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(d) Converta 5666578 µa nota»c~ao decimal. Resposta. 191919.
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ii. FADA16 ¡ CAFE16. Resposta. 2FDC16.
iii. CACA16 ¢ B0A16. Resposta. 8BE99E416....
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14. Se n = (akak¡1 : : : a1a0)b ent~ao qual ¶e a representa»c~ao de bm
n na base...
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modo a ganhar, n~ao importa quais sejam as futuras jogadas de seu oponente. Por
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Intro teoria dos numerros cap4

  1. 1. 4 Representa»c~ao posicional de inteiros Habitualmente os n¶umeros inteiros positivos s~ao representados no sistema (posicional) decimal. Na representa»c~ao de um inteiro positivo no sistema decimal, os d¶³gitos ou algarismos representam m¶ultiplos de pot^encias de 10, base do sistema. Esses m¶ultiplos de pot^encias de 10, quando somados, determinam o n¶umero. Por exemplo, ao escrevermos 27 065 estamos representando a quantidade 2 ¢ 104 + 7 ¢ 103 + 0 ¢ 102 + 6 ¢ 101 + 5 ¢ 100 A raz~ao hist¶orica para a ado»c~ao da base 10 na representa»c~ao dos inteiros ¶e provavelmente o fato de termos dez dedos em nossas m~aos. Algumas civiliza»c~oes antigas usaram bases diferentes, como os Babil^onios, que usavam a base 60 (sistema sexagesimal). Uma heran»ca cultural que temos dos Babil^onios est¶a no sistema sexagesimal da contagem de minutos e segundos. J¶a os computadores eletr^onicos usam a base 2 (sistema bin¶ario) para representar os inteiros internamente, nos circuitos el¶etricos, e a base 8 (sistema octal) ou a base 16 (sistema hexadecimal) para representar os inteiros externamente, nos dispositivos de visualiza»c~ao. Uma calculadora cient¶³¯ca, como a encontrada em modernos computadores, realiza c¶alculos e exibe resultados nos sistemas decimal, hexadecimal, octal e bin¶ario. Quando o leitor adquirir familiaridade com esses quatro sistemas, poder¶a conferir seus c¶alculos, propostos nos exerc¶³cios, em uma dessas calculadoras. Como veremos a seguir, qualquer inteiro positivo maior do que 1 pode ser usado como base na representa»c~ao dos inteiros. A representa»c~ao de inteiros de que estamos tratando ¶e chamada representa»c~ao posicional, uma vez que a posi»c~ao de cada d¶³gito ¶e relevante na representa»c~ao do n¶umero. Teorema 4.1 Seja b > 1 um inteiro positivo ¯xado. Ent~ao qualquer inteiro positivo n pode ser escrito, de maneira ¶unica, na forma n = ak ¢ bk + ak¡1 ¢ bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ b2 + a1 ¢ b + a0 na qual os coe¯cientes aj, para j = 0; 1; : : : ; k, s~ao elementos do conjunto de d¶³gitos f0; 1; : : : ; b ¡ 1g, e ak 6= 0 . 27
  2. 2. Representac»~ao posicional de inteiros 28 Demonstra»c~ao. Para obter a representa»c~ao (ou expans~ao) de n, na base b, constru¶³mos uma seqÄu^encia ¯nita de divis~oes euclidianas por b, cujos restos constituir~ao a seqÄu^encia de d¶³gitos a0; : : : ; ak. Primeiro dividimos n por b, e obtemos n = bq0 + a0; 0 · a0 < b: Se q0 > 0 ent~ao dividimos q0 por b, obtendo q0 = bq1 + a1; 0 · a1 < b: Se q1 > 0, continuamos o processo, obtendo q1 = bq2 + a2; 0 · a2 < b (q2 > 0) q2 = bq3 + a3; 0 · a3 < b (q3 > 0) ... qk¡1 = bqk + ak; 0 · ak < b (qk¡1 > 0) at¶e encontrarmos o primeiro quociente qk = 0. A garantia de que o processo termina est¶a no fato de que a seqÄu^encia n > q0 > q1 > q2 > ¢ ¢ ¢ , ¶e uma seqÄu^encia estritamente decrescente de inteiros n~ao negativos, terminando portanto em algum qk = 0 (n~ao existe uma seqÄu^encia in¯nita e decrescente de inteiros positivos). Substituindo sucessivamente q0; q1; : : : ; qk¡1 na equa»c~ao n = bq0 + a0 obtemos n = bq0 + a0 = b(bq1 + a1) + a0 = q1b2 + a1b + a0 = (bq2 + a2)b2 + a1b + a0 = b3 q2 + a2b2 + a1b + a0 ... = (bqk + ak)bk + ak¡1bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + a2b2 + a1b + a0 = akbk + ak¡1bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + a2b2 + a1b + a0 Para demonstrarmos a unicidade da expans~ao de n na base b, vamos supor que existem duas expans~oes distintas, n = akbk + ak¡1bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + a2b2 + a1b + a0 n = Akbk + Ak¡1bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + A2b2 + A1b + A0 com os coe¯cientes aj e Aj, para j = 0; 1; : : : ; k, tomados no conjunto de d¶³gitos f0; 1; : : : ; b ¡ 1g.
