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_zug____. __ ~
à" r ,  .› , o f
. z
Lim) AEHÍÊ®= HHQSÍÇEPIU1ÊÊV©
PRODUÇÃO EDITORIAL

MÓDULOS - AUTORIA CRIATIVIDADE E
ORIENTAÇÃO PEDAGÓGICA EM MATEMÁTICA - S/ C - LTDA

CAPA

ANA MARIA RO...
SCIPIONE)DI PIERRO NETTO
CELIA CONTIN GOES

  asérie Matemática

29GRAU Pf<o@@§§© AIEÉOmHmEIEMíEñVO
SCIPIONE DI PIERRO NETTO

Doutor em Educação pela Faculdade de Educação da Universi-
dade de São Paulo. 
Professor de Prát...
.Apresemretçào

Aqui está um manual onde o aluno deve trabalhar muito com Matemática. 
Pretende-se uma auto instrução atra...
Índice

CAPITULO 1 - CONJUNTOS l
I.  CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  ....
CAPITULO 7 - A FUNÇÃO EXPONENCIAL 79
34. DEFINIÇÃO .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . .  . ....
EHIIÍIIIIII

1. CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE

1.1.
A= io,  1.234,51
B z io_ 2. 4_ 6, 8, 10, 12]

C : im e.  i,  O, ...
1.3. Também é possível o caminho inverso,  ou seja,  dado um conjunto por uma propriedade,  escreve-lo pelos seus
elemento...
Pergunta-se: 

a) Todo elemento de U satisfaz a1?
b) Existe algum elemento de U que satisfaz a3?
c) Existe um e um só elem...
Observação

As sentenças sz,  sz e 53 chamam-se equações em U,  pois são igualdades e: 

sz:  V= iól
sz:  v= [2,31

A sent...
s.  Seja U =  i0, 1, 2, 3, 4, s,  6, 7, s,  9, 10]

Assinale com V ou F,  cada uma das seguintes sentenças,  conforme seja...
2.4. FAÇA VOCÊ:  TAREFA 4

Considere U =  Z e escreva simbolicamente a sentença
correspondente ao conjunto verdade de cada...
portanto: 

onde : 

A e' subconjunto de U
V x E A = › x E U ou
A esta' contido em U

B e' subconjunto de U
#x E B =  x E ...
U
u

3.2. FAÇA você:  TAREFA 5 d) ix e UI-3 < x < 1]

U
u

Dado U =  Z,  determine os subconjuntos de U,  definidos
pelas ...
Os 16 subconjuntos obtidos formam um conjunto de conjuntos que se chama conjunto das partes de A
e indica-se: 

P(A) =  [[...
Observe: 

l.  [a, b] = [b,  a] 3.[1,2,5]_____[5,2, l]
2. [a,  a] =  [a] 4. [a,  b,  c,  c]  [a,  b,  c]
Portanto: 

a) Um...
então,  podemos escrever: 

a+b

2 <b

a<

a + b ,  , .  . . _ a + b
2 e um numero racional,  isto e.  2

logo,  3cEQ| a<c...
Basta construir um quadrado de lado unitário e sua diagonal d terá medida igual a v 2, pois: 

d1=l2+l2<= ›d2=2 <= ›d= v2
...
. , ._, .,. ... ,.. ..m. . . .. . ... ... ., I 
. . _    . um  . hum-Junin.  Fba. . ma:  _Tr m. .
J,  J .   xÍ. , . ..? Í ...
9
i . 
em_
. .,
_. .,_
.  .. ... ,
. .r
. ..
i_ .  e. .
l .  4
. U .  . 
n_ em _. 
a .  .
 _M_ r
.  Í . u
1. .  . u
D. . _...
5.6. FAÇA VOCE:  TAREFA 8

1. Represente na reta numerada cada um dos seguintes
subconjuntos lineares: 

a) [-3. 21 =  f ....
6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
6.1. UNIÃO OU REUNIÃO

Seja U um conjunto universo e,  consideremos dois subconjuntos A e B de ...
6.2. FAÇA vocE:  TAREFA 9 D “l U 1 =  
k) l-I,  3] u 11, 7[ =   . ... . . .
Determine A U B em cada caso:  l) [S,  7] U ]_...
A n B =  ix e JR¡  <  < 

 
  

 

6.4. FAÇA VOCE:  TAREFA 10 i) I n JR =  
J) NO l 
Determine A O B em cada caso:  
k› «n...
Quando ocorrer B C A o conjunto A - B denomina-se complementar de B em relação ao conjunto A, e

indica-se: 

A-B= CAB

Ta...
7.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

SEQUÊNCIA 1

.  Sabendo-se que

.  Enumere os elementos de U e de seus subconjuntos A e B, 

sa...
capítulo PRODUTO CARTESIANO

8. PAR ORDENADO

8.1. Com os algarismos do conjunto [l,  2, 3),  podemos formar os seguintes ...
9.2. FAÇA VOCE:  TAREFA 13

a)A= [a, b,c] f)C= <[a, b,c, d]'

Is =  [ar . _ 1 D =1p]

A ›< n =  ice. . _.9,_›,  (.12.. . ....
10.2. Convenção:  1) sobre o eixo horizontal serão representadas as abscissas. 
2) sobre o eixo vertical serão representad...
2) Chamando cada região do plano determinada por um par de 3) Represente graficamente,  os pares ordenados
semi-eixos não ...
2) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano

 

11.2. FAÇA VOCÊ:  TAREFA 15

   

 

. . i T_
. e L. ;«, .
C...
11.3. Considere o gráfico

X

Qualquer que seja o ponto P desta figura,  temos y =  2 e x E [l,  4].  Enúo,  a figura repr...
s s. 
o . m
X n nm
_m m
A 74-4- . m.
m »ihlkl . m.
. m ,  _ _ B
s l rio¡
V.  V.  m w A _ w
A A¡ r
w V.  tnxkF|4É .  O
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x mm mm 
A mm . . n_
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m.    3m
. m . rw _p w À.  ,
t.    , miia
m __ m
. N :  __ :  __ :  :
m.  AB AB AB
0
m. 
n
w A...
W
II
i. )
IV
É
xJ

›
Í)

 

12. EXERCÍCIOS DE REVISÃO

SEQÚÉNCIA 1

1) Seja U =  [l,  2, '4, 5, 6, 7, 8]* e seus subconjun...
capítulo RELAÇÕES

13. O CONCEITO DE RELAÇÃO R DE A EM B

13.1. Considere os conjuntos A =  [l,  2, 4, 6, ll]
B =  [2, 3, ...
c) A =  (1. 2_ 3,41; B =  [2, 3. 4, s]
p:  uy<xn

Reüzgújz/ z) , LH,7J, (5,5), K“.5), WHÚÉ

13.2. FAÇA VOCÊ:  TAREFA 17

D...
_ y r _ 1 .  .a y
m 9 › m  mmh
_ . fm u _ uuM
II _ a s m , m n
3 51m 2 »M m o_ . ..na
y _ u t.  IJ_ L.  Raa
2 J_ ( u _ L_ ...
X
1% 47. 5.11
4. _ _
2. _ , _
1
l.  «M11 . N31 5
y 11, L y
O 3 .  , 0
a. , 1. _ 1.
4 a,  y_. ,
rqL _ (lt
BF? , : ll . ..LJ...
Mas,  para representar a relação R,  temos que
representar todos os seus pares,  e obteremos: 

14.4. FAÇA VOCÊ:  TAREFA 2...
g) R: [lx. y݃(-oo.7]><lR| _v: -x] i) R= [(x, y)ER><RIx=2]

 

li)R l(. '. yIER>lRl, V›x+lj j)R
A

i1x, ,v›eA><Bly =  zlon...
15.3. Sejam A =  [1, 2, 3, 4] e B =  2, -2, 3, 5]
Consideremos a relação de A em B: 

R :   2)» (39 2)› (39 '2)› (4a 

Pod...
=x]

b›A= [1,s[;  B= ]2,4]
e R= Í(x. y)EA><BIy

 

  

= x2+1?
: a/x-S]
L *C 7/

h)R= [(x, )&G]R><1R| y=x2]
D(R) = ..  . ....
e)

 

B =  [3, 81
Im(R)

 

e) A=  [-s. o1;
e R= [<x. y)eAxBIx+y=3]
D<R)= ..[. ... _

r) A= [1.4];  B= [1.a[
e R= [(x. y)...
15.5. Podemos definir formalmente domínio de uma relação R de A em B. 

D(R)= [xêAI3yeB com y= R(x)]

16. EXERCÍCIOS DE RE...
APLICAÇÕES
capitulo OU FUNÇÕES

17. O CONCEITO DE APLICAÇÃO OU FUNÇÃO

17.1. Consideremos as seguintes relações,  de A em ...
17.2. FAÇA VOCE:  TAREFA 28 c) A =  [1, 3, s,  7];  B =  [2, 4,6, s,  1o]

e r= [<1,2), <3,6), <7.2)]
Faça o diagrama para...
17.4. VERIFICAR SE UMA RELAÇÃO DADA É FUNÇÃO

Seja: 
f= <[(x, y)E lNX ZIy=2x]

Temos: 

D(f) =  lN = › todo elemento de IN...
Temos: 
D(f') =  IR,  isto é,  todo elemento de IR tem imagem em lR. 

Além disso,  cada elemento de lR admite uma única i...
s) h)
- >
X
DU) l=  

nm :   f.   fun ão ue  em m,  porque  . ... ... ... .. . .
f 33°» t' função no  em IR.  porque   . ....
18. A CORRESPONDENCIA BIUNIVOCA - FUNÇÕES INVERSAS

Veja estas funções de A em B definidas pelos seus diagramas,  vale diz...
18.1. FAÇA voce:  TAREFA 32:

l.  Com os conjuntos A e B.  dados em cada caso,  complete dois diagramas:  19 Aquele que de...
2. No exercicio anterior dois exemplos admitem inversa.  Complete,  então num mesmo diagrama cartesiano os gráficos de
cad...
Grañcamente corresponde a dizer: 

   

    

-una-p

   

     

E. . 1 A
e I e
__ a
w I ãxm
y __ . .D
mx _w  . NW a
l _...
. m
, m
d
. m
O. .
s
m
. m
.  a
com d
u . d A
Rm m m
»  u T
v . ..w m . m. m_
RM( a B
z_ é,  E
u
a m
V
. m o
m A. 
A . m ....
l?  etapa:  Verifica-se se f é bíjetora
a) Vy E R,  existe x E R
De fato em y =  x - 2, para qualquer valor real de y o va...
c) A =  [o,  1. 2, 3];  B =  [4, o,  1, 2];  e e) A =  [-2, o,  1, 3];  a =  [o,  1, 4, 9] e
f= l(x. y)EA><B| y=x-1l f= Í(...
19.5. FAÇA VOCE:  TAREFA 35

Determine,  por seus gráficos,  as funções inversas das
seguintes funções bijetoras: 

r-l:  ...
20.2. FAÇA VOCE:  TAREFA 36 c) f

Verifique se as seguintes funções são estritamente cres-

 

centes: 
X
a) y f
f mãsésmt...
III.  Funções constantes

f e' constante se,  e somente se:  Vx¡ E D(f),  Vx¡ E D(f), 
x¡ = f= x,  =› f(x¡) =  f(x, )

Qua...
20.5. A função cujo gráfico é: 

 

não e' monotônica.  Neste caso,  podemos examinar seu comportamento,  quanto ao cresci...
A;  c' UlC/ Jcentc-

fo' tótlõtúmtntl çfggçcwt(

 

21. EXERCÍCIOS DE REVISÃO , _
SEQUENCIA 3

SEOÚENCIA 1
Determine grafi...
FUNÇAO LINEAR

n
l
u
Ill
'I
n. 
a
nb

57

 
 

fi JR -› IR
x ›-› y =  2x - 1

A =  (-2, -5) E f
B =  (-1, -3) E f
C - (O, ...
avistar),  .l

.  ÚHHÍN! , . ..saquei Jmr. 

 _e_ 

$°ã1". '_, k'; .'; ,1_. '-«: rg~g Y _

S424' . arhrm-"r
1_. ..
ih» tom...
22.3. FAÇA você:  TAREFA 4o

Verifique o valor de a e o valor de h em cada função linear: 

a)f: ]R->1R R)r11R'*1R
xHy= _3...
=4x-l

d) 2y

 

Como dois pontos são suficientes para determinar uma reta,  então será suficiente desenhar em lR X IR doi...
24. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO LINEAR

24.1. O COEFICIENTE b

Represente graficamente cada par de funçõe...
an. : IR-›JR

x›-›y= -x+%

f¡ Í R -5 R

Xi-›y=3x+%

Para estas funções,  b =  “'52,

x. ... .

Generalizando-se vemos que ...
e) y:4 (VXER)

 

O y =  -2 (VXER). 

 

Você pode concluir facilmente que

Se a > 0 então y =  ax +b é estritamente cresc...
Esse fato permite resolver todos os tipos de: 

25.1. INEQUAÇÓES QUE ENVOLVEM FUNÇÕES LINEARES

I?  Tipo:  ax+bE0

Vamos d...
Estudo das ínequações quociente:  ax + b

 

-- à
a'x + b' O
Resolver
A B
x - 5 .  P** .  - .  . .  _
1 _ X > 0 equivale a...
De um modo geral,  seja
A =  (Xi,  Yi) e B =  (XL Yz)
Teorema de Pitágoras aplicado ao AACB: 
d' =  (med 'm2 + (med ; TCP
...
SEQUÉNCIA 4 seoüENcIA 5: (APÊNDICE)

Determine a conjunto verdade de cada uma das seguintes Determine a distância d entre ...
capitulo  A FU ñllçtãuü QUAEHATEQA

28. O CONCEITO DE FUNÇÃO OUADRÁTICA

Veja as seguintes funções de JR em JR: 

a)f¡:  l...
29. FORMA PRINCIPAL OU CANONICA

29.1. Comparemos as funções: 

a)y= x2-4x+4 e _y= x2-'4x+3
esta é um esta não é um quadra...
29.2. FAÇA VOCE:  TAREFA 45

Obtenha a forma canônica das seguintes funções quadrá- d) y =  X2 + 6X - l
ticas: 

aly
a

b
...
c)y=5x2-x+l d)y›4x2+3x

_ l x
1.5(7«-_à_1._à¡ wqkrüg¡
a1 b- ; L 1 L ,  g ~
E 5 : D~É-1  É bí)~ Tâg.  4.151 r b É F É_ A_ :...
fatorando-se o primeiro membro dessa igualdade (diferença de quadrados): 

bx/ Zbx/ 'A'

