Mai 1 - matemática auto-instrutivo - professor

420 visualizações

Publicada em

MAI - MATEMÁTICA AUTO-INSTRUTIVO - AIDA F DA SILVA MUNHOZ, ALCEBÍADES VIEIRA, IRACEMA IKIEZAKI

Publicada em: Educação
0 comentários
1 gostou
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
420
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
3
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
4
Comentários
0
Gostaram
1
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Mai 1 - matemática auto-instrutivo - professor

  1. 1. AIDA F. DA _SILVA MUNHOZ ALCEBÍADES VIEIRA IRACEMA IKIEZAK! o _ im , r F _í _' E “í 1 J adm lsgsezvz: , _ __. _ s_ v '- e
  2. 2. Y'. A»LULÀEÍÍÉÇJÀÍAL a ' : Il: F' f": M Ig, |kfrf: ,r'Íz, iJ3 FÍÚÊÍVÍÍÍA'
  3. 3. Supervisão Editorial: José Lino Fruet Capa: João Gargiullí g FICHA CATALOGRÁFIÓA (Preparada pelo Centro de Catalogaçãona-fonte, Câmara Brasileira do Livro, SP) Munhoz, Aída Ferreira da Silva. Matemática auto-instrutivo, MAI 1: 1? série, 29 grau por Aida Ferreira da Silva Munhoz, Alcebíades Vieira e Iracema Ikiezaki. São Paulo, Saraiva, 1975. p. ílust. . Suplementado pelo manual do professor. - , l. Matemática (29 grau) - Instrução programada l¡ Ikiezaki, Iracema. II. Vieira, Alcebíades, 1940- III. Título. IV. Título: MAI 1. l7. CDU-510.077 18. - S 10.77 . Índice para catálogo sistemático: l. Instrução programada: Matemática 510.077 (l7.) ' 510.77 (18.) › SARAIVA S. A. b¡ LIVIREIROS EDITORES RUA FORTALEZA, 53 - CAIXA POSTAL: 2362 TELEFONES: 32-1149. O 3252534 O 34-9503 O 34-9685 END. TELEGRÁFIÇOÉACABÉMIGALIMSÀO PAULO
  4. 4. AIDA F. DA SILVA MUNHOZ ALCEBÍADES VIEIRA IRACEMA IKIEZAKI I II “r »- RU i3 SERIE / 22 @Em LIVRO DO PFiOFESâOR Somente o III/ FO do professor con- tem as respostas dos ExercIcIos
  5. 5. , _otoIcIgxaiti-I 'siri cEIi! It-, I.I_I, II›IsIi-i. e ; Itagr-, Ilv-_Iriq no# I-rnirlilàigilulàclioxi' Í-. Tíí , ynihmtír-itxwguta 'im-. iqq. m; - ¡uIilIr-IRIIII-Iogiu IIIIfIIraIIr-¡Ir-W ; yoi-i-rsupé T : içzizrsiIrikIIEIIe» 'CI' , Itu-I uilzIi-Inrtziii-raw Antonina-ultimo» rm yaigiv-, puurJúg gi-. iuaizIIüi-y 'am 'luxgtãx _un 'aum gHIQÍXI-Iighi-ÍIYQ. curar-III I| lÍ^-)('vI~$“i'-i 'r-›cIr_IuI-1i-u-~-áiauunip Ã'Í9,g(I›__g)'(›I~l~l~i~X| .._ . JEIPILIÊIÍÃÀIZI-JJJII- _UxoI-IImIuIgIw. aguas-nim: -Ini-*Im amour», quieta-lunar ÕQ-'IQICIQIIWVIIIIIQIvI-j¡ '-i_I<_I(§_vx-* aim-livia: a* onlíkr. álg)i-l~jiviiliririeto› 51H ! Im ~Io)I, (-I'-¡l¡u›. x_a; o.I'-<~x1á. ¡!mw »i-líivyiia züãlriorldsf-Ii. '= Í ' ' 4 imitar-nua , e num atari. = -: › . II-I-: it-: ta "nx-iãzkiiIIklIgI aIwr-Iiit-. xiiáir-. .kw &ailflííl '. I 'IIW' : filial 4.1.8. LdJII-iíi-_Xdsiw gm; jf-? LI . etsíxü. ggttung-roigig, 'pI-F ÊIÇNIJÕ. anular-Itau um* amarei-nm ; u-Igx-Ign-Iwá» -Js-'IIIIIÉIOJÓÍ/ zlllilâ *âkqqta Ima. :iñlllllgín-Íàilliiiil ko›~sgtà›jr-rtrn› ei-jzrlmlãlo' . , , " e ' . gI-II~. ~-)Ir_~ asiáamuaeutn _irrimioix 315). * 'rir-rá ; nas @ráhítiIIt-I. aIgIsis-nIInjpIII-a @nas ÍI-IEEHIIJBL¡ : ta *-›: §á›, <~, íf6is›w; “ a* d* _ w ¡Iàilív : ImJIKrzxik-. I. amr-Ixàcw' « IÍIIÍI-IIIIÊIÉIÊI-*M 'rLAtIÍiJÉÍW-¡Ai o1'-¡La¡'l-›j› genro-til¡ AIJ¡ , I-iâlíkl--kigiíllll-l. i. .. I _ __ rapwi-ibmotanxm il» »IpIau-Iflílm ; um ! twist-a ít-I Imil-R *lema-Iñaki #ê ¡II-É-JéÍlV-J . nar-tatuuitomwn. guoireisr-ngjéivxa a: : a, ,Ininlfii-. Iiia ata raIIIgx-»à , Àiauiiau 'ehK-JIKÉIIKMIK-¡Ioir : ij-it : im 5mm_ *tem . ÊIHwIIItIQI butt-J' -kggzaítãuím 'i'm -Ijsíiirvíiia _ra d-mIàH-Í JIPIÚIJÉlIP-Ililíiaíti* Tlñám: .vt-fd : usual r I A - . Im. 13501914!
  6. 6. uma
  7. 7. "HI e Arraias? ;í ZIFIcIIILrCVEL II" IIÍIIIÍÀÊ -I _ 'FÍEIQIIIVA _Ilê-H HClIIUlUIñIllÇ-Iü 'I"I tnIeIuIaIIru. 3Ii~›31'Il§lñ_gl0:TEí. KÇBILIAEÂQPQJJ , umtilelãirrcivaa : LI e iCI81ñll!1iI_l0_i_-"›MIIIIQIIICIOE, _ _ _ngssirsmtuvatryzxe _na cIeInIigIrIIrea; _RI _ _aljslciolâllllãllelq_ ; se _ . nncijúfxgu. _a1 ist tunagrgrgrtxni na: cmiirnurlrcieq ; EI e_ iillillliüslfmeI'Lgnllzij; eiâlñllllillcm, ;srt A. ,cI1n1›FI, III. =I_(c-_7:s» pxsizmi ; IF - uitliitltclftilülêi_ 11:. . ' s: e 'lrrçIgllkreI : H5i: §I'§r-? I_VÀ| É.IE* su; lunnsjartspxei, _all_ . fg. IIucLnIIIIIc › * CIIITIIIS. U_= I›*IÇI4IQIOJ, t ! lies vers' , ” Íwzamrai. :a1 e_ , zasIurasIs-aasu_cagrmog -'_= D.'L= t:(f.7iIcil0l›"1. 24a. e ts » ¡IEILIEÊÊIQEQ-F ', II-'›Í_L, a§; I'-ÍGI› 1:. A : pIeí. I_I_¡§IIçI_= §usarem: _n31 ums: : _aaiaxrxíel_ : at _ ; IJLRFIIIIF 'LIIIuafus-Igt. ;e -. à.1_= I.:1çIIcI. Ic›a_= r=I A 63!. _I #Qlnlpiñãü ? sw . Hermann. :w _ ; IIcAI1_IeI_I¡w Í_l§'lUaÇ0i3IIIJ› _ns ! Arial tnucnwu; :II A_Jllialçme›êsieliiiíêllpulleltvsi, .nllilfmaülüllifllçlíâ, . rn . En a q * i - v . Hllãlàñiw 'ÇIrIvA; I.: 'o-*hx . ev cI_«Zí: I_Ic~Ie› uarasêIçfgrIils: _animam _nanamcxsrusua, di! ~ , . I aa - SÇJFIQQKCJ; I. IuI_= _IsI:1 : FI . nuniçjixasa _Llurnnitgg : Iii e somaram» m Âmnnrçfgio»Diarias -. #Inner E A . _ . 'w Encru- F= eI_: a_= I_›~II GIBÇIÊB) _a1 . nunerçme atuam: :- Inmzamrnruia, m _ _agp-mara e! _ , I___: s.: I.: I,cIIcI. IoI-. a. à e : Iliarcjácy 6II! yE1pI: grr; I~'Içi: «. ! Iara-ici ; nz . using-Jan. ¡¡oII,1_nI. :v. -RIII_IPIAL m -A sauusxe» . V 'Im e _BIQIEIIÍXGI ; ILQIÊIBRJIMCI na , amargar um» "ÀEIAIIÍÍLEXGI ! Ich _nas 'aan-Idéia' êlll: l,ll_lv. ?d. lltrâs, #í _ . _uy: gifclrçllçdliw_z ~« analisam ERRIAIIIJIIIIIAIL, A . i ? - _niirrçxxeu 7$I1H6l§l5iB(Éil: !L. _ me_ tjciriàarççxa _Ian , r-¡Inrçpícu A §; :<_: ¡§e)'rI; IrIc›I_r; IL. fl); _ gagàilluilüi: :III ~- ísizgçaerfçuelégpevi ' i “ e ' ; ii ~ a : magenta »L. .®Iri-¡: _I_FrI"IIIe1st 211:» *iu . .Itíesi up); Lucas Ç -IIIIII a ; us t_ zsauglrarçia, _ «fi -v 'L. ..s;1srAI_: II“II/ I'Il1:: w.IIRHIERIIF* " "' 'L-. CI/ &àlllllxilêls 'ilÇllWliellêiI _ raw: ' 'raspar ; na L. _fI5l§iI: !âlU_UüÇI! ÍI. -¡L, _ITF ¡anzggarzvrxájâiqi @mim ILSIWAIIÇIIIIIBIBÍJ e. :_= ›:L= I_: gsIIcI, Ic›; ;, " E 'Ma' carmen: _n35 . armas. criatura¡uaaãsiçim , aaja E , turma 'ciaugqeua-ajiei_ ; aii - arrasa: amei. «Laurent - _CZE e _IiSIRCJÍCIICI-É. " _mL_
  8. 8. 11 - FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS _ 133 I Ç . _._ INTRODUÇÃO, 133 - FUNÇÃO SENO, 134 -_ GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO, 135 - FUN- ÇAO COSSENO, 136 - GRAFICO DA FUNÇAO COSSENO, 137 - FUNÇÃO TANGENTE, 138 - GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE, 139 - FUNÇÃO COTANGENTE, 141 - GRÁ- FICO DA FUNÇÃO COTANGENTE, 142 - FUNÇÃO SECANTE, 143 - GRÁFICO DA FUN- ÇÃO SECANTE, 144 - FUNÇÃO COSSECANTE, 146 - GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECAN- TE, 147. 12 - RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS 149 _ % DE UM MESMO ARCO s'- RELAÇÕES FUNDAMENTAIS, 149 - RELAÇÕES DERIVADAS, 150 - VALOR DAS FUN- _ ÇÕES TRIGONOMETRICAS DOS ARCOS DE 45°, 30° e 60°, 153 - IDENTIDADES TRIGO› NOMÊTRICAS, 155 - EXERCICIOS, 156. › . j, 13 - REDUÇÃO AO 19 OUADRANTE 15a I_ Ç REDUÇÃO AO l. ° QUADRANTE, 158 - ARCOS DE MEDIDAS a E já, COM 0 < 01% , 162 - IDENTIDADESÇNOTÃVEIS, 163 - EXERCÍCIOS ~ 163. 14 - EOUAÇÕES TRIGONOMETRICAS 165 EOUAÇÃO DO TIPO sen x = a, 165 - EQUAÇÃO DO TIPO cos x = b, 167 - EOUAÇÃO . DO TIPO tg x = c, 169 - ÇUTRAS EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS, 171 _ EXERCICIOS, ~ ° 174. 15 - ADIÇÃO DE ARCOS, ARCO DUPLO E ARCO METADE 176 ADIÇÃO DE ARCOS, 176 - ARCO DUPLO, 178 - ARCO METADE, 179 - EXERCICIOS, 182. 16 - TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO 185 TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO, 185 - EXERCICIOS, 187. ; _Ç 17 - RESOLUÇÃO DE TRIÃNGULOS RETÃNGULOS 189 r Í v RELAÇÕES TRIGONOMETRICAS NO TRIÂNGULO RETÃNGULO, 189 - RESOLUÇÃO - DE TRIÂNGULOS RETÃNGULOS, 190 - EXERCICIOS, 195. . f 18 - RESOLUÇÃO DE TRIÃNGULOS QUAISQUER 196 RELAÇÕES TRIGONOMETRICAS, 196 - RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER, 197 - EXERCÍCIOS, 204. "
  9. 9. 4
  10. 10. Conjuntos p A" Ao final deste capítulo, o aluno deverá: alter revisto os conceitos básicos da teoria , con¡untos. _ . ¡ . - b) estar familiarizado com a linguagem simbáli c) estar apto a se expressar por meio da lin_ simbó/ íca. ' e Procuraremos fazer uma revisão das noções mais importantes da teoria dos conjuntos, pois a mesma já foi desenvolvida durante o curso de 19 grau. CONJUNTO, ELEMENTO E RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA l. As noções de conjunto, elemento e relação de pertinência entre elemento e conjunto são noções intuitivas. Indicaremos um conjunto com letras latinas maiúsculas e os elementos com letras latinas minúsculas. Assim, o conjunto das vogais poderá ser chamado de A e indicado por A = (a, e, i, o, u], Onde a, e, i, o, u São elementos do conjunto A. 2. Para indicar que um elemento pertence ou que não pertence a um conjunto, usafemos os símbolos E e é. Diremos então que: i pertence a A e indicar-emos por i E A b não pertence a A e indicaremos por b É A 3. Admitiremos a existência de conjunto com um só elemento (conjunto unitário) e conjunto sem nenhum elemento (conjunto vazio, que se indica por (b). 4. Sendo A = [O, 1, 3] e B = [2, 5, 7], assinale as afirmações corretas: a. Cx) lé elemento do conjunto A. g. (x) 3 @É B . - E , _ OÇÓIEA h. ( 7GA ' ecQoeA i. (Q2613 d. ( )3nãoé elemento do conjunto A. j. ( )2ÉA e 2GB e. ()3eA 1.()3eç25 ç_ 't Lçasen . “ m. (_)oeç2§
  11. 11. 'lgConjunto dos números naturais: é indicado porlN e representado por: É N= [Q1,L3_. _n_. J e indicaremos por: lN*= [l, 2, 3, , n, .. .], o conjunto dos naturais sem o zero. " 6. Conjunto dos números inteiro: é indicado por l e representado por: z= [. ., -n, .. .,-4,-3,-2,-1,0, 1,2,3,. ..n, ... ] e indicaremos por: r ' . . ' 2*: í. . . , -n, , -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, . .. , n, .. .Lqctinjunto dos inteiros sem o zero. Z, = [0, 1, 2, 3, . .., n, .. .L o conjunto dos inteiros não negativos. 22' = fl, 2, 3, . . . , n, . . . 1, o conjunto dos inteiros positivos. Z_ = .. . , -n, . . . , -3, -2, -l, 0], o conjunto dos inteiros não positivos. 21' = í. . . , -n, _. ., -3, -2, -l l, o conjunto dos inteiros negativos. Obs. : Todo número natural também é inteiro, isto é, N C Z. 7.' Con'unto dos números racionais: é o con'unto Q dos números ue odem ser escritos na forma 3, com J J 'l P b ' a E Z e b E 2". Os números racionais admitem representação decimal exata ou periódica. Assim: -5=-2,5EQ - -ZEQ ll ll _ à 2 3 l oizseo -1- 0333.. eo 8 7 3 9 ' Obs. : Todo número inteiro também é racional, isto é, Z C (D. 8. Conjunto dos números irracionais: é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma 43-, com a E Z e b E 1*. Os números irracionais admitem representação decimal não exata e não periódica. Exemplos: sã: x/ _BÍ -2V5 etc. 9. Conjunto dos números reais: é o conjuntolR formado pelos números racionais e números irracionais. Os números reais admitem representação decimal exata ou não, periódica ou não. Obs. : Todo número racional também é real, isto é, Q C IR. 10. Conjunto dos números complexos: é o conjunto C dos números da forma a + b reaisei= V-l. Exemplos: 2+3i; V-4=2i; V-2=ix/5-=0+ix/ Í etc. . i, onde a e b são números . pll. Assinale as afirmações corretas: * a. 5a 3 eJN e 5 e z ¡isa-seme-sez I c. bd Todo elemento de JN é elemento de Z. ' d. ( ) Todo elemento de Z é elemento de lN. 'eeaâén àeze âeo , ba zeipzgzvsz e 'gszego
