Caderno educacional 9ano_aluno_1bim

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Caderno de apoio nas áreas de Língua Portuguesa, Matemática e Ciências com vários exercícios que contemplam os descritores e suas respectivas expectativas de aprendizagem referenciadas em avaliações diagnósticas.

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Caderno educacional 9ano_aluno_1bim

  1. 1. CadernoCaderno educacional 9o ano Material de apoio Material do professor educacionalMaterial do professor CadernoCaderno ciênciasCiênciasMaterial de apoio Material do aluno
  2. 2. Expediente Marconi Ferreira Perillo Júnior Governador do Estado de Goiás Thiago Mello Peixoto da Silveira Secretário de Estado da Educação Erick Jacques Pires Superintendente de Acompanhamento de Programas Institucionais Raph Gomes Alves Chefe do Núcleo de Orientação Pedagógica Valéria Marques de Oliveira Gerente de Desenvolvimento Curricular Gerência de Desenvolvimento Curricular Elaboradores MATEMÁTICA Abadia de Lourdes da Cunha Alexsander Costa Sampaio Aline Márcia dos Santos Carlos Roberto Brandão Deusite Pereira dos Santos Inácio de Araújo Machado Júnior Marques Carneiro Lidiane Rodrigues da Mata Márcio Dias de Lima Marlene Aparecida Faria Mônica Martins Pires Regina Alves Costa Fernandes Silma Pereira do Nascimento Vieira PORTUGUES Alex Sandra de Carvalho Arminda Maria de Freitas Santos Débora Cunha Freire Histávina Duarte Pereira Joanede Aparecida Xavier de Souza Fé Lívia Aparecida da Silva Luiz Fabiano Braga dos Santos Márcia Mendonça Souza Marilda de Oliveira Rodovalho Myrian Marques Rosely Aparecida Wanderley Araújo CIÊNCIAS Cibele Pimenta Tiradentes Claudine Ferreira de Souza Azeredo Veríssimo Fernanda Cirqueira Rodrigues Hélio Pinheiro de Andrade Jardel Willian do Couto Leonardo Dantas Vieira Leonardo Teófilo Teles Lívio de Castro Pereira Ranib Aparecida dos Santos Lopes Rodrigo da Silva
  3. 3. Apresentação Prezado aluno, O Governo do Estado de Goiás, por meio da Secretaria de Estado da Edu- cação, criou o “Pacto pela Educação” com o objetivo de lhe oferecer um ensino de maior qualidade. Para atingir esse objetivo, apresentamos-lhe este material, a fim de apoiá-lo emsuasatividades,visandoaoseumelhordesempenhonoEnsinoFundamental. Com isso, esperamos prepará-lo melhor para o ingresso no Ensino Médio. O propósito maior deste material é o de possibilitar a apreensão de conteúdos considerados essenciais para você. Em face disso, espera-se que sua aprendizagem seja fortalecida e desenvolvida. Lembramos que as suas ações de agora são o alicerce para o seu futuro. Assim, lance mão desse material com afinco, o que certamente resultará em seu aprimoramento intelectual. Este material foi produzido pela Secretaria, pensando em você, no seu sucesso como estudante de hoje e como profissional de amanhã. Para tanto, sugerimos que, para aproveitar melhor cada texto, cada atividade colocada aqui, organize um período diário de estudo, de leitura dos textos, de levantamento de dúvidas. Vá para a sala de aula pronto para participar das discussões propostas pelo professor. Acreditamos que, somente com sua participação efetiva nas aulas, este material cumprirá a sua finalidade: proporcionar um ensino e uma aprendizagem mais justos e de mais qualidade. Contamos com sua participação e esforço! Bons estudos!
  4. 4. Sumário MATEMÁTICA Aula 01 Conjunto dos Números Naturais (N).................................................................................7 Aula 02 Conjunto dos números inteiros (Z) – Operações........................................................9 Aula 03 Conjunto dos Números Racionais (Q) – Frações........................................................13 Aula 04 Conjunto dos números racionais (Q) Números Decimais – Operações �����������17 Aula 05 Conjunto dos números racionais (Q): Equivalência de frações............................21 Aula 06 Conjunto dos números racionais (Q) – Conversão....................................................25 Aula 07 Conjunto dos Números Irracionais....................................................................................27 Aula 08 Conjunto dos Números Reais (R) ....................................................................................28 Aula 09 Os números racionais na reta numérica.........................................................................31 Aula 10 Potenciação: Definição..........................................................................................................33 Aula 11 Potenciação: Propriedades...................................................................................................36 Aula 12 Potência com expoente negativo......................................................................................38 Aula 13 Potenciação: expressões numéricas.................................................................................40 Aula 14 Decomposição em fatores primos....................................................................................41 Aula 15 Radiciação: Definição / Extração de raiz.........................................................................43 Aula 16 Radiciação (propriedades)....................................................................................................47 Aula 17 Radiciação inexata ..................................................................................................................49 Aula 18 Relacionando potências e radicais....................................................................................50 Aula 19 Resolução de situações problema envolvendo números R...................................52 Aula 20 Exercícios – números Reais...................................................................................................54 Aula 21 Rotação de polígonos – Propriedades.............................................................................56 Aula 22 Reflexão de polígonos – Propriedades............................................................................59 Aula 23 Translação de polígonos – Propriedades........................................................................63 Aula 24 Plano Cartesiano Ortogonal.................................................................................................66 Aula 25 Construção de polígonos no plano cartesiano............................................................69 Aula 26 Exercícios envolvendo polígonos......................................................................................72 Aula 27 Circunferência e círculo: Definição e diferenças..........................................................74 Aula 28 Razão I..........................................................................................................................................78 Aula 29 Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens).................82 Aula 30 Proporção ...................................................................................................................................85 Aula 31 Proporção – Propriedade......................................................................................................89 Aula 32 Exercícios envolvendo razão e proporção......................................................................93 Aula 33 Perímetro de polígonos diversos.......................................................................................94
  5. 5. Aula 34 Área de polígonos: quadrados e retângulos.................................................................98 Aula 35 Área de polígonos – Triângulos.......................................................................................101 Aula 36 Área de polígonos: paralelogramo................................................................................104 Aula 37 Área de polígonos: trapézio.............................................................................................107 Aula 38 Área de polígonos: pentágono e hexágono..............................................................109 Aula 39 Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo...................................................................................................................112 Aula 40 Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externas.................115 Aula 41 Leitura de gráficos e tabelas.............................................................................................117 Aula 42 Construir tabelas de dados estatísticos........................................................................121 Aula 43 Construir gráficos de frequência de dados estatísticos – coluna.......................126 Aula 44 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barra...............130 Aula 45 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – setores...........134 Aula 46 Conclusões com base na leitura de gráficos..............................................................137 Aula 47 Relacionar gráficos com tabelas......................................................................................141 Aula 48 Relacionar tabelas com gráficos......................................................................................146 Aula 49 Conclusões com base na leitura de tabelas...............................................................154 PORTUGUES CONTO LITERÁRIO AULA 01 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...........................................................................................7 AULA 02 Identificação dos conhecimentos sobre o gênero....................................12 AULA 03 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................16 AULA 04 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................25 AULA 05 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................28 AULA 06 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................30 AULA 07 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................34 AULA 08 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................40 AULA 09 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................43 AULA 10 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................46 AULA 11 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................49 AULA 12 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................52
  6. 6. AULA 13 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero ......................................60 AULA 14 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................65 AULA 15 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................68 AULA 16 Sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.................................71 EDITORIAL AULA 17 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero........................................................................................73 AULA 18 Identificação dos conhecimentos sobre o gênero....................................79 AULA 19 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................81 AULA 20 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................84 AULA 21 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero ......................................86 AULA 22 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................89 AULA 23 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................91 AULA 24 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................94 AULA 25 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................96 AULA 26 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero.......................................99 AULA 27 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero..................................... 100 AULA 28 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero..................................... 104 AULA 29 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.............. 106 AULA 30 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero..................................... 109 AULA 31 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero..................................... 111 AULA 32 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.............. 114 AULA 33 Sistematização dos conhecimentos sobre o gênero .............................. 118 AULA 34 Sistematização dos conhecimentos sobre o gênero .............................. 120 ATA, REQUERIMENTO, CARTAS AULA 35 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 122 AULA 36 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 126 AULA 37 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 129 AULA 38 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 132