(x * z * í** *z ' T) =  ° = °
b x...
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  1. 1. __. ______= __V, .__, _____. _zug____. __ ~
  2. 2. à" r , .› , o f . z Lim) AEHÍÊ®= HHQSÍÇEPIU1ÊÊV©
  3. 3. PRODUÇÃO EDITORIAL MÓDULOS - AUTORIA CRIATIVIDADE E ORIENTAÇÃO PEDAGÓGICA EM MATEMÁTICA - S/ C - LTDA CAPA ANA MARIA ROSSI E NELSON YAMAGA Composição. ilustração e artes: AM PRODUÇÕES GRÁFICAS LTDA. Av. Brigadeiro Luís Antônio, 1892 109 andar - conjunto 102 Telefones: 289-4130 e 289-4131 São Paulo ~ SP ' FICHA CATALOGRÁFICA (Preparada pelo Centro de Catalogação-na-Fonta, Câmara Brasileira do Livro, SP) D¡ Fierro Netto, Scipione, Matemática, processo auto-instrutivo, PAl-1: 13. série, 29 grau [por] Scipione Di Pierro Netto [e] Célia Contin Goes. São Paulo, Scipione Au- tores Ed. , 1976. p. ilust. Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia. 1. Matemática (29 grau) l. Goes, Célia Comin. II. Titulo. || |. Título: PAI-1. CDD-510 Índice para catálogo sinemático: 1. Matemática 510 2.' Edição 1977 Todos os direitos reservados SCIPIONE AUTORES EDITORES LTDA ESCRITÓRIO VENDAS Rua Lamas Valentinas 555 R. João Passalâqua 189 05084 - S. Paulo (City Lapa) 01326 - S. Paulo (Bela Vista) Fone: 260 5878 Fone: 35 8712. Impresso no Brasil Printed in Brazil
  4. 4. SCIPIONE)DI PIERRO NETTO CELIA CONTIN GOES asérie Matemática 29GRAU Pf<o@@§§© AIEÉOmHmEIEMíEñVO
  5. 5. SCIPIONE DI PIERRO NETTO Doutor em Educação pela Faculdade de Educação da Universi- dade de São Paulo. Professor de Prática de Ensino de Matemática da Universidade de São Paulo e da Universidade Católica de São Paulo. I' Professor Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação da Universidade dc São Paulo. F Professor Efetivo de Matemática do Magistério Oficial do Estado de São Paulo. CELIA CONTIN GOES Mestre em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatistica dc São Paulo. Professora Contratada do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. ~' Professora Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação da Universidade de São Paulo. rt Professora Efetiva dc Matemática do Magistério Oficial do Estado de São Paulo.
  6. 6. .Apresemretçào Aqui está um manual onde o aluno deve trabalhar muito com Matemática. Pretende-se uma auto instrução através do trabalho continuo e gradual, a partir de exercicios sempre muito simples, porém numerosos. Pode-se perceber que a gradação pemIite que o principiante faça todos os exercicios, bastando apenas que trabalhe com seriedade e leia o texto. Otrabalho destinado ao aluno e que convencionarnos charnar-se FAÇA VOCÊ, deve permitir a interiorização do conhecimento assim como Os primeiros mecanismos de fixação do aprendizado; essa fixação é reforçada por séries de EXERCICIOS DE REVISÃO ao final de cada capitulo. Trata-se, como se vê, de um esquema que permite o progresso do aluno, mesmo quando o número de aulas semanais é reduzido tres ou quatro por exemplo, ~ pois a independência do aluno em relação ao professor pode tornar-se bem maior em textos desta natureza. Neste caso, o mestre é antes um orientador de uma oficina de trabalho do que o magister a ensinar pormenores. São 93 seqüências do tipo FAÇA VOCÊ e 62 seqüências de EXERCÍCIOS DE REVISÃO. Com este trabalho espera-se proporcionar oportunidades para que o aluno atinja o minimo de suficiência desejada a um curso de 29 grau. O FAÇA VOCÊ poderá ser feito no próprio livro quando o espaço deixado o permitir. Todavia um bom caderno é sempre melhor solução. Esperamos contribuir desta forma para que os cursos que contam com alunos de nível pouco satisfatório_ possam progredir o suficiente a partir de exercicios muito simples ~ algumas vezes até banais ~ e chegar ao indispensável para um curso de 29 grau. Os autores agradecem antecipadamente pelas sugestões ou críticas constru- tivas. Os Autores
  7. 7. Índice CAPITULO 1 - CONJUNTOS l I. CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2. UNIVERSO e SENTENÇAS NUM DADO UNIVERSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . 2 3. OS SUBCONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4, IGUALDADE DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6, OPERAÇÕES COM CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 CAPITULO 2 - PRODUTO CARTESIANO 21 8. PAR ORDENADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9. PRODUTO CARTESIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PAR ORDENADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PRODUTO CARTESIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CAPITULO 3 - RELAÇÕES 30 13. O CONCEITO DE RELAÇÃO R DE A EM B . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3o 14. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA RELAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 15. DOMINIO E CONJUNTO-IMAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . 35 CAPITULO 4 - APLICAÇÕES OU FUNÇÕES 40 17. O CONCEITO DE APLICAÇÃO OU FUNÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4o 18. A CORRESPONDÉNCIA BIUNIVOCA e FUNÇÕES INVERSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ' 19. O CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2o. O CRESCIMENTO DAS FUNÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 CAPITULO 5 - FUNÇÃO LINEAR 57 22. O CONCEITO DE FUNÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 23. O GRÁFICO DA FUNÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 24. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 25. ESTUDO DO ZERO E DO SINAL DA FUNÇÃO LINEAR . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 26. APÊNDICE e DISTÃNCIA ENTRE DOIS PONTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 CAPITULO 6 -- A FUNÇÃO OUADRÁTICA -~ 68 28. O CONCEITO DE FUNÇÃO OUADRÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 29. FORMA PRINCIPAL OU CANÔNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3o. RAIZES DA FUNÇÃO QUADRÃTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 31. FORMA FATORADA DA FUNÇÃO y = ax* + bx + c . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 32. CONJUNTO IMAGEM E EXTREMOS DA FUNÇÃO y = ax¡ + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
  8. 8. CAPITULO 7 - A FUNÇÃO EXPONENCIAL 79 34. DEFINIÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 35. GRÃFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8o 36. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DO TIPO am e bn; a, b, m, n e IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 37. APLICAÇÕES _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 CAPITULO 8 - ESTUDO DOS LOGARITMOS 88 39. O CONCEITO DE LOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4o. DEFINIÇÃO: LOGARITMO DE UM REAL POSITIVO NUMA CERTA BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 41. APLICAÇÕES DA DEFINIÇÃO . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9o 42. A FUNÇÃO LOGARITMICA A DOMINIO E CONJUNTO IMAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 43. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARITMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 44. PROPRIEDADES OPERATÕRIAS DA FUNÇÃO LOGARITMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 45. APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 46. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -. 103 47. EQUAÇÕES LOGARITMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 48. LOGARITMOS DECIMAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108 49. CARACTERrSTICA E MANTISSA DO LOGARITMO DECIMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5o. TEOREMAS DA CARACTERISTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 51. TEOREMA DA MANTISSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 52. OPERAÇÕES COM LOGARITMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 53. TÁBUAS DOS LOGARITMOS DECIMA-Is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118_ 54. APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 CAPITULO 9 - TRIGONOMETRIA 126 56. ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126 57. OS CONCEITOS DE SENO E COSSENO DE UM ARCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 58. A FUNÇÃO SENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 59. A FUNÇÃO COSSENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 60. PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 61. IDENTIDADES E EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 62. A FUNÇÃO TANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 63. RESOLUÇÃO GERAL DE ALGUMAS EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS EM TGX . . . . . . . . . . . . . . . 156 64. A FUNÇÃO COTANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 65. AS RELAÇÕES TRIGONOMETRICAS NOS TRIÃNGULOS RETÂNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 161 66. AS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . 163 67. AS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 68. RELAÇÕES TRIGONOMETRICAS DERIVADAS DAS FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 69. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 70. DUPLICAÇÃO DE ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 71. BISSEÇÃO DE ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 72. OUTRAS EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 73. TRANSFORMAÇÕES EM PRODUTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 74. RESOLUÇÃO DE TRIÃNGULOS RETÂNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 75. RESOLUÇÃO DE TRIÃNGULOS QUAISQUER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
  9. 9. EHIIÍIIIIII 1. CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE 1.1. A= io, 1.234,51 B z io_ 2. 4_ 6, 8, 10, 12] C : im e. i, O, III l 3 3 4 940-? - ? “í” 5 CONJUNTOS Você tem a seguir alguns conjuntos dados pelos seus elementos: que podem ser escritos através de uma propriedade característica de seus elementos; assim os representamos: A= [xIxeIN e x<si BzixixêlN. xépare x<12l C = ixlx é vogal do alfabeto latino] D = Ixix = (-l)“ n e I1+l 1.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 1 IIE N] Escreva. através de uma propriedade, Os seguintes Conjuntos dados por seus elementos: a) A= [1,3.5. 7.91 A = .i . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... . b) 13 = i2. 4. 6, 8, 10, B ' . ... ... ... ... . ... . ... ... . . .'. ^.. I . ... ... ... ... ... .. . . c) c = i3. 4. 5, 6. 7. SJ C T . .I . ... ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. d) D = i1. 2, 4 816 ,2561 D z 1 - n ~ A x f rt_ ti) G (i h) H H ii I l J) J l = . ... ... = i3, 1o, 17. 24, 31, 38. = ..i. ... ?». ..'. ... ;›. .. ... . . ... ... ... .. = i2_ 12. 72.432. ; = . ... . . . “. ,.. .Ç. .:§ . . . . . .Í . ... ... . . ... . . ... .. Ê . ... ... ... ... .. = i1. 4. 9. 16. 25, 36, 49_ 64) : IsmÍÍ . ... ... . . ... . ... . . ... ... ... . = [-4. . -3. -2. -1. 0. 1, 2, 3. 41 =1;. '›c6_Z_c~*-i$x§41__
  10. 10. 1.3. Também é possível o caminho inverso, ou seja, dado um conjunto por uma propriedade, escreve-lo pelos seus elementos ou em extensão: Veja: a)A= [xIx=2p+3,pElNep<5l b)B= Íx| xEZe-2<x<4l A= [3, s, 7, 9, 11, 13] B :1-2, -1,o, 1,2,31 1.4. FAÇA voce: TAREFA 2 Escreva os seguintes conjuntos. através de seus elementos: a)A= íx| xeN e X<7] DF= lx| x=2-3" e nENl A: : . F: .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .' . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . ma: g)G= Íx| xEN] B: G: .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ac: h)H: Íx| %E1Nl C: H= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. d›D= [x| x1-9=o e xeiNl n 1 = [xl(x+1)2-(x-1)2=4x e xez] D= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 1: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... ... ... e)E= *[yxlx2-9=O e xEZl j) .1 : lxlxele -3<x<5l E: J: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. s.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2. UNIVERSO ~ SENTENÇAS NUM DADO UNIVERSO 2.1. Considere o conjunto U que será o universo ou o conjunto universal das sentenças que proporemosa seguir: U = [O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] e as sentenças s. , sz, s, e S4, onde x E U: s¡: 2x - 12 : O 2x - 15 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 x2 - l = (x+1)(x-1) mmm hum Pergunta-se: a) Todo elemento de U satisfaz s¡? b) Existe algum elemento de U que satisfaz sf? c) Existe um e um só elemento de U que satisfaz 5,? ou simbolicamente: a) Vx E U= › 2x - 12 = O? (vsignzfca todo ou qualquer que seja) b) 3 x E U I 2x - 12 = O? (Élsrgnüica existe) c) : Ilx E U | 2x - 12 = 0? (Hlsrgmfica existe um único) Ve' o quantificador universal Ee o quantificador existencial Veja: s. : 2x - 12 = 0 c: 2x = 12 <= › x : 6 e 6 E U portanto, existe um único elemento de U, que satisfaz s¡. OUZ ÉJ| xeU›2x-12=0