  12. 12. g. (><) h. (><) i. ( ) l- ( ) l. (x) m-(><) n. (><) 0.( ) p. (><) @(><) r- (><) s. ( ) t. ( ) _L2 4 = -3 E Q Todo elemento de lN é elemento de Q. Todo elemento de Q é elemento de JN. Todo elemento de Q é elemento de Z. Todo elemento de Z é elemento de Q. Todo número que admite representação decimal exata ou periódica é um número racional. Todo número real que admite representação decimal não exata e não periódica é um número irracional. -3 ÉIN, -3 E Z, Todo número que admite representação decimal não exata e não periódica é um número racional. Todo número que admite representação decimal exata ou não, periódica ou não, é um número real. Todo número racional é real. Todo número irracional é real. Todo número real é racional. Todo número real é irracional. DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS 12. Um conjunto fica determinado quando se conhece cada um de seus elementos ou então quando se conhece uma propriedade característica de seus elementos. Podemos, então, representar um conjunto escrevendo cada um de seus elementos ou escrevendo uma propriedade característica desses elementos. Assim, observe e complete: a) A = (a, e, i, o, u] ou A = [xlx é vogal] b)B= [3,4, S, 6,7, . ..j ou B = <[xlxElN e x>2] c) C = ou C = [xlx EIN e x > 3] d) D = i0, l, 2. 3, 4, 5] ou D = / Àrz ryalâas . saíowõsj 'e) E = l: si: .AQ, .4,. e2,. ..a, .s4,.5.. ,.; .:. .l ou E = ixlx E Z e x > -31 0 F = Í: .&, .:: ..í. ,.. QL. Á,. .eÃZ. ,..3,. .4§. ,..5.. ... .1 011 F = ÍX| X E Z e -2 < X < 6] s) G = í-5. -4, -3, -2, -1, 0. 1] ou G = leg/ Ásia. s.:5§.2ç$. .1.. ..l 13. @azia/ s óÔâcCÕÔS) Conjunto universo: o conjunto ao qual devem pertencer todos os elementos utilizados para desenvolver um deterrriinado assunto recebe o nome de conjunto universo e é indicado por U. Assim, por exemplo, quando queremos determinar as raízes inteiras de uma equação, o conjunto universo é o conjunto Z dos números inteiros. SUBCONJUNTOS 14. Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se e somente se todos os elementos de A forem também elementos de B. Dizemos, então, que A está contido em B ou que B contém A e indicaremos por: A C B e leremos A está contido em B ou B D A e leremos B contém A Assim, se A = [a, e] e B = [a, e, i, o, uj, A é subconjunto de B, isto é, A C B ou B D A. Indicaremos que um conjunto C não está contido em D por C Qi D, ou que D não contém C porD 1') C. 13
  13. 13. 15. Admitiremos por definição que: 19) 0 conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Assim, Ó C A, qualquer que seja A. 29)Se ACB e BCA, então A= B. 16. Complete as añrmações: a. [l, 4, 9]' [l, 4, 5, 9, 10] : u 'mzn›'. /C~*Â*~ ¡jj__)' b. [1, 3, s] c [s, 7, c. fun/ LL. ” 3] í fl. 3. 5] › _r - «Kuw v, .»«, ;,¡_. ;,, em, d. Ó , _,'_______ [1, 5, 6] . eu , _ e- . ..: ,.'. ..› . .g. ;.. .] C [XIX EIN e X é ímpar] m» v ~ul. «s»»~; f- tuna. .., .. ..â. ... .› 31] 3 ÍXIX E Z e X2 = 9] g. [xlx GJN e x é divisor de 6] [2, 3] REUNIÃO E INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS l7. Reunião: dados dois conjuntos A e B, o conjunto reunião de A com B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Indica-se: A U B e lê-se: A reunião B Assim: xGA e xGB ou xG(AUB)= › xGA e xGB ou xGA e xGB 18. Interseção: dados dois conjuntos A e B, o conjunto interseção de A com B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também a B. Indica-se: A n B e lê-se: A interseção B Assim: U xGA etambém xGB, ou seja, x pertence simultaneamente aos dois conjuntos XE(AÔB)= › A08 19. Complete: 3- [za 3» 5]' U [0› 1] = l: ... .;. ... .,Í. ... :Ç. ... ..; ... ..: ;x . ... b. i3, 6. s, 71 n [2, 3, s) = . ... .. ] c- í'2› . ..'. .Ic. ... 1 U '[51 = ('29 59 d. (XIXEN e x” =4] U í-l. 5] = í. ;.. .z'. ... .,a. ... ;*. ... ] 14
  14. 14. 2D. Propriedades: sendo A, B e C conjuntos quaisquer contidos num mesmo conjunto universo, valem as propriedades: l¡. ¡)AUA= A e AnA= A 2a)Auq3=A e Ançb= $ 3ê)AUB'= BUA e AñB= BnA 4%)AU(BUC)= (AUB)UC e Añ(BñC)= (AñB)ñC SUBTRAÇÃO ENTRE CONJUNTOS 21. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença entre A e B e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Indica-se: A - B e' lê-se: A menos B Assim: xG(A-B)#› xGA e xGB Considere então A = [O, 1, 2, 5, 8] e B = [-2, -l, 2, 3, 5, 8] e assinale as afirmações corretas: a. ( ) 0 G A e 0 G B b. (X)0GA e OÉB c. (X)1GA e 1GB d. ( )2GA e 2$B e. (><)2GA e 2GB ñ()<) SGA e 5GB g. (><) Os elementos que pertencem a A e não pertencem a B são 0 e l. h. ()<) A-B= [0,l] í. ( ) A-B= [0, 1,2] j. ( ) Os elementos que pertencem a B e não pertencem a A são: -2, -l, 3, S e.8. l. (><) Os elementos que pertencem a B e não pertencem a A são: -2, -l e 3. m. (><) B - A = [-2, -l, 3] 22. Se o conjunto B está contido no conjunto A, então o conjunto A - B é chamado complementar de B em relação a A, e indica-se por B A. B Assim, se B C A então: A-B= CAB Sendo A = (O, l, 2, 3] e B = [2, 3] complete: a) O conjunto B é subconjunto de 4 , isto é, B A. b) Os elementos que pertencem a A e não pertencem a B são e ____ ç_ . c›A-B= ,. .5i. =t. ...0.. t.. f.. .. .. . .I 15
  15. 15. QUANTI FICADOR ES 23. Os quantificadores são símbolos que permitirão maior precisão em nossa linguagem simbólica. Quantificador universal: indica que todos os elementos de um conjunto satisfazem a uma determinada propriedade. Ele é indicado por V' e se lê qualquer que seja ou para todo ou para cada. Assim, sendo A = [l, 3, 5, 7, 9], diremos que V x G A, x é ímpar. 24. Quantificador existencial: indica que algum elemento do conjunto satisfaz a uma determinada propriedade. Ele é indicado por 3 e se lê existe. A negação do quantiñcador existencial é indicada porÉ e se lê não existe. 25. Assim, sendo A = [O, 1, 2, 3, 4, 5], diremos que 3 x G A tal que x é ímpar e que É x G A tal que x > 8. Para indicar que somente um elemento satisfaz a propriedade usaremos o símbolo 3 l , que se lê existe um só. . xGA xépar. xGB talquexéímpar xGB talque xé par. _ X G C tal que x é ímpar. x G A tal que x é ímpar. xGC talquex3=8 ___xGA, xat-l . ... ... .. XGA talque X2=° EXERCÍCIOS SEQÍÍÊNCIA A l) 16 Escreva os conjuntos na forma explícita, isto é, designando os seus elementos: a) O conjunto dos números naturais maiores que 5 e meno- res que 10. b) O conjunto dos números inteiros maiores ou igual a -2 e menores que 5. c) O conjunto dos números inteiros que satisfazem a equa- ção 2x + 1 = 7. d) O conjunto dos números inteiros que satisfazem a equa- ção 3x = 5. e) O conjunto dos números reais que satisfazem a equação x' = 25. f) 0 conjunto dos números reais que satisfazem a equação x2 - 5x + 6 = O. g) O conjunto dos múltiplos de 3 maiores que 9 e menores ou igual a 24. míxlxen e 5<x<9] i) [xlxez e -3<x<1] j) ÍXIXGZ e x>-2] 1) [xlxez e 3x-l<4] míxlxez: e 2x2=1s] n) (xlxen e 2x2-1=31] x G B tal que x é múltiplo de 7. Sendo A = [O, 2, 4, 6], B = [O, l, 2, 3] e C = [O, l, 4], complete usando o quantificador conveniente. nGN] nGN] o) [xIx=5n e p) [x| x=2n e q) Íx| x=2n+l e nEJN] r) fxIx=3+2n e nGN] s) Íxlx=5+3n e nGIN] Escreva os conjuntos abaixo por meio de uma propriedade característica de seus elementos: a) [3, 4, 5, 6, . ..] b) [4, s, 6, 7, s, 9] c) [-2, -1, o, 1, 2] d) [-5, -4, -2, -1] e) f. .., -3, -2, -1, o] r) [o, 2, 4,6, . ..] g) [1, 3, s, 7, . ..] n) (o, 3, 6, 9, . ..] i) [1,4,7, 1o. .. .] j) [s, s, 11, 14, . ..] 1) (2, s, s, 11, . ..] m) [3, 1o, 17, 24, . ..] n) [3, 1o, 17,24] o) [1, 2, 4, s, 16, . ..] p) [3, 9, 27, 81, . ..]
  16. 16. 3) Assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as sen- c) tenças falsas: i _1_ 5 a)( ) 2e[o,2,s] d) 2 w( › 3e[o,1,4] o c)< ) (0,251 3 [2] e, d)()3C[1.3›5] e)()f2.s1<Zí2,4.s] n( ) lE[x| xEZex-1=0] O 3)( ) í-a, -2,-1] C fxlxez e x+1>sl ) [“5,5]'C(XIXER f ! (2:15) E) o( ) 15E[xÍx=4n-r7 e new] '1 1 3 5 3)( ) [l,2,4,8)= [x| x=2nenENen<3) h) 1)( ) [3,9,27,8l]= [xIx=3“enEN*en<4] '1 1 V7 m)( ) <Z>= í J m( ) N C z 7) Determineareuniâo ea interseção dos conjuntos: 0)( )Naez, a) A= [-2,-1,3,s] 12)( ) zcm* B= [-3,-1,2,s,5] 0( )RDQDZDN b)A= [xlx=2nenGlN) a) 3 e [1, 2. Complete as sentenças de modo que sejam verdadeiras: b) [2, . ... ... . . .latim . ... ... . 1o] c) [1.3.5]ii1.3. . ... ... .. .v1 B= [x[x=2n+l enEN] c) A= í2,3,4,5,6] n= íxlxen e (x-2). (x+5)= o] d)A= íxIxeR e 2x2+3x+1=o] d) . ... ... . . .EÍX| xGRe2x°+5x-3=0Í B= [xlxGlR e x2-l=0] e) (O) . ... ... . . .[X| XEReXz*X=0] e)A= [x| xeZe _2<x<1] 3:1; """" "III B= [x| xez e -3<x<l] 102.. .:: '''''''' míxlxenez<x<sl °^= Í°~Ú 5 i)1 . ... ... . . .íxIxeR e x<víl B= WKER ° -3<*<31 j) [xlxen e -VT<x<~/ Í3 . ... ... . . .ixlxen e-/3_<x</3_] 5) Represente graficamente na reta numerada os seguintes con- g) A = [xlx em] B = [xlx 6111-] A-› juntos: h) '1 2 ExemplozíxlxelR e-3<x<5]êrepresentado por: B-› -3 S a) [xlxenz e x22] n A* _2 2 b) íxlxem e x<s] B» c) ÍxIxElR e Záxás] -1 1 d) [xlxen e x>3] e) [xlxem e -2<x< à] f) íxlxel( e 5x-l>3] ' g)[x| xERex>0ex-35<2] j) _ h)[xlxElRe2x-1>3eíx<5] B-> i) [xlxem] - j) [xlxeni] l) [xlxGlR e 2<x<5 uu x>7] mHxIXEIR e x<-1 ou x25] l) A* _D2 6) Escreva os conjuntos representados na reta numerada, por B# o 1 meio de uma propriedade característica de seus elementos: a) A 2 5 m) à -2 1 b) -1
  17. 17. q) A= <:xIxGlR B= [x| xER r) A= ÍXIXER B= [xÍxEIR s) A= [x| xER B= [x| xEIR t) A= *[X| XÉR B= [x| xElR u)A= [xIxeIR B= [xIxe1R RESPOSTAS 1) a) [s, 7, 8, 9] -1<x<1] <x<2J 2<x<5]' 3<x<5] x<2] x23] 2<x<5] S<x<7] -3<x< a) -1<x< V? ) b) í-z, -1, o. 1, 2. 3. 4] c) i3] d) i lou (É e) Í-S, 5] o (2.31 g) [12, 15, 18, 21, 24] h) [s, e, 7. s] n) [-3. -2, -1, o] j) í-l, o. 1, 2, a, 1 1) f , -2,-L di] m) i3] n) [-4, 4] o) [o, 5, 1o, 15, 2o, p) [o, 2, 4, s, s, q) i1. 3, s, 7, 9. r) [s, s. 7. 9, _s) [s, s, 11,14,17, 'U . 1 . l . 1 i2) a) [xIxeN e. x>3] ou [xIxeJN e x>2] Obs. : xEN ou x62 ›c)[9_('l' É á áüoufxlxeleêa d) [x| xEZe-5<x<-l]ou[xIxeZe-6<x<Õ]I5 e) [xlxez e x<o]ou [xIxeL] f) [x| x=2n'% nGN) g) íxlx=2n+l e nElN] h) [xlx=3n e nElN] i) fxlx= l+3n e nelN] j) [xIx=5+3n e nElN) l) [xlx=2+3n e nElN] m)[x| x=3+7n e nElN] n)(xIx=3'+7n e nelN e nga] o)'ÍxIx=2“›e nem] -p) [xIx=3“ e nellW] 3) a) v e) F i) v n) V b) F t) v j) v o) F- C) V S) F 1) V P) F d) F h) V m)V q) V 4)a)3$[l,2,x]comx$3 b) (2,x] cf_ [2, y, 1o] com x$y c) [l, 3,5] (Í. [l, 3, L7] com x$5 d)-3 ou -12- e)C ou 1) Off g)C ou i) me; Í) E _j) c ou 1) ' a) b) O w 0- v D
  18. 18. s) a) [xlxen e zgxgs] b) [xIxeR e x>-1] n) -2 1 QÍXIXGR e-â-<x<5] Ana-› d) [xIxER e x>0] ou [xlx ERt] -1 1 e) [xEJRIx<2 ou x>5] 0_: xeR| x<_1°u x>21 °)AUB-› g) [xElRI-1<x<1 ou 3<x<s] Ana* 11)[xe1RI-1<x<1 ou x>/ í] -2 -1 na)Aua= [-3,-2,-1,2,3,s,5] AUB_ AnB= [-1,5] p) «i5 Jã' b)AUB= JN A”B* AnB= ® c)Aua= [-5,2,3,4,5,6] qhxunzíxemhxxíz] AHB= ÍZÍ 1 Ana= [xem| -§<x<1] d)AUB= [-1,-í, l] ÚAUB= A Ana= bU AnB= B °)^UB= Í'3-2›'1›°›Ú s)Aua= [xemIx<2 ou x>al AnB= [-2,-1,o] Amhqg °^UB= B ))AuB= [11e1RI2<x<7J AnB= A AñB= [5] DAUB= R u)AuB= [xeRI-3<x<x/ í] ^“B= [°] AñB= [xERI-1<x</ í] AUB-› h) -1 3 A” B * í-a-: â-í SEQÚÊNCIA 1) 1) Dados os diagramas, assinale o que se pede em cada caso: a) (AHB)UC i) -3 b) (A-B)HC 1) -2 19
  19. 19. 20 2) Sendo A, B e C partes quaisquer de um conjunto universo U, verifique as seguintes propriedades usando diagramas: a) WUB= BUA b) (AUB)UC= AU(BUC) c)^uA= A d)AuQ$= A e= )AUU= U t) Ana= anA g) (AnB)nc= -An(1anc) h)Ar)A= A 1) An$= qj j) AnU= A 1) A'r)(BuC)= (AnB)u(AnC) m)Au(Br)c)= (AuB)r)(Auc) 3) Use diagramas para verificar as propriedades abaixo, onde : apresentamos por A o complementar do con- junto A em relação ao conjunto universo U: a) A u X = U b) A r) X = (l) c) Í = A d) KW) e) TJ? u >| ?I WI UI U ñ 4) Sendo U = [o, 1, 2, 3, 4, s, 6, 7, s, 9, 1o] e os conjuntos A, B e C dados por A= [xIxeU e xédivisorde 1s]-[1,2,3,@.9j B= [x| xEU e xémúltiplo de ZL/ Qoz/ «ç 615/10/ C= [xlxEU e xédivisor de 12]. «¡_/ /,2,5p4, ef determine: a) ¡: ~/Q4,5,7,ô,10¡ mí #4351916 of: /Qãfíõíâlôj d)A: LJa: [5,7f e) Xnã 115,7] r) Anc : ¡o,4,5,7,6,9,10j g) Xuõ: /o¡4,5,7,8,9,10j S) Determine o conjunto universo U, sabendo que: Ã = [4,7,1o] ía' = [3, 4, 6, 1o] AuB= (3,5,6,7] AUS : Ãnã 5;' 10; (f: (403) U AUBqÉA/ ãó, 7,10¡ 6) Determine os conjuntos U, A_ e B, sabendo que: _¡; [2,s,9], Í= [5,6]', An13=[s,12] 4x75: Ãc/ ê: [D256, 9; U: 40604775 :2/025, 639,102/ ,4 _-. fé, 8, 1.2; B: [Q2152 9, A2/
  20. 20. Produto Cartesiano Neste capítulo, pretende-se que o aluno esteja apto a: a) conceituar produto cartesiano. b) fazer representação de produto cartesiano. PAR ORDENADO 26. Dois elementos a e b formam um par ordenado quando: (a, b)= (b, a) <= › a= b (a, b): (c, d) <= › a= c e b= d Aplicando esse conceito, assinale as afirmações corretas: a. ( ) 0 par (3, 4) é igual ao par (4, 3). b. (x) O par (3, 4) é diferente do par (4, 3). c. (N) (3, 4) = #(S, 8) d. (, -;) (3,4) = (x, 4) <= › x = 3 e. (><) (3. 4) = (3, y) ~= > y = 4 f (.55) (3,4)= (x, y)<= x=3 e y=4 g( )(3.4)= (6,8) PRODUTO CARTESIANO 27. Definição: chamaremos de produto cartesiano de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento de cada par é um elemento de A e o segundo elemento de cada par é um elemento de B. O produto cartesiano de A por B é indicado por A X B, que se lê A cartesiano B. AXB= [(x, y)| xEA e yEB] Então: 21
