PowerPoint Teórico sobre a matéria de Lógica e Teoria de conjuntos. Ano de escolaridade: 10º Ano Disciplina: Matemática A NOVO PROGRAMA

1. Lógica e Teoria de Conjuntos
Matemática 10º ANO
Pedro Teixeira

2. 1.1. Introdução à lógica
Bivalente
Pedro Teixeira

3. Designações / termos Proposição
Designação correta é toda a expressão com
significado que
representa um objeto.
Composição de termos
/ designações,
apresentando um nexo
entre eles
Maneira de perceber na
lógica matemática
São palavras (nomes +
advérbios)
Ligação entre termos
através de um verbo
(ex: “é”)  são frases
Exemplos 3; 5; “pato”;
“galinha”; “ovo”; 𝜋
𝑥 = 3; 25=5; 2+9=7; a
galinha pôs o ovo.
Pedro Teixeira
Distinção entre termos/
designações e proposições
𝑥 = 3
“x é igual a 3”

4.  Uma proposição é toda a expressão 𝒑 suscitável de um
valor lógico
Pedro Teixeira
proposição
Lógica
Bivalente
2 valências
= 2 valores
VERDADE
FALSIDADE
V ou 1
F ou 0
O universo dos
valores lógicos é o
conjunto:
{V; F} ou {1; 0}

5.  Qualquer proposição obedece aos seguintes
princípios:
Princípio da não contradição:
Uma proposição não pode ser verdadeira nem falsa em
simultâneo.
Princípio do terceiro excluído:
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa; isto é:
verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro
Pedro Teixeira
Princípios gerais das
proposições

6.  Proposições equivalentes são proposições que
apresentam o mesmo valor lógico
 Às vezes, quando estamos a indicar o valor lógico das
proposições podemos usar o símbolo da equivalência
(⟺):
 3,14159 = 𝜋 ⟺ 𝐹,
 8 12 = 16 3 ⟺ 𝑉 ;
 Sendo V e F proposições Verdadeira e Falsa, respetivamente
Pedro Teixeira
Proposições equivalentes

7. Pedro Teixeira
Operações com proposições

8.  Para demonstrar propriedades das operações com
proposições , podem usar-se diferentes técnicas tais
como: tabelas de verdade, argumentos que
envolvam apenas as definições das operações, ou
ainda, recorrendo a propriedades já verificadas.
Pedro Teixeira
Tabelas de verdade

9.  “não é verdade …”
 Representa-se pelo símbolo ~.
 Forma simplificada: inverte o valor lógico da
proposição a que está a ser implicada.
Pedro Teixeira
Negação (~)
𝒑 ~𝒑
𝑉 𝐹
𝐹 𝑉

10.  Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números pertencentes a ℝ, tais que:
Pedro Teixeira
Negação aplicada a operações
numéricas
𝒑 ~𝒑 ~𝒑
𝑎 = 𝑏 ~(𝑎 = 𝑏) 𝑎 ≠ 𝑏
𝑎 > 𝑏 ~(𝑎 > 𝑏) 𝑎 ≤ 𝑏
𝑎 ≥ 𝑏 ~(𝑎 ≥ 𝑏) 𝑎 < 𝑏
𝑎 < 𝑏 ~(𝑎 < 𝑏) 𝑎 ≥ 𝑏
𝑎 ≤ 𝑏 ~(𝑎 ≤ 𝑏) 𝑎 > 𝑏
⟺

11. Pedro Teixeira
Lei da dupla negação

12.  “a negação da negação de uma proposição apresenta
o mesmo valor lógico que a dita proposição”.
 ~(~𝑝) ⟺ 𝑝
Pedro Teixeira
Lei da Dupla negação
𝒑 ~𝒑 ~(~𝒑)
𝑉 𝐹 𝑉
𝐹 𝑉 𝐹
⟺

13.  A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova
proposição que se representa por p Ʌ q .
A conjunção p Ʌ q de duas proposições p e q é uma
proposição que é verdadeira se, e só se, p e q forem
ambas verdadeiras.
Pedro Teixeira
Conjunção

14.  A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova
proposição que se representa por p Ʌ q .
A conjunção p Ʌ q de duas proposições p e q é uma
proposição que é verdadeira se, e só se, p e q forem
ambas verdadeiras.
Pedro Teixeira
Conjunção
Já se utilizava a conjunção quando
resolvíamos sistemas de
equações.
Exemplo:
𝑥 = 1
𝑦 = 𝑥
⟺ 𝑥 = 1 Ʌ 𝑦 = 𝑥