  11. 11. Pergunta-se: a) Todo elemento de U satisfaz a1? b) Existe algum elemento de U que satisfaz a3? c) Existe um e um só elemento de U que satisfaz sz? ou simbolicamente: (complete você). a) X e = > 2X - 15 = 0? b) . .EI . ... . l 2X - 15 = 0? c) . ... . . .I. ..2,. ›.c. ..-. ..i. §.. :..9.? . . ... . . . Veja: sz: 2x - 15 = 0 <= › 2x = e= x = e 7,5 í U portanto, não existe nenhum elemento de U que satisfaça sz. OU! Pergunta-se: a)VxEU= ›x° -5x+ 6:0? b)3xEU1x2-5x+ó= O? c)3|xGU| x2-5x+6=0? Veja. sa: x°-5x+6=0<= x=_,2. ou x= __â ____ neízeu portanto: 3xE__H____| x'-5x+6=0 Pe rgunta-se : a)VxGU= ›x2- 1 = (x+l)(x-l)? b)3xEUI x2- l = (x+I)(x-1)? c)3|xEUI x2- l = (x+l)(x-l)? Veja: S43 x1-1=(x+1)(x-l)= ›x°-l= x'-___Í <= ›0=O! ! Teremos que verificar um a um, se os elementos de U satisfazem s. : g o2-1=(0+1)(0-1) <= › -1 = =› 1 = (..4.. +1›(. ..i. .-1) = › 1- (verdadeiro) (verdadeiro) (. .f. .°. z'. :=. L.. °.~. §.&é. -:. °.l (vcràadcárol X X X X X X X X X Il Il 00 x1 ON UI A b) IJ -- O Il
  12. 12. Observação As sentenças sz, sz e 53 chamam-se equações em U, pois são igualdades e: sz: V= iól sz: v= [2,31 A sentença s. , chama-se identidade em U, pois é igualdade e: s: : v= (o,1,2,3,4,5,ó.7,s1=› 2.2. FAÇA VOCE: TAREFA 3 1. Complete as sentenças com o quantificador conveniente: a) A , _ [2, 5_ 7, zz_ zzzz 3. Idem, para: xEA_ _xéprimo u= m . .XGA . ... ... . . .AÓPBI si: x+1=/2 s : x2 - 1 : O b)A: [1_2,3.4,5,6] gxzzho X : É -------- -- x É “m” d? " 54; x2 ~ 5x + a e (x- 2104-3) __ x ________ __ x c menor que . 31V - É U 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . . . . . . c) A ñ[_1' O' l_ 2' 3' 4, 5' 6» 7; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ________ _z x e A x z'. zzzzzzzzz que 7_ bl 3 N e U | . ... ... . . . X É A -' é 'n°110' qu* 15m 91313 É U I d) 39 x e U I . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. _ 4. Idem. para: v : a* sz: .x2 - 5x + 6 z 0 1 1 b; X2 - -z-X - í “ O x2 53: 7 2 x S4Z 3 + x 2 3 Obsmaçãm a› v x e U à . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Quando sc aplica VA'. sempre decorre o “implica que"= > m3 x e U 1 _d l_ d _l “z . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. QM o IL "max empre mm O m W c) 31x E U | .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 1 Dad” «n21 x e U n . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . U = IN sz: x + 6 2 ll 5. Idem. para: sz: x + -l- = l z ~ 2 u: m, 1.114,5; 533x813” sz: x<l0 s4'x2+7x+l= (+l)2 . - - - - ' 1 sz: x + 8 : 2.x . sa: a+x= u.comaElR Complete as sentenças seguintes, com sz. sz, 53 ou 54. f¡ O < < 4 dc modo a torna-las verdadeiras: M' x UVXÉU” . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ' 'HV-VEÍ” . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . wãxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. wílxew . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. c›EIIxeU| .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . «Glxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. «níâxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l «nzlxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. __ 4
  13. 13. s. Seja U = i0, 1, 2, 3, 4, s, 6, 7, s, 9, 10] Assinale com V ou F, cada uma das seguintes sentenças, conforme sejam verdadeiras ou falsas: a)VxEU= >x<10 (il) mãxêUlxépnmo (v) c)3lxEU| xépar (p) d) Elxeu I xémúltiplo de 1o (p) wzxêUlxéímpar (F) OHXGUIXzEU (v) ZJÉIXGUIXZEU (F) MHIXEU I x=2“ paraalgumnElbNF) 2.3. V: denomina-se: significa: É¡ 'z denomina-se: significa: É : denomina-se: significa: HI : denomina-se: significa: = › : denomina-se: quanttficador universal qualquer que seja quanttficador existencial existe negação do quantificador existencial não existe quantificador existencial particular existe um única implicação simples implica que du 1a im lica ão ou e uivalêizcúz ló ica Ç 8 se e somente se ou é equivalente a Dado como universo U, o conjunto 2, dos números inteiros, ou: U = z = -3, -2, -1, o, 1, 2, 3, significa: c= ›l denomina-se: significa: e a sentença: 5,: 2x + 10 < 20 Veja: 2X + 10 < 20 <= > 2X < . ... .. <= > X < portanto, para 5,: V : i . ... ... . .4, -3, -2, -l, o, l, 2, 3, 4] ou V= '[XIXÉZ e x<5Í Diremos simbolicamente: EIxeUI2x+10<20 Seja agora a sentença S2, ou: S21 2x + 10 = 15 Veja: 2x + 10 = 15 «= › 2x = <= › x = . ... .. portanto. para S2: V = z Diremos simbolicamente: 34 xEU|2x+l0=l5 i)VxEU= ›x+lGU j)VxEU= ›xE1N ioãxeulzxeu l)3xEU| x-6=-6- m)3IxEUl-ã-EN mÉxEUIxElN mzxeulxmseu 2x Vamos escrever sentenças matemáticas em linguagem simbólica, usando os simbolos: (F) (V) (V) (V) (F) (ví) (il)
  14. 14. 2.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 4 Considere U = Z e escreva simbolicamente a sentença correspondente ao conjunto verdade de cada sentença: a) s¡: x+l=2x-3 vt-*Ulx-Ma-vc = -H4=v xzu v = Win51.) . ... ... ... ... ... ... ... .. . . portanto: . ... ... . . Eli. x e U b) S2: (x+l)(x-2) = x2- x - 2 xL-x-Z, = xlhx-Z, V = . ... ... ... ... ... .. portanto: c) S32 x2+ 2x+ l <0 x"+ zx. +1-_o4-= -ox'-. x, v = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . portanto: Z. $xEUÍx+Lx+i<o = -i 3. OS SUBCONJUNTOS 3.1. d)s4:2x2-7x+3=0 x. x-_soahtL V = .. ç..3.. ) . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . portanto: .. ...1.1.. E.. .1I. ../ ... Z.. .x. Í.. .z. .Íl. .oc. ... =t. ...5.. ;.. Q . ... ... ... . . . e)s5:x+l>2x xri>lxpq7c-Lx >~i=4x<i V = .. La. -.. :.. ,.. :.Í'. l,.5.5.7.: ..Z, .,. :.. ., ..Q. .) portanto: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. f) sg: x=3x+l x=5x+t4-»-zx : tea x= -'/ ¡, V = .. .Í. .:. ..'/ L.. .l'. .. ... ... ... ... ... .. portanto: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . g) s7: (x+l)2-2x= x2+l x-"rlx- +L-Z. x = V = . ... ... . . . portanto: xb+ lñíkfx: xLvl Consideremos como universo o conjunto N dos números naturais, ou: U=1N= [0,1A,2,3,4, . ... ... . . .1 e os conjuntos determinados pelas sentenças: s¡: o conjunto A dos números naturais pares A = [O, 2, 4, 6, . ... ... . . .l s2: o conjunto B dos números naturais ímpares B= [l,3, 5, 7, . ... ... . u] . 53: o conjunto C das metades dos números naturais c = [o, l, . ... ... . . .i s. : o conjunto D dos números do tipo x = 2a + 3, com a e IN. D = [3, 5, . ..“t . ... mai. .., .. .Lim 15, . ... ... . . .J S5: o conjunto E dos números do tipo x = 2a + l, com a E Z. Veja em E teremos: a = -2=› x = -3 a = a = -1=› x = a = a = 0=› X = l= =›x 2-+-›x
  15. 15. portanto: onde : A e' subconjunto de U V x E A = › x E U ou A esta' contido em U B e' subconjunto de U #x E B = x E U ou B esta' contido em U C' não e' subconjunto de U 3x E C I x É U ou C não esta' contido em U D é subconjunto de U ou D está contido em U E não e' . subconjunto de U ou E não esta' contido em U Como: A está contido em U é equivalente a U contém A. A é subconjunto de U se. e somente se. todo elemento de A, é elemento de U. ou: também se representa: e pode-se então definir: ACU c: (VX-EA: xEU) UDA <= =~ tvxeA= xeU)
  16. 16. U u 3.2. FAÇA você: TAREFA 5 d) ix e UI-3 < x < 1] U u Dado U = Z, determine os subconjuntos de U, definidos pelas sentenças: a) Mixelllxéizuaiaweu °P°st°1 E= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. istoé: xbxàw' . ... n: '''' ngx: .. .. N r)1== [xeUIx=2p+1,per~I] portanto: F= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ^= t . ... ... . g)c= [xeU| x2<o] b)B: [xeU¡x2_9=0] G= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. :: QÉIÊÍÃO 4:* . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . h) ix EU| X2 _ l à O] B: .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . c)C= [xeUIx>0] 1)I= [xEUl(X+2)2-X2=4(X+1)] Você obteve subconjuntos de U, determinados por uma propriedade. Observações: l? ) O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto U, por definição. isto é: , qualquer que seja o conjunto U. (veja os exercícios e e g do item 3.2) 2?) Todo conjunto é um subconjunto de si próprio. isto é: , qualquer que seja o conjunto U. (veja o exercício i do item 3.2) 3.3. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO DADO. Dado A = [a, b, c, d] a) Escreva os subconjuntos de A, que contenham um só elemento: A1 : tah Az= iblâ A3=Í . ... e A4=f . ... b) Escreva os subconjuntos de A, que contenham dois elementos: As = ta. bi; A5 = [a, cl; A7 = ta, .. .. . .l; As = (b, .. .. . .h A9 = i . ... di; A10 : l: . . . . . .v . ... c) Escreva os subconjuntos de A, que contenham três elementos: A11 : f . ... .. › . ... .. u . ... .. lã A12 = [as . ... .. s dll A13 = [as Cs . ... .. lã A14 = tb» . ... .. › . ... .. l d) Escreva os subconjuntos de A, que contenham quatro elementos: Ars = l . ... .. a 2 q l e) Escreva os subconjuntos de A, que não contenham elementos.
  17. 17. Os 16 subconjuntos obtidos formam um conjunto de conjuntos que se chama conjunto das partes de A e indica-se: P(A) = [[21], [bl, .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. . ., [a, b, c, d], [ I] Você pode ver que se A tem 4 elementos, ou seja, se n(A) = 4, o número de elementos de P(A) é 2*. De um modo geral: 3.4. FAÇA você: TAREFA e Determine, em cada caso. n[P(A)] e escreva P(A), onde d) A = u_ 3, 5, 7] P(A) indica o conjunto das partes de A. ¡¡[p(A)] = "Li"- u¡ ________ u , , A = m P(A) = Í. (ll. ,.L. t.k, ..L, à.i. .,. L5.t, ..i. m.k, ..l. l,. à.l, .l. .t,5.. j n[p(A)] = = = .. .t. ,.a. .,.5. .1,. ;›. ,.. ›.. . ..t. .s. ,.. s . ... ... .. . . m” el* 12), ¡ g fl_ 2] L e) A = [-2, -1, 0,1, 2] . .tum = .. ... ... .. = . .H . ... .. nim] = m) = . ... ... ... ... ... ... ... ... ..1 rw = .. ima . tr. .Li, ..i. :..1.í. ,.. t.a. .5., ..t, .1.&, -~. t.2.. §.. ,.. ... . ..t : A.Po.1.. ... si. ;A. ,.1.. k,. ..i. =.. L.. LJ. ,.. i.o. .,.4.1.. l . ..iÍç. ,.2,1.71.1.. t,as, ... s.. ,.. z.. ,;. t., .o. .s. ... ... ... ... . . ... t.. -..2.. .,. a., ..t. ,i. .., ..La. z.. ,.n. tv. .t. .t. ¡.t. ez. ¡.. t,xl . ..í. ..'. ..êr. ,.. l.. ,.. Z.. L., .. : l,. -.. L._. .-. .l, .'. c›. ¡.4.'. z)). 4. IGUALDADE DE CONJUNTOS Consideremos os conjuntos A e B onde: A= [O, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9] e B= fxlxe N e x<l0] É fácil ver que: VXEA = › xEB; logo ACBM_ ° *E VXEB = › XE logo BCA Podemos, então, definir: simbolicamente:
  18. 18. Observe: l. [a, b] = [b, a] 3.[1,2,5]_____[5,2, l] 2. [a, a] = [a] 4. [a, b, c, c] [a, b, c] Portanto: a) Um mesmo elemento não se repete num mesmo conjunto. b) A ordem dos elementos num conjunto não é importante. 5. CONJUNTOS NUMERICOS Você já conhece os conjuntos numéricos fundamentais: a) JN = [O, l, 2, 3, . ... ... . . .J dos números naturais IN* = [l, 2, 3, 4, . ... ... . . .j dos números naturais diferentes de zero. b) Z = [ . ... ... . . ., -3, -2, -l, O, l, 2, 3, . ... ... . . .j dos números inteiros Z*= [xeZ| x#0] c) Q = [xl x = -É- com p E Z, q E Z* e p, q primos entre si) dos números racionais Q*= [x6 Qlx ; E 0] Observe que: pois: a) todo número natural é um número inteiro. b) todo número inteiro é um número racional, isto é: todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração. Veja: 3 4 O 3-T, -4---13 O= -l- De um modo geral: Va E Z', pode-se escrever: 5.1. PROPRIEDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS. Entre dois números racionais, sempre existe um outro número racional. b hipótesezíí<ío tese: [BCE Q tal que a< c< b Prova: Consideremos a desigualdade a < b e adicionemos aos seus dois membros um mesmo valor; a desigualdade se conservará: a<b a<b a+a<b+a a+b<b+b 2a<b+a a+b< . ... ... . . . b+a a+b a< 2 2 < . . . . - . . . .. 10