  21. 21. v Àplacaçnâlo: _ _ ' ' 19) Considerando os conjuntos A = '[0, l, '2] e B = [S, 6], assinale afirmações corretas: a. (><) SeOEAe 5GB, então (0,5)EAXB. h. (/Xl) SeOGA e 6GB, então (0,6)EAXB. c. (><)Se1GAe5EB, então (l,5)<. -'. A><B. d. (><) Se1EAe6EB, então (1,6)GAXB. e. ( )se36êA e sea, então (3,S)EAXB. E( )Se2EAe8$B, então (2,8)EAXB. s. ( )Se76ÊA e reis, então (7,I)EAXB. h. ()Se1EAe5EB, então (S, I)EAXB. i. (><) SeIEAe 6GB, então (6,I)§ÉAXB. j. (><) SeSÉA e OÉB, então' (5,0)f, ÉAX. B.› l. (><) A X B = ((0, 5), (O, 6), (l, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)] 29) Dados os conjuntos C = [l, 3] e D = [2, 7, 8, 9], complete de modo que as sentenças sejam verdadeiras: 3- (1: 2) C X D b- (L 7) C X D C- (3, 8) C X D d. (2. 1) C x D e- (7. 3) C X D Í 9)ECX D @na/ e 2; : f 49a x-S S-(. ..: ?.. ..›9)$CXD W052 1751 Z x ; t3 h-DGCXD @na/ z xr( SuL-â . i. C X D = ((1. 2), (1, (l. à), (l, 2.), (3, ). (3. (3, 43m), (3,201 j. D X C = ((2. (2. (7, A), (7, (8, A), (8, (9. (9. . i)1 - ' 39) Dados os conjuntos A = [3, S, 6], B = [l, -4), C = [O, 1, 3] e D = Q), complete: a) A X B = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . b) A x C = ÃÃ-ãqQJ/ ..Cju. Ã24.. C>ãz. ›íÂJuCã. Qy/ A.(54.Ájnáêaaâja. Ã.@. Qzníómzjuábuâjj. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... c) B x c = d) B x A = .; ;.z, a,z, .r.4.: nc4.em: :;á§x. .n1:í. ã2_«íí. ez; .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. e) C X A = .,419.; um54.. cçz. e2,. rz. .aj. ..cz. §J. .C1.e2_. ce, .e2., .ca. extraia); .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. t) C x B = ,/49#a. CQ33.4554.ÁZ, .AZ, ;sí/ aLÍQ. .ÃJ, .Á›3.. .:; §HJÉ . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . s) A x A h) A x D = . i) B x D = 1') AXBWÉHBXA 1)Axc____; ;~ CXA __ REPRESENTAÇÃO GRÁFICÁ DO PRODUTO CARTES| ANO Quando A C IR e B C IR, o produto cartesiano A X B é um conjunto de pares ordenados de números reais . e por isso usaremos o sistema cartesiano ortogonal para representar graficamente o produto cartesiano de A por B. Você sabe que o sistema cartesiano ortogonal é composto por dois eixos perpendiculares e uma unidade de , medida, onde sobre o eixo horizontal ou das abscissas serão representados os primeiros elementos dos pares ordenados J ~e' sobre o eixo vertical ou das ordenadas os segundos elementos dos pares ordenados. Esses eixos dividem o plano quatro quadrantes. ' i'm
  22. 22. à. Àílrcaçao . 19) Sejam os conjuntos A = [-l, 2, 3], B = [-3, 2] e o produto 'cartesiano A X B = [(-1, -3), (i1, '2), (2, -3), (2, 2), (3, -3), (3, 2)]. Complete você a representação gráfica de A X B: 29) Observando o gráfico anterior, assinale a resposta correta: a. (><) b. (><) c. ( ) d. (X) h. (><) i-(') j- (><) 1.. (><) m. (X ) n. (>< ) 39) Sejam os conjuntos A = [x EJRIZ < x < 5]; B : (3) e o produto cartesiano A X B = í(x, 3)| x GR 'l e2<x<5]. Observe que o conjunto A X B foi escrito por meio de uma propriedade, pois toma-se impossível escreve-lo _ " Cada par ordenado de A X B ficou representado graficamente por um ponto. O par (3, 2) ficou representado por um ponto pertencente ao 19 quadrante. O par (2, 2) ficou representado por um ponto pertencente ao 29 quadrante. Todos os pares ordenados representados por pontos do 19 quadrante têm abscissas positivas e ordenadas positivas. O par (-1, 2) ficou representado por um ponto pertencente ao 29 quadrante. O par (-l, 2) ficou representado por um ponto pertencente ao 39 quadrante. Todos os pares ordenados representados por pontos do 29 quadrante têm abscissas negativas e ordenadas positivas. O par (-1, -3) ficou representado por um ponto pertencente ao 39 quadrante. O par (-1, -3) ficou representado por um ponto pertencente ao 49 quadrante. Todos os pares ordenados representados por pontos do 39 quadrante têm abscissas negativas e ordenadas negativas. O par (2, -3) ficou representado por um ponto pertencente ao 49 quadrante. O par (3, -3) ficou representado por um ponto pertencente ao 49 quadrante. Todos os pares ordenados representados por pontos do 49 quadrante têm abscissas positivas e ordenadas negativas. designando os seus elementos, uma vez que teremos infinitos pares (x, 3) porque x assume todos os valores reais entre 2 e S, inclusive 2 e 5.
  23. 23. 4 Tí 't3 "Irã -I S551 3 _______ _. . ------ (4 U1 ---------- (5,3) Assinale então as afirmações corretas: a. (x) SeZGA e 3GB, então (2,3)GAX B. b. ( )Se3GA e 2GB, então (3,2)GAX B. , . c. _(x) Se 2,5 G A e 3 G B, então (2,5, 3) G A X B. d. (X) Se 2,8 e A e 3 e B, então (2,3, 3) e A x B. e. ( )Se3,1GA e 3GB, então (3,1,3)GAXB. f. (x) Se 3,5 G A e 3 G B, então (3,5, 3)GA X B. g. (x) 0 primeiro elemento de todos os pares ordenados de A X B é um número real que é maior ou igual a 2 e menor ou igual a 5. h. ( ) O segundo elemento de todos os pares A X B é diferente de 3. i. (X) Na representação cartesiana, todos os pares de A X B serão representados por pontos que têm ordenada igual a 3. ' its' j. (x) No plano cartesiano, o gráfico de A X B está contido numa reta paralela ao eixo das abscissas. l. ( ) A representação gráfica de A X B é uma reta. » m. ( x) A representação gráfica de A X B é um segmento de reta. , 49) Sejam os conjuntos A= [xG]RI2<x<5], B = [yGlRIl < y < 3] e o produto cartesiano AXB= [(X, Y)l2<x<5 e l<y<3]. A representação cartesiana de A X B e' uma superfície retangular como indica a figura:
  24. 24. S9) Sejam os conjuntos A = [x GIRI2< x < 5], B = íy GlRIl < y G 3]e o produto cartesiano AXB= [(x, y)|2<x<5 e l<y<3]. A representação cartesiana de A X B é uma superfície retangular como indica a figura: EXERCÍCIOS sEQüENctA A l) Complete as sentenças de modo quese tornem verdadeiras: c) A = i-2. 3. 4, 5 ] j, O ponto que representa o par (2, 3) E . ' quadrante. O ponto que representa o par (-3, 4) E _ quadrante. O ponto que representa o par (-2, -l) E __. _ _ quadrante. O ponto que representa o par (2, -5) E quadrante. O ponto que representa o par (à, - quadrante. 085358 O ponto que representa o par (-2, -3,2)E___) quadrante. g) O ponto que representa o par (2, 0) pertence ao eixo h) O ponto que representa o par (- à, O) pertence ao eixo das . ..tí«, .é§: >eú<; :a«. ;e; e:á . ... ... .. i) O ponto que representa o par (0, 3) pertence ao eixo das . ..Catlníêz/ :Lw : :kda . ... ... . . . - j) O ponto que representa o par (0, -5) pertence ao eixo das . ..Graçáazatzcctw r ; a . ... ... l) Todos os pares que têm ordenada igual a zero são representados por pontos que pertencem ao eixo das . ... ... m) Todos os pares que têm abscissa igual a zero são re- presentados por pontos que pertencem ao eixo das 'z/ .ZQAAC/ l &f; .. ... .. . . ' Escreva o produto cartesiano AX B e represente-o no plano cartesiano: a) A = [1, 2, 3] n : (3,41 b) A= [-2,-1,2] a = [-1, 2] B : í-i] d) A = [-1, o, 2] B= [0] e) A40] a = [-2, -1, o, 3] o A= lxe1RI-2<x<1] B=14J g›A= í3i B = lye1RI1<y <4l h) A= [xeRI1<x<3] B = iyeRI2<y<5l i) A= [xE]RI-1<x<2] B= [xElR|0<y<3] j) A= [xeml2<x<4] B = lyemli <y<3i 1) A = [xlx GlR]= lR a= b] m›A= [3] B= lR n) A: fxIxElR xà-Z] B = fy| yG1Ry>-2) o)A= (xeRIx>1] B= fYGlR| l<y<3) p›A= íxeaI1<x<4] B = íyeRIy>3l 25
  25. 25. RESPOSTAS 2) a) A >< B = ((1. 3), (1, 4), (2. 3), (2, 4), (3. 3). (3. 4)) ,26 t) Axs= [(x,4)Ixen e -2<x<1]
  26. 26. n›AxB= í<x. y›IxeR. yeR. x>-2 e y>-2) Y SEQÍÍÊNCIA a . 1 , l) Dados os conjuntos A = [-2, o, 1, 3]; a = í-i. o, 3, 5]; e) (AUC) x C_-[¡(x, ›/)/ -j<x<4 4 ; z <¡›<.2¡ ' _r 'I C = í-Z, 1, 3], faça a representação gráfica de: f) A X (B ncpgpzJ/ j/ígz g4 _aff Çyg : af a) A >< B g) (AUB) >< (Buc)_-/ ¡x, y¡/ -3<xg4e-3<y<3j b)A><C ' h)(AOC)XB= (?. t,)d/1$-tçg2e-3§X<3f o)CxA i) AX(AñC): //x/ ›// /_[(xS4_gjçJ/ çgf “A” ' DO c - -3 <-1 »e 3 e) (Ama) ><C= /(0;~2), (Q1), (Q3), (3,--2). (3,1), (3,3)f s XA ¡f/ Lyy( (x) ac 0K )z . 1 o c >< (B no : gr-. .Lsz (1, s), (s, s); i y ç 'H E) (B OC) X (B UA) -'/ (~5¡"2)l (3,1), (3.0), /3,Í)/3,3)/ ã5), f 3) Faça o gráfico cartesiano de: h) (M) X A ° #rtp/ Maca (5,0); a› B+ XR, b) lR_XR_ 2) Dados os conjuntos A = *Íxlx ER e 1 g x g4] c) lR_ XR, s= íx| xen e -3<x<3] d)lR, xR_ c= íx| xenz e -l<x<2] e)R><R _ faça o gráfico cartesiano de: O E A xAmndeA= [XMS R e CI<X<3Ê . a) A x B R x13 b) A XC K 6 4x4 K 7 V / .z, ›/)/ (.t<-f›su, i>3)z by” 3 c)BxA Rxk f / ó/ yff' . a a) (Ana) x C= /(. z:, y)/1< x<3z -zvs elf
  27. 27. Relações Neste capítulo, pretende-se que o aluno esteja apto a: a) conceituar relação. b) representar graficamente as relações no plano cartesiano. c) identificar o con/ unto dominio e conjunto ima- gem de uma relação. RELAÇÃO 30. Definição: dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B a qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B. Rérelaçá'odeAemB<= ›RCAX B 31. Aplicação: 19) Sejam os conjuntos A = fl, 3, 4], B = [O, 2, 4, 6, 8] e seja R o conjunto dos pares (x, y) do produto cartesiano A X B tais que y é o dobro de x, isto é, R = [(x, y) E A >< BIy = 2x]. Sabendo que o produto cartesiano A X B = [(1, 0), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, O), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (4, O), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8)], assinale as afirmações corretas: a. ( )(3,6)eAXB ) Em (3, 6), o segundo elemento é o dobro do primeiro elemento. ) (3, 6) E R ) (1, 4) e A >< B ) Em (l, 4), o segundo elemento é o dobro do primeiro elemento. ) (1, 4) e R ) (4, 2) e A x B ) Em (4, 2), o segundo elemento é o dobro do primeiro elemento. ) (4, 2) $ R ) (1, 2) e R ) R = l(1› 2). (3, 5)›(4, 3)? )RCAXB 5 z-'t-"z-"p-'qn g-ngb _ap _c- Aff'%%r-%%ff% 28
  28. 28. n. (><) R é uma relação de A em B. o. ( ) R não é uma relação de A 'em B. p. (A) Na relação R, cada elemento x de A foi associado ao elemento y de B, que é o dobro de x. q. (><) R= Í(x, y)EAX Bly=2x]› f. (><) 0 gráfico cartesiano de A X B e de R é: Observação: Como em R cada elemento x de A foi associado ao elemento y de B, que é o dobro de x, podemos representar essa associação pelo seguinte esquema de flechas: A 29) Sejam os conjuntos A = [-2, 3, 4] e B = [-1, 0, 4, 5]. l - Escreva o conjunto A X B: À X B = Ãñlâú; ÃJIJÍQZAgÀJ-. Císzy/ ..íãzl. ííügz/ ..QJJ-KÀQXÍÁJ-Jut-? Q-QALL. .KmL. .zânian-Ljnà. ).à. :Csi: .?-'Á)u. ... ... ... ... .. . .LrzâQJrlÍfr_fililñãj . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 2 - Escreva o conjunto R tal que R = í(x, y) E A X BIy = x +1): / R = [('21 'l)a I . ..fun )I ( . f r í) 29
  29. 29. A L _- y 'Lx/ ç _a r , . fl** m» r › , a - r r L. t * um * 4 l« i 3;_ . ' . . a › Ó 7 7 * ^ 7317?'. , ¡- . . . r. M_ _. 4 _l .1 . . z ç "-1 - , . _ _ . _ H r _ , _ . '.. .:-7, -zdil r n th' 9 534m1; A 'ti' e» " A* j 4 : 4 : A A r L qt. , a › . ., . Í _I . j l . +2 - . f, Í › f r . : tl? q il* 4 a k ~ A ~. A ~ . a . a *c* - . r l_ 4 L . , ›Ó _ , A V_ _* - l. . _ v * l . , É. , . 1» - 1 t' t H '-1 'Ir-O v - Á 'i “ A r í. . í .1 rt t. . 91': ' . .x - 4.- v. . . ;x . r É L1 Í* j J _ . E177 A '* . _ . ., l 4 ¡ . "a A' : g v r _V f U l nr. "1, s. .. T». l, .' : e › 1 Í 11' »rh . ¡ 1.": t t. , . 1,¡ _tp _' - *I A; § « 1 . - U- À . t LJ Au. › 'v "t t' xl i ' . .tv . , ' . r ' J; ' . tt - Í¡ t' . * . . lí. ” V, ' , . . A- › . p _. . « V7_ r -_›' ; na . A ' f I , . - : l - r llL' i r t ' . 'm' , 1 . É* r *n* , t* L já¡ ÚÍ¡ j Il_ _ n* › *ç gt 4 a m4» ›A › y - n " ifzsb? mi? *HH Í** . rflswlfíl . 4 - No gráñco anterior, faça a representação de R em outra cor. 5 - _Represente R por um esquema de flechas: A 6 - R é uma de A em n. 39) Sejam os conjuntos A = [1, 3, S] e B = l-2, l, 2, 3]. 1 - Escreva o conjunto A X B: A x B = .[4432. . .(44.4 l. (.4.. s22.. .Ç.4.. ..3Jr. ..C.3 ; garra . ..1.).4.. (.: ãl. f2 2 - EscrevaoeonjuntoRtalqueR= [(x, y)EAX B| y=x-3]: R = . - l. .. )› (s: .. âuu u. .. .
