Resolução da Lista 5 de FF-20701. Uma pequena bola de massa m, inicialmente em A, desliza sobre    uma superfície circular...
Finalmente, pelo método de D’Alembert, temos:Fazendo a primeira integração dessa equação diferencialordinária, temos:Esta ...
02. Calcule as acelerações dos corpos, para a figura abaixo através    do método de Newton, D’Alembert e Euler-Lagrange.  ...
Assim, podemos determinar a aceleração de cada bloco:Pelo método de D’Alembert:De acordo com o Princípio de D’Alembert, te...
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Resolução da lista 5

  1. 1. Resolução da Lista 5 de FF-20701. Uma pequena bola de massa m, inicialmente em A, desliza sobre uma superfície circular ADB sem atrito. Calcule quando a bola está ao ponto C, a velocidade angular e a força exercida pela superfície (em função de g, m, α, r) pelo método de Newton e D’Alembert. SOLUÇÃO: Pelo método de D’Alembert: Para facilitar os cálculos, vamos escolher o sistema de coordenadas polar (r, α), pois com ele podemos facilmente descrever a equação do vínculo holonômico que existe no sistema, r é constante. Assim, a bola tem apenas um grau de liberdade, α que será a coordenada generalizada. Então, temos como deslocamento virtual: Também, a única força aplicada na bola é o seu peso, que pode ser decomposto na direção de (tangente à curva) e na direção de (radial) em cada ponto. Assim, temos no ponto C: Quanto à derivada do momento linear, temos: Onde , pelo fato de r ser constante. Assim, temos:
  2. 2. Finalmente, pelo método de D’Alembert, temos:Fazendo a primeira integração dessa equação diferencialordinária, temos:Esta é a velocidade angular da bola em C.Pelo método de Newton:Como o movimento é circular, a resultante das forças na direçãoradial é a própria força centrípeta, dada pela seguinte fórmula:As forças atuantes na direção radial são mostradas no diagramade corpo livre (Figura do enunciado que está à direita). Então,temos:
  3. 3. 02. Calcule as acelerações dos corpos, para a figura abaixo através do método de Newton, D’Alembert e Euler-Lagrange. T1 m1 a1 T1 T2 a1 – a2 T2 m 2 a1 + a 2 m3 m2g m3g Onde: SOLUÇÃO: Pelo método de Newton: Segundo a lei de Newton, temos: Analisando o sistema da figura 1, vamos calcular a força resultante sobre cada bloco. Bloco 1: Bloco 2: Bloco 3: Temos três equações e quatro incógnitas. Assim, falta uma equação que é: Pois a polia é móvel e divide a tensão pela metade. Resolvendo o sistema de 4 equações e 4 incógnitas chegamos ao seguinte resultado:
  4. 4. Assim, podemos determinar a aceleração de cada bloco:Pelo método de D’Alembert:De acordo com o Princípio de D’Alembert, temos que:
  5. 5. Onde é a resultante das forças aplicadas na partícula , éa derivada temporal do momento linear de cada partícula eé o seu deslocamento virtual. É importante observar que osomatório “corre” sobre a quantidade de partículas do sistema enão sobre as coordenadas generalizadas. Assim, temos:Para a massa :Para a massa :Para a massa :Das equações de vínculo, temos:Da figura também tiramos que:
  6. 6. Substituindo na eq. (5), temos:Como os deslocamentos e são independentes, podemosseparar em duas equações:Multiplicando a primeira por e a segunda por , temos:Então a aceleração de cada massa é:Pelo método de Euler-Lagrange:Utilizando-se a equação de Lagrange, temos que:
  7. 7. Onde é a função Lagrangeana, é a energia cinéticatotal e é a energia potencial.Da figura, segue que:Das equações de vínculo, temos:Da figura também tiramos que:Então, temos:
  8. 8. Então, a função Lagrange é:Há duas coordenadas generalizadas independentes, entãoe e .Substituindo na eq. (6), temos:
  9. 9. Se multiplicarmos as duas equações por -1, teremos o mesmo sistema encontrado pelo método de D’Alembert. Logo, teremos as mesmas soluções:03. Encontrar a curva Braquistócrona pelo Princípio de Hamilton, ou seja, a trajetória de menor tempo entre dois pontos de uma partícula que está somente sob a ação da gravidade. Considerando como a velocidade com que a partícula desce a curva, o tempo total de descida será: Considerando que a partícula cai do repouso, temos pela conservação da energia que: Também, temos que:
  10. 10. Então, ficamos com:Para que seja estacionária, ou seja, para minimizarmos essefuncional, teremos:E devemos ter:Multiplicando a equação por , temos:Somando e subtraindo o termo , temos:
  11. 11. Podemos resolver essa equação de forma paramétrica. Para isso,tomamos , teremos:Logo, temos:Além disso:
  12. 12. Então, integrando temos:As equações (1) e (2) fornecem uma solução paramétrica para oproblema da braquistócrona. Ela é a representação paramétricade uma cicloide, mas precisamente de uma cicloide voltada paracima, cujo raio da circunferência que a gerou é a serdeterminado pelas condições iniciais.

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