tanto para a inteligência quanto para a afetividade. Para a inteligência, trata-se do início da construção lógica, que constitui, precisamente, o sis- tema de relações que permite a coordenação dos pon- tos de vista entre si. Estes pontos de vista são tantos aqueles que correspondem a indivíduos diferentes, como aqueles correspondentes a percepções ou in- tuições sucessivas do mesmo indivíduo. Para a afe- tividade, o mesmo sistema de coordenações sociais e individuais produz uma moral de cooperação e de autonomia pessoal, em oposição à moral intuitiva de heteronomia característica das crianças. O quarto e último estágio do desenvolvimento cog- nitivo é definido por Piaget como estágio das opera- ções formais (11/12 anos até a vida adulta). O adoles- cente desenvolve, agora, a capacidade de raciocinar sobre hipóteses e ideias abstratas, utilizando, portan- to, o pensamento hipotético-dedutivo “e, com ele, a
  11. 11. 15 constituição de uma lógica “formal”, quer dizer, apli- cável a qualquer conteúdo” (Ibidem: 107). Tem como fundamental particularidade a distinção entre o real e o possível. Lev Semynovitch Vygotsky A obra vygotskiana apresentou significativo amparo teórico dos filósofos Karl Marx e Friedrich Engels. “Como Marx e Engels, Vygotsky acredita que o ho- mem não é apenas um produto de seu meio, ele é também um sujeito ativo no movimento que cria este meio, esta realidade” (Palangana, 2001: 121). Para ele, o desenvolvimento da criança é produto de instituições sociais e sistemas educacionais, como a família, escola, igreja, que ajudam a construir o pró- prio pensamento e descobrir o significado da ação do outro e da própria ação. Três aspectos básicos norteiam a teoria vygotskiana. O primeiro se refere à origem dos processos psico- lógicos superiores do ser humano, fundamentada nas relações socioculturais do homem com o mundo exte- rior. Tem como base biológica de seu funcionamento psicológico o cérebro, entendido como “um sistema aberto, de grande plasticidade, cuja estrutura e modos de funcionamento são moldados ao longo da história da espécie e do desenvolvimento individual” (Oli- veira, 1997: 24). O segundo aspecto diz respeito à relação do homem com o mundo como uma relação mediada por sis- temas simbólicos – instrumentos e signos. As bases dessa mediação, que se fundamentam dentro de um contexto sócio-histórico, segundo Rego (2002: 43), são imprescindíveis, pois “é através dos instrumen- tos e signos que os processos de funcionamento psi- cológico são fornecidos pela cultura. É por isso que Vygotsky confere à linguagem um papel de destaque no processo de pensamentos”. O terceiro aspecto “postula que a análise psicológi- ca deve ser capaz de conservar as características bá- sicas dos processos psicológicos, exclusivamente hu- manos” (Ibidem). A esse respeito, Palangana (2001: 96-97) escreve: Uma vez definido o método, Vygotsky empreende uma série de pesquisas com o propósito de estudar os aspectos tipicamente humanos do comportamento e elaborar hipóteses sobre como essas característi- cas se formam ao longo da história dos homens e de como se desenvolvem durante a vida de um indiví- duo. A questão central para ele consiste em explicar como a maturação física e a aprendizagem sensório- motora interagem com o ambiente, que é histórico – e em essência social –, de forma a produzir as funções complexas do pensamento humano. (...) Os fatores biológicos preponderam sobre os sociais apenas no início da vida. Aos poucos, o desenvolvimento do pensamento e o próprio comportamento da criança passam a ser orientados pelas interações que esta estabelece com pessoas mais experientes. (...) De acordo com Vygotsky, as abordagens maturacionais tendem a supervalorizar os processos intraindividu- ais, minimizando o impacto do ambiente social no desenvolvimento cognitivo. Convém ressaltar que para ocorrer o desenvolvimen- to das funções psicológicas superiores, restritamente humanas, é preciso que o processo de mediação sim- bólica aconteça, pois é justamente no mesmo proces- so que Vygotsky identifica a linguagem como princi- pal mediador da relação entre ser humano e mundo e com os outros indivíduos. “Alinguagem é um sistema de signos que possibilita o intercâmbio social entre indivíduos que compartilhem desse sistema de repre- sentação da realidade” (Rego, 2002: 54). A relação entre pensamento e linguagem é outro ponto de destaque na obra de Vygotsky. Quando ele analisa as origens do pensamento e da linguagem, ou seja, suas “raízes genéticas”, propõe a existência de quatro estágios no curso do desenvolvimento das fun- ções psicológicas que abarcam o emprego de signos. “Sendo assim, a linguagem tanto expressa o pensa- mento da criança como age como organizadora desse pensamento” (Ibidem: 64). Do mesmo modo e em conformidade com Palanga- na (2001: 104-105), descrevemos brevemente os qua- tro estágios traçados por Vygotsky: • Estágio natural ou primitivo – corresponde à fala pré-intelectual e ao pensamento pré-verbal. • Estágio das experiências psicológicas ingênuas – a criança domina a sintaxe da fala antes de dominar a sintaxe do pensamento. • Estágio dos signos exteriores – corresponde à fala egocêntrica e o pensamento atua basicamente com operações externas, das quais a criança se apro- pria para resolver problemas internos. • Estágio de crescimento interior – interiorização do pensamento e da linguagem. É importante destacar que, para Vygotsky, esses es- tágios de desenvolvimento cognitivo não possuem caráter universal. Reconhecendo a imensa diversida- de nas condições histórico-sociais em que as crianças vivem, ele acredita que as oportunidades abertas para cada uma delas são muitas e variadas, enfatizando, mais uma vez, a relevância do social na formação do pensamento. Do ponto de vista vygotskyano, não se pode falar em uma sucessão rígida de estágios, mas sim em coexistência de fases a depender das condi- ções acima referidas (Ibidem: 105).
  12. 12. 16 Na concepção de Vygotsky, a aprendizagem impul- siona, possibilita e movimenta o processo de desen- volvimento, sendo a escola considerada essencial na construção do ser psicológico e racional. Por conse- guinte, a escola, funcionando como uma instituição incentivadora de novas conquistas psicológicas, deve dirigir o ensino não para etapas intelectuais já alcan- çadas, mas sim para estágios de desenvolvimento, ainda não incorporados pelos alunos. A escola, num primeiro momento, deveria partir do nível de desenvolvimento real da criança (em relação ao conteúdo) e chegar aos objetivos da aula, ou seja, chegar ao potencial da criança. É atribuído ao profes- sor o papel explícito de interferir na zona de desen- volvimento proximal (ZDP) dos alunos, provocando consequentemente, avanços que não ocorreriam es- pontaneamente. Observemos que o nível de desenvolvimento real abordado na teoria vygotskyana refere-se ao nível atual, real e efetivo da criança, ou seja, à tarefa alcan- çada pela criança sem a ajuda do outro. No entanto, o nível de desenvolvimento potencial é definido pelo nível em que a criança alcança uma tarefa com a aju- da de outros mais experientes (pai, professor, colega). “A distância entre aquilo que ela é capaz de fazer de forma autônoma (nível de desenvolvimento real) e aquilo que ela realiza em colaboração com outros ele- mentos de seu grupo social (nível de desenvolvimento potencial) caracteriza o que Vygotsky denomina de zona de desenvolvimento proximal” (Rego, 2002: 73). O que ocorre para Vygotsky é que o aprendizado progride mais rapidamente do que o desenvolvimen- to. Por isso, a proposta do termo zona de desenvol- vimento proximal (ZDP) em sua teoria é aquela em que a escola deve atuar. É no mesmo espaço que o professor, agente mediador (por meio da linguagem, material cultural), intervém e auxilia na construção e elaboração de estratégias pedagógicas para o desen- volvimento do aluno. No entanto, devemos considerar que a “ZDP é uma propriedade estável e estática”, não existindo uma única ZDP por aluno, mas inúmeras. Do mesmo modo, temos que levar em conta que “o papel do pro- fessor ao oferecer ajuda ao aluno supõe criar diferen- tes e frequentes ZDP, permitindo que o pensamento do aluno vá progressivamente se modificando, em direção a tarefas progressivamente mais complexas” (Antunes, 2002: 30). Henry Wallon Wallon buscou nos princípios do materialismo dia- lético o referencial epistemológico para sua teoria, “perspectiva filosófica especialmente capaz de captar a realidade em suas permanentes mudanças e trans- formações” (Galvão, 2002: 31). No que diz respeito aos procedimentos metodológi- cos, escolheu a observação pura “como instrumento privilegiado da psicologia genética. (...) Só podemos entender as atitudes das crianças se entendemos a tra- ma do ambiente no qual está inserida” (Ibidem: 36). O estudo realizado sobre o desenvolvimento huma- no é centrado na criança contextualizada e também, como em Piaget e Vygotsky, apresenta alguns está- gios. Uma das características das etapas elaboradas por Wallon é não seguir uma linearidade, são descon- tínuas, marcadas “por rupturas, retrocessos e revira- voltas”, provocando em cada fase profundas mudan- ças nas anteriores. “Para Wallon, a passagem