  30. 30. 3 - Faça o gráfico_ cartesiano de A X B: 4 - No gráfico anterior, faça a representação de R em outra cor. p¡ 5 - Represente R por um esquema de flechas: › 5 ~ R é uma . ... ... .. . . de A em B- à] 49) Sejam os conjuntos A = [x elRl l < x < S] e B= íyERI2<y<7L 1 ~ Faça o gráfico cartesiano de A X B: à; p? l¡ ›- l 1 1 2 - No gráfico anterior, faça a representação da relação R= [(x, y) e A x Bly = 2x)]›
  31. 31. DOMI-NIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO 32. 33. 32 Definição: sejam os conjuntos A e B e seja R uma relação de A em B. Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Observe que D C A e Im C B. Aplicação: 19) Seja A = [l, 3, 5, 9], B = [0, 2, 3, 4, 8] e R a relação de A em B tal que R = [(x, y) E A X Blx <y]. l - Escreva o conjunto R: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 3 ~ Escreva o conjunto imagem de R, tomando os segundos elementos dos pares de R: Im = .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4 - D ________ __ A, isto é, D é subconjunto de ________ __ . 5 - Im ________ __ B, isto é, Im é subconjunto de ________ 29)Sejam os conjuntos A= [xGlRI2<x < 5], B= (yElRl3 <y< 6] e R= [(x, y)EAX B| y=2x]. l ~ Faça o gráfico cartesiano de A X B: í l I 5 l i l l-_l l À l l i 2 - Façano gráfico anterior a representação cartesiana de R. 3 ~ Como o domínio de R é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares de R, D terá como elementos todas as abscissas dos pontos que representam os pares de R, isto é, todos os x tais que . ... ... . . . < x <
  32. 32. :'71 C Hi9 a imagem 'de Rego” de todos os-segíhtlos elementos dos parente R Im teri- ~ _ elementos todas as ordenadas dos pontos que representam os pares de R, isto é, 'todos os y tais 5 - Observe no gráfico abaixo o que se afirmou nos itens 39 e 49: O» 39) Sejam os conjuntos A= [x GlRI2 < x < 4], B = [y EIRIy à 2] e R = [(x, y) E A X BIy = x -1]. 1 - Faça o gráfico cartesiano de A X B: 2 - No gráfico anterior, faça a representação cartesiana de R e assinale o domínio e a imagem dessa relação. 3 - D = §x§az§. §.gç. §$, é. Im = /›<. e5/. «.›2.. §.x§. .e, ã.. RELAÇÃO | NVERSA 34. Dados os conjuntos A, B e uma relação R de A em B, chama-se relação inversa de R ao conjunto R" da forma: R* = to', x) e a x A| (x, y) e R] Assim, sendo A = [-2, 0,1, 3, 5], B = [l, 2, 3] e = ((x, y) E A X Blx > y] vem: R4 = f(y, x) E B X Al (x, y) G R] _ , Como R = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (s, 2), (5, 3)], então R" será: - ' __ R* = m. 3). (2, a), (1, s), (2: s). (3. s): ' ' j l
  33. 33. EXERCICIOS SEQÍÍÊNCIA A l) Dados os conjuntos A = [1, 2, 3, 4] e B = (3, 4, 5, 6]: 19) Escreva as relações abaixo, designando cada um de seus elementos. 29) Escreva o domínio e a imagem de cada relação. 39) Represente graficamente a relação no plano cartesiano. a) R¡ = [(x, y) E A >< B| x e' a metade de y] b) R¡ = [(x, y) e A >< Blx é divisor de y] c) Ra= [<x. y)eAxBIy= x+2] d) R4=Í(x. y)eA><Bly=4] e) Rs= í(x, y)eA><Blx>y] 2) Dado o conjunto A = [-3, -2, -l, O, 1, 2, 3, 4]: 19) Escreva as relações abaixo, designando cada um de seus elementos. 29) Escreva o domínio e a imagem de cada relação. 39) Represente graficamente a relação no plano cartesiano. a) R¡= [(x, y)eA><AIy= x+3] b) R: = Rx. y) E A ><A| y = x2] c) R3 = ítx. y) e A ><AIy = IxI] d) R4 = [ou, y) e AxAIx = V] 3) Dado A = R, pede-se: 19) 0 gráfico de cada uma das relações abaixo. 29) O dominio e a imagem de cada uma das relações. a) R¡ = í(x. y)ER><Rly= x+ l] b) R2 = [m, y) em xnzly = x] c) R3 = [lx, y) em xRIy = -x] d) R. = [os, y) em ><1RIy = 2x + 3] 4) DadosA= [XIXGZ e -3<x<4]e arelação R = Rx. y) eA x Aly = x21: 19) Escreva a relação R designando cada um dos seus ele- mentos. 29) Faça o gráfico de R no plano cartesiano. 39) Escreva o domínio e a imagem da relação. 5) DadosA= ÍxIxEIR e -3 Sx <4]e relação R= f(x, y)EA><A| y=x2]: 19) Faça o gráfico cartesiano de A X A. 29) Represente R no gráfico anterior. 39) Escreva o domínio e a imagem da relação R. 6) Dados A = R e a relação R = [ol, nen >< R I y = x“]: 19) Faça o gráfico cartesiano da relação R. 29) Escreva o domínio e a imagem da relação R. 34 R ESPOSTAS 1) a) R. = ((2. 4), (a, 6)] D = [2, 3] Im = [4, e] b) R2 = ((1. 3). (1.4), (1, 5), (1,6), (2.4). (2, 6), (3. 3). (3. s), (4. 4)] D = [1, 2, 3] Im = [3, 4. s, s] c) R3 = R1, 3), (2, 4), (3, S). (4. 6)] n = (1, 2, 3, 4] [m = (3, 4. 5, 6] d) R4 = ((1, 4), (2, 4), (3, 4). (4. 4)] D = i1. 2, 3. 4] Im = [4] e) Rs = ((3. 3), (4, s), (4, 4)] D = [(3,40] Im = [(3, 4)] 2) a) R¡ = ((4, 0), (-2, l). (-l. 2). (0. 3), (1, 4)] o = [-3, -2, -1, o, 1] Im = [o, 1, 2, 3, 4] b) n¡ = [(4, 4), <-1, 1), (o, o), (1, 1), (2, 4)] D = [-2, -1, o, 1, 2] Im = [o, 1, 4] c) R3 = ((4. 3), (-2, 2). (-1, 1), (o, o), (1, 1), (2, 2), (3, s), (4, 4)] D = í-s, -2, -1, o, 1, 2, 3, 4] Im = [o, 1, 2, 3, 4] d) R4 = ía, -2), (4. 2), (1. -1), (1, 1), (o, 0)] 1) = [4, 1, o] Im = [-2,-1,0. 1,2] u 5 5 n 5 lm
  34. 34. mmmmuan_ 1) Dado o conjunto A = [-3, -2, -1, o, 1, 2, 3] pede-se: ' 19) Escrever as relações abaixo, designando cada um de seus elementos. 29) Representar graficamente a relação no plano cartesiano. 39) Escrever o domínio e a imagem da relação. a) R= ((x, y)eAxA| |x+yI =4] V= X('3,'Í); ('-? ,'«= ?)›('Í7'3)› ('1›'3)1(1)3))(371)f4 D= /-3,-.2,-1,1,3¡ 4Im. -/-3,-.2,-1,1,3j Dall Im= R Im ll H 4) R = [c-z. 4), <-1, 1), '(o. 'o). a, 1), (2. 4)] b) R= [(x, y)eAxAIIxI +y= 3] = /¡-3,o), (--2,1), /-1,«4U) (0,3), (1,4), /2,1), (3,0/f 0=/ -3,-.2,-z,0,1,.2,3je [rn. : / amaa/ c) R= í(x. ›')eAxAl| x-y| =0] . .m3, -3), rua-2), ('. Z,"Í), (ao/141) R /4,2), /3,341 D = [-2, -1, o, 1, 2] o_-/ -3,-.2,-1,o, z,.7, 3) 4 [nz/ a, -. z,-1,Q z, .2/ 3¡ 2) Faça o gráfico cartesiano da relação: a) R = Hx, y) EA >< Aly = Ixl), onde 5) A= [›e| xez e -3<x<4] b) R = Rx. y) eAxAIy = Ixl), onde A= [xIxE1R e -3<x<4] c) R= Í(x, y)e1RxR| y= Ixl] d w - D = [xIxen-2<x<2] x x lm= [x| xER 0<x<4]- 6) 3) Faça o gráfico cartesiano das relações: a) R= Í(X, Y)EAXAIy>x, onde A= íxlxez e -3<x<3] b)R= [(x, y)eAxAly>x, onde A= [xIxER e -3<x<3] c) R= [oz, nemxnlyzx] ? AÍ/ Aãzãl
  35. 35. 4) Faça o gráfico cartesiano das relações: a) R = (ol. y) emxmy = 2x +1] b) R = -[<x. y) em xRIy 22x +1] c) R= íon y)ElR><R| y<2x +1] a. ) t3 É] q, 36 c) 5) Faça o gráfico cartesiano das relações: a) R = Rx, y) ea XIRIy >-x + 3] b) R = [a, y) eJR xRIy < 2x] c) R_= Rx. y) en: XRIy >-x + 3 e y <2x]
  36. 36. Funções Neste capítulo, pretende-se que o aluno esteja apto a: a) conceituar funções. b) analisar funções. c) determinar o conjunto domínio e a conjunto imagem de uma função. FUNÇÃO 35. Definição: sejam dois conjuntos A e B. Uma relação R de A em B é chamada de aplicação ou função de A em B quando: 19) qualquer que seja x E A, existe y E B tal que (x, y) E R. 29) para cada x E A, existe um só elemento y E B, tal que (x, y) E R. Observe que pela lê condição, todos os x E A têm imagem y em B e pela 24 condição, cada x E A tem uma única imagem y em B. Então, se (x, y) E R, y é a imagem de x pela relação R. Indicaremos esse fato por: y = R(x), que por abuso de linguagem, se diz a função y = R(x), em vez de a função R. Também por comodidade, costuma-se representar a função por f em vez de R. Assim temos: y = f(x) que se lê: y é função de x. Para melhor visualizar as condições da defmição faremos os seguintes esquemas de flechas entre os conjuntos A e B: A , Lx / x ____ / -__~IL 1 " ¡ ___ l ____ --Tñ I 1 I l , , , I , JVC / __--' z Todos os elementos de A têm imagem em B f é fun 'o Cada elemento de A tem uma única imagem em B É = › ça 37
  37. 37. Í 5* -I_< ç/ x _I__-- x : : - * *í | | | I _v'/ 'I . ____- xãã---f/ /z A B Todos os elementos de A têm imagem em B ç _ _ = =› f é função Cada elemento de A tem uma umca imagem em B A B Existe elemento de A que tem duas imagens em B = › f não é função Portanto, quando uma relação de A em B é função, o seu domínio é o próprio conjunto A. Então dizemos que f é aplicação ou função de A em B se f for uma relação de A em B tal que todo elemento do conjunto A tem imagem, e somente uma, no conjunto B. Indicaremos a função f pela notação f: A -› B X ›-› y = f(x) onde y = f(x) representa a propriedade característica da função f e y é o valor da função para o x considerado. 36. Aplicação: 19) Sejam os conjuntos A = [2, 4, 5] e B = [l, 3, S, 7] e R = [(2, 3), (4, l), (5, 5)] Assinale então as afirmações corretas: a. (X ) A X B = [(2, l), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (4, 1), (4, 3), (4, S), (4, 7), (5, l), (5, 3), (5, 5), (5, 7)] b. (>. ) R C A X B c. ( ) R não é uma relação de A em B. >'Í ) R é uma relação de A em B. D(R) = [2, 5] D(R) = [2, 4, 5] odo elemento de A tem imagem em B. ada elemento de A tem uma única imagem em B.
