Resolução da lista 11

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Resolução da lista 11

  1. 1. Resolução da Lista 11 de FF-20701. Deduza a formulação equivalente a Hamilton-Jacobi usando uma transformação canônica do tipo 1. SOLUÇÃO: Com a formulação de Hamilton-Jacobi, queremos encontrar uma função geradora de uma transformação tal que as novas coordenadas canônicas, Q e P, sejam constantes no tempo. Isso não indica que o sistema analisado é estático. Suponhamos que essa função geradora seja escolhida de tal forma que a Kamiltoniana seja nula. Nessa circunstância, as equações da nova Hamiltoniana são trivialmente resolvidas, como mostrada abaixo: Então, procuremos por uma função geradora do tipo 1 (como manda o enunciado), . Da transformação canônica, temos que: Das equações (2) e (3), chegamos em: Denotando por , chamada de Função principal de Hamilton, temos: Essa EDP, comumente conhecida como Equação de Hamilton-Jacobi, é de primeira ordem nas (n+1) variáveis independentes . Consequentemente, a solução geral vai envolver (n+1) constantes de integração, . Pode-se notar, todavia, que ela só depende das derivadas parciais de com
  2. 2. respeito à e . Logo, se for solução, , para algumaconstante qualquer, também é. Por conta disso, qualquer solução,contendo os (n+1) parâmetros necessários, pode ser escrita daforma . Então, uma das constantes de integração, porexemplo, é meramente aditiva e pode ser descartada. Dessa forma,podemos escrever uma solução completa da equação (5) como:Onde são constantes independentes nãomeramente aditivas.Agora, podemos tomar essas constantes de integração como asnovas coordenadas:Essa escolha não contradiz o fato de que as novas coordenadasestão conectadas com os valores iniciais de e no tempo . Aequação (3) pode ser reescrita como:No instante , podemos analisar as constantes de integração emtermos das condições iniciais do problema. Então, as outrasequações de transformação, equações (4), podem ser reescritascomo:Onde são constantes definidas pelas condições iniciais.Assim, fazendo , vemos que os novos momentos estãoconectados com os valores iniciais de e .Podemos isolar a variável , na equação (7), em termos de :Resolvendo o problema em função do tempo e das condiçõesiniciais. Depois, substitui o resultado na equação (6) para encontrar:As equações (8) e (9) são solução das equações de Hamilton.Podemos, com isso, perceber que a função principal de Hamilton é afunção geradora da transformação canônica que deixa aHamiltoniana nula e, portanto, os novos momentos e coordenadasconstantes no tempo.
  3. 3. 02. Suponha que a função característica de Hamilton é usada como função geradora de uma transformação canônica. Obtenha as equações de movimento. SOLUÇÃO: Vamos inicialmente supor que a Hamiltoniana não depende explicitamente de . Daí, a equação de Hamilton-Jacobi se torna: Então, será possível integrá-la, bastando fazer uma separação de variáveis na Função Principal de Hamilton (aqui tomada como uma função geradora do tipo 2). será dividida em duas partes, uma envolvendo somente o tempo e a outra somente , como mostrado abaixo: Onde a função é chamada de Função característica e são as constantes de integração. Substituindo diretamente (2) em (1), temos: Da equação (2), também temos: Agora, vamos considerar uma transformação em que os novos momentos são todos constantes de movimento , e onde é, em particular, a constante de movimento . Se a função geradora dessa transformação for denotada por , então as equações de transformação são:
  4. 4. Enquanto essas equações se assemelham às equações (4) e (5), a condição agora determinando é que deve ser igual ao momento : Usando a equação (6) podemos chegar à seguinte EDP para : Que é idêntica à equação (3) encontrada anteriormente. Portanto, podemos concluir que se não dependendo do tempo explicitamente, o novo e o velho Hamiltonianos são iguais, e segue que . Então, a função gera uma transformação canônica em que todas as novas coordenadas são cíclicas. Então, as novas equações de movimento são: O que nos conduz a:03. Completar o cálculo faltante na página da internet. SOLUÇÃO: Vamos usar a equação de Hamilton-Jacobi para derivar a fórmula analítica para o movimento de uma partícula num potencial central Newtoniano do tipo . Essa fórmula derivada pode então ser usada para comparar uma solução numérica aproximada com uma analítica, ou seja, uma solução exata para o problema. O problema é facilmente descrito em coordenadas esféricas . Nessas coordenadas, a Hamiltoniana assume a seguinte forma: Onde assumimos a constante Gravitacional e a massa da partícula .
  5. 5. Tomando como função principal de Hamilton uma função geradorado tipo 2, temos:Substituindo diretamente (1) e (2) na equação (3), chegamos àequação de Hamilton-Jacobi correspondente a essa Hamiltoniana,mostrada abaixo:Como a Hamiltoniana não depende explicitamente de e ,podemos usar um método que é comumente chamado deseparação de variáveis, e escrever a solução procurada como:Onde C é uma constante.Segue de (5) que:Substituindo (6) dentro da equação (4), temos:Multiplicando por , chegamos em:Como os dois lados da expressão dependem de variáveis diferentes,a igualdade se dá somente se eles forem iguais a uma constante.Tomemos essa constante como :Utilizando a primeira igualdade da equação (8), temos:
  6. 6. Utilizando a segunda igualdade da equação (8), temos:As equações (9) e (10) são EDO’s de primeira ordem que podem serprontamente integradas.O que nos conduz a:Mas existem condições adicionais que a função S deve satisfazer.Neste caso:Onde são constantes e:Onde também são constantes. A equação (15) vem dofato ser uma função geradora do tipo 2, e as novas coordenadas eos novos momentos são constantes pois a Kamiltoniana é nula.Nesse caso, temos , e , e podemos fazer iguais a zero tal que a equação (15) resulta em:Calculando a derivada parcial de com relação à a partir daequação (13), temos:
  7. 7. Multiplicando, o numerador e denominador, dentro da integral por , temos:Colocando dentro da raiz, ficamos com:A última igualdade de (16) e (17) resultam em:Pode ser provado que essa relação é satisfeita por um movimentoplano, ou seja, que a partícula se move em um plano com o vetorperpendicular a este plano. Podemos, portanto, mudar o nossosistema de coordenadas de forma que . Então, a equação(13) se torna:Calculando agora a derivada parcial de com relação à a partir daequação (19), temos:
  8. 8. Podemos juntar esse resultado com a segunda igualdade de (16), oque nos conduz à equação abaixo que produz a forma da órbita:Integrando a equação (20), chegaremos ao resultado já bemconhecido para o movimento de uma partícula num potencialcentral Newtoniano do tipo :Onde é a excentricidade da órbita:Outros parâmetros pertinentes da orbita são:Onde é o semi-eixo maior da órbita (quando elíptica).Lembremos que para uma partícula presa, a energia é negativa.Onde é o semi-eixo menor da órbita (quando elíptica).Onde é a distancia de maior aproximação. Por convenção, amaior aproximação ocorre quando . Por isso,temos a equação (24) dessa maneira.Calculando agora a derivada parcial de com relação à a partir daequação (19), temos:Podemos juntar esse resultado com a primeira igualdade de (16), oque nos conduz à em função de :
  9. 9. A solução para esta equação é bastante complicada e pode ser dadaem termos de funções de Bessel. O resultado é um movimentoharmônico com frequência média circular dada abaixo:

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