SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 8
Baixar para ler offline
5
N¶umeros primos
Neste cap¶³tulo, apresentamos o conceito de n¶umero primo e exploramos as primeiras
propriedades dos n¶umeros primos.
5.1 Conceitos e propriedades imprescind¶³veis
O inteiro positivo 1 tem somente um divisor positivo. Qualquer outro inteiro positivo n,
n > 1, tem pelo menos dois divisores positivos, 1 e n.
De¯ni»c~ao 5.1 Dizemos que um inteiro p ¶e primo se p 6= 0, p 6= 1, p 6= ¡1, e os ¶unicos
inteiros divisores de p s~ao 1, p, ¡1 e ¡p. Dizemos que um inteiro m ¶e composto se
m 6= 0, m 6= 1, m 6= ¡1, e m n~ao ¶e primo.
Assim sendo, um inteiro p ¶e primo quando p 6= §1 e seus ¶unicos divisores positivos
s~ao 1 e jpj. J¶a um inteiro m ¶e composto quando m 6= 0, e m possui divisores positivos
diferentes de 1 e de jmj.
O teorema abaixo estabelece o papel dos n¶umeros primos positivos, como blocos
construtivos dos inteiros positivos maiores que 1.
Teorema 5.1 Todo inteiro m, m ¸ 2, ¶e um n¶umero primo ou tem a forma m =
p1 ¢ ¢ ¢ pn, para certos inteiros primos positivos p1; : : : ; pn, com n ¸ 2. Ou seja, cada
inteiro, a partir de 2, ¶e um n¶umero primo ou um produto de fatores todos primos
positivos.
Demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre m.
Se m = 2, ent~ao m ¶e primo (demonstre).
Seja k ¸ 2 e suponhamos que todo inteiro m, com 2 · m · k, ¶e primo ou se
decomp~oe como produto de fatores primos. Trataremos de demonstrar que ent~ao k + 1
38
N¶umeros primos 39
tamb¶em ¶e primo ou se escreve como produto de fatores primos. Note que ¯zemos uma
hip¶otese de indu»c~ao com a inten»c~ao de utilizarmos o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita.
Consideremos o inteiro k +1. Se k +1 ¶e primo, ent~ao nada mais temos a demons-
trar.
Se k + 1 n~ao ¶e primo, como k + 1 ¸ 3, temos que k + 1 ¶e composto. Ent~ao
existem inteiros positivos a e b, com 1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1, tais que k + 1 se
fatora na forma k + 1 = a ¢ b.
Agora, como 2 · a · k e 2 · b · k, pela hip¶otese de indu»c~ao cada um dos
inteiros a e b ¶e um primo ou se decomp~oe como produto de fatores primos positivos.
Logo, como k + 1 = ab, k + 1 se decomp~oe como um produto de fatores primos
positivos.
Assim sendo, cada inteiro m ¸ 2 ¶e primo ou se escreve como um produto de
primos.
O teorema 5.1 enuncia, em parte, o Teorema Fundamental da Aritm¶etica, que ser¶a
estudado oportunamente. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica estabelece tamb¶em
que a decomposi»c~ao de cada inteiro positivo, maior que 1, em fatores primos, ¶e ¶unica, a
menos da ordem dos fatores.
O teorema seguinte estabele um resultado que pode ser usado para testar se um
inteiro positivo n ¶e primo. Como veremos, utilizando um procedimento devido a Erat¶os-
tenes, o mesmo teorema pode ser usado para listar todos os primos positivos menores
que ou iguais a um inteiro positivo n, quando n ¸ 2.
Teorema 5.2 Se n ¶e um inteiro positivo composto ent~ao n tem um fator primo p
satisfazendo p ·
p
n.
Equivalentemente, se n ¸ 2, e nenhum primo p, com 2 · p ·
p
n, ¶e fator de n,
ent~ao, n ¶e primo.
Demonstra»c~ao. Sendo n composto, temos n ¸ 2, e pelo teorema 5.1, n = p1 ¢ ¢ ¢ ps,
para certos fatores primos positivos p1; : : : ; ps, com s ¸ 2 (se s = 1, n ¶e um n¶umero
primo).
Da¶³, p1 ·
p
n ou p2 ·
p
n, pois se p1 >
p
n e p2 >
p
n, ent~ao
n = p1 ¢ ¢ ¢ ps ¸ p1 ¢ p2 >
p
n ¢
p
n = n
o que nos d¶a uma contradi»cao.
Como p1 e p2 s~ao fatores primos quaisquer de n, conclu¶³mos incidentalmente que,
se n ¸ 2 ¶e um inteiro composto, n n~ao pode ter dois fatores primos maiores que
p
n,
ou seja, todos os fatores primos de n (com poss¶³vel exce»c~ao de apenas um) s~ao menores
que
p
n.
N¶umeros primos 40
Exemplo 5.1 Para testar se o inteiro 1007 ¶e primo observamos, com o uso de uma
calculadora, que
p
1007 ¼ 31; 73.
Os primos positivos p satisfazendo p ·
p
1007 ¼ 31; 73 s~ao 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31. Com a calculadora, veri¯camos que 1007 n~ao ¶e divis¶³vel por nenhum
desses fatores, e portanto ¶e primo.
J¶a o mesmo procedimento, de testar os poss¶³veis fatores primos p de n, que satis-
fazem p ·
p
n, nos revela que 1003 = 17 ¢ 59 e que 1001 = 13 ¢ 17.
5.2 O crivo de Erat¶ostenes
O teorema 5.2 pode ser usado, por exemplo, para listar os primos menores que ou iguais
a n, quando n ¶e um inteiro positivo.
Um procedimento para tal listagem ¶e chamado de Crivo de Erat¶ostenes, e consiste
em listar os n¶umeros menores que ou iguais a n crivando (demarcando) os m¶ultiplos dos
primos menores que ou iguais a
p
n.
Como mostramos no exemplo abaixo, para n = 100, consideramos como ponto de
partida os primos p satisfazendo 2 · p ·
p
100 = 10, sendo eles 2, 3, 5 e 7.
Descartamos inicialmente o n¶umero 1, que n~ao ¶e primo. Em seguida, demarcamos
(crivamos) os m¶ultiplos de 2 maiores que 2. Em seguida, crivamos os m¶ultiplos de 3
maiores que 3. O procedimento ¶e repetido para os primos 5 e 7.
