PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Engenharia Mecânica Ênfase em Mecatrônica

Trabalho de Elementos Finitos
...
César Gomes Martins Júnior
Felipe Duarte Soares
Jackson Júnio Pereira Tironi

Rafael de Almeida Lial

Trabalho de Elemento...
CÉSAR GOMES MARTINS JÚNIOR
FELIPE DUARTE SOARES
JACKSON JÚNIO PEREIRA TIRONI
RAFAEL DE ALMEIDA LIAL

Trabalho de Elementos...
A Deus, meus familiares, amigos e companheiros de
classe que muito nos ajudaram na realização deste projeto...
AGRADECIMENTOS

A Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, pela oportunidade de
cursar Engenharia Mecânica (ênfas...
“Nenhum caminho é longo demais quando um amigo
nos acompanha”. (Autor Desconhecido)
RESUMO

O projeto consiste em simular toda a parte estrutural de um prédio industrial visando a
previsão pelos projetistas...
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ABSTRACT

The project is to simulate all the structural part of an industrial building with a view to
forecasting the d...
SUMÁRIO

1- Introdução.......................................................................................................
3.2.1. Aço Estrutural A-36.........................................................................................18
3.2....
4.8 – Deslocamento na direção Y [m]...............................................................................35
4.9 –...
LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Malha de elementos finitos e ação exterior.......................................................
Figura 20: Dimensões da peneira vibratória.............................................................................20
...
Figura 42: Módulo de Deslocamento.......................................................................................34...
1

1- INTRODUÇÃO

1.1- Apresentação

O trabalho consiste em aplicar a teoria de Elementos Finitos na análise de um caso re...
2

2. Conceituação Teórica

2.1. O Método dos Elementos Finitos

2.1.1. Conceito

No âmbito da Engenharia de Estruturas, o...
3

Figura 1: Malha de elementos finitos e ação exterior

Nestas condições pode-se admitir que se trata de um meio contínuo...
4

Para permitir uma melhor visualização dos deslocamentos, estes são multiplicados por
um fator de ampliação. Como referê...
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Figura 4: Campo de deslocamentos verticais

Consultando a escala lateral, fica-se a conhecer a ordem de grandeza do des...
6

A Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica dos corpos deformáveis que se propõe,
basicamente, a selecionar os mat...
7

(b) Compressão: a tendência é uma redução do elemento na direção da força de compressão.
(c) Flexão: ocorre uma deforma...
8

Figura 7: Tensão Normal

Como devemos sempre considerar um coeficiente de segurança em nossos cálculos,
eles devem tamb...
9

2.2.2. Diagrama Tensão X Deformação
As relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontrada...
10

onde E é o módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young que, para o aço doce, é
normalmente tomado como send...
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A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é
conhecida como re...
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2.2.6. Momento de Inércia
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido c...
13

Figura 14: Características de Algumas geometrias

2.2.8. Flambagem
A Flambagem é a deflexão lateral devida a compressã...
14

Figura 15: Tipos de Flambagens

2.2.9. Carga crítica
Para determinar a carga crítica, Pcr, e a forma da coluna flambad...
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Figura 16: Curvas de σcr x λ

2.2.11. Classificação dos esforços solicitantes
Os esforços solicitantes são classificad...
16

• Momento Fletor (M)
Um corpo é submetido a esforços de flexão, quando solicitado por forças que tendem a dobrá-lo,
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17

• tende a girar no sentido anti-horário ( + )

Momentos de Torção(T)

Momento de Torção é considerado positivo quando ...
18

Os materiais e equipamentos utilizados ficticiamente, foram:


Aço estrutural A-36



Viga de perfil I



Peneira V...
19

Figura 19: Características da viga I utilizada para estrutura do prédio

3.2.3. Peneira Vibratória
A peneira vibratóri...
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Figura 20: Dimensões da peneira vibratória

3.2.4. Tanque Vertical Cônico

Figura 21: Dimensões do Tanque
21

3.2.5. Telha Onduline Translúcida

Figura 22: Características da telha tradicional translúcida

3.2.6. Piso Pré-Moldad...
22

3.2.7. Parede de Tijolos

Figura 24: Características do tijolo utilizado para construção das paredes

3.2.8. Bomba Rad...
23

3.3. Memorial de Cálculo
Considerando a

σtração e σcompressão admissíveis do aço estrutural A36 como sendo 250

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Onde:
L = comprimento da viga
r = raio de giração
Temos:

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O raio de giração usado foi de 4.06 cm e uma inércia de 266 cm4, com isso podemos
calcular a área da seção transversal...
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mesma ser uma carga concentrada e agindo no centro da laje e distribuída igualmente para os
4 pilares. Logo, temos:

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Esta tensão também é tolerável, pois está abaixo da tensão admissível do material de
250 MPa.

