1. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
DEFINISI
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap harganya .
Titik yang tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran , dan jarak yang tetap dinamakan jari-jari
lingkaran.
A . PERSAMAAN LINGKARAN
A . 1 . Pusat Titik O ( 0 , 0 ) dan Jari-jari r A . 2 . Pusat Titik P ( , ) dan Jari-jari r
y y
r P(,
x )
O O
(
x
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
O ( 0 , 0 ) dan jari-jari r , adalah : Persamaan lingkaran yang berpusat di titik
P ( , ) dan berjari-jari r adalah :
x2 y2 r 2
2 2 2
( x ) ( y ) r
A.3 . Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
2 y2 A x B y C 0
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah : x O ,
1 1
dengan pusat di titik : ( A , B ) , dan jari-jarinya adalah : r 1 2 1 2
A B C
2 2 4 4
1
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
2. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
1 . Tentukan persamaan dengan syarat : CONTOH
a . Berpusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 5 satuan .
b. Berpusat di titik ( 6 , −2 ) dan jari-jari 3
2 . Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a. x 2 ( y 9 ) 2 24
b. x2 y2 8 x 4 y 5 0
JAWAB
1. a . Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan berjari-jari 5 adalah : x 2 y 2 25
b. Persamaan lingkaran dengan pusat di ( 6 , 2 ) dan berjari-jari 3 adalah :
( x 6 ) (y 2 ) 3
2 2
2. a . Lingkaran dengan persamaan x 2 ( y 9 ) 2 24
berpusat di titik ( 0 , -9 ) dan jari-jari = 2 6 .
b. Lingkaran dengan persamaan : x 2 y 2 8 x 4 y 5 0
1 1
berpusat di ( 8 , (4) ) ( 4 , 2 ) .
2 2
1 2 1
Panjang jari-jarinya = 8 (4) 2 (5 ) 16 4 5 25 5
4 4
B . POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN
Diketahui lingkaran L ≡ f ( x , y ) r 2 dan titik A( a , b ).
Ada tiga kemungkinan posisi titik A ( a , b ) terhadap lingkaran L ≡ f ( x , y ) r 2 , yaitu :
Titik A ( a , b ) terletak di dalam lingkaran L , Titik A ( a , b ) terletak di luar lingkaran L ,
jika : f (a,b) r 2
jika : f ( a , b ) r 2
Titik terletak pada lingkaran L
, jika : Info :
Jarak Titik Terhadap Garis
Jarak titik P ( m , n ) terhadap
garis A x + B y + C = 0 , adalah :
P(m,n )
Ax+By+C=
0
2
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
3. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
1 . Tentukan posisi dari : CONTOH
a . titik ( 3 , 4 ) terhadap lingkaran x 2 y 2 49
b . titik ( 0 , 2 ) terhadap lingkaran ( x 9 ) 2 ( y 5 ) 2 90
c . titik ( 7 , − 9 ) terhadap lingkaran x 2 y 2 6 x 10 y 2 0
2 . Tentukan persamaan lingkaran :
a . pusat di titik ( 7 , − 9 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9.
b . melalui titik ( 3 , −2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ).
JAWAB
1. a . Titik ( 3 , 4 ) terletak di dalam lingkaran x 2 y 2 49 , karena : 32 4 2 25 49
b . Titik ( 0 , 2 ) terletak pada lingkaran ( x 9 ) 2 ( y 5 ) 2 90 ,
karena : ( 0 9 ) 2 (2 5 ) 2 81 9 90
c . Titik ( 7 , -9 ) terletak di luar lingkaran x 2 y 2 6 x 10 y 2 0 , karena :
7 2 (9 ) 2 6 . 7 10 . (9 ) 2 49 81 42 90 2 176 0
2 . a . Persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
dapat ditentukan dengan cara sbb :
Tentukan jari-jari lingkaran tersebut, dengan cara menentukan jarak titik ( −6 , 2 ) terhadap
garis −4x + y – 9 = 0 , sbb :
4 . 6 2 9 17
rJ 17
4 2
1 2 17
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( −6 , 2 ) dan menyinggung garis y = 4 x + 9,
adalah : x 6 y 2 17 .