de um a outro estágio não é uma simples ampliação, mas uma reformulação” (Ibidem: 41). Em cada fase do desenvolvimento prevalece um tipo de atividade relacionada com o ambiente em que a criança está inserida, dependente dos recursos de que ela dispõe naquele momento. As fases propostas por Wallon se expressam nos cinco estágios descritos de forma sucinta abaixo. • Estágio impulsivo-emocional: refere-se ao pri- meiro ano de vida da criança. A emoção é o ins- trumento dominante na interação da criança com o mundo. A “afetividade é impulsiva, emocional, que se nutre pelo olhar, pelo contato físico e se expressa em gestos, mímica e posturas” (Ibidem: 45). • Estágio sensório-motor e projetivo: vai até os três anos. A criança adquire um certo domínio do mo- vimento, diversificando a afetividade sensório-moto- ra para exploração do mundo físico. O ato precede ao pensamento e o desenvolvimento das funções simbó- lica e da linguagem é também marcante. • Estágio do personalismo: dos três ao seis anos. Caracteriza-se pela formação da personalidade. A conscientização da sua própria pessoa ocorre com a interação social. A criança passa pelo período do negativismo (“do NÃO, do EU e do MEU” (Ibidem: 119), da autoafirmação, da gratidão e da imitação. Pode participar da vida de diferentes grupos sociais como escola e clubes e nem sempre ocupa o mesmo papel, sendo importante o intercâmbio social. • Estágio categorial: inicia-se aos seis anos e o interesse da criança volta-se para as coisas, para o conhecimento e para a conquista do mundo exterior. A interação com o meio tem supremacia cognitiva. A afetividade torna-se mais racionalizada e os sen- timentos, elaborados mentalmente, possibilitam aos jovens uma teorização sobre suas relações afetivas. • Estágio da adolescência: com a puberdade “pode- mos dizer que, no plano afetivo, o EU volta a adquirir uma importância considerável; e no plano intelectual,
  13. 13. 17 a criança supera o mundo das coisas, para atingir o mundo das leis” (Ibidem: 122). Durante o desenvolvimento humano, ocorrem pe- ríodos em que ora sobressaem as funções cognitivas (voltadas para a construção do real – classificação de objetos, operação matemática, definição de con- ceitos), ora as afetivas (voltadas para nós mesmos, elaboração do EU – nascimento de um filho, irmão, perda de um ente querido). A predominância ora afe- tiva ora cognitiva Wallon denominou predominância funcional. Em todos os estágios do desenvolvimento da pessoa surgem ritmos descontínuos, marcados por contradi- ções e conflitos. “Nenhuma dessas etapas jamais é completamente superada e em certas afeições, assis- te-se à ressurgência de estágios mais antigos” (Ibi- dem: 122). Para Wallon, os estágios se interpõem e a criança tem orientada a sua interação mais para a afetividade ou para a cognição. Dessa forma, afetivi- dade e cognição se alternam, não se mantendo como funções exteriores uma à outra, cada uma incorpo- rando as conquistas realizadas pela outra, no estágio anterior, com as regulações necessárias. Wallon, ao estudar o desenvolvimento humano, propõe a psicogênese da pessoa completa, distri- buindo a atividade infantil em vários campos funcio- nais – afetivo, motor e cognitivo. No decorrer do de- senvolvimento, vão aparecendo sucessivas diferencia- ções entre os campos funcionais e no interior de cada indivíduo. Considera o sujeito como geneticamente social, buscando em outras áreas do saber – neuro- logia, psicopatologia, antropologia, psicologia ani- mal – fundamentos mais sólidos para explicar os fato- res de desenvolvimento. Ocupando lugar de destaque no estudo walloniano, a análise das emoções põe em evidência o caráter dia- lético de sua teoria psicogenética. Como a emoção tem um comportamento predominante nos primeiros anos de vida da criança, com certeza apresenta uma função específica, por isso que Wallon, “contrariando a visão das teorias clássicas, defende que as emoções são reações organizadas e que se exercem sob o co- mando do sistema nervoso central” (Ibidem: 59). Conforme Dantas (1992: 85), a emoção é caracte- rizada por sua forma complexa e paradoxal. “Ela é simultaneamente social e biológica em sua natureza; realiza a transição entre o estado orgânico do ser e a sua etapa cognitiva, racional, que só pode ser atingida através da mediação cultural, isto é, social”. Além da emoção, Wallon enfatiza a grande influência da linguagem como instrumento indispen- sável ao desenvolvimento do pensamento. “A aqui- sição da linguagem representa, assim, uma mudan- ça radical na forma de a criança se relacionar com o mundo” (Galvão, 2002: 78). O teórico em estudo traz importantes contribuições para a educação e, nos devidos termos, Galvão (Ibi- dem: 91) pontua vários artigos acerca desse tema, es- critos por Wallon, em que considera a escola como ambiente ideal para observar atentamente a persona- lidade da criança, uma vez que “é na interação e no confronto com o outro que se forma o indivíduo”. Ao propor a psicogênese da pessoa completa, Wallon sugere uma prática de ensino que contemple os campos afetivo, cognitivo e motor, possibilitando assim o desenvolvimento da criança nos níveis cita- dos. A teoria atenta para os conteúdos de ensino tendo em vista “uma prática em que a dimensão estética da realidade é valorizada e a expressividade do sujeito ocupa lugar de destaque” (Ibidem: 99). Também atribui grande mérito ao meio, “campo sobre o qual a criança aplica as condutas de que dis- põe, ao mesmo tempo, é dele que retira os recursos para sua ação” (Ibidem: 100), no desenvolvimento da criança, sobretudo na necessidade de se organizar um ambiente escolar composto por atividades individuais e coletivas. Na concepção walloniana, a emoção atua como im- portante recurso na reflexão pedagógica. Dentro do contexto escolar, situações de conflitos entre profes- sor e aluno são muito comuns. Se o professor souber distinguir com clareza os fatores que geram conflitos, provavelmente poderá controlar as manifestações de suas reações emocionais e, consequentemente, desco- brirá meios de resolvê-los. A perspectiva dialética que emprega no estudo dos fenômenos psíquicos instiga, no professor, uma ati- tude crítica e de permanente investigação sobre a prática cotidiana. Inspira um professor que, diante dos conflitos, não se contenta com respostas-padrão ou fórmulas estereotipadas e mecânicas, mas busca compreender-lhes o significado desvelando a com- plexa trama dos fatores que os condicionam (Ibidem: 114). Wallon possibilita com sua teoria psicogenética que, nós, educadores/educadoras, façamos uma reflexão, uma avaliação acerca de suas ideias pedagógicas “para a construção de uma prática mais adequada às necessidades e possibilidades de cada etapa do desen- volvimento infantil” (Ibidem: 113). Wallon atribui grande importância à construção da criatividade na criança, sem levar em conta o que nós adultos valorizamos, e como aponta Goulart (2002:
  14. 14. 18 23), “a valorização das relações sociais como base do desenvolvimento afetivo e intelectual é, prova- velmente, a maior contribuição de Wallon para uma proposta construtivista de educação. Graças a elas, evitamos formar indivíduos limitados e rotineiros”. Almejamos uma educação que possibilite a intera- ção social entre as pessoas, que contribua de forma significativa para o desenvolvimento da criativida- de, da autonomia, da cooperação, da análise crítica, do conhecimento, da moral, como também permita trabalhar a emoção, a autoestima, a ansiedade e os limites do educando, concorrendo para uma formação plena capaz de fazê-lo enfrentar situações-problema em qualquer área. É importante observarmos que os temas pontuados acima, em algum momento, mani- festam-se ao longo das obras dos três teóricos estu- dados, os quais reconhecem o ser humano como uma pessoa completa, não separando os aspectos: motor, cognitivo e emotivo. Reflexões acerca das obras de Piaget, Wallon e Vygotsky possibilitam, para nós educadores, uma vi- são mais ampla e completa de como nossos educan- dos, ao longo do desenvolvimento cognitivo, produ- zem a aprendizagem. Portanto, faz-se necessário um novo olhar sobre uma prática pedagógica estanque, pronta, infalível que urge por mudanças e transfor- mações. 1.2 - A Criança de 0 a 6 Anos: que Conhecimentos Podem e Devem Construir Para podermos iniciar o processo de desenvolvi- mento do senso matemático infantil, embasamo-nos em Lorenzato (2006), que defende aspectos conceitu- ais, tendo por objetivo enfatizar “o quê”, “por quê” e “para quê” ensinar noções pré-matemáticas. No entanto, é preciso, inicialmente, observar que esse importante trabalho de exploração matemática a ser proposto às crianças sofre duas diferentes con- tribuições negativas, ambas externas a elas, mas que podem lhes afetar fortemente em seu desenvolvi- mento: a primeira vem dos próprios professores, que não incluem no processo de exploração matemática inúmeras atividades, por julgá-las muito simples e, portanto, desnecessárias ou inúteis à aprendizagem; a segunda vem dos pais, que cobram da pré-escola o ensino dos numerais e até mesmo de algumas “con- tinhas”. Atender a esse pedido é provavelmente dar à criança um péssimo começo para o longo caminho da aprendizagem do importante significado que a mate- mática terá em sua vida; seria fazer como o pedreiro que se põe apressadamente a construir as paredes de uma casa sem ter preparado o alicerce (Ibidem: 23). Dessa forma, o referido teórico apresenta uma pro- posta cuja questão essencial é começar por onde as crianças se encontram e não por onde os educadores gostariam que as mesmas estivessem. Logo, estabele- ce dois assuntos fundamentais: aproveitar os conheci- mentos e habilidades que as crianças são portadoras e explorar três campos matemáticos – espacial, numé- rico e das medidas (abordados com mais ênfase nas unidades subsequentes). Para tanto, faz-se necessário começar o trabalho pelas noções apontadas no quadro 1.12 a seguir, que “devem ser introduzidas ou revisadas verbalmente e por meio de diferentes situações, materiais manipulá- veis, desenhos, histórias ou pessoas” (Ibidem: 24). 2 Quadro adaptado de Lorenzato, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006: 24. (Coleção Formação de Professores). Quadro 1.1