  3. 3. Representac»~ao posicional de inteiros 29 Note que, em princ¶³pio, as duas expans~oes n~ao precisam conter o mesmo numero k + 1 de termos. Isto ¶e facilmente contornado somando parcelas com coe¯cientes nulos para for»car a igualdade no n¶umero de coe¯cientes dos dois somat¶orios. Subtraindo o segundo somat¶orio do primeiro, termo a termo, obtemos (ak ¡ Ak)bk + ¢ ¢ ¢ + (a2 ¡ A2)b2 + (a1 ¡ A1)b + (a0 ¡ A0) = 0 Seja j 2 f0; 1; 2; : : : ; kg o primeiro inteiro tal que aj 6= Aj. Note que tal j existe quando as duas representa»c~oes s~ao realmente distintas. A igualdade anterior tem ent~ao a forma (ak ¡ Ak)bk + (ak¡1 ¡ Ak¡1)bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + (aj+1 ¡ Aj+1)bj+1 + (aj ¡ Aj)bj = 0 e podemos ent~ao escrever bj £ (ak ¡ Ak)bk¡j + ¢ ¢ ¢ + (aj+1 ¡ Aj+1)b + (aj ¡ Aj) ¤ = 0 ou, equivalentemente, Aj ¡ aj = b £ (ak ¡ Ak)bk¡j¡1 + ¢ ¢ ¢ + (aj+1 ¡ Aj+1) ¤ : Nestas condi»c~oes b j (Aj ¡ aj). Por outro lado, como 0 · aj < b e 0 · Aj < b, segue que ¡b < Aj ¡ aj < b. Assim Aj ¡ aj ¶e o ¶unico m¶ultiplo de b no intervalo ¡b < Aj ¡ aj < b, isto ¶e, Aj ¡ aj = 0. Chegamos ent~ao a uma contradi»c~ao, j¶a que estamos sob a hip¶otese de que aj 6= Aj. Alternativamente, podemos demonstrar a exist^encia da expans~ao de n, na base b, por indu»c~ao sobre n, usando o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, analogamente ao procedimento usado na demonstra»c~ao do teorema 2.6, cap¶³tulo 1. Um caso particularmente interessante do teorema 4.1 ocorre quando b = 2, con- forme enunciado a seguir. Corol¶ario 4.1 Qualquer inteiro positivo pode ser representado, de maneira ¶unica, como uma soma de pot^encias de dois, distintas entre si. Demonstra»c~ao. Seja n um inteiro positivo. Segue do teorema 4.1, quando b = 2, que n tem a forma n = ak ¢ 2k + ak¡1 ¢ 2k¡1 + ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ 22 + a1 ¢ 21 + a0 ¢ 20 com cada d¶³gito aj igual a 0 ou 1, sendo os d¶³gitos aj determinados de maneira ¶unica. Logo n pode ser representado, de maneira ¶unica, como uma soma de pot^encias de dois, distintas entre si.