2 2
b . Persamaan lingkaran yang melalui titik ( 3 , − 2 ) , ( 6 , 3 ) , dan ( 4 , −6 ) , dapat ditentukan
dengan cara sbb :
Bentuk umum persamaan lingkaran : x 2 y 2 Ax By C 0
Melalui ( 3 , −2 ) diperoleh : 32 22 A.3 B. 2 C 0
3 A 2B C 13 …………. 1)
Melalui ( 6 , 3 ) diperoleh : 6 2 32 A.6 B.3 C 0
6 A 3B C 45 …………. 2)
Melalui ( 4 , −6 ) diperoleh : 4 6 A.4 B. 6 C 0
2 2
4 A 6B C 52 …………. 3)
Persamaan 1) , 2) , dan 3) jika diselesaikan diperoleh : A = −19 , B = 5 , C = 54 .
Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah : x 2 y 2 19 x 5 y 54 0
1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran berikut :
a. x 2 y 2 54 d. ( x 1 ) 2 y 2 32
b. ( x 12 ) 2 ( y 1 ) 2 121 e. x 2 ( y 16 ) 2 72
c. ( x 8 ) 2 ( y 22 ) 2 64 f. x 2 y 2 8 x 14 y 49 0
3
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
4. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
g. 4 x 2 4 y 2 32 x 12 y 65 0 k. x 2 y 2 20 x 12 y 55 0
h. x 2 y 2 10 x 6 y 2 0 l. x 2 y 2 28 x 24 y 336 0
i. x 2 y 2 4 x 16 y 56 0 m. x 2 y 2 14 x 39 0
j. x 2 y 2 22 x 8 y 109 0 n. 16 x 2 16 y 2 48 x 24 y 107 0
2. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. pusat di titik O ( 0 , 0 ) dan jari-jari 3 7
b. pusat di titik ( 14 , 9 ) dan jari-jari 13
c. pusat di titik ( 8 , 6 ) dan menyinggung sumbu x.
d. pusat di titik ( 5 , 10 ) dan menyinggung sumbu y.
e. pusat di titik ( 2 , 6 ) dan menyinggung garis x − 7 y = 8
f. melalui titik ( 2 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , dan ( 4 , 1 ).
3. Diketahui lingkaran x 2 y 2 169 .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 2 , 5 ) b. ( 12 , 5 ) c. ( 15 , 20 )
4. Diketahui lingkaran ( x 3 ) 2 ( y 8 ) 2 170 .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 8 , 1 ) b. ( 4 , 6 ) c. ( 5 , 7 )
5. Diketahui lingkaran x 2 y 2 12 x 8 y 96 0 .
Tentukan posisi dari titik-titik berikut terhadap lingkaran tsb :
a. ( 5 , 12 ) b. ( 9 , 2 ) c. ( 4 , 16 )
6. Tentukan persamaan lingkaran berikut :
a. berpusat di titik ( 9 , 6 ) dan melalui titik ( 2 , 1 )
b. berpusat di titik ( 2 , 3 ) dan menyinggung lingkaran ( x 5 ) 2 ( y 7 ) 2 49
C . GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran :
1 . Garis tidak 2 . Garis menyinggung 3 . Garis memotong
memotong lingkaran. lingkaran lingkaran di dua titik.
C. 1. Garis Singgung Bergradien m.
Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran x 2 y 2 r 2 ,
adalah :
y m x r m2 1
4
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
5. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran ( x ) 2 ( y ) 2 r 2 , adalah :
y m ( x ) r m2 1
Tentukan persamaan garis singgung : CONTOH
1 . pada lingkaran x 2 y 2 9 dengan gradien
−2.
2 . pada lingkaran ( x 2 )2 ( y 6 )2 36
dengan gradien 3 .
3 . pada lingkaran x 2 y 2 40 x 300 0
2
dengan gradien .