15.  A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova
proposição que se representa por p V q .
A disjunção p V q de duas proposições p e q é uma
proposição que é falsa se, e só se, p e q forem ambas
falsas.
Pedro Teixeira
Disjunção

16.  A conjunção de duas proposições, p e q, é uma nova
proposição que se representa por p V q .
A disjunção p V q de duas proposições p e q é uma
proposição que é falsa se, e só se, p e q forem ambas
falsas.
Pedro Teixeira
Disjunção
Já se utilizava a disjunção, quando
resolvíamos uma equação pela lei do
anulamento do produto.
Exemplo:
𝑎 × 𝑏 = 0 ⟺ 𝑎 = 0 V 𝑏 = 0

17.  Recorda: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa
Desse modo, a conjunção de uma proposição e a sua
negação será sempre falsa.
Pedro Teixeira
Principio da não contradição
𝒑 ~𝒑 𝒑 ∧ ~𝒑
𝑉 𝐹 𝐹
𝐹 𝑉 𝐹
O resultado é sempre F

18.  Recorda: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Desse modo, a disjunção de uma proposição com a
sua negação é sempre verdadeira.
Pedro Teixeira
Principio do terceiro excluído
𝒑 ~𝒑 𝒑 ∨ ~𝒑
𝑉 𝐹 𝑉
𝐹 𝑉 𝑉
O resultado é sempre V

19. Tautologia / contradição
Tautologia
 Uma proposição que tem
sempre o valor lógico de
verdade, independentemente
do valor lógico das
proposições que a compõe,
chama-se tautologia.
principio do terceiro excluído
Contradição
 Uma proposição que tem
sempre o valor lógico de
falsidade, independentemente
do valor lógico das
proposições que a compõe,
chama-se contradição.
Principio da não contradição
Pedro Teixeira
São proposições “especiais”

20.  Dadas as proposições p e q, chama-se implicação a
proposição representada por p⟹q
Pedro Teixeira
Implicação
Antecedente da implicação Consequente da implicação
Conhecer apenas o valor lógico do consequente não é
suficiente para concluir o valor lógico da implicação

21. Pedro Teixeira
implicação
A implicação p ⇒ q entre duas proposições p e q é uma nova
proposição que é falsa se, e só se, o antecedente p é verdadeiro
e o consequente q é falso.

22.  Recorda:
 Duas proposições são equivalentes se tiverem o mesmo
valor lógico
 Desse modo, pode-se dizer que a equivalência é verdadeira
quando as proposições sujeitas a esta tiverem o mesmo
valor lógico.
Pedro Teixeira
Equivalência

23. Operações numéricas Operações Lógicas
Pedro Teixeira
Importância das operações
I
m
p
o
r
t
â
n
c
i
a
I
m
p
o
r
t
â
n
c
i
a
Multiplicação e divisão
Soma e subtração
Negação
Conjunção e disjunção
Implicação e equivalência

24.  Propriedades comutativas:
 𝑝 ∧ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∧ 𝑝
 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∨ 𝑞
 Propriedades associativas:
 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 ⟺ 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟
 (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ⟺ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
Pedro Teixeira
Propriedades das conjunções e
disjunções

25.  Propriedades distributivas:
 A conjunção é distributiva em relação à disjunção:
 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
 A disjunção é distributiva em relação à conjunção:
 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
Pedro Teixeira
Propriedades das conjunções e
disjunções

26.  Elementos neutros e Elementos absorventes
 V é o elemento absorvente da disjunção
o elemento neutro na conjunção.
 F é o elemento neutro da disjunção
o elemento absorvente da conjunção.
Pedro Teixeira
Propriedades das conjunções e das
disjunções

27.  Em linguagem recorrente:
 Negar que as duas proposições são simultaneamente
verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma é
falsa.
 Negar que pelo menos uma das proposições é
verdadeira equivale a afirmar que as duas são
simultaneamente falsas
 Em linguagem matemática
 ~ 𝑝 ∧ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ∨ ~𝑞
 ~ 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ∧ ~𝑞
Pedro Teixeira
Leis de Morgan

28.  Relação entre a implicação e a disjunção
𝑝 ⟹ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ∧ 𝑞
Pedro Teixeira
Propriedades da implicação

29.  Negação de uma implicação
 Repara que: 𝑝 ⟹ 𝑞 ⟺ ~𝑝 ∧ 𝑞
Desse modo, ~(𝑝 ⟹ 𝑞) ⟺ ~ ~𝑝 ∧ 𝑞 ⟺ 𝑝 ∨ ~𝑞
Logo, ~(𝑝 ⟹ 𝑞) ⟺ 𝒑 ∨ ~𝒒
Pedro Teixeira
Propriedades da implicação