  4. 4. Representac»~ao posicional de inteiros 30 Na representa»c~ao descrita no teorema 4.1, b ¶e chamado de base da representa»c~ao. Expans~oes decimais (b = 10), bin¶arias (b = 2), hexadecimais (b = 16) ou octais (b = 8) s~ao as mais usadas. Os coe¯cientes aj s~ao chamados de d¶³gitos da representa»c~ao. D¶³gitos bin¶arios tamb¶em s~ao chamados de bits (binary digits). Para distinguir representa»c~oes de inteiros em diferentes bases, ¶e h¶abito usar a nota»c~ao (akak¡1 : : : a2a1a0)b para representar akbk + ak¡1bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + a2b2 + a1b + a0 Tamb¶em escrevemos abc : : : rsb em lugar de (abc : : : rs)b. Assim, por exemplo, (2102)3 ou 21023 signi¯ca 2 ¢ 33 + 1 ¢ 32 + 0 ¢ 31 + 2 ¢ 30 , que ¶e, no nosso sistema decimal, 2 ¢ 27 + 1 ¢ 9 + 2 = 65. Como de h¶abito, ¯ca subententida a base dez quando n~ao ¯zermos men»c~ao µa base na qual o inteiro est¶a representado. Assim, 2307 ¶e o mesmo que 230710 ou (2307)10, sendo o inteiro 2 ¢ 103 + 3 ¢ 102 + 7. Observa»c~ao 4.1 Se n = ak ¢ bk + ak¡1 ¢ bk¡1 + ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ b2 + a1 ¢ b + a0 = Pk n=0 anbn , tal como no enunciado do teorema 4.1, este somat¶orio ¶e a sua expans~ao na base b, enquanto que a nota»c~ao simb¶olica (akak¡1 : : : a2a1a0)b ¶e a sua representa»c~ao na base b. No entanto, os termos expans~ao e representa»c~ao, neste contexto, podem ser usados como sin^onimos. Note que a demonstra»c~ao do teorema 4.1 fornece um m¶etodo para encontrar a represen- ta»c~ao na base b de um inteiro qualquer n. N¶os simplesmente aplicamos o algoritmo da divis~ao sucessivamente sempre com o mesmo divisor b, come»cando com o dividendo n, tomando sempre, como novo dividendo, o ¶ultimo quociente obtido, e parando quando o quociente se anular. A leitura dos restos, do ¶ultimo para o primeiro, fornece os d¶³gitos da representa»c~ao procurada. Exemplo 4.1 Para encontrar a representa»c~ao na base 2 do inteiro 2006 basta fazer sucessivas divis~oes euclidianas por 2, tal como abaixo: 2006 2 0 1003 1003 2 1 501 501 2 1 250 250 2 0 125 125 2 1 62 62 2 0 31 31 2 1 15 15 2 1 7 7 2 1 3 3 2 1 1 1 2 1 0
  5. 5. Representac»~ao posicional de inteiros 31 Das divis~oes acima, temos: 2006 = 2 ¢ 1003 + 0 1003 = 2 ¢ 501 + 1 501 = 2 ¢ 250 + 1 250 = 2 ¢ 125 + 0 125 = 2 ¢ 62 + 1 62 = 2 ¢ 31 + 0 31 = 2 ¢ 15 + 1 15 = 2 ¢ 7 + 1 7 = 2 ¢ 3 + 1 3 = 2 ¢ 1 + 1 1 = 2 ¢ 0 + 1 Para obter a representa»c~ao de 200610 na base 2, anotamos ordenadamente os restos das divis~oes euclidianas efetuadas, iniciando no ¶ultimo e terminando no primeiro, isto ¶e, (2006)10 = (11111010110)2 Internamente, computadores representam n¶umeros em circuitos el¶etricos usando uma s¶erie de chaves que possuem dois estados: ligada" (passando corrente el¶etrica) e desligada" (n~ao passando corrente el¶etrica). Chaves ligadas representam o d¶³gito bin¶ario 1 e chaves desligadas representam o d¶³gito bin¶ario 0. J¶a em seus dispositivos visuais, os computadores representam n¶umeros usando a base hexadecimal, atrav¶es dos d¶³gitos hexadecimais 0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. As letras A, B, C, D, E e F representam os d¶³gitos correspondentes a 10 ,11, 12, 13, 14 e 15 no sistema decimal. Por exemplo, para converter (B013CE)16 para a base decimal escrevemos (B013CE)16 = B ¢ 165 + 0 ¢ 164 + 1 ¢ 163 + 3 ¢ 162 + C ¢ 16 + E = 11 ¢ 165 + 0 ¢ 164 + 1 ¢ 163 + 3 ¢ 162 + 12 ¢ 16 + 14 = (11539406)10 A convers~ao hexadecimal-bin¶ario ¶e feita atrav¶es da convers~ao dos d¶³gitos hexade- cimais em blocos de 4 d¶³gitos bin¶arios, conforme mostra a tabela 4.1. Exemplo 4.2 Para converter (B6AF)16 em bin¶ario basta colocar, em seqÄu^encia, os respectivos blocos de d¶³gitos bin¶arios de cada um dos d¶³gitos hexadecimais 2, F, B e 3. Assim (46AF)16 = (0100|{z} B 0110|{z} 6 1010|{z} A 1111|{z} F )2 = (0100011010101111)2 = (100011010101111)2
