Libro de métodos matriciales con matlab para ingenieros [ph.d. juan carlos herrera]

Métodos Matriciales
1 1 para ingenieros
con MATLAB
Facultad de Ingenieria

Pontificia Universidad
JAVERIANA
----Cali----
Rect or: Jorge Humberto Peláez P iedrahita, 2.J.
Vicerrect or Acooémico: Antonio de Roux Rengifo
Vicerrect or del Medio Univers ita r io: Luis Fernando Granados Ospina, 2.J.
F acultad de l ngenier fo,
Decano Acádemico: Mauricio Ja.ramillo Ayerbe
Decano del Medio Universitario: Albe1t o Benavides Herrán
Directo1 Depto de Ciencias e Ingeniería de la Producción: Alvn.ro F igueroa Cabrera
Título Métodos Matriciales con MATLAB
Autor: Juan Carlos Herrera 2ánchez, Ph.D.
12BN 978-958-8347-52-3
Coordinador Editorial: Ignacio Murgueitio Restrepo
e-mail: mignacio@javerianacali.edu. co
© Derechos Reservados
© 2 ello Editorial J averiano
Correspondencia, suscripciones y solicitudes de canje:
C::.lle 18 # 118-250
2 antiago de Cali, Talle del Ca u ca
Pontificia Universidad J averiana Cali
F acultoo de Ciencias de la 2alud
Teléfono 3218200 ex-t. 493 - 533
VWV .j ::.verianacali. edu. co
Formsto: 17 x 2& cms
Concept o Gtáfico: Edith V ::.lencia F-.
Edición: agosto de 2011

Métodos Matriciales
1 1 para ingenieros
con MATLAB

Herrern. Sá.nchez, Ph D , Jun.n Cn.rlos
:tvlétodos :tvl n.tricin.les pn.rn. ingenieros con :tvIA T LAB / J un.n Casios Herrern.
Sá.nchez, P h.D . -- Sn.ntia.go de Cn.li: Pontificin. Universidad .Jn,verin.nn., Sello
Editorin.l .Jn.ver in.no , 2011.
p. 154 : il.; 17 x 25 cm.
Incluye referencin.s bibliogr6ficn.s.
ISBN 978-958-8347-52-3
1. lvi n.t rices (lvin.temáticn.s) 2. lvIA TLAB 3. Determinn.ntes 4. Ecun.ciones
linen.les l. Pontificin. Universidad Jn.verin.nn. (Cn.li). F n.culta.cl de l ngenierín..
SCDD 512.9434 ed.21
BPUJC n.rm/ 11

Prefacio
El presente texto está orie11tado hacia los cursos de pregrado
de i.nálisis de Estructuras, Análisis Matricial y Dinámico de
Estructuras y .A..11álisis Numérico, ofrecidos para Ingeniería Ci1il.
También será de referencia en cursos de postgrado tales como
Método de Eleme11tos Finitos. No obsta11te, será útil como texto de
referencia para estudia11tes de otras áreas de la i11geniería ofrecidas
por la Facultad. En el Capítulo 1 se presentan los conceptos
básicos del álgebra de matrices así como al manejo de 1ectores y
matrices con MATLAB. En éste capítulo JI a lo largo del texto se
presentan nu1nerosos ejemplos usando el soft:vare citado, para que
sirvan de complemento a los aspectos teóricos presentados. En el
Capítulo 2 se tratan las operaciones fundamentales con ma trices.
El Capítulo 3 está dedicado al tema de inversión de matrices y
al cálculo de determinantes. En el Capítulo 4 se prese11tan los
métodos tradicionales para la solució11 de sistemas de ecuaciones
lineales. Finalmente, en el Anexo, se presenta una introducción
a al tópico sobre integración y diferenciación de matrices usando
NIATLAB. El texto es de carácter introductorio, y por tanto será
de utilidad tanto a estudiantes de pregrado de ingeniería, como a
profesionales de inge11iería.
El Autor

Tabla de co11te11ido
Capítulo 1. T ipos de matrices ....... . _. ....... __ ..... . _. ...... . __ .. 9
1.1 Definiciones.... .. ....... ......... .. ....... ......... .. ....... .......... 9
l . 2 Manipulació11 de ·vectores y inatrices en MATL.A.B· ........ . 10
1.3 Clases de matrices ............... ........ . ......... ........ . .......... 20
1.4 Referencias bibliográficas ..... .. ·--- ······· ·-- ··· ····- ······· ·- ·-·· 41
1. 5 Problemas ... . _ ...... .......... .. ...... _ ... ...... .. ...... _ . . . . . . . . . . . . . 41
Capítulo 2. Operaciones con matrices ....... _ ....... . _ ........ _ ... 43
2.1 Producto de un número real por una matriz .. .. .. ..... ... _ .. 43
2.2 Suma de matrices .. ............... -······· -- ······· --······· -- ··· .. 44
2.3 J!Iultiplicación de matrices ... ·-··· ···· ·-·· · -··· --··· ···· ·-·· · -·-·· 52
2. 4 P artición de matrices... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Referencias bibliográficas ......... .. ........ ........ _ ......... ..... 63
2.6 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 63
Capítulo 3. Deter1ninantes e inversión de inatrices ... . _ .. ..... 65
3.1 Determinante de una matriz ..... _ ....... __ ... _ .... _....... ... 65
3.2 Expansión de Laplace ........ .. ................ .. ................ . 67
3. 3 P eterminante por Condensaciónn P ivotal. ... . __ _ .... _. ___ ... _ 77
3.4 Inversión usando la matriz adjunta .... .. ............. .... ...... 79
3.5 J!Iétodo de Gauss-Jordan ....... ... ............... ... .. ....... .. .... 82
3. 6 Inversa de u11a inatriz por medio de partición ............... 91
3. 7 Referencias bibliográficas ................ ... ..... __ . ......... . _... 98
3. 8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7

Capítulo 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales ... ... 101
4.1 Forma matricial de las ecuaciones.. . . . ... ... . ... ___ . . ... 101
4. 2 Solución por inversión de matrices ... ...... __ ........ _ ........ .. 102
4.3 Regla de Crarner .... ... ....... ........ ... ...... . ....... .. .. ........ .. 106
4.4 l1étodo de eliminación de Gauss .... . ...... .. . .... ..... ....... .. 109
4.5 Método de Gauss-.Jordan .. ............... ... ................ ....... 127
4.6 J!Iétodo de Cholesl<J'. · -····· ·-- ······ ·--- ····· ·-- ······ ·--- ········ 137
4. 7 Factorización L U .. ................ .. ................ .. ....... _._ ..... . 142
4.8 Referencias bibliográficas .. .. . ....... . ___ ..... . ___ ..... ...... ..... 146
4 9 Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... .. 146
Anexo. Difere11ciación e integració11 de matrices con
Mi.TLi.B ..... ___ ... ··· -·· --·- ······ ·········· -·-·· --·-·-· ···· -······ -·- ·-·-·-·-· ····· 149
8

Capítulo 1
Tipos de matrices
1.1 Definiciones
Una matriz se defi11e como un conjunto de elementos ordenados
en u11 número de filas m )' un número de columnas n. En este
caso la matriz se dice que es de orden ( m x n). La matriz [A]m:: n
se define por: z
ª1 1 ª12 ••• ªin
ª21 ª 22 • • • a ? A= _n
•
• • a lj a in
a mn a m2 a.
m; a mn
La i-ésima fila de [A] tiene n elementos:
a.,, · · · a ] , _ in lxn
La j-ésima columna de [.A..] tiene m eleme11tos:
a,, .
- )
•
• •
am;.
9

JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
En la matriz anterior cada a ij indica el elemento ubicado en la fila
" i/' )1 la columna "j" . Por ejemplo: el elemento a3
:2 es el elemento
de la fila 3 y columna 2.
U na matriz de orden ( 1 x n) , tiene 1 sola fila , es un vector fi la.
Se puede escribir:
U na matriz de orden ( m x 1), tiene 1 sola columna y m filas, se
denomina vector colum11a.
1.2 1ifanipulación de vectores y matrices en
J!IATLAB
Para crear u11 1ector fila en Nii. TLAB, se escribe el conjunto de
elementos entre corchetes. Se separan por espacios o u11a coma(,)
para delimitar los números.
>> va=[-1 O 1]
v a
- 1 o
Si se usan comas:
>> va=[-1, O, 1 ]
v a
- 1 o
1
1
Vector columna: Para crear un vector columna, se escribe el
conjunto de números entre corchetes y se separan por punto y
coma (;):
>> vc=[1; 2 ;4;1 6 ]
10

TIPOS DE l1ATRICES
ve
1
2
4
16
Transpuesta de un iector:
Un iector fila se puede convertir a un iector columna calculando su
transpuesto. Se usa el comando trans pose (V) o la comilla(') .
Ejemplo:
Obtener un vector columna del vector ia=[-1 O 1].
>> ve=va'
ve
- 1
o
1
>> ve=transpose (va)
ve
- 1
o
1
Calcule1nos un vector fila, usando el iector columna [;c] :
>> ve=[1; 2 ;4;1 6 ]
ve
1
2
4
16
>> v f=ve'
v f
1 2 4 16
11

Para definir un vector igualmente espaciado se da el comando:
x=[ ví : í: vf]
Donde :
vi: ialor inicial
vf: ialor final
i: incremento
Para generar el iector a=[O 1 2 ... 9] se escribe e11 MATLi.B:
>> a=[O:l: 9]
a =
o 1 2 3 4 5 6
8 9
7
Creemos el iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,1.75, 2]T, con increme11tos
de 0.25,
>> x = [ 0 : 0 . 25 :2 ] '
X =
o
0 . 2500
0 . 5000
0 . 7500
1 . 0000
1 .2500
1 . 5000
1 . 7500
2 . 0000
Otra forma es usar el comando lins pace (Xl , X2 , N). Este
comando genera N puntos entre los valores Xa11d X.
1 2
Para crear el iector x=[O , 0.25, O 5, ... ,175, 2]T se escribe en
Mi. TL.i.B:
>> B=l inspace (0 ,2, 9) '
12

B -
o
0 .2500
0 . 5000
0 . 7500
1 . 0000
1 . 2500
1 . 5000
1 . 7500
2 . 0000
TIPOS DE l1ATRICES
Para definir u11a inatriz se escriben las filas separadas por ";".
Pa.ra definir la matriz [B] de 2 filas y 3 columnas, se escribe:
>> B= [l 2 3;4 5 6 ]
B =
1
4
2
5
3
6
La otra forma es introducir la primera fila y luego d ar en ter
(+--).
>> B= [l 2 3+-
4 5 6 ]
B
1
4
2
5
3
6
Para definir una matriz t ambién se puede separar cada fila por
(( . 11
~ . . .
13

>>ml= [2
ml -
o
o
6
o
o
2
o
o
6
o
o
o
156
22
o
54
-13
o
156
22
o
54
- 13
o
22
4
o
13
-3
o
22
4
o
13
-3
6
o
o
12
o
o
6
o
o
12
o
o
o
54
13
o
56
-22
o
54
13
o
56
-22
o
- 13
-3
o
-22
4
Para indicar el elemento b 12 escribimos
>> b l2=B( l ,2)
b12 = 2
De igual forma para indicar el eleme11to b28 escribimos:
>> b23=B(2,3)
b23 = 6
o; . . -
-13; . . .
-3; .. .
o; . . .
-22; . ..
4 l ;
El orden de (B] es (2x 3). En lIIATLAB para obtener el orden de
una matriz es el comando size.
>> size(B)
ans -
2 3
14

TIPOS DE l1ATRICES
El comando si z e indica el numero de filas y colu1nnas de la
matriz. Otra forma usar este comando es:
>> [m,n]=size(B )
m - 2
n = 3
La siguiente instrucción retor11a el ·vector {Vb} con el número de
filas y columnas de la matriz (B].
>> Vb=size (B)
Vb -
2 3
Ejemplo:
Para definir la matriz fila [.!.] de 1 fila y 3 colum11as, se escribe:
>> A= [ l 2 3 ]
A=
1 2 3
>> [m,n]=size(A)
m =
1
n =
3
15

Para obtener el número de filas de un 1ector columna, o el número
de columnas de u11 1ector fila e11 MATLi.B, se usa el comando
length(V)
>> length (A)
ans -
3
Ejemplo:
Para definir un 1ector columna [A] de 3 filas, se escribe los
elementos separados por ";" :
>> A= [2;4;6]
A =
2
4
6
>> length (A)
ans -
3
>> [m,n]=size(A)
m =
3
n =
1
16

TIPOS DE l1ATRICES
Para obtener la columna j-ésima de una matriz [A] se da la
instrucción A ( : , j ) .
Ejemplo:
>> A
A =
1
4
6
2
5
5
3
6
4
Así para definir un vector, con la primera columna de la matriz
[AJ, escribimos:
> > NV=A ( : , 1)
NV
1
4
6
>> NV=A ( :, 3)
NV
3
6
4
Para definir un iector, con los elementos de la k-ésima fila de la
matriz [.I] , se da la instrucción A ( k , : ) .
17