  7. 7. AULA 39 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero ..................................................................................... 135 AULA 40 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 137 AULA 41 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 140 AULA 42 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 142 AULA 43 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero..................................... 144 AULA 44 Ampliação dos conhecimentos sobre o gênero..................................... 147 AULA 45 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 150 AULA 46 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.............. 155 AULA 47 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.............. 158 AULA 48 Levantamento dos conhecimentos prévios/introdução ao estudo do gênero...................................................................................... 161 AULA 49 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero ............. 164 AULA 50 Ampliação e sistematização dos conhecimentos sobre o gênero.............. 167 Referências bibliográficas.................................................................................... 171 CIÊNCIAS AULA 01 De que as coisas são feitas...................................................................................................DI AULA 02 Elementos químicos que constituem o planeta.........................................................DK AULA 03 Ciclo carbono e do nitrogênio...........................................................................................ED AULA 04 Ciclo do Carbono ...................................................................................................................EG AULA 05 Ciclo do Oxigênio.....................................................................................................................EL AULA 06 Resolução de exercícios .......................................................................................................FE AULA 07 Efeito Estufa .............................................................................................................................FH AULA 08 Aquecimento Global; Emissores de carbono.................................................................FJ AULA 09 Lixo ou resíduos: interferência no ciclo de materiais .............................................FM AULA 10 O reaproveitamento de materiais ..................................................................................GG AULA 11 Qualidade ambiental ...........................................................................................................GH AULA 12 Lixo Radioativo..........................................................................................................................GJ
  8. 8. AULA 13 Lixo Radioativo .......................................................................................................................GL AULA 14 Matriz energética e usinas nucleares..............................................................................HF AULA 15 Resolução de exercício...........................................................................................................HI AULA 16 Sol, fonte de energia ............................................................................................................HL AULA 17 Como as plantas se alimentam..........................................................................................ID AULA 18 A química da Fotossíntese ..................................................................................................IG AULA 19 A importância da fotossíntese para o meio ambiente ...............................................IJ AULA 20 Respiração Celular ...................................................................................................................IL AULA 21 Respiração-Fermentação.......................................................................................................JD AULA 22 Fermentação Lática ................................................................................................................JH AULA 23 Cadeia alimentar: transferência de energia contida no alimento.........................JL AULA 24 Teia alimentar: a interrelação de várias cadeias alimentares ................................KE AULA 25 Cadeia e teia alimentar: níveis de tróficos....................................................................KH AULA 26 Resolução de exercícios .......................................................................................................KJ
  9. 9. CadernoCaderno educacional 9o ano MATEMÁTICAMATEMÁTICA Material de apoio Material do professor educacionalMaterial do professor CadernoCaderno ciênciasCiênciasMaterial de apoio
  10. 10. MATEMÁTICA 10
  11. 11. Matemática 11 Aula 01 Conjunto dos Números Naturais (N) Objetivo geral Relembrar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais. Conceito básico Os números naturais surgiram da necessidade de fazer contagens, portanto, fica claro que tal conjunto é formado pelos números que utilizamos para contar. Representa-se o conjunto dos números naturais por N: 0,1,2,3,...N = " , A seguir faremos uma pequena revisão acerca das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão trabalhadas no conjunto N. Adição: É a operação matemática que permite juntar e/ ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama­ das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588 indica uma adição. Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Tais quantidades, também, são chamadas termos ou parcelas. A operação 1527 – 1354 = 173 indica uma subtração. Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. O resultado de uma multiplicação é chamado de produto. A operação 12 . 46 = 552 indica uma multiplicação. Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. A operação 1554 37 42=' indica uma divisão. Propriedades importantes da adição e da multiplicação Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumas propriedades comuns que devem ser relembradas. São elas: Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação. Adição: a b b a+ = + Exemplo: 5 + 7 = 12 e 7 + 5 = 12, portanto, 5 + 7 = 7 + 5. O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a aplicação dos números naturais e suas diferentes formas de utilização no cotidiano. u Reconhecer e aplicar as propriedades das operações com números naturais e percebê-las como facilitadoras na compreensão das técnicas operatórias. u Analisar, interpretar, formular e resolver situações problema em diferentes contextos sociais e culturais.
  12. 12. Matemática 12 Multiplicação: a . b = b . a Exemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35. Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Adição: (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c) Exemplo: (3 . 4) . 2 = 12 . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2) Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei­ ramente as operações contidas em seu interior. Expressão Numérica Na expressão numérica, os sinais de associação devem seguir a ordem: os parênteses ( ) devem ficar dentro dos colchetes [ ], e estes, dentro das chaves { }. Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida as operações que estão nos colchetes e, finalmente, as que estiverem entre chaves. Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/ ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo: ( I ) 8 + 5 . 3 = 8 + 15 = 23 ( II ) 15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] = 15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] = 15 + [16 - 7 + 1] = 15 + [9 + 1] = 15 + 10 = 25 Atividades 01 Efetue cada uma das operações a seguir: a) 487 + 965 b) 1238 – 649 c) 35 . 126 d) 9114 : 62 02 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas: a) 50 – {15 + [16 : (10 – 2) + 5 . 2]} = b) 70 – [5 . (4 : 4) + 9] = c) 25 + {27 : 9 + [9 . 5 – 3 . (8 – 5)]} = d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =
  13. 13. Matemática 13 03 Resolva os probleminhas a seguir: a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3.216 selos de diversos países. Supondo uma divi- são equilibrada, quantos selos caberão a cada filho? (Desenvolva o algoritmo da divisão). b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio? c) Maria levou R$ 20, 00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$ 9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria? d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas, quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante? Desafio Sabendo que Tiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda: a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas figurinhas terá cada um? b) Se Tiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor? c) Caso o pai de Tiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele? d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão? AULA 02 Conjunto dos números inteiros (Z) – Operações Objetivo Geral Interpretar e resolver situações problema envolvendo operações com números inteiros. Conceitos Básicos O conjunto dos números inteiros (Z) encontra-se presente em diversas situações do dia-a-dia, principalmente quando apresentam o envolvimento de números negativos. É formado pela união do conjunto dos números naturais com os seus simétricos em relação ao zero. Portanto, é formado por números positivos e negativos: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  14. 14. Matemática 14 Dois números são ditos simétricos quando sua soma for igual a zero. Portanto, dizemos que os números negativos (-1, -2, -3, ...) são simétricos dos números naturais, uma vez que: 1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0 Operações com Números Inteiros As operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Para isso é necessário que fique claro que operação matemática está sendo desenvolvida: adição ou multiplicação. Adição de números inteiros É importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há a sequenciação de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/ou divisão. Para isso é importante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais ou diferentes. Assim:  Se as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e será obtido a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou negativas. Observe: a) 20 25 45- - =- b) 32 17 32 17 49 49+ =+ + =+ =  Se as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que possuir o maior valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe: a) 25 45 45 25 20- + =+ - =+^ h b) 38 51 (51 38) 13- =- - =- Multiplicação e ou divisão de números inteiros Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de números inteiros inicialmente é necessário perceber o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:  O produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número positivo. a) ( 6) ( 18) 108 108- - =+ =$ b) 5) (9) ( 5) ( 9) 45 45( = + + =+ =$ $ c) ( 90) ( 15) 6 6- - =+ ='
  15. 15. Matemática 15 d) (170) (17) ( 170) ( 17) 10 10= + + =+ =' '  O produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo. a) ( 8) ( 9) 72- + =-$ b) ( 7) ( 13) 91+ - =-$ c) ( 45) ( 5) 9- + =-' d) ( 100) ( 10) 10+ - =-' Atividades 01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano. Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa. Analisando os dados do gráfico responda: a) Em quais meses a microempresa teve lucro? b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?
  16. 16. Matemática 16 c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque? d) Qual foi o lucro médio nesses semestre? e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo? 02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho. Mês Saldo Março + R$ 800,00 Abril + R$ 250,00 Maio - R$ 150,00 Junho - R$ 950,00 Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses? 03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então: a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro. b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez. c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco. d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por menos quatro (-4). 04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor? Desafio Em um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação: Vitória + 5 pontos Empate + 3 pontos Derrota - 2 pontos Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1 empate e 2 derrotas. Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu 1 vitória, 2 empates e 3 derrota. Responda: a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeo- nato? b) Quem foi o ganhador?
  17. 17. Matemática 17 Aula 03 Conjunto dos Números Racionais (Q) Frações Objetivo Geral Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão e divisão; Efetuar cálculos e resolver situações problema que envolvam as operações com números racionais na forma fracionária. Conceito básico Os números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração b a , em que a e b são números inteiros e b ! zero. O conjunto dos números racionais (representado por Q) é definido por: e; 0 b a a b bQ Z Z !! != $ . Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. Exemplos: 10 3 (lê-se: três décimos) 0 (é o mesmo que 1 0 ) 5 4 (lê-se: quatro quintos) - 3 (é o mesmo que 1 3- ) 20 13 (lê-se: treze vinte avos) 5 8- (é o mesmo que 5 8- ) Fração Fração é a parte de um todo. Em sua representação há o numerador e o denominador. Significado Numerador Número colocado acima do traço que indica quantas partes da unidade foram tomadas. Denominador Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida. O que devo aprender nesta aula u Compreender as frações e utilizá-las em situações diversas. u Formular e resolver situações problema que envolva a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.
