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  1. 1. Resistência dos Materiais Aula 2 – Tensão Normal Média e Tensão de Cisalhamento Média Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  2. 2. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tópicos Abordados Nesta Aula Definição de Tensão. Tensão Normal Média. Tensão de Cisalhamento Média. Resistência dos Materiais
  3. 3. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Conceito de Tensão Representa a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passa por um determinado ponto. Resistência dos Materiais
  4. 4. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tensão Normal e Tensão de Cisalhamento Tensão Normal: A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua no sentido perpendicular a DA, é definida como tensão normal, s (sigma). Portanto pode-se escrever que: Resistência dos Materiais F lim0 A D A D = D ® s Tensão de Cisalhamento: A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua na tangente a DA, é definida como tensão de cisalhamento, t (tau). Portanto pode-se escrever que: F lim0 A D A D = D ® t
  5. 5. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Unidades de Tensão no SI No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade tanto da tensão normal quanto da tensão de cisalhamento é especificada na unidade básica de newtons por metro quadrado (N/m²). Esta unidade é denominada pascal (1 Pa = 1 N/m²), como essa unidade é muito pequena, nos trabalhos de engenharia são usados prefixos como quilo (10³), mega (106) ou giga (109). Resistência dos Materiais 1MPa =106Pa =106N/m² 1GPa =109Pa =109N/m²
  6. 6. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tensão Normal Média Resistência dos Materiais Hipóteses de simplificação 1) É necessário que a barra permaneça reta tanto antes como depois de a carga ser aplicada, e, além disso, a seção transversal deve permanecer plana durante a deformação. 2) A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, é necessário que P seja aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal e o material deve ser homogêneo e isotrópico.
  7. 7. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tensão Normal Média - Simplificações Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume. Material Isotrópico: Possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todas as direções. Resistência dos Materiais
  8. 8. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Distribuição da Tensão Normal Média Resistência dos Materiais = dF sdA A P = s × A P A s = onde: s = Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal. P = resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção transversal. A = área da seção transversal da barra.
  9. 9. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Exercício 1 1) A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a figura. Se AB tem diâmetro de 10 mm e BC tem diâmetro de 8 mm. Determinar a tensão normal média em cada haste. Resistência dos Materiais
  10. 10. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 1 Diagrama de corpo livre: Determinação das forças em AB e BC: 4 × − × ° = cos60 0 F × + F × sen ° − = BC BA Resistência dos Materiais BC BA F F = 0 y F 5 60 784,8 0 3 5 = 0 x F (I) (II)
  11. 11. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 1 5×632,38×cos60° Resistência dos Materiais De (I) 4 × − × ° = cos60 0 BC BA F F 5 5× ×cos60° 5 × F × ° × + F × sen ° − = BA BA 60 784,8 0 3 5 cos60 4 Substituindo-se (III) em (II), tem-se que: Em (III) 4 = BA BC F F (III) cos60 60 784,8 0 15 20 × F × ° + F × sen ° − = BA BA cos60 60 784,8 0 15 20 = − F × × ° + sen ° BA × ° + ° = cos60 60 15 20 784,8 sen FBA 4 = BC F = 632,38 BA F N = 395,23 BC F N
  12. 12. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 1 Resistência dos Materiais Área do Circulo 2 d 4 ACIRC × = p 4 F × 2 2 F 4 d d F A × = × = = p p s Tensão Normal 7,86 4 395,23 8 2 = × × F BC = = p s BC A BC Cabo BC 8,05 4 632,38 10 2 = × × F BA = = p s BA A BA Cabo BA MPa MPa
  13. 13. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Tensão de Cisalhamento Média Resistência dos Materiais V A t = méd onde: t méd = Tensão de cisalhamento média na seção. V = Resultante interna da força de cisalhamento. A = Área da seção transversal.
  14. 14. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Cisalhamento em Juntas Resistência dos Materiais Cisalhamento Simples: Cisalhamento Duplo:
  15. 15. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Exercício 2 2) A barra mostrada na figura tem seção transversal quadrada para a qual a profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo que seja aplicada uma força axial de 800 N ao longo do eixo do centróide da área da seção transversal da barra, determinar a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que atuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e (b) no plano da seção b-b. Resistência dos Materiais
  16. 16. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2 Parte (a): Na barra seccionada, pode-se verificar a carga interna resultante consiste apenas na força axial P = 800 N. Resistência dos Materiais Tensão normal média: = 0 t méd P 800 s = s = 500 s = = kPa 2 l P A 0,042 Tensão de cisalhamento:
  17. 17. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2 Parte (b): Se a barra for seccionada ao longo de b-b, o diagrama de corpo livre do segmento esquerdo será como o mostrado na figura. Nesse caso, tanto a força normal N como a força de cisalhamento V atuarão sobre a área seccionada. Resistência dos Materiais
  18. 18. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2 Resistência dos Materiais Utilizando como referência os eixos x´ e y´: = x F 0 ´ N −800×cos30° = 0 N = 800×cos30° N = 692,82 N = y F 0 ´ V −800× sen30° = 0 V = 800× sen30° V = 400 N
  19. 19. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2 400 × Resistência dos Materiais Área da seção transversal: b = 40 mm 46,18 40 h mm = ° 60 = sen A = b× h = 0,04×0,04618 Tensão normal média: 692,82 × 0,04 0,04618 N = = A s s = 375,06 kPa Tensão de cisalhamento média: 0,04 0,04618 V = = A t t = 216,49 kPa
  20. 20. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Exercícios Propostos 1) O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3 kN. Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o esforço de compressão médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A haste tem uma área de seção transversal de 400 mm², e a área de contato em C é de 650 mm². Resistência dos Materiais
  21. 21. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Exercícios Propostos 2) O mancal de encosto está submetido as cargas mostradas. Determinar a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Fazer o desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado em cada seção. Resistência dos Materiais
  22. 22. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Exercícios Propostos 3) O eixo está submetido a uma força axial de 30 kN. Supondo que o eixo passe pelo furo de 53 mm de diâmetro no apoio fixo A, determinar a tensão do mancal que atua sobre o colar C. Qual é a tensão de cisalhamento média que atua ao longo da superfície interna do colar onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro. Resistência dos Materiais
  23. 23. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Exercícios Propostos 4) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste e ao longo das duas áreas sombreadas da escora, uma das quais está identificada como abcd. Resistência dos Materiais
  24. 24. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Exercícios Propostos 5) A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos A, B e C. Todos os pinos estão sob cisalhamento duplo e cada um deles tem 18 mm de diâmetro. Resistência dos Materiais
  25. 25. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Próxima Aula Tensão Admissível. Fator de Segurança. Projeto de Acoplamentos Simples. Resistência dos Materiais

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