Ejemplo:
Para defi11ir un iector fila; con la pri1nera fila de la inatriz [AJ, se
da la i11strucció11:
>> vf=A(l,:)
vf
1 2 3
De la misma forma para obtener un vector de la fila k-ésima de
una matriz [.A..] y las columnas de la m a p, se da la instrucción
A(k,m :p) .
Ejemplo:
>> A
A=
1
4
6
5
4
5
5
6
3
6
4
7
5
8
7
9
Para formar el vector de la fila 3, columnas de la 2 a la 4 , se da
la instrucción:
>> vf=A(3,2 :4 )
vf
5 4 7
18

TIPOS DE l1ATRICES
Para formar el vector de la columna 2, filas de la 2 a la 4, se da
la instrucción:
>> vc=A(2 : 4,2)
ve -
5
5
6
Ejemplo: ge11erar la matriz [Bl] con los ele1nentos de la filas 2 a
5 y columnas 3 a 5 de [B].
>> B=5*eye(5)
B =
5
o
o
o
o
o
5
o
o
o
>> Bl =B(2 : 5 ,3: 5)
Bl -
o
5
o
o
o
o
5
o
o
o
5
o
o
o
o
o
5
o
o
o
5
o
o
o
o
o
5
Para borrar la segunda columna de B se escribe:
B( :, 2) = []
19

B -
5
o
o
o
o
o
o
5
o
o
o
o
o
5
o
1. 3 Clases de matrices
JIIatriz nula
o
o
o
o
5
U na rnatriz de orden ( m x n), con todos sus elementos iguales a
cero se define como matriz nula. Así por ejemplo, la matriz [ü]8
xS,
se define
o o o
[O)= O O O
o o o
Ejemplo:
Para definir una matriz nula en !vIATLAB se usa el comando
zeros (m ,n) donde mes el i1ú1nero de filas y n el nú1nero de
columnas.
>> B=zeros(3 , 3)
B =
o
o
o
o
o
o
o
o
o
20

TIPOS DE l1ATRICES
La matriz [B] creada es de orden (3 x 3)
Para crear u11a matriz nula de orden ( 4 x 3) damos la
instrucción:
>> C=zeros(4 , 3)
e =
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Para generar un iector fila nulo se escribe:
>> v=zeros(l ,4 )
V =
o o o o
Para generar una 1ector columna nulo se escribe:
>> v o=zero s(4 , 1 )
vo
o
o
o
o
21

Matriz t ranspuesta
Si la matriz (A] se define por:
Se define la matriz transpuesta como:
ªi l ª 21
...
[A]T = ª 12 ª 22
...
• • •
.• .•
ª in ª 2n
Ejemplo:
Si se define (A] por:
p
[A]= u
X
s
V
y
t
w
--
a mi
a m2
amn
Entonces la transpuesta de [i.] es:
u X
V y
w --
22

TIPOS DE l1ATRICES
Propiedades:
([A)T)T = [.t]
([A] ± [B]) T = [A]T ± [B]T
([A][B]) T = [B]T[A]T
([A][B][C]) T = [C)T[B]T[,L]T
Ejemplo:
Para obtener la transpuesta de una matriz en NI.t TL.tB se usa el
comando tranpose (A) o simplemente A' .
Definamos la matriz [i] como
>> A= [ 2 4 - 6 8;4 4 8 0;-5 10 3 2; 8 10 12 - 6 ]
A =
2
4
- 5
8
4
4
10
10
- 6
8
3
12
>> AT=transpose(A)
AT -
2
4
- 6
8
4
4
8
o
-5
10
3
2
8
o
2
- 6
8
10
12
- 6
T ambién se puede dar la instrucción:
>> AT=A'
23

AT
2
4
- 6
8
4
4
8
o
- 5
10
3
2
8
10
12
- 6
Para comprobar ((A]T)T = [A] , calculamos la tra11spuesta de
[AT]:
>> AT'
ans
2
4
- 5
8
4
4
10
10
- 6
8
3
12
JIIat riz cuadrada
8
o
2
- 6
Es una matriz que tie11e el número de colum11as igual al de filas,
m = n. La matriz se dice que es cuadrada de orden n x n.
ª 11 ª12 Clin
ª 21 ª 22
. . .
ª 2n (A)= •
.• ª u a in
a nl a n2 a nj a nn
La diagonal principal de u11a matriz cuadrada son los eleme11tos
a, a, .. . ann La diago11al secundaria es la formada por los
11
22
elementos a1n, a2_n-t, . .. , ª nr
24

Ejemplo:
2 6 1
[A]= 6 4 -6
o -6 8
TIPOS DE l1ATRICES
La diagonal principal está formada por 2,4 ,8 y la diagonal
secundaria por 1 ,4,0.
Traza de una inatriz cuadrada es la sumatoria de los eleme11tos
de la diagonal principal.
n
Tr(A) =La,.¡ =a11 + a22 + ... + ann
i- 1
Ejemplo:
2 6 o
[B]= 6 4 -6
o -6 8
El ·valor de Tr(B)= 2+4+8= 14
Propiedades:
1) Tr ([A] ± [B]) = Tr([i.]) ± Tr([B])
2) Tr (A.[A])= A, Tr([A]) , A.: constante
3) Tr (A.([A]+[B]))= A. Tr ([i.])+'A Tr ([B])
4) Tr ([A][B])= Tr ([B] [.A])
La traza se calcula en llf i.TLAB, con el comando trac e (A) •
25

Ejemplo:
>> B= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8 )
B =
2
6
o
6
4
- 6
>> tB=trace (B )
t B -
14
8
- 6
8
Si k=l O, entonces tr(k*B)=10*14=140
EnMATLAB:
>> k=lü ;
>> tr a ce (k* B)
ans =
14 o
J!Iatriz diagonal
Si [A] es una matriz cuadrada, en donde ªu= O para i -::f. j ,
entonces se dice que [ . I.] es una matriz diago11al. La diagonal
puede conte11er elementos nulos o no.
ª 11 o o o
[A]=
o o o
ª2'.?. o o • • o
•
o o o ann
26

TIPOS DE l1ATRICES
Matriz identidad
Es u11a matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
principal iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Se
representa generalmente por [I] .
[1] =
1 o
o 1
o o •
o
o
•
o
o
o
o o o 1
Se puede escribir mediante la ecuación:
l,i = j
ª u= {O,i -:t= j
JIIatriz escalar
Si [.A..] es una matriz diagonal, en donde a¡¡ = A, para i= 1, ... , n ,
entonces se dice que [A] es una rnatriz escalar. Por ejemplo:
Á o o
[A]= O O
o o
Ejemplos en MA TLAB:
1 2 3
Crear la matriz [A]= 4 5 6
6 5 4
27

En MATLAB se escribe:
>> A= [ l 2 3 ;4 5 6 ; 6 5 4]
A =
1
4
6
2
5
5
>> [m,n]=size (A)
m =
3
n =
3
3
6
4
La diagonal principal, en forma de 1ector, se obtiene con el
comando diag.
>> d=d iag (A)
d =
1
5
4
>> n=l ength( d )
n =
3
El 1ector diagonal es de orden n=3
28

TIPOS DE l1ATRICES
Ejemplo:
Para obtener la traza en IVIi.TLi.B se usa el comando
t race (A)
>> Tra=trace(A)
Tra -
10
Ejemplo:
Para generar una matriz identidad de orden n=5, se usa el
comando de Mi.TLAB eye (N)
>> A=eye(5 )
A=
1
o
o
o
o
o
1
o
o
o
Calculemos la traza:
>> trace(A)
ans -
5
o
o
1
o
o
o
o
o
1
o
29
o
o
o
o
1

Ejemplo:
Para ge11erar u11a matriz identidad de orden n=4, usamos los
comandos ones )1 diag. Pri1nero se crea u11 vector inediante la
instrucción:
>> V=ones (4 ,1 )
V =
1
1
1
1
Luego generamos la matriz diagonal J!II con el iector V
>> MI =diag(V)
MI
1
o
o
o
o
1
o
o
o
o
1
o
o
o
o
1
De manera simplificada, también se puede escribir:
>> MI =diag(ones(4 ,1 ))
MI
1
o
o
o
o
1
o
o
o
o
1
o
o
o
o
1
30

TIPOS DE l1ATRICES
Ejemplo:
Para obtener la inatriz [E]=c[I] , co11 el ' ;alor c=lü, se dan las
instrucciones:
>> c=lO ;
>> E=c*eye(5)
E =
10
o
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
10
Otra forma es gener ar un ' ;ector, mediante la i11strucción
siguiente:
>> V=10*ones(5 , 1)
V =
10
10
10
10
10
Luego se genera la matriz con el ';ector anterior:
>> C=d iag(V)
e =
10
o
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
10
o
31
o
o
o
o
10

Ejemplo:
Para generar una matriz diagonal CU)'OS eleme11tos 1an de -3 a 3
se da la instrucción en Mi.TLAB:
>>m=3;
>> diag( -m:m)
ans -
-3
o
o
o
o
o
o
o
-2
o
o
o
o
o
o
o
-1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1
o
o
o
o
o
o
o
2
o
Ejemplo: verificar en Nli.TLAB [I]=[I]T; [E]=[E]T
>> I=t ranspose (MI)
I =
1
o
o
o
o
1
o
o
o
o
1
o
>> ET=trans pose(E)
ET -
10
o
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
1
o
o
o
10
o
32
o
o
o
o
10
o
o
o
o
o
o
3

TIPOS DE l1ATRICES
Mat riz simét rica
Es una matriz cuadrada [A] en que se cumple a .. = a .. para todo
l) J l
1 < i , j < n . Toda matriz si1nétrica satisface [A]= [i]T
Ejemplo:
k -2k o
[K] = -2k 4k -6k
o -6k 8k
Su transpuesta es:
k -2k o
[K]T = -2k 4k -6k
o -6k 8k
JIIatriz antisimétrica
Es una matriz cuadrada [A] e11 que se cumple aii = -aj¡· Toda
matriz antisimétrica satisface [,i]=-[. .l .]T. Los elementos de la
diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
o 2k k
[Ka]= -2k o 6k
-k -6k o
Su transpuesta es:
o -2k -k
[Ka]T = 2k 0 -6k
k 6k o
33

o 2k k
- [Ka]r = -2k Ü 6k
-k -6k o
Se ' ;erifica que [i.]=- [.. l .]T
1!Iatriz opuesta
La inatriz opuesta de una matriz [B] es la que resulta de sustituir
cada elemento por su inverso aditivo. La opuesta de [B] es - [B].
Cada elemento de la matriz opuesta es -bij
Ejemplo:
2 6
[B] = 9 -7
- 7 8
-2 - 6
- [B]= -9 7
7 -8
1!Iatrices ortogonales
Dos matrices [A] )1 [B] son ortogo11ales entre si cuando se
verifica:
( A]r ( B] = ( B]r (A]= ( 1]
Una matriz cuadrada [A],,,,n se dice que es ortogonal cuando
multiplicada por su transpuesta da como resultado la matriz
identidad:
34

TIPOS DE l1ATRICES
Ejemplo:
Verificar si las matrices
1 1 2 -1
(A)= -1 -2 ; [B)= 1 1
1 2 o 2
son ortogonales.
Calculando primero el producto [i]T[B]
2 -1
[A )T [ B) = l -1 1 1 1
1 -2 2 o 2
T 2(1) + 1(-1) + Ü
(A) [B)= -1(1)+1(-1) +2(1)
2(1) + 1(-2) +o
-1(1) + 1(-2) + 2(2)
Ahora se calcula el producto [B]T[A]:
1 o
o 1
2(1) + 1(-1) +o
-1(1) + 1(-1) + 2(1)
2(1) + 1(-2) +o
-1(1) + 1(-2) + 2(2)
35
1 o
o 1

Ejemplo:
! erificar que la siguie11te inatriz [O] es ortogonal.
.j3 1
[C]=
1
2
.j3
2
2 2
La matriz transpuesta es:
.j3 1
2
2
1
.j3
2 2
por tanto:
.j3 1
2
1
2
J3
2 2
.j3
2
1
2
JIIatriz triangular
1
2
J3
2
Matriz Triangular Superior: es una matriz cuadrada que tiene
todos los elementos debajo de la diagonal pri11cipal nulos.
ª1 1 ª12
...
ªin
o [A]= ª 22 ••• ª 2n • •
• •
. . ª u ain
o o o ann
36

TIPOS DE l1ATRICES
Ejemplo:
k - 2k k
[u]= o 4k - 6k
o o 8k
ivfatriz Triangular Inferior: es una matriz cuadrada que tiene
todos los elementos sobre la diago11al principal iguales a cero.
ª11 o • • •
ª 21 ª 22 ...
[A]=
ª iJ
an.l ª n.2 anj
Ejemplo:
k o o
[L] = 2k 4k O
k 6k 8k
Matriz in versa
o
o
o
ann
Una matriz [A] cuadrada de orden n es una matriz invertible, si
existe una matriz [B] de orden n, tal que:
[i.] [B] = [B] [.A.]= [I]
[B] se denomina matriz in·versa de [i.]. Se usa la notación
[B]= [AJ-1
37