  38. 38. ')laem'ñmçsodeAémB-. )RnãuéumafunçãodeAemB. ) O esquema de flechas que representa R é: A B 7< q. (><) O esquema de flechas que representa R é: A ' B 29)Sejamosconjuntos A= [1,3] e B= [0, 2, 4, 6] e R= [(x, y)EAX BIy=2x]. Assinale então as afirmações corretas: o a. (><) A X B = [(1, O), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, O), (3, 2), (3, 4), (3, 6)] b' ( ) R = [(1› 2)! (L 4)› (3a c- (><) R = i0, 2). (3. 6)] d. (x) R c A x B e. ' (><) R é uma relação de A em B. f. ( ) R não é uma relação de A em B. z» (><) D(R) = (1. 3] h. ( ) D(R) a* A i. (X) (1, 2) E R j- (><) (3. 6) E R l. (X) Todo elemento de A tem imagem em B. m. ( X) Cada elemento de A tem uma única imagem em B. n. (><) R é uma função de A em B. 0.( ) R não é uma função de A em B. p. (X) O esquema de flechas que representa R é: A B 39)Sejam os conjuntos A= [-l,2] e B= [2,5,7) e R= [(x, y)EAX B| x<y] Assinale as afirmações corretas: _ a' A x B = [('1› 2)› ("ls 5)! ("la 7): (2a 2): (2a S): (2a _ b- R = [('1s 2): ("L 5)› ("L 7)› (l S): (21 c. (><) R C A X B d. ( ) R não é uma relação de A em B. e. (><) R é uma relação de A em B.
  39. 39. f- ( ) D(R)*Í-1. 2] g. (><) D(R) = A h. (X) O esquema de flechas que representa R é: A 4.( B Íí_ i. (><) Todo elemento de A tem imagem em B. j. ( ) Cada elemento de A tem uma única imagem em B. l. (><) R não é uma função de A em B. m. ( ) R é uma função de A em B. 49) Sejam os conjuntos A = (2, 5] e B = [1, 2, 4, 7] e R = [(x, y) E A X BIy = x + 2]. Verifique se R é ou não uma função de A em B. Para isso complete: a) A x B = b) R = ./ z;«. ›z, ..ízl. .r. ã,. .zjj . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. c) R A X B (DíZ E A e a _imagem de 2 é E B. 5 E A e a imagem de 5 é E B. @(2 tem uma única imagem em B, que é m4 5 tem imagem em B. que é f) O esquema de flechas é: A B . ... .. . . de A em B. g) Portanto, R . ... .. . . z. .. 59) Sejam os conjuntos A = [l, 4, 7] e B = [2, 3, 12,15] e R = Hx, y) E A X BIy = 3x]. Verifique se R é ou não uma função de A em B. Para isso complete: a) A X B = .íáã. .e2j. ›.. íãz. .~.3jf. íél 1@LCA. ÁÓÍJ. ;.. KÍÁ: ZJA. AÍÉ.3À. .Cíáãztííí. fãzlzíãeâjaá. ZÃLKZÁÃÀ b) R = zcz. ,.§4l. .c.4i. .4ç2,z . ... ... ... ... ... . . . x7, m¡ c) R' A X B 1 E A e a imagem de 1 é E B. d) 4 e A e a ¡Inaãem de 4 é e . ... 7 E A nâô* , Érn imagem em . e) Existe elemento de A que _____ __ imagem em B; portanto não podemos afirmar que cada elemento de A tem uma única imagem em B.
  40. 40. g) R fUIIÇãO de A em B- 69) Sejam os conjuntos A = [-2, -l, 0, 2] e B = [O, l, 2, 3, 4] e R . = Í(X, y) E A X BIy = x¡]. Verifique se R é ou não uma função de A em B. Para isso complete: a) A >< B = ./ (.-. .«. =z. ..QJi. (-«. ›2., ... z.)t[: .g, .a22t. á:. e2l3.), l.(: e2.. .2u, .1:4.QA. (:g, .4.2.. ág. .e2.)l.6+rl. â2i@A2 . ÁQQLJOJ.1.À¡. .(Q. .&À, ..(Q. âLÁQríÉ/ ,ÁeãlQJxCaZaÃJ. ,.C432,. ízâ/ .ãlíeàríifuw. ... ... ... C) R A X B -2 E A e a imagem de -2 é E B. dj -l E A e a imagem de -1 é e 0 E A e a imagem de 0 é 2 E A e a imagem de 2 é 4 -2 tem uma única imagem em B, que é ________ __ -1 tem imagem em B. que é e) . , 0 tem . ... . 2 tem . ... f) O esquema de flechas é: Exercícios a resolver: itens l a Ya'. págs. 50 u 5?. DOMlNlO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 37. Considere uma função f de A em B. Observe que pela defmição de função, o domínio de f' é o conjunto A, à pois para todo x E A existe uma única imagem f(x) E B. ' ' tab.
  41. 41. 38. O conjunto Im dos elementos y E B para os quais existe x E A tais que (x, y) E f é chamado imagem da função f e portanto Im C B. 39. Aplicação: 19) Seja f a função representada pelo esquema de flechas: A Assinale então as afirmações corretas: a. (V) Todo elemento x E A tem imagem em B. ) Cada elemento x E A tem uma única imagem em B. ) (-2, 5) e f ) (-2, 7) E f ) (-2, 10) E f ) (0, 7) e f ) (0, 8) e f ) (O, ll) E f ) (2, 7) e f ) (3, 8) e f ) f = (G2, 5), (0, 7), (2, 7), (3, 8)] )D(f) = [-2, o, 2, 3] = A )Im(f) = (S, 7, 8] C B 'SlBVM-"VTWEPP-PP' fNÀí/ N%F%FN%%P% . _ A, Vlp 29) Seja f a função representada pelo gráfico: Assinale então as afirmações corretas: a. ( ) Todos os pontos pertencentes ao gráfico têm abscissas maiores que 3. b ( ) Todos os pontos do gráfico têm abscissas menores que zero. X Todos os pontos do gráfico têm abscissas maiores ou igual a zero e menores ou igual a 3. Todos os pontos do gráfico têm abscissas x tais que O < x < 3. Domínio de f e' o conjunto dos x que são abscissas dos pontos do gráfico. D(f)= [x| xE]R e 0<x<3] Todos os pontos pertencentes ao gráfico têm ordenadas maiores que 5. Todos os pontos do gráfico têm ordenadas menores que l. f. . x / c. d. e. f. g. h. #x/ 's/ *Pxâê s/ szxysax/ N-z 42'
  42. 42. i. (X ) Todos os pontos do gráfico têm ordenadas maiores ou igual a 1 e menores ou igual a 5. j. (><) Todos os pontos do gráfico têm ordenadas y tais que l á y < S. _ç ç __ l. (X) Imagem de f é o conjunto dos y que são ordenadas dos pontos do gráfico. _ "i7 m. (x)1m(0=iyIyeR e 1<y<5] “ 39) Seja f a relação representada pela equação y = x/ Y. Assinale então as afirmações corretas: a. (X) Para x=4elR, y= f(4)= /4_=2eIR b. (X) Para = l E IR, y = f(-i-) = -ÊE IR ' 51;'. l c. (><) Para l 4 í =3GlR, y= f(3)= s/íe]R )Para = -4EIR, y=f(-4)= /ÍEIR Para =0E]R, y= f(o)= f=oem Para x = -9 em, y = m9) = @em Todo número positivo e o zero têm imagem y E IR. Vx GlR, x à 0 tem imagem y GIR. Todo número negativo tem imagem y ElR. ><><><>< Todo número negativo não tem imagem em IR. D(f) = IR D(f) = IR, , = fxlx ER e x20] Im = IR i ' Im (f) = IR. C lR f é uma função de lR em lR. É** rRzRrK/ e/ 'N/ rázã/ «zãr-«e xzszxyszsrs/ szsz/ uzszxz f é uma função de lR+ em lR. Exercícios a resolver: itens 9 a 13. págs. 52 54. w ' , ' ' FUNÇÃO SOBREJETORA, FUNÇÃO INJETORA E FUNÇÃO BIJETORA Sir¡ Neste tópico nos limitaremos apenas a conceituar esses tipos de funções, que nos serão úteis mais adiante para definir novos conceitos. 40. Função sobrejetora: seja uma função f: A -+ B x ›-› y = f(x) f é sobrejetora se e somente se o conjunto imagem de f for o próprio conjunto B. . ü . _ f e' sobrejetora <= Im(f) = B l _, Exemplos: A B _ f _' v 1?) Seja a função f dada pelo esquema de flechas: i . v _ V_ D(t)= AeIm(r›= B í f é sobrejetora Ou seja:
  43. 43. '29) Seja a função f: IR -› R, dada pelo gráfico: x ›-› y = f(x) D(f) = lR e Im(f) = lR, , f é sobrejetora 41. Função injetora: seja uma função f: A -› B x ›-› y = f(x) f é injetora se e somente se a elementos distintos de A correspondem elementos distintos de B. Ou seja: f é injetora <= V-x¡ E A, Vx; E A, se x¡ ; é x, então f(x. ) ; é f(x, ) Exemplos: 19) Seja a função f dada pelo esquema de flechas: A B f é injetora 29) Seja a função f: lR -› R dada pelo gráfico: x H y = f(x) vx¡ ER e vx¡ ER, se x¡ = #x, ; então f(x¡)= /= f(x, ) f é injetora
  44. 44. 42. Função bijetora: seja u'ma função f: A -› B x H y = f(x) f é bijetora se e somente se f é sobrejetora e injetora. Ou seja: f bijetora <= › Im(f) = B VX¡ E À, VX¡ E A, X¡ $ X¡ à f(X¡) $ f(X2) Exemplos: 19) Seja a função f dada pelo esquema de flechas: A B f é bijetora 29) Seja a função f: R -› R dada pelo gráfico: X ›-› y = f(x) f é bijetora FUNÇÃO | NVERSA 43. Definição: se f é uma função bijetora de A em B, então a relação inversa de f é uma função de B em A que é chamada função inversa de f e é indicada por f¡ . Observe que sendo f uma função bijetora de A em B, f" é uma função, pois qualquer que seja y E B, existe um único x E A tal que o par (y, x) E Fl. Pelo esquema de flechas temos: A f B B f-l A D(f)= A e lm(f)= B D(f'¡)= B e Im(f")= A
  45. 45. Aplicação: Sendo A = [-1, 2, 4], B = f-2, 4, 8] e f: A -› B assinale as afirmações corretas: x ›-› y = 2x a' f = [('1› '2)› (29 4): (49 b. ( ) f é representada pelo esquema de flechas: . É. c. (X) f é representada pelo esquema de flechas: A B d. (Sã) VX¡ E A e VX¡ EA, x¡ sex-g, =› f(x¡) = X= f(x, ) . (,”) D(f) = [-1, 2, 4] = A x) Im(f) = [-2, 4, 8] = B f não é uma função bijetora de A em B. f é uma função bijetora de A em B. f" = [(-2, -l), (4, 2), (8, 4)] é a relação inversa de f. f' 1 é representada pelo esquema de flechas: '. - 2*- : r qn re. m PN f 1% â % l-s x L-L / ê *cl à B A 'í 7 Todo elemento de B tem imagem em A. Existe elemento de B que não tem imagem em A. Existe elemento de B que tem duas imagens em A. Cada elemento de B tem uma única imagem em A. f' ' é uma função de B em A. F¡ é a função inversa de f. D(f") ; E B D(f' 1) = B Im (F1) = A D(f") = Im(f) e Im(f'l) = D(f) F 1" 5” 59'? .° P B i" / xrxrx/ a/ fx/ ÀA / XxX. XXX_ ç saxas/ asas/ »axax/ sa
  46. 46. NOTAÇÃO DA FUNÇÃO | NVERSA 45. Sejam os conjuntos A = í-l, 2, 4], B = í-Z, 4, 8] e f: A ~› B x ›-› y = 2x Então: f = H-l, -2), (2, 4)» (4, 8)) Como f é bijetora, f admite a inversa f* = [(-2, -1), (4, 2), (8, 4)] que associa cada elemento à sua metade. Chamando de x os elementos de B (conjunto de partida) e de y os elementos de A (conjunto de chegada), f** associa a cada x E B a sua metade à e A. 2 Então, podemos escrever: f" : B -› A x X )-> y = '2- Se f é uma função Bijetora dada por f: A -› B x ›+ y = f(x), então sua inversa é f" dada por f": B -› A x ›-› y = f“*(x) tal que (b, a) E f" se e somente se (a, b) E f. GRÁFICO DA FUNÇÃO | NVERSA 46. O gráfico de uma função f e o de sua inversa f* são simétrícos em relação à bissetriz do 19 e 39 quadrantes. 47. Aplicação: 19) Assinale as añnnações corretas, observando o grafico abaixo, onde estão representadas: a função f= [(-1, -2), (2, 4), (4, 8)] em c, a função f" = [(-2, -l), (4, 2), (8, 4)] em e a reta b, que é a bissetriz do 19 e 39 quadrantes. oo ------- 47
  47. 47. a. (><) Os pontos (-1, -2) E f e (-2, -l) E ff' pertencem a uma mesma perpendicular à reta b. b. ( ) Os pontos (-1, -2) e f e ›('-2,. -1) e f" não pertencem a uma mesma perpendicular à reta b. c. (X) A distância do ponto (-1, -2) à reta b é igual à distância do ponto (-2, -1) â reta b. d. (><) Os pontos (-1, -2) e (-2, -l) são simétricos em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. e. ( X) Os pontos (2, 4) E f e (4, 2) E f" pertencem a uma mesma perpendicular à reta b. f. ( ) Os pontos (2, 4) E f e (4, 2) E f" não pertencem a uma mesma reta perpendicular à reta b. g. (X) A distância do ponto (2, 4) à reta b é igual à distância do ponto (4, 2) à reta b. h. (X) Os pontos (2, 4) e f e (4, 2) e f"' são simétricos em relação â bissetríz do 19 e 39 quadrantes. i. ( ) Os pontos (4, 8) E f e (8, 4) e f" não são simétricos em relação à bissetriz do 19 e 39 quadrantes. j. ( X) Os pontos' (4, 8) e (8, 4) são simétricos em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. l. (X) Todos os pontos do gráfico de f* são simétricos aos pontos correspondentes do gráfico de f em relação à reta b. m. (/í) O gráfico de f* e o de f são simétricos em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. 29) Sendo A = [x E lRll < x < 4] e B = [x E lRl2 < x < 8], assinale as afirmações corretas, observando o gráfico abaixo, onde estão representadas: a função f: A -› B em linha cheia, x ›-› y = 2x f ' f'1: B A a unçao à x em linha tracejada X l-› y = _2- e a reta b, que é bissetríz do 19 e 39 quadrantes. X) (1, 2) e fe (2, 1) e fr' ) (1, 2) e (2, l) não são simétricos em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. ) (l, 2) e (2, 1) são simétricos em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. K) (2,5, 5) E f e (5, 2,5) E f" X ) Os pontos (2,5, 5) e (5, 2,5) são simétricos em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. *<) (4, s) e fe (s, 4) e f" ) Os pontos (4, 8) e (8, 4) não são simétricos em relação â bissetríz do 19 e 39 quadrantes. ) Existe ponto do gráfico de f* que não é simétrico ao ponto correspondente do gráfico de f em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. i. (, ><) Todos os pontos do gráfico de f" são simétricos aos pontos correspondentes do gráfico de f em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes. j. (X) Os gráficos de f* e f são simétricos em relação à bissetríz do 19 e 39 quadrantes.