3.4. Desenho do Prédio ...
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Figura 29: Vista em Perspectiva do Prédio Industrial

Figura 30: Vista Aberta do Prédio Industrial
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Figura 31: Vista Frontal Aberta do Prédio Industrial

3.5. Estrutura do Prédio Industrial no Software ADES
3.5.1. Nume...
30

3.5.2. Elementos distribuídos na estrutura

Figura 33: Elementos distribuídos na estrutura

3.5.3. Associação das viga...
31

3.5.4. Especificações do Material das 3 vigas (eixo x, y e z) da estrutura

Figura 35: Especificações do Material das ...
32

4.2. Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,79 Hz

Figura 38: Deslocamentos da estrutura com uma freqüênci...
33

4.4. Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 2,50 Hz

Figura 40: Deslocamentos da estrutura com uma freqüênci...
34

4.6. Módulo de deslocamento [m]

Figura 42: Módulo de Deslocamento

4.7. Deslocamento na direção X [m]

Figura 43: Des...
35

4.8. Deslocamento na direção Y [m]

Figura 44: Deslocamento na direção Y

4.9. Deslocamento na direção Z [m]

Figura 4...
36

4.10. Força Cortante no plano principal [N]

Figura 46: Força Cortante no plano principal

4.11. Tensão de Cisalhament...
37

4.12. Força Cortante no plano secundário [N]

Figura 48: Força Cortante no plano secundário

4.13. Tensão de Cisalhame...
38

4.14. Momento Fletor no plano principal [Nm]

Figura 50: Momento Fletor no plano principal

4.15. Força Axial [N]

Fig...
39

4.16. Tensão Axial [Pa]

Figura 52: Tensão Axial

4.17. Tensão devida à Flexão no plano Principal [Pa]

Figura 53: Ten...
40

4.18. Tensão devida à Flexão no plano Secundário [Pa]

Figura 54: Tensão devida à Flexão no plano Secundário

4.19. To...
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4.20. Tensão de Cisalhamento devido ao Torque [Pa]

Figura 56: Tensão devida ao Torque

5. Conclusão

Assim após selec...
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6. Referências Bibliográficas

[1] JUNIOR, JÁNES LANDRE – Introdução Elementos Finitos. Curso de Engenharia
Mecânica L...
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O trabalho consiste em aplicar a teoria de Elementos Finitos na análise de um caso real de Engenharia. Como o poderio da simulação em Elementos Finitos teremos uma previsão mais bem apurada do que poderá ocorrer com a estrutura em estudo. O projeto será de um prédio industrial composto por 3 andares nos quais será colocado algumas instalações e equipamentos, com os quais tomadas as suas características principais será desenvolvido todo um estudo referente a esta estrutura.
O objetivo geral do trabalho é dimensionar um prédio com seus equipamentos e realizar uma modelagem e análise da estrutura em Elementos Finitos.
Os objetivos específicos do trabalho em questão são:
• Analisar um caso real em Elementos Finitos;
• Desenvolver conhecimentos em disciplinas referentes a projeto tais como: Desenho Técnico, Resistência dos Materiais, Vibrações Mecânicas, Elementos e Projetos de Máquinas;
• Estudo da viabilidade econômica do projeto.