Para una matriz diagonal [D],
d¡¡ o o o
(D] =
o d2'2 o o
o o • • o •
d ii ' * O V i = 1, 2, ...n o o o dnn
su iniersa [D]-1 se define por:
Yall o ... o
o Ya22 ... o [D]-1 =
. .. •
. ..
• • • o o ... Yann
Propiedades:
1) ([A]-1)-1 = [A]
2) ( c[.. i ])-1 = [A]-1/ e , ci= O
3) ([A] [B])-1 = [B]-1[.A.]-1
4) ([,i]T) -1 = ([_,i]-1 )T
Pa.ra el producto de varias matrices:
38

Ejemplo:
1 2 [A]=
1 1
(A]-1= -1 2
1 -1
Se ' ;erifica que:
TIPOS DE l1ATRICES
Para obtener la in,1ersa de una matriz e11 MATLAB se usa el
comando inv (A)
Ejemplo:
Dada la matriz [AJ:
a) Calcular [AJ-1
>> A= [2 4 6;4 4 0;6 2 8 ]
A=
2
4
6
4
4
2
>> AI=inv(A)
6
o
8
39

AI -
- 0 . 2000
0 . 2000
0 . 1000
0 . 1250
0 .1250
- 0 . 1250
0 . 1500
- 0 .1500
0 . 0500
Para obtener la iniersa de u11a matriz en IYIATLiB otra opción
es dar el coma11do se usa el comando A/. ( -1 )
>> AA (-1 )
ans =
- 0 . 2000
0 . 2000
0 . 1000
0 .1250
0 . 1250
- 0 . 1250
0 .1500
- 0 . 1500
0 . 0500
b) Verificar co11 MiTL.AB ([.A]-1)-1 = [A]
>> (inv(A) )/.( - 1)
ans -
2 . 0000
4 . 0000
6 . 0000
4 . 0000
4 . 0000
2 . 0000
6 . 0000
o
8 . 0000
b) Verificar co11 M.ATL.AB que ([.A]T)-1 = ([i]- l)T
>> Al=inv(tr anspose(A))
Al -
- 0 . 2000
0 . 1250
0 . 1500
0 . 2000
0 . 1250
- 0 . 1500
>> A2=t ranspose( inv(A))
0 .1000
- 0 . 1250
0 . 0500
40

TIPOS DE l1ATRICES
A2 -
- 0 . 2000
0 .1250
0 . 1500
0 . 2000
0 .1250
- 0 . 1500
0 . 1000
- 0 .1250
0 . 0500
1.4 Referencias bibliográficas
Etter, Delores 11. Solución de problemas de ingeniería con
J1JATLAB. México, D.F.: 11cGraw-Hill Interamericana,
1998.
Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall
Hispa11oamericana, iVIéxico , D.F. , 1970.
l(iusalaas, .J. Numcrical J1Jcthods in Enginccring with J1JATLAB.
Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009.
l(olman, B. Algcbra lineal con aplicaciones y ll!fatlab. Prentice
Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999.
Laub, i.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs.
SIAM: Society for Industrial and ipplied Mathematics.
Philadelphia, 2004.
Mathews J , Fink, l(. lVIétodos numéricos con JVIATLAB, Madrid,
Pre11tice Hall, 2000.
Uribe, .J. J1Jicrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe
Ediciones, Colo1nbia, 1995.
Yang, , , . Y et. ..l .l. Applicd Numerical J1Jethods Using J1JATLAB.
''Tile)r-Interscience, 2005.
1.5 Problemas
1) Calcular la trazri. de [B]
1 6 o
[B ]= 6 -3 -6
o -6 8
41

2) Usando la matriz anterior calcule tr(k[B]) , con k=3.
3) Dada la matriz [I<:] , determi11e (I<:]T
k -2k 6k
[ K ] = -k 4k -6k
4k -6k 8k
4) Verificar si la siguiente matriz (O] es ortogonal.
[C]=
-13 1
2
1
2
J3
2 2
5) Calcular la in;ersa de la matriz
k o o
[D] = O 4k O
o o 8k
42

Capítulo 2
Operaciones co11 inatrices
2.1 Producto de un número real por una n1atriz
Dada una matriz [.i.] para eraluar el producto ,B(A], donde ,8 es
un escalar, se multiplica cada elemento a ij por /3 .
ª11 ª12
...
ªin
ª 21 ª 22
... a2n
[A]= •
.• ª u ain
amn am~ amj amn
Entonces,
f3a1 1 f3a12 ••• f3a1n
f3a21 f3a22 ••• f3a~n
/3 [A] = • •
.• .• jJaiJ f3ain
/Jamn f3am2 /JamJ /Jamn
Propiedades:
1)( ,8+ A- )(A]= ,B[A]+ A-[A]
2) A-([.i.] + [B])= A-[.i.]+ A-[B]
3) A-(/3 [A])= (A/1) [.i.]
,8, A: constantes
Ejemplo:
Dadas [A] y [B] , ,8=2, A-=1.5, calcular,8[.i.] + A-(B]
43

1 5
[A]= 3 4
- 1 o
2 3
[B)= 2 7
o 4
2 10 3 4.5
¡J [A]+ A.[B] = 6 8 + 3 10.5
-2 o
6 14.5
¡J[A] +A.[B]= 9 18.5
-2 6
o 6
2.2 Suma de n1atrices
La adición de matrices o suma de matrices entre la matriz [.A..]nu:n
y la matriz [B]""' se puede realizar sólo cuando ambas matrices
tiene11 la misma dimensión, es decir m=r y n=s.
El resultado de la adición de dos matrices es otra matriz [S] de m'1'n
la misma dimensión, cuyo elemento s .. = (a .. + b .. ) l) l) IJ
Dadas las matrices,
44

OPERACIONES CON MATRICES
La suma de [A]+[B] es:
[S]= ª 11 + bl l
ª 21 + b 21
ª12 + b 12
ª 22 + b 22
Análogamente, la resta se expresa:
[D]=[A]-[B]
[D] =
ª11 - bl 1
ª21 - b 21
ª12 - b 12
ª22 - b 22
Cualquier inatriz cuadrada se puede expresar como la suma de
una matriz simétrica y de una antisimétrica. Si [O] es una matriz
cuadrada, entonces:
[ C] = [C] + [C]T + [C] - [C]r
2 2
En la expresión anterior, el primer término es una matriz simétrica
y el segundo una matriz antisimétrica. Dado que:
[C] + [C]T
2
[C] - [C]r
2
En las expresiones anteriores, el intercambio de j y k no genera
cambio e11 la pri1nera ecuación, pero si cambia el signo de la
segunda ecuación. Por ejemplo, si
45

C¡ ¡ e =
[ ]
C'.?. I
de modo que,
[C] + [C]T
2
y
[C] - [C]r
2
Ejemplo:
--
2
2
o c12 - c21
2
c21 - c 12 o
2
Dada [O] verificar las expresiones anteriores.
2 7
(C]=
4 6
2 4
[ c]T = 7 6
[C] + [C]T
2
2
4 + 7
2
7+4
2
6
46

[C]-[C]T
2
Por tanto,
o
4-7
2
7-4
2
o
[C] + [C]T [C] - [C]T
----+ =
2 2
2
5.5
[C] + [C]T [C]-[C]T 2 7
----+ =
2 2 4 6
Ejemplo:
5.5
6
+
o
-1.5
1.5
o
Dada [O] verificar las expresiones anteriores en MATL.i.B.
> > C= [ 2 7 ; 4 6 ]
e =
2 7
4 6
>> CT=C'
CT -
2 4
7 6
>> Cl=(C+CT) . /2
Cl -
2 . 0000
5 . 5000
5 . 5000
6 . 0000
47

>> C2=(C-CT) . /2
C2 -
o
- 1 . 5000
>> Cl+C2
ans -
2 7
4 6
Ejemplo:
1 .5000
o
a) Calcular [ .I.] + [B]
1 5
[A]= 3 4
-1 o
2 3
[ B] = 2 7
o 4
1+ 2 5+3
[A] + [B]= 3+ 2 4+7
-1 + 0 0 + 4
3 8
[A] + [B]= 5 11
-1 4
48

b) Calcular [A] - [B]
1-2 5-3
[A]-[B]= 3-2 4-7
-1-0 0-4
-1 2
[A]- [ B] = 1 -3
-1 -4
Propiedades:
1) (A]+([B]+[C]) = ((A]+[B])+[C]
2) (A]+[B] = [B]+(A]
3) (ü]+[i] = (A]+ [ü]= [A]
4) (A] + (-(A]) = (-[,i]) + [.A.] = (O]
.5) e( k(A ])=( ck) [.i]
6) k([.A.] + (B]) = k[A] + k[B]
7) (e + k)[A] = c[i] + k[A]
Ejemplos en MA TLAB:
>> A= [2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8]
A =
2
6
o
6
4
- 6
8
- 6
8
>> B= [ l 4 8;5 4 -5; 0 - 6 9]
49

B -
1
5
o
4
4
- 6
8
-5
9
a) Cálculo de [ .I.] + [B]
>> A+B
ans -
3
11
o
10
8
- 12
16
-11
17
b) Cálculo de [B] + [A]
>> B+A
ans -
3
11
o
10
8
- 12
16
-11
17
c) Cálculo de [A] - [B]
>> A-B
ans -
1
1
o
>> k=lO
k =
10
2
o
o
o
-1
-1
50

d) Cálculo de k( (A] + (B])
>> k*(A+B )
ans -
30 100 160
110 80 - 110
o - 120 170
e) Cálculo de k([B] + [.i.])
>> k* (B +A)
ans -
30 100 160
110 80 - 110
o - 120 170
>> c=5
e =
5
f) Cálculo de (e + k)[A]
>> (c+k)*A
ans -
30
90
o
>> c*A
90
60
- 90
120
- 90
120
51

ans -
10
30
o
>> k*A
ans -
20
60
o
30
20
- 30
60
40
- 60
>> c *A+k*A
ans -
30
90
o
90
60
- 90
40
-30
40
80
- 60
80
120
- 90
120
2.3 l!Iultiplicación de matrices
Antes de definir la multiplicación de matrices, co11sidérese el
producto inter110 de dos ·vectores de tamaño n.
El iector fila [p] tiene n elementos:
El iector colu1nna [c] tiene n elementos:
52

El producto interno [p] [c] se define
n
[P][ e]= L P ¡C¡ = P 1C1 + P 2C2 + · ··+ P¡C;
i=l
Dada u11a matriz [i.] de di1nensió11 {m x n) y una inatriz [B] de
dimensión {nxr), la multiplicación queda definida por:
[A]mxn [ B]rrc,. = [ C]mxr
donde el elemento c .. esta dado por:
lj
n
e = ~ a kb1q· = a 1b1 . + a.?b,, . + ···+a b . lJ ~ 1 1 J 1 _ -J in nJ
k=l
Es decir, cada fila de [.!.] se multiplica por cada columna de [B].
El número de columnas de [A] debe ser igual al número de filas
de [B].
ª1 1 ll¡ 2 ll¡ 3 bl 1 b l2
(A)= ª 21 ª22 ª 23 [B) = b 21 b 22
ª31 ª32 ª33 b31 b 32
La multiplicación esta dada por:
ª11 ª 12 ª13 bl 1 b12
-~ h21 h22
[ c ]3x2 = ª21 ª22 a,,~
ª31 ª32 ª~~ ~~ b31 h~?
~-
( ª1lbl1 + ª12b21 + ª 13b31) ( ª 11b12 + ª12b22 + ª13b32 )
[ C]3x2 = (a21b11 + ª22b21 + ª23b31 ) (a21b12 + ª22b22 + ª 23b32 )
(a31h11 + ª32h21 + G33h31 ) (a31h12 + ª32h22 + G33h32 )
53

Cada elemento c iJ es el producto interno de la i-ésima fila de [i.]
con la j-ésima columna de [B]. Por ejemplo, el eleme11to c81 es
bl 1
C31 = [ a31 a3'.?. a33 ] b'.?.1
b31
Ejemplo: dadas [A] y [B] , calcular [ .. i][B] .
1 5
[A]= 3 4
-1 o
2 3 [B] =
4 7
1(2) + 5(4)
[A][B]= 3(2) + 4(4)
-1(2) + O( 4)
22 38
[A][B] = 22 37
-2 -3
1(3) + 5(7)
3(3) + 4(7)
-1(3) + 0(7)
54

Ejemplo:
!erificar ([A][B])T = [B]T[A]T
T 22 22 - 2
([A][ B]) = 38 37 -3
2 4 1
3 7 5
3 -1
4 o
Propiedades:
1) ([.i] [B])[C] = [.i]([B][C])
2) [A]([B]+[C]) = [A][B]+ [.A.][C]
3) -l[A]([B]+[C]) = -l[A][B]+ -l[A] [O]
4) [A][B] -:F [B][.i]
5) [A][I] = [I][A] = [.i]
6) [A][ü] = [ü][A]= [O]
Ejemplos en .1JA TLAB:
>> A= [ 2 6 8 ; 6 4 - 6 ; 0 - 6 8]
A =
2
6
o
6
4
- 6
8
- 6
8
55