  48. 48. n39!) . aítíinhtta em ; reinar-ie al! l'-f"l'-i_g). ('-llií_ltííaiíil nur-i. -rrm : -« a» aire: livraria!
  49. 49. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 48. Seja uma função f: lR -› IR . Dizemos que: x ›-› y = f(x) a) f é uma função crescente num intervalo D¡ C R quando VX¡ E D1, VX, ED¡, se x¡ <x¡ então f(x¡) < f(x2) b) f é uma função decrescente num intervalo D, C IR quando vx¡ E D2, Vx¡ E D, , se x, <x¡ então f(x¡) > f(x¡) Assim, seja f uma função representada por: ¡Xr X2, D¡ f é crescente em D¡ f é decrescente em D¡ - EXERCÍCIOS SEQÚÊNCIA A 1) Assinale os esquemas de flechas que representam funções de A em B: a) ( ) A B d) ( ) A a b) l ) A 3 e) ( ) A B í# c) ( ) A e, 0 ( ) A . e É 50
  50. 50. 2) Dados os conjuntos A = (2, 4, 5] e B = i2, 3, 4, 9]', faça um esquema de flechas para as relações abaixo e verifique quais delas são funções de A em B. a) R. = [(2, 3), (4,9), (s, 4)] b) R2 = [(2, 9), (s, 4)] c) a3 = [(4, 3), (4, 9), (2, 2), (s, 4)] d) R4 = [(4. 9), (s. 3), (2, 9)] e) Rs = [(2, 3), (4, 3), (s, 3)] 3) Dados A = [l, 2, 3, 4], B = [4, s, o, 7, s] e a relação q) R = Rx, y) eA >< BIy = 2X1: 19) Escreva R, designando cada um de seus elementos. 29) Faça um esquema de flechas para R. 39) Verifique se R é uma função de A em B e justifique. Dados A = [o, 1, 2, 3], a = [-1, o, l, 2, a, 4] e arelação R= i(x, y)GA><B| y=-x+2]= 19) Escreva R, designando cada um de seus elementos. 29) Faça um esquema de flechas para R. 39) Verifique se R e' uma função de A em B e justifique. naaosA= [xezI-2<x<2], B= [yGZlO<y<$] e a relação R = [Or, y) @A X BIy = x2]: 19) Escreva R, designando cada um de seus elementos. 29) Faça um esquema de flechas para R. 39) Verifique se R é uma função de A em B e justifique. Dados A = [o, l, 2] e B = [-1, o, l, 2, 3] e a relação R = [(x, y) eA >< Blxi = M: 19) Escreva R, designando cada um de seus elementos. 29) Faça um esquema de flechas para R. 39) Verifique se R é uma função de A em B e justifique. Dados A = [x EJRI1< x g 5], s = [y em: gy <7], verifique quais dos gráficos abaixo representam funções de A em B. ' a) b) d) 8) Assinale os gráficos que representam funções de 1R em R: a) V b) v 51
  51. 51. c) d) h) Ae A; “Br 44 à ~H~x 9) Dada a função f: IR »R 10) ll) 12) i) [v X 1') [V ã X , calcule: x ›-› y = x2 - 1 a) f(-3) b) m/ í) c) nã) d) f(0) e) f(-l) f) f(1) Dados A= [x eRI-2<x<1]. B = [yeRI-3<y<5] A-›B x›-›y=2x+1 19) Calcule rr-z); f(-1); uâ); no); nã) e i(1) 29) Faça o gráfico de f. e a função f: 39) Dê o domínio de f e a imagem de f. Dadaafunção f: R-›R x›-›y=2x-3 19) calcule r(-s), r(-2), mà), :(0), Hà), nã) e r(2) 29) Faça o gráfico de f. 39) Dê o dominio de f e a imagem de f. Escreva o domínio e a imagem das funções representadas pelos gráficos abaixo.
  52. 52. _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ , 4 53
  53. 53. 13) Dê o domínio das funções reais definidas pelas equações: a) y=2x+l b)y= x2 c) y= /x_ d)y= Vx-3 e) y : g1: Rséfunção 1 Oy= x-5 _ = __1__ 3) 19) R = [(2, 4), (3, 6). (4, 8)] 3)” u-3)wx+m h V 3x+l 29) )y_ x-(x+4) . x-3 ') y: x7-25 . 2x-7 l) y= V? RESPOSTAS 1, ' f ' : b, , d _ , _ , _ . ) sao unçoes C 39) R nao e funçao, pois 3 l GA que nao tem imagem em B. 2) a) A B s 01%R= üQDJLDJLmA14Ú _ 29) R¡ é função 39) R é função. pois todo elemento de A tem uma única imagem em B. R¡ não é função 54
  54. 54. s) i9) R = [(-2, 4), (-1, 1), (o, o), (1, 1), (2, 4)) li) i9) n-s) = -13 29) f(-2) = -7 29) 39) R é função, pois todo elemento de A tem uma única imagem em B. 6) 19) R =1(0.0). (l. 1), (l, -1), (2. 2)) 29) 39) D(f) = IR Im(f) = IR 12) a) ou) = [l, 2. 3] Im(f) = [i, 3, 4] 39) R não é função, pois l E A não tem uma única imagem em B. b) D(f)= [xGlRI2<x<7] Ima) = [yeala <y <41 7) a) nãoéfunção c) Dm= [x ERH<X<Q b) “““95° ima) = [y emlzsy<4l ) 'oéfu ' C m “ç” d) D(l)= [x emogxgz] d) éfunção _ , _ lm(f)= [yellzI0<y<2] e) nao e funçao f) não é função e) Dm = R Ima) = [y GRI-l <y s 1) 8) Representam funções de IR em 1R os gráficos a, b, f, g, i. t) 1)(f) = R Im(f) = lR 9) a) : (3): 81 g) mad¡ b) (l2)- 3 ¡mmdk r - = -~ c) (2) 4 h) Dm : R d) f(0) = -l 1mm = B] e) f(-l) = O t) n1)= o 'l M) : R Im(f) = JR, 10) 19) f(-2) = -3 j) D(f) = IR f(~1) = -l Im(f) = R+ f(-à)=0 l) D(f)= lR f(0)= l lm(f›= lyelRIy<3 ou y>5] f(%)=2 m) D(f)= lR m) = 3 Im(f) = R: 39) D(r)= [x GIR| -2<x<1) n) uma: lm(r)= [yeizl-3<y<3] , im(t)= lR
  55. 55. * É) D(O = ]R _ 1mm = R* b) y _ x2 '16 p) D(f)= ]R lm(Í)= Z c)y= % V x-5 13) a) D(O= R D; /.7,7Év_? /r> gr) b) D(f)=1R r a2 C) DÍO= R+ d) _lí_ 2 d) D(Í7=ÍXEJRIX>3] y- X X*5 e) D(0=]R* D: KVJCÉLÃ72"-ÍIÍ? ÉO e 25524-5/ t) Dmáxemlxats] __. _ g) D(f)= [xeIRIx= #-5 e x$3] e)y= ví+ 2X+3 h)D(f)= [xe]RIx= #0 e xae-zt] Díírek/ l.? of; i) D(1)= [xG1RIx$-5 e mes] 1 j) n<o=1Ri oy= xz+3 D: L? SEQÚÊNCIA 3 g) y = ,z-x + 3 VZx-x 1) Faça o gráfico das funções: oz/ z éK/ --3g q: < «lj a) f: A-›A, ondeA= [xEZ|0<x<7]eafunçãofé ' definida pelas equações y = O, se x é par y= l,sexéímpar h)y= V__í: íx“1 + V3'x ç_ (x-1)-(x-3) f: Mao), K1, U, NAO/ MB, 1/ M, 0), /õ: f): p, /x . gm/ z (j a: < ' a; na; 0m 7: 1)¡ b) f; A -›]R, onde A = irx E ZI-S <x < 3] e a função f é 3) Os esquemas de flechas abaixo representam funções: definida pelas equações y = x se x é 0 y = 2x se x > 0 z: /z-s, 6,2, 4, ~ O, m", as), (m2, a2), ('- z ~U, u>. o), (1,4), (2,4), K3., 6), * ü: a) (X ) sobrejetora ( ) injetora ( ) bijetora c) f: A -›]R, onde A = [x EJRI-S <x<2]eafunçãofé definida pelas equações (y = x se x < l ã' y=2x se x>l ií b) ( ) sobrejetora (X) injetora ( ) bijetora A B à l -5 e d)f: ]R-›JReafunçãof § é definida pelas equações: _ y = x se x á 0 = 2 se O < x g 3 c) (><) sobrejetora ( ) injetora ( ) bijetora y = x + l se KX > 3 A B 2) Determine o domínio das funções reais definidas pelas equações: _-x+3 “)V'2x+1 i DÍ/ rÉR/ /Z; f~_/ .j _ _ “L d) (X) sobrejetora ( ) injetora ( ) bijetora 56
  56. 56. e) ( X) sobrejetora (X) injetora ( X) bijetora 4) Faça um esquema de flechas para a função f e verifique se ela é sobrejetora, injetora ou bijetora: a) r: A-›B onde A= [-1,o, 1, 2] x›-›y= x1 ' B= lo,1,4] / Aeízzlfzâsza) b) r: A-›B onde A= í-2, o, a) xHy= x+5' n= [o, 3. 5,8] / a/nenza/ s 07744664950.) c) r: A-›B onde A= [-1,o, 1, 2, 3] x›-›y= x-3 B= [-4,-3.-2,-1,o] d)t°: A-›B A= [xe2I-2<x<3] , onde ' x›-›y= Ix-1| B= [xEZl0<y<3] f apena/ s 6L/ e) r: A-›B onde A= [xEZl-2<x<1] xHy= lx-ll' B= íxellü<y<3i (/ @)' o f: A-›B A= [-2,-1,o,1,2] x›-›y= x=-1”°"d° B= [-1,o,1,2,3] fa ncíô' e' rwm A6/ ? uma wydísza) E) f¡ R"*R+ xr-›y= lxl (apena/ s wÊ/ cgeêm) h) f: ]R-›]R+ xr-›y= IxI (Zyebm) 5) Verifique se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora e justifique a sua resposta: a) fl R *R-p x l-> y = x7 va/ gê/ ná/ S ,4g967?gz§9m) b) f: IR -›]R x ›-› y = x2 (HJ/ nm I/ rgyã/ ÊZCL/ ngm c) f: R_-›IR+ x H y = x2 fama d) f: IR+ -›1R+ x I-› y = x3 l/ d, / e) f: lR -›IR x ›-› y = 2x + l l/ Q»/ › f) f: JR -›]R x l-› y = x3 r/ /ÉÉÂÔÊZÚ/ 6) Construa os gráficos das funções inversas das funções dadas polos gráficos: a) b) d) 57
  57. 57. Função Linear Neste capítulo, pretende-se que o aluno esteja apto a: a) conceituar a função linear. b) representar graficamente a função linear no pla- no cartesiano. c) resolver ¡nequações lineares. FUNÇÃO LINEAR 49. Definição: chama-se função linear a toda função do tipo: f: IR-›IR x»›y= ax+b, c0maE]R, belR e 21960 Exemplo: a função f : JR -› IR é uma função linear. x ›-› y = 4x + 1 50. Aplicação: Assinale as afirmações corretas: 1.0) Seja a função f: ]R -›]R x a y = 2x + 3 )Naequaçãoy=2x+3, a=2 e b=3. )Naequaçãoy=2x+3, a=3 e b=2. 9°"? PsPx/ N ) f é uma função do tipo f:1R -›]R x›-›y= ax+b, com : :#0 ) f é uma função linear. ) f não é uma função linear. ) D(0 =3R ) DU) =1R+ 29) Seja a função fzlR -›]R x ›-› y = 2x íí/ É d. e. f. g. )Naequaçãoy=2x, a=2 e b=0. )Naequaçãoy=2x, a=0 e b=2. ) fé uma função do tipo f: ]R -›]R 'x›-›y= ax+b, com 21950. 9 5'. ” z-r-sr-s xr . ) f não é uma função linear. ) f é uma função linear. ~”) DO) = JR T390- (aee-s
  58. 58. 39) Seja a funçãof : R -›R x»y=3 a. (><) Naequaçãoy=3, a=0 e b=3. b. ( )Naequaçãoy=3, a=3 e b:0. c. ( ) f é uma função do tipo fzlR »R x›-›y= ax+b, com a$0. d. (M) f é uma função do tipo fzlR -›]R x›-›y= ax+b, com a=0. e (X) f não é uma função linear. ' f. ( ) fé uma função linear. Observação: No exemplo do item 39, f não é uma função linear, pois a = 0. Neste caso, é chamada função constante, isto é, é uma função do tipo: ftlR-ÚR x›-›y= c, com cEIR 49) Defmem funções lineares as equações: a. () y=2x+3 b. ( )y= x2+5 c. ( )y= -2x d. ( )y= -àX-5 e. ( )y=4 f. ( )y= -2x2+1 g. (>') y= -xl+2 h-( )Y= -í GRAFlcO DA FUNÇÃO LINEAR Sl. O gráfico de uma função linear é uma reta. 52. Aplicação: Assinale as afirmações corretas: 19) Seja a função linear fzR -› R x›-› y = 2x + 3 A2ERcorrespondey=2-2+3=7GIR. O par (2, 7)Ef. A IER corresponde y=2-1+ 3 =5. O par (l, 5)É f. A -IGR corresponde y = 2 -(-1) + 3 = IER. Opar (-l, I)Éf. AüeRcorrespondey=2-0+3=3E]R. O par (O, 3) Ef. A x¡ER corresponde y¡ = 2 - x, + 3ER. O par (x¡, 2x¡ + 3) E f. z “. -" r" : r qn rn _o o. 51 c' p: /ã 1% / Á fã â rã 1% / / Â í '_/ ' '/ / ü y' s. ; s/ à N/ à &/ N/ é &/ / %
  59. 59. 60' l. ( ) A função f é dada pelo gráfico: m. ( ) A função é representada pelo gráfico: n. (Qt) Para representar graficamente uma função linear, basta representar dois pares quaisquer dessa função e traçar a reta determinada por eles. 29) Dada a função linear f : JR -›JR complete: x›-› y = -3x + l, a) Pam X = 1» 0011351901143 Y = -3 ' + 1 = 0 Par (1, ) É f. b) Parax = -1, corresponde y = .; .:ã. =.. ..: .Ãx. .:. .:4.; 0 Pa¡ (-1, ) E f- c) Para X = 0, Corresponde y = . ... ... ... ... .. 0 par ( ) E f. d) Faça o gráfico de f: _ .7 ¡__ _e _e_ l ' l J 7 t' 3' ” íÍ il " : : í l l 4 l I , lr. _,__
  60. 60. 'Ã' A . ..: ':. ... . . __ gaêill'"l'. g. u? . .g . ..¡¡. ,._. .¡ N. .. i¡ ¡sã! ' 5* . . "lan u. .. . ..J . ..a "-: =5¡¡. ... .,: : . !feriu-unr- -qiina i. -- . .r . ..u x . " u a .52 _Jgãgãhiilêgilñiàl -' : ãiilsfiiiriaãlü . :: iiil: !L . : MIL-u u a se I l n “llñiiãiãils s? " . uni
  61. 61. 1.. , . _: . r , tl Lv v e . 1 . ii . ..I , “t, . ll r . ui. . + _ . . l. . , . t) 1.; . . HH , all v¡ Lllu . «s . .Mir t LJ. 4h. . . .-u à. e : h . b. . il n# t , HW ul z L 3 . hn . h. t Z r. . . T. . Í _NJ nú. Url, .. t . ._ T. ln. . Y. t» ur. TI . mm nr . .Í _ i L . T. 11,1 MF_ a . eu . of
