Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
Repaso para el examen final de actuaría
1. REPASO PARA EL EXAMEN FINAL DE ACTUARÍA
MAYO 2012
1) Repasen los problemas de interés simple y compuesto
1) Usted deposita $25, 000 al 4 % durante 6 años. ¿Cuál es el interés obtenido?
I=P×r×n
25000*0.04*6
6000.
I = $6, 000
2) Usted deposita $60, 000 a una tasa de interés r durante 5 años y obtiene un interés
de $6, 500. ¿Cuál es el r?
r = I / (P×n)
6500/(60000×5)//N
0.0216667
r = 2.17 %
3) Usted deposita un patrimonio P al 11 % de interés durante 7 años y obtiene un
interés de $5, 000. ¿Cuál es P?
P = I / (r×n)
5000/(0.11×7)
6493.51
P = $6,493.51
4) Usted deposita $100, 000 al 4.25 % y obtiene $18, 000. ¿Cuánto tiempo dejó
invertido el dinero?
n = I / (P×r)
18000/(100000×0.0425)
4.23529
n = 4.24 años
5) Cuando usted nació, un tío suyo depositó $100, 000 en una cuenta de banco que
paga el 5 % de interés compuesto anualmente. Encuentre el patrimonio final si usted
retira el dinero a:
a) 18 años $240,662.00
b) 36 años $579,182.00
1
2. c) 65 años $2,383,990.00
d) 99 años $12,523,900
P = P0×(1+r)n
P[d_,r_,n_] = d × (1+r)n
d (1+r)n
P[100000,0.05,18]
240662.
P[100000,0.05,36]
579182.
P[100000,0.05,65]
2.38399×106
P[100000,0.05,99]
1.25239×107
2) Sea
a) Encuentre u’, u’’
b) Haga las gráficas de u’, u’’
2
5. 3) Sea S(x) la distribución de vida de Weibull con parámetro de forma r > 0 parámetro de
escala λ
Con r = 5, λ = 2
Haga
a) Gráfica de S(x)
S(x)
1.2
1
0.8
0.6
S(x)
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4
-0.2
b) Fórmula de μ(x) y la gráfica
5
6. u(x)
180
160
140
120
100
80 u(x)
60
40
20
0
-20 0 0.5 1 1.5 2 2.5
4) Sea y una perdida aleatoria con fdP.
Suponga que la función de utilidad usada en la toma de decisiones es
Suponga que w = 5. ¿Cuál es el máximo que se pagaría por un seguro contra y?
Sea Y una pérdida aleatoria con f.d.p
6
7. o w>0
o f(w) = wr 0 < r < 1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
5) Verifique que la función de utilidad cuadrática corresponde a un individuo adverso al
riesgo.
Nota:
7
9. 6) Consider a 1 year term life insurance paying $75,000 if death is accidental, otherwise the
benefit will be $30,000. Let suppose that the probability of an accidental death within a
year is 0.0003 and the probability of non accidental death is 0.0031. Find out the
distribution of B given I=1.
o Pr(I = 1 and B = 75,000)= 0.0003
o Pr(I = 1 and B = 30,000)= 0.0031
o Pr( I=1) = 0.0003 + 0.0031 = 0.0034
o Pr(B = 30,000 | I=1)=
o Pr(B = 75,000 | I=1)=
7) La tabla siguiente indica las ventas en ciertos días del año en miles de dólares
Estime las ventas en los días 59, 225, 322, 365.
Aplicaciones:
Días Vol.
Ventas
(miles)
1 15
15 12.5
29 10
57 18.23
111 35
215 42.23
283 41
315 31.62
345 22
351 21.28
9
10. X = 59
La línea que pasa por (57,18.23) y (111,35)
a)
b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)
(x0,y0) = (57,18.23)
Fórmula:
En X = 59, se vendió 18.85
X = 225
La línea que pasa por (215,45.23) y (283,41)
a)
b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)
(x0,y0) = (215,45.23)
Fórmula:
En X = 225, se vendió 44.61
X = 322
La línea que pasa por (315,31.62) y (345,22)
a)
b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)
(x0,y0) = (315,31.62)
10
11. Fórmula:
En x = 322, se vendió 29.38
X = 365
La línea que pasa por (345,22) y (351, 21.28)
a)
b) Usamos: y – y0 = m(x – x0)
(x0,y0) = (345,22)
En X = 365, se vendió 19.6
8) Para la tabla
X Y
8 5
13 6
14 -5
19 2
23 22
Encuentre los polinomios de interpolación pedidos. Orden = 1, 2, 3, 4
11
21. 9) Usando inducción matemática, compruebe que:
a)
b)
c)
Solución:
a)
1. ¿Se cumple para n=1?
1(1+1) = 1(2) =2 sí!!!
2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1?
b)
1. ¿Se cumple para n=1?
sí!!!
2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1?