  19. 19. então, podemos escrever: a+b 2 <b a< a + b , , . . . _ a + b 2 e um numero racional, isto e. 2 logo, 3cEQ| a<c<b, quaisquerquesejam a, beQ e a<b. onde : CEQ É fácil ver como conseqüência, que: Entre dois núnum uma: : quaiaqua, aum* : T ' Í 5.2. os NÚMEROS IRRACIONAIS Num primeiro estudo, vamos mostrar que existem números que não se escrevem sob a formal-com p E Z. q E Z* e p, q primos entre si, isto é, mdc (p, q) = l. q 0 número x/ í, por exemplo, é um deles. Suponhamos que x/ í possa ser escrito em forma de fração, isto é: V2 : T:- para algum p emZ e algumqem Z*, tal que mdc(p, q)=1 Provemos que isto é um absurdo: 2 t/ z = %=› : :É . =, pz= gqzg = › p¡ seria um número par = › p seriaE, pois se um quadrado perfeito é par, sua raiz também é par. Então p seria da forma: p = 2m, para algum m em Z. substituindo-se em p¡ = 2q2, temos: (zm); = <= > = 2q2 <= > q¡ = 2m1 = = › q¡ seria par= › q seria Mas se p e q são pares = › p e q não são primos entre si, o que é absurdo, pois mdc (p, q) = 1. Logo x/ í não é um número racional, ou seja, V 2 é um número irracional. São irracionais os números: V 2, V 3 , V 5 , V 7, etc. , isto é, raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos, são exemplos de números irracionais. Todo número irracional, escrito sob a forma decimal, apresenta infinitas casas decimais, e que não são periódicas. 5.3. OS IRRACIONAIS E A. RETA NUMERADA Você já sabe como localizar os números racionais numa reta numerada. Vamos localizar um número irracional, no caso, V 2, na reta numerada: r 11
  20. 20. Basta construir um quadrado de lado unitário e sua diagonal d terá medida igual a v 2, pois: d1=l2+l2<= ›d2=2 <= ›d= v2 -1 0 1V; 2 3 4 5 Assim como o número v 2 , todos os outros números irracionais podem ser representados na reta numerada. Do que se conclui! !! Embora sobre a reta r existam infinitos racionais, estes não a completam pois, sobre r também se situam os números irracionais. O conjunto que contém todos os números racionais e todos os números irracionais denomina-se conjunto dos números reais e indica-se por 1R. simbolicamente: onde Q representa o conjunto dos números racionais e I o conjunto dos números irracionais. Você deve “aceitar" nesse nível de estudo que: 0 conjunto dos números reais completa todos os pontos da reta numerada. 5.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 7 Coloque V ou F, conforme cada sentença seja verdadeira ou falsa: a) Vqeüàqem tnvqeomiez LUVnElN = ~nEQ h) ÉÍXEOÍXEIN () v) (-› <› c)VzEZ= >zElN () DINCJR () (J d)vneN= ›neR (. ) DIRCZ <› (› e)3xElR| xEZ (v) k)1R*3z* <› <) DVxEZ= >xE1R (› DJNCIR* (› <› 5.5. SUBCONJUNTOS DOS REAIS Vamos identificar alguns subconjuntos lineares dos números reais. São assim chamados porque sempre podem ser representados por subconjuntos da reta. 5.5.1. INTERVALOS FECHADOS: [a, b] com a, b E JR e a < b [a, b]= [xE lR| a<x< b] 12
  21. 21. . , ._, .,. ... ,.. ..m. . . .. . ... ... ., I . . _ . um . hum-Junin. Fba. . ma: _Tr m. . J, J . xÍ. , . ..? Í . rwr-. Hàmmãt- . A. . _s km1.. .i.1v.7ua. ..3.rhnmT. . tl-. Tr, , , . ..u . .. .y u , J . a, Í. , in», m a_ , . .. . L _lá . r. n, ... u_ 4 _ ú. 4 s r n_ ; tn x , n A, É. .. , A . . _1_ _se . A . .. t. . , .. Tm. L. . . |. m., r . .nJ. .. , . .r . .91 , _. iu, r, s. .., . . . E «W , , . u, . .m , ., I . um 1.; n. , x m. . . _ i4_ c, r em u F. Í . . , ,n ru . .. u. . H . x 1,. , L, .. .n É . .W wi_ : r/lll rn_ . Âlàweniri . _ 1 . . . . t» _, .. ..I m. . m4,. ? , _ , ,steam e _l _à . . _. . . ..W *Jun _ . .. - M. . , um, . sua”. J o . ,. . t , ... . B4 . . . v: n n x . . E r . . . . N. , »o a . L3_ . . e . . à 4 _ ms . . . e a r . __
  22. 22. 9 i . em_ . ., _. .,_ . .. ... , . .r . .. i_ . e. . l . 4 . U . . n_ em _. a . . _M_ r . Í . u 1. . . u D. . _no à um m. .. Í . w. _ i . Is $7.13_ _íÍjâiítiúlftfl “âsãiíifgíürpfjiüíiãx . . Fm . , lflw. , . i J u! ? . .-fp B_ , . 11 ¡. _ , , f. , . i à , l su? .sit. . . . . Hr¡ . sru. ..L. __. uL_j. u., .:JJruU. .. t l üwhk. . riununxdziaaknrwlfrwí aWv. ,r. .r. .T. H». ..qhr. ir d. . . r- sánrJliiaw. !Wax , .. . . i i -l›-r , r . . 4.. .¡ I› : ul . a. : E. .. . .r . r L L . r ~I'›, › i. Fi . Irani. x . u. r i . .. rh . .. ra r. . J . .. . ..r . ri. u. .. J _ill t. ..? .. , lLnuw. L
  23. 23. 5.6. FAÇA VOCE: TAREFA 8 1. Represente na reta numerada cada um dos seguintes subconjuntos lineares: a) [-3. 21 = f . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l e) 1-3. m» = i . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l o [s, 9l = í . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l i 2. Identifique os intervalos que estão representados nas retas numeradas: 15
  24. 24. 6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 6.1. UNIÃO OU REUNIÃO Seja U um conjunto universo e, consideremos dois subconjuntos A e B de U: Chama-se reunião de A e B a um conjunto C cujos elementos pertençam a pelo menos um dos dois conjuntos, isto e', os elementos pertençam a A ou a B. Indica-se C por A U B Podemos escrever: AUB: ~[xIxEEA ou xEB] IÚI Vejamos os exemplos: l. A=[l,2. 3,4. 5.6?, B= [-2,-l. O, 1,2] A U B = [-3. -1.0_ l. 3. 3. 4, 5, 6] 2.A= íxeRI-1<x<5]: B= [xeR¡-3<x<4] AuB= ? Façamos a representação de A e B na reta numerada: AUB= ÍXE1R| .. ... ... .. < . ... ... . . .< . ... ... . . .l
  25. 25. 6.2. FAÇA vocE: TAREFA 9 D “l U 1 = k) l-I, 3] u 11, 7[ = . ... . . . Determine A U B em cada caso: l) [S, 7] U ]_1, s] = "" u a›A= [1,3,5,7,9]; B= [o;1,2,3,4,s] _ '. , A u a = . ... . ... . ... ... ... ... ... ... .. m) m' Sl U “' 3] “ n) [3, 7] u [-2. s] = . ... .. . ta. .. .. . . b)A= [xe | x<1o]; B= /[1,2,3,4] AUB= o 6 lN n N @l o) A= [1,2,3,4]; ç a= tõ A u B = . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . p) A = [-1,0, 1, 2, 3] _ AuAafl xt k 0 x ê . ... . ... ... ... ... ... ... ... .. . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . z Q p' q) A UE = e) U = . ... ... . . . r) A U A = n JN u o = zomunau¡ . ... . . . ”^CB= ' ^UB= 5 h)zum= n_i_l? ç_ t)AZ>B= AUB: o a) u m = _jtàn_ u) A u U - 6.3. INTERSECÇÃO Sejam A e B subconjuntos de um mesmo universo U. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto C cujos elementos são comuns a A e B, isto é, pertencem a A e a B. Indica-se C por A n B Podemos escrever: AñB= [x| xEA e xEBj Vejamos os exemplos: 1-A= i1,2. 14,51; B= í-2,0.2.4l AnB= (2,4] 2.A= [xeR¡3<x<5]; B= [xenz*|1<x<4] AnB= ? Façamos a representação de A e B na reta numerada: 17
  26. 26. A n B = ix e JR¡ < < 6.4. FAÇA VOCE: TAREFA 10 i) I n JR = J) NO l Determine A O B em cada caso: k› «no I = a) ^ RE' 2- Í* 5- 557]. ; B = H' 'l' 1' 3' 5] 1) [2, 6] 01-1, 4] = Ji. ) . ... .. . . A = . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ' - m) 1-1. 71 i1 [2, 31 = .. .. . ... .. b›A= [xeN| x<1o]; B= [o,2,4,6] )]_31[m[_4 2]: A n a = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. " ' ' "J ''' '- c» 1-1. s] n io. v1 = c)A= ixeNIx>5]; a= [o,1.2,3] phhílyzjsü B= z A m B = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. A f] B = q) A 'l É = 45.. . r› A o A = s› A o U = t) AcB= › An B = u) A 3 s= › A n B = B 6.5. OPERAÇÃO SUBTRAÇÃO Sejam A e B dois subconjuntos de um mesmo universo U. Chama-se diferença entre A e B ao conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. Indica-se C por A - B U Podemos escrever: 18
  27. 27. Quando ocorrer B C A o conjunto A - B denomina-se complementar de B em relação ao conjunto A, e indica-se: A-B= CAB Também indica-se: U-A= CUA= à e define-se: Ã= [x| x§ÊA] Vejamos os exemplos: 1.A= [1, 2, 3,4, 5, 5]; A-B= [3,4,5,6] 2. A = [-1, 4]; B = [3, s[ B= [0, 1, 2, 7] Façamos a representação de A e B na reta numerada: A: -1 3 4 5 g E ¡ ê B : l 1 i 1 E A - B = ix e BI < x < 6.6. FAÇA VOCE: TAREFA 11 Determine A - B em cada caso: a) A = i-1. o, 1, 2. 3,41; B = i1, 3, s. 7. 91 b)A= [xeIN| x<7]; 13:( A- = io 5 c. 1] . . . . . . . . . .¡. ... ... ¡.. ... ..¡. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. c) A = [o, 2, 4, e, s_ 1o]; B = [1, 3,5, 7, 9] A - B = . ... ... ... . . . d)A= il,2,3,4,5]; B= [xElN| x<l0] h) A= [o, 1,2, 3,4, 5,5, 7]; B = (xeAIxépa: ] CAB = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 1) A = [-2, -1_ o, 1, 2, 3, 4]; B = [-1, 1, 3] CAB = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . j) A = [2, 51; B = 12. s] CAB = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . k) CRO = . ... ... ... .. . . 1) CRI = . ... ... ... . . . m) U= [xeNIx<2o]; A = [o, 2, 4, 6, s, 1o. 12, 14, 16, 18, 20] A = n›t_J= [xezI-4<x<s]; A= (-1.o,1,2] A = .. Í.. .'. .Ê. ... :.. .3.›. ,.. $., ..': !., ..§. ..à . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. o) U = [o, 2, 4, s, s, 1o, 12, 14]; A = [o,4,s,12] à = j_ L , (o lo (H j; . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .
  28. 28. 7. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQUÊNCIA 1 . Sabendo-se que . Enumere os elementos de U e de seus subconjuntos A e B, sabendo~se que: à = [2.5,9,13,1s,2o] AUB = [1, 5, 6, 9, 13, 14] B = (2, 6, 18, 2o] e Determine os elementos de A e B, sabendo-se que: à = [r, g, h, i] AuB= [a, b,c, d,e, r] A u B = [d, e] Ã= [5,6.s,9], Am3=[2,4] e AU B = (1, 2, 4, 7, 9] determine A, B e U. . Sendo à = [6, 7, s. 9, 1o], B = [1, 2, 3, 9, 1o] e A n B = [4, 5], determine A u B. . Sendo A = [-1, 4], B = ]o, 7[ e c: [1,6] determine: a) (A n B) - C b) (B ñ C) U A . Sendo A = [-2,2[, B = [1,5[ e C= [1,3] determine: a) Cam ñ C) b) (A-C)U (BNC) 20 3. 4. 10. Ã= [2,3,5] e ANB e A-B. Sendo U = [1, 2, 3, 4, 5, 6]; B = [1, 3, 5, 6], determine Determine, gráfica e simbolicamente os conjuntos: a) l-a, 2] n lo. 4] n» [1, m» u 1-3. 4] c) CBA; onde A = [-2, 2[ e B = [-2, 5] d) Ã; onde U = [2, 7] e A = [3, 7] . Mostre com diagramas que, B C à = A C B. Sendo A = 1-1, 3], B = 11, 5], c = [o, 9] e 1) = [s, 7[ determine (B - A) u (D n c). sEoüENciA 2. 1. Dados o universo U e o conjunto A C U, abaixo, determine, para cada caso, uma propriedade característica do UA. a) U = IN e A = [xlx é número primo] b)U=1N e A= [xIx= 5K, KEIN] c) U = [xlx é ponto do plano] e A : [x | x é ponto de uma reta dada do plano]
  29. 29. capítulo PRODUTO CARTESIANO 8. PAR ORDENADO 8.1. Com os algarismos do conjunto [l, 2, 3), podemos formar os seguintes números de dois algarismos: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 ou seja, podemos considerar os seguintes pares ordenados: (1, 11, (1. 2x11, 3x12, . .Lt (2, (2, (3, . .LL 13, (3, 8.2. FAÇA você: TAREFA 12 a) Com o conjunto dos possíveis resultados na jogada de um b) Com o conjunto dos possiveis resultados do jogo de uma dado, moeda: i1. 2. e] [cara, coroa) podemos considerar os seguintes pares ordenados que repre- podemos considerar os pares ordenados que representam os sentam os possíveis resultados para a jogada de dois dador: possiveis resultados na jogada de duas moedas: u. 1›. 11. 2x 12. n, <2. 2›. .<. .A, s). .,. L.2.. ,+t>. ,.. .t. A,e). .,. .<. &., .<, .?. ... .. 13. 1›. Ki. ,7.), .$. §., .à2., ..&. Í2,r! .?. ,.. Ç.. à,. ã.? .., .k. f›. ,.s. ).. ... <s. °.. <.= z&» &sat-sal- <4.1›. L.^. i,3.). .,. <:t, .à. > ( 01,52., ... e) (s, n. >. .,. .(. (6. 1). .(. .<e. ,..2,. ).. ,.§. e (Caran .99.›r.9.~. .,›. <_ç. <.t. r.9.. .› ç9.r. <.>.9.. _,›, <. ,n, .ci. r.c7.s-. t.› . sQeíQ-. .L 8.3. A observação dos exemplos permite caracterizar um par ordenado da seguinte forma: l) se a aê b, então (a, b) # (b, a) ou seja, (a, b) = (b, a) <= > 0. = ll)(a, b)= (c, d)= › a = c e b = oL 9. PRODUTO CARTESIANO 9.1. Dados os conjuntos A = ll, 2, 3, 4) e B = i3, 5, 7] podemos escrever o conjunto A X B, A X B = U1, 3), (1, 5). (1, 7), (2, 3), (3, 5), (3, 7). (3. 3), (3. 5). (3. 7). (4- 3)» (4, 5), (4. 7)) cujos elementos são os pares ordenados formados tirando o 19 elemento do conjunto A e o 29 elemento do conjunto B. 21
