Cours d'électronique analogique. Première année GEII de l'IUT de l'Indre. Transmittance complexe - Fonction de transfert

1. Transmittance complexe
Fonction de transfert
Enseignement d’électronique de Première Année
IUT de l’Indre
Eric PERONNIN

2. www.geii.eu 2
Quadripôles
Définition
 Circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et deux
bornes de sortie.
 Il est dit linéaire s’il ne comporte que des éléments linéaires.
 Il est dit passif s’il ne comporte que des composants passifs
(résistance, inductance, capacité).
Représentation
V1 et I1 sont aussi notés Ve et Ie (idem (V2,I2) <=> (Vs,Is) )
2
QV
I I
2V
2
1
Quadripôle
1

3. www.geii.eu 3
Transmittance complexe
Définition
 C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la
tension en sortie du quadripôle et la tension en entrée de ce
quadripôle.
 Mathématiquement :
 Note :
 ce calcul s’effectue en régime harmonique donc en utilisant
les impédances complexes des éléments du circuit
– pour une inductance :
– pour une capacité :
3
1 QV
2
Quadripôle
V

4. www.geii.eu 4
Gain et déphasage
Gain
 Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie sur
l’amplitude du signal d’entrée en décibel (dB)
Déphasage
 Il exprime le décalage angulaire (en degré ou radian) sur un
diagramme de Fresnel entre les signaux d’entrée et de sortie
4

5. www.geii.eu 5
Diagramme de Bode
Définition :
 C’est la représentation graphique de G(w) et de j(w) sur un
diagramme semi-logarithmique :
5
GainendBoudépahasage(degréouradian)
Fréquence en Hz ou pulsation en rad/s
1 décade

6. www.geii.eu 6
1 2V V
R
C
I
Application : circuit RC
Transmittance complexe :
 Calcul de T(jw) :
 loi des mailles : et loi d’Ohm :
 élimination de I :
 finalement :
– où est la pulsation de coupure du circuit
– on note également la constante de temps du circuit .
6

7. www.geii.eu 7
   
    2
0
2
00
0
1log
2
1
201log2001log201log.20
1
1
log20log20
wwwwww
ww
ww




 


j
j
jTG
1 2V V
R
C
I
Application : circuit RC
Gain et déphasage :
 Rappel :
 Gain :
– soit :
 Déphasage :
– soit :
7
 
RC
où
j
jT
1
1
1
0
0


 w
ww
w
    
     0
1
0
0
tan01arg1arg
1
1
argarg
wwww
ww
wwj










j
j
jT
   0
1
tan wwwj 

    2
01log10 www G

8. www.geii.eu 8
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10 100 1000 10000 100000
Gain(dB)-Déphasage(degré)
Fréquence
Gain asymptotique
Gain
réelDéphasage
réel
Déphasage
asymptotique
Application : circuit RC
Diagramme de Bode :
8

9. www.geii.eu 9
  





















0
2
0
log201log10
w
w
w
w
wjT
Diagramme asymptotique
Justification du diagramme de Bode asymptotique :
 Soit :  le repère (X,Y) est alors un repère
cartésien ou X numérote les décades et
Y représente le gain.
 Cas de l’amplitude pour :
 L’atténuation étant faible, on l’assimile à une constante
égale au gain en 0, ici 0 dB, d’où une asymptote
horizontale à Y=0 pour
 Cas de l’amplitude pour 
 soit
 c’est une droite passant par Y=0dB en w =w0 et possédant
une pente de -20dB par décade = asymptote oblique.
9
 
 




w
w
GY
X log
0ww 
0ww 
0ww 0ww 
02020 XXY 

10. www.geii.eu 10
Transmittance complexe généralisée
Sous une forme factorisée, elle s’écrit :
– les w1i et w2i sont les pulsations de coupure des termes du premier ordre
– les w3i et w3i sont les pulsations naturelles des termes du second ordre
– les m3i et m4i sont les coefficients d’amortissement des termes du second ordre
– K est un gain (dit « gain statique » lorsque u = 0)
10
   






















































4
3
2
1
1
2
44
4
1
2
33
3
1 2
1 1
21
21
1
1
n
i ii
i
n
i ii
i
n
i i
n
i iu
jj
m
jj
m
j
j
jKjT
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
ww

11. www.geii.eu 11
Gain
Gain
 Note : si alors et si alors
Déphasage
Diagramme de Bode
11
  KjT w
 
 
 