>> B= [ l 4 8;5 4 -5; 0 - 6 9]
B =
1
5
o
4
4
- 6
8
-5
9
>> C= [2 3 5 ;3 8 6 ;1 -2 5]
e =
2
3
1
3
8
-2
5
6
5
a) Cálculo con MATLAB de [.A][B]
>> A*B
ans -
32
26
- 30
- 16
76
- 72
58
-26
102
b) Cálculo con NIATL .. iB de [B] [A]
>> B*A
ans -
26
34
- 36
- 26
76
- 78
48
-24
108
c) !erificación con NI.ATL.AB de [A]([B]+[C])= [A][B]+ [A][C]
>> A*(B+C)
56

ans -
62 22 144
44 138 -2
- 40 - 136 106
>> A*B+A*C
ans -
62 22 144
44 138 -2
- 40 - 136 106
d) Verificación con MiTLiB de ([i][B])T = [B]T[.A]T
>> tra nspose (A*B)
a ns -
32
- 16
58
26
76
- 26
>> (B ' )*(A' )
a ns -
32
- 16
58
26
76
- 26
- 30
- 72
102
- 30
- 72
102
d) Verificación con M.ATL.AB de ([.A][B])-1 = [BJ-1[.AJ-1
>> i nv(A*B)
57

a n s -
0 . 0243
- 0 . 0077
0 . 0017
- 0 . 0105
0 . 0207
0 . 0115
- 0 . 0165
0 . 0097
0 . 0118
>> i nv( B)*inv(A)
a n s -
0 . 0243
- 0 . 0077
0 . 0017
- 0 . 0105
0 . 0207
0 . 0115
- 0 . 0165
0 . 0097
0 . 0118
2.4 Part ición de n1atrices
En muchas aplicaciones, es conveniente subdi,;idir una matriz
en sub-matrices para reducir cálculos. P ara una matriz [i.] la
subdi;isión o partición de matrices se puede realizar de muchas
formas.
Donde
Á¡ = _J
58

También la matriz [A] se puede particionar
ª11 ª12 ª 13 ª14
A=
ª 21 ª 22 ª 23 ª 24 =[~ 1 ~ 2 ~ 3 ~4 ]
G31 a~,, ª 33 G34 ~ -
ª 41 ª 42 ª 43 ª 44
Donde ahora:
ª 11 ª12
A 11 =
ª 21
A 12 =
ª 22
ª31 ª~')
~-
ª 41 ª42
ª 13 ª 14
~ 3 =
ª') ~
- ~
ª33
~4 =
ª 24
ª34
G43 ª 44
El producto de dos matrices [A] )i [B] también se puede expresar
como el producto de sub-matrices. Dada la matriz [.A.] ; se puede
subdi·vidir de la forma siguiente
59

ª11 ª 12 ª13
Ái1 Ái2
[A]= ª 21 ª 22 a,.,~
.-.> -··-··-·-·-·--·-··-·--·~·--·-··-- A21 A22
' ' ª31 ª32 1' a,., ,..,
' 1 jj
'
donde:
A11 =
ª11 ª12
A12 =
ª13
ª 21 ª 22 a1_~_ ,
~1 = [ ª 31 ª~_,'_) ] A')') = [ ª~~ ] -- jj
La matriz [B] se puede particionar de la for1na
bl 1 b12
B11
[B ] = b21 b 22
-·-·-·-··-··-··-··- B21
b31 b~_,,._,
donde:
De tal manera que el producto [A][B] queda
60

Ejemplo: dadas [A] )i [B] calcular [A][B]
2 5 6
(A]= -6 7 1
3 4 2
-1 3
( B] = 2 6
o 4
La matriz [A] se puede particionar de la forma
2 5
-6 7
6
La matriz [B] se puede particionar de la forma
donde:
-1 3
6
2 5 -1 3
-6 7 2 6
6 o 24
~1B21 = 1 (O 4] = O 4
8 36
20 24
61

Reemplazando los anteriores 1alores se obtiene finalmente:
Ejemplo:
8 60
20 28
-------~-~-~----
5 41
Resol1er el problema anterior con MATLi.B
>> A= [ 2 5 6;-6 7 1; 3 4 2 ]
A =
2
- 6
3
5
7
4
6
1
2
>> B= [-1 3;2 6 ; 0 4]
B -
- 1 3
2 6
o 4
>> All =A(1 : 2,1 : 2) ;
>> A12=A (1 : 2, 3) ;
>> A21=A (3 ,1:2 ) ;
>> A22=A (3 , 3) ;
62

>> Bll=B( 1 :2,: );
>> B21=B (3, : );
>> AB=[Al l* Bll +A12*B21 ; A21*Bl l+A22*B21]
AB -
8 60
20 28
5 41
2.5 Referencias bibliográficas
Etter, Delores l!I. Solución de problemas de ingeniería con
111ATLAB. México, D.F.: McGraw-Hill Interamericana,
cl998.
l(iusalaas, .J. Numcrical J11ethods in Engincering with lVIA TLAB.
Cambridge Uniiersity Press, 2009.
I:olman, B. A lgebra lineal con aplicaciones y lllf atlab. Prentice
Hall Hispanoamericana, l1éxico, D.F ., 1999.
Laub, i. lllf atrix Analysis far Scicntists and Enginecrs.
SIAM: Society for Industrial and _.t.pplied Mathematics.
Philadelphia, 2004.
Mathews J, Finl(, I<:. Nlétodos numéricos con 11.fATLAB, lv'Iadrid,
Prentice Hall, 2000.
Hsieh, Y Teoría elemental de estructuras. l!Iéxico, D.F.: Prentice
Hall Hispanoamericana, 1970.
Uribe, .J. 11.ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe
Yang, ,,-. Y et. _.t.L Applied Numcrical J11ethods Using J11ATLAB.
''Tile)1-Interscience, 2005.
2. 6 Problemas
1) Dadas las matrices [AJ )1 (B] calcular:
63

a) (A]+[B]
b) 2(A] + 3[B]
c) 4[.I.] - 3[B]
1 2
[A]= 3 4
- 1 o
- 1 3
[E]= 2 6
o 4
2) Dadas las matrices [A] )' (B] calcular:
a) (B]- [i-.]
b) 4(A] - 3[B]
c) 5([A]+ [B])
2 5 6
[A]= -6 7 1
3 4 2
-5 2 7
[E ]= -3 4 -8
2 -9 -7
3) Dadas las matrices [B] )1 (O] calcular:
a) (B](O]
b) [B] [O]T
c) [O](B]T
d) [O] [B l T [O]
5 1 7
[E]= -3 4 -8
2 -9 -7
2 5 o
[e]= 6 1 1
3 4 2
4) Dadas [.!.] y [B] calcular [.l.][B] , usando partición de matrices.
1 5 4
[A]= -6 5 1
3 4 2
1 4
[E]= 2 6
o 2
64

Capítulo 3
Deter1ninantes e i11versió11 de inatrices
3.1 Determinante de una matriz
Si [A] es una matriz cuadrada de orden n , el determina11te de
[A] se denota por IA y se define como el escalar o polinomio que
resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz
de acuerdo a una serie de restricciones. El determinante de una
matriz de orden 2, de defi11e como:
Para definir el determinante de una matriz de orden mayor que 2 es
necesario introducir algunos conceptos. Dada una matriz cuadrada
[A] de orden n , definimos el me11or, lVI .. como el determinante de IJ
la sub1natriz de orden {n-1) x {n-1) que se obtiene eli1ni11ando
la i-csima fila y la j-csima columna de la matriz [i.] de orden n.
El cofactor Aij asociado al menor l!Iid en una matriz [i.] se define
como:
Por ejemplo:
ª11 ª12 ª13
[A]= ª21 ª22 a,.,~ -"
ª31 a~,., "- ª33
65

El menor NI21 se obtiene eliminando fila 2 )1 la columna 1 de [i]:
M21 =
por tanto,
Ejemplo:
El menor NI 11 de la siguiente matriz se obtiene al calcular el
determi11a11te de la matriz resultante de eliminar la fila 1 )1 la
columna l .
2 5 6
[A]= -6 7 1
3 4 2
7 1
M,,1 = - 4
66

DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES
El cofactor asociado se calcula como
Ái1 (- l)1+1M11
Ái1 (-1)2 (10) = 10
3.2 Expansión de Laplace
Dada una matriz cuadrada [.A.] de orden n se define su determinante
como la suma del producto de los elementos de una fila (o colu1n11a)
cualquiera de la inatriz, por sus correspondientes cofactores. De
acuerdo a la expansión de Laplace, el deter1ni11ante de una matriz
[A] cuadrada de orden n, está definido por:
n Al L aikÁ¡k ' i= 1 .. . n
Ó k=I
n Al L a19A19 , j=l .. . n
k=I
Para la matriz [.A.] si se selecciona la columna j-2, entonces:
ª 11 ª12 ª 13 ~_, Al= ª 21 a,.,,, ª23 = L ª k2A k2
k=I
ª 31 ª32 ª33
Para la expansión por cofactores, se cumple que la suma de los
productos de cualquier elemento a .. de una fila (o colum11a) de una IJ
matriz [i.] , multiplicado por el cofactor de otra fila (o colum11a)
de [i.] es cero. Esto es
67

n
L ª ikAjk =O, i * j
k=l
n
L ª ¡qAki =O , j * i
k=l
Se define la matriz cofactor [A] como:
A 11 A 1'.?. • • • A1n
[A]= Á 21 A 2'.?. • • • Ázn
• • • •
• •
Au ~n - -
~1 ~2 ~j ~n
Ejemplo:
Calcular la matriz cofactor [A] dada la siguiente mat riz:
1
[A]= 1
o
Solución.
5 2
1 7
-3 4
Procedemos a calcular los valores de los cofactores Aü
A - (-l )(l+l) M - (-l )(Z) 1
11 - 11 - -3
1
68

A')1 = (-l) C'.:!+1) M ,.,1 = (-1)(3) 5
- - -3
~' = (-l)C'.:!+:i) M ,,? = (-l)C4
-- -- ) ol
~~__, = (-l)c:i+3) M ,--,., = (-l)cs) o1
2
=-26
4
5
=3
- 3
2
=33
7
Reemplazando en la ecuación para [A] :
25 -4 -3
[AJ= - 26 4 3
33 - 5 - 4
Ejemplo:
Calcular el determinante usando la expansión de Laplacc de la
matriz [.!.] que se da a continuación:
2 4 -11
[A]= -1 3 -16
2 o 21
69

Solución.
Si se selecciona la 2ª columna, e11to11ces j=2.
3
Al = L ª k2Ak2 = ª12Ái2 + ª22~2 + ª32~2
k=l
-1 6 +3(-1) ( '_> +_'> ) 2
21 2
2 4 -11
A= -1 3 -16 =-4(-21+32)+3(42+22)=148
2 o 21
Si se selecciona la 1 :i. columna, ahora j=l.
3
Al = L ª k1Ak1 = ª11~1 + ª21~1 + ª31A31
k=l
3
Al= 2(-l)CJ+l)
-16 4 - 1(- 1)(2+1) -11 + 2(-1)(3+1) 4
o 21 o 21 3
Al= 2( 63) + (84) + 2(-64+33)=148
Verificación de cálculo en MA TLAB:
>> A= [2 4 -11;-1 3 - 1 6;2 O 21 )
70
- 11
- 16

A -
2
- 1
2
>> det(A)
ans =
14 8
Propiedades.
4
3
o
-11
-16
21
1) Si todos los elementos de una fila (o una columna) de una
matriz cuadrada [A] son cero, entonces
Al=ü
Por ejemplo, si la columna j=2, es cero:
ª 11 o ª13
o a.,~
Al= ª 21 -~
• • • • •• • • •
ª ni o a n3
Ejemplo:
o 4 3
[A]= O 3 1
o 5 6
• • • aln
• • • aln =Ü
• • • • • •
••• a nn
71

Expandiendo la primera fila:
IA = O+ 4(-1)1+~ o 1 + 3(-1)1+3 o
o 6 o
2) Si la fila i o la colum11a j de [A] se inultiplican por u11a constante
lv, entonces el i1ue''º determi11ante es A Al .
Ejemplo:
-16 + (') ") 2,1,, -11 3(-1) -+~ +o
21 2,1,, 21
2,1,, 4 -11
BI= -A, 3 -16 =-4,1,,(-21+32) + 3,1,,(42+22)=,1,,(192-44)
2,1,, o 21
Ejemplo de cálculo en 1d"A TLAB: para el caso a11terior usar
A-=2
>> A= [2 4 -11;-1 3 - 16;2 O 21 ]
A =
2
- 1
2
4
3
o
>> l ambda=2 ;
-11
-16
21
72

>> A( :,l ) =l ambda*A( :, 1)
A =
4
-2
4
>> det(A)
ans =
296
4
3
o
-11
-16
21
3) Si dos filas (o columnas) de una matriz se i11tercambian, el
determinante de la matriz cambia de signo.
Ejemplo:
Para la matriz [i.] intercambiar la primera)' segunda columna.
2 4 -11
[A]= -1 3 -16
2 o 21
la i1ue·va Inatriz es:
4 2 - 11
[A]= 3 - 1 -16
o 2 21
Al= - 1 4(-l )O+l)
2
' IA = 148
- 16 + 2 3(-1)(2+1)
21 2
Al= 4(-21+ 32)-3( 42 + 22) = - 148
73