  18. 18. Matemática 18 Exemplo 1: Observe a figura: Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. Cada pedaço representa uma fração da pizza, que é indicado por 8 1 . Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos repre­sentá-los pela fração 8 2 . Exemplo 2: João pegou na biblioteca da escola um livro de 34 páginas para ler. Até o momento João leu 22 paginas. Qual a fração que representa o número de páginas que João leu? Para a resolução do problema, temos que identificar o conjunto universo, que neste caso é o total de páginas do livro, ou seja, 34. O total de páginas lidas por João é 22. Logo a fração correspondente às páginas lida será: 34 22 . Operações com frações Adiçao e subtração Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa, outras 3, conforme figura abaixo. Nesta condição podemos dizer que 6 2 do hexágono está pintado de vermelho e 6 3 está pintado de rosa. Assim, observando a figura temos que das 6 partes do hexágono, 5 estão pintadas. Logo podemos dizer que no total, 6 5 do hexágono está pintado. Concluímos que: 6 2 6 3 6 5+ =
  19. 19. Matemática 19 Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador e operar os numeradores (somar ou subtrair). Exemplos: a) 11 3 11 8 11 11 (ou seja, 1 inteiro)+ = b) 17 2 17 7 17 9+ = c) 6 2 6 3 6 1- + = d) 9 5 9 3 9 2- = e) 5 3 5 4 5 1- =- Multiplicação e divisão Observe a figura a seguir: Considerando o triplo da área pintada da figura acima teremos: Assim, a parte pintada corresponde a 8 6 do retângulo. Logo, 3 8 2 8 6=$ . Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3 1 3= . Logo, 1 3 8 2 8 6=$ , pois, 1 8 3 2 8 6= $ $ . O resultado de uma multiplicação entre duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores. Para dividir duas frações, temos que: O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração.
  20. 20. Matemática 20 Exemplos: 2 3 4 5 2 3 5 4 10 12=&' ' 5 2 3 1 5 2 1 3 5 6=&' ' Atividades 01 Observe as figuras abaixo Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso. 02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que fração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador? 03 Calcule a) 5 1 4 2 $ = b) 3 2 5 3 $ = c) 2 3 6 5 ' = 04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é 5 2 de sua idade. Quantos anos tem a prima de Amanda? 05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu 5 3 da revista. Quantas páginas tem a revis- ta de Maurício? 06 Efetue a seguinte operação: a) 3 2 2 1 7 6 7 2 7 3 ' $ - + =` j8 B$ .
  21. 21. Matemática 21 Desafio Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou 5 2 comprando chocola- tes. Do que sobrou, ela gastou 2 1 com pirulitos. Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos? Aula 04 Conjunto dos números racionais (Q) Números Decimais – Operações Objetivo Geral Operar com números decimais e resolver situações problema do cotidiano envolvendo as operações com números decimais. Conceito básico Um número é dito decimal quando apresentar uma vírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 . Para ler o número escrito na forma decimal primeiramente faz-se a leitura do número como se não existe vírgula. Assim, no número 14,2 lê-se cento e quarenta e dois. O passo seguinte é especificação da parte decimal. Para isso basta seguir as seguintes orientações:  Se houver apenas um número após a vírgula será usada a expressão décimos. u 1,4 (lê-se: quatorze décimos)  Se houverem dois números após a vírgula será usada a expressão centésimos. u 1,13 (lê-se: cento e treze centésimos)  Se houverem três números após a vírgula será usada a expressão milésimos. u 2,075 (lê-se: dois mil e setenta e cinco milésimos). O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  22. 22. Matemática 22 É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal. Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos: 10 3 0,3= 9 11 1,22222.......- =- 5 4 0,8= 100 71 0,71= 20 13 0,65= 5 8 1,6= Este processo é extremamente importante para auxiliar na localização de um número racional na reta numérica. Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujo numerador é o numero decimal sem vírgula, o denominador será o algarismo um (1) seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado. Exemplos: 1,22 100 122= 0,013 1000 13= 0,3 10 3= duas casas dois zeros Comparando dois números decimais Para comparar dois números decimais é necessário, primeiramente, igualar as casas decimais dos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos. Em seguida, é preciso eliminar a vírgula de ambos. Após o desenvolvimento destas duas etapas faz-se a comparação dos produtos finais. Exemplos: Vamos comparar os números 0,197 e 0,0987, usando os sinais: < (menor), > (maior) ou = (igual). 0, 0987 0, 1970 S S 4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara: 987 e 1970 " 987 < 1970. Logo, 0,0987 < 0,197
  23. 23. Matemática 23 Operações com números decimais Adição e subtração Para somar ou subtrair dois números decimais, primeiramente, é preciso acrescentar quantos zeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos: 2,7 3,0456+ 2,7 3,0456 2,7 3,0 2,7 3,0456456 000 3 casas a mais 3 casas completadas com o 0 + + +" " S S Mesma quantidade de casas decimais 2, 7000 3, 0456+ 6 7 8444 444? ? O passo seguinte será a organização do algoritmo de forma que ambos fiquem com suas respectivas vírgulas uma embaixo da outra. Vírgula debaixo de vírgula 2,7000 3,0456+ . Desta forma realiza-se a operação identificada (adição ou subtração) colocando o resultado com sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores. Vírgula debaixo de vírgula 2,7000 3,0456 5,7456 + . Multiplicação Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a vírgula do processo. 3,21 2,4 1284 642 7704 + # No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma das casas decimais das parcelas da multiplicação.
  24. 24. Matemática 24 3,21 2,4 1284 642 7 704 + # 3,21 2,4 1284 642 7,704 + # Divisão O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adição e subtração de números decimais uma vez que é necessário igualar as casas decimais das parcelas. Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade de casas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo. Portanto, 4,7 2,35 4, 7 2, 35 4, 70 2, 35 4,70 2,35"" " ? ? ? ? A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e desenvolver o algoritmo da divisão. 4,70 2,35 470 235" Atividades 01 Efetue as operações a seguir: a) 2,47 + 0,0165 d) 66 : 2,2 g) 5,2 x 2,3 b) 3 – 1,276 e) 32,51 + 0,4 h) 4,50 : 1,5 c) 4 x 2,195 f) 13,31 – 2,3 02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo. a) Quanto ela gastou no supermercado? b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro desse tecido? Uma casa decimal Duas casas decimais Mesma quantidade de casas decimais " " Duas casas após a vírgula Uma casa após a vírgula Total de três casas decimais
  25. 25. Matemática 25 03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros cada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora? Desafio (UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L. Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de: a) 1,28 b) 1,40 c) 1,75 d) 1,90 Aula 05 Conjunto dos números racionais (Q): Equivalência de frações Objetivo geral Relembrar o conceito de frações equivalentes. Conceito básico Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza. O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  26. 26. Matemática 26 Observe que nas duas figuras a parte pintada é a mesma. Daí, conclui-se que as frações 4 2 e 2 1 representam a mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podem ser indicadas como: 4 2 2 1= , ou, 4 2 2 1 + . Portanto, dizemos que duas ou mais frações são equivalentes quando corresponderem à mesma quantidade. Exemplo: Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu mais pizza? A partir das ilustrações fica perceptível que 4 2 e 8 4 representam a mesma quantidade, logo, as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidade de pizza. Para saber se duas frações são equivalentes, há um método extremamente simples: basta multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicar o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidos forem iguais conclui-se que as frações são equivalentes. Exemplos: Verifique se cada um dos pares de frações a seguir são equivalentes: a) 4 2 e 8 4 . 4 2 8 4
  27. 27. Matemática 27 2 8 4 4 16 16= ="$ $ Como os resultados foram iguais (16 = 16) temos que as frações são equivalentes. Logo, 4 2 8 4 + . b) 12 9 e 8 6 . 12 9 8 6 9 8 6 12 72 72= ="$ $ Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes. Logo, 12 9 8 6 + . c) 2 1 e 6 4 . 2 1 6 4 1 6 2 8 6 8= ="$ $ Como os resultados foram diferentes (6 8! ) temos que as frações não são equivalentes. Simplificação de frações Simplificar uma fração implica em dividir seus termos (numerador e denominador) por um mesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termos terão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração 24 18 onde tanto numerador como o denominador são múltiplos de 2, 3 e 6. Por conta disso é importante simplificar a fração até que ela fique na sua forma irredutível, ou seja, até que não seja mais possível encontrar um número que divida seus termos ao mesmo tempo. Exemplos: Simplifique as frações a seguir até sua forma irredutível: a) 90 2 60 2 45 3 30 3 15 5 10 5 3 2= = = ' ' ' ' ' ' b) 126 2 84 2 63 3 42 3 21 7 14 7 3 2= = = ' ' ' ' ' '
  28. 28. Matemática 28 Atividades 01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis. a) 81 54 b) 180 150 c) 600 512 d) 175 125 02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes: a) 24 36 e 24 36 b) 60 36 e 70 50 c) 125 100 e 500 400 d) 5 7 e 60 84 03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa. a) ( ) A fração 35 30 encontra-se em sua forma irredutível. b) ( ) As frações 93 86 e 63 56 são equivalentes. c) ( ) Se simplificar a fração 108 84 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a 18 14 . d) ( ) A forma irredutível da fração 140 136 é igual a 35 34 . Desafio Determine três frações equivalentes à forma irredutível 9 7 .