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  1. 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Engenharia Mecânica Ênfase em Mecatrônica Trabalho de Elementos Finitos Modelamento e análise de Prédio Industrial César Gomes Martins Júnior Felipe Duarte Soares Jackson Júnio Pereira Tironi Rafael de Almeida Lial Professor: Janes Landre Júnior Belo Horizonte 2012
  2. 2. César Gomes Martins Júnior Felipe Duarte Soares Jackson Júnio Pereira Tironi Rafael de Almeida Lial Trabalho de Elementos Finitos Modelamento e análise de Prédio Industrial Trabalho apresentado à disciplina Introdução à Elementos Finitos, do Instituto Politécnico da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Belo Horizonte 2012
  3. 3. CÉSAR GOMES MARTINS JÚNIOR FELIPE DUARTE SOARES JACKSON JÚNIO PEREIRA TIRONI RAFAEL DE ALMEIDA LIAL Trabalho de Elementos Finitos Modelamento e análise de Prédio Industrial Trabalho apresentado a Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como parte das exigências da disciplina de Introdução a Elementos Finitos da Graduação em Engenharia Mecânica (ênfase em Mecatrônica) Prof. Janes Landre Júnior Orientador (PUC Minas)
  4. 4. A Deus, meus familiares, amigos e companheiros de classe que muito nos ajudaram na realização deste projeto...
  5. 5. AGRADECIMENTOS A Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, pela oportunidade de cursar Engenharia Mecânica (ênfase em Mecatrônica) Ao professor Janes Landre Júnior, pela orientação e acompanhamento nesta caminhada.
  6. 6. “Nenhum caminho é longo demais quando um amigo nos acompanha”. (Autor Desconhecido)
  7. 7. RESUMO O projeto consiste em simular toda a parte estrutural de um prédio industrial visando a previsão pelos projetistas dos fenômenos que porventura possam interferir de maneira significativa em uma análise do Método dos Elementos Finitos. O projeto consta de uma interdisciplinaridade vasta, uma vez que para sua elaboração há necessidade de vários conhecimentos de outras disciplinas. Palavras-Chave: Projeto. Prédio Industrial. Método dos Elementos Finitos
  8. 8. . ABSTRACT The project is to simulate all the structural part of an industrial building with a view to forecasting the designers of the phenomena that may possibly interfere significantly in an analysis of the Finite Element Method. The project consists of a broad interdisciplinary approach, since there is a need for their development of many knowledge from other disciplines. Key-words: Project. Industrial Building. Finite Element Method
  9. 9. SUMÁRIO 1- Introdução............................................................................................................................1 1.1 – Apresentação..............................................................................................................1 1.2 – Objetivo Geral.............................................................................................................1 1.3 – Objetivos Específicos...................................................................................................1 2- Conceituação Teórica.........................................................................................................2 2.1 – O Método dos Elementos Finitos................................................................................2 2.1.1. Conceito................................................................................................................2 2.1.2. Exemplo de aplicação..........................................................................................2 2.2 – Resistência dos Materiais............................................................................................6 2.2.1. Tensão Normal......................................................................................................7 2.2.2. Diagrama Tensão X Deformação........................................................................9 2.2.3. Lei de Hooke.........................................................................................................9 2.2.4. Coeficiente de Poisson........................................................................................10 2.2.5. Tensão de Cisalhamento....................................................................................11 2.2.6. Momento de Inércia...........................................................................................12 2.2.7. Raio de Giração..................................................................................................13 2.2.8. Flambagem.........................................................................................................14 2.2.9. Carga Crítica......................................................................................................14 2.2.10. Índice de esbeltez..............................................................................................15 2.2.11. Classificação dos Esforços Solicitantes...........................................................15 3- Desenvolvimento...............................................................................................................17 3.1 – Procedimento...........................................................................................................17 3.2 – Equipamentos..........................................................................................................18
  10. 10. 3.2.1. Aço Estrutural A-36.........................................................................................18 3.2.2. Viga Perfi I........................................................................................................19 3.2.3. Peneira Vibratória............................................................................................19 3.2.4. Tanque Vertical Cônico...................................................................................20 3.2.5. Telha Onduline Translúcida............................................................................21 3.2.6. Piso Pré-Moldado.............................................................................................21 3.2.7. Parede de Tijolos..............................................................................................22 3.2.8. Bomba Radial acoplada com Motor Elétrico................................................22 3.3 – Memorial de Cálculo.................................................................................................23 3.4 – Desenho do Prédio Industrial no Software SolidWorks...........................................27 3.5 – Estrutura do Prédio Industrial no Software ADES.................................................29 3.5.1. Numeração dos Elementos da Estrutura........................................................29 3.5.2. Elementos distribuídos na estrutura...............................................................30 3.5.3. Associação das vigas da estrutura...................................................................30 3.5.4. Especificação dos Materiais das 3 vigas (eixo x, y e z) da estrutura............31 3.5.5. Especificação da seção transveral das 3 vigas (eixo x, y e z)........................31 4- Dados obtidos e Análise dos Dados..................................................................................31 4.1 – Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,58 Hz...............................31 4.2 – Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,79 Hz................................32 4.3 – Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 1,04 Hz....................,...........32 4.4 – Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 2,50 Hz................................33 4.5 –Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 3,39 Hz.................................33 4.6 – Módulo de deslocamento [m]...................................................................................34 4.7 – Deslocamento na direção X [m]...............................................................................34
