Estatística II - Variáveis Aleatórias Multidimensionais

Estatística II
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
FACULDADE DE ECONOMIA
Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
MULTIDIMENSIONAIS

I.3 – V. A. MULTIDIMENSIONAIS
I.3.0 - Introdução
É muito comum estarmos interessados no comportamento
conjunto de várias variáveis. Vamos tratar agora de duas variáveis.
Todavia, os conceitos discutidos valem para situações de três ou
mais variáveis.
As informações em um conjunto de dados, sejam elas referentes
ao todo ou parte de uma população, quase sempre contêm
observações multidimensionais, isto é, observações relacionadas a
várias variáveis. Por exemplo, num questionário, aplicado a alunos
de uma universidade, podemos obter a idade, o tamanho da família e
o número de disciplinas já cursadas, entre outras quantidades que
podem Ter interesse para cada aluno. Considerando duas variáveis,
digamos a idade e o tamanho da família, podemos listar todos os
pares que ocorrem. Como pode haver repetição de valores, os
resultados podem ser organizados em uma tabela, com os possíveis
pares associados às suas respectivas frequências.

I.3.1 – A distribuição conjunta
Vamos trabalhar com um exemplo prático disso. Suponha que
estamos interessados em estudar a composição de famílias com três
crianças, quanto ao sexo. Definamos:
X = o nº de meninos
1, se o primeiro filho for homem
Y
0, se o primeiro filho for mulher,
Z = nº de vezes em que houve variação do sexo entre um
nascimento e outro, dentro da mesma família.
A partir de tais dados, e supondo que as possíveis combinações
tenham a mesma probabilidade, obtemos a Tabela abaixo:

I.3.1 - A distribuição conjunta
Eventos Probabilidade X Y Z
HHH 1/8 3 1 0
HHM 1/8 2 1 1
HMH 1/8 2 1 2
MHH 1/8 2 0 1
HMM 1/8 1 1 1
MHM 1/8 1 0 2
MMH 1/8 1 0 1
MMM 1/8 0 0 0
Tabela 1

A partir da primeira tabela, podemos formar também as
distribuições conjuntas de X e Z, de Y e Z, bem como a distribuição
conjunta de X, Y, Z, que segue na tabela abaixo.
Tabela 3: Distribuição conjunta das v.a. X Y e Z

1/8
Corrigir no texto
0

I.3.2 – Distribuições Marginais e condicionais

I.3.2 – Distribuições condicionais
x 1 2 3
1/4 1/2 1/4

y 0 1
1/3 2/3

I.3.3 – Funções de variáveis aleatórias
1/8 0

Dadas essas informações podemos então construir a tabela 7
Tabela 7: Funções de v.a.

A partir da tabela 7, podemos achar as distribuições de X+Y e XY,
para as duas situações teríamos:
Tabela 8: Distribuição de X+Y
Tabela 9: Distribuição de XY

I.3.4 – Covariância de duas variáveis aleatórias

1/8 0

Consideremos uma nova distribuição conjunta de X e Y dada pela
tabela 10 abaixo
Tabela 10: distribuição conjunta

Assim teremos:
Obtendo assim,
Esse resultado demonstra que as variáveis X e Y não são
correlacionadas entre si.

Prática no R
Exemplo: Numa loja de eletrodomésticos vendem-se máquinas de
lavar louça e máquinas de lavar roupa. O número de máquinas de lavar
louça vendidas, X , e o número de máquinas de lavar roupa vendidas, Y ,
têm uma função de probabilidade conjunta parcialmente indicada no
quadro abaixo:
a) Complete o quadro acima e faça a função de probabilidade
marginal da v.a. X
YX 0 1 2 P( Y=y )
2 0.10 0.20 ? 0.40
3 0.04 ? 0.10 0.22
4 ? 0.12 0.15 0.38

Prática
b) Calcule E(X) e E(X+Y)
YX 0 1 2 P( Y=y )
2 0.10 0.20 0.10 0.40
3 0.04 0.08 0.10 0.22
4 0.11 0.12 0.15 0.38
P( X=x ) 0.25 0.40 0.35 1

Prática
Para E(X+Y) temos que construir a tabela de probabilidade:
1,135,0240,0125,00)(
1
k
i
ii pxXE
(X,Y) X+Y P(X,Y)
(0,2) 2 0.10
(0,3) 3 0.04
(0,4) 4 0.11
(1,2) 3 0.20
(1,3) 4 0.08
(1,4) 5 0.12
(2,2) 4 0.10
(2,3) 5 0.10
(2,4) 6 0.15
X+Y 2 3 4 5 6
P(X+Y) 0.10 0.24 0.29 0.22 0.15

Prática
c) As variáveis aleatórias X e Y são independentes? Justifique sua
resposta.
08,415,0622,0529,0424,0310,02)()(
1
k
i
ii pyxYXE
XY 0 2 3 4 6 8
P(XY) 0.25 0.20 0.08 0.22 0.10 0.15
32,315,0810,0622,0408,0320,0225,00)()(
1
k
i
ii pxyXYE
1,135,0240,0125,00)(
1
k
i
ii pxXE
98,238,0422,0340,02)(
1
k
i
ii pyYE

Prática
Como então X e Y não são independentes.
278,398,21,1)()( YEXE
),()()( YEXEXYE

Prática
Covariância de duas v.a.
Uma medida de dependência linear entre X e Y é dada pela
covariância:
Em palavras, a covariância é o valor esperado do produto dos desvios
de cada variável em relação à sua média.
Usando o exemplo anterior temos:
.))((),( , YXYX YXEYXCov
YX 0 1 2 P( Y=y )
2 0.10 0.20 0.10 0.40
3 0.04 0.08 0.10 0.22
4 0.11 0.12 0.15 0.38
P( X=x ) 0.25 0.40 0.35 1

Prática
Já verificamos que a E(X)=1,1 e a E(Y)=2,98
Portanto a Covariância será
Outro elemento a ser calculado é a correlação, para isso vamos ter que
calcular os desvios de X e Y para jogar na seguinte expressão:
As respectivas variâncias serão obtidas por:
0420,098,210,132,3)()()(),( , YEXEXYEYXCov YX
k
i
ii xp
1
22
)(
59,0)1,12(35,0)1,11(40,0)1,10(25,0)( 222
2
0
22
i
iiX xp
7796,0)98,24(38,0)98,23(22,0)98,22(40,0)( 222
2
0
22
i
iiY yp

Prática
Cov(X,Y) = 0,0420
Ou seja, temos entre as variáveis uma baixa correlação, porém existe
sim uma pequena relação entre as mesmas.
,
( , ) 0,0420
0,062
0,5900 0,7796
X Y
X Y
Cov X Y

Estatística II - Variáveis Aleatórias Multidimensionais

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (11)

Mais de Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará

Mais de Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará (12)

Último

Último (20)

Estatística II - Variáveis Aleatórias Multidimensionais