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22. c)
1. ¿Se cumple para n=0?
2. Si se cumple para n, ¿se cumple para n+1?
10) Mencione 2 paquetes de R usados en actuaría. Explique sus características técnicas y sus
aplicaciones (por lo menos media página para cada uno)
Paquetes de contingencias de vida – paquete para llevar a cabo las matemáticas actuariales en
las contingencias de la vida y los cálculos de matemáticas financieras.
Este paquete y las funciones de este documento se proporcionan tal cual, sin ningún tipo de
garantía respecto a la exactitud de los cálculos. El autor se exime de cualquier responsabilidad
que surja por las eventuales pérdidas debido a la utilización directa o indirecta de este paquete.
Ejemplos:
##financial mathematics example
#calculates monthly installment of a loan of 100,000,
#interest rate 0.05
i=0.05
monthlyInt=(1+i)^(1/12)-1
Capital=100000
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23. #Montly installment
R=1/12*Capital/annuity(i=i, n=10,k=12, type = "immediate")
R
balance=numeric(10*12+1)
capitals=numeric(10*12+1)
interests=numeric(10*12+1)
balance[1]=Capital
interests[1]=0
capitals[1]=0
for(i in (2:121)) {
balance[i]=balance[i-1]*(1+monthlyInt)-R
interests[i]=balance[i-1]*monthlyInt
capitals[i]=R-interests[i]
}
loanSummary=data.frame(rate=c(0, rep(R,10*12)),
balance, interests, capitals)
head(loanSummary)
tail(loanSummary)
##actuarial mathematics example
#APV of an annuity
data(soaLt)
soa08Act=with(soaLt, new("actuarialtable",interest=0.06,
x=x,lx=Ix,name="SOA2008"))
#evaluate and life-long annuity for an aged 65
axn(soa08Act, x=65)
Valor acumulativo – Esta función devuelve el valor en el instante n de una serie de pagos
equidistante de 1.
Uso:
accumulatedValue(i, n,m=0, k,type = "immediate")
Argumento:
i Tasa de interés efectiva expresado en forma decimal.
n Numero de termino de pagos.
M Período diferido, donde el valor es cero.
k Frecuencia de pago.
tipo De inmediato o termino de cancelación.
El valor acumulado es el valor futuro de los términos de una anualidad. Su expresión
matemática es
Sn = (1+i)n an
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24. Valor: Un valor numérico que representa el valor calculado acumulado.
Advertencias:
La proporción tal cual, sin ninguna garantía con respecto a la exactitud del cálculo.
Renunciamos a cualquier responsabilidad por las eventuales pérdidas derivadas del uso directo
o indirecto del software.
Ejemplo:
#A man wants to save 100,000 to pay for his sons
#education in 10 years time. An education fund requires the investors to
#deposit equal installments annually at the end of each year. If interest of
#0.075 is paid, how much does the man need to save each year in order to
#meet his target?
R=100000/accumulatedValue(i=0.075,n=10)
24
25. 11) Mencione algunos de los modelos actuariales utilizados en seguridad social (por lo menos media
página)
Los Modelos son de dos tipos principales: estocásticos y deterministas. La aproximación clásica
actuarial basada en valores esperados (aproximación determinista) es la usada al trabajar con el
Seguro Social. Esto significa que, dados los parámetros de fondo, el resultado en términos de
funciones actuariales es tomado como únicamente determinado. En un modelo determinista, las
pruebas de sensitividad son las únicas medias de estimar un rango de resultados realistas. Pero la
naturaleza estocástica subyacente de las funciones puede ser apreciada.
Bajo la aproximación estocástica el valor resultante de una función actuarial es usado solo como el
promedio o valor esperado del resultado. Un modelo estocástico es un modelo matemático en el
cual la representación de un fenómeno dado es expresada en términos de probabilidades. El modelo
estocástico es usado para derivar un estimado del valor esperado de una variable aleatoria y un
intervalo de confianza para esta variable. La salida de un modelo estocástico de este modo incluye
un rango amplio de posibles resultados, de los cuales es asociado con la probabilidad de ocurrencia.
Los métodos estocásticos han sido ampliamente aplicados en seguros de vida y generales, pero han
visto solo una aplicación limitada en el campo de pensiones, específicamente con el Seguro Social.
