Unidade 8

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Unidade 8

  1. 1. Unidade 8 . O Modelo simplificado de Sharpe (1963) Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M. (Notas de Moukhamedjanova Sabina Chan Bonnie e de Abhishek Kapur & Geir Sivertsen) Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 1
  2. 2. .Bibliografia  Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 2
  3. 3. Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e na variância Considere N activos num portfolio e as seguintes notações : Vector de ponderações w=[w1 . . . wN] Matriz das variâncias-covariâncias Ω Vector de retornos R=[R1 . . . RN] Vector unitário 1=[11 . . . 1N] Variância do portfólio wT Ω w Retorno do portfólio wT R Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 3
  4. 4. Fronteira do Portfolio Retornos do portfolio : wT R Variância do Portfolio : wT Ω w 1 2 3 4 6 5 Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 4
  5. 5. Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var) 1=1T w Para encontrar a fronteira de eficiência s.a. r=RT w min wT Ω w w Optimização : min wT Ω w + (1-1T w) + (r- 1 2 RT w) w Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 5
  6. 6. Eq. 1 : Ωw=1 + R Eq. 2 :w=Ω-11 + Ω-1 R Multiplicando equação 1 por 1T e RT : Eq. 3 :1=a  +b  Eq. 4 : r=b  +c  onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R FOC : Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 6
  7. 7. Resolvendo em ordem a  e  nas equações 3 e 4, e substituindo na eq 2, obtem-se : w=v1+v2 r V1 e v2 são dois vectores fixos. Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também um portfolio eficiente. O portfolio de mercado não é mais do que uma combinação ponderada de portfólios, e que,por sua vez também é eficiente. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 7
  8. 8. Modelo simplificado de Sharpe  Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959)  Conhecimento da matriz das co-varâncias  Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente:  Ři = αi + βi Ĩ + ũi  Ĩ = αn+1+ vn+1 Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 8
  9. 9. CAPM – Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Asset Market.” Econometrica 34(Oct. 1966): 768-83. – Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 425- 42. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 9
  10. 10. – Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Maximal Gain from Diversification.” Journal of Finance 20(Dec. 1965): 587-615. – Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13-37. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 10
  11. 11. Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T.  Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)  SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.  CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line.  APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 11
  12. 12. O papel do activo sem risco no modelo  O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade. – O activo sem risco reduz o número potencial de portfolios eficientes a um único portfolio. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 12
  13. 13. sp mp rp rf sp Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 13
  14. 14. – Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco. – Substituindo xm por xp ou deixando que o “portfolio índice” seja o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á: Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 14
  15. 15.        s m 1 m m ~   m j m x     j s  1    r m f s m m 1   1 Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 15
  16. 16. r  m  m f m ~ s m r    m  m f s m r   j f   f          s  s s f j  m f  m j x jm m r r r    m  jm s   j s 2 m it i mt it r   r  Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 16
  17. 17. Conceitos Borrowing Portfolio  Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais:  E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb  rb é a taxa de empréstimo Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 17
  18. 18. Conceitos Lending portfolio  Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco.  Condições :  - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo) - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 18
  19. 19. MODELO CAPM O CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios eficientes no sentido de maior valor esperado para um mínimo risco. Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio de mercado é também eficiente. Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrar-se na fronteira eficiente. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 19
  20. 20. Condições de estimação do modelo de mercado  O índice de mercado deverá responder às condições seguintes:  1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos)  2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros).  3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 20
  21. 21. Versões do CAPM Sharpe-Lintner : Este activo assume a presença de um Black : E[Zi]=i + ßi (E[Zm]) Activo sem risco E[Ri]=  i + ßi (E[Rm]) Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável aleatória Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 21
  22. 22. Problema de minimização  Black version w Vw w R w R T T min s.t. 1 1 and T w RN     Sharpe-Lintner (com activo sem risco) min w T Vw s.t. ( R  R 1) T w  R  R N 0 0 w  RCarlos Arriaga Economia Bancária e financeira 22
  23. 23. Sharpe Model  Regressão de Zit sobre Zmt  Hipótese nula : 0 0   Versão de Black  Regressão [ ]  [ ]  ( ) [ ] t mt mt E R  i  E R   i   E R  Hipótese nula α = (i-β)γ Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 23
  24. 24. Modelo de Sharpe-Lintner  A solução de Sharpe- Lintner é uma fronteira de eficiência.  Esta fronteira de eficiência combina uma posição longa no portfolio de mercado com um activo sem risco adquirido em situação de “lending” ou “borrowing” Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 24
  25. 25. Black CAPM ( ) p z (m) pm m z (m) R  R   R  R p pm z m pm m R   R   R ( ) (1 ) Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 25
  26. 26. Security Market Line  E(Rp)  E(rm)  y  rf  Zero Beta Portfolio   1 σ (p) Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 26
  27. 27. Security Market Line • Derivamos a security market line: ( ) 0 0 R R R R p pm m     • Em forma de retorno em excesso R R R R    (  ) 0 0 p pm m Z   Z it pm mt Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 27
  28. 28. Como testar o CAPM? Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno  A intercepção é zero  Beta captura completamente a variação dos retornos em excesso.  O prémio de mercado é positivo. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 28
  29. 29. Testes sobre a “intercept” Sharpe-Lintner : E[Zi]=  i + ßi (E[Zm]) Testar se  i = 0 Black : E[Ri]=  i + ßi (E[Rm]) Testar se  i = (1-ßi) E[R0] Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 29
  30. 30. Zero-Beta CAPM Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 30
  31. 31. Pressupostos implicitos do modelo As estimativas encontram-se sujeitas a erro de amostragem pelo que o portfolio de mercado não é suposto ser ex-post eficiente. A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do portfolio de mercado que nos permite detrminar quando deveremos rejeitar o CAPM. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 31
  32. 32. Rácio de Sharpe Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m : a ineficiência de m m rf A diferença ra - rm dá-nos uma medida da Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 32
  33. 33. Oferta de acções pela empresa  Assumimos que cada empresa vende acções a um preço Pi. Os Investidores desejam adquirir estas acções fundamentados no valor futuro da empresa no final do período, Vi. O valor de aquisição e o valor da empresa no final do período determinarão a taxa de retorno: V  P i i R  i P i Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 33
  34. 34. O valor futuro da empresa implica algum risco, por isso a taxa de retorno possui risco. Por outro lado, todos os investidores avaliam o investimento considerando o equilibrio da linha de “capital market”.  Matematicamente, o preço e o valor do portfolio de mercado fica: N N     P  P V  V m i m i i i e 1 1 Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 34
  35. 35. Medidas de Performance baseadas no APT  Modelo de dois factores A E(r ) (E(r ) + [E(I ) E(r )]β [E(I ) E(r )]β ) p p Z 1 Z 1,p 2 Z 2,p       Nota: A medida é semlhante ao índice de Jensen Index. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 35
  36. 36. Conclusão  No caso do CAPM não se sabe se a performance é drivado à habilidade do investidor ou à ineficiência do índice de mercado. No modelo APT, existe liberdade de seleccionar os factores sem restrição, pelo que a performance tem em conta os factores que considerámos. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 36

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