Al¶em de 2, 3, 5 e 7, ser~ao primos positivos menores que 100 todos os n¶umeros
da tabela que n~ao foram crivados, pois se um inteiro positivo n, 2 · n · 100, n~ao for
primo, ele dever¶a ter um fator primo p satisfazendo p ·
p
n ·
p
100.
ÂÁ1 2 3 Á4 5 Á6 7 Á8 Â9 Á10
11 Á12 13 Á14 Â15 Á16 17 Á18 19 Á20
Â21 Á22 23 Á24 |25 Á26 Â27 Á28 29 Á30
31 Á32 Â33 Á34 |35 Á36 37 Á38 Â39 Á40
41 Á42 43 Á44 Â45 Á46 47 Á48 ÂÁ49 Á50
Â51 Á52 53 Á54 |55 Á56 Â57 Á58 59 Á60
61 Á62 Â63 Á64 |65 Á66 67 Á68 Â69 Á70
71 Á72 73 Á74 Â75 Á76 ÂÁ77 Á78 79 Á80
Â81 Á82 83 Á84 |85 Á86 Â87 Á88 89 Á90
ÂÁ91 Á92 Â93 Á94 |95 Á96 97 Á98 Â99 Á100
Observando o crivo de Erat¶ostenes acima, escreva a lista dos primos positivos
abaixo de 100.
Desde muito cedo, matem¶aticos questionaram se o conjunto de primos positivos ¶e
¯nito ou n~ao. Em seus Elementos, Euclides de Alexandria deu a resposta.
N¶umeros primos 41
Teorema 5.3 (Euclides) Existem in¯nitos n¶umeros primos positivos.
Demonstra»c~ao. Demonstraremos que, sendo dado um conjunto ¯nito qualquer de primos
positivos, ¶e poss¶³vel construir" um primo positivo que est¶a fora desse conjunto. Assim,
o conjunto de primos positivos ¶e in¯nito.
Seja ent~ao fp1; : : : ; png um conjunto de n primos positivos distintos, n ¸ 1.
Considere o inteiro positivo
a = p1 ¢ ¢ ¢ pn + 1
Mostraremos que a possui um fator primo diferente dos primos p1, : : : , pn.
Obviamente, a ¶e um inteiro positivo maior que cada um dos primos p1, : : : , pn.
Se a ¶e primo, ele mesmo ¶e o primo procurado, fora do conjunto fp1; : : : ; png.
Se a n~ao ¶e primo, pelo teorema 5.1, ele possui um fator primo positivo q. Temos
ent~ao q 62 fp1; : : : ; png: se q = pi para algum i 2 f1; : : : ; ng, ent~ao q j p1 ¢ ¢ ¢ pn; como
q j a, temos que q j (a ¡ p1 ¢ ¢ ¢ pn), e portanto q j 1, o que contradiz o fato de q ser
primo.
Assim, o inteiro a tem um fator primo diferente dos primos p1, : : : , pn.
Portanto, o conjunto dos n¶umeros primos n~ao pode ser ¯nito.
5.3 Densidade dos n¶umeros primos e conjecturas
famosas
Exporemos agora, a t¶³tulo de divulga»c~ao apenas, alguns resultados que envolvem a
distribui»c~ao dos primos dentre os inteiros.
5.3.1 O teorema dos n¶umeros primos
O teorema dos n¶umeros primos foi conjecturado por Gauss em 1793, mas demonstrado
somente em 1896, pelos matem¶aticos Jacques Hadamard e C.J. de la Vall¶ee Poussin,
em trabalhos independentes.
Na matem¶atica universit¶aria, destacam-se duas constantes num¶ericas muito im-
portantes. S~ao elas o n¶umero pi, ¼ ¼ 3; 14159, que surge no estudo da circunfer^encia e
suas propriedades m¶etricas, e o n¶umero e ¼ 2; 71828.
O n¶umero e ¶e de¯nido como sendo o limite da seqÄu^encia (1+ 1
n
)n
, n = 1; 2; 3; : : : ,
ou seja, na linguagem de limites de seqÄu^encias,
e = lim
n!+1
n2N
µ
1 +
1
n
¶n
N¶umeros primos 42
Pode ser demonstrado que o n¶umero e ¶e irracional.
Na tabela 5.1, exibimos valores (aproximados) de
¡
1 + 1
n
¢n
, para n = 1, 10, 100,
1000, 10000, 100000.
Tabela 5.1.
n 1=n 1 + 1
n
¡
1 + 1
n
¢n
1 1 2 21
= 2
10 0; 1 1; 1 (1; 1)10
¼ 2; 59374
100 0; 01 1; 01 (1; 01)100
¼ 2; 70481
1000 0; 001 1; 001 (1; 001)1000
¼ 2; 71692
10000 0; 0001 1; 0001 (1; 0001)10000
¼ 2; 71815
100000 0; 00001 1; 00001 (1; 00001)100000
¼ 2; 71828
O logaritmo natural de x, ln x, para x real positivo, ¶e de¯nido como sendo
ln x = loge x
Para cada n¶umero real positivo x, de¯ne-se o n¶umero ¼(x), a quantidade de
n¶umeros primos positivos p satisfazendo 2 · p · x.
Observando o crivo de Erat¶ostenes, constru¶³do acima, temos ¼(10) = 4, ¼(20) =
15, e ¼(100) = 25.
Teorema 5.4 (Teorema dos n¶umeros primos) Para valores su¯cientemente grandes
de x, veri¯ca-se que
¼(x)
x= ln x
¶e aproximadamente igual a 1. Mais precisamente, na
linguagem de limites,
lim
x!1
¼(x)
³ x
ln x
´ = 1
Exibimos a tabela 5.2, para que o leitor aprecie evid^encias num¶ericas a respeito do
teorema 5.4, o qual n~ao temos condi»c~oes de demonstrar aqui.
Segundo o teorema 5.4, quando n tende ao in¯nito, temos que
¼(n) ¢ ln n
n
=
¼(n)
n
ln n
tende a 1. Por outro lado, ln n tamb¶em tende ao in¯nito.
Assim, temos que
¼(n)
n
=
µ
¼(n) ¢ ln n
n
¶ .
ln n tende a 0 quando n tende ao
in¯nito.
N¶umeros primos 43
Tabela 5.2. Compara»c~oes de ¼(x) com x
ln x
(ln x = loge x)
x ¼(x) x
ln x
¼(x)= x
ln x
1000 168 144; 8 1; 160
10000 1229 1085; 7 1; 132
100000 9592 8685; 9 1; 104
1000000 78498 72382; 4 1; 085
1010
455052512 434294481; 9 1; 048
1012
37607912018 36191206825; 3 1; 039
1014
3204941750802 3102103442166 1; 033
Assim, a porcentagem de primos positivos at¶e n, dada aproximadamente pela
fra»c~ao decimal ¼(n)=n, tende µa zero µa medida em que n cresce. Isto nos revela que ¶e
cada vez mais dif¶³cil encontrar n¶umeros primos µa medida em que avan»camos nos inteiros
positivos.
Para valores inteiros de n muito grandes, este percentual ¶e dado aproximadamente
por
¼(n)
n
=
¼(n)= n
ln n
ln n
¼
1
ln n
Tabela 5.3. Densidade dos n¶umeros primos dentre os primeiros inteiros positivos. Por-
centagens de primos positivos at¶e n, e compara»c~oes com 1= ln n.