3
JAWAB
Info :
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran
Garis singgung pada
x 2 y 2 9 yang bergradien 2 adalah :
lingkaran tegaklurus pada
y m x r m2 1 jari-jari yang melalui titik
singgungnya.
y (2 ) x 3 (2 ) 2 1
y 2 x 3 5 atau y 2 x 3 5
2. Persamaan garis singgung pada lingkaran
( x 2 )2 ( y 6 )2 36 yang bergradien 3
adalah :
y 6 5( x2) 6 3 2
1 y 6 5 ( x 2 ) 12
y 5 x 10 12 6
y 5 x 28 atau y 5x 4
2
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 y 2 40 x 300 0 yang bergradien adalah :
3
1 1
Pusat lingkaran adalah ( 20 , 0 ) dan jari-jari = 400 0 300 100 10
4 4
2
2 2
y ( x 20 ) 10 1 Info :
3 3
2 40 4 1 Jika diketahui dua buah garis g
y x 10
3 3 9 dan l , dengan persamaan garis :
2 40 10 g ≡ y = m1 x + C1 , dan
y x 5
3 3 3 l ≡ y = m2 x + C2 , maka :
2 40 10 1. Garis g sejajar l , jika :
y x 5 atau
3 3 3 m1 = m2
2 40 10 2. Garis g tegaklurus l , jika :
y x 5 m1 × m2 = −1
3 3 3
5
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
6. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1. x 2 y 2 196 , m = 4 6. ( x 6 ) 2 ( y 7 ) 2 50 , m = 2
2. x 2 y 2 44 , m = 11 7. x 2 y 2 10 x 6 y 15 0 ,m= 15
1 8. x 2 y 2 12 x 16 y 0 dengan m= 7
3. x 2 y 2 16 , m =
2 9. ( x 4 ) 2 ( y 14 ) 2 196 yang sejajar
4. ( x 16 ) 2 ( y 4 ) 2 49 ,m = 3 dengan garis 2 x y 8
5. ( x 2 ) 2 ( y 1 ) 2 81 , m =
1 10. x 2 y 2 9 dan tegak lurus terhadap
4 garis x 3 y 27
C.2. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1 , y 1 )
Pada Lingkaran .
Info :
Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x , y )
1 1
pada lingkaran x 2 y 2 r 2 , adalah : Kaidah Membagi Adil :
Digunakan untuk menentukan
persamaan garis singgung pada
x1. x y1. y r 2 lingkaran yang melalui titik
( x1 , y1 ). Penerapannya dengan
cara mengubah variabel pada
Persamaan garis singgung persamaan lingkaran dengan
(x,y )
1 1 yang melalui titik (x , y ) aturan sbb :
1 1
pada lingkaran x 2 diubah menjadi x1 x
y 2 diubah menjadi y1 y
( x )2 ( y )2 r 2
( x − A ) 2 diubah menjadi
,adalah :
(x1 − A ) ( x − A )
(y−B) 2 diubah menjadi
( x1 ) ( x ) ( y1 ) ( y ) r 2 (y1 − B ) ( y − B )
x diubah menjadi ½ ( x1 + x )
y diubah menjadi ½ ( y1 + y )
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x , y )
1 1
pada lingkaran x 2 y 2 A x B y C 0 , adalah :
1 1
x1 . x y1 . y A ( x x1 ) B ( y y1 ) C 0
2 2
CONTOH
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1 . x 2 y 2 90 , di titik ( 9 , 3 )
2 . ( x 4 ) 2 ( y 18 ) 2 68 di titik ( 12 , 16 )
3. x2 y 2 14 x 2 y 42 0 di titik ( 5 , 3 )
6
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
7. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 y 2 90 , di titik ( 9 , 3 ) , adalah :
x1. x y1. y 90 9 x 3 y 90
(9 ) x 3 y 90 3 x y 30
2. Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x 4 ) 2 ( y 18 ) 2 68 di titik ( 12 , 16 ) , adalah :
( x1 ) ( x ) ( y1 ) ( y ) 68 8 x 32 2 y 36 68
(12 4 ) ( x 4 ) (16 18 ) ( y 18 ) 68 8 x 2 y 64
8 ( x 4 ) 2 ( y 18 ) 68 4 x y 32
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 y 2 14 x 2 y 42 0 di titik ( 5 , 3 ) , adalah :
1 1
(5 ) x 3 y 14 ( x 5) 2 ( y 3 ) 42 0
2 2
5 x 3 y 7 ( x 5) ( y 3 ) 42 0
5 x 3 y 7 x 35 y 3 42 0
2 x 2y 4
C.3. Garis Singgung Melalui Titik ( x 1 , y 1 ) di Luar Lingkaran
Jika titik ( x , y ) terletak di luar lingkaran, persamaan garis singgung
1 1
yang melalui titik tersebut dapat ditentukan dengan cara sbb : (x,y )
1 1
Tentukan persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik
( x , y ) , yaitu : y m ( x x1 ) y1
1 1
Untuk menentukan nilai gradien m dari garis tersebut dapat
dilakukan dengan dua macam cara, yaitu :
CARA 1 :
Potongkan persamaan garis dengan
lingkaran , kemudian bentuklah persamaan
Info : kuadrat dengan variabel x .