  11. 11. 4.8 – Deslocamento na direção Y [m]...............................................................................35 4.9 – Deslocamento na direção Z [m]...............................................................................35 4.10 – Força Cortante no plano Principal [N]..................................................................36 4.11 – Tensão de Cisalhamento segundo Eixo Principal [Pa].........................................36 4.12 – Força Cortante no plano Secundário [N]...............................................................37 4.13 – Tensão de Cisalhamento segundo Eixo Secundário [Pa].......................................37 4.14 – Momento Fletor no plano principal [Nm]..............................................................38 4.15 – Força Axial [N]........................................................................................................38 4.16 – Tensão Axial [Pa].....................................................................................................39 4.17– Tensão devida à Flexão no plano Principal [Pa].....................................................39 4.18 –Tensão devida à Flexão no plano Secundário [Pa].................................................40 4.19 – Torque [Pa]...............................................................................................................40 4.20 – Tensão de Cisalhamento devido ao Torque [Pa]....................................................41 5- Conclusão...........................................................................................................................41 6- Bibliografia........................................................................................................................42
  12. 12. LISTA DE FIGURAS Figura 1: Malha de elementos finitos e ação exterior...............................................................3 Figura 2: Malha deformada representada sobre a estrutura indeformada...............................3 Figura 3: Tensões principais e respectivas direções..................................................................4 Figura 4: Campo de deslocamentos verticais............................................................................5 Figura 5: Campo de tensões normais, segundo um eixo vertical..............................................5 Figura 6: Tipos de esforços.......................................................................................................6 Figura 7: Tensão Normal..........................................................................................................8 Figura 8: Diagrama Tensão x Deformação do aço.....................................................................9 Figura 9: Módulo de Elasticidade de alguns aços......................................................................10 Figura 10: Deformações longitudinal e lateral nas barras.............................................................11 Figura 11: Força tangencial......................................................................................................11 Figura 12: Definição de momento de inércia............................................................................12 Figura 13: Propriedades do Momento de Inércia.....................................................................12 Figura 14: Características de Algumas geometrias........................................................................13 Figura 15: Tipos de Flambagens...............................................................................................14 Figura 16: Curvas de σcr x λ....................................................................................................15 Figura 17: Conversão do sinal da força cortante......................................................................16 Figura 18: Propriedades do aço Estrututal A-36.............................................................................19 Figura 19: Características da viga I utilizada para estrutura do prédio......................................19
  13. 13. Figura 20: Dimensões da peneira vibratória.............................................................................20 Figura 21: Dimensões do Tanque.............................................................................................20 Figura 22: Características da telha tradicional translúcida......................................................21 Figura 23: Características do piso pré-moldado.............................................................................21 Figura 24: Características do tijolo utilizado para construção das paredes.............................22 Figura 25: Características da Bomba Radial..........................................................................22 Figura 26: Desenhos e Dimensões das vigas de perfil I...........................................................24 Figura 27: Vista de frente do Prédio Industrial...............................................................................27 Figura 28: Vista Lateral do Prédio Industrial.................................................................................27 Figura 29: Vista em Perspectiva do Prédio Industrial............................................................28 Figura 30: Vista Aberta do Prédio Industrial..........................................................................28 Figura 31: Vista Frontal Aberta do Prédio Industrial............................................................29 Figura 32: Numeração dos Elementos da Estrutura.......................................................................29 Figura 33: Elementos distribuídos na estrutura.........................................................................30 Figura 34: Associação das vigas da estrutura..........................................................................30 Figura 35: Especificações do Material das 3 vigas (eixo x, y, e z)...........................................31 Figura 36: Especificações da seção transversal das 3 vigas (eixo x, y, e z) ...........................31 Figura 37: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,58 Hz.................................31 Figura 38: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,79 Hz................................32 Figura 39: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 1,04 Hz...............................32 Figura 40: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 2,50 Hz.....................................33 Figura 41: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 3,39 Hz...............................33
