PÓS GRADUAÇÃO 
NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DE 
MATEMÁTICA 
NTEM – 2014 
Rony de Macedo Ventura
ÁREAS NÃO REGULARES... 
COMO CALCULAR?
APRESENTAÇÃO 
• O conteúdo descrito, procura demonstrar o 
cálculo de área de figuras planas irregulares. 
• Utilizando a ...
FICHAMENTO 
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polígonos planos, onde cada lado de um 
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RESUMO 
O trabalho procura demonstrar a 
contextualidade e a utilização da matemática 
no cotidiano. Dessa forma, foi elab...
ÁREAS NÃO REGULARES... COMO CALCULAR? 
• Conceitos de área o e ocupação de espaço são definidos na Educação 
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• A ilustração com aspectos históricos que o relaciona à 
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• Dessa forma para calcular área de figuras irregulares, recorre – se a 
Fórmula de Pick e sua relação com o Teorema de Eu...
• Através das seguintes propriedades: 
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• Seja P um polígono do plano. A cada polígono P se pode associar um 
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• Com isso, a Área de um polígono qualquer, subdividindo-o em figuras cuja 
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• Tendo em vista que, o objetivo teorema de Pick, é destinado a 
definir área de polígonos não convencionais. Esse calculo...
• Referência Bibliográfica: 
• 
• Azevedo, Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan - O PRINCÍPIO DE EUDOXO, ou O MÉTODO DA EXAU...
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áReas não regulares

  1. 1. PÓS GRADUAÇÃO NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA NTEM – 2014 Rony de Macedo Ventura
  2. 2. ÁREAS NÃO REGULARES... COMO CALCULAR?
  3. 3. APRESENTAÇÃO • O conteúdo descrito, procura demonstrar o cálculo de área de figuras planas irregulares. • Utilizando a Fórmula de Pick, com base no Teorema de Euler. • Definição prática, afim de contextualizar e fazer buscar o conteúdo explanado e outros.
  4. 4. FICHAMENTO “Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono”. (Teorema de Euler)
  5. 5. RESUMO O trabalho procura demonstrar a contextualidade e a utilização da matemática no cotidiano. Dessa forma, foi elaborado para definir o cálculo de área de figura irregulares. Afim de, demonstrar a matemática em texto simples para melhor compreenção.
  6. 6. ÁREAS NÃO REGULARES... COMO CALCULAR? • Conceitos de área o e ocupação de espaço são definidos na Educação Base desde o ensino Infantil, Médio e posteriores. A formulação pedagógica propõe, varias abordagens a partir de análises espaciais, tendo vinculo ou não com geometria ou espaçamentos métricos. • Nas séries finais do Ensino Fundamental e no Médio os conceitos de Área são expostos rapidamente e logo, introduzem as fórmulas e cálculos de área. Esse conteúdo é desenvolvido com apoio de livros didáticos relacionando números com superfícies. • Em geral o trabalho isenta de atividades que envolvam composição e decomposição de figuras propostas nos estudos de geometria e que auxiliam a compreensão das fórmulas. A importância histórica no desenvolvimento das sociedades antigas é baseada, em conceitos de área. Alem disso, figuras como círculos, figuras irregulares ou com contorno arredondados, não são colocadas nos livros, pois, os cálculos restringiram – se aos polígonos.
  7. 7. • A ilustração com aspectos históricos que o relaciona à necessidade de sobrevivência do homem, no desenvolvimento da agricultura e da engenharia das primeiras civilizações, e às formas de construção do pensamento matemático. • Também são demonstradas as fórmulas usuais para as áreas dos polígonos mais simples, a partir da definição de área do quadrado e da utilização da unidade quadrada como padrão de medida. A área do círculo é demonstrada a partir do método da exaustão ou Princípio de • Eudoxo-Arquimedes. (consultarsite[http://www.dm.ufscar.br/hp/hp527/hp527001/hp5270011/hp5270011.html])
  8. 8. • Dessa forma para calcular área de figuras irregulares, recorre – se a Fórmula de Pick e sua relação com o Teorema de Euler para superfícies poligonais. • O conceito de área de figuras assumido pelo contexto matemático principia, comparar e medir uma superfície. Sendo superfície, uma porção do plano limitado por uma figura. Medir uma superfície significa obter um número que represente a porção do plano ocupada por essa região. Essa medida é chamada de Área. • Assim, para medir a superfície de uma região é necessário utilizar uma outra superfície • como unidade de medida e verificar quantas vezes essa unidade cabe dentro da região a ser • medida. Em geral, toma-se um quadrado como unidade de medida e o número de vezes obtido é a Área da região medida. Outro recurso utilizado é a decomposição de uma figura em outras cujas áreas sejam conhecidas.