30.  Implicação contrarrecíproca:
𝑝 ⟹ 𝑞 ⟺ ~𝑞 ⟹ ~𝑝
Pedro Teixeira
Propriedades da implicação

31.  Propriedade transitiva da implicação
(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⟹ 𝑟) ⟹ (𝑝 ⟹ 𝑟)
“se p implica q e q implica r, então p implica r”
Pedro Teixeira
Propriedades da implicação

32.  Dupla implicação
𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝 ⟺ 𝑝 ⟺ 𝑞
Pedro Teixeira
Propriedades da implicação

33. 1.2. Condições e conjuntos
Pedro Teixeira

34.  Uma expressão proposicional ou condição é uma
expressão 𝑝(𝑥) envolvendo a variável 𝑥, tal que,
substituindo 𝑥 por um objeto 𝑎, se obtém a
proposição 𝑝(𝑎).
Pedro Teixeira
Expressão proposicional ou condição

35. Quantificadores
Quantificador universal ∀
 Dada uma condição 𝑝(𝑥),
∀𝒙, 𝒑 𝒙 é uma proposição
verdadeira se e só se se obtiver
sempre uma proposição
verdadeira aquando a
substituição de 𝑥 por um
número arbitrário.
 Num dado conjunto 𝑈, a
proposição ∀𝒙 ∈ 𝑼, 𝒑(𝒙) é uma
proposição verdadeira se e só
se se obtiver sempre uma
proposição verdadeira
aquando a substituição de 𝑥
por um elemento de 𝑈.
Pedro Teixeira

36. Quantificadores
Quantificador existencial ∃
 Dada uma condição 𝑝(𝑥),
∃𝒙: 𝒑 𝒙 é uma proposição
verdadeira se e só se, para pelo
menos um objeto 𝑎, 𝑝(𝑎) seja
verdadeira.
 Num dado conjunto 𝑈, a
proposição ∃𝒙 ∈ 𝑼: 𝒑(𝒙) é
uma proposição verdadeira
quando e apenas quando, para
pelo menos um objeto 𝑎, que
pertença a 𝑈 (𝑎 ∈ 𝑈), 𝑝 𝑎 seja
verdadeira.
Pedro Teixeira

37. Pedro Teixeira
Classificação de condições

38.  Uma condição p(x) é possível se a proposição
∃𝒙: 𝒑 𝒙 for verdadeira.
 Uma condição p(x) é possível num conjunto U se
∃𝒙 ∈ 𝑼: 𝒑(𝒙) for verdadeira
 Uma condição que não é possível é uma condição
impossível: ∄𝒙: 𝒑 𝒙
Pedro Teixeira
Condição possível e condição
impossível

39.  Uma condição p(x) é universal se a proposição
∀𝒙, 𝒑 𝒙 for verdadeira.
 Uma condição p(x) é universal num conjunto U se a
proposição ∀𝒙 ∈ 𝑼, 𝒑(𝒙) for verdadeira.
Pedro Teixeira
Condições universais

40. Sejam
𝑝(𝑥) uma condição possível;
𝑢(𝑥) uma condição universal;
𝑖(𝑥) uma condição impossível;
𝑞(𝑥) uma condição qualquer.
Pedro Teixeira
Propriedades da disjunção e
conjunção de condições
𝑞(𝑥) ∨ 𝑝(𝑥) ⟺ 𝑝(𝑥)
𝑞 𝑥 ∨ 𝑢 𝑥 ⟺ 𝑢 𝑥
𝑞(𝑥) ∨ 𝑖(𝑥) ⟺ 𝑞(𝑥)
Propriedades das disjunções Propriedades das conjunções
𝑞 𝑥 ∧ 𝑢 𝑥 ⟺ 𝑞 𝑥
𝑞(𝑥) ∧ 𝑖(𝑥) ⟺ 𝑖 𝑥

41.  ~ ∀𝑥, 𝑝 𝑥 ⟺ ∃𝑥: ~𝑝 𝑥
 ~ ∃𝑥: 𝑝 𝑥 ⟺ ∀𝑥, ~𝑝(𝑥)
Pedro Teixeira
Segundas leis de Morgan

42.  A negação de uma condição universal é uma condição
impossível.
 Se 𝑝(𝑥) ⟺ 𝑢(𝑥), então ~𝑝(𝑥) ⟺ 𝑖(𝑥)
 A negação de uma condição impossível é uma
condição universal.
 Se 𝑝(𝑥) ⟺ 𝑖(𝑥), então ~𝑝(𝑥) ⟺ 𝑢(𝑥)
Pedro Teixeira
Negação de uma condição

