1. Ponto flutuante
LNCC UFRJ

2. Explicando o nome: “ponto flutuante”
1º
Em línguas de origem anglo-saxônica
o separador decimal é o ponto (e não a
vírgula como nas de origem latina).
2º
...
0002374.0 x 10-2
000237.40 x 10-1
00023.740 x 10-0
23.74 = 0002.3740 x 10+1
00.237400 x 10+2
0.0237400 x 10+3
...

3. Representação de ponto flutuante
normalizada
Dada a representação decimal de um número real
y = GyN yN-1 ... y2 y1 y0 . y-1 y-2 ... yk ...
na qual o dígito mais significativo yN é não-nulo,
existe um, e apenas um, expoente exp para o qual
y =G yN . yN-1 ... yk ... x 10exp.
Tal representação é dita normalizada.
...
0002374.0 x 10-2
000237.40 x 10-1
00023.740 x 10-0
23.74 = 0002.3740 x 10+1
00.237400 x 10+2
0.0237400 x 10+3
...

4. Campos para a representação decimal
de ponto flutuante normalizada
Para estabelecer de forma única a
representação decimal de ponto flutuante
normalizada de um número real
y = Gy0 . y1 ... yk ... x 10exp
basta definir:
• o sinal (+ ou -) de y;
• a fração (y0 . y1 ... yk ...) de y;
• o expoente (exp) de y.
Note bem que, na base 10, a normalização
exige:
0 < y0 < 10.

5. Representação binária de
ponto flutuante normalizada
A representação binária de ponto flutuante
normalizada de um número real y é dada por
y = Gy0 . y1 ... yk ... x 2exp,
onde yk 2 {0,1} para k 2 ;
Lembre-se: bit é abreviação para binary digit:
0 ou 1.
Note bem que, na base 2, a normalização exige:
0 < y0 < 2, isto é, y0 = 1.
Portanto, qualquer que seja y, y0 = 1.
O hiden bit Assim, não há necessidade de representar
explicitamente o bit mais significativo.
Então ele passa a ser um bit “escondido”.

6. Números reais
A distinção fundamental entre o conjunto dos
números reais e o conjunto dos números
racionais é o Axioma do supremo:
“Todo conjunto limitado superiormente de
números reais possui um supremo”.
A partir desse axioma, constrói-se a
representação decimal com infinitos dígitos de
números irracionais, como e, π, d2, etc.
Em última análise, dado o fator
exponencial de ajuste, tais representações são
séries convergentes de frações decimais.

7. A finitude do computador digital
A finitude de memória do computador digital
obriga, de fato, à utilização de representações
finitas de cadeias de 0’s e 1’s – os bits.
Tanto na fração como no expoente!
Nos computadores digitais:
Séries Somas
convergentes finitas
Expoentes restritos a uma faixa

8. O padrão IEEE 754/2008
É o padrão adotado atualmente para a
representação de ponto flutuante nas
implementações tanto de software
como de hardware.
• Formatos aritméticos;
• Formatos para intercâmbio
• Algoritmos para arredondamento;
• Operações algébricas
• Manipulação de exceções

9. O IEEE 754 / 2008
Os formatos binários adotados no padrão IEEE 754/2008
são definidos por uma terna ( s, e, f ) cujos valores definem
a quantidade de bits para cada campo da representação
binária de ponto flutuante normalizada do número:
• s  campo do sinal;
• e  campo do expoente;
• f  campo da fração (ou mantissa).
Single: (1,8,23)
Double: (1,11,52)
Acrescente o bit
Quad: (1,15,112)
escondido na fração!

10. Representação binária
A representação binária de um número X é
armazenada em três campos:
Sinal de Fração de
X Expoente de X
X

11. Padrão IEEE 754/2008 - Single
4 bytes
1 bit para o 8 bits para o 23 bits para a
sinal expoente fração

12. Padrão IEEE 754/2008 - Single
s e f
(-1)s#2e-127#(1.f) se 0<e<255
(-1)s#2-126#(0.f) se e=0 e fs0
X= (-1)s#0 se e=0 e f=0
(-1)s#Inf se e=255 e f=0
NaN se e=255 e fs0

13. Padrão IEEE 754/2008 - Single
s e f
O sinal s é 0 quando o número é positivo e 1 quando é negativo
O expoente e é uma sequência de 8 bits, armazenada em complemento
a dois, com o desvio (bias) 011111112 = 12710
A fração f é uma sequência de 23 bits, f = f1f2...f23,
com fk 2 {0,1} para 1%k%23 e o seu valor é dado pela
fração decimal f = f1#2-1+f2#2-2...f23#2-23