4) Si dos filas (o columnas) de una matriz[.!.] son iguales, entonces
Al=ü
Ejemplo:
2 2 2
[A]= 2 2 2
3 o 6
2 Al= 2(-1)0+
2
)
3
2 + 2(-1)( " '>) 2 -+-
6 3
Al= -2(6) + 2(6) =O
4) Si una fila (o columna) de una matriz [.!.] es múltiplo de otra ,
entonces Al = O
Ejemplo:
Para la matriz dada [A] , la tercera fila
2 6 3
[A]= 2 1 O
4 12 6
Al= 6 2(-l)(J+I)
12
3 + 1(-1) ("_ +"_) 2 3
6 4 6
Al= -2(0) + 1(0) = O
74

.5) El determinante de la transpuesta de una matriz (A] es igual
al deter1ninante de la matriz. ( A = AT )
Ejemplo:
2 2 3
[ A]T = 2 2 o
2 2 6
AT = 3(-1)(1+3) 2 2
2
2 + o+ 6(-1)(3+3) 2
2 2 2
Ejemplo de cálculo en 1IIA TLAB:
>> A= [2 4 3;2 2 O ; 2 2 6 )
A =
2
2
2
>> det(A)
ans =
- 24
4
2
2
3
o
6
>> det( trans pose(A))
ans =
- 24
75

6) El determinante del producto de dos matrices (A] JI (B] es igual
al producto de sus determina11tes. ( IAB = IA BI = IB IA )
Ejemplo:
[A]= 2 5
-6 7
Al= 14 + 30 = 44
- 1 3 [B] =
2 6
BI= -6-6 = - 12
AB = 192 - 720 = -528
Al B = 44(-12) = -528
Ejemplo de cálculo en l1A TLAB:
>> A= [2 4; 6 8];
>> B= [-2 5 ; 0 7 ] ;
>> det (A) *det(B )
76

ans =
112
>> det(A* B)
ans =
112
>> det (B*A)
ans =
112
3. 3 Determinante por condensación pivotal
En este método se deben convertir a cero todos los eleme11tos
de una fila (o columna) , excepto u110 Tnediante transformaciones
elementales de filas y columnas.
La transformación elemental de una fila se represe11tara por
F~F+F J J l
lo cual represe11ta "la fila j se reemplaza por la fila j mas la fila
. }}
i
La fórmula para hacer ceros una columna es:
*
a
F = F - JP F
J J a P
op
F. es la fila origi11al, a es el piiote )1 F la fila donde se ubica el J op p
pivote
77

Ejemplo:
Calcule por conde11sación pi,;otal el determinante de [B] :
2 1 o -3
BI= 1 -2 4 5
3 o 1 4
-3 2 4 1
En este caso el pirote será el elemento b12
, por facilidad
Paso 1:
F2 ---+ F2 - b22F;
F2 ---+ F2 + 2F;
Los ele1nentos de la fila 2 queda11:
b =1+2(2)=5 :21
b22=-2+2(1)=0
b23= 4+2(0)=4
b:24= 5+ 2(-3)=-1
2
5
3
1
o
o
o
4
1
-3
-1
4
-3 2 4 1
Ahora, se reduce a cero el ele1nento b 42
, mediante la
transformación:
F4 ---+ F4 - ª42F;
F4 ---+ F4 - 2F;
78

2 1 o -3
Al=
5 o 4 - 1
3 o 1 4
-6 o 3 7
Efectuando la expansión de la segunda colum11a, se obtiene:
5 4 - 1
Al= (-1)1
+
2 3 1 4
-6 3 7
Al=-(35-96-6-60-84)= 220
3.4 Inversión usando la matriz adjunta
Se define la matriz adjunta como la transpuesta de la matriz
cofactor [.AJ
Ai1 ~¡ • • • An1
A4f ([A])= [.J]r = Ái2 A12 ••• 4i2
• • • - • • • • • 4ii
-
Ain A1n AJn 4in
La matriz In1ersa [i]-1 se puede calcular usando cofactores
mediante:
79

- - - -
A11 ~l ••• 4i1
-
Ái2 ~2 • • • ~2
• • •
• • • An1 • • •
[ A]-1 =
A1n ~n Ajn 4in
A
Ejemplo:
Calcular la iniersa de la siguie11te matriz
1 5 2
[A ]= 1 1 7
o -3 4
Primero calculemos el determinante, usando expansión por
cofactores:
3 Al L ªk1.Ak1 = ª11.A; 1 + ª21.A21 + ª31~1
k =l
7 5
- 1
4 -3
3 Al L ak1Ak1 = 1(25)- 1(26) = - 1
k =l
80

La matriz [AJ se calcltló en el ejemplo pasado:
25 -4 -3
[A] = -26 4 3
33 -5 -4
25 -4 -3 T
A4f ([A])= [A]r = -26 4 3
33 -5 -4
25 -26 33
A4f ([A])= [A ]r = -4
-3
Usando la ecuación:
25 -26 33
-4 4 -5
[ A]-1 =
-3 3 -4
- 1
-25 26 -33
[ A]-1 = 4 -4 5
3 -3 4
4 -5
3 -4
81

Ejemplo: repetir el cálculo usa11do lIIATLAB
>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; 0 -3 4 ]
A =
1
1
o
5
1
-3
a) Cálculo de Al
>> det(A)
ans -
- 1
b) Cálculo de [ A]-1
>> i nv(A)
ans =
- 25
4
3
26
-4
-3
2
7
4
-33
5
4
3.5 l!létodo de Gauss-Jordan
El l1étodo de Gauss-.Jordan se basa en operaciones fundamentales
en filas de matrices. Las operaciones so11:
1. J!l ultiplicación de una fila (columna) por un escalar distinto de
cero.
2. Intercambio de dos renglones (o columnas).
82

3. Reemplazo de la fila j por la suma de la fila j más 'A ·veces la
fila k donde 'A es cualquier escalar
El procedimiento general es partir de una matriz ampliada [A l I ]
y mediante operaciones fundamentales, obtener la inversa
Se deben efectuar los pasos siguientes para k= 1, .. _, n ( n: orden de
la matriz [.i])
i) Dividir la fila k por ak.Jc .
ii) Hacer ceros sobre la columna k mediante operaciones
fundame11tales
Ejemplo:
-4 7 8
[A]= 10 -6 -8
-5 7 6
El primer paso es obtener la matriz aumentada:
-4 7 8
[A l I] = 10 -6 -8
-5 7 6
1 o o
o 1 o
o o 1
El primer pi,;ote será el elemento a11 =-4
F; ~ F;
1
ª11
F; ~ F;
1
-4
83

1
[A]= 10
-5
-7
4
-6
7
-2
-8
6
- 1 o o
4
o 1 o
o o 1
La siguiente operación fu11dame11tal es
F2 ----+ F2 - F¡ ( ª 21 )
F2 ----+ F2 - F¡ ( 1 O)
1
-7
-2
4
[A]= o 23
12
2
-5 7 6
- 1
4
5
2
o
La operación el la fila 3 es:
F3 ----+ F3 - F¡ ( ª31)
F3 ----+ F3 -F¡ (-5)
1
-7
-2
4
[A]= o 23
12
2
o -7
-4
4
- 1
4
5
2
-5
4
o o
1 o
o 1
o o
1 o
o 1
84

DETERMINANTES E INVERSIÓN DE MATRICES
23
Ahora el pi,;ote es el elemento ª·)·'= -
_ ¿ 2
F., ~ F,,
1
- - a.,.,
F., ~ F,,
2
- - 23
1
-7
- 2
- 1 o o
4 4
[A]= o 1
24 5 2 o
23 23 23
o -7
- 4
- 5 o 1
4 4
Ahora se debe hacer cero el ele1nento a12
F¡ ~ F¡ - F2 ( ª 12)
- 7
F¡ ~ F¡ -F2
4
1 o - 4
23
(A]= o 1
24
23
o -7
- 4
4
3 7 o
23 46
5 2 o
23 23
- 5 o 1
4
85

Procedemos a hacer cero el elemento a3:2
F3 ----) F3 - F2 ( ª32 )
-7
R ----) F~ - F?
~ ~ - 4
1 o -4
23
[A]= o 1
24
23
o o 50
23
3 7 o
23 46
5 2 o
23 23
-20 7 1
23 46
50
Ahora el pÍiOte es el eleme11to a33
= -
23
1 o -4 3 7 o
23 23 46
[A]= o 1
24 5 2 o
23 23 23
o o 1
2 -7 /100 -23
5 50
86

Ahora se debe hacer cero el elemento a13
F; ~F'¡-F3(a1 3 )
-4
F;~F;-F3
23
Ahora se debe hacer cero el elemento ª u
F2 ~ F2 - F3 ( ª 23 )
24
F,., ~F? -F~
- - :> 23
87

Por tanto,
1 7 -2
-
5 50 25
( A]-1 =
- 1 4 12
5 25 25
2 -7 -23
5 100 50
Fi11almente se puede comprobar:
[A][A]-1 =[1]
1 7 -2
-4 7 8 5 50 25 1 o o
10 -6 -4
- 1 4 12 o 1 o --
5 25 25
-5 7 6 2 -7 -23 o o 1
5 100 50
88

En el cuadro 3.1 se prese11ta un programa para la in1ersión de
matrices por el Niétodo de Gauss-.Jorda11.
% Inversión de matrices
%
% Metodo de Gauss Jordan %
%
close all; clear all
% Definición de la matriz [A]
A=[l 5 2; 1 1 7 ;O -3 4 ] ¡
[p, k] =size (A) ;
I=eye(p);
% Definición de la matriz aumentada [M]=[A I]
M = [A I] ¡
for i=l:p
M ( i' : ) =M ( i' : ) /M ( i I i)
f or
if
j=l:p
• •
l. ~ =J
M(j, :) - M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)
end
end
end
% Matriz Inversa MI
MI= M(:,p+l:p+k)
Cuadro 3. 1: P rograma en lIATLAB del lIétodo de Gauss-Jordan.
89

Ejemplo:
Calcular la in;ersa de la siguiente matriz
1 5 2
[A]= 1 1 7
o - 3 4
S olución:
M =
M =
1
1
5
1
2
7
1
o
o
1
o
o
1 . 0000 o o - 25 . 0000 26 . 0000 - 33 . 0000
M -
o
1
o
o
MI -
- 25
4
3
>> A*MI
o 1 . 0000 - 1 . 2500 0 . 2500 - 0 . ?500 o
o o 1 . 0000 3 . 0000 - 3 . 0000 4 . 0000
- 3
o
1
o
26
-4
- 3
4
o
o
1
- 33
5
4
o
-25
4
3
90
o
26
- 4
- 3
1
- 33
5
4

ans -
1
o
o
o
1
o
o
o
1
3.6 Inversa de una n1atriz por medio de
partición
Para una Inatriz [A] de orden nxn, su partición se puede expresar
de la forma:
[ Ai1 ],x,.
[ A11lsxr
[ A12],xs
[ A12 ]sxr
La ecuación [i] [AJ -1= [I], se reemplaza por [.i] [B]-1=[I]. La partición
de [B] debe ser igual a la de la inatriz [A]. Por tanto:
[ All l1xr [ Ai2],xs [ B11]1xr [ B12 ]1xs
[ A21]sx,. [ A12 ]sxr [ B21 lsxr [ B22 lsxr
[ l1 ]1xr [O ],xs
[O lsxr [ 12 lsxr
La ecuación anterior se puede expresar corno
91

De la ecuación tercera ecuación se obtiene
Reemplazando en la primera ecuación se obtiene:
Factorizando,
De la ecuación segunda se puede despejar:
Reemplazando e11 la cuarta se obtie11e:
De expresión anterior se obtiene:
Con esta matriz se determina [B12]:
92

Finalmente la in,;ersa de [i.] se expresa
Ejemplo:
Calcular la in,;ersa de la matriz [i.] usando partición
1 -3 1
(A]= -2 4 2
3 -7 1
Efectuando la siguiente partición
2 -6 1
(A]= -2 4 2
3 -7 1
Las sub-matrices se definen por:
2 -6 1
[A ]- · (A J- 11 - -2 4 ' 12 - 2
Calculando el producto:
-7
-14
93

U san do la ecuación para [ B11 l •
2 -6
4
-2 -1
[B11l =
4
-8 18
[B11l = -~ 1
-2 ~
3
6
-7
-14
Empleando la ecuación para [B21l:
[B21l = [-3 7] -~
[B21 l =[- ~ ,Xl
1
,X
1
~
Ahora se debe calcular [ A11 l-l :
T [A l-1 = 1 4 2 - -2 -X
11 -2 3 1 - 1 -~
94
- 1

Calculamos el producto:
- 7]
-5
= [3 - 7] = [-1]
-2
[B22 ] = {[1] - [-1]}-1 =[X]
Ahora se calcula [B12 ] :
-2 1 Ji
2 [X]= 1
La inversa se obtie11e como:
-X
[A B 11 B12 ] - 1 = -2
B 21 B 22 -X
Ejemplo:
-2 -X
- 1 -X
1 Ji
X 1
X X
1
2
Como ejemplo didáctico del manejo de partición de matrices en
MiTLAB, se repetirá el procedimiento a11terior para invertir la
matriz
1 5 2
[A]= 1 1 7
o -3 4
95