n ¼(n) ¼(n)
n
1= ln n
103
168 0;168 0;1447648273
106
78498 0;078498 0;0723824136
109
50847534 0;050847534 0;04825494243
1010
455052512 0;0455052512 0;04342944819
1014
3204941750802 0;03102103442166 0;0310210344216608
Observando a tabela 5.3, notamos que s~ao primos, 16;8% dos inteiros positivos
at¶e 103
, 7;8498% dos inteiros at¶e 106
, e aproximadamente 3;1% dos inteiros at¶e 1014
.
Para estudantes que conhecem c¶alculo integral, uma aproxima»c~ao ainda melhor
para ¼(n), para n ¸ 2, ¶e dada por ¼(n) =
R n
2
1
ln x
dx. Geometricamente,
R n
2
1
ln x
dx ¶e a
medida da ¶area compreendida entre a curva y = 1= ln x, o eixo x, e as retas verticais
N¶umeros primos 44
x = 2 e x = n. Por exemplo, para n = 1014
, temos ¼(n)=(
R n
2
1
ln x
dx) ¼ 0;9999999,
enquanto que ¼(n)=(n= ln n) ¼ 1;033.
5.3.2 A conjectura de Goldbach
Existem v¶arias conjecturas envolvendo n¶umeros primos, f¶aceis de se enunciar, consti-
tuindo-se em propriedades ainda n~ao demonstradas e tampouco refutadas. Uma delas ¶e
sobre a exist^encia de in¯nitos primos da forma n2
+ 1, com n inteiro positivo. Ou seja,
n~ao se sabe se o conjunto dos primos dessa forma ¶e ¯nito ou in¯nito.
Uma outra ¶e a conjectura sobre a in¯nitude de primos g^emeos (veja problema 8,
p¶agina 45).
Uma outra, bastante famosa, ¶e a seguinte conjectura.
Conjetura de Goldbach Todo inteiro par, maior que dois, pode ser escrito como soma
de dois primos positivos.
Esta propriedade de inteiros pares, formulada por Christian Goldbach em uma carta
escrita a Euler, em 1742, ¶e verdadeira para todos os inteiros pares at¶e inteiros pares muito
grandes, da ordem de milh~oes. Sua validade, veri¯cada apenas experimentalmente em
supercomputadores, prossegue sendo um problema em aberto. Como exemplo,
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
Outra famosa conjectura de Goldbach diz que todo inteiro ¶³mpar, maior que 5, ¶e
soma de tr^es primos positivos.
5.4 Exerc¶³cios
1. Determine quais dos seguintes n¶umeros s~ao primos, usando o teorema 5.2.
(a) 101 (b) 103 (c) 107 (d) 211 (e) 213 (f) 221
2. Encontre todos os primos da forma a4
¡ b4
com a e b inteiros positivos.
3. Mostre que nenhum inteiro da forma n3
+ 1 ¶e primo, exceto 2 = 13
+ 1 e ¡7 =
(¡2)3
+ 1.
4. Mostre que se a e n s~ao inteiros positivos, com n ¸ 2, tais que an
¡ 1 ¶e primo,
ent~ao necessariamente a = 2 e n ¶e primo.
N¶umeros primos 45
Sugest~ao: Se a ¸ 3, sendo n ¸ 2, temos an
¡1 = (a¡1)(an¡1
+an¡2
+¢ ¢ ¢+a+1).
Se a = 2 e n ¸ 2 ¶e composto, temos n = k` com 2 · k < n e 2 · ` < n. Agora,
fazemos uso da identidade
ak`
¡ 1 = (ak
)`
¡ 1 = (ak
¡ 1)
¡
ak(`¡1)
+ ak(`¡2)
+ ¢ ¢ ¢ + ak
+ 1
¢
5. Demonstre que, para cada inteiro positivo n, todo fator primo, do inteiro n! + 1,
¶e maior que n. Conclua ent~ao, por uma nova demonstra»c~ao, que o conjunto dos
inteiros primos positivos ¶e in¯nito.
6. Demonstre que, para cada inteiro positivo n, existe ao menos uma seqÄu^encia de n
inteiros consecutivos, todos compostos. Ou seja, no conjunto dos n¶umeros inteiros
positivos, h¶a espa»cos de inteiros consecutivos, t~ao grandes quanto quisermos, sem
a presen»ca de um ¶unico n¶umero primo.
Sugest~ao. Fixado um inteiro positivo n, considere os n inteiros consecutivos
(n + 1)! + 2; (n + 1)! + 3; : : : ; (n + 1)! + n; (n + 1)! + (n + 1)
7. (a) De acordo com a proposi»c~ao enunciada no problema 6, os sete inteiros con-
secutivos, a partir de com 8! + 2 (= 40322), s~ao compostos. Observando
o crivo de Erat¶ostenes, µa pagina 40, mostre que estes n~ao s~ao os primeiros
sete inteiros positivos consecutivos compostos.
(b) Dentre os inteiros positivos de 1 at¶e 100, quantas listas existem, de cinco
inteiros positivos consecutivos compostos? Resposta. Nove.
(c) Indique como fazer uma lista de um milh~ao de inteiros consecutivos compos-
tos.
8. Existem muitos pares de primos consecutivos", diferindo entre si por duas uni-
dades, sendo por isto chamados de primos g^emeos. Alguns exemplos de primos
g^emeos s~ao: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 101 e 103. A exist^encia de um
n¶umero in¯nito de pares de primos g^emeos ¶e uma conjectura matem¶atica famosa
(um problema em aberto).
Mostre que n~ao existem primos trig^emeos p, p + 2 e p + 4, a n~ao ser 3, 5 e 7.
9. Demonstre que qualquer inteiro n ¸ 12 ¶e a soma de dois inteiros compostos.
Sugest~ao. Sendo n ¸ 12, se n ¶e par, n = 8+(n¡8). Se n ¶e¶³mpar, n = 9+(n¡9).
10. (a) Mostre que sendo p(x) = x2
¡x+41, tem-se p(x) primo para cada inteiro x
tal que 0 · x · 40. Mostre, entretanto, que p(41) ¶e um inteiro composto.
(b) (Goldbach) Mostre que se f(x) = anxn
+ an¡1xn¡1
+ ¢ ¢ ¢ + a1x + a0, com
n ¸ 1 e an 6= 0, sendo os coe¯cientes an; : : : ; a0 todos inteiros, ent~ao existe
um inteiro a tal que f(a) ¶e composto.
Sugest~ao: Assuma que f(a) ¶e primo para todo inteiro a. Considere o n¶umero
primo p = f(0) = a0. Demonstre que ent~ao f(kp) = p, para todo inteiro k.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (19)