  14. 14. Figura 42: Módulo de Deslocamento.......................................................................................34 Figura 43: Deslocamento na direção X......................................................................................34 Figura 44: Deslocamento na direção Y......................................................................................35 Figura 45: Deslocamento na direção Z......................................................................................35 Figura 46: Força Cortante no plano principal..............................................................................36 Figura 47: Tensão de Cisalhamento segundo o eixo principal................................................36 Figura 48: Força Cortante no plano secundário.....................................................................37 Figura 49: Tensão de Cisalhamento segundo o eixo Secundário............................................37 Figura 50: Momento Fletor no plano principal.............................................................................38 Figura 51: Força Axial...............................................................................................................38 Figura 52: Tensão Axial...........................................................................................................39 Figura 53: Tensão devida à Flexão no plano Principal...........................................................39 Figura 54: Tensão devida à Flexão no plano Secundário.........................................................40 Figura 55: Torque.....................................................................................................................40 Figura 56: Tensão devida ao Torque........................................................................................41
  15. 15. 1 1- INTRODUÇÃO 1.1- Apresentação O trabalho consiste em aplicar a teoria de Elementos Finitos na análise de um caso real de Engenharia. Como o poderio da simulação em Elementos Finitos teremos uma previsão mais bem apurada do que poderá ocorrer com a estrutura em estudo. O projeto será de um prédio industrial composto por 3 andares nos quais será colocado algumas instalações e equipamentos, com os quais tomadas as suas características principais será desenvolvido todo um estudo referente a esta estrutura. 1.2- Objetivo Geral O objetivo geral do trabalho é dimensionar um prédio com seus equipamentos e realizar uma modelagem e análise da estrutura em Elementos Finitos. 1.3- Objetivos Específicos Os objetivos específicos do trabalho em questão são:  Analisar um caso real em Elementos Finitos;  Desenvolver conhecimentos em disciplinas referentes a projeto tais como: Desenho Técnico, Resistência dos Materiais, Vibrações Mecânicas, Elementos e Projetos de Máquinas;  Estudo da viabilidade econômica do projeto;
  16. 16. 2 2. Conceituação Teórica 2.1. O Método dos Elementos Finitos 2.1.1. Conceito No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem como objetivo a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de geometria arbitrária sujeito a ações exteriores. Este tipo de cálculo tem a designação genérica de análise de estruturas e surge, por exemplo, no estudo de edifícios, pontes, barragens, etc. Quando existe a necessidade de projetar uma estrutura, é habitual proceder-se a uma sucessão de análises e modificações das suas características, com o objetivo de se alcançar uma solução satisfatória, quer em termos econômicos, quer na verificação dos pré-requisitos funcionais e regulamentares. Com o grande desenvolvimento que o MEF teve na década de 60 e com a banalização do recurso ao computador, passou a ser prática corrente a análise de estruturas de geometria arbitrária, constituídas por múltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento. 2.1.2. Exemplo de aplicação A seguir é apresentado um exemplo de aplicação do MEF, que consiste na análise de uma estrutura do tipo consola curta de pequena espessura, sujeita às ações indicadas abaixo na Figura 1.
  17. 17. 3 Figura 1: Malha de elementos finitos e ação exterior Nestas condições pode-se admitir que se trata de um meio contínuo, sujeito a um estado plano de tensão. Na Figura 1 está representada a malha utilizada, que é constituída por 92 elementos finitos quadriláteros, sendo cada um destes elementos definidos por 8 nós. Encontram-se também assinalados os 10 nós que estão ligados ao meio exterior. Depois de completada a análise da estrutura pelo MEF, fica-se a conhecer os valores aproximados dos deslocamentos e das tensões instaladas. Na Figura 2 abaixo, está representada a malha deformada pela ação das forças aplicadas à estrutura. Figura 2: Malha deformada representada sobre a estrutura indeformada
  18. 18. 4 Para permitir uma melhor visualização dos deslocamentos, estes são multiplicados por um fator de ampliação. Como referência, é também representada a malha original indeformada. Com o tipo de visualização utilizado na Figura 3, é possível ter uma percepção imediata dos locais em que as tensões principais apresentam maiores valores, bem como da trajetória das tensões dentro da estrutura. Figura 3: Tensões principais e respectivas direções Neste tipo de representação cada segmento de reta está orientado segundo uma direção principal de tensão e a sua grandeza é proporcional ao valor da correspondente tensão normal. A cor verde indica que se trata de uma tração e à cor vermelha está associada uma compressão. Na Figura 4, o valor da componente vertical do vetor deslocamento é representado, em cada ponto, por intermédio de uma codificação por cores.
  19. 19. 5 Figura 4: Campo de deslocamentos verticais Consultando a escala lateral, fica-se a conhecer a ordem de grandeza do deslocamento vertical em qualquer ponto da estrutura. Na Figura 5, o tipo de visualização gráfica coincide com o da Figura 4, tratando-se também da representação de um campo escalar por intermédio de uma codificação por cores. Figura 5: Campo de tensões normais, segundo um eixo vertical O campo representado na Figura 5 é o das tensões normais σ, sendo y o eixo y vertical. Esta componente do tensor das tensões é sempre perpendicular a facetas horizontais. 2.2. Resistência dos Materiais