  62. 62. Veja que: 19) Nos três prímeiros'*gráñcos a função foi definida por uma equação do tipo y = ax + b, com a > O-e você' obteve retas que formam com o eixo das abscissas um ângulo menor que 90°. 29) Nos três últimos gráficos a função foi definida por uma equação do tipo y = ax + b, com a < 0 e você obteve retas que formam com o eixo das abscissas um ângulo maior que 90°. 39) Você traçou gráficos de funções lineares que sempre interceptaram o eixo das abscissas num único ponto. Esse ponto tem coordenadas do tipo (x, O), isto é, tem por abscissa valor de x que torna a função nula. Esse valor de x é chamado zero da função. ' FUNÇÃO LINEAR CRESCENTE E FUNÇÃO LINEAR DECRESCENTE S3. Ográfico da função linear f: R -›R com a$0 é do tipo: ' x›-›y= ax+b Se a>0 Sea<0 a função é crescente a função é decrescente S4. Observe os gráficos do item anterior e assinale as afirmações corretas: a. (><) Se x = x¡, então f(x¡) = 0. b. ( ) Se x = x¡, então f(x¡) a6 0. Se a > 0 e x¡ < x3, então f(x, ) > f(x3). Se a > 0 e x, < x3, então f(x, ) < f(x3). Se a > 0, então a função f é crescente. Se a > O, então a função f é decrescente. Se a>0 e x<x¡, então f(x)<0. Sea>0 e x>x¡, então f(x)>0. Se a < 0 e x¡ < x3, então f(x¡) > f(x3). Se a < 0 e x, < x3, então f(x, ) < f(x3). Se a < 0, então a função f é crescente. A Se a < 0, então a função f é decrescente. Se a<0 e x<x¡, então f(x)>0. Sea<0 e x>x¡, então f(x)<0. z R % í fã / fã % / t5 % i5 PN : « r~í x. &/ / % % % &/ / É É % à à « . X a Fri-r' ? nos es* 0:¡
  63. 63. RESUMO 19) A função linear é uma função do tipo f : R -›R x›-› y = ax + b com aER* e bER. 29) O gráfico da função linear é uma reta. 39) Se a > O, a função linear é crescente e o seu gráfico é uma reta que forma com o eixo das abscissas um ângulo menor que 90°. 49) Se a < 0, a função linear é decrescente e o seu gráfico é uma reta que forma com o eixo das abscissas um ângulo maior que 90°. 59) A função linear admite um único zero. 69) Podemos fazer o seguinte esquema de sinais: a>0 ” jnxikdg” " para x = x1, f(x) = 0 Portanto: para-todo x < x¡, a função tem sinal contrário ao de a para todo x > x1, a função tem o mesmo sinal de a 55. Aplicação: faça um estudo da variação das funções definidas pelas equações seguintes, completando o que se pede. a) y = 2x - 3 a = 2 . ... 0 r y=0=2x-3=0<= x=_ _ 3 Pala X -í . f(x) 0 para x <â , f(x) 0 para X 9 0.57.. .. O b) y = 2 - 4x = -4 0 y = o <= › = o ~= › x = ______ . _ _ l para X _ í a . ... ... . . . 0 para x <l, f(x) 0 para x . ... ... . f(x) o 64
  64. 64. EXERCÍCIOS SEQÚÊNCIA A l) Faça o estudo da variação do sinal das funções definidas pelas equações: a) y= x-3 b) y=2x+5 c) y= -3x+2 d) y= -5x-lO e) y=3x-(7x+6) f) y= -(5x-2)+6x Resolva as inequações: a) -2x + 6 > 0 b) 2x - 3 < 5x + 4 c) 2+3x>-5+2x d) -â-x+l<0 L3>à e) 5 /3 D 2x5-3<x+2 g) 3-5x>2-§ x+3 2x+3 h) 5 < 4 i) 2x5+l>_3 j) -2+3x<-; ---1 5 l) 3-52x >_2+4x R ESPOSTAS l) 2) a) x=3=>f(x)= O; x<3=f(x)<0; x>3àf(x)>O b) xz-â = >f(x)= O; x<-ã = >f(x)<O; x>-â = =>f(x)>0 2 2 2 c) x= § = >f(x)=0; x<í = >f(x)>0; x>í = f(x)<0 d) x= -2=>f(x)= O; x<-2=f(x)>0; x>-2= = >f(x)<0 3 _ 3 3 e) x= -í = >f(x)=0, x<- í = >f(x)>0; x>-í = > = f(x)<0 i) x= -2=>f(x)=0; x<-2=>f(x)<0; x>-2=> = >f(x)>0 a) V= fxÉRlx<3] b)V= l>rERIx>--: -] c) V= [xE1R| x>-7] d)V= [xE]R! x>%] e) V= [xÉRlx? ?l f) v= [xeiiz| x>-l33-] g) v= íxeizlx<f¡] h)V= [xER| x>-à) i) V= [xÉRlx>-8] j) V= [xGRIx<à-Ê l) V= [xElR Ix>-i] m)V= '[xe]R I SEQÍÍÊNCIA a l) Resolva as inequações: a) 2x14 <0 V: fa: (Ef/ J: Cg¡ 1 w b) l-2x'>0 c) (2x -1)-(3x + 5) <0 V' ¡üc &LR/ FÉ; g xgff [VEÉR/ x <ãáf d) (3-2x)-x<0 V? Ê/ LéR/ »c <o ecc . .C7ãf/ se _3 / V A# r V , e) : _5>0 / x<': .g'? /JC<3 oq J, /5f 3-2x , »_ aro' , ./›_f/ . 3 , z n3X+l<o. /xcçA/ lx Élezcrgí¡ 2 , «_ g)1_, ;x ? O / -/QÍÇ; zLÇ)/ JLJ§ . L O11/ x-5 « , e . , h) <0 kõ/ *CR/ “L SA4W5<JC<~5Í i) °3*“>1 V: /1c176,'»›2<. >ca «L X+Z ( i - *t2 < X VÉr/ rsfr. ? . r "ÍOLç r/ ,)X_3XH ¡ . ~ Jgr<3j 2) Resolva os sistemas: a) 2x+3>O V, )-¡'. re/ /?/ «; «ç 4x1/ 3x-l<0 ol d: 2x-5>O 3-x<0 2x-l>0 aí V" b) l V: /Ít E' E? .L, ,> 5' , › 3-6x>0 (3-6)'(5+)>0 x X L/ :/1;'6r_/ “5<1;í§_/ / 2x+1<0 à / ,z rg» n' D. v 1<2x-s<2 , aaxezzã mma; (Z/ l al 0<-2x+4<5 , ixíí/ ;ç gjê/ «t/ ççgçgf 3( e) f) g) -2<x+2<3,: Á¡'›LÇR/ '#SII<Í/ h) 3-2 _ , , -1<x+; <1i/ :Xuçcaíõc/ gxgg/
  65. 65. Função Quadrática Neste capitulo, pretende-se que o aluno: a) esteja apto a conceituar a função quadrática. b) conheça as propriedades dessa função através da análise de gráficos. c) esteja apto a resolver equações e inequações do 2P grau. FUNÇÃO QUADRATICA 56. S7. 66 Defmição: chama-se função quadrática à função definida por f: R »R xr» y= ax2+bx+c, com aElR, bGlR, CER e a#=0 Aplicação: 19) Considere a função f : R -› R x›-›y=2x2 +Sx+l e assinale as afirmações corretas: a. (V. ) f é uma função do tipo f: R »R x›-›y= ax2+bx+c, com a= #0. b. .( ) f não é uma função quadrática. c. (~ _) f é uma função quadrática. d. ( )Naequação y=2x2+5x+ 1, a=5, b=2 e c= -l. e. ( ~_) Na equação y=2x2+5x+l, a=2, b=5 e c= l. f. ( L) f é uma função quadrática definida pela equação y = 2x2 + 5x + 1, com a = 2 ; E 0. 29) Considere a função f : R » R x›-› y= -3x2 +2x-1 e assinale as afirmações corretas: _) f é uma função do tipo f: R »R x›-›y= ax2+bx+c, com a= #0. ) f é uma função quadrática. ) f não é uma função quadrática. )Naequação y= -3x'+2x- 1, a=3, b=2 e c= -l. )Naequação y= -3x¡+2x- 1, a= -3, b=2 e c= 1. Í) Na equação y = -3x2 + 2x - l, a = -3, b = 2 e c = -1- _) f é uma função quadrática definida pela equação y = -3x2 + 2x - l, com a = -3 aê 0. q. ” 7'75" P? P' ; Kawaks/ NA
  66. 66. R »R ' _ e assinale' 'as afirmações corretas: x h» y = x2 - 3 3. Con dpíe a função f: a. (X) f é uma função do tipo f: R »R xi-› y= ax2+bx+c, com aaEO. b. ( ) f não é uma função quadrática. c. (X) f é uma função quadrática. d. ( )Naequação y= x2-3, a= l, b= -3 e c=0. e. (><) Naequação y= x'-3, a= l, b = 0 e c= -3. f. (X) f é uma função quadrática defmida pela equação y = x2 - 3, com a = l ; E 0. 49) Considere a função f : R » R e assinale as afirmações corretas: É x~y= -ix2 ' à 2 a. ( ) f não é uma função quadrática. b. (X) f é uma função do tipo fzR »R x-»y= ax°+bx+c, com a= /=0. c. (X) f é uma função quadrática. ~ ___1_ 2 -l --. L - d. ( )Naequaçaoy- 2x, a-2,b- Zee-O e. ( ) Na equaçãoy= --líx', a= à-, b=0 e c=0. f. (X) Naequaçãoye--â-x', a= -à, b=0 e c=0. g. (X) f é uma função quadrática definida pela equação = -àx°, com : vàaê 0. j' GRAFICO DA FUNÇÃO QUADRATICA S8. O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. S9. Aplicação: 19) Seja a função quadrática f : R -› R xi-› y = x2 - 4x + 3 Assinale então as afirmações corretas: (X) Afunçãofédefinida pela equação y= x2-4x+3. . ( )Naequação y= x2-4x+3, a= l, b=3 e c= -4. (X) Naequação y= x2-4x+3, a= l, b= -4 e c=3. _(X) Pa¡-ax= -1ER, corresponde y= (-l)2-4(-1)+3=l+4+3=8E]R. (X) Opar (-1,8)Ef. ()0par(-1,8)9Êf. (X) Parax= O6IR, corresponde y=02-4-0+3=3GR. . ( )Opar(0,3)$f. (X) Parax:1ER, correspondey=12-4-l+3;1-4+3=OGR. j. (X) Opar (l, O)Ef. ' i l. (X) Parax=2ElR, corresponde y=2°-4-2+3=4-8+3=-lER. m. ( )Opar (2,-l)$f. n. ()() Para°x=3ER, corresponde y=32-4-3+3=9-l2+3=0ER. o. (x) Opar (3, 0)ef. ' p. ( )Parax=4ER, corresponde y=4¡-4-4+3=l6-l6+3=3ER. z--a-qorzsvapc-p
  67. 67. )Opar (4,3)$f. >'() Parax=5ER, corresponde y=52-4-5+3=25-20+3=8ER. )0P3I(5›3)$f- . , <) Para x¡ElR, corresponde y= xÊ -4-x, +3ER. )Opar(x¡; x§-4x¡+3)ef. ) q ( r. ( s. ( t. ( U ( v ( O gráfico da função f definida por y = x2 - 4x + 3 é: onde Im(f) = [yE R ly>-1l 29) Seja a função quadrática f : R » R x›-›y= -x2-2x+3 Assinale então as afirmações corretas: B? . (Nf) Naequação y= -x2-2x+3, a= -l, b= -2 e c=3. b. (X) A x = -4E R corresponde y = -(-4)2 - 2(-4) + 3 = -(+l6) + 8 + 3 = -5 ER. c. (si) O par (-4, -S) E f. d. (ff) A x = -3ER corresponde y= -(-3)2 - 2(-3) + 3 = -9 + 6 + 3 = 0G R. e. ( )0 par (-3, 0)$f. f( (><) A x= -ZER corresponde y = -(-2)° - 2(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 36 R. g. ( ) Opar(-2,3)éf. h. (><) A x= -leRcorresponde y = -(-l)2 -2(-1) + 3 = -l + 2 + 3 = 4 ER. Í. (ÂÍ) O par (-1,4)Gf.
  68. 68. ( ) A x=0E1R corresponde y= -(0)2-2-0+3=3E1R. ()0P3I(°›3)$f- ( ) A x= reina corresponde y= -(1)= -2-1+3=_1-2+3=oenz. (/ ) Opar(l,0)Gf. (Y) A x=2ER corresponde y= -(2)2-2-2+3=-4-4+3=-5E]R. ( )Opar (2,-S)Ef. ( ) A x¡E]R corresponde y= (x¡)'-2-x, + 3E1R. ( )Opar (x¡; -xÍ-2-x, +3)Ef. ( ) O gráfico da função f defmida por y = -x2 - 4x + 3 é: . mhn-oongrt_ t. (><) O gráfico da função f defmida por y = -xz - 4x + 3 é: onde Im(f) = [y E ! Rly < 4] e y = 4 é o maior valor assumido pela função 39) Seja a função quadrática f : JR ~› IR x›-› y = x¡ - 4 Complete então: a) Na equação y = x2 - 4, a = b = _O e c = b) Para x = sem. corresponde y = ( : :ã P - 4 = = e R. e) Para x = 46k. corresponde y = . ... ... ... .. . ... ... ... .. . . i o par (-2, › e r. ,ç d) Para x = den. corresponde y = . ... ... ... ... 9 0 par ( ) G f- e) Para x = OGIR, corresponde y = 02- 4: ~ fz é Ã? 0 par ( ) E f.
  69. 69. queima? mu¡ g; g _à . . r “TEM r : E: ^ r 'rx nã¡ 'nunca-ams u- . .. . . . . ., sn , .., r: z ; Em as¡ . _ ' "no I - t 'url . . . .. . --_ . .. . . ii w_ um r 'as r. . m' ' r s « n: um' migra" : :ii . _ , . _ . . . . -r-n t ! :=Ê›5~r›«5pd“ . ..r ' . . _ u. .. . ... ,_¡. =, m. "REL. 'Jud' n: : a. II s m, çgxgwwy : um “ga, :: u s; = umçnes. .. ; r 'V' "Fã '. 'l r, . ; um u. .. eu¡ ¡ iii* an¡ mur- n E ; ru-u u. . ur); u E rim mu¡ |41|( r ' . - r. : . o. ..” e: : .1 'ul mu¡ R 4 mu. unnvtllnn¡ 59 n¡ anna-mn. ¡.3›! m Aiauurumñgrl. «u» m, wmnwln u agr. .. r. . . ... . V. .. m. e* ' '”"""'"""'" n» 1mm¡ v en: r. u: .animam m. , -. .›u umn¡-1laI›-¡ um vr›~ arvzccr' naun-rara. . vnrmlwmcuauhnolxmxwl u. .. ur mvv-› _ . :maquiar ›. Ee 1 iievnnn= er= w agn . .nr n : naun ' : LI-Inrupuklaànllv Ill¡ all I ull U -luln . m. r urímgr r Elm-mr' . x o. .. wlnuarm . . , um. " e¡ a --wr lx) ; canon n= ›:¡mk¡E¡' digam. . 'nxalklsredf-nrb( r da › 'tem .45 , mou¡ unir¡ oxravnnlnln ywnH *“1~Ne¡! l lM¡, «pnrl - nu. I _ ; ?'iríVwI E. i-! !!2&' uq: :-u= ~ nã. a . . ai: ." ¡Jmnmm . _ s¡ -Izuuir m¡ no. . au-ru . r â mamae-rs. ih": ""'ir¡a¡¡. i naun¡ r. . "íâíããàw. . . ,ar umnurrnmr w mL¡ ¡. ,.. .rnn . ..uma aut-uuwuu n s. mu: : m¡ : uu «man n¡ : Ia-l . ma na 1: Í g a u n z u a -uymnll ao «u c. 7 . .*. .. i» il# u. .." unil- ¡M! lr m: _JL nwnrv? uuuu vv 3252.13' ñan . sua . o 2- 'g1 13<y51 v-ll Ilillrútulv »uu 'au-much . stàivy v--r mui» un m9¡ ¡rwbtsrs s l . ..o l-hv m-raeainn me n/ K . ..ri «s n' Lan.