0log20
0log20
log20
KsiK
KsiK
KG w
1K 1K   0wG  0wG
   






0
00
arg
Ksi
Ksi
K

wj
0dB w0 w
 wG
1K
1K
0 w0 w
 wj
0K
0K
-

12. www.geii.eu 12
Dérivateur
Gain
 Note :
 Déphasage
Diagramme de Bode
12
  






00
log20log20
w
w
w
w
w
j
G
  00 wG
 
2
arg
0

w
w
wj 






j
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB
20dB
0 w0/10 w0 10w0 w
 
0w
w
w
j
jT 

13. www.geii.eu 13
Dérivateur
Justification du diagramme de Bode
 Soit :
 Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote
les décades et Y représente le gain
 Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit :
» où X0 correspond avec w0
 C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0 avec une
pente de +20dB par décade (Y augmente de 20dB pour un
accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)
13
 
 




w
w
GY
X log
02020 XXY 
 
0w
w
w
j
jT 

14. www.geii.eu 14
Filtre passe-bas d’ordre 1  
01
1
ww
w
j
jT


Transmittance complexe du passe-bas
Gain
Déphasage
Diagramme de Bode
14
 

















2
0
0
1log10
1
1
log20
w
w
w
w
w
j
G
  dBG 30 w
  











 
0
1
0
tan1arg
w
w
w
w
wj
j
  dBG 00 
 
4
0

wj 
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 w
coupuredepulsationoù 0w

15. www.geii.eu 15
Filtre passe-bas d’ordre 1
Réponse temporelle à 1 échelon de tension :
 Définition de Ve :
 Obtention de l’équation temporelle à partir de la transmittance
complexe :
 Multiplier par revient à dériver par rapport au temps :
 On retrouve une équation différentielle du premier ordre et
donc :
15
 
 




0
00
tcEtV
ttV
te
e
e
 
  e
s
ses
e
s
V
V
jVV
j
V
jjV
jV









000
1
1
1
w
w
w
w
www
w
      Etv
dt
tdv
tvV
V
jV e
s
se
s
s 
00
1
ww
w
   t
s eEtv 
 0
1 w
wj

16. www.geii.eu 16
Filtre passe-bas d’ordre 1
 En vert, l’entrée avec E = 5v
 En rouge, le signal de sortie (constante de temps = 1s)
16

17. www.geii.eu
VsVe C
R
RVe
L
Vs
Filtre passe-bas d’ordre 1
Réalisations passives :
 Cricuit RC :
 Circuit LR :
Réalisation active :
17
+
-
3
2
6
Ve
R
Vs1
C
R
 
CR
où
j
jT




1
1
1
0
0
w
ww
w
 
L
R
où
j
jT 

 0
01
1
w
ww
w
 
CR
où
j
jT





1
1
1
0
0
w
ww
w

18. www.geii.eu 18
0w
wj
x 
Filtre passe-bas d’ordre 2
Transmittance complexe du passe-bas d’ordre 2 (ou second
ordre) :
 w0 est la pulsation naturelle du filtre
 m est le coefficient d’amortissement (m>0 au dénominateur)
Factorisation du dénominateur :
 Possible dans certains cas :
 Posons : et factorisons
 On trouve aisément que c’est possible si et on a alors :
où
18
2
21)( xmxxD 
1m
 














21
11
1
w
w
w
w
w
jj
jT  12
02,1  mmww
21
2
0 www 

19. www.geii.eu 19




2
2;0m
2
0 21 mr ww
Filtre passe-bas d’ordre 2
En l’absence de possibilité de factorisation donc lorsque
 Gain :
 Remarque : on montre que pour , le gain présente
un maximum en appelée pulsation de
résonnance.
 Déphasage :
 le calcul s’établit pour assurer la continuité du déphasage :
19
1m
 








































2
0
22
0
2
00
2
1log20
21
1
log20
w
w
w
w
w
w
w
w
w
m
jj
m
G
 
 

ww
ww
w
w
w
w
wj k
mjj
m 























 
2
0
01
2
00 1
2
tan21arg
00 10 wwww  pourketpourk

20. www.geii.eu 20
Filtre passe-bas d’ordre 2
Diagramme de Bode asymptotique
20
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj

-40dB -40dB
0 w0/10 w0 10w0 w
0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w
 wG  wj
-20dB -20dB
/2
0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w

21. www.geii.eu 21
Filtre passe-bas d’ordre 2
Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz)
21

22. www.geii.eu 22
Filtre passe-bas d’ordre 2
Diagramme de Bode réel : déphasage
 Points d’inflexion :
 2 de part et d’autre d’ lorsque
 1 double en
lorsque
 Points spécifiques :
22
 