  20. 20. 6 A Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica dos corpos deformáveis que se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as proporções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capacitá-las a cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em condições econômicas. A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é chamada de resistência do elemento e constitui o problema principal para a análise desta disciplina. Na solução de seus problemas básicos, a Resistência dos Materiais estabelece modelos matemáticos simplificados (esquemas de cálculo) para descrever a complexa realidade física, permitindo uma fácil resolução dos problemas, obtendo-se resultados aproximados que, posteriormente, são corrigidos através de coeficientes que levam em conta as simplificações feitas. Esses coeficientes de correção (coeficientes de segurança) são estabelecidos experimentalmente e muitas vezes arbitrados por Normas Técnicas ou em função da habilidade e experiência do projetista. A Figura 6 abaixo apresenta as formas gráficas aproximadas, dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os elementos construtivos. Figura 6: Tipos de esforços (a) Tração: caracteriza-se pela tendência de alongamento do elemento na direção da força atuante.
  21. 21. 7 (b) Compressão: a tendência é uma redução do elemento na direção da força de compressão. (c) Flexão: ocorre uma deformação na direção perpendicular à da força atuante. (d) Torção: forças atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada seção transversal tende a girar em relação às demais. (e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra. (f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções transversais. Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos há um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas há outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente. 2.2.1. Tensão Normal É aquela tensão que atua perpendicularmente à secção transversal de uma viga e representa a atuação de cargas que aparecem nesta secção transversal devido a esforços provocados pelos esforços solicitantes nas mesmas. É representada pela letra grega  e sua unidade é Pa.  - é tensão normal [Pa] onde : N - é o esforço aplicado A - é a área solicitada por N
  22. 22. 8 Figura 7: Tensão Normal Como devemos sempre considerar um coeficiente de segurança em nossos cálculos, eles devem também existir quanto à capacidade de carga dos materiais que utilizaremos, pois não poderemos trabalhar com a capacidade real do material, o que seria muito arriscado em função das próprias condições de obtenção dos mesmos. Assim foi introduzido o conceito de coeficiente de segurança, que nada mais é do que se minimizar a capacidade de carga real do material através da divisão do seu valor por um número maior do que 1 ( hum) e que evidentemente obedece a rigorosos critérios normalizados, aparecendo então o conceito de tensão admissível adm. adm  rup = N/A As tensões admissíveis são fixadas nas normas técnicas e levam em conta um fator de segurança muito grande, pois ele deve cobrir: 1.- Todas as falhas nas suposições dos cálculos. 2.- As variações involuntárias na qualidade dos materiais. 3.- Os excessos excepcionais das cargas previstas e etc. Exemplos: adm (kg/cm2) Aço comum Aço de mola Concreto à compressão 1400  ruptura (kg/cm2) 3700 6000 - 15000 9500 - 17000 30 - 150 100 - 700
  23. 23. 9 2.2.2. Diagrama Tensão X Deformação As relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do corpo-de-prova. Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material em estudo. Na Figura 9 ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço. Figura 8: Diagrama Tensão x Deformação do aço 2.2.3. Lei de Hooke A lei de Hooke unidimensional estipula que as deformações específicas longitudinais que ocorrem numa barra, por exemplo, são diretamente proporcionais as tensões normais longitudinais aplicadas, ou seja: σ=Eε
  24. 24. 10 onde E é o módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young que, para o aço doce, é normalmente tomado como sendo igual a 29 ksi ou 200 GPa. Para comparação, o alumínio teria um E igual a 70 GPa, enquanto que o concreto teria um E igual a 20 GPa. O gráfico abaixo mostra curvas σ versus ε para diferentes tipos de aço, todas superpostas. Nota-se que, mesmo com o aumento da tensão de escoamento de cada um dos aços (todos sem patamar de escoamento definido), o módulo de elasticidade permanece sempre o mesmo, ou seja: E = 240 MPa / 0,0012 m/m = 200 GPa, conforme a lei de Hooke. Figura 9: Módulo de Elasticidade de alguns aços 2.2.4. Coeficiente de Poisson Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 10 ilustra essas deformações. Figura 10: Deformações longitudinal e lateral nas barras
  25. 25. 11 A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (υ); definido como: Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. Poisson (17811840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou υ ≈ 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35. Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isotrópico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente. 2.2.5. Tensão de cisalhamento Denomina-se força cortante (V), a componente de uma força, contida no plano das e ação transversal considerada, como ilustrado na Figura 11 A força cortante é uma força que atua no próprio plano da seção transversal. A outra componente é a força normal. Figura 11: Força tangencial A força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ. Admitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área A, tem-se, em cada ponto da seção: A tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (Pa).
  26. 26. 12 2.2.6. Momento de Inércia O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado, como mostrado na figura 12 abaixo. Figura 12: Definição de momento de inércia O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de uma peça, maior a sua resistência. Figura 13: Propriedades do Momento de Inércia 2.2.7. Raio de Giração Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem.
  27. 27. 13 Figura 14: Características de Algumas geometrias 2.2.8. Flambagem A Flambagem é a deflexão lateral devida a compressão axial de uma estrutura. Falhas por flambagem são frequentemente súbitas e catastróficas, o que faz com que seja ainda mais importante preveni-la. A carga na qual a transição do equilíbrio estável para o equilíbrio instável ocorre é chamada carga crítica, Pcr. Esta perda de estabilidade do equilíbrio é chamada de flambagem, de modo que também chamamos Pcr de carga de flambagem.
  28. 28. 14 Figura 15: Tipos de Flambagens 2.2.9. Carga crítica Para determinar a carga crítica, Pcr, e a forma da coluna flambada, determina-se o valor da carga P tal que a forma(ligeiramente) fletida da coluna esteja em uma condição de equilíbrio. A carga crítica para uma coluna ideal é conhecida como a carga de flambagem de Euler, devido ao famoso matemático suíço Leonhard Euler(1707-1783), que foi o primeiro a estabelecer uma teoria de flambagem para colunas. A expressão de Euler pode ser escrita em função da carga ou da tensão crítica de flambagem: 2.2.10. Índice de esbeltez A razão L/r é chamada de índice de esbeltez da coluna , que é uma medida mecânica utilizada para estimar com que facilidade um pilar irá encurvar. Se o índice de esbeltez crítico for maior que o índice de esbeltez padronizado do material, a peça sofre flambagem, se for menor, a peça sofre compressão. Curvas de σcr x λ para um aço estrutural e para uma liga de alumínio estão apresentadas na figura 15 a seguir.