Tentukan nilai m dengan
menentukan nilai D = b 2 4 a c = 0
Persamaan Garis Lurus
CARA 2 :
1 . Melalui titik dan bergradien m : Titik ( x , y ) disubstitusikan ke
1 1
dalam persamaan garis singgung pada lingkaran
dengan gradien m .
2 . Melalui titik dan :
Nilai m yang diperoleh disubstitusikan
ke persamaan garis pada langkah pertama untuk
memperoleh persamaan garis singgung yang
dimaksud .
CONTOH
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 y 2 25 yang melalui titik ( 11 , 2 )
7
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
8. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
JAWAB
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 y 2 25 yang melalui titik ( 11 , 2 )
Persamaan garis melalui ( 11 , 2 ) dan bergradien m , adalah : y 2 m ( x 11 ) y m x 11m 2
Menentukan nilai gradien :
CARA 1 :
Dipotongkan dengan lingkaran x 2 y 2 25 , diperoleh :
x 2 ( m x 11 m 2 ) 2 25 ( m 2 1 ) x 2 ( 22 m 2 4 m ) x 121 m 2 44 m 21 0
Syarat D = b 2 4 a c = 0
( 22 m 2 4 m ) 2 4 ( m 2 1 ) ( 121 m 2 44 m 21 ) 0 96 m 2 44 m 21 0
44 10000 44 100
m
192 192
44 100 56 7 44 100 144 3
m atau m
192 192 24 192 192 4
7 3
Diperoleh : m atau m
24 4
CARA 2 :
Untuk menentukan nilai m, titik ( 11 , −2 ) disubstitusikan pada persamaan garis singgung bergradien
m pada lingkaran x 2 y 2 25 yaitu : y m x 5 m 2 1
Sehingga diperoleh :
2 11 m 5 m 2 1 4 44 m 121 m 2 25 m 2 25
96 m 2 44 m 21 0
2 11 m 5 m 2 1
7 3
( 2 11 m ) 2 25 ( m 2 1 ) m atau m .
24 4
Substitusikan nilai m yang diperoleh ke dalam persamaan y m x 11m 2
7 7 125
Untuk m diperoleh garis singgung y x
24 24 24
3 3 25
Untuk m diperoleh garis singgung y x
4 4 4
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut :
1. x 2 y 2 65 di titik ( 7 , 4 )
2. ( x 6 ) 2 ( y 10 ) 2 73 di titik ( 2 , 7 )
3. ( x 8 ) 2 ( y 2 ) 2 20 di titik ( 6 , 2 )
4. ( x 11 ) 2 ( y 7 ) 2 18 di titik ( 9 , 4 )
5. ( x 5 ) 2 ( y 4 ) 2 32 di titik ( 1 , 8 )
8
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com
9. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
6. x 2 y 2 6 x 18 y 50 0 di titik ( 3 , 11 )
7. x 2 y 2 4 x 12 y 76 0 di titik ( 8 , 2 )
8. x 2 y 2 24 x 32 y 26 0 di titik ( 8 , 20 )
9. x 2 y 2 169 melalui titik ( 7 , 17 )
10. x 2 y 2 80 melalui titik ( 10 , 0 )
9
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com