  15. 15. 19 O professor deve se certificar que os conceitos apontados acima se relacionam diretamente com algum ou alguns dos conceitos físico-matemáticos traçados no quadro 1.23 . Quadro 1.2 3 Quadro adaptado de Lorenzato, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006: 25. (Coleção Formação de Professores). São sete os processos mentais básicos que devem permear a prática do professor que deseja que a ex- ploração matemática seja realizada pela criança. Para Lorenzato (2006: 25) “se o professor não trabalhar com as crianças esses processos, elas terão grandes dificuldades para aprender número e contagem, entre outras noções”. E ainda enfatiza que sem o domínio dos processos apresentados, provavelmente a apren- dizagem ocorrerá sem significado algum ou compre- ensão para as crianças. Tais processos se referem tan- to a objetos, quanto a situações ou ideias. São eles: 1. Correspondência: é o ato de estabelecer a rela- ção “um a um”. Exemplos: um prato para cada pes- soa; cada pé com seu sapato; a cada aluno, uma car- teira. Mais tarde, a correspondência será exigida em situações do tipo: a cada quantidade; um número (car- dinal), a cada número, um numeral, a cada posição (numa sequência ordenada), um número cardinal. 2. Comparação: é o ato de estabelecer diferenças ou semelhanças. Exemplos: esta bola é maior que aquela; moro mais longe que ela; somos do mesmo tamanho? Mais tarde, virão: Quais destas figuras são retangulares?; Indique as frações equivalentes. 3. Classificação: é o ato de separar em categorias de acordo com semelhanças ou diferenças. Exemplos: na escola, a distribuição dos alunos por série; arrumação de mochila ou gaveta; dadas várias peças triangulares e quadriculares, separá-las conforme o total de lados que possuem. 4. Sequenciação: é o ato de fazer suceder a cada elemento um outro sem considerar a ordem entre eles. Exemplos: chegada dos alunos à escola; entrada de jogadores de futebol em campo; compra em super- mercado; escolha ou apresentação dos números nos jogos, loto, sena e bingo. 5. Seriação: é o ato de ordenar uma sequência se- gundo um critério. Exemplos: fila de alunos, do mais baixo ao mais alto; lista de chamada de alunos; nume- ração das casas nas ruas; calendário; loteria federal (a ordem dos números sorteados para o primeiro ou quinto influi nos valores a serem pagos). O modo de escrever números (por exemplo, 123 significa uma centena de unidades, mais duas dezenas de unidades, mais três unidades e, portanto, é bem diferente de 321. 6. Inclusão: é o ato de fazer abranger um conjunto por outro. Exemplos: incluir as ideias de laranjas e bananas em frutas; meninos e meninas, em crianças; varredor, professor e porteiro, em trabalhadores na escola; losangos, retângulos e trapézios, em equilá- teros.
  16. 16. 20 7. Conservação: é o ato de perceber que a quanti- dade não depende da arrumação, forma ou posição. Exemplos: uma roda grande e outra pequena, am- bas formadas com a mesma quantidade de crianças; um copo largo e outro estreito, ambos com a mesma quantidade de água; uma caixa com todas as faces retangulares, ora apoiada sobre a face menor, ora so- bre outra face, conserva a quantidade de lados ou de cantos, as medidas e, portanto, seu perímetro, área e volume (Ibidem: 25-26). Todos os processos mencionados4 podem e devem interagir com qualquer outra situação do dia-a-dia. Em sala de aula, devem ser trabalhados de forma simples e a mais natural possível, não se esquecendo de mes- clá-los e integrá-los, uma vez que “é nessa integração que reside o verdadeiro favorecimento didático para o progresso educacional da criança” (Ibidem: 27). O professor da Educação Infantil tem como respon- sabilidade criar e conservar o espaço da sala de aula, tanto nos aspectos físico, afetivo e social, que per- mita ou favoreça chegar aos objetivos pedagógicos traçados. Para tanto, é preciso levar em consideração alguns aspectos defendidos por Lorenzato (Ibidem: 20), tendo em vista que: • Crianças gostam e necessitam de carinho, cuidado e atenção; • É preciso gostar do que faz para ser bem sucedi- do; • É preciso ter uma formação profissional adequa- da; • É importante manter-se atualizado; • É importante refletir sobre sua própria prática, tro- cando, sempre que possível, pontos de vista com seus pares; • É fundamental conhecer os objetivos de forma- ção recomendados pela escola em que trabalha, bem como os objetivos de cada atividade a ser proposta; e mais, é preciso conhecer as especificidades dos as- suntos que as crianças devem aprender; • É necessário, cada vez mais, diminuir a distância entre a Educação Infantil e o Ensino Fundamental, tanto em relação aos processos quanto em relação aos conhecimentos e técnicas; • A experiência de vida pré-escolar caracteriza-se por uma forte e cotidiana interação da criança com a língua materna, a qual transcorre de forma natural, lenta e gradual. Assim deve-se dar também o desen- volvimento da percepção matemática, tal que a crian- ça só fale ou escreva aquilo que tiver significado para ela. Justamente por isso, é importante observar que a interação da criança com a Matemática, nessa etapa da vida, não costuma ser tão intensa quanto aquela tida com a língua materna. Propor atividades que envolvam diversos materiais concretos, jogos (que sejam pedagogicamente pla- nejados) e resolução de problemas que favoreçam a elaboração de noções matemáticas de número, de medida e de geometria, com significado pela própria criança, é fundamental para desenvolver o pensamen- to matemático, uma vez que é a própria criança que realiza a aprendizagem, “pela reflexão que faz com o acompanhamento e a orientação do professor” (Ibi- dem: 54). Algumas considerações sobre a construção dos conhecimentos matemáticos O aluno vai construir conceitos matemáticos quando conseguir, através de alguma atividade, estabelecer relações entre uma nova informação e os conceitos já existentes na sua estrutura cognitiva, ocorrendo, portanto, uma interação entre a “nova informação ad- quirida e aquela já armazenada” (Novak apud Ra- belo e Lorenzato, 1994: 38). Ou seja, é preciso que o aluno estabeleça correspon- dências de significados entre o novo conhecimento e o que já existe, ressignificando-os. Da mesma forma, Rabelo e Lorenzato (1994: 39) defendem que é preci- so proporcionar aos alunos atividades que permitam levar em consideração as “categorias conceituais que as crianças já têm sobre os objetos do conhecimento”, permitindo a interação e a “oportunidade de explica- rem fenômenos que entendem, assim como de expo- rem e reelaborarem conceitos que já possuem”. De igual maneira, D´Ambrósio (2001: 49-50) de- fende que (...) todo conhecimento é resultado de um longo pro- cesso cumulativo, onde se identificam estágios, na- turalmente não dicotômicos, entre si, quando se dão a geração, a organização intelectual, a organização social e a difusão do conhecimento. Esses estágios são, respectivamente, o objeto da teoria da cogni- ção, da epistemologia, da história e sociologia, e da educação e política. Como um todo, esse processo é extremamente dinâmico e jamais finalizado, e está, obviamente, sujeito a condições muito específicas de estímulo e de subordinação ao contexto natural, cul- tural e social. Assim é o ciclo da aquisição individual e social de conhecimento. D´Ambrósio (Ibidem: 54) destaca quatro dimensões do conhecimento. São elas: sensorial, intuitiva, emo- cional e racional. As dimensões intuitiva e emocional estão relacionadas ao conhecimento religioso. Já a dimensão racional favorece o conhecimento científi- co, enquanto a emocional predomina nas artes. Para ele, todas essas dimensões são complementares, não 4 Para facilitar, Lorenzato (2006: 27) propõe os assuntos apontados em forma de itens: A) quem é a criança pré-escolar (características, conhecimentos e habilidades); B) que campos matemáticos devem ser explorados na educação infantil (geometria, medição e aritmética); C) que noções devem ser trabalhadas (alto/baixo, mais/menos...); D) que conceitos devem ser desenvolvidos (tempo, massa, distância...); quais são os processos mentais básicos para aprendizagem da matemática (correspondência, classificação...).