  29. 29. 15 Figura 16: Curvas de σcr x λ 2.2.11. Classificação dos esforços solicitantes Os esforços solicitantes são classificados em: • Força Normal (N) Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal.Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão. As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra grega σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N seja de tração ou compressão. • Força Cortante (V) Força Cortante é componente da força, contida no plano da seção transversal que tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força por unidade de área), representadas pela letra grega τ (Thau).
  30. 30. 16 • Momento Fletor (M) Um corpo é submetido a esforços de flexão, quando solicitado por forças que tendem a dobrá-lo, fleti-lo ou mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém o eixo longitudinal, ou seja, perpendicular à seção transversal. • Momento de Torção (T) A componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno de eixo longitudinal é chamado Momento de Torção. Convenção de sinais Obtidos os valores de N ,V ,M e T , podem-se traçar, em escala conveniente, os diagramas de cada esforço solicitante, também denominados linhas de estado. Força normal (N) • tração (+) • compressão (-) Força cortante (V) Figura 17: Conversão do sinal da força cortante Momentos fletores (M) Momento Fletor: o momento fletor é considerado positivo, quando as cargas atuantes na peça tracionam suas fibras inferiores e, negativo, quando as cargas atuantes na peça tracionam suas fibras superiores. OBS : não confundir Momento Fletor com Momento aplicado aos corpos rígidos, cuja convenção de sinais é • tende a girar no sentido horário ( – )
  31. 31. 17 • tende a girar no sentido anti-horário ( + ) Momentos de Torção(T) Momento de Torção é considerado positivo quando tende a girar a seção transversal em torno de seu eixo longitudinal no sentido anti-horário e, negativo, quando tende a gira no sentido horário. 3. Desenvolvimento 3.1. Procedimento Para analisar uma estrutura pelo método dos elementos finitos, foi construído um prédio industrial fictício de 2 andares em uma mineradora, no qual sua estrutura principal foi desenvolvida por vigas de perfil I, o piso em laje pré-moldada e paredes de tijolo. A montagem possui uma bomba radial de simples sucção, posicionada horizontalmente e acoplada com um motor elétrico, desenvolve uma alta pressão e uma vazão para bombear minério de ferro em uma mina, esse minério é bombeado até o 2º andar do prédio, onde esse minério é deslocado para uma peneira vibratória retangular de 2 decks, para separar a areia da pepita de minério, cada elemento vai para um tanque coletor vertical cônico, que está no 1º andar abaixo na peneira vibratória, que quando alcançar o nível máximo, camionetes irão se posicionar para recolhimento e transportes até o destino final. A simulação de toda estrutura do prédio industrial, foi desenvolvida no software ADES, onde foi construído elementos de barra verticais, para simulação das vigas da estrutura e para simular o peso nas vigas foi inserido dois elementos cruzados horizontalmente, onde uma das extremidades são ligadas entre si, e as outras extremidades são fixadas no elemento de barra vertical, essa montagem construída será apresenta mais a frente na simulação. 3.2. Equipamentos
  32. 32. 18 Os materiais e equipamentos utilizados ficticiamente, foram:  Aço estrutural A-36  Viga de perfil I  Peneira Vibratória  Tanque Vertical Cônico  Telha Onduline Translúcida  Piso Pré-Moldado  Parede de Tijolos  Bomba Radial acoplada com Motor Elétrico 3.2.1. Aço Estrutural A-36 Utilizamos o aço A36 para nossa simulação, pois é o aço mais fabricado em perfis e um dos mais utilizados na industria mecânica e civil, boa soldabilidade, baixa resistência mecânica e baixa usinabilidade. Estes aços não apresentam as mesmas características mecânicas e metalúrgicas apresentadas pelos aços especiais, pois em seus processos de fabricação não são controlados o tamanho de grão austenítico, os níveis de gases dissolvidos, o grau de pureza, etc. Figura 18: Propriedades do aço Estrututal A-36 3.2.2. Viga Perfil I
  33. 33. 19 Figura 19: Características da viga I utilizada para estrutura do prédio 3.2.3. Peneira Vibratória A peneira vibratória retangular utilizada possui dois decks de separação, um para separar areia e o outro para separar pepita de minério, algumas características especiais de funcionamento da peneira é que tem um eixo excêntrico com dois volantes com contrapeso na parte interna, no qual regula a vibração desejada, possui rolamentos auto compensadores, retentores.
  34. 34. 20 Figura 20: Dimensões da peneira vibratória 3.2.4. Tanque Vertical Cônico Figura 21: Dimensões do Tanque
  35. 35. 21 3.2.5. Telha Onduline Translúcida Figura 22: Características da telha tradicional translúcida 3.2.6. Piso Pré-Moldado Figura 23: Características do piso pré-moldad
  36. 36. 22 3.2.7. Parede de Tijolos Figura 24: Características do tijolo utilizado para construção das paredes 3.2.8. Bomba Radial acoplada com Motor Elétrico Figura 25: Características da Bomba Radial
  37. 37. 23 3.3. Memorial de Cálculo Considerando a σtração e σcompressão admissíveis do aço estrutural A36 como sendo 250 MPa e um coeficiente de segurança igual a 2, devido controle sobre as incertezas da construção, temos: σad = σcr FS Onde: σad = tensão admissível do material = 250 MPa σcr = tensão crítica do material FS = fator de segurança = 2 σcr = FS * σad .:. σcr = 2 * 250 .:. σcr = 500 MP Assim a tensão crítica que o material pode suportar é 500 MPa. Tomando com base, um índice de esbeltez de 100, que é a metade do máximo valor tolerável por esse índice de esbeltez e o módulo de elasticidade ou módulo de Young do aço como sendo 200 GPa, recorremos ao cálculo simplificado da flambagem: σcr = π2*E λ2 Onde: E = módulo de elasticidade ou módulo de Young = 200 GPa λ = índice de esbeltez , consideramos λ = 100 Assim temos: σcr = π2.200e9 .:. σcr = 197 MPa 2 100 Assim, considerando um índice de esbeltez de 100, está dentro dos limites de tensão, uma vez que a tensão de flambagem não excedeu as tensões admissíveis de compressão e tração do material. Sendo o índice de esbeltez igual a: λ=L/r
  38. 38. 24 Onde: L = comprimento da viga r = raio de giração Temos: L=λ*r .:. L = 100 * 0,0406 .:. L = 4,06 m Assim com um índice de esbeltez de 100 e com o nosso raio de giração de 4.06cm podemos notar que podemos ter vigas de até 4m de comprimento. Por questão de economia, colocamos uma viga no terceiro andar de 2,5m e no segundo andar de 3m, que são suficientes para cobrirem a altura dos equipamentos que estão dentro dos andares. No primeiro andar optamos por uma viga mais esbelta, visto que os meios de transporte e a tubulação têm uma altura considerável. Assim optamos por um índice de esbeltez de 124: L=λ*r .:. L = 124 * 0,0406 .:. L = 5,03 m Assim a viga do primeiro andar tem um comprimento de 5 m. Figura 26: Desenhos e Dimensões das vigas de perfil I