  30. 30. 9.2. FAÇA VOCE: TAREFA 13 a)A= [a, b,c] f)C= <[a, b,c, d]' Is = [ar . _ 1 D =1p] A ›< n = ice. . _.9,_›, (.12.. . . ao, 9.31 c >< o = t_. (.r. ›., p.). .,. .<. ..é›. ,. . ..? .,. .ás. ,.]a2.t. .(.9l. ..]a? ..) . ... ... .. b›B= [a] ' g)A= ío, 3, 6] A= [a,1›, c] B= (1,2,3i B x A = 1.se, .e, )., .á&, .la). ,.. §93.92.31. A x B = 1.. $.9., .s. ).. $.9,52,. §9,. à2,. $à. .à3., ..Éà, .à? ... c) A = u_ 2., n 3 B= i1,3,s¡ 1t›A= f2,4,6,8i A x a = it.1.. t1., .(. ›.. .31.. .(t. .§). ,.$.3.. .i1,s.3.2>. ..$3,5)] a = [a, b1 A X 5 = as): ( 5gb) (ql a); (qab)4 d) C = (1, 2, 4]_ . ... t . . . . . . . . . . . . . . . .p . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. D = ,L 3, s_ 7, a» c x o = 1t.3.. .t2.. .t.1,32_si_,22,. ç.1..13.. .s. s,à). ,.§3.s) n A = í1, 21 t. an. ,.t. .2.. ,3.›. .,si, .n, .19,32., .i.9,. :.›. ,s.1,n1 a = ;õ A x a = .. .só . ... ... ... .. . . e) A = [a, b, c] B = fp. q) x 1) A = Õ A x a = t. .te,31.. .(. ..,4.1., .sena). ..(et, .st>,1.ç.2ts. e..4>l a = 13, s. A x B = 9.3. Observando: 19) a) e b) você pode concluir que: AXB, ... .%. ... B><A 29) c) e d) você pode concluir que: ACC e BCD à AXB_____Ç___CXD 39) i) e j) você pode concluir que: A= Õ ou B= çz5 = › AXB= NÓ 9.4. Podemos agora definir: Isto é, 10. REPRESENTAÇÃO GRAFICA DO PAR ORDENADO. 10.1. Sabemos que qualquer número real pode ser representado sobre uma reta numerada (eixo). Nosso objetivo agora é a representação de um par (x, y) de números reais. Usaremos, então, dois eixos perpendiculares com origem comum; um para representar o primeiro elemento do par, que chamaremos abscissa, outro para representar o segundo elemento do par, que chamaremos ordenada. (sistema cartesiano ortogonal). 22
  31. 31. 10.2. Convenção: 1) sobre o eixo horizontal serão representadas as abscissas. 2) sobre o eixo vertical serão representadas as __o_¡_d_g__n_g_çi_g, _9_. 10.3. Representemos graficamente o par (2, -3). 19) Maream-se os pontos que representam 2 e -3 nos respectivos eixos (x e y); 29) Por esses pontos constroem-se as paralelas aos eixos; 39) O ponto de intersecção dessas paralelas, P, é a representação gráfica do par (2, -3). 10.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 14 l) Represente graficamente, os pares ordenados. a) (1, 21, (3, 51, (2, à, (à, 1› c› (1. -2›, (3, -s›, (2, à). (à. -1› V 'Õ . . 2, *1- l q _ 775 '. ' > x ' l É l , 1 -1 l 1,1 i-l. 2). i-3, 5›, 1-2. p, i- 5. 1› a1 (-1,-2›, (-3. -5›, (4,7), (--3-, -1› 23
  32. 32. 2) Chamando cada região do plano determinada por um par de 3) Represente graficamente, os pares ordenados semi-eixos não opostos de quadrantes, e observando os (O 3) (o _n (3 O) (4, O), (O, O) exercícios a, b, c, d, você pode estabelecer uma regra de sinal 29 quad. 19 quadrante 39 quad. 49 quadra nte (x, y) E 19 quadrante <= > x > 0 e y O 4) Observando o exercício 3) você pode concluir que: 05' y) e 29 quadrante : à x O e y O (x, Y) E eixo horizontal = › y = 0 (x, y) E 39 quadrante <= › x _g_ 0 e y ___ O (x y) e eixo vemcal ç: X = O (x. y) E 49 quadrante <= › x ___, _*__ 0 e y 0 10.5. Se P é representado pelo par ordenado de números reais, (x, y), escreve-se: É x: abscissa do ponto P y: ordenada do ponto P x e y: coordenadas de P e denomina-se: Os eixos são chamados: eixo das abscissas e eixo das ordenadas 11. REPRESENTAÇÃO GRAFICA DO PRODUTO CARTESIANO 11.1. Seja A= [1,2,3] e B= [-1,2] então, A x B = [(1, 4), (1, 2), (2, -1), (2, 2), (3, -1), (3, 2)] Representando graficamente todos os elementos de A X B, temos o gráfico de A X B. --ur---yv---a e--e- nen-n_- lsto sempre pode ser feito, desde que A C 1R e B C IR. 24
  33. 33. 2) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano 11.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 15 . . i T_ . e L. ;«, . C . ffLJ w __ . _ 7. 3 e - , t A B . l . l k [alt p R_ __ __ m x A B C A M w S O n x B X A S 0 n a . ü e m c -_.3 S m. -.2 u _ Au m r -1 D. 2 v. _ S . T O IJ . l 4 O e 7. . _ . m 1:4.. a 0 o v4 H e ; l y . m 4 0. 1_ . 14 4 C y . y › ñ K 3 . l.. 7. m nn3 3 . amv. m 2. . . _q _ 2a a . 2 31?, .IJ e C l _ _ 4 l 7. M S ÍLÍL r4Lr1L r4Lr1. Em __ . _ : __ : : e Nm A B A B A B m m a m o x) . l Observação: Se B é unitário, os pontos dc A X B estão em uma reta paralela ao eixo d) A = [IJ 1; = [_2,-1,0,1,2] Observação: Se A c' unitário, os pontos de A >< B estão em uma reta paralela ao eixo 25
  34. 34. 11.3. Considere o gráfico X Qualquer que seja o ponto P desta figura, temos y = 2 e x E [l, 4]. Enúo, a figura representa o conjunto Ux, y) I x E [l, 4] e y = 2] isto é, o produto cartesiano A X B onde: = [2] = [1,4] e B A 11.4. FAÇA VOCE: TAREFA 16 l) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano A X B. Determine os conjuntos A e B: 26
  35. 35. s s. o . m X n nm _m m A 74-4- . m. m »ihlkl . m. . m , _ _ B s l rio¡ V. V. m w A _ w A A¡ r w V. tnxkF|4É . O , _ d m AI . r a AI . .m u . .Mn 5 5 1 5 G. D. B O X P» À m M ir, m 4 o x) C . Í . l rn. . 35 . m 4 mm . .11. m . LJ . Bs 23 45 2. if. J 3m a y 17.. l _ ec 1.! . y O , . : __ z _ ; .an. .We : : __ . _ . m AB AB AB m¡ AB AB E wm w n. M , U Rm M M m b x; 3 O m. e . m x x n | O.m B, ax_ W_ x A ia m mm m , eo v . ü d m. .. Aula __ A _ 1_ w “m, m um t un m. . qm 0 Boa ¡IIII 3 . .. e _ w Í. o Am r e t ea. : m um m mà a . num w; .1.. ,a . mm M. M. .. ..m. + Jd. g8 _ a. elf, a , s em 1.. U 1.a” 0B 2.44 M, 41 ms [ÍL lraL . . flÍL RÍL IL] mw . _ __ . __ . m _. ._ __ _. : __ mm. AB AB W AB AB AB um. o w m o m, o . D. O c) A: ll,4[ B Observação: O gráñco de A >< B quando A c' unitário c B é um intervalo é 5+. . ízs3msn. C9.. ,'B! .e. Êf! e..44..9.299.#
  36. 36. x mm mm A mm . . n_ o i3 m. 3m . m . rw _p w À. , t. , miia m __ m . N : __ : __ : : m. AB AB AB 0 m. n w A¡ 5 E . Í p _ m _ s _ O _ . w 2 cs. _ , a . _ _ y a . s 1 mm mm m. A. . w A : __ : __ II . N E AB AB w ) s D m o sl I s' I 4. B . D C . w u E . m u t e _ Í. o 1 d 7x 7m m. _ a i. -a _ e mx 1 2 2 n a›A Al . .T A1* 1+ A! A A! d o Í¡ mm n. m.. O 0 pc 3 0 m a u m m a o m Cí. .J . J l ar. 1. 2] 2 2 m. M. .N. 2 »2 y y me y 2. m2. m m +. _+ . ..m UR Ri. . GI. . BR GR RR RR m e = : __ __ : __ __ __ : : __ t __ __ ow. AB AB AB AB AB AB AB M a D n. M , D . n. 28
  37. 37. W II i. ) IV É xJ › Í) 12. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQÚÉNCIA 1 1) Seja U = [l, 2, '4, 5, 6, 7, 8]* e seus subconjuntos A = [2, 4, 6, s] e B = ' [4, 5, e, 7, 8]. Determine: a)A><B b)A><B ocuxumxa) @Ãxí 2) Seja u = [1, 2, 3. 4. 5], A = [i, 2, 3] e B = [3, 4]. Determine os conjuntos e compare os resultados (acom- panhe com gráficos): BCUXMAXB) b) Xxí c) ÃxB d) AXB 3) Sendo A = Í-l, S] c B = [l, 3], rêpresente graficamente: &ÚAXB b)BXA C)(AXB)-(BXA) SEQÚÊNCIA 2 l) Represente graficamente (A >< B) U(B >< A) sendo A = [~3, 4] e B = [-i, 2]. 2) Sendo A = [-], 4], B = [2, S] e C = ]-3, 3], represente graficamente: a) AxB b)B><C c) (A><B)0(B><C) d) (AXlD-(BXC) 3) Sendo A = [-i, 3] e a = 1o, 5], a) complete (A x a) n (a >< A) = [oc, y) e JR x iRI . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .l b) represente graficamente o conjunto do item a). c) o conjunto do item a) é o produto cartesiano de quais conjuntos? 4) Sendo A = ]-2, 3[, a = [-i, 2[, c = ]-i, 5] e o = [i, 4]. determinar graficamente: a) (Axmñtcxv) b) (A><B)- (CXD) 29
  38. 38. capítulo RELAÇÕES 13. O CONCEITO DE RELAÇÃO R DE A EM B 13.1. Considere os conjuntos A = [l, 2, 4, 6, ll] B = [2, 3, 7] e a sentença: p: "x é múltiplo de y", onde x E A e y E B. O par (4, 2) torna a sentença p verdadeira, pois 4 E A, 2 E B e 4 é múltiplo de 2. Este não é o único par ordenado que torna a sentença p verdadeira. Temos ainda: (6. (. ... §_, 3) e Então, a sentença p e os conjuntos A e B, determinaram um conjunto de pares ordenados: R = U2. 2). (4. 2›. .. c.<. ›._. a). ,.. <.. .<. ›., .$.2.. ). como, A x s = i<i,2), <1.3›. ..<. .%. .12., ..<. &., .a). ,.c. &.. .5). ,s. .s, .i. ).. ,sm). ,.Çs. ,3). ,.çu. ,.. r.2., ..(. c., .2.. ) . ... .. 5.9:. .à). ..53.3.2., .§. $.! .,. &.). ,.(. .1.A. ,§. )., .(. A.l. ,.12.i. ... . temos: R C A X B O conjunto R pode ser representado pelo diagrama: onde cada flecha determina um par ordenado de R. 30
  39. 39. c) A = (1. 2_ 3,41; B = [2, 3. 4, s] p: uy<xn Reüzgújz/ z) , LH,7J, (5,5), K“.5), WHÚÉ 13.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 17 Dados os conjuntos A e B e uma sentença p, escreva o conjunto R determinado e faça o diagrama que representa R. Considere, em cada um deles, x E A e y E B. a) A = [_2, o, 3, 4, 5]; B = [-1, o, 3, â] p: “y é a metade de x" R = í<. ..¡. .,. :.. t.. .›. <. ..>í. ,.. ã42.. ›1 Diagrama: d) A = [-1, o, 1, 2]; a = [o, 1,14] p: “y = Ixl" R-, ítytñjoloõ kí, $)§ b) A = [-2.-I.0. 1.21: B = [-1, o, 1, 2, 3] e) A = [1, 2_ 3, 4, 5]; B = [-2, 3] p: “y= x+l" p: “xépaf” R : §(. ;,«ya~s_o)/ <o, .), < 1,1), (en) a . _ “tem, (LjLUL-Lõ/ um) 13.3. DEFINIÇÃO: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um conjunto R é uma relação de A em B se R é' um subconjunto do produto cartesiano A X B. ou seja: RérelaçãodeAemB : a RCAXB Os exemplos vistos em 13.1 e 13.2. mostram que uma sentença p pode determinar uma relação. Nesse caso, a sentença p e' a propriedade característica dos elementos de R. Assim considerando: A = [1, 2, 4, 6, 111; B = [2, 3, 7] p: “x é múltiplo de y", com x E A e y E B, podemos escrever: R = [(2, 2), (4, 2), (s, 2), (e, 3)] ou R = Hx, y) e A >< B| _x é múltiplo de y] 31
  40. 40. _ y r _ 1 . .a y m 9 › m mmh _ . fm u _ uuM II _ a s m , m n 3 51m 2 »M m o_ . ..na y _ u t. IJ_ L. Raa 2 J_ ( u _ L_ . mm 1, É L. u L mms , z. Í" . _ t" @um O Í" 1. 1. , _ . t , 1; à z" , à mam 1 i l u a n z. m , u . . rx . 1_ N 14. . mn 2, , ),“ . _ T oume 1 1 _11,/ X w. . 11,1_ Nr, H d l + ! Lx 1_ 3_ . L1 131_ l v, mr + + __ . . . l _ esa . ITI. ui_ . LJ _IJ . ..um + Mep . I. 5_ N. . L x( _ + 2 t_ S z m2 y . X X111_ X @Rm _. t, W. im __ WW __ , __ , Z __ d m» u 7. 3_2 4 m _ um , w e . .nNam IYÃW U ly H. s . m . u . m . n. m . m exmnt z z; m wpu mmmwmm õMdrm XD" x x/ _w x msm. . , 7.. 4,6 N . z za: R , cmdR R, R R, R, s n l _ . . u L . 201a er, e e m e ZÉ a e R , m É s nm n w n mmwn E3,_›2$¡D m . .mm o wfqlu y 5 y ; u . x) t, _ x! ) e H. . www m, at. r<x1 mméw 2 _r4 2. s o mm B _ (Í , JL ÍL_ ee 1.1 5. _ 4, . I.› 1.163 __ R . _ . . a_ __ __ __ __ = __ N s m. . w Hu 1x ( ( 1x 1x O “oz B; D. X MeR RR R RR RR R mmm _W 4,Xm A x) ) ) aee / d e . ... U . .n NU D IVD. A AU O 3 n I_ x74 é a F_ _ma . m R › C t. a n u u _ . v m . E w m m _ m . n m A hor m n m u D. _ M 200a 0 r . m u u 0 _ t O m u u u . Dr. u U . LJ ›O 0 U D. _ a 1.. J _ 7.36.3 d n u n u a IJ _ _(t C. . O S . s_ U n , L u 4 u E a a r. e B . r nt . o 1 11 __ _ m . m s . u D . ... .Den . D. c. E 3 . _ m m. ..) 3 m , , e h . LJ _ _ _ Ps O , _ A 21 ü 0 E 574V. 7.. _ _ . m 1 . LJ 2 . m rl/ wr , e , m m . .an 1_ 7 , n C if P m m 3 1B . LJ u] u . de r 6. l m I : ,MW t. t. .. A a 5 H4V. Xm. am 21.1 14 u _ F = ob n . m 0 0G y m u u N dh _l Ano 0 m . A BRIZ e m. . 1.6 Ly 4amsemnne mai. . , m 1,11m R rum a e . y m . . m S_ 2,1 .2 u r. S r4_LX mrke 37V. m | .›V. ,m 2uV. .WWÍV. rÍm. .JLXW G 4D. .. . .a __m m __A rn. .. mrJOLC mr. _Le ! tem . _+ . .é __ __ m O LMOWX r. d o; e m n. r Ym a BC m BÉ. ,. __ n : X . u . .M um BW BIV. Dim _A @A m. m sx; XMBAMYÉNNE mm B ; B Dm C 3dme . m . . . .. . . . . . . LJ n s 9 ua ›7 m1.) _ Em X m . rx lmLnX 6X . ..X u A A/ .Bmd m amü«. ,2m, x, mj; eu0A , A , nas T , xoo m . m a m , C m . .. MLM, m 5m sn l 5 y m N 1 C muÍwrmnmwomwzmwmm . .amam 4m : mw F_ iAsmB. s mui. . _ 3.o. . Lui. 3,". umswy 3,v, . qua. . = Cm. m.X m. mmmmm. .. m, "xm0,xm2.u_ m, u,üm2,ü R . .ARewA m CC . .a _ . .X n 2 n y| u P_ Em. . 4rqL_ rÍ . .JLn . .Mb m D. se 2, _2_ m , <m1__ m . .e_ Et . h y . 1 n D. S e l Ed _e _ __ . l _ _ "rdL. _ M 2._ _.1.: .. . _ E .1. md ü S Lmiwí 1.y11.y.1.y. .. .x . nada . ,_1_R__. 1a. .. R e. eu oA o e = r : : A = __ L : __ n __ r : c : __ m c i . . . . . . . . . . , . e . .owApR APR APR XPR MPR mAeRAeR CeR 4_ 1. um M mo w o m o u o w o 1 M Rm. o 13.4. FAÇA VOCE: TAREFA 18 pontos (assinalados), representam seu subconjunto R. 32