  17. 17. 21 sendo dicotomizadas nem hierarquizadas. “Do mes- mo modo que não há dicotomia entre o saber e o fazer, não há priorização entre um e outro, nem há prevalência nas várias dimensões do processo”. Para D´Ambrósio (Ibidem: 54-56), “tudo se complementa num todo que é o comportamento e que tem como resultado o conhecimento. (...) Assim, o comporta- mento é o elo entre a realidade, que informa, e a ação, que a modifica”. Devemos ressaltar, de acordo com D´Ambrósio (Ibi- dem: 57-58), que “cada indivíduo gera conhecimen- to como ação a partir de informações da realidade”. Cada indivíduo processa as informações de forma distinta, resultando em ações também distintas. “O comportamento e o conhecimento são, consequente- mente, diferentes, muitas vezes conflitantes”. É a co- municação que leva ao entendimento comum entre os diferentes indivíduos. Desse modo, é preciso favorecer ambientes em que seja possível o desenvolvimento de atividades em duplas ou em grupos, o que induz à comunicação. Consequentemente, é a comunicação “que permite que ambos tenham informações enriquecidas pela informação que lhe é comunicada pelo outro”, pos- sibilitando, a cada indivíduo, “captar e processar as informações em um mesmo instante e numa mesma realidade” (Ibidem). Portanto construir conhecimento é organizar de forma estruturada a informação recebida, tomando consciência de si mesmo como ser integrante e parti- cipante do e no mundo. É permitir que o aluno rece- ba uma informação nova por meio de uma atividade (podendo ser lúdica e levando em conta o trabalho em grupo) e interaja com a que já possui na sua estru- tura cognitiva, resultando em uma outra informação elaborada por ele de forma autônoma, criativa e cons- ciente. Pensamos ser uma releitura diária do saber. Sugestões de Atividades 1) Descreva quais os objetivos das atividades5 descritas a seguir, de acordo com o estudado nesta unidade. Atividade 01 Atividade: entregar para cada dupla de crianças uma mesma quantidade de palitos. Pedir para que elas for- mem figuras quaisquer, usando sempre todos os palitos. Discutir com as crianças os resultados. Em seguida, elas devem formar somente contornos de figuras usando todos os palitos; os resultados devem ser comparados com o auxílio do professor. Atividade 02 Atividade: o professor coloca três ou mais objetos (dependendo do nível de desenvolvimento das crianças) em lugar visível a todos, certificando-se de que as crianças sabem o nome de cada objeto. Em seguida avisa aos alunos que irá cobrir os objetos com um papel e que devem procurar lembrar os nomes dos objetos. Escolhe algumas crianças para dizer os nomes. Pode-se também retirar, acrescentar e mudar de posição os objetos avi- sando às crianças que mudanças ocorreram, pedindo, assim, para que identifiquem essas mudanças. 2) Elabore uma atividade cujo objetivo seja o de comparar (medir) sem usar unidade padronizada de medida e que favoreça a descoberta de que o tamanho do objeto independe da sua posição no espaço. Leituras Complementares LORENZATO, Ségio (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores). MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia Sicoli; PASSOS, Norimar Christe. Aprender com jogos e situações- problema. Porto Alegre: Artmed, 2000. MARZANO, Robert; PICKERING, Debra J.; POLLOCK, Jane E. O ensino que funciona: estratégias baseadas em evidências para melhorar o desempenho dos alunos. Porto Alegre: Artmed, 2008. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; CÂNDIDO Patrícia. Jogos de matemática de 1º a 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema – Ensino Fundamental). Edição especial da Revista Nova Escola – Educação Infantil – 90 sugestões de atividades para crianças de até 5 anos. Editora Abril. Número 9, 2006. 5 Essas atividades foram adaptadas de Lorenzato (2006: 61-70).
  18. 18. 22 UNIDADE II Conceitos Fundamentais da Matemática 2.1 - Construção da Aritmética Posto que as crianças devam vivenciar os conheci- mentos assinalados a seguir de forma integrada, ten- taremos traçar algumas especificidades de cada um de maneira fragmentada, não deixando de levar em consideração a interação e complementaridade exis- tente, a valorização da semelhança entre os diferen- tes nomes e a compreensão dos conceitos abordados, uma vez que estes se inter-relacionam e procuram de alguma forma, “atender o currículo em espiral, que recomenda voltar ao mesmo assunto várias vezes, embora com diferentes enfoques. (...) Essa integração pode ser um apoio para a aprendizagem, pois facilita a percepção do significado de conceitos e símbolos” (Lorenzato, 2006: 70). Se ensinar Matemática não é uma tarefa tão fá- cil, imagina aprendê-la! Amparados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais e por educadores que consta- taram que o ensino tradicional, da pura transmissão dos conteúdos e da falta de significados não é mais eficaz, é que defendemos uma metodologia centra- da na construção do conhecimento e na produção da aprendizagem pelo aluno, em que o professor é o me- diador, orientador e colaborador nesse processo. Dessa forma, buscamos em alguns autores a rein- venção da Aritmética por parte das crianças, já que o ensino atual não está funcionando com eficiência, as crianças que reinventam a Aritmética se tornam mais competentes6 e os processos que acabam inventando “estão enraizados de forma profunda em sua intuição e na sua maneira natural de pensar” (Kamii, 2001: 32). Se encorajarmos as crianças a desenvolverem seus próprios meios de raciocínio em vez de obrigá-las a memorizar regras que não fazem sentido, elas terão melhores fundamentos cognitivos e maior confiança. Crianças confiantes, a longo prazo, aprenderão mais que aquelas que foram ensinadas de tal maneira que não confiam em seu próprio raciocínio. (...) Nas sé- ries iniciais, no entanto, acredito firmemente que elas devam construir um nível após outro por elas mes- mas para que possam ter fundamentos sólidos para posteriores aprendizados (Ibidem: 32-33). O conceito de Aritmética nos ajuda a compreender como se processa a construção numérica e nos auxilia a diagnosticar as dificuldades existentes dos alunos que apresentam tais dificuldades. O termoAritmética7 vem do grego arithmós, referindo-se aos números, e o prefixo ar significa reunir. Isso expressa que é a ciên- cia que soma, subtrai, multiplica, divide números. Para Neto (2002), desenvolver a competência aritmé- tica é falar sobre a construção da noção de número. Por conseguinte, trata da parte da Matemática que estuda as operações numéricas. Há tempos os educadores acreditavam que a crian- ça aprendia Aritmética por meio de lições e descober- tas apenas recebendo informações do professor, pois o mesmo explicava, ditava, mostrava figuras enquanto a criança ouvia, copiava, decorava, devendo, assim, aprender. Quando não aprendia, a culpa, na maioria das vezes, era dela por ser desatenta e irresponsável, ou o professor não levava “jeito”. É possível que se instrua dessa maneira, mas o aluno terá uma compre- ensão quase mínima ou nenhuma daquilo que foi en- sinado. Na verdade, Kamii e DeClark (2001) defendem que o aprendizado vai acontecer através de um pro- cesso de construção a partir de dentro de si mesmas, levando as crianças a reinventarem a Aritmética, fa- vorecendo, desse modo, um aprendizado com com- preensão. Para explicar, entender ou compreender a concep- ção de número, Piaget (apud Kamii, 2001) estabele- ceu três tipos de conhecimentos: físico, lógico-mate- mático e social, sendo o elemento mais importante da Aritmética o conhecimento lógico-matemático. O conhecimento físico é, portanto, um conhecimento empírico cuja origem reside parcialmente nos obje- tos. O conhecimento lógico-matemático, por outro lado, não é empírico, pois sua origem está na men- te de cada indivíduo. Relações precisam ser criadas por cada indivíduo porque ideias como “diferente”, “similar” ou “dois” não existem no mundo externo, observável. As crianças acabam elaborando seu co- nhecimento lógico-matemático coordenando as rela- ções simples que elas criaram entre os objetos. (...) A principal característica do conhecimento social é sua natureza geralmente arbitrária. O fato de uma árvore 6 Fato este comprovado em Kamii, Constance. Aritmética: novas perspectivas - implicações na teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 2001. (verificar capítulo 10) 7 Fonte: http://www.hottopos.com/geral/isidorus.htm. Acesso em: 28/10/2008.