  29. 29. Matemática 29 AULA 06 Conjunto dos números racionais (Q) – Conversão Objetivo geral Compreender e transformar fração em números decimais e vice-versa. Conceito básico Em nosso dia a dia nos deparamos com números escritos na forma de fração e precisamos transformá-los em números decimais para facilitar a resolução de diversas situações problema. Exemplo 1: Márcio passou R$10,00 para que seus 20 sobrinhos dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou? Sugestão de solução: Total em dinheiro: R$ 10,00 Quantidade de sobrinhos: 20 100 20 100 0,5 0 Portanto, cada sobrinho ganhará R$ 0,50. Exemplo 2: Efetue a divisão e escreva na forma decimal a) 10 32 3,2= b) 100 125 1,25= c) 1000 5 0,005= d) 1000 28 0,028= e) 1000 5 0,005= O que devo aprender nesta aula u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  30. 30. Matemática 30 Atividades 01 Represente a fração decimal 100 121 na forma decimal. 02 Represente cada uma das frações na forma decimal. a) 10 2 b) 10 35 c) 10 518 d) 10 3 148 e) 100 68 f) 100 448 g) 100 2 634 h) 1000 538 i) 1000 5 114 j) 1000 8 356 l) 10 000 4 761 m) 10 000 15 832 03 Represente os números decimais em frações: a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 = d) 0,654 = e) 4,336 = Desafio Observe as frações e suas respectivas representações decimais. I. 1000 3 0,003= II. 100 2 367 23,67= III. 10 000 129 0,0129= IV. 10 267 2,67= Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas. a) I e II b) I e IV c) I, II e III d) I, II, III e IV
  31. 31. Matemática 31 O que devo aprender nesta aula u Reconhecer que a união dos números Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos números Reais. u Reconhecer um número irracional. u Criar e resolver situações problema que envolve números irracionais. AULA 07 Conjunto dos Números Irracionais Objetivo Geral Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números irracionais bem como suas operações. Conceito Básico Os números irracionais são os números que não podem ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são números reais, mas não são racionais. O conjunto dos números irracionais é representado por alguns autores pelo símbolo I. Sendo assim, representando a ideia expressa ante­rior­ mente em forma de diagrama temos: Exemplos de números irracionais. r, {, p , onde p é um número primo. Observação: a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional. Atividades 01 Observe os números escritos no quadro a seguir
  32. 32. Matemática 32 4 3600 3 36 17 Quais desses números são racionais e quais são irracionais? 02 O número irracional r está compreendido entre os números: a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4 03 Considere a expressão: 3 2 4 2 2 3 3- + - Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão? a) 0 b) 4 4 4 2 3 3- - c) 3 3- d) não tem como simplificar esta expressão Desafio Escreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10 O que devo aprender nesta aula u Reconhecer que a união dos números Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos números Reais. u Identificar cada número real com um ponto da reta e vice-versa. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. AULA 08 Conjunto dos Números Reais (R) Objetivo Geral Conhecer a definição conceitual de números reais Conceito Básico O conjunto dos números reais R é determinado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
  33. 33. Matemática 33 Como já estudamos nas aulas anteriores: N " simboliza o conjunto dos Números Naturais , , , , , ...0 1 2 3 4 5N = " , Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros ... , 3, 2, 1, 0,1, 2,3...Z = - - -" , Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais ... , 3, 2 5 , 2, 1,0, 5 3 ,1, 2,3...Q = - - - -' 1 Observação: usaremos o símbolo I para representar o conjunto dos Números Irracionais Assim, I é o conjunto formado pelos números que não podem ser representados na forma de uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros. Então podemos falar que os irracionais são números decimais infinitos e não periódicos. Exemplos: 2, 3, e .r R " simboliza o conjunto dos Números Reais R Q I,= Representando os conjuntos na forma de diagrama temos: Na reta numérica o conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte forma: Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operações revisadas anteriormente no conjunto e, , ,N Z I Q R. Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais:
  34. 34. Matemática 34 Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações: a) 3 3 2 3+ = b) 0 1+ = c) 3 3 =$ d) 2 18 = Sugestão de solução a) 5 3 b) 1 c) 9 3= d) 2 18 9 3= = Atividades 01 Seja o conjunto B 3, 13, 16, 25, 30, 64 .= " , a) Quais desses números são naturais? b) Quais desses números são racionais? c) Quais desses números são irracionais? d) Quais desses números são reais? 02 O valor numérico da expressão x2 – 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita. Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem. 03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica: 3 r -3,4 5 1- 2 3- 04 O número 51 é um número pertencente ao conjunto dos números a) naturais b) inteiros c) racionais d) reais
  35. 35. Matemática 35 Desafio Determine o que se pede na tabela a seguir: 01 Escreva cinco números naturais (N) 02 Escreva cinco números inteiros positivos (Z+ ) 03 Escreva cinco números inteiros negativos (Z- ) 04 Escreva cinco números Racionais (Q) 05 Escreva cinco números irracionais (I) 06 Escreva cinco números Reais (R) AULA 09 Os números racionais na reta numérica Objetivo geral Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionando- os com outros conjuntos e representando-os na reta numérica. Conceito básico Um número é dito racional quando puder ser escrito na for­ma fracionária b a , sendo a (numerador) e b (denominador) números inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de zero. Sendo assim, o quociente dessa divisão também será denominado número racional. Portanto,  Todo número natural (N) é um número racional uma vez que qualquer natural n é escrito na forma 1 n . Ex: 3 1 3 e 15 1 15 .= =  Todo número inteiro (Z) é um número racional uma vez que qualquer inteiro n é escrito na forma 1 n . Ex: 7 1 7 1 7 e 26 1 26 1 26- = - =- - = - =- . O que devo aprender nesta aula u Identificar cada número real com um ponto da reta e vice- versa.
  36. 36. Matemática 36  Todo número escrito na forma decimal, também, é um número racional, uma vez que todo número decimal pode ser escrito na forma , com e , com . b a a b b 0Z !!` j Ex: 1,8 10 18 e 0, 6 3 2= = . O conjunto dos números racionais é formado pelos números racionais positivos e negativos, juntamente com o zero. Este conjunto é representado pela letra (Q), por ser a letra inicial da palavra quociente. Atividades 01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir. Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais: a) inteiros? b) escritos na forma decimal? c) escritos na forma fracionária? 02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números: a) – 6 b) + 8 c) 5 3+ d) – 5,9 e) 32 03 Observe a reta numérica a seguir e indique: a) O ponto que corresponde ao número 4 3+ . b) O número racional que corresponde ao ponto N. c) O número racional que corresponde ao ponto X. d) O ponto que corresponde ao número 1 4 2- . e) O ponto que corresponde ao número – 3.
  37. 37. Matemática 37 Desafio Se necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o símbolo por números que tornam as igualdades verdadeiras. AULA 10 Potenciação: Definição Objetivo geral Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real diferente de zero. Conceito básico e... ,a a a a a a n n vezes R Zn - $ $ $ $ ! != 1 2 3444 444 A potenciação é a operação matemática que envolve o produto de fatores iguais. Denominaremos por an ) potência a ) base n ) expoente. Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada. O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  38. 38. Matemática 38 Note que o expoente n é um número inteiro. Iremos trabalhar inicialmente com valores positivos para n. Exemplo: Calcular o valor de 54 . 5 5 5 5 5 6254 = =$ $ $ Expoente maior que 1. Vejamos o exemplo: a) Calcular 25 . 2 ) base 5 ) expoente 25 ) potência 2 2 2 2 2 )$ $ $ $ fatores 2 2 2 2 2 2 325 = =$ $ $ $ Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada. b) Calcular 5 3 -^ h 5- )^ h base 3 ) expoente 5 3 - )^ h potência 5 5 5- - - )$ $^ ^ ^h h h fatores 5 5 5 125$ $- - - =-^ ^ ^h h h Expoente igual a 1. Como o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então se o expoente é igual a 1, a potência será igual à base. Vejamos os exemplos: 7 71 = 7 ) base 1 ) expoente 71 ) potência 12 121 - =-^ h 12- )^ h base 1 ) expoente 12 1 - )^ h potência Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a é igual ao próprio número. Expoente igual a 0 Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1. Exemplo: 20 = 1, 30 = 1 e 50 = 1. Vejamos como isso acontece:
  39. 39. Matemática 39 26 = 64 36 = 729 56 = 15 625 25 = 32 35 = 243 55 = 3 125 24 = 16 34 = 81 54 = 625 23 = 8 33 = 27 53 = 125 22 = 4 32 = 9 52 = 25 Observe que quando o expoente é igual a 1, o resultado é a própria base, que pode ser obtido utilizando a mesma estratégia acima. 21 = 2 31 = 3 51 = 5 Seguindo o processo de divisão, concluímos que todo número não nulo elevado a zero é igual a 1. Não podemos esquecer que a base tem que ser diferente de zero uma vez que 00 gera uma indeterminação. 20 = 1 30 = 1 50 = 1 Atividades 01 Calcule as seguintes potências: a) 24 b) (-3)2 c) (-5)1 d) 70 e) (-12)3 f) 4 3 2 ` j g) 5 2 4 -` j h) 10 3 5 -` j i) 1,24 j) -(-0,2)2 02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2 , onde l indica a medida do seu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede a) 3 cm. b) 2,5 m. c) 3 km. d) 7 m. e) 9,3 m. 03 Responda: a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência? b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência? c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência? d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência? 2' 2' 2' 2'