Solución:
>> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; O - 3 4 ]
A =
1
1
o
5
1
- 3
>> All=A(1 : 2 ,1 : 2)
All -
1 5
1 1
>> A12=A(1 : 2 , 3)
A12 -
2
7
>> A21=A(3 ,1:2 )
A2 1 -
o - 3
>> A22=A(3 , 3)
A2 2 -
4
2
7
4
96

>> 8 ll=inv(All-A12* i nv(A22)*A21)
811 =
- 25 26
4 -4
>> 821=-inv(A22)*A21*811
821 -
3 - 3
>> 822=inv(A22- A21*inv(All)*A12)
822 -
4
Cálculo de (B12 ] = -( A11]-
1
( A12 ]( B22 ]
>> 812=-inv(Al l)*A12*822
812 =
- 33
5
97

>> AI=[Bll B12;B21 822 ]
AI -
- 25
4
3
26
-4
-3
-33
5
4
3. 7 Referencias bibliográficas
l(iusalaas, J. Numcrical J1!Jcthods in Enginccring with NIATLAB.
Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009.
l(olman, B. A lgcbra lineal con aplicaciones y ll!f atlab. Prentice
Hall Hispanoamericana, México, D.F , 1999.
Laub, i.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs.
SIAM: Society for Industrial and i.pplied Niathematics.
Philadelphia, 2004.
Mathews .J, Fink, l(. J!fétodos numéricos con J1!JATLAB, Madrid,
Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall
Hispanoamericana, Niéxico, D F. , 1970.
Uribe, J. J1!ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe
Ediciones, Colombia, 1995
'''atl<ins, D. Fundamcntals of J1!fatrix Gomputations_,,.iley
Interscience, New York, 2002.
Yang, ''T· Y et. al. Applicd JVumcrical ll!fcthods Using NIATLAB.
''Tile)1-Interscience, 2005.
3.8 Problemas
1) Calcular la matriz cofactor [A] dada la siguiente matriz
98

2 7 2
(A]= 1 1 7
4 -3 o
2) Calcular el determinante usando la expansión de Laplace de la
matriz [A] que se da a co11tinuación:
2 8 - 11
(A]= -1 6 -16
2 o 21
3) Calcule por condensación pi,;otal el determina11te de [.A..] :
2 1 o -6
1
3
-3
-2
o
2
4
1
4
10
8
2
4) Calcular la inversa de la siguiente matriz usando la matriz
adju11ta.
4 5 2
(A]= 4 1 7
o -3 4
5) Use el programa en MATLAB del Método de Gauss-Jordan del
cuadro 3.1 , para calcular la inversa de la siguiente matriz:
-4 7 8
(A]= 10 -6 -8
-5 7 6
6) Terificar el resultado del problema anterior usando MATL.A..B.
99

Capítulo 4
Solución de sistemas de ecuacio11es
lineales
Dentro de las muchas aplicaciones del algebra matricial en
ingeniería, esta la solución de sistemas de ecuaciones lineales para
problemas encontrados en diferentes disciplinas como análisis de
estructuras, circuitos eléctricos, flujos en redes, conducción de
calor, distribución de recursos, etc.
4.1 Forma matricial de las ecuaciones
Un sistema de n ecuaciones lineales simultáneas con 11 incógnitas
de la for1na
ª 11X1 + ª 12X2 + '· '+ ª 111Xn = b l
ª21X1 + ª22X2 + .. . + a2nXn = b2
•
•
•
se puede escribir en forma matricial corno
ª 11 ª 12
• • • a ln XI bl
ª21 ª22
• • • ª2n X,, b ,,
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
ªni an2 • • • a nn x n bn
Las ecuaciones a nteriores se pueden expresar como:
(A](x]=(b]
101

Donde,
ª 11
ª 21 [A ]= •
• •
X [x]= .2
•
•
bl
[b] =
b-,.,
•
• •
bn
ª12
• • •
ªin
ª22
• • •
ª2n
• •
• • •
• • •
• • •
La solución del sistema de ecuaciones [A] [ x] = [ b] en MATLi.B
se calcula por medio de la instrucción A b
4.2 Solución por inversión de n1atrices
Un sistema de n ecuaciones li11eales simultá11eas se puede resolier
usando la inversa de la matriz de coeficientes [.l.] , si IA =t:. O.
Dado el sistema:
(A](x]=(b]
pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por [A]-1
( A]-1 (A] ( x] = ( A]-1
( b]
[l ][x]=[A]-1 [b]
102

SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
El ' ;ector de incógnitas se calcula e11tonces por:
Ejemplo:
Solucionar el sistema de ecuaciones siguiente usando in,;ersión
x1 + 5x2 + X 3 = 2
4x1 + 2x3 = 6
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir:
1 5 1 X1 2
Ü 4 2 X2 6
Ü 1 1 X~ 4 ~
Primero, calculamos A :
Al= 4 (1)2
1
Al= 2
2
= 1(4-2)
1
La matriz cofactor [A] se calcula como
2 o o
[AJ= -4 1 -1
6 -2 4
103

Luego se calcula la matriz Ad_j ([A]) :
2 0 0 T
A4f ([A])= [A]r = -4 1 - 1
6 -2 4
2 4 6
A4f ([A])= O 1 -2
o 1 4
Finalmente la in,;ersa se calcula por:
2 -4 6
o 1 -2
( A]-1 = o - 1 4
2
1 -2 3
( A]-1 = O 0.5 - 1
o -0.5 2
104

La solución del sistema es:
1 -2 3 2
[x]= O 0.5 -1 6
o -0.5 2 4
2
[ x] = -1
5
Ejemplo:
Verificar la solución anterior en 11ATLAB.
>> A= [ l 5 1 ; 0 4 2;0 1 1]
A =
1
o
o
5
4
1
>> b= [ 2 6 4] '
b =
2
6
4
>> % solución
>> x=A b
1
2
1
105

X =
2
- 1
5
4.3 Regla de Cran1er
El Niétodo de Cramer para resolier un sistema de ecuaciones,
hace uso del desarrollo de determi11antes para obtener la iniersa
de una matriz.
( x] = (A ]-1
( b]
Recordando que:
Entonces,
{x} = Aq/([A])[b]
A
Dado que:
Á ¡¡ ~] • • •
[A]r = Ái2 A~,, • • •
• •
• • •
A1n Á zn A Jn
41
-
42
-
4 i
-
4n
106

Entonces la solución del sistema se obtiene como:
X1 Ái l A21 ••• An1 b¡
X2 1 Á¡2 Á22 ••• ~2 b2
IA
• • •
• • • •• •• • Ani • • •
xn Áin ~n AJn ~ bn
Efectuando el pr oducto de la derecha se obtie11e
X¡ b1Ái1 + b2A21 + bnAnl
X'-) 1 b1A12 + b'2~2 + bnAn2
• • • IAI • • • • • • • • • • • • • • •
xn b1Áin + b2A2n + bnAnn
Despejando los 1alores de xi
X
- b1A11 + b2~1 + .. . + bn~1
, 1 - IA
X = b1Ái2 + b'2A22 + · · · + bnAn2
2 IA
X i = . ... .. . ....... ... .... , .. . .. , . ,
X = b1Áin + b2~n + · · · + bn~n
n Al
El nu1nerador de cada ecuación corresponde a la expansión de un
determinante por cofactores, la cual se puede escribir como
b¡ ª12 ª 13 '' ' ª in
b2 ª 22 ª 23 ''' ª 2n
• • • • • • • • • • • • • • •
bn anl an3 • • • bn
x= 1 Al
107

ªi i b ¡ ª13 • • • ªin
ª 2i b 2 ª? ~ ••• ª 2n -~
• • • • • • • • • • • • • • •
ª ni b n a n3 • • • a nn
X2 = IA
• • •
• • •
• • • • • • • • • • • • • • •
ª ni a n2 a n3 • • • b n
X n = Al
Ejemplo:
Resolier por la regla de Cramer el sistema [A] [ x] = [ b]
2
[A]= - 1
4 1
3 -2
2 -3 5
Solución:
x= i
- 11
- 16
21
2
- 1
2
4 1
3 -2
-3 5
4 1
3 -2
-3 5
- 11
[b]= - 16
21
= 38 = 2
19
108

2 - 11 1
- 1 - 16 -2
2 21 5 -76
=-4 X = --
2 19 19
2 4 - 11
- 1 3 - 16
2 -3 21
X~= =!.2.= 1
~ 19 19
4. 4 l!létodo de Eliminación de Gauss
Otro procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales
que también se basa en transformaciones fundamentales sobre filas
de una ma triz, es el clásico Método de Eliminación de Gauss. El
procedimiento general para la solución de sistemas de ecuaciones ,
consta básica1nente de dos pasos
1) Reducir la matriz de coeficientes de u11 sistema dado de
ecuaciones a una matriz triangular superior usando las
transformaciones fundamentales
2) Hallar la solución del sistema de ecuaciones resoliiendo
el sistema triangular superior obte11ido en el paso anterior.
Después de la primera etapa se obtiene una matriz aumentada
de la forma:
Ái1 Ái2 • • • Áin b;
~1 ~2 • • • ~nb;
[A b'] = • • •
• • • • • •
An1 ~2 • • • ~nb~
109

La ultima ecuación, da como resultado:
b'
X = n n 4in
Se puede determina xk de la k-ésima ecuación:
Akkxk + A k,k+1Xk+1 + · · · + Aknxn = b~
La expresió11 anterior se puede escribir como:
n b; - L A 1qx1 '
k=n-1 n-2 ... 1
' ' '
J=k+I
Ejemplo:
Resol,ier el siste1na de ecuaciones:
2x1 - 3x2 - x 3 + 2x4 = 15
-x1 + x 2 + 2x3 - 2x4 = - 13
X1 - X?. + X3 + X 4 = 4
3x1 + 2x2 - x3 - x4 = 3
Las ecuaciones a11teriores se puede11 escribir:
2 -3 - 1 2 x1 15
- 1 1 2 -2 X,-, - 13
1 - 1 1 1 X~
~ 4
3 2 - 1 - 1 X4 3
110

El cual tiene la for1na
[A][x]=[b]
Primero se obtiene la matriz aumentada:
[A 1 b]
2 -3 - 1 2 15
-1 1 2 -2 - 13
1 - 1 1 1 4
3 2 - 1 - 1 3
La primera operación es con·vertir a la unidad el elemento a
11
F; ~F;
1
ª 11
F; ~F;
1
2
1
-3 - 1
1
15
2 2 2
- 1 1 2 -2 - 13
1 - 1 1 1 4
3 2 - 1 - 1 3
La siguiente operación fundamental es
F 2 ~ F 2 - F; ( ª21 )
F2 ~ F2 -F; (- 1)
111

1
- 3 - 1
1
15
-
2 2 2
o - 1 - 3
- 1
- 11
2 2 2
1 - 1 1 1 4
3 2 - 1 - 1 3
Las operaciones en las fila 3 y 4 son:
F3 ~ F3 - F; ( ª31)
F3 ~F3 - F;(l)
1
- 3 - 1
1
2 2
o - 1 3
- 1
2 2
o 1 3 o
2 2
3 2 - 1 - 1
F4 ~ F4 - F; ( ª 41)
F4 ~F4 - F;(3)
1 - 3 - 1
1
2 2
o - 1 3
- 1
2 2
o 1 3 o
2 2
o 13 1
- 4
2 2
15
-
2
- 11
2
- 7
2
3
15
-
2
- 11
2
-7
2
-39
2
112

Ahora en la diagonal principal se convierte a uno el elemento
ª22:
1
1
-3 - 1
1
15
2 2 2
o 1 -3 2 11
o 1 3 o -7
2 2 2
o 13 1
-4
-39
2 2 2
Ahora se deben 11acer cero los elementos ª si y a4
-i
F3 ~ F3 - 1 ( ª 32)
1
R~F,-F:1 -
~ ~ 2
1
-3 - 1
1
2 2
o 1 -3 2
o o 3 - 1
o 13 1
-4
2 2
15
2
11
-9
-39
2
113

La operación para la fila 4 es:
F4 ----+ F4 - F¡ ( ª41)
F4----+ F4 -F¡ (3)
1
-3 - 1
1
2 2
o 1 -3 2
o o 3 - 1
o o 20 - 17
15
2
11
-9
-91
Ahora se reduce a la unidad el elemento a33
F3----+ F3
1
ª33
F3 ----+ F3
1
3
1
-3 - 1
1
15
2 2 2
o 1 -3 2 11
o o - 1
1
-3
3
o o 20 - 17 -91
Fi11almente se debe hacer cero el ele1nento a43
F4 ----+ F4 - F3 ( ª43)
F4----+ F4 -F3 (20)
114