  19. 19. 23 ser chamada de “árvore” é um exemplo de arbitra- riedade do conhecimento social. Nas várias línguas, um mesmo objeto pode ser conhecido por diferentes nomes, desde que não haja uma relação física ou ló- gico-matemática entre o objeto e seu nome. Segue-se daí que, para a criança adquirir conhecimento social, sua convivência com pessoas é indispensável (Ka- mii, 2001: 23)8 . Enquanto as crianças não tiverem construído a noção lógico-matemática de números em suas men- tes, tudo que elas conseguirão obter é conhecimento físico e empírico. Saber como as crianças constroem seus conhecimentos é fundamental para podermos proporcionar ambientes que facilitem a aprendiza- gem, já que ensinar Aritmética depende da concepção a respeito de como elas aprendem (Ibidem). O conhecimento lógico-matemático tem suas fontes dentro de cada criança e é elaborado a partir da sua própria ação mental. (...) Não pode ser adquirido por interiorização daquilo que é do outro, mas pelo pen- samento autônomo de cada criança. Quando crianças se convencem de que a ideia do outro é mais sensata que a sua própria, elas mudam a sua forma de pensar, corrigindo-se de dentro para fora (Ibidem: 58). Assim sendo, traçamos a seguir, de forma sucinta, alguns pontos da pesquisa, fundamentada na teoria de Piaget, sugerida por Constance Kamii e Georgia DeClark (2001), de como trabalhar a construção da Aritmética com as crianças, uma vez que defendem uma aprendizagem que requer participação mental ativa e autônoma. Três aspectos são fundamentais no trabalho9 das autoras, em que atividades e situações oferecidas po- dem favorecer que a criança construa o conhecimento lógico-matemático por si própria. São eles: 1. Número não é empírico por natureza. A criança o constrói através da abstração reflexiva pela sua pró- pria ação mental de colocar coisas em relação. 2. Os conceitos de número não podem ser ensina- dos. Isso pode ser uma péssima notícia para os educa- dores, mas é boa no sentido de que o número não tem que ser ensinado, uma vez que a criança o constrói 8 Melhor esclarecendo: Conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa. A cor e o peso de uma ficha são exemplos de propriedades físicas que fazem parte dos objetos e podem ser notados pela observação. Saber que uma ficha cairá quando a jogamos no ar é também um exemplo de conhecimento físico. Conhecimento lógico-matemático consiste em relações feitas pelo indivíduo. Por exemplo, quando nos mostram uma ficha vermelha e uma azul e notamos que elas são diferentes, essa diferença é um exemplo do funda- mento do conhecimento lógico-matemático. Podemos observar as fichas, mas a diferença entre elas não. A diferença é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que faz o relacionamento entre os dois objetos. A diferença não está na ficha vermelha ou azul, e, se uma pessoa não puser os dois objetos dentro dessa relação, a diferença não existirá para ela. São exemplos de relação: semelhança, igualdade em peso e dois (podem-se observar as 2 fichas, mas não o “2”). Número é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo (Kamii e DeClark, 2001: 29) 9 A pesquisa mais importante para o ensino da aritmética no Ensino Fundamental Anos Iniciais pode ser encontrada nos volumes XI, XIII e XVII dos Ètudes dEpistemologie Génétique. Para aqueles que ainda não conseguiram se convencer que o conhecimento lógico-mate- mático é construído pela própria criança, recomendamos o livro de Sinclair, Stambak, Lézine, Rayna e Verba (1982), em que o capítulo cujo título é “Bebês e lógica” demonstra, com detalhes, como antes dos 2 anos a criança põe objetos espontaneamente numa relação lógica (Ibidem: 49). de dentro de si mesma, pela sua capacidade natural de pensar. 3. Adição também não precisa ser ensinada. A pró- pria construção do número envolve a repetida adição de “1” (KAMII e DECLARK, 2001: 50). Tal pesquisa permite que o professor compreen- da o motivo por que alguns alunos não conseguem apreender noções de Aritmética, mesmo que já tenha abordado o assunto diversas vezes e de diversas ma- neiras. AAritmética precisa ser construída pela abstração reflexiva, pois “se a criança não consegue construir uma relação, nenhuma explicação do mundo fará com que ela entenda as afirmações da professora” (Ibidem: 50). Para a abstração de propriedades de objetos, Piaget usou o termo abstração empírica (ou simples). Para a abstração de número, ele usou o termo abstração reflexiva (abstraction réfléchissante). Na abstração empírica, tudo o que a criança faz é se concentrar numa certa propriedade do objeto e ignorar as ou- tras. Por exemplo, quando ela abstrai a cor de um objeto, simplesmente ignora as outras propriedades, tais como peso e material com que o objeto foi feito (plástico, madeira, metal). (...) Abstração reflexiva, ao contrário, envolve a construção de uma reflexão entre objetos. Relações, como já foi dito, não têm uma existência na realidade externa. A semelhança ou diferença entre uma ficha e outra não existe na ficha em si. Essa relação existe somente nas mentes das pessoas. (...) Na realidade psicológica da criança uma não existe sem a outra. A criança não consegue construir a relação “diferente” se ela não puder ob- servar propriedades diferentes nos objetos (Ibidem: 31). Nos períodos sensório-motor e pré-operacional, as duas abstrações são dependentes. Estas só irão se manifestar independentemente uma da outra em uma idade mais avançada. Se a criança constrói o número pela abstração reflexiva, ela conseguirá operar com números e fará 5+5 e 5x2 através dessa, como tam- bém terá a capacidade de operar com números gran- des.
  20. 20. 24 A distinção entre os dois tipos de abstração pode parecer sem importância, enquanto a criança está aprendendo números pequenos, vamos dizer, até 10. Quando ela chega a 999 e 1000, contudo, fica claro que é impossível aprender todos os números intei- ros a partir de conjuntos de objetos ou fotografias. Números são aprendidos não por abstração empírica de conjuntos já feitos, mas por abstração reflexiva à medida que a criança constrói relações. É possível entender números tais como 1.000.002 mesmo sem tê-lo visto antes ou contado 1.000.002 objetos, dentro ou fora de um conjunto, porque essas relações são criadas pela mente (Ibidem: 32). Tanto Piaget (apud Kamii, 2001) quanto Miranda e Gil-llario (apud Silva, 2008), garantem que para o conceito de número ser elaborado pelas crianças é preciso que elas sejam capazes de conservar o núme- ro (terem certeza de que o todo está composto por um conjunto de partes que podem ser distribuídos de diversas maneiras sem que haja variedades), bem como terem noção de seriação (capacidade para or- denar elementos de uma série de funções de algum critério). Deve-se compreender que cada número pode ser ordinal e cardinal; por exemplo, o número 5 é um símbolo de um conjunto que representa uma classe (princípio de cardinal idade), mas também pode re- presentar o quinto (5º) lugar em uma série. Quando se é capaz de utilizar ambos os sistemas, se possui uma compreensão adequada do número, a qual abre caminho para as operações matemáticas (SILVA, 2008: 02). Além disso, os teóricos assinalados ressaltam que para a criança se apropriar do conceito de número, é necessário que consiga estabelecer relações de ordem e inclusão hierárquica, essenciais para construir a se- quência numérica e sistematizar as principais opera- ções matemáticas, como a adição. Para quantificar o conjunto de objetos, a criança tem que colocá-los numa relação de inclusão hierárquica. Essa relação significa que a criança inclui mental- mente “um” em “dois”, “dois” em “três”, “três” em “quatro” etc. (KAMII e DECLARK, 2001: 33). Isso significa seriar e, além disso, incluir em cada nú- mero todos os anteriores. O dois inclui o um, o três inclui o um e o dois, portanto, inclui o um três vezes e assim por diante. Desse modo a contagem envolve esquemas de inclusão de classes, significando, nesse caso, que cada número é constituído da adição repeti- da de uns e nessa construção a adição já está incluída (NETO apud SILVA, 2008: 03). Conferimos que não é fácil construir a estrutura hie- rárquica, portanto o exemplo dado a seguir verifica tal constatação. São dados vários objetos às crianças, por exemplo, 6 cachorros miniaturas e 2 gatos do mesmo tamanho e pergunta-se: “O que você vê?” O pesquisador usa pa- lavras do vocabulário da criança. Depois pede-se que a criança mostre todos os animais, todos os cachorros e todos os gatos, ainda usando um mesmo tipo de vocabulário. Depois de se certificar de que a criança entendeu bem todas as palavras, o pesquisador per- gunta: “Há mais cachorros ou mais animais?” As crianças de 4 anos respondem logo: “Mais ca- chorros”, ao que o adulto pergunta: “Do que o quê?” “Do que gatos” é a resposta. Em outras palavras, a criança não escuta a pergunta como ela foi formulada e sim: “Há mais cachorros, ou mais gatos?” A criança escuta uma pergunta diferente da que foi feita porque uma vez que ela mentalmente cortou o todo (animais) em duas partes (cachorros e gatos), a única coisa que ela consegue pensar é na divisão do todo. Para ela, naquele momento, o todo não existe. Para comparar o todo com a parte, a criança tem que fazer duas ações mentais opostas ao mesmo tempo – cortar o todo em duas partes e colocar outra vez as partes no todo. De acordo com Piaget, é exatamente o que a criança de 4 anos não consegue fazer. (...) Aos 7-8 anos, entre- tanto, o raciocínio das crianças se torna móvel o su- ficiente para ser reversível. Reversibilidade refere-se à capacidade de fazer mental e simultaneamente duas ações opostas. (...) Por isso é tão importante, para as crianças, colocar todos os tipos de coisas (objetos, eventos, ações) em toda espécie de relações. Quando isso acontece, o raciocínio da criança torna-se mais móvel e um dos resultados dessa mobilidade é a es- trutura lógico-matemática do número (KAMII e DE- CLARK, 2001: 34-35). Piaget ainda defende a importância da interação social para a construção do pensamento lógico-mate- mático e a autonomia como finalidade da educação, uma vez que desenvolve o pensamento crítico, o in- telectual e a ética. Paremos para refletir o que a escola vem fazendo atualmente, uma vez que deveria criar ambientes ricos de significados em que as crianças pudessem contar, juntar, contar o total, repartir e contar quanto ganha cada um, quanto sobra, quanto falta, sem efetivamen- te trabalhar, no início, com simbolizações matemáti- cas, lembrando que a criança responde de acordo com suas estruturas mentais. As crianças começam na escola com muita von- tade de aprender, e de se divertir. Lá pela 2ª série,