  40. 40. Matemática 40 Desafio Márcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá recebido mais dinheiro? Quanto? AULA 11 Potenciação: Propriedades Objetivo geral Recordar as propriedades de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real diferente de zero. Conceito básico Como podemos resolver 5 5 53 2 4 $ $ e apresentar o resulta­do em forma de potência? Vamos lá. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 2 4 = = = $ $ $ $ $ $ Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então Portanto teremos nove vezes o valor 5, assim 5 5 5 53 2 4 9 =$ $ . 1ª propriedade: Em um produto de potência de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes. Dado a R! e ,n m N! , então a a an m n m $ = + . Observe o seguinte quociente: 5 54 2 ' 5 5 5 5 5 5 5 54 2 =' $ $ $ $ O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  41. 41. Matemática 41 Simplificando os fatores comuns, 5 5 5 5 5 5 5 54 2 =' $ $ $ $ Assim, 5 5 5 54 2 4 2 2 = =' - 2ª propriedade: Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Dado a R* ! e ,n m N! , então ou .a a a a a an m n m m n n m = =' + - Uma outra situação é apresentada na propriedade a seguir: Calcule (23 )4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 3 12 3 3 3 3 = = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ h SSSS Assim, 2 2 23 4 3 4 12 = =$ ^ h 3ª propriedade: Em uma potência, onde a base é uma potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Dado a R* ! e ,n m N! , então a an m n m = - ^ h . Exercícios 01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência. a) 9 935 $ b) 4 4 4 2 3 $ $- - -^ ^ ^h h h c) 0,5 0,5 0,52 3 $ $ d) 5 3 5 3 5 3 5 33 2 5 1 $ $ $- - - -` ` ` `j j j j 02 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência. a) 9 9 2 5 b) 3 3 2 3 - - ^ ^ h h c) 5 2 5 2 4 7 - - ` ` j j d) 10 10 5 6
  42. 42. Matemática 42 03 Resolva as seguintes expressões: a) 35 2 ^ h b) 42 6 ^ h c) 53 3 ^ h d) 3 2 6 3 `` j j Desafio Simplificando a expressão 100 0,1 0,0001 10 0,012 3 6 4 57 $ $ $ ^ ^ ^ h h h ; E Obtemos como resultado: a) 10-6 b) 10-3 c) 10-2 d) 10 e) 103 AULA 12 Potência com expoente negativo Objetivo geral Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteiro e base real diferente de zero. Conceito básico A professora Marina pediu para que seus alunos resolvessem o seguinte quociente: 5 53 4 ' . Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a professora qual era a maneira correta. Vejamos suas respostas. 1º maneira: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 13 4 4 3 = = =' $ $ $ $ $ 2ª maneira: 5 5 5 5 53 4 4 3 1 = =' - A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas. No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder nesse caso: O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  43. 43. Matemática 43 23 = 8 33 = 27 53 = 125 22 = 4 32 = 9 52 = 25 21 = 2 31 = 3 51 = 5 20 = 1 30 = 1 50 = 1 2 2 1 21 1 = =- - 3 3 11 = 5 5 11 =- 2 2 1 22 2 2 = =- - - 3 3 12 2=- 5 5 12 2 =- 2 2 1 23 3 3 = =- - - 3 3 13 3 =- 5 5 13 3 =- Assim quando o expoente é negativo e a base é um número real diferente de zero, então: 1 1 a a a n n n = =- ` j Exemplo: 1) Calcule cada uma das potências a seguir: a) 3 3- b) 3 2 4- c m c) 4 2 - - - ^ h d) 12 10 2 - - ` j Atividades 01 Calcule as potências a seguir: a) 4 2 - - b) 2 5 2 - - ` j c) 7 3- d) 10 1 5- ` j e) 0,3 5 - - ^ h 02 Determine o valor da expressão: 2 5 23 3 - - -- - ^ `h j 03 Calcule o valor de 5 31 2 2 +- - - ^ h 2' 2' 2' 2' 2' 2' Desafio Os círculos ao lado estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as propriedades da potenciação, calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado é igual .
  44. 44. Matemática 44 AULA 13 Potenciação: expressões numéricas Objetivo geral Trabalhar as propriedades da potenciação com expoente inteiro e base real diferente de zero em expressões numéricas. Conceito básico Em muitos casos as operações matemáticas se misturam. Quando nos deparamos com tais situações devemos tomar cuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim, primeiramente levamos em conta a ordem de resolução de parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo, devemos respeitar a seguinte ordem: 1o resolvemos as potenciações e/ou radiciações; 2o resolvemos as multiplicações e/ou divisões; 3o resolvemos as adições e/ou subtrações. Exemplo: Calcule o valor da expressão numérica: 5 3 3 10 42 5 4 3 2 2 + - - + -'^ ^ ^h h h6 @" , Sugestão de solução: 25 3 10 165 4 3 2 + - + -- ^ ^h h6 @" , 25 3 61 3 2 + - + -^ ^h h6 @" , 25 3 363 + - +^ h" , 25 27 36- +" , 2 36- +" , 34 Atividades 01 Resolva as expressões numéricas a seguir: a) 3 2 22 5 3 '- b) 2 2 5 38 3 3 2 $ $- c) 10 10 53 5 2 '$- ^ h O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  45. 45. Matemática 45 02 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir 2 3 5 2 2 1 2 - - - c m; E Qual foi o resultado encontrado por ele? a) 1 b) 25 c) 625 d) 25 1 e) 625 1 03 Simplifique a expressão x x x xa a a a2 3 1 2 5 $ $ $- - + + - Desafio Qual é o resultado da expressão 2 3 5 5 E 2 3 4 3 ' = +- . AULA 14 Decomposição em fatores primos Objetivo Geral Relembrar como decompor um número natural em fatores primos. Conceito Básico A princípio é válido ressaltar que todo número natural maior que 1 pode ser escrito como produto de dois ou mais fatores primos. Por exemplo, o número 50 pode ser escrito como o produto 2 x 5 x 5. Assim, para se determinar os fatores primos de um número natural, maior que 1, uma opção é proceder da seguinte forma: O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  46. 46. Matemática 46 I) Divida o número especificado pelo menor número primo que resulte em uma divisão exata. Escreva o valor obtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser decomposto. II) Repita o procedimento adotado no tópico anterior de forma iterativa (repetida) até chegar ao resultado igual a 1(quociente igual a 1). Assim: III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do número em questão (300). Assim, o número 300 pode ser escrito como produto dos fatores obtidos: 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52 Atividades 01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6? a) 116 b) 30 c) 111 d) 60 e) 210 f) 405 02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir: a) 150 b) 93 c) 62 d) 768
  47. 47. Matemática 47 03 Qual é o número cuja fatoração é: a) 2 . 33 . 5 . 7 b) 11 . 13 c) 23 . 5 . 7 . 31 d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11 Desafio No 8º ano da escola BOA NOTA há 35 alunos, e no 9º ano há 42 alunos. Para realizar uma gincana, os es- tudantes serão organizados em grupos, todos com o mesmo número de alunos e com a condição de que não se misturem (estudantes de anos diferentes). A) Qual
é
o
número
máximo
de
alunos
que
podem
haver
em
cada
grupo? B) Nesse
caso,
quantos
grupos
serão
formados
em
cada
ano? AULA 15 Radiciação: Definição / Extração de raiz Objetivo Geral Extrair a raiz de números reais apresentados na forma de radical. Conceito Básico O termo radiciação define a operação inversa da poten- ciação. O símbolo utilizado na radiciação é o radix ( ). Ele possui a seguinte estrutura: É válido ressaltar que o radical que possui índice igual a 2 omite tal índice de sua simbologia. Veja: a) " lê-se: raiz quadrada (índice igual a 2); b) 3 " lê-se: raiz cúbica (índice igual a 3); c) 4 " lê-se: raiz quarta (índice igual a 4). O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. 512 29 = radical" 512 radicando" 9 " índice 2 raiz"
  48. 48. Matemática 48 Extração de raízes por meio da decomposição em fatores primos. Para extrair uma raiz por meio da decomposição em fatores primos basta seguir os seguintes passos: 1º passo: Identifique o índice da raiz solicitada. Veja os exemplos: 2º passo: Faça a decomposição em fatores primos do radicando da raiz solicitada: 3º passo: O índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Portanto,  Em um radical de índice igual 2 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados de dois em dois.  Em um radical de índice igual 3 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados de três em três  E assim sucessivamente.
  49. 49. Matemática 49 4º passo: Substitua o radicando pelo produto dos fatores agrupados de acordo com o índice do radical e simplifique aqueles fatores cujo expoente são iguais ao seu respectivo índice. O produto do resultado obtido será a raiz procurada. I) 144 2 2 3 2 2 3 2 2 3 122 2 2 2 2 2 = = = =$ $ $ $ $ $ II) 125 5 53 33= = III) 81 3 34 44= = IV) 1024 2 2 2 2 2 2 45 5 55 55 55= = = =$ $ $ V) 64 2 26 66= = Observação: Os exemplos I e IV apresentam em seus desenvolvimentos o produto de radicandos. Neste caso há uma propriedade de radiciação que diz que a raiz do produto é igual ao produto das raízes. Veja a seguinte situação: Adão e Adriana receberam de herança dois terrenos, ambos com a mesma medida de área. Adriana ficou com o terreno que possuía 16 m de largura por 36 de comprimento. Sabendo que o terreno de Adão possuía dimensões iguais de largura e comprimento (terreno no formato de um quadrado), determine as dimensões do terreno dele. Inicialmente será necessário determinarmos a medida da área dos terrenos. As dimensões do terreno de Adriana (16 m de largura x 36 de comprimento) implica em uma área de medida igual a 576 m2 . Como o terreno de Adão tem o formato de um quadrado e possui 576 m2 , temos que: 576x x m2 =$ , onde x corresponde à medida do lado do terreno de Adão. Portanto, 576 576x x2 = =" 576 2 2 2 3 2 2 2 3 242 2 2 2 = = =$ $ $ $ $ $
  50. 50. Matemática 50 Atividades 01 Determine a solução de cada uma das raízes a seguir utilizando método de extração de raízes por meio da decomposição de fatores primos: a) 723 b) 6254 c) 12587 d) 3433 02 Encontre o valor de cada uma das expressões numéricas: a) 169 2163 - = b) 2 3 10 54 2 2 23 + - + = c) 36 729 646 3+ - = 03 Qual o comprimento da aresta de uma caixa que possui todas as suas dimensões iguais e medida de volume igual a 729 dm3 ? Desafio Obtenha os valores de A, B, C, D, E e F nos quadros a seguir percebendo as relações expressas pelas setas direcionais.