  41. 41. X 1% 47. 5.11 4. _ _ 2. _ , _ 1 l. «M11 . N31 5 y 11, L y O 3 . , 0 a. , 1. _ 1. 4 a, y_. , rqL _ (lt BF? , : ll . ..LJ x X 11 . k1k 0 . , . _ B< 2. B< , Muy ny _ 1y 2.B .1.ry. B 1MB 1.x 5.x n 7.x . A 4A 5A 0.5 2,5 3,5 1_1›v, . 0.0. LW 2. x. 1, x, 2, x, _I _lux . r rJLII. [IL [IL : __ : = __ __ AR AR AR d, M 0 m m, .N. 1 % Q/ y . LJ C y 3T! b w a, . u 7 1 x m 6, 1_. e y m s, o, d. . 4 . s y l 9 . ..A 3 r. .L . l B 2. : M x 1.1x; B] A (.17. V. E R m __ __ nn __ ?14,_T L, 4 . m. m any 2.a r+r ; Er , m . .B . .._za _ n¡ 1X u X U 1m/ t1 . A1 . E . m. 5 1 , _ C M. 4yA Oy A a a_ _ O e . . »E e "t. t/ ,_ v y o 3 › y. › l. . Tr r m s yV. . V. , À a m 2 , , ç r. a y X. . 7. X A WM Hthu I_Lr. (1 r . e .1 , E F R C _ __ L : __ 2. m AR A R 4 ) ) . A › qu, .t 1 Dn a . .D 14.3. Sejam: [l, 10] = [1.5]; A R = í(x. ymA><B1x= yl Neste caso, A X B é representado por um retângulo: onde os pontos (assinalados), representam alguns dos infinitos pares da relação R: (1, l), (2, 2). (3. (4. . . . .). , 5)- (12 . ..) e 33
  42. 42. Mas, para representar a relação R, temos que representar todos os seus pares, e obteremos: 14.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 20 Represente graficamente A >< B e assinale seu subconjunto R, em cada caso: a) A= [1,5]; B: [1_ 10] d) R: l(x, y›G[-1,+o<›)xIIlly=2x- Il e R= Í(x, y)EA><BIy=2x] c) R í lwylemyx lRly = X2] b)R= l(x, y)ER. ><R+ly= x2) v Y c) A= [1.5[; 13:12.41 t) = tx. y› >< . +°°. v=x e R= [(X, Y)EA><BIy: xj _Rí em 12 H 2) (a extremidade do segmento que não perterlkcc a R. deve sç3r representada por uma “bolinha vazia": g_í_o ¡ indica que A e R c B g7; R. ) Í 34
  43. 43. g) R: [lx. y›É(-oo.7]><lR| _v: -x] i) R= [(x, y)ER><RIx=2] li)R l(. '. yIER>lRl, V›x+lj j)R A i1x, ,v›eA><Bly = zlonde l-3. 2[ c B -. [o, sl 15. DOMl-NIO E CONJUNTO-IMAGEM 15.1. Considere a relação de JR em IR: R = m. sui, 3),1-1, 1x13. 2x12, 7)) Como (l, 5) E R, diz-se que 5 é a imagem de l pela relação R. ou, em simbolos: 5 = R(l) que se lê: “5 é igual a R de 1" ou “5 é a imagem de l por R", Assim: l l : R(7) porque (7, 3) E R = R(-l) porque (91 A 'dy' e i( 15.2. FAÇA VOCE: TAREFA 21 lãscrcva simbolicamente, qual C- a imagem do 2 nas seguintes relações: u) R, »e [11. 2x12, 3). 13, su: R¡(2l = c) R3 = ltx. y) e IN x lNly = Zxl = > Rat? ) = _ ~ l/ . 1 a Ri") ' ››››› d) R4 : [lx, y) e IR x JRIy = -Il= > RM) = b) R¡ = (1-i,5). <3, 2),12,-7), <2.7)l = › ou RM? ) = _ c) Rs = lu. yielN x JNly m/ Tl: atencao! (em uma relação, um mesmo elemento pode ter mais de 'umu imagem) 35
  44. 44. 15.3. Sejam A = [1, 2, 3, 4] e B = 2, -2, 3, 5] Consideremos a relação de A em B: R : 2)» (39 2)› (39 '2)› (4a Podemos separar o conjunto dos elementos de A que aparecem como primeiros elementos de pares ordenados de R. Temos: [l, 3, 4] C A E o conjunto dos elementos de B que aparecem como segundos elementos de pares ordenados de R. Temos: (2, -2, 3] C B Ao conjunto dos primeiros elementos chamaremos domínio da relação R e representaremos por D(R). Ao conjunto dos segundos elementos chamaremos conjunto imagem da relação R e representaremos por Im(R)› Assim, para a relação: R = [(1, 2), (3, 2), (3, _2), (4, 3)] temos: D(R) = [l, 3, 4] e lm(R) = [2, -2, 3] 15.4. FAçA voce: TAREFA 22 l. Determine o domínio e o conjunto imagem para cada relação: a) A= [1, 3. s. 2]; a= [1,2] e R = [11,1›,13._1), <s.2›] _ Dm = l. ..*. ..1.. §.. ... ?.. ..]; 1mm : . ... .. . .l J b) A = [1, 2_ 3, 4, s, e, 7_ 8] e R= l(x. y)EA><A| y=x+2l Dm = Lê. .é. i.. ?., ..1,. .ã. ..sa. .]; 1mm e ã. .:. .§. ,.. ~.. ..2.. x.. ] c) A = [-1, 1, 2, 4, 5]; a = [o, 1, 2] e R = [(x, y›eAx Blyàx] Dm = 1mm = a) A = [-2, -1, o, 1, 2, 3]; 13 = [-1. o, 2, 4, s] e R = [(x, y›eAxBIy = x2] Dm = L: .Ê.1.F. '.1.. F.. .., ]; 1mm › l. .9..1.. f.* . ... ... . . .l e) A: [-1, 31,0, 1, 2] e R = l(x. y)eA>< Aly = IxIÃ' Dm = l7.. *.. ..9.. ..* . .ê J e 1mm = . ... ... . . J Il. Determine o domínio e o conjunto imagem de cada relação: a) R= [(x_y›e N><Z| y=2x] Veja: R = (to. 9.. .). 11. 12. 1411111). 1.ã, ... t.›. ... ›. 1.*. !..8.. ..›, ... ] Observe que *v* x E IN, 3 y E ZI y = 2x, isto é. qualquer elemento de N tem imagem em Z. Portanto: D(R) = lN 36 f) lÍverdadequeVyGlÉlxEÍlN| y=2x7 _n05 ________ __ Como deve ser y E Z. para que exista x EIN com y = 2x? y deverá ser um número _Pcujgva __________ _ e _____ Portanto: 1mm) = l9,41,. .H. ,.ta. ,.9.¡. ... .-. ... ... ... ... ... ..J R= l(x. y›er~1>< 1Nly= àl Veja: R = í<. .q, .9.. .›. 1.. e., .1,. ›. <. .H. ,.. z.. ›. <. .c. .,. .a. .>. ----- ul Observe que.5 por exemplo, x = 5 não tcm imagem em N, porque y = -2- não é um número natural. Então 5 Ç D(R). Dm = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Im(R) = .l. a., ..l. ,.. a_. .3.. ,.. a.¡. ... ... ... .]. ..; ...1t4 . ... ... ... ... ... ... ... .. . . R= í(x, y›en~1><n~1Iy= x-s] Dm = .t. §.. ..c›. .,.1.: .x. .a, R= [(x. y)GllJ><]JlIy= x+2] D(R) = .L. q., ..t. .,. .2., .5.. .s. ,..5.. ,., .. ... .. l.. ... :.. .1N . ... ... ... ... ... ... .. Im<R)= i. L., ..: ›.. ,.s. .,.5., ..1.. .,. .1._ . . . . . .J . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. R = (u. ,wezx INIy = x2] D(R) ? Zé . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 1mm = .Í. .Q. ,.l. ... s.. ..9.. ,..1.e . ... ... ... .. i . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. R= [<x. ,v›emxn2I, v=x+2L~ D<R'›= ..1R. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
  45. 45. =x] b›A= [1,s[; B= ]2,4] e R= Í(x. y)EA><BIy = x2+1? : a/x-S] L *C 7/ h)R= [(x, )&G]R><1R| y=x2] D(R) = .. . . lm(R)= *à t; R- i) R = üx, *kem >< IRIY D(R) = Im(R) = j) R: í<x. )e xJRIy D(R) k) R : [u, ?Êrtínêlxq = ÂíÂÍíÊÍIÂíÍÂÍÊZÍíÍÊÇÍÍIÃÍÍÍÍÍÍÍÍÍÂIÍÍÍÍÍÍIÍÍÇÇÂÇÇIIÍÍÍÃÇIÍIÍÍÍÇÍÍÍÇIIÍÍÍZ D(R) Im(R) III. Represente graficamente A X B e seu subconjunto R. Em seguida determine o domínio e o conjunto imagem de cada relação R. Observe. pela figura, que: a) A: 11,51; B: [1, 10] e R: [(x. y)EAXB| y=2x] e 3 ZA ] 3 L, u] x V(x, y) E R = › ía Portanto, Gráfico: D(R) = Im(R) = B: 1-4, -1] i<x, y)eAxBIy= x-5] R c) A = [1, sJ; C x-_1=›y=2-1=2 ¡gêA= ›(1,2)$R a) A = [1, 4[; B = [1, 6] 1o 2-5 X e'R= [(x, y)eA><BIy= x+1] :5== >y 5 EA 1o g: (s, 4°) É R E B Observe, pela figura, que: X611. 5] Vix. y)ER= › c ye]2.1o] Portanto: = 11.5] D(R) t' Im(R): ]2, 1o] 37
  46. 46. e) B = [3, 81 Im(R) e) A= [-s. o1; e R= [<x. y)eAxBIx+y=3] D<R)= ..[. ... _ r) A= [1.4]; B= [1.a[ e R= [(x. y)EA><B| y=2x+1] Im(R) D(R) = IV. Dadas as relações de R em R, através de seus gráficos, determinar o domínio e o conjunto imagem de cada uma: x mm mm Dm DI 'R __ D(R) = Im(R): D(R) = D(R) lm(R)= Y a) 38
  47. 47. 15.5. Podemos definir formalmente domínio de uma relação R de A em B. D(R)= [xêAI3yeB com y= R(x)] 16. EXERCÍCIOS DE REVISÃO e o conjuhto imagem de uma relação R de A em B: mai) - ty : ea i-aíjxly! ” 'com y = nos); Decorre da definição: D(R) c A e Im(R) c B sEoüeNcIA 1 1) 2) 4)R= l(x, y>EA><B| y= “+41 onde Represente graficamente as seguintes relações, determi- nando o domínio e o conjunto imagem de cada uma: R= [(x, y)eAxe| y=x+1] onde A= [-2,-1,o, 1, 2] e B = [-1, o, 1, 2, 3] R= [(X, Y)EAXA| y=x-1] onde A= [1,2,3,4] R= í<x, y)em><RIy= x+2] 3 A= [-1,4] e B= ]2,5] R= [(x, y)EAXBIy= x+2]' onde A= [-2,4] e B= ]1,4] 6)R= [(x, y)E]R, ,XR| y=5-x] R= [(x, y)EA><BIy=2-x] onde A= ]-2,4] e B= ]1,4] 4)R= [(x, y›emxRIy 6)R= [(x, y)E]RX]Rly seoüemciA 2 Determine o domínio de cada relação: 1›R= í(x. y)eR›<RIy= 2] x-l 2)R= l(x, y)emxIRly= -x,2+(¡] 3)R= [<x, y)e1R›<mIy= -,-¡ X_+ ! I to x + ›- na 5)R= l(x. y)G1R><R| y=x/ '_fx-] II hà X N l ›- 'w-' 39
  48. 48. APLICAÇÕES capitulo OU FUNÇÕES 17. O CONCEITO DE APLICAÇÃO OU FUNÇÃO 17.1. Consideremos as seguintes relações, de A em B, e seus diagramas, onde: A= [l,2,3,4] e B= [3,5,6,7] A B En' 1 3)_ f) = ((1) 3), (2. 5), (3, 5). (4. 7)] A b) f) = (u, 3). (2, S). (3. 5), (1. s). (4. 6)) A B c) fa = [(1, 3). (2. ó). (3. 5)) . A _ _ Examinando o conjunto A, em cada caso, temos: a) em f, , cada elemento de A tem imagem em B e só uma. b) em fz, cada elemento de A tem imagem em B, mas o elemento l tem duas: 3 e 5. c) em f, , o elemento 4 não tem imagem em B. As relações de A em B que se comportam como fl, em relação ao conjunto A, são chamadas de funções de A em B. 40
  49. 49. 17.2. FAÇA VOCE: TAREFA 28 c) A = [1, 3, s, 7]; B = [2, 4,6, s, 1o] e r= [<1,2), <3,6), <7.2)] Faça o diagrama para cada relação e verifique se se trata de uma função de A em B. A a) A = [4, 2, 4, 6]; B = [o, 1, 2, 3, 4, s] e f = [m, o), (2, 3), (4. o), m, 4)) ff? ” função de A em B porque_ tem ; ma-arm cm Ó d) A= [-1,o, 1,2); a = [o,1,2,3] e ¡'= I(x, y)GA><B| y<x) z r ° função de_ A em B porque âr. <.*. .'e. .f. 'í. ms. ttâí. éi. fl É: b) A = [-1, o, 1, 2]; B = [-2, o. 2, 4] na; c' - C É e f: [mi y) GA X B” z 2X) t' funçao de A em B porque 09 c. ;meu os . i"a"a"': ;a. ta. .. . ... as. m . .. e)A= [1, 2,341); B= [3,4,5,6') e r= [<x, y)eA><BIy=5¡ A B *lí* V' r runçao de A em e porqueñ. f<têf. e.. .sfsrrs. r~fe r runção de A em B porque . mia “want . . 5.9.. flsecte. ãle_zés. _sm. .é. né«a . efsnzs. .~. fa. .ás. .ê- de! ! . kar 933 . ... ... ... ... ... . . ñ. . ... ... .. 17.3. Examinando o domínio das funções, você verifica que, sempre, IEE, porque todo elemento de A tem imagem em B. No diagrama, de cada elemento de A sai uma flecha, e uma única flecha, porque cada elemento de A tem uma única imagem em B. Podemos agora, definir formalmente uma função ou aplicação de A em B: Um conjunto f é uma aplicação ou função_ de A em B se for uma relação de A em B, tal que todo elemento' do conjunto A tem uma e somente uma bnagem no conjunto B; ou seja: fé função ou ! MC A X B (fé uma relação) aplicação de A em B e 2)VxEA,3|yEBIy= f(x) 41
  50. 50. 17.4. VERIFICAR SE UMA RELAÇÃO DADA É FUNÇÃO Seja: f= <[(x, y)E lNX ZIy=2x] Temos: D(f) = lN = › todo elemento de IN tem imagem em Z, isto é, qualquer número natural tem seu dobro em Z. Além disso, cada número natural admite um único dobro. Assim: f C IN X Z. e VxElN,3|yEZ| y=2x Logo, f é uma função de IN em Z. 7.5. FAÇA VOCE: TAREFA 29 Verifique se são funções: a) r= [(x, y)en~1xw1y= x+ 1] D<f)= ..JN. ... f . ... . . . função de ! N em IN porque . ... ... ... ... .. . . b) f= [(x, y)EN><N| y=x-3] DO") = f . ... . . Í . ... .função de IN em IN porque . ... ... ... ... .. . . c) f= [(x, y)EIRx lRIy = x] Da) = f . ... .. ef . ... .. função de m em IR porque . ... . ... ... ... ... ... .. . . a) f= [<x, y)enx 1R| y= *: '] Dm = ” função de IR em IR porque . ... ... . e) f= [(x, y)ER*XR| y= x+ll D(f) = R' _ ' _ç função de JR' em IR porque ; C Rj¡ IR¡ e f) f= [(x, y)e1f<. ><m. Iy= x/7] off) = f . ... el. função de IR. em IR. porque . ... . . ... ... .. . . 17.6. Consideremos uma relação dada por seu gráfico: 42 s) f= [fx, wennx IRIy“= x] na) = .. .fita fmdo. ..çí. função de R. em IR porque . çzççat. çm. ..c. :.. h) f= [(x. y)ElR><1R| y= Ixl] D<r›= ... 'Q f) f= l(x, y)emxmIy=2x+1] mf) = .. .@. .. f . ef . ... .. função de IR em m porque . ... ... ... .. . . j) f= í<x. y)em›<m¡y= x1+1] D<f)= ..R f ____ função de JR em IR porque k) f= Rx. WEJRX lRIx = Iyl] D<r›= ... ®.. ç f função de IR em m porque 1) f= [fx, y) els, m) >< my = x/ x-a] D<0 =
  51. 51. Temos: D(f') = IR, isto é, todo elemento de IR tem imagem em lR. Além disso, cada elemento de lR admite uma única imagem em IR. Logo, este é o gráfico de uma função de IR em lR, pois: fCIRXlR e Vxe IR, EIIyEIRIy = f(x). 17.7. FAÇA VOCÊ: TAREFA 30 Verifique se são funções as seguintes relações dadas por seus gráficos: a) v d) v Dff) > Du) = .. ... ... ... ... ... ... ... .. f f função de em IR. porque . ... ... ... ... ... ... ... .. . . f . ... ... ... ... .. função de l-I. m) em IR. porque . ... ... ... ... .. . . / I . . em IR, porque . ... ... ... ... . . . l l I l | I i *I _m3 DO) = .. ... ... .. em 1P» PONIW . ... ... ... ... .. . . f . ... ... ... ... .. funçã° de . ... ... . . . em R) 90H11”