  39. 39. 25 O raio de giração usado foi de 4.06 cm e uma inércia de 266 cm4, com isso podemos calcular a área da seção transversal: Onde: I = inércia principal A = área da seção transversal Assim temos: r2 = I/A .:. A = I /r2 .:. A = 266 / (4.06)2 .:. A = 16.14 cm2 O que pode ser confirmado pois, a área da seção transversal usada no programa de CAD foi de 16,11 cm². A nossa laje é 5x7m, e para que ocorra uma simulação mais precisa contraventamos a estrutura, afim de restringir os movimentos e garantir uma maior estabilidade. Demonstrada a área da seção transversal dos pilares, vamos calcular os esforços normais aos quais estes estarão sujeitos por andar. Os materiais e equipamentos que estão no 2º andar estão relacionado abaixo, junto com o seu respectivo peso.  TELHA – 35m² - PESO – 62 KG  PENEIRA VIBRATÓRIA – PESO – 1.055 KG  PISO PRE MOLDADO – 35m²- PESO – 1.887 KG  VIGA I – 2,5m x 4 – 10m – PESO – 126,50 KG  PAREDES LATERAIS – TIJOLO C39XA19XL7 – 726,70 KG X 2 = 1.453,40 KG  PAREDES FRONTAL/TRAS – TIJOLO C39XA19XL7–1015,15 X2= 2.030,30KG PESO TOTAL DO 2º ANDAR- 6.614,20 KG Assim a carga do andar superior é 6.614 kgf, isso representa todo o peso envolvido que a laje suporta, é uma carga distribuída, mas que para efeito de cálculo consideramos a
  40. 40. 26 mesma ser uma carga concentrada e agindo no centro da laje e distribuída igualmente para os 4 pilares. Logo, temos: Onde: F = carga suportada pela laje σ= tensão normal A = área da seção transversal O 4 é devido a estrutura ser suportada por 4 pilares Assim temos: σ = (6.614*9,81*1002) / (4*16,11) .: σ = 10,07 MPa Onde os fatores 9,81 e 1002 representam conversão de kgf para N e de cm2 para m2, respectivamente. Esta tensão é tolerável, pois está abaixo da tensão admissível do material de 250 MPa. Os materiais e equipamentos que estão no 1º andar do prédio estão relacionado abaixo, junto com o seu respectivo peso.  PESO DO 2º ANDAR – 6.614,20 KG  2 TANQUES PESO - 6.000 KG X 2 = 12.000 KG  PAREDES LATERAIS –TIJOLO 39X19X7 – 726,70 X 2 = 1.453,40 KG  PAREDES FRONTAL/TRAS–TIJOLO 39X19X7 – 1015,15X 2 = 2.030,30 KG  PISO PRE MOLDADO – 35m²- PESO – 1.887 KG  VIGA I – 3m x 4 – 12m – PESO – 151,80 KG PESO TOTAL - 24.136,70 KG Um cálculo análogo é realizado para a segunda carga do 1º andar, essa é maior, pois trata da superposição de efeitos e concentra o peso do seu respectivo andar. Essa nova carga é no valor de 24.136 kgf: σ = (24.136*9,81*1002)/(4*16,11) .:. σ = 36,74 MPa
  41. 41. 27 Esta tensão também é tolerável, pois está abaixo da tensão admissível do material de 250 MPa. 3.4. Desenho do Prédio Industrial no Software SolidWokrs Figura 27: Vista de frente do Prédio Industrial Figura 28: Vista Lateral do Prédio Industrial
  42. 42. 28 Figura 29: Vista em Perspectiva do Prédio Industrial Figura 30: Vista Aberta do Prédio Industrial
  43. 43. 29 Figura 31: Vista Frontal Aberta do Prédio Industrial 3.5. Estrutura do Prédio Industrial no Software ADES 3.5.1. Numeração dos Elementos da Estrutura Figura 32: Numeração dos Elementos da Estrutura
  44. 44. 30 3.5.2. Elementos distribuídos na estrutura Figura 33: Elementos distribuídos na estrutura 3.5.3. Associação das vigas da estrutura Figura 34: Associação das vigas da estrutura
  45. 45. 31 3.5.4. Especificações do Material das 3 vigas (eixo x, y e z) da estrutura Figura 35: Especificações do Material das 3 vigas (eixo x, y, e z) 3.5.5. Especificações da seção transversal das 3 vigas (eixo x, y e z) Figura 36: Especificações da seção transversal das 3 vigas (eixo x, y, e z) 4. Dados obtidos e Análise dos Dados 4.1. Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,58 Hz Figura 37: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,58 Hz
  46. 46. 32 4.2. Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,79 Hz Figura 38: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 0,79 Hz 4.3. Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 1,04 Hz Figura 39: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 1,04 Hz
  47. 47. 33 4.4. Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 2,50 Hz Figura 40: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 2,50 Hz 4.5. Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 3,39 Hz Figura 41: Deslocamentos da estrutura com uma freqüência de 3,39 Hz
  48. 48. 34 4.6. Módulo de deslocamento [m] Figura 42: Módulo de Deslocamento 4.7. Deslocamento na direção X [m] Figura 43: Deslocamento na direção X
  49. 49. 35 4.8. Deslocamento na direção Y [m] Figura 44: Deslocamento na direção Y 4.9. Deslocamento na direção Z [m] Figura 45: Deslocamento na direção Z
  50. 50. 36 4.10. Força Cortante no plano principal [N] Figura 46: Força Cortante no plano principal 4.11. Tensão de Cisalhamento segundo Eixo Principal [Pa] Figura 47: Tensão de Cisalhamento segundo o eixo principal
  51. 51. 37 4.12. Força Cortante no plano secundário [N] Figura 48: Força Cortante no plano secundário 4.13. Tensão de Cisalhamento segundo Eixo Secundário [Pa] Figura 49: Tensão de Cisalhamento segundo o eixo Secundário
  52. 52. 38 4.14. Momento Fletor no plano principal [Nm] Figura 50: Momento Fletor no plano principal 4.15. Força Axial [N] Figura 51: Força Axial
  53. 53. 39 4.16. Tensão Axial [Pa] Figura 52: Tensão Axial 4.17. Tensão devida à Flexão no plano Principal [Pa] Figura 53: Tensão devida à Flexão no plano Principal
  54. 54. 40 4.18. Tensão devida à Flexão no plano Secundário [Pa] Figura 54: Tensão devida à Flexão no plano Secundário 4.19. Torque [Nm] Figura 55: Torque
  55. 55. 41 4.20. Tensão de Cisalhamento devido ao Torque [Pa] Figura 56: Tensão devida ao Torque 5. Conclusão Assim após selecionar os materiais de construção, estabelecer as proporções e as dimensões dos elementos para a estrutura do prédio industrial e simular a estrutura no software ADES, podemos concluir que o método de elementos finitos estabelece modelos matemáticos simplificados com esquemas de cálculo para descrever a complexa realidade física da estrutura do prédio, permitindo resultados escalonados de diversos parâmetros de resistência dos materiais, como deslocamento a uma determinada freqüência, força cortante, torção, tensão devido ao torque, força axial, tensão axial e outros. Esses parâmetros são analisados e podem sofrer modificações quando mudamos as características e propriedades do material da estrutura, para termos no final da simulação um resultado satisfatório para o projeto.
  56. 56. 42 6. Referências Bibliográficas [1] JUNIOR, JÁNES LANDRE – Introdução Elementos Finitos. Curso de Engenharia Mecânica Linha de Formação Mecatrônica – PUC-Minas – 1º 2012 [2] AZEVEDO, ÁLVARO FM. - Método dos elementos finitos. Disponível em: <http://civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano5/aae/pdf/Apontamentos/Cap01_Introducao.pdfA> Acesso em 26 abr.2012. [3] TIPOS DE AÇO E PERFIS PARA ESTRUTURA METÁLICA DE EDIFÍCIOS – IBDA – Instituto Brasileiro de Desenvolvimento da Arquitetura. <http://www.forumdaconstrucao.com.br/conteudo.php?a=19&Cod=104> Disponível em: Acesso em 26 abr.2012. [4] RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – APOSTILA II. Matemática – Série Concursos Públicos. Disponível em:< http://pt.scribd.com/doc/37456245/23468942-Resist-en-CIA-DosMateriais-II#download > Acesso em 09 mai.2012. [5] CONCEITO DE TENSÃO – Mecânica Aplicada 2. Curso de Engenharia Civil – Instituto Politécnico de Bragança. Disponível em:< http://www.ipb.pt/~mnvalente/20051sem/MA2/MA2-ConceitodeTensao.pdf> Acesso em 02 mai.2012.

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