  21. 21. 25 depois de verem tantas coisas que não lhe fazem o menor sentido, as crianças passam a escrever coisas absurdas, sem mesmo pensar. W.W. Sawyer chamou isto de “a destruição da integridade intelectual da criança”. Ao invés de aprender aritmética, as crian- ças aprendem a brincar com um complexo “jogo de marcas no papel”, o qual não tem nenhuma relação com qualquer experiência no mundo real. (...) É im- portante avaliar a aritmética da 1ª série, observando o que acontece com a criança a longo prazo. Contando, simplesmente, o número de respostas corretas em um teste, os educadores estão fechando os olhos para um grande dano intelectual em grande escala, provenien- te do uso do lápis. A aritmética deve estar enraizada no pensamento genuíno da criança (Ibidem: 120). Em busca de melhor qualidade de vida na esco- la e questionando as práticas tradicionais adotadas na maioria das escolas, bem como as barreiras que os profissionais da educação enfrentam em relação aos métodos conservadores, é que o trabalho abor- dado se faz relevante, imprescindível e importante para “aqueles que querem estudar o que vai dentro das cabeças das crianças, a fim de encontrarem novas e melhores maneiras de proporcionar oportunidades para as crianças construírem a matemática em todos os níveis de idade, e principalmente sobre como a criança pequena pode ser introduzida à Aritmética” (Ibidem: 13). 2.2 - A Noção de Quantidade Ao enfrentar situações em que desejamos saber quantidade, a primeira atitude que nos vem é contar. Verificamos que as crianças realizam a contagem de diferentes formas, já que os significados vão se mo- dificando dependendo do contexto e da compreensão que têm de números. Desta forma, Devlin (2006: 63) defende que: Contar não é o mesmo que dizer quantos elementos há num conjunto. O número de elementos de um con- junto é apenas um fato sobre este conjunto. Contar aqueles elementos, por outro lado, é um processo que envolve ordenar o conjunto de algum modo, e, de- pois, aproveitando essa ordenação, contar todos os elementos, um por um. (vou ignorar variações, pelas quais o conjunto é contado de dois em dois ou de três em três. São apenas isso: variações.) Uma vez que contar nos informa, na realidade, o número de ele- mentos de um conjunto, nós frequentemente confun- dimos as duas coisas. Mas isso é uma consequência de familiaridade. Crianças muito novinhas encaram a contagem e o número como coisas bem dissociadas. Peça a uma criança de três anos para contar seus brin- quedos, e ela reagirá sem erro: “Um, dois, três, qua- tro, cinco, seis, sete.” É bem possível que ela aponte para cada brinquedo enquanto vai contando. Mas depois pergunte a ela quantos brinquedos tem, a pro- babilidade é que ela diga o primeiro número que lhe vier à cabeça – que talvez não seja sete. Nessa idade, as crianças simplesmente não associam o processo de contar com o de responder à pergunta: “Quantos?” Para Devlin (Ibidem: 64), é a partir dos quatro anos que a criança vai perceber que o ato de contar lhes dá condições de encontrar quantos, uma vez que, nesse processo, a ordem que é utilizada na contagem não é importante. “Independentemente de qual objeto seja o primeiro, segundo etc., o número ao qual você che- ga é sempre o mesmo”. Deste modo, traçamos, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – Educação Infantil e Ensino Fundamental Anos Iniciais (1997) –, alguns pontos relevantes para a aprendizagem de Matemáti- ca no que concerne à noção de quantidade. Crianças com idade entre zero e três anos começam a estabelecer as primeiras relações com o mundo e são as situações do dia-a-dia que permitem que ideias ma- temáticas vão florescendo e surgindo. Essas ocorrem através da exploração de objetos e obstáculos (cadei- ras, mesas, panos – em que engatinhando ou andando possam subir, descer, passar por dentro, por fora, por cima, por baixo); através de jogos e brincadeiras (blo- cos de madeira ou plástico na construção de torres e pistas para carrinhos); através da manipulação de brinquedos que contenham números (telefone, má- quinas de calcular, relógios); através de atividades envolvendo datas de aniversário, idade, calendário. O importante é que esse trabalho esteja inserido e inte- grado no cotidiano das crianças. Da mesma forma, as crianças entre quatro e seis anos utilizam a contagem em situações do dia-a-dia que servem para identificar, memorizar, antecipar, contar, numerar, medir, operar. Nesta faixa etária, pode-se estabelecer tanto o valor cardinal de conjun- tos de objetos (cinco, seis, nove) quanto o valor ordi- nal de um número (quinto, sexto, nono). Através de recitação10 de sequências numéricas ou por meio de uma sucessão de palavras (prática em que a criança se engana, pára, recomeça e progride), os alunos apren- dem e avançam nas aprendizagens. 10 Exemplos de recitação: jogos de esconder ou de pega, nos quais um dos participantes deve contar, enquanto espera os outros se posicio- narem. Brincadeiras e cantigas que incluem diferentes formas de contagem: “a galinha do vizinho bota ovo amarelinho; bota um, bota dois, bota três, bota quatro, bota cinco, bota seis, bota sete, bota oito, bota nove e bota dez”; um, dois, feijão com arroz; três, quatro, feijão no prato; cinco, seis, feijão inglês; sete, oito, comer biscoito; nove, dez, comer pastéis” (PCN, 1997 – Educação Infantil).
  22. 22. 26 O pensamento da criança evolui e passa por estágios e em cada estágio ela tem uma maneira particular de compreender e explicar as coisas do mundo. Podemos exemplificar, na figura 1.111 , tal afirmativa quando mostramos a uma criança duas bolachas iguais. Uma inteira e outra partida em quatro pedaços. A maioria das crianças por volta dos cinco anos de idade certa- mente irá dizer que as quantidades de bolachas não são iguais. Muitas delas acharão que há maior quan- tidade na bolacha em pedaços. Só quando estão mais velhas é que reconhecerão quantidades iguais. Tal situação nos revela que em certos estágios do pensa- mento as crianças acham que a disposição das partes altera a quantidade, uma vez que, para elas, nessa fai- xa etária, pode parecer que a quantidade de bolacha aumenta se for partida em pequenas porções. 11 Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4l2.htm. Acesso em 11/11/2008. 12 A) número localizador pode ser encontrado designando endereço, latitude, distância. B) número identificador está nas datas, nos tele- fones, nas camisas dos jogadores. C) número ordenador indica o andar do apartamento, a posição obtida num campeonato. D) número quantificador indica velocidade, consumo, remuneração, altura. E) número com significado de quantidade total (numerosidade) em que é forte a cardinalidade (na sala estudam 43 crianças). F) número como final de contagem em que é forte a ordinalidade (ele é o 4º filho). G) número (cálculo) como resultado de operações. H) número (medida) como resultado de mensuração (Lorenzato, 2006: 29). Alguns estudiosos cognitivistas declaram que o pensamento e o aprendizado da criança desenvol- vem-se ligados à observação e investigação do que está em seu entorno. Quanto mais a criança explora os aspectos do mundo ao seu redor, mais ela é capaz de relacionar fatos e ideias, tirar conclusões, pensar e compreender. Assim sendo, os números são utilizados em diversas situações e também apresentam diferentes finalidades como contar, medir, ordenar e codificar. Em algum momento da História, o ser humano aprendeu a con- tar, e foi a contagem que produziu extraordinários efeitos na evolução dos conhecimentos científicos e não-científicos acumulados em sua história. Os nú- meros constituem ferramentas fundamentais nessa evolução. 2.3 - A Noção de Números Perceptuais Podemos constatar que o número está presente em diversas situações do cotidiano e exerce inúmeras funções: número localizador; número identificador; número ordenador; número quantificador; número com significado de quantidade total; número como final de contagem; cálculo; medida (Lorenzato, 2006)12 , e estão sempre acompanhados de noções ele- mentares como: “um depois do outro”, “este se rela- ciona com aquele”, “isto contém aquilo” entre outras (Ibidem: 29). Pesquisas realizadas nas últimas décadas revelaram que o campo conceitual de número é constituído de inúmeras variáveis, tais como: • Correspondência um a um; • Cardinalidade de um conjunto; • Ordinalidade na contagem; • Contagem seriada um a um; • Contagem por agrupamentos; • Composição e decomposição de quantidade; • Reconhecimento de símbolos numéricos; • Reconhecimento de símbolos operacionais; • Representação numérica; • Operacionalização numérica; • Percepção de semelhanças; • Percepção de diferenças; • Percepção de inclusão; • Percepção de invariância (Ibidem: 29-30). Entender o conceito de número, portanto, é uma tarefa difícil, longa e complexa que não satisfaz mais o ensino de números em que reconhecer numerais era prerrogativa, uma vez que o contexto em que a crian- ça está inserida já concebe números das mais diferen- tes formas. No início da escolaridade, a noção de quantidade é essencial para o desenvolvimento da construção do que é número. Entretanto a criança ainda não conse- gue associar quantidade à ideia de número. Ao com- pararem números, o fazem em um nível perceptual, não ultrapassando cinco elementos. Aí entra a noção de números perceptuais que Piaget denominou de pequenos números. Tais números são reconhecidos através da percepção, sem necessitar da estrutura ló- gico-matemática. São os chamados números até 4 ou 5. Para ele, números perceptuais e números apresen- tam diferenças. Até alguns pássaros podem ser treinados para distin- guir entre “oo” e “ooo”. Contudo, a distinção entre “ooooooo” e “oooooooo” é impossível por percep- ção. Números pequenos, maiores que 4 ou 5, são cha- mados números elementares (Kamii e DeClark, 2001: 29). Para Devlin (2006: 60), o cérebro lida de forma dis- tinta com conjuntos que possuem elementos menores Figura 1.1