El modelo determinista, por otro lado, es basado en un conjunto dado de datos y suposiciones y
produce un conjunto de salidas. Un modelo determinista es una simplificación del modelo
estocástico en el cual la proporción de ocurrencias de un evento dado estimado por el modelo
estocástico es asumido de que ocurra con probabilidad de uno.
a) métodos actuariales de primas de finanzas
b) métodos actuariales de sistemas de retiro
c) métodos actuariales de supervivencia y mortalidad
d) métodos actuariales en sistemas de financiamiento
e) métodos actuariales en seguro social de Estados Unidos
f) métodos actuariales de Seguro temporal.
g) métodos actuariales de Seguro por incapacidad.
h) Métodos actuariales de seguros de vida
i) métodos actuariales en accidentes laborales.
j) Métodos actuariales en orfandad
k) Métodos actuariales por enfermedad
l) Métodos actuariales por desempleo
m) Métodos actuariales por maternidad
n) Métodos actuariales de paquetes de salud
o) Métodos actuariales de beneficios de reemplazo de salario poen caso de enfermedad o
accidente
25
26. A. lifecontingencies
El análisis de los seguros de vida envuelve calcular estadísticas relacionadas al
flujo de dinero. Por ejemplo, las primas de las pólizas de seguros es un análisis
de un flujo de dinero cuya probabilidad está basada en la contingencia de vida
del asegurado. Una tabla de vida o tabla de mortalidad es una tabla que muestra
como la mortalidad afecta un sujeto de un cohorte a través de diferentes
edades. Utilizando una perspectiva estadística una tabla de vida permite que
la distribución de probabilidad del futuro de vida de un sujeto de edad x, se
pueda deducir.
La librería “lifecontingencies” permite realizar cálculos demográficos, financieros
y actuariales para modelar seguros de vida de contingencias. Sus funciones son
capaces de determinar el valor esperado y la distribución aleatoria de beneficios
asegurados. Por lo tanto puede ser utilizado para determinar el precio de
nuevas pólizas y para determinar el capital necesario basado en el riesgo. Una
función de la librería es la habilidad de generar muestras de tablas de vida y de
distribuciones aleatorias de seguros de vida.
Dos limitaciones de la librería son que solamente puede manejar tablas de vida en
decrementos sencillos y que no puede modelar contingencias de vida en tiempo
continuo. La certeza de los cálculos realizados por la librería han sido verificados
con ejemplos numéricos del texto "Actuarial Mathematics Schaumbrg" y se
han encontrado exactos con la excepción del cálculo de las anualidades de pago
fraccionadas.
Hasta marzo de 2012, la librería lifecontingencies es la primera dentro de R
para manejar la evaluación de seguros de vida. Esta librería es una alternativa
a los programas comerciales Moses y Prophet que son hasta el momento los
más utilizados en la construcción de modelos de seguros de vida. La librería
lifecontingencies fue creada y es mantenida por Giorgio A. Spedicato, asesor
financiero.
B. 2 actuar
La librería actuar es una que contiene funciones de Matemática Actuarial. La
librería fue creada en 2005 por Vincent Goulet, profesor de ciencias actuariales
de la Universidad de Laval de Canadá. La librería contiene funciones para
utilizar en los campos de teoría de riesgo, distribución de pérdida y teoría de
credibilidad.
En el campo de distribuciones de pérdida la librería tiene capacidad para: momentos
puros y limitados, data de grupos, estimados de distancia mínima, modificaciones
de cobertura(deducibles, limites, inflación, coseguros). La librería
provee funciones d, p, q, y r (densidad, distribución, cuantila y aleatoria
respectivamente) para leyes de probabilidad útiles en la construcción de modelos de
severidad de pérdida.
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27. La versión actual de actuar 1.1-3 puede calcular solo un problema de teoría
de riesgo: el cálculo de la distribución del conjunto de total de reclamaciones
de un portafolio de seguros utilizando el modelo clásico colectivo de teoría de
riesgo. La librería ofrece cinco distintos métodos de aproximación de la distribución
y cuatro técnicas distintas para discretizar una variable de pérdida continua.
La capacidad de actuar para teoría de credibilidad consiste de un conjunto de
datos y tres funciones principales. El conjunto de datos es el de Hachemeister
(1975). El conjunto de datos Hachemeister consiste del promedio de reclamaciones
en seguros de automóviles en cinco estas de Estados Unidos entre Julio
de 1970 y junio de 1973 con el número de reclamaciones correspondiente. Las
funciones principales son: simpf para simular data de modelos jerárquicos compuestos,
cm para ajustar modelos de credibilidad jerárquicos lineales, bstraub un
versión más rápida y simple de la función cm para ajustar modelos Buhlmann
y Buhlmann-Straub.
En versiones futuras de actuar se tiene planeado mejorar la velocidad de ejecución
de la librería, y añadir funciones mas avanzadas como capacidad para
trabajar con modelos de dependencia en teoría de riesgo y regresión de modelos
de credibilidad.
27
![c) 65 años $2,383,990.00
d) 99 años $12,523,900
P = P0×(1+r)n
P[d_,r_,n_] = d × (1+r)n
d (1+r)n
P[100000,0.05,18]
240662.
P[100000,0.05,36]
579182.
P[100000,0.05,65]
2.38399×106
P[100000,0.05,99]
1.25239×107
2) Sea
a) Encuentre u’, u’’
b) Haga las gráficas de u’, u’’
2](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)