  51. 51. Matemática 51 Aula 16 Radiciação (propriedades) Objetivo geral Compreender e aplicar as propriedades da radiciação. Conceito básico Nesta aula estudaremos as propriedades da radiciação que são muito importantes não só para o estudo dos radicais mas também para outros temas da Matemática. Lembrando, Ao se trabalhar com radicais surgirão uma série de situações nas quais será necessário a utilização de algumas propriedades. Vejamos algumas delas: 1ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente, também, n é o próprio radicando. r rnn = , onde r R! + , n N! e 1n 2 Exemplo: 32 2 25 55= = 2ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente m pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário onde a base é o radicando r, o numerador do expoente é o expoente inicial m e o denominador será o índice n do radical. r rmn n m = , onde r R! + , ,n m N! e 1n 2 Exemplo: 2 2 2 16205 5 20 4 = = = 3ª propriedade: O radical de outro radical pode ser escrito como um radical único onde o índice deste é igual ao produto dos índices dos radicais anteriores. O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema.
  52. 52. Matemática 52 r r.mn n m= , onde r R! + , ,n m N! e 1 e 1n m2 2 Exemplo: 5 5 53 2.3 6= = 4ª propriedade: O radical de um produto de radicandos pode ser escrito como o produto dos radicais de cada radicando. r s r sn n n=$ $ , onde ,r s R! + , e 1n nN 2! Exemplo: 4 25 4 25 2 5 10= = =$ $ $ 5ª propriedade: O radical de um quociente de radicandos pode ser escrito como o quociente dos radicais de cada radicando. s r s rn n n = , onde e 1, ,r s n nR R N* 2! ! !+ + Exemplo: 9 25 9 25 3 5= = Importante: 0 0n = 1 1n = r rn = Atividades 01 Aplicando as propriedades de radiciação, determine o valor de cada radical: a) 164 b) 83 c) 31255 d) 49 02 Encontre o valor de cada uma das expressões: a) 100 64 163 4+ - b) 5 256 3 243 6258 5+ - c) 4 125 8 64 4003 - + 03 Aplique a propriedade adequada para cada questão a seguir: a) 2 7$ b) a b5 $ c) 16 36 d) 4 y4 $ e) 378
  53. 53. Matemática 53 Desafio Os números a e b são números reais positivos. Nessas condições simplifique os radicais a36 e b612 , calculando em seguida a expressão que representa o produto dos radicais obtidos. AULA 17 Radiciação inexata Objetivo geral Compreender e extrair a raiz de números reais. Conceito básico Como já estudamos na aula 15, o índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando não for possível agrupar todos os termos iguais obtidos na decomposição de acordo com o índice indicado no radical, temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 . Observe que na fatoração acima obtivemos o produto 2.3²; assim, o número 2 ficou fora do agrupamento, resultando em 3 2 . Portanto, o número 18 possui raiz inexata, sendo assim um radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional. Veja também os exemplos a seguir: 1. Calcule o valor do radical 1353 Sugestão de solução: 135 3 5 3 53 33 3= =$ 2. Qual o resultado da expressão 48 27+ ? Sugestão de solução: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2 + = + = + =$ $ O que devo aprender nesta aula u Criar e resolver situações problema que envolve números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  54. 54. Matemática 54 Atividades 01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores. a) 12 b) 20 c) 45 d) 543 e) 288 02 Determine o resultado das expressões numéricas a seguir. a) 24 813 3+ b) 80 20+ 03 Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir. a) 30 b) 36 c) 273 Desafio Determine a solução da expressão 128 54 250 3 3 3+ . AULA 18 Relacionando potências e radicais Objetivo geral Identificar e relacionar a potenciação com sua operação inversa, a radiciação. Conceito básico Até o momento já vimos que potenciação e radiciação são operações inversas. Assim:  Se 9 812 = , então, 81 9= ;  Se 3 273 = , então, 27 33 = . Analisemos, agora, os casos que se seguem: 3 9 9 3 32 2 = = =" O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
  55. 55. Matemática 55 5 25 25 5 52 2 = = =" 7 49 49 7 72 2 = = =" 10 1000 1000 10 103 3 33= = =" 6 216 216 2 3 2 3 63 3 3 33= = = =" $ $ 2 1024 1024 2 210 10 1010= = =" Observando cada uma das situações acima descritas surge uma dúvida: é possível indicar uma raiz sem o uso do radical? Para isso, basta trocarmos o índice do radical e o expoente do radicando por um expoente fracionário de modo que o expoente do radicando se transforme em numerador e o índice do radical em denominador. É importante ressaltar que no conjunto dos números reais não existem soluções para os radicais cujo radicando é negativo e o índice é par. Veja as situações que se seguem:  4- não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-2) quanto o (+2) ao quadrado não chegaremos ao valor do radicando (-4).  814 - não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-3) quanto o (+3) à quarta potência não chegaremos ao valor do radicando (-81). Exemplo: Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes: 5, 3 , 2 e 73 34 53 a) 5 : Note que o expoente do radicando é 1 e o índice da raiz é 2, então 5 52 1 = . b) 33 : Note que o expoente do radicando é 3 e o índice da raiz é 2, então 3 33 2 3 = c) 234 : Note que o expoente do radicando é 3 e o índice da raiz é 4, então 2 234 4 3 = d) 753 : Note que o expoente do radicando é 5 e o índice da raiz é 3, então 7 753 3 5 =
  56. 56. Matemática 56 Desafio Determine o valor da expressão 9 4 8 729 27 2 5 6 3 3 2 2 3 12 4 $ ' AULA 19 Resolução de situações problema envolvendo números R Objetivo geral Resolver situações problema diversas envolvendo nú- meros reais, particularmente a potenciação e a radiciação. A maioria da população tem acesso à internet e dentre os muitos sites visitados o facebook é um dos líderes. A proliferação de uma notícia nesse site se alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha 100 amigos em sua lista. Agora se cada amigo tiver mais 100 outros amigos, uma notícia publicada por Mateus pode ser vista por 10 000 pessoas facilmente. O que devo aprender nesta aula u Reconhecer que a união dos números Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos números Reais. u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Atividades 01 Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes a seguir: a) 335 b) 547 c) x710 02 Escreva na forma de raiz as seguintes potências com expoente fracionário: a) 27 1 b) 39 2 c) 54 7 03 O valor da expressão 225 125 93 2 2 3 $ é a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
  57. 57. Matemática 57 Atividades 01 Em uma brincadeira de amigo secreto, Marina resolveu surpreender seu amigo. Comprou 5 caixas e, dentro de cada caixa colocou 5 pacotes. Em cada pacote colocou 5 cartões. Quantos cartões Marina precisou comprar para surpreender seu amigo secreto? 02 Observe as figuras a seguir Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantida- de de triângulos em casa estágio, veja o quadro. ESTÁGIO QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS 1 40 = 1 2 41 = 4 3 42 = 16 Continuando com esse processo, quantos triângulos teremos no estágio 5? a) 32 b) 64 c) 128 d) 256 e) 512 03 Márcio comprou uma caixa em formato de cubo, conforme a ilustração a seguir A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3 . Determine a medida da sua lado, sabendo que a fórmula da área do cubo é A = a3 , onde a corresponde a medida da aresta do cubo.