Polinômios
PolinômiosPolinômios
Polinômios
 
Aula 7 profmat - numeros primos e especiais - 06 10-17
Aula 7   profmat - numeros primos e especiais - 06 10-17Aula 7   profmat - numeros primos e especiais - 06 10-17
Aula 7 profmat - numeros primos e especiais - 06 10-17
 
DivisãO De PolinôMios
DivisãO De PolinôMiosDivisãO De PolinôMios
DivisãO De PolinôMios
 
Aula 6 - Profmat - Numeros Primos - 08 09-17
Aula 6 - Profmat - Numeros Primos -  08 09-17Aula 6 - Profmat - Numeros Primos -  08 09-17
Aula 6 - Profmat - Numeros Primos - 08 09-17
 
Sequencias e series
Sequencias e seriesSequencias e series
Sequencias e series
 
Congruências
CongruênciasCongruências
Congruências
 
Sequencias e series calculo
Sequencias e series   calculoSequencias e series   calculo
Sequencias e series calculo
 
Equações Polinomiais
Equações PolinomiaisEquações Polinomiais
Equações Polinomiais
 
Resumo dos testes de convergência
Resumo dos testes de convergênciaResumo dos testes de convergência
Resumo dos testes de convergência
 
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7   inducao matematica-primeiroprincipioAula 7   inducao matematica-primeiroprincipio
Aula 7 inducao matematica-primeiroprincipio
 
Aula 02 sequências
Aula 02   sequênciasAula 02   sequências
Aula 02 sequências
 
Progressão geométrica
Progressão geométricaProgressão geométrica
Progressão geométrica
 
Progressaoaritmetica
ProgressaoaritmeticaProgressaoaritmetica
Progressaoaritmetica
 
Caracterização dos inteiros
Caracterização dos inteirosCaracterização dos inteiros
Caracterização dos inteiros
 
Número normal
Número normalNúmero normal
Número normal
 
Aula 17 geometria básica
Aula 17  geometria básicaAula 17  geometria básica
Aula 17 geometria básica
 
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
57701066 matematica-discreta-exercicios-resolvidos
 
Sequências e progressões
Sequências e progressõesSequências e progressões
Sequências e progressões
 
Tnotas
TnotasTnotas
Tnotas
 

Destaque

Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4
Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4
Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4Wellisson Gonçalves
 
Recursos digitais parte 2 [modo de compatibilidade]
Recursos digitais   parte 2 [modo de compatibilidade]Recursos digitais   parte 2 [modo de compatibilidade]
Recursos digitais parte 2 [modo de compatibilidade]mariafilomenalr
 
Ces merveilleux vaisseaux des mers
Ces merveilleux vaisseaux des mersCes merveilleux vaisseaux des mers
Ces merveilleux vaisseaux des mersUngava Louise
 
Literacia da informação [modo de compatibilidade]
Literacia da informação [modo de compatibilidade]Literacia da informação [modo de compatibilidade]
Literacia da informação [modo de compatibilidade]mariafilomenalr
 
Cactus Beauty In Bloom
Cactus Beauty In BloomCactus Beauty In Bloom
Cactus Beauty In BloomAseret41
 
11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicos
11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicos11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicos
11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicosFabricio Guimaraes Soares
 
Marché Jean-Talon, MONTRÉAL
Marché Jean-Talon, MONTRÉALMarché Jean-Talon, MONTRÉAL
Marché Jean-Talon, MONTRÉALUngava Louise
 
Airbridge In Malaysia
Airbridge In MalaysiaAirbridge In Malaysia
Airbridge In Malaysiaalex
 
Buddha Heart Sutra
Buddha Heart SutraBuddha Heart Sutra
Buddha Heart Sutraliewchiasen
 
Portaria acolhimento drogas
Portaria acolhimento drogasPortaria acolhimento drogas
Portaria acolhimento drogasmatheusfeitoza
 
Вирусные кампании: западные примеры и перспективы в России
Вирусные кампании: западные примеры и перспективы в РоссииВирусные кампании: западные примеры и перспективы в России
Вирусные кампании: западные примеры и перспективы в РоссииSergey Galyonkin
 

Destaque (20)

Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4
Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4
Manual de auditoria do tribunal de contas da união pt1 cap4
 
Cartilha 01
Cartilha 01Cartilha 01
Cartilha 01
 
Berisso
BerissoBerisso
Berisso
 
Sous le vent
Sous le ventSous le vent
Sous le vent
 
Recursos digitais parte 2 [modo de compatibilidade]
Recursos digitais   parte 2 [modo de compatibilidade]Recursos digitais   parte 2 [modo de compatibilidade]
Recursos digitais parte 2 [modo de compatibilidade]
 
Ces merveilleux vaisseaux des mers
Ces merveilleux vaisseaux des mersCes merveilleux vaisseaux des mers
Ces merveilleux vaisseaux des mers
 
Literacia da informação [modo de compatibilidade]
Literacia da informação [modo de compatibilidade]Literacia da informação [modo de compatibilidade]
Literacia da informação [modo de compatibilidade]
 
Sistema Informatico
Sistema InformaticoSistema Informatico
Sistema Informatico
 
Cactus Beauty In Bloom
Cactus Beauty In BloomCactus Beauty In Bloom
Cactus Beauty In Bloom
 
11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicos
11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicos11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicos
11 1 --teste_de_software_motivação_e_conceitos_basicos
 
Talvez Mouskuri Srd
Talvez Mouskuri SrdTalvez Mouskuri Srd
Talvez Mouskuri Srd
 
Showcases by conceptbakery
Showcases by conceptbakeryShowcases by conceptbakery
Showcases by conceptbakery
 
Marché Jean-Talon, MONTRÉAL
Marché Jean-Talon, MONTRÉALMarché Jean-Talon, MONTRÉAL
Marché Jean-Talon, MONTRÉAL
 
Oficina Blog
Oficina Blog Oficina Blog
Oficina Blog
 
God bless Canada
God bless CanadaGod bless Canada
God bless Canada
 
Crítica
CríticaCrítica
Crítica
 
Airbridge In Malaysia
Airbridge In MalaysiaAirbridge In Malaysia
Airbridge In Malaysia
 
Buddha Heart Sutra
Buddha Heart SutraBuddha Heart Sutra
Buddha Heart Sutra
 
Portaria acolhimento drogas
Portaria acolhimento drogasPortaria acolhimento drogas
Portaria acolhimento drogas
 
Вирусные кампании: западные примеры и перспективы в России
Вирусные кампании: западные примеры и перспективы в РоссииВирусные кампании: западные примеры и перспективы в России
Вирусные кампании: западные примеры и перспективы в России
 

Semelhante a Intro teoria dos numerros cap5

Intro teoria dos numerros cap8
Intro teoria dos numerros cap8Intro teoria dos numerros cap8
Intro teoria dos numerros cap8Paulo Martins
 
Aula 7 MA14 PROFMAT CPII
Aula 7 MA14 PROFMAT CPIIAula 7 MA14 PROFMAT CPII
Aula 7 MA14 PROFMAT CPIILuciana Martino
 
Intro teoria dos números cap2
Intro teoria dos  números cap2Intro teoria dos  números cap2
Intro teoria dos números cap2Paulo Martins
 
Mat equacoes do 1 grau 002
Mat equacoes do 1 grau  002Mat equacoes do 1 grau  002
Mat equacoes do 1 grau 002trigono_metria
 
Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2bonesea
 
Teoria do números - Classificações especiais
Teoria do números - Classificações especiaisTeoria do números - Classificações especiais
Teoria do números - Classificações especiaisRomulo Garcia
 
Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1Paulo Martins
 
Aula 6 Números primos.pdf
Aula 6 Números primos.pdfAula 6 Números primos.pdf
Aula 6 Números primos.pdferivangrangeiro
 
Sequencias e series unicamp
Sequencias e series   unicampSequencias e series   unicamp
Sequencias e series unicampLuis Gustavo
 
Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)Jedson Guedes
 
Equação de Recorrência - I (Otimização)
Equação de Recorrência - I (Otimização)Equação de Recorrência - I (Otimização)
Equação de Recorrência - I (Otimização)Jedson Guedes
 
Mat progressoes ( pg) ii
Mat progressoes ( pg) iiMat progressoes ( pg) ii
Mat progressoes ( pg) iitrigono_metrico
 

Semelhante a Intro teoria dos numerros cap5 (20)

Intro teoria dos numerros cap8
Intro teoria dos numerros cap8Intro teoria dos numerros cap8
Intro teoria dos numerros cap8
 
Pincipio da indução
Pincipio da induçãoPincipio da indução
Pincipio da indução
 
Aula 7 MA14 PROFMAT CPII
Aula 7 MA14 PROFMAT CPIIAula 7 MA14 PROFMAT CPII
Aula 7 MA14 PROFMAT CPII
 
Intro teoria dos números cap2
Intro teoria dos  números cap2Intro teoria dos  números cap2
Intro teoria dos números cap2
 
Mat equacoes do 1 grau 002
Mat equacoes do 1 grau  002Mat equacoes do 1 grau  002
Mat equacoes do 1 grau 002
 
Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2Notas de aula 01 2015-2
Notas de aula 01 2015-2
 
Teoria do números - Classificações especiais
Teoria do números - Classificações especiaisTeoria do números - Classificações especiais
Teoria do números - Classificações especiais
 
Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1Intro teoria dos numeros cap1
Intro teoria dos numeros cap1
 
Aula 6 Números primos.pdf
Aula 6 Números primos.pdfAula 6 Números primos.pdf
Aula 6 Números primos.pdf
 
Sequencias e series unicamp
Sequencias e series   unicampSequencias e series   unicamp
Sequencias e series unicamp
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
 
Binômio de newton
Binômio de newtonBinômio de newton
Binômio de newton
 
Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)Equações de recorrência - II (Otimização)
Equações de recorrência - II (Otimização)
 
PA e PG
PA e PGPA e PG
PA e PG
 
Progressões geométricas
Progressões geométricasProgressões geométricas
Progressões geométricas
 
Equação de Recorrência - I (Otimização)
Equação de Recorrência - I (Otimização)Equação de Recorrência - I (Otimização)
Equação de Recorrência - I (Otimização)
 
Mat progressoes ( pg) ii
Mat progressoes ( pg) iiMat progressoes ( pg) ii
Mat progressoes ( pg) ii
 
Introd logica mat
Introd logica matIntrod logica mat
Introd logica mat
 

Mais de Paulo Martins

Teoria dos-numerosiii
Teoria dos-numerosiiiTeoria dos-numerosiii
Teoria dos-numerosiiiPaulo Martins
 
Teoria dos numeros primos i
Teoria dos numeros primos iTeoria dos numeros primos i
Teoria dos numeros primos iPaulo Martins
 
Introd logica mat ii
Introd logica mat iiIntrod logica mat ii
Introd logica mat iiPaulo Martins
 
Intro teoria dos numerros i
Intro teoria dos numerros iIntro teoria dos numerros i
Intro teoria dos numerros iPaulo Martins
 
Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7Paulo Martins
 
Intro teoria dos numerros cap6
Intro teoria dos numerros cap6Intro teoria dos numerros cap6
Intro teoria dos numerros cap6Paulo Martins
 
Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4Paulo Martins
 
Intro teoria dos numerros cap3
Intro teoria dos numerros cap3Intro teoria dos numerros cap3
Intro teoria dos numerros cap3Paulo Martins
 

Mais de Paulo Martins (9)

Teoria dos-numerosiii
Teoria dos-numerosiiiTeoria dos-numerosiii
Teoria dos-numerosiii
 
Teoria dos numeros primos i
Teoria dos numeros primos iTeoria dos numeros primos i
Teoria dos numeros primos i
 
N inteiros
N inteirosN inteiros
N inteiros
 
Introd logica mat ii
Introd logica mat iiIntrod logica mat ii
Introd logica mat ii
 
Intro teoria dos numerros i
Intro teoria dos numerros iIntro teoria dos numerros i
Intro teoria dos numerros i
 
Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7Intro teoria dos numerros cap7
Intro teoria dos numerros cap7
 
Intro teoria dos numerros cap6
Intro teoria dos numerros cap6Intro teoria dos numerros cap6
Intro teoria dos numerros cap6
 
Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4Intro teoria dos numerros cap4
Intro teoria dos numerros cap4
 
Intro teoria dos numerros cap3
Intro teoria dos numerros cap3Intro teoria dos numerros cap3
Intro teoria dos numerros cap3
 

Último

2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...Unicesumar
 
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024excellenceeducaciona
 
Os impactos ambientais e suas consequências
Os impactos ambientais e suas consequênciasOs impactos ambientais e suas consequências
Os impactos ambientais e suas consequênciasLaianaLessaTeixeiraP
 
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestreDensidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestreAnaPaulaAmaral44
 
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptxSlides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamentalProjeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamentalDiana328805
 
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAldoBlfia1
 
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfLAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfVivianeFerreiradaSil5
 
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SNRegimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SNADUFC S.Sind
 
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogiatrabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogiakarinareserva924
 
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdfCADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdfPaulissandraCoelho1
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...excellenceeducaciona
 
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptxAULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptxJosé Roberto Pinto
 
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptxLição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptxTiagoCarpesDoNascime
 
MATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptx
MATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptxMATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptx
MATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptxssuser3ec4ca
 

Último (20)

Os textos contemporâneos na construção da opinião.
Os textos contemporâneos na construção  da opinião.Os textos contemporâneos na construção  da opinião.
Os textos contemporâneos na construção da opinião.
 
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
2. É possível a denúncia do Estado agressor junto ao Tribunal Penal Internaci...
 
NBR 14724.2011. Trabalhos acadêmicos. 1s24.pdf
NBR 14724.2011. Trabalhos acadêmicos. 1s24.pdfNBR 14724.2011. Trabalhos acadêmicos. 1s24.pdf
NBR 14724.2011. Trabalhos acadêmicos. 1s24.pdf
 
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS -  51/2024
MAPA - ADM - CIÊNCIAS SOCIAIS - 51/2024
 
Os impactos ambientais e suas consequências
Os impactos ambientais e suas consequênciasOs impactos ambientais e suas consequências
Os impactos ambientais e suas consequências
 
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestreDensidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
Densidade e solubilidade 5 ano, aula 1 - 1° bimestre
 
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptxSlides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
Slides Lição 13, CPAD, O Poder de Deus na Missão da Igreja.pptx
 
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamentalProjeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
Projeto escolar dia da água educação infantil e fundamental
 
Complementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdf
Complementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdfComplementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdf
Complementação: Aplicando as Normas da ABNT. 1s24.pdf
 
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglêsAula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
Aula 2 - Beauty standards (Part 1) ula de inglês
 
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdfLAPBOOK  DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
LAPBOOK DO SISTEMA SOLAR colorido e.pdf
 
Jogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdf
Jogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdfJogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdf
Jogo dos Materiais - final Domínio Materiais.pdf
 
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SNRegimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
Regimento da ADUFC-Seção Sindical do ANDES-SN
 
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogiatrabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
trabalho de didatica 09/03/2024 pedagogia
 
NBR 10520.2023. Citações. 1s24 (revisão em 09mar24).pdf
NBR 10520.2023. Citações. 1s24 (revisão em 09mar24).pdfNBR 10520.2023. Citações. 1s24 (revisão em 09mar24).pdf
NBR 10520.2023. Citações. 1s24 (revisão em 09mar24).pdf
 
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdfCADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
CADERNO_DE_CULTURA_ESPANHOLA_E_HISPANO-AMERICANA.pdf
 
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
Explique o modelo de determinação social da saúde proposto por Dahlgren e Whi...
 