1
-3 - 1
1
15
2 2 2
o 1 -3 2 11
o o - 1
1
-3
3
o o o -31
-31
3
Ahora la solución se obtiene usando sustitución h acia atrás.
Debemos resol,;er el sistema:
1 ~ -~ - 1 1 15
- X1 -
2 2 2
o 1 -3 2 X,-, 11
o o 1 - 1
- X~ -3 ~
~ ~
o o o - 31
- X4 -31 ~
~
En forma de ecuaciones se tiene:
x2 - 3x3 + 2x4 = 11
X -1. x =-3 3 3 4
- Jt x4 = -31
Al resolver usando sustitución hacia a trás, obtenemos:
X =3 4
115

Ahora resolviendo la tercera ecuación:
X -1.x =-3 3 3 4
X~ =-2 ~
Se resuelve la segunda ecuación usando los valores de x8 y x
4
:
X2 - 3(-2) + 2(3) = 11
Finalmente resolvemos la primera ecuación:
2x 3 1 X + 2 _ 15
1 -"IX'.?. -2 3 X4 - 2
2x1 -f(-1)-t (-2) + 2(3) = 1f
X =2 1
Ejemplo:
Resol,ier el siste1na de ecuaciones:
X¡ - 2x2 + X 3 = 1
X1 +X-,, -X~=-1 ~
x1 - 5x2 + 3x3 = 3
116

La matriz aumentada es:
[A 1 b]
1 -2
1 1
1 -5
1 1
- 1 - 1
3 3
El rango de [A] es 2 )1 el r ango de la matriz au1nentada ta1nbién
es 2, por tanto no existe una solución única del sistema. Se puede
obtener la solución para dos de las incógnitas en términos de una
tercera incógnita.
Para con,1ertir en cero los elementos a
21
)' a
31
las operaciones
son:
F2 ---+ F2 - F¡ ( ª 21)
F2 ---+ F2 -F¡ (-1)
1 -2 1 1
o 3 -2 -2
1 -5 3 3
F3---+ F3 -F¡ ( ª31)
F3 --..+F3 -F¡(l )
1 -2 1 1
o 3 -2 -2
o -3 2 2
117

En la diagonal principal se con1ierte a uno el eleme11to a2:2:
1 -2
o 1
1
-2
1
-2
3 3
o -3 2 2
Ahora se deben hacer cero el elemento a32
:
F3 ~ F3 - F¡ ( ª 32 )
F3 ~ F3 -F¡ (-3)
1 -2
o 1
o o
1
-2
3
o
1
-2
3
o
Una solución para x1 y x2 en térmi11os de x8 se puede obte11er
como:
X -
2
2 2
X~=- - 3 ~ 3
118

De las ecuaciones anteriores se obtiene:
2 2
X - -
3 3 3
Sustituyendo la solución para x2 se obtiene x1
2 2
X - -
3 3 3
X = 2 (;)x~ -~ 1 ~ :> 3
x= 1
1 1
X~- - 3 :> 3
-X~ + 1 :>
En el Cuadro 4.1 se presenta el programa en :rvIATL.A..B para la
solución de un sistema de ecuaciones por el Método de Eliminación
de Gauss.
119

% Método de Eliminación de Gauss %
%
% Solución del sistema de ecuaciones lineales:
%
% [A] {x}={b}
%
% Definición de la matriz [A] y vector [b]
A=[15 -5 0¡-5 15 -5¡0 -5 20]
b= [2 O O O] I
% Definición de la matriz aumentada [M]=[A b]
M = [A b]¡
p = size(M,1);
for i=l:p
for j=i+l:p
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i)
end
end
for i=p:-1:1
M(i,:) = M(i,:)/M(i,i)
for j=i-1:-1:1
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)
end
end
% Solución {x}
x=M(:,p+l)
Cuadro 4.1: P rograma en lIA TLAB del lIétodo de Eliminación de Gauss.
120

Ejemplo:
Utilizar el programa anterior de MATLiB, para resolver el
sistema
-4 7 8 X1 1
10 -6 -8 X,, Ü
-5 7 6 X~ Ü
Solución:
M =
M -
X =
-4
10
- 5
1 . 0000
o
o
0 . 2000
- 0 . 2000
0 .4000
7
- 6
7
.)
8
- 8
6
o
1 . 0000
o
1
o
o
o
o
1 . 0000
Solución para múltiples vect ores.
0 . 2000
- 0 . 2000
0 .4000
En ocasiones se debe resol,;er ecuaciones de la forma [A][X] = [b]
para diferentes ;ectores [b]. En general se tienen m iectores
definidos por [ b Ji , ... , [ b ],
11
y sus soluciones definidas por [ x J1 , ... ,
[x ],11 • El conjunto de múltiples ecuaciones se puede escribir como:
121

[A][X ]= [B]
Donde,
[X] y [B] so11 matrices de orden ( nxm) cuyas columnas
corresponden a los ;ectores solución y los vectores constantes.
En el Cuadro 4.2 se presenta el programa en MATL.AB para la
solución de u11 siste1na de ecuaciones con múltiples ;ectores, por
el Método de Eliminación de Gauss.
Ejemplo:
Solucionar el sistema [A][X ] = [B]
Donde,
6 - 4 1
[A]= - 4 6 -4
1 - 4
- 14 22
[B]= 36 - 18
6 7
6
122

(A 1 B]
6 -4 1 - 14 22
-4 6 -4 36 - 18
1 -4 6 6 7
Las primeras operaciones son
6 -4 1 - 14 22
o 10 10 80 10
- -
3 3 3 3
o 10 35 25 10
- -
3 6 3 3
Para hacer cero el elemento a32
6 -4 1 - 14 22
o 10 10 80 10
3 3 3 3
o o 5
35 o
2
123

Para obtener el primer , rector solución {x}1
, usamos sustitución
hacia a trás:
S X~ = 35
2 ~
De la segunda ecuación:
10
10
X -
3
2
3
80
X~ =~
3
X') = 2_ 80 + l O 14 = 22
- 10 3 3
Finalmente,
1
X1 = -[14 + 4(22)-14]=10
6
Se repite para el segundo vector solución { x} 2:
X~ = 0
~
124

De la segunda ecuación:
10
X -
3
2
10 10
X=---
3 3 3
3 10
X = - - +O =-1 2 10 3
Fi11almente, de la pri1nera ecuación:
1
X1 = -[22 + 4(- 1)] = 3
6
% Método de Eliminación de Gauss %
%
% Vectores múltiples
%
%
% [A] [X]= [B]
%
%
% Definición de [A] , [B]
A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6]
B=[5 O 0;10 O 0;15 O O]'
125

% Definición de la matriz aumentada [M]=[A B]
M = [A B] ¡
[p,k]=size(b);
for i=l:p
for j=i+l:p
end
end
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i)
for i=p:-1:1
M(i,:) = M(i,:)/M(i,i)
for j=i-1:-1:1
M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)
end
end
% Solución [X]
X= M(:,p+l:p+k)
Cuadro 4.2: Programa del lIétoclo de Eliminación de Gauss vectores
múlt iples.
126

Ejemplo:
Utilizar el programa anterior de MATLiB, para resolver el
sistema
-4 7 8
10 -6 -8
-5 7
Solución:
M =
M -
X -
-4
10
- 5
1 . 0000
o
o
0 . 2000
- 0 . 2000
0 . 4000
6
7
-6
7
X 1 1 10
X2 o o
X3 o o
8
-8
6
o
1. 0 000
o
2 . 0000
-2 . 0000
4 . 0000
1
o
o
10
o
o
o 0 . 2 000 2.0000
o -0.2000 -2.0000
1 . 0000 0.4 000 4.0000
4.5 l!létodo de Gauss-Jordan
El Método de Gauss-.Jordan es simila.r al Método de Eliminación
de Gauss, pero primero hace el pi,;ote igual a 1, y luego hace ceros
en toda la columna del pi,;ote. En el Ivlétodo de Gauss-.Jordan
primero se hace el pivote igual a uno, después se hacen cero los
127

elementos arriba y abajo del pivote. En la etapa de eliminación, se
crea una matriz identidad. De esa forma , la solución del sistema de
ecuaciones queda en la últi1na columna de la matriz aumentada
Ejemplo:
Resol;er el sistema de ecuaciones
-4 7 8 X
1 1
10 -6 -8 X., 0
-5 7 6 X3 0
El primer paso es obtener la matriz au1nentada:
-4 7 8 1
[A b]= 10 -6 -4 o
-5 7 6 o
El primer pi,;ote será el elemento a11 =-4
F; ~F;
1
ª11
F; ~F;
1
-4
1 -X -2 -~
[A 1 b] = 10 -6 -8 O
-5 7 6 o
128

La siguiente operación fundarnental es:
F2 ~ F2 - F¡ ( ª 21 )
F2 ~ F2 - F¡ ( 1 O)
1
[Alb]= O
-5
-% -2
2rz 12
7 6
La operación el la fila 3 es:
F3 ~ F3 - F¡ ( ª31)
F3 ~ F3 - F¡ (-5)
-~
Yi
o
1 -% -2 -~
[A I b] = O 2_% 12 Yi
o -% -4 -%
23
Ahora el pi,;ote es el elemento a22
= -
2
F2 ~F2
1
a,.,.,
F2 ~F2
2
23
129

1 -%
[A l b]= O 1
o -%
-2 -~
2Yz3 ri3
-4 -%
Ahora se debe 11acer cero el elemento a12
F¡ ~ F¡ - F2 ( ª12)
-7
F¡ ~F¡-F2 4
1 o
[A b]= O 1
o -%
_3/
/23
%3
-%
F3 ~ F3 - F2 ( ª32)
-7
R ~F~ -F?
~ ~ - 4
1 o _4/
/23
[A l b]= O 1
o o
24/
/23
50/
/23
_3/
/23
%3
_20/
/23
130

50
Ahora el piiOte es el eleme11to a33= -
23
F3 ----) F3
1
ª33
F~ ----) F~
23
~ ~ 50
1
[A lb]= O
o o 1
F; ----) F; - F3 ( ª1 3)
-4
F¡ ----) F¡ - F3
23
1 o
(Alb]= O 1
o o
o
Ahora se debe hacer cero el elemento ª u
F2 ----) F2 - F3 ( ª 23 )
24
F7 ----) F7 - F~ - - ~ 23
131

1 o o Ys
[1 1 b *] = o 1 o -Ys
o o 1 Ys
La solución por tanto es:
En el cuadro 4. 3 se presenta el programa en MATLAB para la
solución de un sistema de ecuaciones por el IVIétodo de GaussJ
ordan.
132

% Método de Gauss Jordan %
%
%
% [A] {x}={b}
%
% Def inicion de la matriz [A] y vector [b]
A= [-4 7 8; 10
b= [ 1 0 Ü] I ;
-6 -a·-s I 7 6] ;
% Matriz aumentada [M]=[A b]
M = [A b];
p = size(M,1);
for i=l:p
M ( i I : ) =M ( i I : ) /M ( i I i)
for j=l:p
if i-=j
M(j,:) = M(j,:)-M(i,:)*M(j,i)
end
end
end
% Solución {x}
X= M(:,p+l)
Cuadro 4.3: P rograma en l.IA TLAB del lIétodo Gauss-Jordan.
133

Ejemplo:
La siguiente es la solució11 paso a paso del problema a11terior.
M -
M -
M -
M -
M -
1 . 0000
1 0 . 0000
- 5 . 0000
1 . 0000
o
- 5 . 0000
1 . 0000
o
o
1 . 0000
o
o
1 . 0000
o
o
- 1 . 7500
- 6 . 0000
7 . 0000
- 1 . 7500
11 . 5000
7 . 0000
- 1 . 7500
11 . 5000
- 1 . 7500
- 1 . 7500
1 . 0000
- 1 . 7500
o
1 . 0000
- 1 . 7500
- 2 . 0000
- 8 . 0000
6 . 0000
- 2 . 0000
12 . 0000
6 . 0000
- 2 . 0000
12 . 0000
- 4 . 0000
- 2 . 0000
1 . 0435
- 4 . 0000
- 0 . 1739
1 . 0435
- 4 . 0000
134
- 0 . 2500
o
o
- 0 . 2500
2 . 5000
o
- 0 . 2500
2 . 5000
- 1 . 2500
- 0 . 2500
0 . 2 174
- 1 . 2500
0 . 1304
0 . 2 174
- 1 . 2500

M -
M -
M -
M -
X =
1 . 0000
o
o
1 . 0000
o
o
1 . 0000
o
o
1 .0000
o
o
0 . 2000
- 0 . 2000
0 .4000
o
1 .0000
o
o
1 . 0000
o
o
1 . 0000
o
o
1 . 0000
o
- 0 .1739
1 .0435
- 2 . 1739
- 0 . 1739
1 . 0435
1 . 0000
o
1 . 0435
1 .0000
o
o
1 . 0000
0 .1304
0 .2174
- 0 . 8696
0 . 1304
0 . 2174
0 .4000
0 . 2000
0 . 2174
0 .4000
0 .2000
- 0 . 2000
0 . 4000
El programa del cuadro 4. 3 (JVIétodo de Gauss-.Jordan) se puede
extender para solucionar sistemas con múltiples vectores, el cual
se presenta en el cuadro 4.4.
135