  58. 58. Matemática 58 Desafio O colégio MJ passará por reformas. Dentre elas, a quadra de esporte será modificada em 10 ambientes em forma de quadrado de mesma medida de área. Sabendo que A1 = 36 m2 , determine as dimensões da quadra. Aula 20 Exercícios – números Reais Objetivo geral Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a conjuntos numéricos. Atividades 01 Identifique a alternativa que corresponde à sequencia crescente dos números 2,83; 2,8; 2,75 e 2,6458. a) 2,6458; 2,8; 2,75; 2,83. b) 2,8; 2,75; 2,83; 2,6458. c) 2,6458; 2,83; 2,75; 2,6458. d) 2,6458; 2,75; 2,8; 2,83. 02 Identifique na reta numérica, a seguir, os números: 10 3 ; 32; 2,5; 2 3 ; 3; 256 .5 4
  59. 59. Matemática 59 03 A solução da expressão 72 50 32 18+ - é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 04 O número decimal correspondente a fração 5 7 é o: a) 7,5 b) 1,4 c) 5,7 d) 0,75 05 Carlos comprou os produtos relacionados na tabela a seguir: Produto Valor Arroz (5kg) R$ 8,90 Feijão (1kg) R$ 3,35 1 lata de óleo R$ 2,00 O valor total que Carlos pagou foi de: a) 14,25 b) 14,35 c) 14,45 d) 14,55 06 Identifique entre os números abaixo o único que não é irracional. a) 8 b) 90 c) 121 d) 200 07 O resultado correto da expressão 3 5 3 2 3+ é: a) 9 55 b) 1 c) 11 5 d) 5 11
  60. 60. Matemática 60 AULA 21 Rotação de polígonos – Propriedades Objetivo Geral Reconhecer a simetria de rotação de um polígono e perceber quais medidas e propriedades são preservadas. Conceito Básico Rotação é o movimento de girar uma figura ou objeto ao redor de um ponto chamado centro de rotação. A medida do giro é chamada ângulo de rotação. Exemplos: 1º) Rotação em torno de um ponto que pertence a figura ou forma: 2º) Rotação em torno de um ponto fora da figura ou forma: O que devo aprender nesta aula u Identificar as simetrias de rotação, de reflexão e de translação e perceber que em cada uma delas se preservam medidas e propriedades.
  61. 61. Matemática 61 Atividades 01 A figura a seguir mostra duas semicircunferências. a)Emtornodequepontodeve-se fazerarotaçãodeumadassemicircunferênciaparaobterumacircunferência? b) A rotação deve ser no sentido horário ou anti-horário? c) De quantos graus deve ser esta rotação? 02 Observe a figura a seguir e responda os itens a) Em qual dos quadrados deve-se fazer uma rotação para se obter um triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades? b) Em qual dos pontos deve-se fazer a rotação para obter o triângulo do item a? c) Em qual sentido deve-se fazer a rotação (no sentido horário ou anti-horário)? 03 Observe a figura a seguir:
  62. 62. Matemática 62 Qual dos itens abaixo se refere a rotação de 90º em torno do ponto E no sentido horário da figura? Desafio Deseja-se encaixar a peça vermelha na peça branca conforme a figura a seguir Para que isto aconteça deve-se realizar uma única rotação na peça vermelha em que ponto? É possível determinar o ângulo de rotação? Qual?
  63. 63. Matemática 63 AULA 22 Reflexão de polígonos – Propriedades Objetivo Geral Identificar a simetria de reflexão e perceber quais medidas e propriedades são preservadas. Conceito Básico Como exemplo pode-se citar que qualquer imagem ou forma refletida no espelho é uma reflexão. A reflexão ocorre através de uma reta chamada eixo de reflexão. Exemplos: Sobre a reflexão é válido destacar as seguintes propriedades: • A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais. O que devo aprender nesta aula u Identificar as simetrias de rotação, de reflexão e de translação e perceber que em cada uma delas se preservam medidas e propriedades.
  64. 64. Matemática 64 • Dado um ponto e sua reflexão, os mesmos são equidistantes em relação ao eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão. • Um ponto sobre o eixo de reflexão é sua própria reflexão. Atividades 01 Assinale o item a seguir que representa uma reflexão:
  65. 65. Matemática 65 02 Quais das alternativas a seguir não representam uma reflexão? Por quê?
  66. 66. Matemática 66 03 Observe as figuras a seguir na malha quadriculada: Represente por meio de desenhos todas as reflexões dessas figuras segundo o eixo especificado. Desafio Represente por meio de desenhos duas reflexões seguidas, sendo uma no sentido do eixo y e outra, a partir da primeira solução, na direção do eixo x respectivamente.
  67. 67. Matemática 67 AULA 23 Translação de polígonos – Propriedades Objetivo Geral Identificar a simetria de translação e perceber quais medidas e propriedades são preservadas. Conceito Básico A translação é o termo usado para “mover” formas, sendo necessárias duas especificações: a direção (que pode ser medida em graus) e o deslocamento (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento: cm, m, km, ...). Exemplos: 1o ) Translação na horizontal (0º ou 180º): 2o ) Translação na vertical (90º ou 270º): O que devo aprender nesta aula u Identificar as simetrias de rotação, de reflexão e de translação e perceber que em cada uma delas se preservam medidas e propriedades. 3o ) Translação na diagonal (diferente de: 0º, 90º , 180º ou 270º):
  68. 68. Matemática 68 Atividades 01 Observe a figura a seguir. Em quantos centímetros, na vertical, deve-se transladar o retângulo ABCD para que ele fique centralizado no retângulo EFHG? 02 Observe as translações 1, 2 e 3.
  69. 69. Matemática 69 a) Existe translação na vertical? Qual? b) Existe translação na horizontal? Qual? c) Existe translação na diagonal? Qual? 03 A figura a seguir representa um telhado, que na sua construção utilizou a propriedade da translação. a) Qual é a medida da translação AA”? b) Qual é a medida da translação CC’? c) Quantas translações foram feitas? Quais? d) As translações ocorreram em quais sentidos? (vertical, horizontal ou diagonal) Desafio Observe a figura a seguir Realize apenas três translações indicando o deslocamento em cm e a direção de cada uma delas para construir um retângulo. Indique também a largura e o comprimento do retângulo.
  70. 70. Matemática 70 AULA 24 Plano Cartesiano Ortogonal Objetivo Geral Identificar e representar o plano cartesiano e as coordenadas cartesianas. Conceito Básico O plano cartesiano ou espaço cartesiano é um es- quema semelhante a uma rede quadriculada (reticu- lada) necessário para especificar pontos num deter- minado “espaço” com dimensões. Ele é composto de duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizon- tal denominada de eixo x ou eixo das abscissas e outra vertical chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. Elas se interceptam no ponto (0,0), denominado origem do sistema. A orientação positiva das retas é representada por uma seta conforme a figura a seguir. Um ponto no plano cartesiano é definido por meio de dois valores, um para o eixo x e outro para o eixo y, respectivamente nesta ordem, que são denominados “par ordenado”. Esses valores correspondem as coordenadas do ponto. Por exemplo, o ponto A apresentado no plano cartesiano anterior corresponde ao par ordenado x = -2 e y = 3, ou seja, às coordendas A(-2, 3). O que devo aprender nesta aula u Construir figuras no plano com base em informações relevantes, como: construir pontos dadas suas coordenadas, construir polígonos dadas as coordenadas de seus vértices e circunferência dadas as coordenadas do centro e a medida de seu raio etc.
  71. 71. Matemática 71 Atividades 01 Relacione algumas situações onde utilizamos a orientação de linhas e colunas. 02 No Teatro Palco Iluminado as poltronas são dispostas conforme a figura a seguir. Sabendo que o primeiro número do par indica a coluna e o segundo indica a linha, escreva as coordenadas que indicam a posição das poltronas A, B e C. 03 Observe os pontos A, R, G, M, H e P marcados no mapa de uma cidade. Encontre as coordenadas em que eles se localizam.
  72. 72. Matemática 72 04 Observe o plano cartesiano representado a seguir. Escreva os pares ordenados (x, y) que correspondem aos pontos: A, B, C, D, E e F: Desafio Marque no plano cartesiano os pontos a seguir: A = (-1 , 2), B = (4 , -2), C = (-1 , -2), D = (1 , 2) e F = (-2 , 0).
  73. 73. Matemática 73 AULA 25 Construção de polígonos no plano cartesiano Objetivo Geral Representar, identificar e construir no plano cartesiano polígono e circunferência. Conceito Básico Inicialmente é necessário relembrar um polígono é uma superfície plana limitada por segmentos de reta (ou linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus vértices é formado pela sucesão de dois segmentos de retas seguidos. O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior a ele. À região interior ao polígono damos o nome de região poligonal. Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados e ângulos, conforme a tabela a seguir: Números de lados ou ângulos Nome do Polígono Em função do número de ângulos Em função do número de lados 3 Triângulo Trilátero 4 Quadrângulo Quadrilátero 5 Pentágono Pentalátero 6 Hexágono hexalátero 7 Heptágono Heptalátero 8 Octógono Octolátero 9 Eneágono Enealátero 10 Decágono Decalátero 11 Undecágono Undecalátero 12 Dodecágono Dodecalátero 15 Pentadecágono Pentadecalátero 20 Icoságono Icosalátero O que devo aprender nesta aula u Construir figuras no plano com base em informações relevantes, como: construir pontos dadas suas coordenadas, construir polígonos dadas as coordenadas de seus vértices e circunferência dadas as coordenadas do centro e a medida de seu raio etc.
  74. 74. Matemática 74 Atividades 01 Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadricula a seguir. Classifique os polígonos construídos quanto ao número de lados e ângulos. 02 Observe o plano cartesiano representado a seguir e escreva as coordenadas dos vértices dos triângulos BCF e ADE. Desenhe os triângulos.
  75. 75. Matemática 75 03 Quais são as coordenadas do retângulo ABCD? 04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono. A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , 1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).