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptxAULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
AULA-05---TRANSITIVIDADE-VERBAL-I_bc6ac78f0ec049a9bf66e829ce05ac19.pptx
 
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptxLição 10 - A Ceia do Senhor  - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
Lição 10 - A Ceia do Senhor - A Segunda Ordenança da Igreja(COM ANIMAÇÃO).pptx
 
MATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptx
MATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptxMATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptx
MATERNAL PLANEJAMENTO SEMANAL( TRABALHANDO A DENGUE).pptx
 

Intro teoria dos numerros cap5

  • 1. 5 N¶umeros primos Neste cap¶³tulo, apresentamos o conceito de n¶umero primo e exploramos as primeiras propriedades dos n¶umeros primos. 5.1 Conceitos e propriedades imprescind¶³veis O inteiro positivo 1 tem somente um divisor positivo. Qualquer outro inteiro positivo n, n > 1, tem pelo menos dois divisores positivos, 1 e n. De¯ni»c~ao 5.1 Dizemos que um inteiro p ¶e primo se p 6= 0, p 6= 1, p 6= ¡1, e os ¶unicos inteiros divisores de p s~ao 1, p, ¡1 e ¡p. Dizemos que um inteiro m ¶e composto se m 6= 0, m 6= 1, m 6= ¡1, e m n~ao ¶e primo. Assim sendo, um inteiro p ¶e primo quando p 6= §1 e seus ¶unicos divisores positivos s~ao 1 e jpj. J¶a um inteiro m ¶e composto quando m 6= 0, e m possui divisores positivos diferentes de 1 e de jmj. O teorema abaixo estabelece o papel dos n¶umeros primos positivos, como blocos construtivos dos inteiros positivos maiores que 1. Teorema 5.1 Todo inteiro m, m ¸ 2, ¶e um n¶umero primo ou tem a forma m = p1 ¢ ¢ ¢ pn, para certos inteiros primos positivos p1; : : : ; pn, com n ¸ 2. Ou seja, cada inteiro, a partir de 2, ¶e um n¶umero primo ou um produto de fatores todos primos positivos. Demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre m. Se m = 2, ent~ao m ¶e primo (demonstre). Seja k ¸ 2 e suponhamos que todo inteiro m, com 2 · m · k, ¶e primo ou se decomp~oe como produto de fatores primos. Trataremos de demonstrar que ent~ao k + 1 38
  • 2. N¶umeros primos 39 tamb¶em ¶e primo ou se escreve como produto de fatores primos. Note que ¯zemos uma hip¶otese de indu»c~ao com a inten»c~ao de utilizarmos o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita. Consideremos o inteiro k +1. Se k +1 ¶e primo, ent~ao nada mais temos a demons- trar. Se k + 1 n~ao ¶e primo, como k + 1 ¸ 3, temos que k + 1 ¶e composto. Ent~ao existem inteiros positivos a e b, com 1 < a < k + 1 e 1 < b < k + 1, tais que k + 1 se fatora na forma k + 1 = a ¢ b. Agora, como 2 · a · k e 2 · b · k, pela hip¶otese de indu»c~ao cada um dos inteiros a e b ¶e um primo ou se decomp~oe como produto de fatores primos positivos. Logo, como k + 1 = ab, k + 1 se decomp~oe como um produto de fatores primos positivos. Assim sendo, cada inteiro m ¸ 2 ¶e primo ou se escreve como um produto de primos. O teorema 5.1 enuncia, em parte, o Teorema Fundamental da Aritm¶etica, que ser¶a estudado oportunamente. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica estabelece tamb¶em que a decomposi»c~ao de cada inteiro positivo, maior que 1, em fatores primos, ¶e ¶unica, a menos da ordem dos fatores. O teorema seguinte estabele um resultado que pode ser usado para testar se um inteiro positivo n ¶e primo. Como veremos, utilizando um procedimento devido a Erat¶os- tenes, o mesmo teorema pode ser usado para listar todos os primos positivos menores que ou iguais a um inteiro positivo n, quando n ¸ 2. Teorema 5.2 Se n ¶e um inteiro positivo composto ent~ao n tem um fator primo p satisfazendo p · p n. Equivalentemente, se n ¸ 2, e nenhum primo p, com 2 · p · p n, ¶e fator de n, ent~ao, n ¶e primo. Demonstra»c~ao. Sendo n composto, temos n ¸ 2, e pelo teorema 5.1, n = p1 ¢ ¢ ¢ ps, para certos fatores primos positivos p1; : : : ; ps, com s ¸ 2 (se s = 1, n ¶e um n¶umero primo). Da¶³, p1 · p n ou p2 · p n, pois se p1 > p n e p2 > p n, ent~ao n = p1 ¢ ¢ ¢ ps ¸ p1 ¢ p2 > p n ¢ p n = n o que nos d¶a uma contradi»cao. Como p1 e p2 s~ao fatores primos quaisquer de n, conclu¶³mos incidentalmente que, se n ¸ 2 ¶e um inteiro composto, n n~ao pode ter dois fatores primos maiores que p n, ou seja, todos os fatores primos de n (com poss¶³vel exce»c~ao de apenas um) s~ao menores que p n.
  • 3. N¶umeros primos 40 Exemplo 5.1 Para testar se o inteiro 1007 ¶e primo observamos, com o uso de uma calculadora, que p 1007 ¼ 31; 73. Os primos positivos p satisfazendo p · p 1007 ¼ 31; 73 s~ao 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Com a calculadora, veri¯camos que 1007 n~ao ¶e divis¶³vel por nenhum desses fatores, e portanto ¶e primo. J¶a o mesmo procedimento, de testar os poss¶³veis fatores primos p de n, que satis- fazem p · p n, nos revela que 1003 = 17 ¢ 59 e que 1001 = 13 ¢ 17. 