% Metodo de Gauss Jordan %
%
% Solucion del sistema de ecuaciones lineales:
%
% [A] [X]= [B]
%
% Definición de las matrices [A], [B]
A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6];
B=[lO O O¡O 5 O]';
% Matriz aumentada [M]=[A B]
M = [A B] ;
[p, k] =size (B) ;
for i=l:p
M ( i, : ) =M ( i, : ) /M ( i, i)
f or
if
end
end
end
j=l:p
• • l. - =J
M(j, :) =
% Solución [X]
X= M(:,p+l:p+k)
M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)
Cuadro 4.4: Programa del lIétodo de Gauss-Jordan: vectores múlt iples.
136

Ejemplo:
Utilizar el programa anterior de MATLiB, para resol,1er el
sistema
-4 7 8 X1
10 -6 -8 X,,
-5 7 6 X~
>>
M =
M -
-4
10
- 5
7
- 6
7
.)
8
- 8
6
o 5
10 10
o o
o
10
o
5
10
o
1 . 0000 o 1.4000
o
o
o
1 . 0000
o
o 1 . 6000
1. 0000 - 0 . 7000
X -
1 . 4000
1 . 6000
- 0 . 7000
2 . 4000
0 . 6000
1 . 3000
4. 6 lllétodo de Cholesky
2 . 4000
0 . 6000
1 . 3000
En ciertas aplicaciones de ingeniería para la solución de grandes
sistemas de ecuaciones, se presentan algunas propiedades de
matrices, que son de gra11 utilidad en la solució11 del problema.
Es el caso de ecuacio11es encontradas e11 I11geniería Estructural.
Este tipo especial de matrices son de banda, reales, simétricas y
definida-positivas.
137

Si una matriz [i]n::n es simétrica, y definida-positiva, se puede
descomponer de la forma:
[A]=(G](G]r
Donde:
[ G]nxn: IVIatriz triangular inferior
[ G]:n : IVIatriz triangular superior
Por tanto la solución del sistema [A] [X]= [ B] se simplifica
computacionalmente re-escribiendo:
La anterior ecuació11 se puede resol,;er por un par de ecuaciones
expresadas de la forma:
(G](Y]=(B]
Ejemplo:
Resol,;er el sistema
[A ][X]=[B]
Donde,
1 -1 -1 2 X¡ 2
(A)= -1 5 -3 o [X)= X2 [B)=
-4
1 -3 3 o X3 4
2 o o 7 X4 1
138

a) El primer paso es obtener la matriz [G] :
ª ')1 g - - - -1 21 - 1 -
ª~1
g31 = { = 1
0-(2)(1)-(1)(-1)
g43 = 1 = -1
139

g44=~7-(1 + 1 +4)= 1
La matriz que se obtiene es:
(G]=
1
- 1
o
2
1 - 1
o o
o o
1 o
2 1 - 1 1
b) A continuación se debe resol,;er:
(G] [Y]=[B]
1 o o o 2
- 1 2 o o -4
1 - 1 1 o 4
2 1 - 1 1 1
Resol,;iendo para y1
y =2 • 1
Resol,;iendo la segu11da ecuación
2y =-4+y =-4+2 =-2 2 1
140

Resol;iendo la tercera ecuación :
Y3 = 4+ Y2 - y1 = 4-1-2
Y3 =1
Y finalmente se resuel1e la última ecuación
Y4 =l +y3 - .Y2 - 2y1 = 1+1 +1-4
y4 =-1
c) El tercer paso es resol;er la ecuación:
La matriz aume11tada que se obtiene es:
1 -1 -1 2 2
o 2 2 1 - 1
o o 1 -1 1
o o o 1 - 1
Resol;iendo la cuarta ecuación para x4
Resol;iendo la tercera ecuación para x3 , se obtiene:
X3 = 1 + X4 = 1-1
X3 = Ü
Resol1iendo la segunda ecuación para x2 :
2x2 =-l+x3 - x4 =-1+ 0+1
X2 = Ü
141

Finalmente,
X1 = 2 + X 2 - X3 - 2x4 = 2 + Ü + Ü + 2
X1=4
La solución es:
X1 = 4
X2 =Ü
X3 = Ü
X4 =-}
4. 7 Factorización L U
Si la matriz [,L] es de orden m x n )' se puede escribir como el
producto de dos matrices
[A]= [L][U]
donde [L] es una matriz triangular inferior de orden m x m )1 [U]
es u11a inatriz tria11gular superior de orden m x n. Para u11a matriz
de orden 3x3 tiene la forma:
U12 U13
[U] = O u22 U'_)~_ ,
o o U~_~, _,
y una matriz inferior
L1i o o
[L ]= L21 L22 o
L31 L~,, :>.- L33
Considérese el sistema [ L] [ x] = [e]
142

Si se resuel1en las ecuaciones come11za11do por la primera, las
soluciones toman la forma:
e
X = 1
1
L 11
1
x~ = (e~ - L,. 1x1 + L~,,x,, )
:> L :> J :> ..... .....
33
El procedimiento anterior se conoce como substitución 11acia
adelante, y es similar al proceso de substitución hacia atrás o
regresiva usado en el IVIétodo de Eliminación de Gauss.
Dado un sistema de ecuaciones:
[A][x]=[f ]
se puede escribir la anterior ecuación:
[A][ x] = ([L ][U])[ x] = [ / ]
[A][ x] = [Ll([u][ x]) = [ / ]
Si se define [y] = [U] [X] entonces,
143

[A][x]=[L][z]=[f]
Como [L] es una matriz triangular superior este sistema puede
resol,;erse mediante una sustitución hacia abajo. Una ' ;ez se
calcula [z], se puede obtener el vector de incógnitas [x] :
[u][x]=[z]
Como la matriz [U] es triangular superior; el sistema de ecuaciones
se puede resol,;er mediante sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
Dada la matrices [I(] , [L] , [U] y [f] aplique la descomposición LU,
para resol,;er el sistema de ecuacio11es [ K] [ x] = [ f ]
4 -2 1 x1 10
20 -7 12 X2 65
-8 13 17 X3 15
1
[K]=[L][U]= 5
-2
o
1
3
o 4 -2 1
o o 3 7
1 o o -2
Primero se debe resol,;er [A][ x] = [ L ][ z] = [/]
1
5
-2
o
1
3
10
65
15
144

Por eliminación, nos queda:
=2=65-5(10)=15
=3 =15+2(10)-3(15)=-JO
Ahora debemos resolver el sistema [U] [ x] = [ z]
4 -2 1
o 3 7
o o -2
X1
X?.
X3
10
15
-10
En forma de ecuaciones queda:
- 2 X =-JO
3
Al resolver usando sustitución hacia atrás, obtenemos:
x2
= 5-7(5)!3=-6.667
X
1
= 2.5 -5/4+2(-6.667)/4=-2.084
145

4.8 Referencias
Beaufait, F. ,,._ y Cliff, ,,. Computcr Mcthods of Structural
Analysis. Prentice Hall, 1970.
l(iusalaas, .J. Numcrical JV!cthods in Enginccring with JV!ATLAB.
Cambridge University Press, 2009.
Laub, i. lllf atrix Analysis for Scicntists and Enginccrs.
SIAM: Society for Industrial and i.pplied Mathematics.
Philadelphia, 2004.
Mathews .J, Fink, l(. JV!étodos Numéricos con lllfATLAB, Iviadrid,
Hsieh , Y T eoría Elemental de Estructuras. Prentice Hall
Hispanoamericana, Iviéxico, D F. , 1970.
Uribe, .J. lllficrocomputadorcs en Ingeniería Estructural. Ecoe
'''atkins, D. Fundamcntals of JV!atrix Computations_,,.iley
Interscience, N ev.r Y orl<., 2002.
Yang, ''' Y et. AL Applicd Numcrical JV!cthods Using J11fATLAB.
''Tile)1-I11terscience, 2005.
4.9 Problemas
1) Solucionar el siste1na de ecuaciones siguiente usando in·versión.
Verificar la solución usa11do ]1IA TLAB.
X1 + 5x2 + X3 = 1
4x1+2x3 =3
X?- + X~ = 2 ~
2) Resol1er por la regla de Cra1ner el sistema [A] [ x] = [ b]
2 4 1
(A]= - 1 3 -2
2 -3 5
10
[b] = 5
o
146

3) Resol,1er el problema 2 por el IYiétodo de Eliminación de
Gauss.
4) Resolver el sistema de ecuaciones, por el IYiétodo de Eliminación
de Gauss.
2x1 -3x2
- x3 + 2x4 = 30
-x+ x+ 2x1 2 3 - 2x= -26
4 X1 - X2 + X3 + X = 8
4 3x+ 2x- x- x= 6
1 2
3
4 .5) Resol,1er por el Método de Gauss-.Jordan el sistema
[A][x]=[b]
15 -5 o
[A]= -5 15 5
o -5 20
10
[b] = o
o
6) Resol,1er por el Método de Gauss-.Jordan el sistema
[A][X]=[B]
15 -5 o
[A]= -5 15 5
o -5 20
5 15 10
[ B] = O 10 O
o o 5
147

A11exo
Dife1·e11ciació11 e i11teg1·ació11 de inat1·ices
C011 MATLAB.
En muchas aplicaciones de i.nálisis Matricial de Estructuras y en
el Método de Elementos Finitos; se deben obtener las derivadas e
integrales de matrices. i.quí se prese11ta una breve i11troducció11 a
su cálculo en :NIA TLAB.
Ejemplo Al:
Dada el vector fila [N]
[ N] = [ x 2x]
Se define en Nii. TLi.B mediante:
>> syms x
>> N= [x x*2 ]
N -
[ x , 2*x ]
Para calcular la primera derivada de [N] se usa el comando
diff
>> diff (N , x)
ans =
[ 1, 2 ]

Para calcular la segunda deri,;ada de (N] se usa la instrucción:
>> diff (N , x ,2 )
ans -
[ o/ o]
Pa.ra ca.lcular la integral de (N] con MATLAB entre los limites de
integración xi )' xf se usa la instrucción i nt ( N, xí, xf)
Entonces, para calcular la integral de [N] entre x=Ü y x=l , se usa
la instrucción:
>> i nt(N, 0 ,1)
ans =
[ 1/2 , 1]
Ejemplo A2:
Dada la matriz
X Ü [B] =
O x 2
Se define en Mi TL.A.B , media11te la instrucción:
>> syms x
>> B= [x 0 ; 0 xA2]
B
( X / 0)
[ o / XA 2 ]
150

ANEXO
Para calcular la integral de [B] , entre x=Ü y x=2, se usa la
instrucción:
>> BI =int (B , x , 0 , 2)
BI -
[ 2 f o]
[ o, 8/3 ]
Ejemplo A3:
Dada la matriz
X
[C]=
o
Se define en Mi TL.A.B , rnedia11te la instrucción:
>> syms
X L
>> C= [x
x/ L; O
e -
[ x , x/L]
[ O, x/ L]
x* (1/L) ]
Pa.ra calcular la integral de [O] entre x=Ü y x=L, se usa la
instrucción:
>> i nt(C, x , 0,L )
ans =
[ 1/2* L/2,
[ o f
1/2* L]
1/2* L]
151

Ejemplo A4:
Dada la matriz
X
(C]= x3
Se define en IVIi. TL.A.B como:
>> syrns x L
>> C= [x xA2 ; xA3 xA 2 ]
e -
[ X ' XA 2 ]
[ xA3 , xA2 ]
Para calcular la primera, segunda deri,;ada )1 tercera deri,;ada de
[O] se usan las instrucciones:
>> di f f (C , x)
a ns -
[ 1, 2*x ]
[ 3*xA2, 2*x ]
>> di f f (C , x ,2 )
ans -
[ o' 2 ]
[ 6*x , 2 ]
152

>> diff (C , x , 3)
ans -
[ o f o]
[ 6 f o ]
ANEXO
Pa.ra calcular la integral de [C] entre x=Ü )i x=2, se usa la
instrucción:
>> i nt (C , x , 0 ,2 )
ans -
[ 2 , 8/ 3 ]
[ 4 , 8/ 3 ]
Para calcular la integral de [C] entre x=Ü y x=L, se usa la
instrucción:
>> i nt (C , x , 0,1 )
ans =
[ 1/ 2*1" 2, 1/ 3*1" 3 ]
[ 1/ 4*1" 4, 1/ 3*1" 3 ]
Para calcular el producto [ C] [ C] T se da la instrucción:
>> C*transpose (C)
ans =
[ x" 2+x" 2 / 1" 2,
[ x" 2/ 1" 2,
x " 2/ 1" 2 ]
x" 2/ 1" 2 ]
153

Para calcular la integral de [C][C]T entre x=Ü y x=L, se usa la
instrucción:
>> i nt(C*transpose(C) , x , 0 ,L)
ans =
( 1/3* (1+1/LA2) *LA3,
[ 1/3* L,
1/3* L]
1/3*L]
Para calcular la integral de [C]T[C] entre x=Ü y x=L, se usa la
instrucción:
>> i nt(t r anspose(C) *C, x , 0 ,L)
ans =
[ 1/3* LA3,
[ 1/3* LA2,
1/ 3*LA2]
2/3*L]
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