43.  ~ ∀𝑥, 𝑝 𝑥 ⟹ 𝑞 𝑥 ⟺ ∃𝑥: 𝑝 𝑥 ∧ ~𝑞(𝑥)
 ~ ∀𝑥: 𝑝 𝑥 ⟹ 𝑞 𝑥 ⟺ ∃𝑥, 𝑝 𝑥 ∧ ~𝑞(𝑥)
Pedro Teixeira
Negação de uma implicação

44.  ~ ∀𝑥 ∈ 𝑈, 𝑝 𝑥 ⟺ ∃𝑥 ∈ 𝑈: ~𝑝 𝑥
 ~ ∃𝑥 ∈: 𝑝 𝑥 ⟺ ∀𝑥 ∈ 𝑈, ~𝑝(𝑥)
Pedro Teixeira
Negação de proposições
quantificadas num conjunto U

45. A definição de um conjunto em extensão baseia-se na
discriminação de todos os elementos que o compõem.
𝐴 = 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ
A definição de um conjunto em compreensão é
determinar esse conjunto por meio de uma condição
𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑈: 𝑝 𝑥 𝑜𝑢𝐴 = 𝑥: 𝑝 𝑥
sendo p(x) uma condição definida em U
Pedro Teixeira
Conjuntos: extensão / compreensão
∀𝒙, 𝒙 ∈ 𝑨 ⟺ 𝒑(𝒙).

46.  Dois conjuntos, 𝐴 𝑒 𝐵,
𝐴 = 𝐵 ⟺ ∀𝑥, 𝒙 ∈ 𝑨 ⟺ 𝒙 ∈ 𝑩
Pedro Teixeira
Igualdade de conjuntos

47.  Duas condições são equivalentes no mesmo conjunto
se e somente se definirem o mesmo conjunto em U
𝑝 𝑥 ⟺ 𝑞 𝑥
se e somente se
𝑥 ∈ 𝑈: 𝑝 𝑥 = {𝑥 ∈ 𝑈: 𝑞(𝑥)}
Pedro Teixeira
Condições equivalentes

48.  A intercessão de A com B corresponde ao conjunto de
todos os elementos que pertençam, em simultâneo, em
A e B.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Pedro Teixeira
Intercessão de dois conjuntos

49.  A intercessão de A com B corresponde ao conjunto de
todos os elementos que pertençam a pelo menos a
um dos conjuntos, A ou B
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Pedro Teixeira
(Re)união de dois conjuntos

50.  Dois conjuntos A e B, diz-se A está contido em B ou
que A é um subconjunto de B quando todos os
elementos de A pertencerem a B
𝐴 ⊂ 𝐵 ⟺ ∀𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐵
Pedro Teixeira
Relação de inclusão de dois
conjuntos

51.  Dados dois conjuntos, A e B, chama-se diferença entre
A e B (AB) ao conjunto dos elementos de A que não
pertencem a B:
𝐴B = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
Pedro Teixeira
Diferença de conjuntos

52. Seja : 𝐴 um conjunto
𝐴 = 𝑈A = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}
𝐴 = 𝑈(𝑈A) = 𝐴
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵}
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑈 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵}
Pedro Teixeira
Complementaridade de conjuntos –
Leis de Morgan

53. ∀𝑥, 𝑝 𝑥 ⟺ 𝑞 𝑥 ⟺
⟺ ∀𝑥, 𝑝 𝑥 ⟹ 𝑞 𝑥 ∧ 𝑞 𝑥 ⟹ 𝑝 𝑥
Pedro Teixeira
Dupla Implicação

54. 𝐴 = 𝐵 ⟺ 𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴 ⟺
⟺ ∀𝑥, 𝑥 ∈ 𝐴 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐵
Pedro Teixeira
Principio da dupla inclusão

55. ∀𝑥, 𝑝 𝑥 ⟹ 𝑞 𝑥 ⟺ ∀𝒙, ~𝒒(𝒙) ⟹ 𝒑(𝒙)
Pedro Teixeira
Contrarreciproco

56. Correspondência entre proposições e
conjuntos
Proposições Conjuntos
equivalência ∀𝑥, 𝑝(𝑥) ⟺ 𝑞(𝑥) 𝑃 = 𝑄 igualdade
negação ∀𝑥, ~𝑝(𝑥) 𝑃 complementaridade
disjunção ∀𝑥, 𝑝(𝑥) ∨ 𝑞(𝑥) 𝑃 ∪ 𝑄 reunião
conjunção ∀𝑥, 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞(𝑥) 𝑃 ∩ 𝑄 intersecção
implicação ∀𝑥, 𝑝(𝑥) ⇒ 𝑞(𝑥) 𝑃 ⊂ 𝑄 inclusão