 
  



180lim
90
00
0
wj
wj
j
w

23. www.geii.eu 23
Filtre passe-bas d’ordre 2
Réponse à un échelon de tension :
Passage du domaine fréquentiel au domaine temporel :
 Une multiplication par revient à dériver par rapport à :
 d’où l’équation différentielle régissant l’évolution de :
23

24. www.geii.eu 24
Filtre passe-bas d’ordre 2
Résolution de l’équation caractéristique :
2 cas de figure concrets possibles :
24
 :
2 racines complexes
conjuguées :
avec
et
 :
2 racines réelles distinctes :
où

25. www.geii.eu
Filtre passe-bas d’ordre 2
Solution pour :
Constantes d’intégration :
 Conditions initiales (exemple) :
Solution pour :
Constantes d’intégration :
 Conditions initiales (exemple) :
25

26. www.geii.eu 26
Filtre passe-bas d’ordre 2
Tracé de la réponse à un échelon
26

27. www.geii.eu
Filtre passe-bas d’ordre 2
Réalisation passive : Exemples de réalisations
actives :
 Cellule Sallen & Key :
 Cellule de Rauch :
27
VsVe C
LR
+
-
3
2
6
C1
Ve
Vs
R1
C2
R2
Vs
R2
R1
C5
C4 +
-
3
2
6
R3
Ve

28. www.geii.eu 28
Inverse d’une transmittance
Le diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du
diagramme de T(jw) en changeant les signes du gain et du
déphasage :
Exemple :
28
   
   
   




 
wjwj
ww
ww
GG
jTjT 1
0dB w0 w
 wG  wjT
 wjT
1
0 w0 w
 wj
 wG
 wjT
1
 wj
 wjT

29. www.geii.eu 29
Rappel pour
Gain :
Déphasage :
Diagramme de Bode :
29
 

















2
0
0
1log10
1
1
log20
w
w
w
w
w
j
G
  dBG 30 w
  











 
0
1
0
tan1arg
w
w
w
w
wj
j
  dBG 00 
 
4
0

wj 
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 w

30. www.geii.eu 30
Application pour
Gain :
Déphasage :
Diagramme de Bode :
30
   






























2
0
2
0
1log101log10
w
w
w
w
w
w GG
    











 
0
1
0
1
tantan
w
w
wj
w
w
wj
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 w
/2

31. www.geii.eu 31
Produit de transmittances
Le diagramme de Bode du produit de deux transmittances
complexes s’obtient en faisant la somme des diagrammes de
Bode de chacune des transmittances
 Soit :
 Soit G1 et j1 le gain et déphasage de T1(jw)
 Soit G2 et j2 le gain et déphasage de T2(jw)
 On a donc :
31
     
     




wjwjwj
www
21
21 GGG
     www jTjTjT 21 

32. www.geii.eu 32
Exemple : K>1
Gain :
32
 






























2
2
2
1
1log101log10log20
w
w
w
w
w KG
-20dB
0dB w1/10 w1 w2 10w2 w
K
2
1
1
w
wj

1
1
1
w
wj

 wG

33. www.geii.eu 33
Exemple : K>1
Déphasage :
33
  


















21
11
w
w
w
w
w
jj
KjT
 wj
-/2
0 w1/10 w1 w2 10w2 w
K
2
1
1
w
wj

-
1
1
1
w
wj

  











 
2
1
1
1
tantan0
w
w
w
w
wj

34. www.geii.eu 34
Domaine de Laplace
L’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la
transmittance complexe. Pour des études plus complexes, on
recherche la fonction de transfert de Q
 on la note H(p)=V2(p)/V1(p)
Pour déterminer H(p), on utilise les impédances complexes
généralisées
 pour la résistance : R(p) = R
 pour la capacité : C(p) = 1/Cp
 pour l’inductance : L(p) = Lp
– Remarque : p, variable de Laplace, est un complexe
34

35. www.geii.eu 35
Domaine de Laplace
Remarques :
 Pour passer du domaine de Laplace au régime harmonique, on
prend p = jw.
 On peut aussi, sous certaines conditions, passer du domaine
temporel au domaine de Laplace par le biais d’une
transformation dite « Transformation de Laplace » (l’inversion
est aussi possible, cf. mathématiques 2ième d’année).
 Intérêts en électronique :
 Légère simplification d’écriture (p au lieu de jw).
 Déterminer plus facilement les réponses à des signaux assez
complexes.
35