  52. 52. s) h) - > X DU) l= nm : f. fun ão ue em m, porque . ... ... ... .. . . f 33°» t' função no em IR. porque . ... . . . to ____ . . . . _ . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 17.8. NOTAÇÃO A icliçãf) l' (lx, y) E lN >< Il y t 2x] por ser função, pode ser representada por: f: lN-›Z x›: ›y:2x qlla' se Iú: 'j/ i 5 uma aplicação de W em Z que associa a cada . ' E W, um y E Z, dado por y = 2x. " De maneira geral, se a relação f C A >< B e' uma função. escrevemos: f: A B x ›~-› y f(x) 17.9. FAÇA VOCÊ: TAREFA 31 l »c :1 ! rotação própria para representar cada função do 11cm 17.5 (só : is funções). f) IQ). -)IR9 7L+l Y-'_""'à= m 11 mfiN-*N h) íilR/ "ÚR *"“>"› 75'? ) ; ci-da j; lx. l _ç-_IR-#Q ki) 1) if-, Lâ 7út--›à~. Z,-; ç+1 X , ;À'R*"'R' i) g, xo-»u¡= x+1 x'_°7°x+1 44
  53. 53. 18. A CORRESPONDENCIA BIUNIVOCA - FUNÇÕES INVERSAS Veja estas funções de A em B definidas pelos seus diagramas, vale dizer, pelas suas fotografias. a)A= [1,2.3,4] b)A= [l.2,3,4] B= [3,5.7,9] B= [3.5.7.9] f¡ = l(1. 3). (2. 7), (3. 5). (4.9)l i2 = [(1, 3). (2. 9). (3. 5). (4, 7)] Onde se vê que: A cada elemento de A corresponde úm único elemento em B e cada elemento de H é correspon- dente de um único elemento de A. Dizemos que funções desse tipo (f, ou f¡) definem uma correspondência biunfvoca entre os conjuntos A e B. Ora, é fácil ver que também são funções de B em A as seguintes: que indicaremos por fíl que indicaremos por fg' ou ou fr' :10. tus. 3). (7. 2). (9. 4)) F5' = ((3. n). (s, 3). (7. 4). w. 2)) Veja: Veja: f, CA><B 1gCA><B fflCB><A rglcBxA Dizemos que: ff' é uma relação chamada função inversa de f, ._. e lg* é a , finzçãzi inversa de f, 45
  54. 54. 18.1. FAÇA voce: TAREFA 32: l. Com os conjuntos A e B. dados em cada caso, complete dois diagramas: 19 Aquele que define a função f de A em B. 29 Aquele que define a função f" de B em A. Quando não existir a inversa diga por que, a) n = l«. .i. ... &.. ›. mais). (. ..3.. .!. ›.. ›l f. "› l<. .;. ,.. f.. ›.f. e1., .z. .). f.. ç., .ã. )i b) ›4 › < A B -1 ; l , l(z,1), <u, a), (1,s), tam] c) Q Q jçâl Lnvcr/ .xa 4,285. sobrar-g: o çecmewtof CV" Q Q. -1 ; H não sara'. função ) mas : spams 01016. ftlgçíg d¡ B "n n f: = i<. .*. ).. *.. ..), r. ê.. .ê. .), <. ã.. §.. .)] 46
  55. 55. 2. No exercicio anterior dois exemplos admitem inversa. Complete, então num mesmo diagrama cartesiano os gráficos de cada função e sua inversa. Trace a bissetriz do 19 quadrante e tire suas conclusões. (Desenhe os pontos de t' numa cor e 0x da inversa em outra. ) B 7 _ 6 5 4 3 2 _ 1 . f- 1 1 r 1 1 1 l' 1 2 3 4 5 6 7 A f¡ e n" f¡ e f; 3. Coloque V ou F conforme as seguintes sentenças sejam verdadeiras ou falsas: a) Toda função de A em B admite inversa de B em A l l b) 3 f de A em B que admite V¡ dc B cm A ( ) c) Se l' de A em B é função, então 1"' de B em A é sempre uma relação 1 ' ) d) Se entre A e B está definida uma correspondência biunivoca, então existe l' de A em B. o V¡ de B em A ( ) e) Toda correspondência biunivoca entre A e B define f e 1"¡ como funções inversus l ") 18.2. CORRESPONDÉNCIA BIUNIVOCA E FUNÇÕES BIJETORAS Consideremos A e B e f: A -› B conforme o diagrama seguinte: f** É admite 3 seguinte > 4 inversa: f~1 A B f = i(1, 1), (2. 3). (3, 7), (4, 5)) f" = l(1. l), (3- 2), (7, 3), (5, 4)] Sabemos que 3 uma correspondência biunzyoca entre A e B Então definimos: A aplicação f de A em B se chama bijetora. mais precisamente, díriamos: f é uma aplicação bijetora de A em B, quando e somente quando se verificam as duas seguintes condições: 19: VyGB, HxGA talque (x, y)Gf 1 29: Dados x¡ e x¡ E A com x, ;é x¡ então f(x¡) i f(x¡) Í| 47
  56. 56. Grañcamente corresponde a dizer: -una-p E. . 1 A e I e __ a w I ãxm y __ . .D mx _w  . NW a l _ . l meu W. WBWMOM. ;= .. _ 0G u¡ x x "Lu a), =,b y _. rylé 3 _. Wayo s à V X334 e 1.x n B van¡ B 2g E B EMX › v. ,. ., Yq$o v 1 arm. X 3txL r f tl --. y.í----_--| e e a xvz, V). 3 x. x, v. A Nx ¡Ix . .m H A z o R v. .. Asvzfa A E 1:¡ S Ea . u T x b xm__b ul p ¡lé n¡ 3 y m 3 yo . m. à e , e x y : M O B um. e B VHF. V e 4; m e o, A y m y #n m V X C uv »ML F 3_ 8 1 a . .. m . m. . .m M. .. f ) b a m u a d a_ C e s a . m. d e B n . 14 D» ou . MA . I . .o . . u 3.3.1:: o mMée . wuou La dftma. . . .o. sauhdr_ t ed no ». e ».11 . u la . mcmeüh. .. .D ueg b 11._ Mamma 1,. . . Aim. m V" s l . mmmío. ,É . th . ,mmWBé gomes . u mdcma . Lf ol NO0T® u oxqnñoxm 123 48
  57. 57. . m , m d . m O. . s m . m . a com d u . d A Rm m m » u T v . ..w m . m. m_ RM( a B z_ é, E u a m V . m o m A. A . m . % m B E n x. . v . I . . _ N m m f I _v R o b A ›g . A u . a m +W C. .wd M RM . . F a m n . th. . E e a_ D 4 n a m D m m a . Mm L m m mm a . Ê H s m. . A @w m 5km 0% c É a . - Imã . w m N qd f . n . Ju n n . u "WW o m . e À . ..L f. .P. f. C É . M É . o O V m. D . H l m w w Tomemos um exemplo: seja a função: f: IR -› IR x-› y = x - 2 49
  58. 58. l? etapa: Verifica-se se f é bíjetora a) Vy E R, existe x E R De fato em y = x - 2, para qualquer valor real de y o valor de x também será real. b)x¡ #x1 = ›y¡#= y¡, pois x¡ -2#= x¡ -2. Então f é bijetora. 2? etapa: Troca-se x por y na expressão que define a função e teremos: y= x-2 resulta x= y-2 ou y= x+2 Logo : f; ]R-›IR : í-A f": IR-›IR x›-›y= x-2 xo-›y= x+2 19.2. GRÁFICO DA | NVERSA Dada a função bijetora f: A -› B x›-› y = f(x) e sua inversa f": B -› A x-› y = f'“(x) ICITIOSZ a P= (a. b>er = ~ P* = <b, a›e . ... .. Localizando P e P' no gráfico: P e P' são simétricos em relação à bissetriz dos 19 e 39 quadrantes, a reta AB. Isto @E1513 e PC = CP'. 19.3. FAÇA voce: TAREFA 34 Desenhe, num mesmo sistema de coordenadas, f e f* assinalando com um ponto os elementos de f e com uma cruz os de f". Desenhe também a bissetriz dos 19 e 39 quadrantes. a›A= [12,3,4]; B= [3,5,7,9] e b›A= [1,-2,7]; B= [1,3,5] e r = m, 3), (2, 7›, (3, s), (4, 9)] r = [u, 1), (-2, s›. (7, 3)? ¡-i= [(õl¡)/ (9›2.3¡(5¡3), (°$, ~4) ] , ~_1:[L1,IU, (S, -LB, 53) ] NUÀUTMNJDCD 50
  59. 59. c) A = [o, 1. 2, 3]; B = [4, o, 1, 2]; e e) A = [-2, o, 1, 3]; a = [o, 1, 4, 9] e f= l(x. y)EA><B| y=x-1l f= Í(x, y)EA><B| y=X2l “ r = i. .t: .&. .a. ?.. .<2,.2.? .,. .§.4.. ..›.2.. .A. .ã. â?. .. .l r-I = t. í9,. :9.. ..<. e.. «z. ›., ..53..3.1,. .$. .íã. à3.. ..1 d) A = í-2.-1.o, 1,21; a = i1. 2, 3. 4, s] e r = [<-2, 2), <-1. 1›, (o, s). (1,5), (2. 4)] r* = í-áaç. à1,. s..4.. .:. s1.. ..í. à..9.? ... .<é. ..t>. ..í. %t&l 19.4. A observação dos gráficos do item anterior nos leva a concluir que o gráfico de f" é símétrico ao gráfico de f, em relação à bissetriz dos ângulos dos 19 e 39 quadrantes. Assim, considere a fun- ção bijetora f, dada por seu gráfico: Temos: f: [-2, +470) : › IR, y f bijetora = › 3 f" e f": R, _› [-2, +99) ' f” / Para se obter o gráfico de f" é suficiente traçar a bissetriz dos 19 e 39 quadrantes, e desenhar a figura símétrica a f. 51
  60. 60. 19.5. FAÇA VOCE: TAREFA 35 Determine, por seus gráficos, as funções inversas das seguintes funções bijetoras: r-l: .ÍÍÉÍÍêlfÍíÍÍãÍíÍÍãfffãféÍÍ. ... ..31.- 20. O CRESCIMENTO DAS FUNÇÕES 20.1. Observa-ndo a função f, dada por seu gráfico e considerando dois pontos de seu dominio: X¡ e X1, vemos que: x2 > x¡ e f(xz) f(xr) Isto ocorre para quaisquer outros dois pontos do dominio e porisso podemos escrever: Dizemos, então, que a função f é estritamente crescente. 52
  61. 61. 20.2. FAÇA VOCE: TAREFA 36 c) f Verifique se as seguintes funções são estritamente cres- centes: X a) y f f mãsésmtamente crescente porque . ... . d) X y f l f estritamente crescente porque X vn, x2 e um b) . 4 f *Stfítmenle Cremer! ” Porque . ... V . ... . ... ... .. f e) Y * f X Í . . . Êlelítmmenw 0198081119 P011!” 353m6 f . ... I!&2.. Ç'°Stf¡t3m°n'° 0193031113 90111113 @QP/12. > 'M e _füul < km5. ____, ,_§2_g_5) 114.) xi c gçnn . ;(1,0 20.3. Podemos estabelecer as seguintes definições: I. Funções crescentes a) f é crescente se, e somente se: Vx¡ E D(f), Vx, E D(f), Xi > X2 à fÔíi) > “X0 b) f é estritamente crescente se, e somente se: Vx¡ E D(f), V x, E D(f), Xi > X2 = ° f(x¡) > f(x2) II. Funções decrescentes a) f é decrescente se, e somente se: Vx¡ E D(f), Vx¡ E D(f), x¡ > x, =› f(x¡) á f(x¡) b) f é estritamente decrescente se, e somente se: Vx¡ E D(f), Vx, E D(f), Xi > X2 à für) < “X0 53
  62. 62. III. Funções constantes f e' constante se, e somente se: Vx¡ E D(f), Vx¡ E D(f), x¡ = f= x, =› f(x¡) = f(x, ) Qualquer função que se enquadra em alguma dessas definições é chamada monotônica ou monôtona. 20.4. FAÇA VOCE: TAREFA 37 Classifique, quanto ao crescimento, as seguintes funções monotônicas: a) d) f Y Y X X f f é . ... .. da. <.. i.c. a.c. .e. .z›. t.c. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. porque f é . ... sslcáfmmQAÊQ. .Á§. QZQ. §$$IEÊE; .. ... ... .. porque . ..! [.1r. .›. ,:s. a.. §.. ..9t. ;I. ... ..15.1..2.. x24.. ..n. .§. (.s«. s.). .§. ..f. Él-k) . ... ... . b) e) V v f r X X f é . ... ... .<: ..rzz›. r›. i.n. .ze. f.c . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .porque f é . ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. porque . ... fa. .t. ,.. x.. c.. ..§. ... §.(. $.). .., ..s. .i. .aé. ..zs. s.. .mgísilssçfx= - c) Y V f X X f é . ... .MÊMLÊQm. c.n›tc. ... .ç. flâ. r.cmü . ... ... ... ... .. . .porque f 5 wii-rf¡-ÊBN-%IMÊ~. ME. %.'= ê.YYÊ . ... ... ... ... ... .. Porquv b) 54
  63. 63. 20.5. A função cujo gráfico é: não e' monotônica. Neste caso, podemos examinar seu comportamento, quanto ao crescimento, dividindo seu dominio em intervalos em que ela seja monotônica. Temos: D(f) = IR No intervalo (-c<›, +2], fé estritamente decrescente, porque Vx¡, x¡ E (wo, +21, x¡ > x¡ = › f(x¡) < f(x, ). No intervalo [+2, +°°), fé estritamente crescente, porque Vx, , x¡ G [+2, +°°), x¡ > x¡ = › ___________________________ 20.6. FAÇA VOCE: TAREFA 38 Examine as seguintes funções quanto ao crescimento: a) ? v 2 vi . .AJ r u. izol 'a Lat/ um* -2 2 x 'YWoVM/ if( 15 v “O 'VLX n" t 'i “ p f', 3Lx. [:c1 b) 'v . a L W( ' Ylo _ntcruaís (r »zg 1], § c L/ :Lbwtd 'VWCYMÍÊ iã<ltocõwtt 71m h/ tell/ QCC z _ " ~W e . entre ; Q7Vl: /1E ctqeacxnl? c) Av ' L L t F [ ( (ÔLuLQ'y/ ,&^y¡, c cLc/ ¡Lgwk! X 55
  64. 64. A; c' UlC/ Jcentc- fo' tótlõtúmtntl çfggçcwt( 21. EXERCÍCIOS DE REVISÃO , _ SEQUENCIA 3 SEOÚENCIA 1 Determine graficamente, quando existir, a inversa das Dadas as seguintes relações, determine o domínio e o 9139598 (detemíne, em Cada C880, DU) e 1mm). conjunto imagem; verifique se são funções; no caso de ser função, use a notação própria. a) A= í1,3,s,7l; B= [1, 3.17.9] e f= [<x, y›eA><BIy= x+21 b)A= [-1, o, 1, 2, -2]; B= IR e f= «[(, i,y)EAxBIy-. -., l(. ] c) f= [(x, y)eR><R| y=x-1] 2X+ÍT d)f= i(x, y)emxmlv= X e)f= i(x. y)el3,+°v)><R. |y= /x-3l t» e) SEOÚENCIA 2 Verifique se as seguintes funções são bijetoras. Determine, 1 quando existir, a função inversa de cada uma delas. a) A = i-s, -1, o, 2]; B = [o.1,4,9l 3 e r= i<x, y›eA><BIy= x'] b› A= í-2, -1, o, 1. 2] e f= '[(x, y)EA><A| y=| xll c) f) c) r; nv» iii-fi] x+4 X 1 x--›y= d)f: IR-›1R x›-›y=2x+l e)f:1R-›IR 3 x›-›y=2x7+1 56
  65. 65. FUNÇAO LINEAR n l u Ill 'I n. a nb 57 fi JR -› IR x ›-› y = 2x - 1 A = (-2, -5) E f B = (-1, -3) E f C - (O, -l) E f D - (l, l) E f E = (2, 3) E f Verificamos que os pontos representados estão em linha reta. b) f: IR -› IR x›-› y = 2x + 3 S O t n 0 p s u e s e d S m . N e t. n. . m . ... w . m g S 0 m e t n. . e S e I p e r e Consideremos a função Por exemplo, construindo uma tabela, temos: Construa uma tabela com alguns pontos para cada função e represente-os graficamente; tome x E [-2, -1, 0, 1, 2]. a) f: IR -› lR x›-› y : _x + 1 22. O CONCEITO DE FUNÇÃO LINEAR 22.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 39
  66. 66. avistar), .l . ÚHHÍN! , . ..saquei Jmr. _e_ $°ã1". '_, k'; .'; ,1_. '-«: rg~g Y _ S424' . arhrm-"r 1_. .. ih» tomar» urinar-mk «um imita». I m. a0 w W h. . . m, HP s. .. . 'àt-_siawàl "V, IMP-Mt» a e n : Etc , 'rL_é'-wtir_. 'neéu~n_r› i g , , . , . , . , .. ,. .. , ,H , . . , , .. .i . . , , , . , __, t i e . i. . ,, .,, ... -.. ,.. ..H. H,T. .J. .F. J,. ..r »ramalsiri)a.1›. .li. ars3mupfe. i.r. zrr rnnlsu II1ÍIe[ _w . , . , l. . u, m, ç . , . i r . . , . [. I . J. . JJ . l . [H