  23. 23. 27 que três do que com conjuntos com mais elementos. Na verdade, nascemos com o senso numérico, pois reconhecemos a diferença de um grupo com dois ou três elementos, bem como quando dois elementos são mais que três. Os números perceptuais podem se relacionar com a numerosidade, pois permite determinar certa quan- tidade com aproximadamente quatro elementos sem utilizar a contagem. Quando as crianças indicarem, com segurança, que a quantidade de elementos de um conjunto não depen- de da disposição espacial, tipo, cor, forma e tama- nho, então será conveniente aumentar a quantidade até nove elementos e refazer as comparações já feitas com os conjuntos menores. (...) Considerando que muitas crianças, antes de iniciarem sua vida escolar, já conhecem o nome dos números, é importante que o professor não deixe esse conhecimento camuflar o ob- jetivo das comparações entre quantidades, pois para compará-las não é necessário conhecer os numerais, nem seus nomes; e mais, o fato de a criança ordenar corretamente os numerais de um a nove não significa que ela esteja compreendendo o que é número. (...) lembrando que símbolo (numeral) é representação de ideia (número) (LORENZATO, 2006: 31). Vale ressaltar que a ideia de quantidade perpassa por todas as atividades e situações em que a criança se depara, seja no ambiente escolar, seja no cotidiano. E essa ideia encontra-se no plano do observável e manipulável, enquanto número encontra-se no plano do abstrato e, “como tal, só o próprio aprendiz po- derá consegui-lo, realizá-lo, adquiri-lo, percebê-lo ou construí-lo, pois o número não está nos objetos (como cor, forma, dimensão, posição), mas na mente de quem percebe ou cria uma relação entre objetos, eventos, situações ou ações” (Ibidem: 33). 2.4 - As Operações de Classificação e Seriação O conceito de número baseia-se na formação e siste- matização da mente em duas operações: classificação e seriação, constituindo-se estruturas cujas leis são definidas para o lógico e o matemático. Só o fato de observá-las não garante que as crianças as compre- endam, assim, cabe ao professor oferecer, a partir da Educação Infantil, diversas situações e trabalhar com elas a fim de que possibilitem a elaboração das ope- rações citadas. Enquanto a classificação enfatiza as semelhanças entre os objetos, a seriação enfatiza as diferenças en- tre eles. São considerados processos mentais básicos na aprendizagem da Matemática e, enquanto a crian- ça não dominá-los, certamente encontrará enormes dificuldades em aprender números e contagens. Vejamos o que significa cada uma dessas operações, que podem se referir a objetos, situações ou ideias. Classificação é um processo de identificação de cri- térios e categorias, uma vez que “envolve organizar elementos em grupos baseados em suas semelhanças. Um dos elementos fundamentais da classificação é identificar as regras que governam o tipo ou a cate- goria dos membros” (Marzano, Pickering Pollock, 2001: 22). As operações de classificação são usadas em sepa- rações de cores, tamanhos, formas, espessuras. Como também podem ser utilizadas na escola em “distri- buição dos alunos por séries; arrumação de mochila ou gaveta; dadas várias peças triangulares e quadrilá- teras, separá-las conforme o total de lados que pos- suem” (Lorenzato, 2006: 26). Alguns materiais, como sucata, brinquedos, objetos escolares, blocos lógicos entre tantos outros permitem a observação de atributos e o levantamento de semelhanças e diferen- ças. Para classificar, utilizamos relações de pertinência, quando relacionamos cada elemento com a classe a qual pertence (um CD fica no monte de samba, o outro no de jazz) e inclusão de classes, quando rela- cionamos uma subclasse com a classe maior (CD de samba fica na pilha de música popular, o outro na de música erudita), estabelecendo, portanto, uma relação entre a parte e o todo. O trabalho com classificação deve ser desenvolvido com o currículo em espiral, iniciando na Educação Infantil e continuando progressivamente de forma mais complexa no Ensino Fundamental, pois “além da integração, é preciso trabalhar o mesmo assunto apresentando-o e reapresentando-o diversas vezes, mas com variação do contexto” (Marzano, Pi- ckering Pollock, 2008: 28). Seriação é o processo pelo qual se comparam os ob- jetos e se estabelecem as diferenças entre eles. Origi- na a gênese do número, a noção de quantificação e faz parte da gênese das estruturas lógicas elementares. “É o ato de ordenar uma sequência segundo um critério. Podem ser trabalhados no meio educacional em: fila de alunos, do mais baixo ao mais alto; lista de chama- da de alunos; numeração das casas nas ruas; calendá- rio; loteria federal” (Lorenzato, 2006: 26). Desde o período sensório-motor, a seriação se en- contra presente, já que é “a partir do momento em que
  24. 24. 28 as diferenças passam a ser consideradas pelo bebê ao construir uma torre colocando cubos em ordem de ta- manho decrescente, ou mesmo mais tarde quando este faz seus primeiros encaixes” (Maçada, 1996). A criança antes de intercalar elementos, por uma sé- rie constituída passa por fases intermediárias, onde primeiramente ela fracassa na seriação de dez ele- mentos, depois avança contrapondo pares ou série de três elementos coordenando-os. Assim a criança vai realizando a seriação, mas por tentativas empíricas conseguindo intercalar elementos intervalares após novas tentativas (podemos aproximar a ideia de en- saio e erro, até a solução do problema). Já na terceira fase a criança consegue intercalar elementos através do método sistemático; só este método que nos leva a considerá-la operatória na ação de seriar. No método sistemático, vemos a criança apresentar a reversibili- dade operacional e a capacidade de intercalar direta- mente, sem vacilações, os elementos suplementares. Uma vez atingido o método sistemático, este é susce- tível de ser generalizado (Ibidem). A criança alinha objetos num processo evolutivo, que Maçada estabeleceu com as seguintes fases: IA – por volta dos quatro anos de idade, não há ensaio de ordenação dos elementos; IB – por volta dos cinco anos de idade, começa a realizar pequenas séries sem coordenação; II – por volta dos seis anos de idade, consegue êxito, através de tentativas, em intercalar elementos; III – por volta dos sete, oito anos de ida- de, consegue êxito através da utilização do método sistemático13 . Deparamo-nos com dois tipos de seriação feitos pe- las crianças: Seriação Visual e a Seriação Tátil. Na primeira, a criança, através da visualização do ob- jeto, estabelece diferenças entre os elementos. E na segunda, é através da percepção tátil dos elementos que a criança os intercala, explorando os objetos com os dedos, estabelecendo, assim, suas diferenças. O fracasso com a seriação ocorre em alguns momentos, por não possibilitarem às crianças ambientes com ati- vidades que permitam a exploração sobre esses obje- tos, já que “as estruturas seriais são construídas por ações efetivas de uma organização progressiva das ações da criança, que também incluem as percepções e comparações sucessivas entre os elementos dados” (Ibidem). Assinalamos a seguir algumas atividades que favo- recem o desenvolvimento das operações de classifica- ção e seriação, de acordo com Maçada (Ibidem). • Organizar cinco, dois ou três grupos com as ca- deiras da sala. • Comparar o grupo de meninos e meninas. • Distribuir merendas, observando como esta tarefa é realizada, podendo desafiar as crianças a distribuir de forma igual certa quantidade de biscoitos, bolo, balas, pirulitos. • Propor a ida a um supermercado em que cada criança terá a tarefa de comprar pirulitos ou balas para certa quantidade de pessoas. Deve-se observar como a criança a realiza e se usa a relação termo-a- termo para efetuar a compra. • Construção de gráficos sobre as letras do nome; quantidade de pessoas da família; meio de transporte utilizado para ir à escola; mês de nascimento; idade; altura; cor dos olhos; cabelos em que os dados obti- dos são explorados e analisados com os alunos. • Construir um álbum de nomes mostrando quais as diversas maneiras de mostrar quantas letras tem os nomes. • Com crianças de dois a três anos é possível cons- truir uma chamadinha com um desenho duplicado de bicho de EVA, por exemplo, para cada criança (dois cachorros, dois macacos, dois tigres). A cada dia pode-se fazer a chamadinha de uma maneira: dese- nhos com a figura para baixo em que a criança precisa encontrar o seu (tipo memória), ou virados para cima bem misturados e solicitando que achem os bichos referentes ao seu nome. Ou ainda, enfileirar os dese- nhos, recolhendo um deles e solicitar que descubram qual está faltando. 13 Método Sistemático consiste em identificar, primeiro, o elemento menor (ou maior) de todos, depois o menor dos que restaram e assim sucessivamente, pois testemunha que um elemento qualquer X é, ao mesmo tempo, maior do que os precedentes e menor do que os seguin- tes (numa ordem decrescente). É também um método antecipatório, pois o sujeito sabe que ao procurar o menor elemento dos elementos restantes constituíra uma série. Este é o caráter antecipatório do esquema de seriação (Maçada, 1996). 2.5 - Grandezas e Medidas Medir é uma importante aplicação de número e uma habilidade que permeia as atividades comuns da criança, além de estar na origem do pensamento ma- temático. Assim, medir grandezas tem por objetivo quantificar o mundo que nos rodeia. Deparamo-nos o tempo todo com objetos, pessoas e situações que possuem tamanhos, pesos, volumes, temperaturas, capacidades diferentes assinaladas como: comprido, curto, longe, perto, mais baixo, mais alto, mais velho, mais novo, grande, pequeno, quente, frio, muito, pouco, pesa meio quilo, mede três metros, a velocidade é de 90 quilômetros por hora en- tre outros, possibilitando, deste modo, que as crianças de maneira informal, façam contato com essas gran- dezas, estabelecendo relações, fazendo comparações e construindo representações. Ao comparar grandezas de mesma natureza, nasce a ideia de medida e o desenvolvimento de métodos para o uso adequado de instrumentos, como balança, fita métrica, relógio, recipientes de um litro, entre outros,