  70. 70. ,r- '. . . na : :mau-n nu# nnnun u¡ um uma . nun m-nv: ¡wnnriüllmnüllmxnwlnuw nun JR-(Ilvr n e' rnan-rzllnsuwna¡ nurwnnuern›. rr~. «u s : wunnsmunn n caniilamyanvanniil lannunulrulltun nun-u . ..n-un nau-ur ¡| nuI§l¡'A ¡ldlluizuwnmntnngnrl r¡ _ nlullnnnmiurl¡ n n ane-nunca: : nlmmnnlnrlnvwnlxuulrs nur-e ¡rrlaualnlllruir nan-Ixnrrursnu ¡tnsmlunn! ¡nnuaann-nauanv . nun-nr ninzu1-: rendnnlmi›am -uuoruu-nnanu-n as: crwllnunnlml¡ ¡wmlauiunnnnl n: : Ilnwvvunlnlnanxvr-lvrnn anunluuwlaunanuwlh¡ nnmblnnlinlnlllit'l Illnnuiatluu-Iurinl¡ u¡ ¡r- n¡ l ¡nnn-ncnuuuuann¡ ¡Isall : Uruana: nn -urar-nuunmu v nutrir-ml n »nunca malluvlnunlnlunuxl anun- lhllnlu-hnlnmwlusnr znuzausmnuuumwa ; r «nuvem-ru» : no »nun-r -nnn-n-un- . .n a uu n- q nn: : ur n : msm-nau: calma-SEI Lulu-un n un u : u: u_ u! !Autumn-raw wusultln: u; 1 : v1 u ¡rr--alllun «ur r tnmiuw--uwnnllvmwnl u . uz-nun uu ; nu-r una-rua : z nn: .;I . 5 ¡za-nn- ntlltsunun-v- num-numa n¡ mlnulnnunnnl nun-ru : :Irl-: a/: :Iuuni n¡ u ¡muIdlAl u Irnurtugn-l lnmssamxta u : lu: naun¡ Im «ruaamu n “meu ¡Irinuxnldla u. .. lnvglfldwclllv" nunca-u. mm: a um. : . nr raw m¡ 127w 'linnnrlnuu r n- n. u. .. n¡ . .?; ::: =: : :.. ¡- nana naum uu ¡munn VHVIUIGIEY- s v : lr: r. rnimlnaw um¡ . n. r. - «sauna p. -mal¡›. .¡tvuIr. -4 n -. .› e . «mu n. uma». .nu . .u-unha Iznnnu no w mu¡ mu¡ r-r-w 2 I! ,Il »um run-un -r vam-aninha* . rural ma¡ . ..u u anullillr¡ u n multiuso-nn . vUI-nnrvnrm v uv ¡quantum! um¡ . .-_. n. nnuunuu-uuurn-«u a - n . - ¡iulunnumuu : ulrlu «zu-n . um . w a annivübwrrlxnlgsn . meu ç n¡ nununununwsqur-»nsn . run- n nnuunn= l «cururu m¡ : nuno-r : rim n¡ mu, uniu n r! : Italian-vllvullmurluilamanuw uma. .. . .nu. nuunnulul-Ilunrtnvn-ulh n. lu ¡Jurunnamnw¡uusluzuuunnnt nun-n¡ r›nnummnna»1vr¡mnI; J.Mlr . «rlrn»«vn~-rr-. r.. _.r unulllrvn r e w-r-Inmn Ununssnnq . ..r um». .r. um¡ ruvunzr u ¡Illllnnlunubl . ..aã. .. ... n. . n.. ... .. . - -u-- I¡ nu¡-. .. .uno-. .u. n.. ... . ... ... ... ... ... ..; r.. ... .r. ... ... ... .muy r . . m. . . . a4¡ r. .». ... ... ¡. . q. . ..naun unna<unu -mrmnnnu uma rnJnnnu-«unlnnu . ..m-e g a' -v-tI¡: un¡-l: ¡*n: :I1. : se &uma; › naun". manaus* nrnluasaix uuunngng: : n . ... ._. ... ... .. u. .. . .. ..r. ... ... n.. ... .r. .(. ... ... .¡. ..er, ..¡-. ¡ lã ' rlfrâPíálr-'Eãâilãll . ... ... ... '.. ... n.. ... ... ... r. . ~. ... ..M. »w_. .. . r.-, -.. .r. .¡. ... .r. a num. .. ... ... ... r.. r.= ... . -. ... , ou". .. ¡r. ..«. _.. .». ._r. rr. ... v. o. . . ... ... ..›. ... ... r.›. ... .. ... ... ... ... ... ... ,.. « n¡ . p Il-Innnuunnuruuunulhrn¡ n- l. qorlllpmrllnll l-Iunxrrinmnnnhw¡ m. CIB»aliam›. ixlluknmnilnu›running. .x mu¡ narrar» a nau-u nnnnuqnmrun- minuta¡ Neumann¡ q: u n : nn n q¡ n- -n . r uu n u u. IIIIwIuwnIN/ «vn . u u¡ um « Itau-nr a nr e e ›lux! n,mr~ . qnuwuu o no; ÍIIRw-Mlpmmlnl lnlnnrau . anun- uu¡ qnvvmnslunlwl n 's nun uixrxylrwlhlvqnrsnir uabknJur u. : uu. .uamnla u¡ nunca-n. annlll n¡ lunar¡ an» ¡naun- naun 1 u »num n-usu-r-»a u. su¡ uu: v uu : runas: llu: ›<ãshxszg u Iwrilzuu meu¡ a u ¡Innnruauhuuhan : :uma n morram u r n u : nnnruxzeu . "uma «nun-m magnum-ma- . nn mn- -nuuuon n : uniu Jiu-uu¡ - lnuuululnizlia-: Ixwlmc nur-u u «nuca-mcg» vztnérr-nlnoctwawn llmln »al ¡unuvnnldaoun u ; un-anger »museu Imnnnnnmlnsswll n n¡ manu-n : :u-l u mu¡ an. n¡ nu-pnal¡ n _nnnnlullluruil an» lunsuunãnll; lulnuulunua rnm-. xwunvzr-u-nranuuun an¡ nzcaareensrru¡ . :: nara n u "milan-uniu nau-num-umu. nnrnnuuatlnunyl n r: m u¡ u u -r u. . . r. l! .n u. . 1 , ' r. u u ! Iuzalamllnrc sun-m i, ... .. .. *rr ¡r1v. .n¡›, nr' n n. :rnxzzunrn #yed-¡evnn3 : .., -u r. . x mu. .u. L e. ma' nun. illlirrvqnnwzs IJnr»»›Ip u u-. n . ..un 'I-unnrcnwruapltur »aquar- n. n : u nn , u : :nua : narrou-rm u. u¡ - nn¡ r. u p! n
  71. 71. .um mu. : n. u¡ ; num ami¡ . .num . um . .xunnuuiu É; nnauñi-uuanu. .. uiimalnwun Ell . e. . .ZÉ-. ., r- » a n-; nnu-nzguc-uuar! na. . II É. . WM . É. . .u . ..v sua. »n a a E¡- nu u. . nn. .. . .n u. .. na: : E. .. n¡ un JI! . . c u u I ru¡ Iwpxiíiltaturw. K . .a n. É. IJZÍK ! Ball n n PIQIIV . .no n Is. . rn¡ 5.. ..: .. .na não. .. . a u uns¡ III : Í . ..n amv. .. u! .mui. .. .Í . .no u r . i. UWIÍIÍ. . . i3. : :lã n . L1 u. . . .I-mem nuziumxuuonuun a n . .o : Far u. .. . ..a uv. ânus. . Í. .E. m3 «m _. ., n . . m n í. . . on , a n! s» I . ..una-n : eu r . lr n . o n n . .- ¡n-un m. É »u . .- . ul s E. É u. .. .1- a E, .E q_ al: : u E u S . .na . u. u. . a u. É¡ Í. . . . . a o n ü . E3355 . e u n E a u meu. ..ununhnaãrsrnnannnunâ r r a galiza' n. run. . . , an: : ur-nun. E. . . .- ! âucgta-E-I-n l. .. . I-: ntnuun . fl-S. :Wu-ari: a afã. .. 1:2.. . mana¡ A v nltuwníuhhhlnm u E¡ : :Nnuãniunl . . . r nimlkmuunlrmlmw.1 lim: :- n¡ É. .__. ___ : amu lr gap-mn. . .n . .a E, m! . t. . 1 i3. uma¡ _ m ¡NBIIIII ! in an: : ¡Fklãali! 4.952.. . IIIII : :um IIIIÍII : lui: III Ítnulnn-¡ÊUÍÍUÍ . . , . __ . r4É. .. , , . .a . . . , _ . . , 1 , kw. . 1!. . . n , . _ _ ; Z , u. . n. .. . , , . . r m1,. ; . m _ o _ _ . m. . ¡- «. (rs-Lts _for In . m, W. .It . l . m f u; N. . . _ _ un. .. __ em, . n . 4 r_ . , . .. . , É m , b. .1.. . . I v:
  72. 72. f)y= -x'+4x-S onde Im(f) = luz. : / y = .. ... . é 0 . ... .. . . valor assumido pela funçao. 60. Observe que: 19) O gráfico de uma função quadrática f : lR -› lR x›-› y= aX2+bX+C, com a = # 0 é uma curva chamada parábola. 29) Nos três primeiros gráficos a função foi defmida por uma equação do tipo y = ax¡ + bx + c, com a > 0 e você obteve parábolas com a concavidade voltada para cima e portanto existe um ponto da parábola cuja ordenada é menor que todas as outras. 39) Nos três últimos gráficos a função foi defmida por uma equação do tipo y = ax¡ + bx + c, com a < 0 e você obteve parábolas com a concavidade voltada para baixo e portanto existe um ponto da parábola cuja ordenada é maior que todas as outras. 49) Você traçou gráficos de funções quadráticas que interceptaram o eixo das abscissas em dois pontos, um ponto ou nenhum ponto. Esses pontos têm coordenadas do tipo (x, 0), isto é, têm por abscissas valores de x que tornam a função nula. Esses valores de x são chamados zeros da função. ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO OUADRÁTICA 61. Para estudar os sinais da função quadrática, assinale as añmnações corretas e complete o que se pede: 19) Seja a função quadrática f, representada pelo gráfico da página seguinte: 73.
  73. 73. v . Lu-f ' . . (><) A função f é defmida por uma equação do tipo y = ax” + bx + c, com a > 0. ><) A x = 3 ER corresponde y = f(3) = 0. ><) A x = 6G R corresponde y = f(6) = O. )_ Afunçãofseanulapara x=3 ou x=0. )Afunção fse anulapara x=3 ou x= '6. ) A função f se anula para x = 4. ) Para x = 4G 1R, a função assume um valor f(4) > 0. ) Para x = 4ER, a função assume um valor f(4) < 0. ) ) e a >- a z FÉUQÉOQOU' ' Para todo x E R maior que 3 e menor que 6 a função assume valores negativos. . f VxElR, se 3<x<6 entãof(x)<0. 1.( )f(2)<0e f(8)<0. m. (X) f(2) > O e f(8) > 0. n. (><) Para todo x E IR menor que 3 ou maior que 6 a função assume valores positivos. o. (X) VxER, se x < 3 ou x > 6 então f(x) > 0. p. (X) Para o estudo-do sinal dessa função podemos fazer o esquema: ( ( ( ( ( ( ( ( ( n_ parax=3, f(x)=0 parax=6, f(x)=0 para x<3, f(x)>0 para x>6, f(x)>0 para3<x<6, f(x)<0 f(x) < o para x = 2, f(x) 0 para x = 4. f(x) 0 para x < 2. f(x) 0 para x > 4. f(x) 0 para 2 < x < 4, f(x) 0 c
  74. 74. 7 v, _fg à : nun: = «L olmíãii/ É¡ : gain »e ÂÍÕÊÍY* "lie E ; maxi Í* -ek ÍÍ* and' E ; let a . 'lLl ~ M_ o . , çàl " 'Mai' t: : E : :um 4* JA. '155' b ' A; :swim e : min ›. ~ r áfr» ¡Ít-*âk 1!# ~ . . . t1 ÍÍ LJÊM . ,IFÍÍÍIF E¡Yl. Z›, ,'o)l_ ? acordar 'r' b Jul ardal” . h l ; mw m-! Jar ¡íltzi! rr#r5_-: .Í"*Í 4437111341 ea; _t°üi4ie, ,.r§'ã. r. ! J and * e *“ 16d! ! III _' _àñiiw vjãíí: !bill nã. . f» _. _ ; juan r 31. rílgzãr' 'Fila , Í , All an. 331233,» ' 'iwgr : de na 716g¡ ; qr L_ fruta: :~ : e ! ea çç__. _og; ç_*rí! ¡, _pmrit' 4:3 s? «ír-Á~L. .~: ~_, (t: §ç_n
  75. 75. 76 não existe x G R tal que f(x) = O Para X = 5, f(x) 0 Para X = 3, f(X) 0 para todo xGlR, f(x) 0 para x = -1, f(x) o para x = 3, f(x) 0 Para X < -1, f(x) 0 para X > 3, f(x) 0 para -l < x < 3, f(x) O para x = 2, f(x) 0 para x < 2. f(X) 0 Para X > 2, f(X) 0 não existe xG R tal que f(x) = 0 Para X = -L NX) 0 Para X = 1, ITX) 0 para todo xG R, f(x) 0
  76. 76. ESTUDO ALGEBRICO DA FUNÇÃO OUADRÁTICA 62. O estudo da função quadrática, até o momento, foi feito através de uma análise gráfica. Surge agora o problema da determinação das coordenadas do vértice da parábola e da determinação dos valores de x que tornam a função positiva, nula ou negativa. Esse problema será resolvido através do estudo algébrico da função. Para isso vamos considerar a função defmida pela equação y = ax¡ + bx + c. , com as# O, escrita numa outra forma, chamada forma canônica: y= a-[(x+-%)2-¡â.7:l ou y= a-(x+-2b; )¡-4Aa, onde A= b2-4ac. Essa forma 'é obtida a partir de y = ax¡ + bx + c através de artifícios matemáticos. 63. Conjunto imagem, máximo e mínimo da função quadrática: Seja a função quadrática defmida por: y = a - (x + 5133)¡ - 2%, onde A = b” - 4ac v1?) Consideramos a > 0: a-(x+-ãb; )2 > O, VxGR positivo não negativo , A Somando o numero - - a ambos os membros temos: 4a ^. . a 2 _ _A_ _ A = a (xl 2a) 4a > 4a 'o ; __, _.__J y A ; - portanto: y > - E, VX G R Ou seja, para todo x G lR, corresponde yG R tal que y à -. à Então: A A Se a>0, -Irn(i)_= [yGR| y>-¡E], -4ac e »E éómenorvalorassumido pela função f. 1 Portanto, quando a > 0 a função . tem um valor mínimo, isto é, 'a função tem um. ponto de mínimo de ordenada y = - â “ 29) Consideramos a < 0: a-(x-i-; EV < o, wenn negativo não negativo , A Somando o numero . . - a ambos os membros temos: 4a . 112-13_ _A a(x+2a) 4a 4a ' Y 1' portanto: y G - à, VxG R

×