  76. 76. Matemática 76 Desafio Represente no plano cartesiano: a) uma circunferência de centro A = (1 , 2) e raio 2. b) um triângulo cujos vértices são: A = (0 , 0), B = (-4 , 2) e C = (3 , 4). Aula 26 Exercícios envolvendo polígonos Objetivo geral Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a polígonos. Atividades 01 Para determinar a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar a fórmula d = n - 3, onde d representa a quantidade de diagonais que partem de um único vértice e n a quantidade de lados deste polígono. A quantidade de diagonais que partem do vértice A de um eneágono é igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
  77. 77. Matemática 77 02 Para determinar a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula 2 3 D n n$= -^ h , onde D representa a quantidade de diagonais e n a quantidade de lados deste polígono. A quantidade de diagonais de um icoságono corresponde a: a) 340 b) 170 c) 34 d) 17 03 Observe o polígono a seguir. Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono? a) 5 b) 20 c) 36 d) 40 04 Observe o polígono: A medida do perímetro 2P deste polígono é igual a: a) 17,11 cm b) 17,9 cm c) 18 cm d) 18,1 cm
  78. 78. Matemática 78 05 Construa no plano cartesiano ortogonal a seguir um pentágono e determine as coordenadas de cada um de seus vértices. 06 Determine a medida do lado de um hexágono regular cujo perímetro (2P) mede 17,4 cm. AULA 27 Circunferência e círculo: Definição e diferenças Objetivo geral Compreender os conceitos e os elementos de circunferência e círculo. Conceito básico Uma das principais características que podemos notar na circunferência sobrecai ao fato dela ser a única figura plana que pode ser girada em torno de um ponto (centro) sem modificar sua posição. O que devo aprender nesta aula u Construir figuras no plano com base em informações relevantes, como: construir pontos dadas suas coordenadas, construir polígonos dadas as coordenadas de seus vértices e circunferência dadas as coordenadas do centro e a medida de seu raio etc.
  79. 79. Matemática 79 Assim, podemos dizer que circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r, denominado raio, de um ponto fixo O, denominado o centro da circunferência. Círculo é a reunião da circunferência com todos os pontos que estão em seu interior. Observe a circunferência a seguir Vamos identificar seus elementos: Centro Raios Cordas Diâmetro O , , 0A B E G0 0 0 e , ,AE BG CH DFe AE BGe OBS: denominaremos por r o raio da circunferência e por d o seu diâmetro.
  80. 80. Matemática 80 INFORMAÇÕES IMPORTANTES 1) o diâmetro é a maior corda de uma circunferência; 2) o diâmetro é igual a duas vezes o raio (d = 2r); 3) a medida do comprimento C de uma circunferência é obtida pela fórmula 2 .C rr= Exemplo: Identifique os elementos na circunferência a seguir Quais dos segmentos indicados são cordas? R: O segmento AB e AC. Quais dos segmentos indicados são raios? R: O segmento A0, B0 e C0. Qual do segmento indicado é diâmetro? R: O segmento AB. Atividades 01 Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm. Responda: a) Qual a medida do seu diâmetro? b) Qual a medida do seu comprimento? 02 Observe a figura a seguir
  81. 81. Matemática 81 Responda: a) Qual a medida do seu diâmetro? b) Qual a medida do seu comprimento? 03 As circunferências a seguir tem a mesma medida do raio Determine: a) Perímetro do triângulo ABC. b) Soma das medidas do comprimento das circunferências. Desafio Sabendo que a medida do lado do quadrado é 10 cm, R é o raio da circunferência C2 e r o raio de C1. Determine a medida do comprimento da circunferência C1.
  82. 82. Matemática 82 Aula 28 Razão I Objetivo geral Compreender e aplicar as relações lógicas das razões matemáticas em situações problema. Conceito básico Em matemática a comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão. Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente entre dois números racionais a e b, representada por a:b ou a/b ou , com 0 b a b ! . Lê-se a para b, ou a está para b. Exemplo: 3:5 3/5 5 3 ou ou , lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5. Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Exemplo: antecedente consequente5 3 " " Razões inversas Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto igual a 1. Importante: verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa. Exemplo: i) 5 3 e 3 5 são razões inversas, pois: 5 3 3 5 1=$ ii) 4 7 e 7 4 são razões inversas, pois: 4 7 7 4 1=$ O que devo aprender nesta aula u Formular e resolver situações- problema que envolva a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.
  83. 83. Matemática 83 Razões equivalentes Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero). Obs.: o símbolo + significa equivalente. Exemplos: i) 6 5 12 10 + são razões equivalentes, pois: 6 5 12 10 2 2 = $ $ ou 6 5 12 10= ii) 9 15 3 5 + são razões equivalentes, pois: 9 15 3 5 3 3 = ' ' ou 9 15 3 5= Exercícios resolvidos 01) Em uma avaliação do Enem com 180 questões, Michael acertou 156. Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da avaliação? Sugestão de solução: Do enunciado temos que Michael acertou 156 das 180 questões do Enem. Como queremos a razão entre o número de acertos e o total de questões, basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível. 180 15 90 7 45 39 15 136 8= = = Portanto, a razão é 15 13 . 02) Isabelle recortou dois pedaços de cartolina, conforme as figuras a seguir, nas seguintes medidas: x 2 x 2 :3 :3 :2 número de acertos número de questões = :2 :2 :3 :2 :3
  84. 84. Matemática 84 De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do lado do quadrado . Sugestão de solução: Do enunciado com a figura temos as seguintes medidas: quadrado seu lado mede 20 cm e quadrado seu lado mede 30 cm. Como queremos determinar a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do lado do quadrado , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível: Portanto, a razão é 3 2 . 03) O time de futebol do Goiás obteve, durante o ano de 2012, 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas? Sugestão de solução: Do enunciado temos que o time de futebol do Goiás obteve 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas no ano de 2012. Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas: 23 + 9 + 6 = 38 Então, basta escrevermos a seguinte razão: 38 23= , neste caso não dá para simplificar a razão. Portanto, a razão é 38 23 . Atividades 01 MarcosVinícius acertou 16 das 20 questões propostas pela professora em uma atividade na aula de matemática. a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da atividade? b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de ques- tões da atividade? :10 lado do quadrado lado do quadrado = :10 30 20 3 2= número de vitórias número total de partidas disputadas
  85. 85. Matemática 85 c) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o número de erros da atividade? 02 O time de futebol do Flamengo obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas? 03 Vanessa desenhou as seguintes figuras: De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre: a) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo . b) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo . Desafio (Olimpíada Brasileira de Matemática - OBMEP 2007) Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 3 2 e entre o número de mulhe- res e crianças é 1 8 . A razão entre o número de adultos e crianças é: (A) 1 5 (B) 1 16 (C) 1 12 (D) 3 40 (E) 1 13
  86. 86. Matemática 86 Aula 29 Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens) Objetivo geral Representar e aplicar as razões matemáticas no estudo das porcentagens através da resolução de situações problema. Conceito básico As razões além das formas fracionária e decimal, tambémpodemserrepresentadasnaformapercentual, onde se utiliza o símbolo %. Geralmente, podemos dizer que toda razão na forma b a , onde b = 100, pode ser representada na forma de porcentagem. Exemplo: 100 30 30%= , onde lê-se trinta por cento. Na representação de uma razão b a , temos: i) Frações equivalentes: O conseqüente b é um fator natural de 100. Exemplo: 5 4 100 80 80%= = Para descobrir que devo multiplicar por 20, basta dividir 100 por 5. ii) Forma decimal: O consequente b não é um fator natural de 100. Exemplo: O que devo aprender nesta aula u Formular e resolver situações- problema que envolvam a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão. x 20 x 20 razão equivalente de consequente igual a 100 8 3 0,375 100 0,375 100 100 37,5 37,5%= = = = $ forma decimal de 8 3
  87. 87. Matemática 87 Exemplos 01) No final de ano sempre há liquidação nos shopping de Goiânia, onde os descontos variam muito. Suponha que em determinada loja um produto teve o desconto de 7 mil reais sobre um preço de 20 mil reais. Quanto por cento equivale esse desconto? Sugestão de solução: Do enunciado temos inicialmente, a razão de 7 para 20, ou seja, 20 7 . Aqui podemos resolver este exercício de duas formas: i) Usando frações equivalentes, temos: 20 7 100 35 35%= = Para descobrir que devo multiplicar por 5, basta dividir 100 por 20. ii) Usando a forma decimal, temos: 20 7 0,35 100 0,35 100 100 35 35%= = = = $ Portanto, o desconto de 7 mil reais equivale a 35%. 02) O Brasil tem um total de 8.514.876 km2 de superfície territorial. A região Centro- Oeste ocupa cerca de 1.606.371,505 km2 . A área ocupada pela região Centro-Oeste representa, aproximadamente, quanto por cento da área total do Brasil? Sugestão de solução: Do enunciado temos: área total do Brasil " 8.514.876 km2 área da região Centro-Oeste " 1.606.371,505 km2 Usando a razão: área da região Centro-Oeste área total do Brasil................ Aplicando a forma decimal, temos: 8 514 876 1606 371 505 0,18 100 0,18 100 18, % , 8 8 8= = $ - Portanto, a área ocupada pela região Centro-Oeste no Brasil representa, aproximadamente 18,8%. 03) Obtive um lucro de R$ 3,00 sobre o preço de um produto vendido a R$ 120,00. Quanto por cento obtive de lucro? x 5 x 5 8 514 876 1606 371 505, km km 2 2 "

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