5.2 O crivo de Erat¶ostenes O teorema 5.2 pode ser usado, por exemplo, para listar os primos menores que ou iguais a n, quando n ¶e um inteiro positivo. Um procedimento para tal listagem ¶e chamado de Crivo de Erat¶ostenes, e consiste em listar os n¶umeros menores que ou iguais a n crivando (demarcando) os m¶ultiplos dos primos menores que ou iguais a p n. Como mostramos no exemplo abaixo, para n = 100, consideramos como ponto de partida os primos p satisfazendo 2 · p · p 100 = 10, sendo eles 2, 3, 5 e 7. Descartamos inicialmente o n¶umero 1, que n~ao ¶e primo. Em seguida, demarcamos (crivamos) os m¶ultiplos de 2 maiores que 2. Em seguida, crivamos os m¶ultiplos de 3 maiores que 3. O procedimento ¶e repetido para os primos 5 e 7. Al¶em de 2, 3, 5 e 7, ser~ao primos positivos menores que 100 todos os n¶umeros da tabela que n~ao foram crivados, pois se um inteiro positivo n, 2 · n · 100, n~ao for primo, ele dever¶a ter um fator primo p satisfazendo p · p n · p 100. ÂÁ1 2 3 Á4 5 Á6 7 Á8 Â9 Á10 11 Á12 13 Á14 Â15 Á16 17 Á18 19 Á20 Â21 Á22 23 Á24 |25 Á26 Â27 Á28 29 Á30 31 Á32 Â33 Á34 |35 Á36 37 Á38 Â39 Á40 41 Á42 43 Á44 Â45 Á46 47 Á48 ÂÁ49 Á50 Â51 Á52 53 Á54 |55 Á56 Â57 Á58 59 Á60 61 Á62 Â63 Á64 |65 Á66 67 Á68 Â69 Á70 71 Á72 73 Á74 Â75 Á76 ÂÁ77 Á78 79 Á80 Â81 Á82 83 Á84 |85 Á86 Â87 Á88 89 Á90 ÂÁ91 Á92 Â93 Á94 |95 Á96 97 Á98 Â99 Á100 Observando o crivo de Erat¶ostenes acima, escreva a lista dos primos positivos abaixo de 100. Desde muito cedo, matem¶aticos questionaram se o conjunto de primos positivos ¶e ¯nito ou n~ao. Em seus Elementos, Euclides de Alexandria deu a resposta.
  • 4. N¶umeros primos 41 Teorema 5.3 (Euclides) Existem in¯nitos n¶umeros primos positivos. Demonstra»c~ao. Demonstraremos que, sendo dado um conjunto ¯nito qualquer de primos positivos, ¶e poss¶³vel construir" um primo positivo que est¶a fora desse conjunto. Assim, o conjunto de primos positivos ¶e in¯nito. Seja ent~ao fp1; : : : ; png um conjunto de n primos positivos distintos, n ¸ 1. Considere o inteiro positivo a = p1 ¢ ¢ ¢ pn + 1 Mostraremos que a possui um fator primo diferente dos primos p1, : : : , pn. Obviamente, a ¶e um inteiro positivo maior que cada um dos primos p1, : : : , pn. Se a ¶e primo, ele mesmo ¶e o primo procurado, fora do conjunto fp1; : : : ; png. Se a n~ao ¶e primo, pelo teorema 5.1, ele possui um fator primo positivo q. Temos ent~ao q 62 fp1; : : : ; png: se q = pi para algum i 2 f1; : : : ; ng, ent~ao q j p1 ¢ ¢ ¢ pn; como q j a, temos que q j (a ¡ p1 ¢ ¢ ¢ pn), e portanto q j 1, o que contradiz o fato de q ser primo. Assim, o inteiro a tem um fator primo diferente dos primos p1, : : : , pn. Portanto, o conjunto dos n¶umeros primos n~ao pode ser ¯nito. 5.3 Densidade dos n¶umeros primos e conjecturas famosas Exporemos agora, a t¶³tulo de divulga»c~ao apenas, alguns resultados que envolvem a distribui»c~ao dos primos dentre os inteiros. 5.3.1 O teorema dos n¶umeros primos O teorema dos n¶umeros primos foi conjecturado por Gauss em 1793, mas demonstrado somente em 1896, pelos matem¶aticos Jacques Hadamard e C.J. de la Vall¶ee Poussin, em trabalhos independentes. Na matem¶atica universit¶aria, destacam-se duas constantes num¶ericas muito im- portantes. S~ao elas o n¶umero pi, ¼ ¼ 3; 14159, que surge no estudo da circunfer^encia e suas propriedades m¶etricas, e o n¶umero e ¼ 2; 71828. O n¶umero e ¶e de¯nido como sendo o limite da seqÄu^encia (1+ 1 n )n , n = 1; 2; 3; : : : , ou seja, na linguagem de limites de seqÄu^encias, e = lim n!+1 n2N µ 1 + 1 n ¶n
  • 5. N¶umeros primos 42 Pode ser demonstrado que o n¶umero e ¶e irracional. Na tabela 5.1, exibimos valores (aproximados) de ¡ 1 + 1 n ¢n , para n = 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000. Tabela 5.1. n 1=n 1 + 1 n ¡ 1 + 1 n ¢n 1 1 2 21 = 2 10 0; 1 1; 1 (1; 1)10 ¼ 2; 59374 100 0; 01 1; 01 (1; 01)100 ¼ 2; 70481 1000 0; 001 1; 001 (1; 001)1000 ¼ 2; 71692 10000 0; 0001 1; 0001 (1; 0001)10000 ¼ 2; 71815 100000 0; 00001 1; 00001 (1; 00001)100000 ¼ 2; 71828 O logaritmo natural de x, ln x, para x real positivo, ¶e de¯nido como sendo ln x = loge x Para cada n¶umero real positivo x, de¯ne-se o n¶umero ¼(x), a quantidade de n¶umeros primos positivos p satisfazendo 2 · p · x. Observando o crivo de Erat¶ostenes, constru¶³do acima, temos ¼(10) = 4, ¼(20) = 15, e ¼(100) = 25. Teorema 5.4 (Teorema dos n¶umeros primos) Para valores su¯cientemente grandes de x, veri¯ca-se que ¼(x) x= ln x ¶e aproximadamente igual a 1. Mais precisamente, na linguagem de limites, lim x!1 ¼(x) ³ x ln x ´ = 1 Exibimos a tabela 5.2, para que o leitor aprecie evid^encias num¶ericas a respeito do teorema 5.4, o qual n~ao temos condi»c~oes de demonstrar aqui. Segundo o teorema 5.4, quando n tende ao in¯nito, temos que ¼(n) ¢ ln n n = ¼(n) n ln n tende a 1. Por outro lado, ln n tamb¶em tende ao in¯nito. Assim, temos que ¼(n) n = µ ¼(n) ¢ ln n n ¶ . ln n tende a 0 quando n tende ao in¯nito.