  6. 6. Representac»~ao posicional de inteiros 32 Tabela 4.1. Convers~ao de d¶³gitos hexadecimais para o sistema bin¶ario. d¶³gito d¶³gitos hexadecimal bin¶arios 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 N~ao justi¯caremos este procedimento no seu caso geral. Mostraremos por¶em, passo a passo, a convers~ao de (46AF)16 para a forma (0100011010101111)2. (46AF)16 = 4 ¢ 163 + 6 ¢ 162 + A ¢ 16 + F = (0100)2 ¢ 163 + (0110)2 ¢ 162 + (1010)2 ¢ 16 + (1111)2 = (0100)2 ¢ 212 + (0110)2 ¢ 28 + (1010)2 ¢ 24 + (1111)2 = (0100)2 ¢ (1 0000 0000 0000)2 + (0110)2 ¢ (1 0000 0000)2 + (1010)2 ¢ (1 0000)2 + (1111)2 = (0100 0000 0000 0000)2 + (0110 0000 0000)2 + (1010 0000)2 + (1111)2 = (0100 0110 1010 1111)2 = (100011010101111)2 Exemplo 4.3 Para converter (10110011111000)2 em hexadecimal basta converter, da direita para a esquerda, os blocos de digitos bin¶arios em hexadecimal. Assim (10110011111000)2 = (0010 1100 1111 1000)2 = (2CF8)16 Esquema an¶alogo ao da convers~ao bin¶ario-hexadecimal tamb¶em se aplica quando uma das bases ¶e uma pot^encia da outra.
  7. 7. Representac»~ao posicional de inteiros 33 4.1 Exerc¶³cios 1. Seja n um inteiro positivo, e seja n = (asas¡1 : : : a1a0)10 sua representa»c~ao deci- mal posicional, isto ¶e, n = as10s + as¡110s¡1 + ¢ ¢ ¢ + a110 + a0 sendo as; as¡1; : : : ; a0 algarismos" tomados no conjunto f0; 1; : : : ; 8; 9g. Demonstre os seguintes resultados: (a) n ¶e divis¶³vel por 2 se e somente se a0, o d¶³gito das unidades, ¶e par. (b) n ¶e divis¶³vel por 3 se e somente se a soma dos d¶³gitos de n, as +as¡1 +¢ ¢ ¢+ a1 + a0 ¶e divis¶³vel por 3. Sugest~ao. Repare primeiramente que 10¡1 = 9, 102 ¡1 = 99, 103 ¡1 = 999, etc. Escreva n = as10s + as¡110s¡1 + ¢ ¢ ¢ + a110 + a0 = as(10s ¡ 1) + as + as¡1(10s¡1 ¡ 1) + as¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1(10 ¡ 1) + a1 + a0 = 9m + (as + as¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 + a0) (c) n ¶e divis¶³vel por 5 se e somente se a0, o d¶³gito das unidades, ¶e 0 ou 5. (d) n ¶e divis¶³vel por 9 se e somente se a soma dos d¶³gitos de n, as +as¡1 +¢ ¢ ¢+ a1 + a0, ¶e divis¶³vel por 9. Sugest~ao. A mesma sugest~ao dada para o item b. (e) n ¶e divis¶³vel por 11 se e somente se a soma alternada de seus d¶³gitos, a0 ¡ a1 + a2 ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)s as, ¶e divis¶³vel por 11. Sugest~ao. Mostre primeiramente que, se m ¶e par ent~ao 10m ¡ 1 ¶e multiplo de 11, e se m ¶e ¶³mpar 10m + 1 ¶e m¶ultiplo de 11. 2. Determinar todos os inteiros positivos, m¶ultiplos de 5 que, escritos em base 10, s~ao de 3 algarismos cuja soma ¶e 19. Resposta. 595, 685, 775, 865, e 955. 3. Demonstre que o quadrado de um inteiro positivo ¶e da forma 4k ou 4k + 1, sendo k inteiro. Usando este fato, demonstre que nenhum inteiro da seqÄu^encia 11; 111; 1111; 11111; : : : ¶e um quadrado perfeito. 4. Determine um inteiro de quatro algarismos, que somado µa soma de seus algarismos resulta 2603. Resposta. 2584. 5. Demonstre que o quadrado de um inteiro ¶e da forma 5k ou 5k § 1. Com quais algarismos pode terminar um quadrado perfeito? 6. (a) Converta 1995 da nota»c~ao decimal µa nota»c~ao em base 7. Resposta. 55507. (b) Converta 61047 µa nota»c~ao decimal. Resposta. 2111. (c) Converta 74898 da nota»c~ao decimal µa nota»c~ao em base 8. Resposta. 2222228.