  25. 25. 29 o que atribui acentuado caráter prático às grandezas e medidas. É na convivência com situações informais e experi- ências intuitivas que a criança constrói representações mentais que permitem, por exemplo, terem noção que comprimentos como 10, 20, 30 centímetros são pos- síveis em uma régua; que um quilo é equivalente ao pacote pequeno de açúcar ou que dois litros corres- pondem a uma garrafa de refrigerante. Tais represen- tações mentais favorecem as estimativas e o cálculo, evitando erros e permitindo que as crianças estabe- leçam relações entre as unidades usuais, mesmo não tendo total compreensão dos sistemas de medidas. Grandezas mensuráveis (tempo) como o dia, a noite, os dias da semana, os meses, o hoje, o amanhã, a hora do jantar, a hora do colégio, o antes, o agora, o de- pois, com as quais as crianças estão envolvidas desde muito cedo, exigem relações de outra natureza, assim como as medidas de massa, capacidade, temperatura entre outros, o que não garante a compreensão plena dos procedimentos de medida nessa faixa etária. Para tanto, é importante que ao longo do trabalho o professor inicie práticas e situações diferentes que li- dem com grandezas físicas para as crianças poderem ampliar, aprofundar e construir novos sentidos para seus conhecimentos, por exemplo: • Atividades de culinária (envolvendo um traba- lho com diferentes medidas – tempo de cozimento, quantidade dos ingredientes – litro, colher, xícara, pitada). • Uso de calendários, observando regularidades, características (sete dias por semana, quantidade de dias em cada mês), marcando tempo para um evento, festas, aniversário. • Manipulação do sistema monetário – dinheiro (que atende várias finalidades didáticas – fazer tro- cas, comparar valores, fazer operações, resolver problemas, características dos números naturais e decimais –, bem como incentiva a contagem, o cálcu- lo mental e estimativa). O professor também pode criar situações para as crianças pesquisarem outras formas de medir, pro- porcionando oportunidades de buscarem, em casa, instrumentos diversificados. Porém é imprescindível utilizar uma unidade padronizada devido à necessida- de de comunicação entre as crianças, uma vez que o uso de diversas unidades de medida obterá diferentes medidas de um único objeto. Para efetuar uma me- dição, devemos escolher uma unidade de medida de mesma natureza da grandeza que queremos medir, pois somente grandezas de mesma natureza podem ser comparadas. Com crianças do Ensino Fundamental, o conceito de grandezas e medidas é ampliado, já que as habi- lidades para o uso de instrumentos apropriados para medir diversas grandezas vão-se refinando gradativa- mente. É necessário que construam a unidade-padrão, para perceberem que certos comprimentos, ou outros tipos de medidas não são mensuráveis com apenas uma única unidade, e que a partir de uma podemos criar outras. Assim, vão começar a perceber a ade- quação das unidades de medida às grandezas que se deseja medir e a descobrir as equivalências entre as unidades criadas em um mesmo sistema de medida. Para isso, é importante que se proponha situações que permitam às crianças estabelecer relações entre uni- dades de medidas e utilizar múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais, enfatizando apenas as unidades mais comuns no cotidiano das mesmas. Por fim, devemos estabelecer uma relação entre a medida de uma dada grandeza e um número, uma vez que é através deste que a criança ampliará o conjunto numérico e compreenderá a necessidade de conhecer números fracionários, negativos e outros. Como percebemos, as grandezas e as medidas se encontram presentes tanto na vida quanto na socie- dade em que vivemos. Assim sendo, o papel que de- sempenham no currículo é de extrema relevância, já que permitem que o aluno utilize este conhecimento no dia-a-dia. Percebemos também que atividades que utilizam e exploram as noções desses conceitos per- mitem melhor compreensão dos conceitos de espaço e forma, bem como a ideia de proporcionalidade, es- cala, abordagens históricas e significados de números e suas operações. 2.6 - Espaço e Forma A criança da Educação Infantil percebe o espaço de modo fundamentalmente prático, pois as primeiras noções espaciais são construídas a partir dos sentidos e dos movimentos. Esse espaço perceptivo, em que o conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles, possibilita a construção do espaço representativo que pode torná-los presentes em sua ausência. Quando a criança, gradativamente, se conscientiza dos movimentos do próprio corpo e do seu desloca- mento, ela desenvolve a capacidade de deslocar-se mentalmente e de perceber o espaço sob diversos pontos de vista, que são condições necessárias à co- ordenação espacial, produzindo, dessa forma, origem às noções de direção, sentido, distância, ângulo e várias outras essenciais à construção do pensamento geométrico.
  26. 26. 30 Portanto a Geometria é, inicialmente, o conheci- mento imediato da nossa relação com o espaço, co- meçando com a visão e caminhando em direção ao pensamento, indo do que pode ser percebido para o que pode ser concebido. Consequentemente, os pro- blemas instituídos por esse conhecimento nos levam à construção progressiva do saber geométrico. O professor deve proporcionar, desse modo, ativida- des que desafiem as crianças, tais como construir, des- locar-se, desenhar, bem como as comunicações entre essas ações, que exploram o espaço ao seu redor. Essa exploração espacial deve acontecer com a contribui- ção do adulto e com a interação entre as crianças por meio de jogos e brincadeiras, por exemplo. Por conseguinte, citamos algumas relações espaciais que são estabelecidas pelas crianças: • Contato e manipulação dos objetos: a criança iden- tifica quantidade, tamanho e forma – (formas geomé- tricas) quando as crianças observam obras de arte, artesanato, construções de arquitetura, pisos, mosai- cos, vitrais de igreja, formas encontradas na natureza em flores, folhas, casas de abelha, teias de aranha, corpos geométricos como modelos de madeira, car- tolina, plástico e ainda suas planificações entre tantas outras. • Noções de orientação como proximidade, interio- ridade e direcionalidade: a criança deve situar a posi- ção de objetos ou pessoas, paradas ou em movimento, favorecendo, assim, a percepção do espaço que está fora ou distante dela. • Observação de pontos de referência adotados pela criança: por exemplo, através de jogos em que seja possível a criança se movimentar ou movimentar ob- jetos. Para tanto, é necessário que sejam oferecidas ati- vidades que possibilitem o desenvolvimento de ha- bilidades, procedimentos e estratégias que permitam observar, descrever e representar informações, tais como: • Desenhar objetos sob diversos ângulos: de cima, de baixo, de lado, de frente; • Observação do espaço tridimensional e da elabo- ração dos meios de se comunicar a respeito desse es- paço: construções com blocos de madeira, maquetes, painéis. (podem ser usados inúmeros materiais: areia, massa de modelar, argila, pedras, folhas, troncos de árvores, caixas de papelão, embalagens, blocos geo- métricos de diferentes formas, espessuras, volumes e tamanhos, ou ainda com estruturas de encaixe entre tantos outros). • Uso de fotos, figuras, mapas: realizar passeios den- tro da escola, próximo a ela ou a lugares específicos (praia, feira, praça, campo). Como abordado anteriormente em grandezas e me- didas, no Ensino Fundamental, essas noções vão-se ampliando, evoluindo e expandindo. As crianças já são capazes de compreender termos como esquerda, direita, giro, distância, deslocamento, acima, abai- xo, ao lado, na frente, atrás, perto. Como também constroem itinerários a partir de instruções dadas; utilizam malhas, diagramas, tabelas e mapas; reco- nhecem algumas figuras geométricas através das for- mas e aparência física na sua totalidade; compõem e decompõem figuras, percebem simetrias; reconhe- cem figuras tridimensionais (cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides) e bidimensionais (quadrados, retângulos, círculos, triângulos, pentágo- nos), identificando suas propriedades; desenvolvem trabalhos com dobraduras, recortes, espelhos, empi- lhamentos, modelagem de formas em argila ou mas- sa; constroem maquetes e descrevem o que nelas está representado. Desse modo, a integração e a aplicação da Geome- tria em outros campos do conhecimento permitem instigar ideias e propor aplicações práticas para as crianças poderem enfrentar problemas reais, que são, em sua maioria, de natureza interdisciplinar. O traba- lho feito a partir de exploração de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, escultura e artesanato vai proporcionar aos alunos estabelece- rem conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. 14 Adaptados de Devlin (2006: 34,35, 296) – Observações no gabarito. Desafios Intrigantes14 1) Não pense muito e responda o mais rápido que puder: 1 – 1? 4 – 1 ? 8 – 7 ? 15 – 12? Agora escolha o primeiro número que vier a sua mente que esteja entre 12 e 5 e escreva-o. 2) Da mesma forma, sem parar para pensar, diga qual é o maior para cada par de números escritos a seguir: 1 e 50 5 e 4 25 e 24

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