  9. 9. • Através das seguintes propriedades: • • Seja P um polígono do plano. A cada polígono P se pode associar um número real não negativo, chamado área de P, com as seguintes propriedades: • • 1) Polígonos congruentes têm áreas iguais. • • 2) Se P é um quadrado com lado unitário, então a área de P = 1. • • 3) Se P pode ser decomposto em n polígonos P1, ..., Pn, tais que dois quaisquer deles têm em comum no máximo alguns lados, então a área de P é a soma das áreas dos Pi. • • A partir dessas idéias apresentaremos modos de representar as áreas de algumas figuras planas. Para tanto assumiremos como unidade de medida um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento (u.c), que será chamado quadrado unitário. Em decorrência, a área do quadrado unitário será igual a uma unidade de área (u.a.). ( LIMA (1991, p. 21)).
  10. 10. • Com isso, a Área de um polígono qualquer, subdividindo-o em figuras cuja área já sabemos como obter. A área do polígono que se quer encontrar será a soma das áreas das figuras em que este foi subdividido. • • Tomemos como exemplos o trapézio: • C D • • • A E B Consideremos as bases AB = b1 e CD = b2 e a altura do trapézio DE = a. O segmento de reta AD divide o trapézio nos triângulos ABD e ACD, com bases b1 e b2 respectivamente, e mesma altura a. A área do trapézio é a soma das áreas dos dois triângulos: Área de ABCD = a b1 + a b2 2 2 Área de ABCD = a (b1 + b2 ) 2
  11. 11. • Tendo em vista que, o objetivo teorema de Pick, é destinado a definir área de polígonos não convencionais. Esse calculo é usado a definir espaço com: danos por queimadas, enchentes, outros desastres, plantações, proporção de quantidade de colheita, etc. • Na sala de aula, as construções com base em pares ordenados nem sempre são regulares tornando o calculo mais complicado. Assim, utilizamos um das fórmulas do teorema de Pick, sendo “n” o número de lados do polígono original, “l” é o número de lados dos triângulos que foram usados para dividir o polígono original e “a” o apótema da altura dos triângulos (O apótema de um polígono regular é o seguimento de reta que une o centro desse polígono ao médio de qualquer um dos lados). • Por tanto, a matemática mostra – se muito mais atrativa e fácil quando contextualizada, levando professores e alunos a pesquisarem mais sobre este e outros assuntos.
  12. 12. • Referência Bibliográfica: • • Azevedo, Roberto Ribeiro Paterlini e Elivan - O PRINCÍPIO DE EUDOXO, ou O MÉTODO DA EXAUSTÃO - http://www.dm.ufscar.br/hp/hp527/hp527001/hp5270011/hp5270011.html • • ROCHA, Tania Marli – Professora da Rede Estadual de Ensino do Paraná, participante do PDE 2007. (taniamarli@seed.pr.gov.br) • • ANDRADE, Doherty - Professor do Departamento de Matemática da UEM – Universidade Estadual de Maringá (doherty@uem.br) • • ANDRADE, DOHERTY. Teorema de Pick. Disponível em <http://www.dma.uem.br/kit/pick.html>. Acesso em 22 mar. 2008. • • BOYER, CARL B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. Edgard Blucher. São Paulo, 1974. • • EVES, HOWARD. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H. • Domingues. Editora da UNICAMP. Campinas – SP, 1995. • • HOGBEN, LANCELOT. Maravilhas da Matemática. 2ª. Edição. Globo. Porto Alegre, 1958. • • LIMA, ELON LAGES. Medida e Forma em Geometria: comprimento, área, volume e semelhança. Coleção do Professor de Matemática. SBM. Rio de Janeiro, 1991.
  13. 13. Pós Graduação em Novas Tecnologias no Ensino de Matemática Informática Educativa I - 2014 :: Projeto em Informática Educativa Título: ÁREAS NÃO REGULARES... COMO CALCULAR? Nome do aluno: Rony de Macedo Ventura Tutora: Maria Inês Souza Reynaud

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