1. 1
Halle la Serie de Maclaurin asociada para
1−x
∞
1 f (n )(0)
f ( x )=∑ a n x n ; f ( x )= ; a n=
n=0 1−x n!
∞
1 f (n) ( 0) n
=∑ ( )x ← Serie de Maclaurin
1−x n =0 n!
que buscamos
d (n ) 1
f (n ) (0)=( )( )
dx 1−x
1
a0 =1 ←
1− x
1
a1=1 ←
(1−x)2
2
a 2=2 ←
(1−x )3
6
a 3=6 ←
(1−x) 4
24
a 4=24 ←
(1− x)5
ENTONCES :
1 f (0) f ' (0) f ' ' (0) f ' ' ' (0) f (4 ) (0) f (n ) (0)
= + + + + +. ..+
1−x 0! 1! 2! 3! 4! n!
1 2 6 24 f (n) ( 0)
= 1+ 1+ + + +. ..+
1−x 2! 3! 4! n!
(n)
Notemos que f (0)=n! Por ende :
1
=1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . + 1 n
1− x
∞
1
=∑ 1∗x n
1−x n=0
que es igual a
∞
1
∑ xn Esta es la serie asociada a
1− x
n=0
Cuyo radio de convergencia es hallado por el
CRITERIO DE LA RAIZ
n
√∣a n∣=∣x∣ ∣x∣<1