  8. 8. Representac»~ao posicional de inteiros 34 (d) Converta 5666578 µa nota»c~ao decimal. Resposta. 191919. (e) Converta 101010102 e 111111112 µa nota»c~ao decimal. Resposta. 170 e 255, respectivamente. (f) Converta 1500 e 819 ao sistema bin¶ario. Resposta. 101110111002 e 11001100112, respectivamente. (g) Converta 10110110111101112 e 11000101111001112 ao sistema hexadecimal (base 16). Resposta. B6F716 e C5E716, respectivamente. (h) Converta 5BABA16, 45FE16 e 9A0B16 ao sistema bin¶ario. Resposta. 10110111010101110102, 1000101111111102, e 10011010000010112, respectivamente. 7. Imagine que voc^e viajou para um planeta, onde os habitantes usam o sistema de numera»c~ao posicional de base 5. Construa tabuadas nesse sistema, para a adi»c~ao e para a multiplica»c~ao. Realize as seguintes contas, sem converter os n¶umeros para o sistema decimal, como se voc^e estivesse que explic¶a-las a seus alunos nesse planeta. (a) 12343215 + 20301045. Resposta. 33144305. (b) 44342015 ¡ 4344215. Resposta. 3442305. (c) 12345 ¢ 30025. Resposta. 43200235. (d) 143215 ¥ 3345 (divis~ao euclidiana). Resposta. quociente 225 e resto 3135. 8. Nos itens abaixo, imite o procedimento usado no exerc¶³cio anterior, isto ¶e, fa»ca os c¶alculos aritm¶eticos imitando os algoritmos que voc^e aprendeu na escola b¶asica, da aritm¶etica do sistema decimal. Realize as opera»c~oes sem converter os n¶umeros dados para o sistema decimal. (a) Calcule, dando solu»c~oes no sistema em que os inteiros est~ao representados: i. 1010110112 + 11001010112. Resposta. 100100001102. ii. 101010101111012 + 111011010110112. Resposta. 1100110000110002. iii. 11110010112 ¡ 1001011112 Resposta. 10100111002. iv. 11011011002 ¡ 1011101012 v. 101112 ¢ 110012. Resposta. 10001111112. vi. 1101112 ¢ 10110112. Resposta. 10011100011012. (b) Encontre o quociente e o resto i. quando 1100101112 ¶e dividido por 11012. Resposta. q = 111112, r = 1002. ii. quando 1101001112 ¶e dividido por 111012. Resposta. q = 1110, r = 10001. (c) Calcule i. ABAFADA16 + AB0BADA16. Resposta. 156BB5B416.
  9. 9. Representac»~ao posicional de inteiros 35 ii. FADA16 ¡ CAFE16. Resposta. 2FDC16. iii. CACA16 ¢ B0A16. Resposta. 8BE99E416. Sugest~ao. Fa»ca primeiramente uma tabuada de todas as multiplica»c~oes b¶asicas envolvidas: C £ B = 84, A £ B = 6E, etc. 9. (a) Demonstre que todo inteiro ¶e de uma das formas: 3k ou 3k ¡ 1 ou 3k + 1, com k inteiro. (b) Demonstre ent~ao que cada inteiro positivo n pode ser representado na forma tern¶aria balanceada, ou seja, pode ser representado na forma n = an ¢ 3n + an¡1 ¢ 3n¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 ¢ 3 + a0 com ai = 0 ou §1, para cada ¶³ndice i. (c) Um farmac^eutico tem apenas pesos de 1g, 3g, 9g, 27g, 81g, e uma balan»ca de dois pratos (os pesos podem ser colocados em ambos os pratos). Mostre que ele pode pesar qualquer objeto com at¶e 121g. 10. Mostre que qualquer peso n~ao excedendo 2k ¡ 1 gramas pode ser medido usando pesos de 1, 2, 22 , : : : , 2k¡1 gramas, em uma balan»ca de dois pratos, os pesos sendo colocados num ¶unico prato da balan»ca. 11. Decifre a seguinte brincadeira de adivinha»c~ao. O m¶agico (adivinho) pede a uma pessoa que pense em um n¶umero de 10 a 100. O m¶agico executa ent~ao os seguintes passos: 1. Pergunta µa pessoa se o n¶umero pensado ¶e par ou ¶³mpar. Ouvida a resposta, se for par, pede µa pessoa que divida o n¶umero por 2. Se for ¶³mpar, pede µa pessoa que subtraia 1 e que ent~ao divida o resultado por 2. 