  • 6. N¶umeros primos 43 Tabela 5.2. Compara»c~oes de ¼(x) com x ln x (ln x = loge x) x ¼(x) x ln x ¼(x)= x ln x 1000 168 144; 8 1; 160 10000 1229 1085; 7 1; 132 100000 9592 8685; 9 1; 104 1000000 78498 72382; 4 1; 085 1010 455052512 434294481; 9 1; 048 1012 37607912018 36191206825; 3 1; 039 1014 3204941750802 3102103442166 1; 033 Assim, a porcentagem de primos positivos at¶e n, dada aproximadamente pela fra»c~ao decimal ¼(n)=n, tende µa zero µa medida em que n cresce. Isto nos revela que ¶e cada vez mais dif¶³cil encontrar n¶umeros primos µa medida em que avan»camos nos inteiros positivos. Para valores inteiros de n muito grandes, este percentual ¶e dado aproximadamente por ¼(n) n = ¼(n)= n ln n ln n ¼ 1 ln n Tabela 5.3. Densidade dos n¶umeros primos dentre os primeiros inteiros positivos. Por- centagens de primos positivos at¶e n, e compara»c~oes com 1= ln n. n ¼(n) ¼(n) n 1= ln n 103 168 0;168 0;1447648273 106 78498 0;078498 0;0723824136 109 50847534 0;050847534 0;04825494243 1010 455052512 0;0455052512 0;04342944819 1014 3204941750802 0;03102103442166 0;0310210344216608 Observando a tabela 5.3, notamos que s~ao primos, 16;8% dos inteiros positivos at¶e 103 , 7;8498% dos inteiros at¶e 106 , e aproximadamente 3;1% dos inteiros at¶e 1014 . Para estudantes que conhecem c¶alculo integral, uma aproxima»c~ao ainda melhor para ¼(n), para n ¸ 2, ¶e dada por ¼(n) = R n 2 1 ln x dx. Geometricamente, R n 2 1 ln x dx ¶e a medida da ¶area compreendida entre a curva y = 1= ln x, o eixo x, e as retas verticais
  • 7. N¶umeros primos 44 x = 2 e x = n. Por exemplo, para n = 1014 , temos ¼(n)=( R n 2 1 ln x dx) ¼ 0;9999999, enquanto que ¼(n)=(n= ln n) ¼ 1;033. 5.3.2 A conjectura de Goldbach Existem v¶arias conjecturas envolvendo n¶umeros primos, f¶aceis de se enunciar, consti- tuindo-se em propriedades ainda n~ao demonstradas e tampouco refutadas. Uma delas ¶e sobre a exist^encia de in¯nitos primos da forma n2 + 1, com n inteiro positivo. Ou seja, n~ao se sabe se o conjunto dos primos dessa forma ¶e ¯nito ou in¯nito. Uma outra ¶e a conjectura sobre a in¯nitude de primos g^emeos (veja problema 8, p¶agina 45). Uma outra, bastante famosa, ¶e a seguinte conjectura. Conjetura de Goldbach Todo inteiro par, maior que dois, pode ser escrito como soma de dois primos positivos. Esta propriedade de inteiros pares, formulada por Christian Goldbach em uma carta escrita a Euler, em 1742, ¶e verdadeira para todos os inteiros pares at¶e inteiros pares muito grandes, da ordem de milh~oes. Sua validade, veri¯cada apenas experimentalmente em supercomputadores, prossegue sendo um problema em aberto. Como exemplo, 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 Outra famosa conjectura de Goldbach diz que todo inteiro ¶³mpar, maior que 5, ¶e soma de tr^es primos positivos. 5.4 Exerc¶³cios 1. Determine quais dos seguintes n¶umeros s~ao primos, usando o teorema 5.2. (a) 101 (b) 103 (c) 107 (d) 211 (e) 213 (f) 221 2. Encontre todos os primos da forma a4 ¡ b4 com a e b inteiros positivos. 3. Mostre que nenhum inteiro da forma n3 + 1 ¶e primo, exceto 2 = 13 + 1 e ¡7 = (¡2)3 + 1. 4. Mostre que se a e n s~ao inteiros positivos, com n ¸ 2, tais que an ¡ 1 ¶e primo, ent~ao necessariamente a = 2 e n ¶e primo.
  • 8. N¶umeros primos 45 Sugest~ao: Se a ¸ 3, sendo n ¸ 2, temos an ¡1 = (a¡1)(an¡1 +an¡2 +¢ ¢ ¢+a+1). Se a = 2 e n ¸ 2 ¶e composto, temos n = k` com 2 · k < n e 2 · ` < n. Agora, fazemos uso da identidade ak` ¡ 1 = (ak )` ¡ 1 = (ak ¡ 1) ¡ ak(`¡1) + ak(`¡2) + ¢ ¢ ¢ + ak + 1 ¢ 5. Demonstre que, para cada inteiro positivo n, todo fator primo, do inteiro n! + 1, ¶e maior que n. Conclua ent~ao, por uma nova demonstra»c~ao, que o conjunto dos inteiros primos positivos ¶e in¯nito. 6. Demonstre que, para cada inteiro positivo n, existe ao menos uma seqÄu^encia de n inteiros consecutivos, todos compostos. Ou seja, no conjunto dos n¶umeros inteiros positivos, h¶a espa»cos de inteiros consecutivos, t~ao grandes quanto quisermos, sem a presen»ca de um ¶unico n¶umero primo. Sugest~ao. Fixado um inteiro positivo n, considere os n inteiros consecutivos (n + 1)! + 2; (n + 1)! + 3; : : : ; (n + 1)! + n; (n + 1)! + (n + 1) 7. (a) De acordo com a proposi»c~ao enunciada no problema 6, os sete inteiros con- secutivos, a partir de com 8! + 2 (= 40322), s~ao compostos. Observando o crivo de Erat¶ostenes, µa pagina 40, mostre que estes n~ao s~ao os primeiros sete inteiros positivos consecutivos compostos. (b) Dentre os inteiros positivos de 1 at¶e 100, quantas listas existem, de cinco inteiros positivos consecutivos compostos? Resposta. Nove. (c) Indique como fazer uma lista de um milh~ao de inteiros consecutivos compos- tos. 8. Existem muitos pares de primos consecutivos", diferindo entre si por duas uni- dades, sendo por isto chamados de primos g^emeos. Alguns exemplos de primos g^emeos s~ao: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 101 e 103. A exist^encia de um n¶umero in¯nito de pares de primos g^emeos ¶e uma conjectura matem¶atica famosa (um problema em aberto). Mostre que n~ao existem primos trig^emeos p, p + 2 e p + 4, a n~ao ser 3, 5 e 7. 9. Demonstre que qualquer inteiro n ¸ 12 ¶e a soma de dois inteiros compostos. Sugest~ao. Sendo n ¸ 12, se n ¶e par, n = 8+(n¡8). Se n ¶e¶³mpar, n = 9+(n¡9). 10. (a) Mostre que sendo p(x) = x2 ¡x+41, tem-se p(x) primo para cada inteiro x tal que 0 · x · 40. Mostre, entretanto, que p(41) ¶e um inteiro composto. (b) (Goldbach) Mostre que se f(x) = anxn + an¡1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1x + a0, com n ¸ 1 e an 6= 0, sendo os coe¯cientes an; : : : ; a0 todos inteiros, ent~ao existe um inteiro a tal que f(a) ¶e composto. Sugest~ao: Assuma que f(a) ¶e primo para todo inteiro a. Considere o n¶umero primo p = f(0) = a0. Demonstre que ent~ao f(kp) = p, para todo inteiro k.