Resolução - P2 - Modelo B - Geometria Analítica

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Resolução da P2 de Geometria Analítica, modelo B.

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Resolução - P2 - Modelo B - Geometria Analítica

  1. 1. 2ª Avaliação de Geometria Analítica (Resolução)1. Sejam as retas ( ) ( ), ( ) ( ) e( ) ( ), onde . Determine a equação vetorial da reta u perpendiculare concorrente às retas s e t. Calcule a distância entre r e u.i) Determinação da equação da reta ( ) ( )⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ é vetor diretor de u⃗ ( )Pela condição do problema , ou seja, ⃗ .( ) ( )Pela condição do problema , ou seja, ⃗ .( ) ( )Então, ( ) ( ) ( )⃗ ( ) ( ) ( )Equação da reta u: ( ) ( )ii) Cálculo da distância |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ |r e u são paralelas, então ( ) ( ) |⃗ | ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| |( ) ( )| |( )| √ √ ( ) ( ) |⃗ | |( )| |( )|2. Seja . Determine:(a) m e n de modo que a reta ( ) ( ) e o planosejam paralelos, mas não contém r. e r são paralelos se, e somente se, ⃗ , ou seja ⃗ .( ⃗ é o vetor normal de e o vetor diretor de r) ⃗ ( ) ( ) não contém r se ( ) não pertencer à . 1
  2. 2. R não pertence à , se, e somente, se √Logo, e r são paralelos e não contém r se √ .(b) uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano eperpendicular à reta AB, onde ( ) ( ), , ( )e ( ).Equação da reta AB:̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( )⃗⃗⃗⃗⃗ é o vetor diretor de r. ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Condição 1: r é paralela ao plano , então ⃗ ⃗ ( ) ( )Condição 2: r é perpendicular à AB, então ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )Substituindo na equação acima: ( )Assim: ( ) ( ) ( )Então ( ) ( )3. Calcule:(a) a distância entre os planos e 2
  3. 3. ( ) ( ), ( ) | | √ ( ) ( ) √ √ √(b) a distância entre as retas e .Reescrevendo as equações na forma paramétrica: r e s são paralelas, então: ( ) ( ) ( ) |⃗⃗⃗⃗⃗ | |( ) ( )| |( )| √ ( ) ( ) ( ) | | |( )| |( )| ( ) ( ) √ √4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica: [ ] [ ] [( ) ] [( ) ]Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no segundo . Para que a segunda equação seja equivalente a primeira devemossubtrair 9 no primeiro colchete e subtrair 16 no segundo. [( ) ] [( ) ] ( ) ( )Dividindo a equação por 144: ( ) ( )A equação acima representa uma hipérbole.Centro: ( ). √Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
  4. 4. Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem): ( ) (√ ) ( ) ( √ )Efetuando as translações (considerando o centro como ( )), temos: ( )e ( ) ( )e ( ) (√ )e ( √ )Excentricidade: √5. Defina elipse como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e indiquesua equação geral.Sejam e pontos distintos, 2c sua distância e a um número real tal que a c. Olugar geométrico E dos pontos X tais que ( ) ( ) , chama-se elipse.Cada um dos pontos e é chamado foco da elipse, o segmento é chamadosegmento focal, seu ponto médio, centro da elipse, e 2c, distância focal. A reta échama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a Echama-se corda da elipse. [1]Equação geral: .1 CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 287 4

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