  67. 67. 22.3. FAÇA você: TAREFA 4o Verifique o valor de a e o valor de h em cada função linear: a)f: ]R->1R R)r11R'*1R xHy= _3x+5 x›-›2y=4x-1 a--3 3=. ¡.". ./K. ... = b "J/11. m¡ ; Ram h)f IR-›]R x›-›y= %x+7 X""Y=2X'3 a = a = b = b = . ir ]R-›1R i) f]R-›1R x›-›y: ?ox-ê x›-›%= -x+2 a = a = b 3 . ny/ S. b = d)f lR-›lR j) f 1R->IR xHy-_2ñx+7 x›-›y+3x-5=0 a = ;E a = b= ...1 . ... .. b= ... .5.. .. e)f ]R-›IR l) f ]R-›]R x›-›y= ; x›-›2y- 2:0 a = .. .o. ... . 'a - b= V1, 'HFÍÉÃL n t IR -› IR m)f IR -›]R x›-›y=0 x›-›y+px+q=0 3 = a = b '- b = 23. O GRÁFICO DA FUNÇÃO LINEAR Em tudo que você fez até agora com a função linear, você apenas verificou que alguns pontos de seu gráfico estão alinhados. Como os pontos representados você os escolheu ao acaso, a intuição deve tê-lo levado a concluir que todos os pontos de uma função linear são alinhados, isto é, que “o gráfico da função linear é uma reta”. A prova matemática desse fato, embora simples, não a faremos aqui. No 39 colegial você a examinará no capitulo chamado Geometria Analítica. Enunciaremos então o Teorema: 0 Um” d” mn? ” "WW f: R-› R x›-›y= ax+b, a, bER é uma reta. Diz-se que y = ax + b é a equação da reta r que representa a função linear correspondente. Escreve-se resumida- mente: 59
  68. 68. =4x-l d) 2y Como dois pontos são suficientes para determinar uma reta, então será suficiente desenhar em lR X IR dois o. c m_ y r. . ar u mw. u au 0 md ua m mm t mi. .. ma t5 . u. um. X sub); m4 1 mnl a 4 nun. P__ A M50, u V. F MW( e S E One . m o R du . I. m A EciX . um T wuw m. . . . Í ua . E n11 t1 r. c mel. a . m. 0 &m0; a. : v . .mil C a 0a_ em »Av dUG + . O S mex X S A S! 3 mA F umm __ t . um % J . nrrC V. P H um o e)y-x+2=O b)y= -x-1 f) 2y+x+2=O g)3y= -2x+3 60
  69. 69. 24. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO LINEAR 24.1. O COEFICIENTE b Represente graficamente cada par de funções lineares em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas: a)f¡: ]R-›lR x›-›y=2x+l fz: IR-›IR x›-›y= -x+1 Para estas funções, b = ____ _L_ b) f, : IR -› lR x -› y = x fz: R '9 R X ›-› y = 3X Para estas funções, b = c)f¡: IR-›1R x›-›y= x-2 fz: lR-›1R 5 x›-›y= -íx-2 Para estas funções, b =
  70. 70. an. : IR-›JR x›-›y= -x+% f¡ Í R -5 R Xi-›y=3x+% Para estas funções, b = “'52, x. ... . Generalizando-se vemos que y = ax + b x=0=. -›y= b_ Então: 0 coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas. 24.2. FORMA PRATICA DE REPRESENTAR A FUNÇÃO LINEAR Como (0, b) é o ponto em que a função linear corta o eixo das ordenadas, bastará determinar o ponto onde ela corta o eixo das abscissas, ou seja onde y = 0. Assim, no exemplo y = 3x - 6 teremos: x=0 = › y= -6 (0,-6)Ef y=0 = › 0=3x-6 <= › x=2 (2,0)Ef. Assim: Como você viu, doravante chamaremos a função linear apenas através de sua lei de formação y = ax + b, omitindo, porque é óbvio, que se trata de uma aplicação de lR em lR. 24.3. FAÇA VOCE: TAREFA 42 G) Represente no plano cartesiano as funções seguintes, atribuindo sempre: 19) x = 0 e depois y = 0. Observe quando f é crescente ou decrescente. a) y = * b) y = l - x _ x = x : o = .. ... ... .. . .l . ... ... ... ... ... ... ... . . ... ... .. y = y = 0 = > . ... ... ... ... ... ... . . ... .. . . 62
  71. 71. e) y:4 (VXER) O y = -2 (VXER). Você pode concluir facilmente que Se a > 0 então y = ax +b é estritamente crescente Se a < 0 então _v ; ax + b é estritamente decrescente Se a = 0 então _v = b é constante 29. ESTUDO DO ZERO E DO SINAL DA FUNÇÃO LINEAR Seja y = ax + b. O valor de x que anula y, chama-se zero ou raiz da função linear. Ou seja: y=0 <= › ax+b=0 <= › ax= -b <= > x= -§ . _ . b É um trabalho equivalente a resolver uma equaçao simples do 19 grau em x. O valor x = -í representa a intersecção da função com o eixo das abscissas. Podemos examinar então o seguinte resumo: 63
  72. 72. Esse fato permite resolver todos os tipos de: 25.1. INEQUAÇÓES QUE ENVOLVEM FUNÇÕES LINEARES I? Tipo: ax+bE0 Vamos determinar o conjunto verdade das sentenças: a)5x-l5<O w§+3>o Como Como 5x-15<0<= ›5x<l5 §+3>o«= ›x+6>o <= › x<3, vem: <= › xà-ó, vem: V= (x6IRex<3] V= [x§lRex>-6]. O a : $ v<0 v>0 2.0 Tipo: Estudo das inequações produto: (ax + b) - (a'x + b') à 0 Estudemos S - - 5 - - - - - O Q) (xAl0)(Bx)>0 Q) (2x 6)(l x)< Equivale a examinar as soluções dos sistemas Equivale a examinar as soluções dos sistemas A > 0 ou A < 0 A > O ou A < 0 B > 0 B < O B < 0 B > 0 Então Então Sx-10=0<= ›x=2 2x-6=0<= ›x=3 (a > 0) 0 (a > O) 0 3 eA<0 A>0í> eíA<0 A>0-_: > l-l A= O t+› (-› A: o (u 5-x=0<= =›x=5 -l-x= O<= ›x= -l (a < o) o s (a < o› -_1 o . í B . _ B > o _lí e < o __. . (+) (-) (H (-l 3 = o B = O Esquema Esquema x o 2 5 X _1 3 A - . + l + A _ ã - l + B + E + i , B + ã e i _ Em? E A _ B _ 5 + I . › A B - + E -
  73. 73. Estudo das ínequações quociente: ax + b -- à a'x + b' O Resolver A B x - 5 . P** . - . . . _ 1 _ X > 0 equivale a (x - 5) - (1 - x) > 0 sendo que há a condiçao restritiva 1 - x ; E O, pois nao se define fração com denominador nulo. - . A = o Assim: (a > O, x-5-0<= x= -a A<O A>o 5 <- B > 0 B < 0 l - x = 0 <= = x = =› 1 a = o x 1 5 l _ l _ E + A : I O- s l _ V= [xE1R e (l<x<5)] 26. APÊNDICE - DISTÂNCIA ENTRE DOlS PONTOS Considere os pontos A = (l, 2) e B = (3, l) no plano cartesiano. Queremos calcular a distância entre eles, isto é, d = med ! ía Para isso, é suficiente considerar o triângulo retângulo ABC da figura e aplicar o teorema de Pitágoras: d' = (med ÃÕY + (med É): Temos: medA_C=2-l=1 medB_C'=3-l=2 65
  74. 74. De um modo geral, seja A = (Xi, Yi) e B = (XL Yz) Teorema de Pitágoras aplicado ao AACB: d' = (med 'm2 + (med ; TCP medíõ = .. .. . . z, ..-. ... .s. .. ... . . . med-Ê = .. ... Ji-. .a. ..r. ... x.. i . ... . . . Portantoi d: = L1.. . ›. ›.lÍ. .t. ..(. .X. ¡,. .u. .1.. i.là . ... . . . e temos a fórmula para di anel entre dois pontos: 26.1. FAÇA VOCE: TAREFA 43 Determinar a distância entre os pontos A e B em cada caso: a)A= (0, 1), B= (2,3) d*= (z-oi'~. ts-m¡ mu: e d: zh' b)A= (3,2), B= (2,5) el": ts-Ll” 4 (z-5)° = 1+9 , lo Amil? c›A= <-i,3›, =<a, -3› ol'*= HHVN (-3-5)" t to +54.- 52. d. . Z. t? ? 27. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQUÉNCIA 1 Faça o gráfico em R >< IR das funções definidas pelas seguintes equações: 1.y=3x-2 S. y=-x 2.y= l-x 6.y_= x 3.y= à-x 7.x+? -l=0 4.y= i-; 8.2x-3y+6=0 SEQUENCIA 2 Represente em R >< R os seguintes pares de funções; determine graficamente o par (x, y) comum a ambas, quando existir: í3x+y=7 )íy=2-3x a) x-3y= -l c 2y+6x=2 2-3x= y 1+x= y b) í2y+6x=4 d)(-x+l= y 66 d) A = (4, -4). B = (0. 0) U', (4-o)"+(-4-o)". tc+ic_.5z, d_- N72." e) A = (-2, -3), B = (3, -I) 4". u. 2.3'- tt-i + 5)”, ;se u; L9 d. ; ! É f)A= (-5.l), B= (3,1) da L-usüupn": U¡ d. : s SEQUENCIA 3 Determine o conjunto verdade de cada uma das seguintes inequações. Faça a representação linear do conjunto solução. a) 2x-8>0 b›§-i<0 c) Zx-âíxãl aix-sà *g1 e) x54 < 2x3-l t. ) 2x3-3 > xgl x x g) 2-l<3-2 h) “+5 <1 3 i) l< *g3 . 3gx+l) Sx-2 1) 2 < 4
  75. 75. SEQUÉNCIA 4 seoüENcIA 5: (APÊNDICE) Determine a conjunto verdade de cada uma das seguintes Determine a distância d entre os pontos A e B seguintes: "”“4““ç5“* a) A = (o. m, B = (3, 2) a) (x+3)-(2x-l0)>0 n Ê1>o b)^= “›2)› B= l4v°l * 5 c) A = (-3, -2›. B = (0. 2› b)(X+5)'(1-X)>0 s) ¡_4x <0 d)A= (0.1), B= (1.0) x+4 e)A= (-3.0), B=(0,-4) °l(2'*l'“'*)>° "l 3-x <° r›A= (-i, -i›. B= <-2.-2) d)(3x-5)-(2-3x)<0 a2": <o 8)^= ('1›°)› B= (°'°) : '2 h)A= (0.2). B=(0.0) e›x-<§-i›>o j› X15* 20 67
  76. 76. capitulo A FU ñllçtãuü QUAEHATEQA 28. O CONCEITO DE FUNÇÃO OUADRÁTICA Veja as seguintes funções de JR em JR: a)f¡: lR-›IR b)f¡:1R-›lR x›-›y= x2 x›-›y= x2-4 c)f3: IR-›]R d)f4: lR-›IR x»›y=3x¡-4x x›-›y= x2-5x+6 Em qualquer caso, temos uma função do tipo: f: R-› R x›-›y= ax“+bx+c ondea, b,cER e aaâü Às funções desse tipo damos o nome de funções quadrátícas ou 'funções trinômio do 2.0 grau”. 28.1. FAÇA VOCE: TAREFA 44 Identifique a, b e c, nas seguintes funções: a) f: IR _› IR : Í x H y 2 2X2 _ 5x + 3 É - 7.5., ... ° = b) r; lR -› m = :Í L' X H y = 4x2 __ 7 ' C = c) f, m _› IR a : imã/1_. x>->y= ~5x¡+4x 3:. bzmH"" 2 c = .. .ow d) r; m -› IR Í): x›-›y= x1-6x+1 _I ' ' ' ' " C = e) r: IR -› IR a 2 x ›-› y = -xz É b z C = 68
  77. 77. 29. FORMA PRINCIPAL OU CANONICA 29.1. Comparemos as funções: a)y= x2-4x+4 e _y= x2-'4x+3 esta é um esta não é um quadrado perfeito. Para que uma parte sua se torne um quadrado perfeito quadrado perfeito será necessário o artifício de adicionar 1 e subtrair l. de fHÍOI y = x2 _ 4x +â. +__1, _ l ____ ___, __-___ y = (x - 2)2 - 1 b)y= x°+,6x+9 e y= x2+6x+13 y= x“+6x+j_§___g+4 y= (x+3)2+4 As formas assinaladaschamam-se formas canônicas das funções dadas. O problema consiste em obter-se a forma canônica de qualquer função quadrática Observemos: Em y= x2+2mx+m2 ou y= (x+m)2 que é um quadrado perfeito, temos: a = 1 b = 2m c = m2 ou seja: o terceiro termo do quadrado perfeito, m2, é igual a (là-f. De fato: b=2m = ~ e (Brun: Aplicação: Obter a forma canônica da função y = x2 + 3x logo: y¡ = x2 + 3x + % é um quadrado perfeito. De fato: 3 2 Yi = (X + então, a forma canônica de y será: í_2 y: x2+3x+4 4 Observe que para não alterar y, você sempre adiciona e subtrai 0 mesmo fator. 69
  78. 78. 29.2. FAÇA VOCE: TAREFA 45 Obtenha a forma canônica das seguintes funções quadrá- d) y = X2 + 6X - l ticas: aly a b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. _ _ portanto: ta: x +6x *e a 1 y = x2 - 4x + . .fl . ... .. - Y = . ... .. )2 - ta, (x +3Y'- 1o b) y = x2 + 7x a . -_ b b 49 a “b ; $747 TNT) = T l_ O s ¡snÍ 7X 31's. - j; 2 3=x_%)1_j$_ e)y= x+x-l ' b' à. : _t_ _b- 2'- t›y= x*-2x+3 Qi' Sã); 2. á(2)'+ a = .. b = = › . ... ... ... ... ... . . . É* f' x ' 'à' ' “ã ' l Portanto: z s . x _¡_ ¡ 3'_ 5 = x” - 2x + - + 3 l l T. ) T 29.3. Pode ocorrer que o coeficiente a seja diferente de l. Nesse caso basta fatorar esse coeficiente a e proceder como nos casos anteriores. Veja: u I U1 y = 2x7 - 5x, onde a = _n2- e b colocando-se a = 2 em evidência: portanto: y = 2(x2 - 3x + É - __Tg, ,_) ou que são dois aspectos da forma canônica. 29.4. FAÇA VOCE: TAREFA 46 Obtenha a forma canônica das seguintes funções quadráticas: a)y=3x2-9x b)y=2x2›-5x+4 1:3(xt'31), °“dC 0.21 e. b- -3 = v t4: ZUÚ- il? !- tz-l b z as = °3='3=”l*'%)z=5- °““'°"-Ê- = °^Ê-= -Ê'= °KT) 1 Té' 7. z. 41 2. =5(¡¡_3x. _3__l)$ ¡z= ZL7L-_Ê_Í+%Ê__ÊÊ_›Z› _ . “ - 7 z. - _5_ _L v-°l*%) »2- i*(°“«l*a 7o'
  79. 79. c)y=5x2-x+l d)y›4x2+3x _ l x 1.5(7«-_à_1._à¡ wqkrüg¡ a1 b- ; L 1 L , g ~ E 5 : D~É-1 É bí)~ Tâg. 4.151 r b É F É_ A_ : Dkgjz: ; SP _1_7<+ i l 5 _r a' 6*' www? ) zwmw z 3 «wa . 4:- i _ r Ku? K ¡í/ V, O e)y=2x2-4x-3 IÁTÔkXKAÓX Iupiabzl: ›: ~0_Ê_: .1.. àLVáÊ_)~: l : E: Líxt-Lvkd-J-Êi) 4. ÁJLUVH S L 29.5. O CASO GERAL y= ax2+bx+c colocando-se a em evidência: b b y= a(x¡+íx+§), onde a¡=1 e b¡= í b b b b 2 bz b'= í” â= z ° (75 : t5 então: b b* t9 ~ “Mw” 42.2 -m*§> T 4 b b2-4ac Y= HÍ(X*ZZ -TÍ ecomo b¡ -4ac= A, vem: OUÍ estas são fórmulas que representam a fonna principal ou canônica de y = ax¡ + bx + c. 30. RAl-ZES DA FUNÇÃO OUADRÁT| CA Dada y = ax¡ + bx + c. deseja-se saber qua] ou quais são os valores de x que tornam y = 0. Basta tomar y numa de suas formas canônicas: b¡ A v= aí<x+z> b? A b¡ A b? VA y= o<= aux+¡› -@1=o= ›(x+, -a› -m= o<= ›(x+í› -<, a )”= o 71
  80. 80. fatorando-se o primeiro membro dessa igualdade (diferença de quadrados): bx/ Zbx/ 'A' (x * z * í** *z ' T) = ° = ° b x/ Z_ _b-x/ 'A' x+í+ 2a O ' 2a É ou b x/ _à -tux/ Ê x+_- -0@x= 2a 2a 2a Donde: 31. FORMA FATORADA DA FUNÇÃO y = ax' + bx + c 31.1.Seja: f$R-›IR x»y= ax2+bx+c, com 21950 cuja forma canônica é: b 1 A Y - a” * a ' Ta colocando-se o fator a em evidência: 3- A y = a[. .(? .°. ..*. .§¡. . . . - E a expressão de dentro dos colchetes é uma diferença de quadrados; fatorando-a: b */ ¡)(. ..2e. ..+. ... -*= - - “m > Y=3(X"'Ta+ 2a z¡ . ... . . ... . . . Observe que isto só pode ser feito se A 2 0. _ _ - r y = a(x - #Mx onde e $- são as raizes da função. chamando-as de x” e x", respectivamente: que é a forma fatorada de y = ax¡ + bx + c. 31.2. FAÇA você: TAREFA 47 Obtenha a forma fatorada de cada função quadrática: a) y=2x2-8x+6 fazendo-se 2x1 - 8x + 6 = 0, encontramos x' = l e x" = 3 logo, a forma fatorada de y = 2x2 - 8x + 6 é: Y = 2(x- 1)(x-3) 72

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