14. Padrão IEEE 754/2008 – Expoentes positivos
Os hifens são
facilitadores da
leitura
0000-0010  22
2
0000-0001  12 ---------
--------- 1 0000-0010  2C2
0000-0001  1C2 0111-1111  + bias
0111-1111  + bias ---------
--------- 1000-0001  memória
1000-0000  memória
0111-1111  1272
--------- 127
0111-1111  127C2
0111-1111  + bias
---------
1111-1110  memória

15. Padrão IEEE 754/2008 – Expoentes negativos
0000-0001  1
1111-1110  -1C1 -1 0000-0011  3
1111-1100  -3C1 -3
0000-0001  +1
--------- 0000-0001  +1
1111-1111  -1C2 ---------
0111-1111  +bias 1111-1101  -3C2
--------- 0111-1111  +bias
0111-1110  memória ---------
0111-1100  memória
0111-1110  126
-126
1000-0001  -126C1
0000-0001  +1
---------
1000-0010  -126C2
0111-1111  +bias
---------
0000-0001  memória

16. Padrão IEEE 754/2008 – Expoentes extremos
1000-0000  1282 0000-0000  02
--------- 128 --------- 0
1000-0000  128C2 0000-0000  0C2
0111-1111  +bias 0111-1111  +bias
--------- ---------
1111-1111  memória 0111-1111  memória
0000-0000  0 0111-1111  127
1111-1111  -0C1 -0 1000-0000  -127C1 -127
0000-0001  +1 0000-0001  +1
--------- ---------
0000-0000  -0C2 1000-0001  -127C2
0111-1111  +bias 0111-1111  +bias
--------- ---------
0111-1111  memória 0000-0000  memória

17. Padrão IEEE 754/2008 – a ordenação dos
expoentes
-127  0000-0000 Desnormalização
-126  0000-0001
...
Base 10 -2  0111-1101
-1  0111-1110
-0  0111-1111
Faixa normal
+0  0111-1111
+1  1000-0000
+2  1000-0001
...
+127  1111-1110
+128  1111-1111 Excessão

18. Python v2.7
The Python Standard Library
Chap. 9 - Numeric and Mathematical Modules

19. A “reta real” no computador
Faixas
positiva e negativa
dos desnormalizados
−∞ +∞
Faixa normal Faixa normal
negativa positiva
Faixa dos Faixa dos
NaN NaN
negat. posit.

20. Problemas na conversão
base 10  base 2

21. Algoritmo de conversão
1. Faça k=0, defina x2k = 0. e x10k = x10;
2. Multiplique x10k por 2 gerando y10k;
3. Denote por v2k o “vai 0” ou “vai 1” do resultado y10k;
4. Substitua k por k+1;
5. Defina o novo x10k suprimindo v2k do y10k anterior (quando v2k=0 isto
é desnecessário) ;
6. Defina o novo x2k acrescentando v2k à representação anterior x2k;
7. Se o novo x10k = 0 acabou; a representação na base dois foi obtida. Senão
retorne ao passo 2.

22. Gerando “bí”zimas periódicas
Para números racionais
– que é o caso dos números passíveis de representação em ponto flutuante –
o algoritmo de conversão descrito na transparência anterior
só termina em um número finito de passos
quando a representação x10 de x(0<x<1) na base 10
é uma potência (negativa) de dois
ou uma soma de potências (negativas) de dois.

23. Decimais com 1 dígito após a vírgula
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
80%

24. Decimais com 2 dígitos após a vírgula
0.00
0.01
...
0.24
0.25
0.26
...
0.49
0.50
0.51
...
0.74
0.75
0.76
...
96%
0.99

25. Repetir a idéia

26. A grande maioria é “bí”zima
0.00 0.000 0.0000000
0.01 0.001 0.0000001
0.0 ... ... ...
0.1 0.24 0.124 0.xxxxxxx
0.2 0.25 0.125 0.xxxxxxx
0.3 0.26 0.126 0.xxxxxxx
0.4 ... ... ...
0.5 0.49 0.499 0.4999999
0.6 0.50 0.500 0.5000000
0.7 0.51 0.501 0.5000001
0.8 80% ... 96% ... 99.2% ... 99.9936%
0.9 0.74 0.874 0.xxxxxxx
0.75 0.875 0.xxxxxxx
0.76 0.876 0.xxxxxxx
... ... ...
0.99 0.999 0.9999999

27. A avaliação de funções

28. O que é realmente calculado...
x y
f y* = f(x*)
x*
x f
Y = f(x)

29. Operações algébricas em ponto flutuante

30. A adição
+ : (x,y) / x+y
1. Possui elemento neutro : o zero;
2. Cada x possui seu inverso –x;
3. É comutativa;
4. Não é associativa.

31. A multiplicação
* : (x,y) / x*y
1. Possui elemento neutro : o um;
2. Cada xs0 possui seu inverso: 1/x - não!
3. É comutativa – sim!
4. É associativa – não!