2. Pergunta ent~ao se o novo resultado, assim obtido, ¶e par ou ¶³mpar. 3. O procedimento continua com cada novo resultado. Isto ¶e, o m¶agico pergunta se o n¶umero resultante ¶e par ou ¶³mpar e, ouvida a resposta, pede µa pessoa para repetir o procedimento descrito no item 1. O m¶agico pede µa pessoa para avis¶a- lo quando o resultado tornar-se igual a 1, quando ent~ao os c¶alculos da pessoa terminam. O m¶agico vai fazendo anota»c~oes enquanto a pessoa lhe passa as informa»c~oes solicitadas e, quando ¶e informado de que o resultado ¶e igual a 1, ele revela imedi- atamente µa pessoa o n¶umero pensado por ela. Qual ¶e o procedimento adotado pelo m¶agico em suas anota»c~oes ? 12. Explique como converter representa»c~oes de inteiros na base 3 para a base 9 e vice-versa. 13. Mostre que se n = (akak¡1 : : : a1a0)b ent~ao o quociente e o resto, da divis~ao de n por bj s~ao, respectivamente, q = (akak¡1 : : : aj)b e r = (aj¡1 : : : a1a0)b.
  10. 10. Representac»~ao posicional de inteiros 36 14. Se n = (akak¡1 : : : a1a0)b ent~ao qual ¶e a representa»c~ao de bm n na base b ? 15. Uma expans~ao de Cantor para um inteiro positivo n ¶e uma soma da forma n = amm! + am¡1(m ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + a2 ¢ 2! + a1 ¢ 1! sendo cada aj um inteiro, com 0 · aj · j. (a) Encontre a expans~ao de Cantor para 14, 56 e 384. Sugest~ao. Se encontrar di¯culdade, veja o algoritmo apresentado no item abaixo. (b) Mostre que qualquer inteiro positivo tem uma expans~ao de Cantor. Sugest~ao. Seja n um inteiro positivo. Inicialmente, divida n por 2, obtendo quociente q1 e resto r1. Divida ent~ao q1 por 3, obtendo quociente q2 e resto r2. Divida ent~ao q2 por 4, obtendo quociente q3 e resto r3. Prossiga iterativamente. Para cada j, j ¸ 2, ao dividir qj¡2 por j, obtemos quociente qj¡1 e resto rj¡1. Como q1 > q2 > q3 > ¢ ¢ ¢ ¶e uma seqÄu^encia decrescente de inteiros n~ao negativos, se n ¸ 3, existir¶a um inteiro m tal que qm 6= 0 e qm+1 = 0 (se n · 2, teremos simplesmente n = 1! ou n = 2!). Coletando as divis~oes euclidianas realizadas, mostre ent~ao que n = r1 + r2 ¢ 2! + r3 ¢ 3! + ¢ ¢ ¢ + rm ¢ m! (c) Mostre que a escolha dos coe¯cientes a0; : : : ; am, na expans~ao de Cantor de um inteiro positivo, ¶e ¶unica. Sugest~ao. Suponha que um inteiro positivo a tenha duas expans~oes de Cantor distintas, digamos a = nX k=1 ak ¢ k! = mX k=1 bk ¢ k!. Podemos escrever a = sX k=1 ak ¢k! = sX k=1 bk ¢k!, completando com coe¯cientes nulos o somat¶orio que tiver menos termos. Sendo diferentes as duas expans~oes, existir¶a um ¶³ndice `, o maior poss¶³vel, tal que a` 6= b`. Teremos ent~ao sX k=1 ak ¢ k! ¡ sX k=1 bk ¢ k! = `X k=1 ak ¢ k! ¡ `X k=1 bk ¢ k! = 0. Da¶³, (a` ¡ b`)`! = (b`¡1 ¡ a`¡1)(` ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + (b2 ¡ a2)2! + (b1 ¡ a1). Explique ent~ao porqu^e ja` ¡ b`j`! · (` ¡ 1)(` ¡ 1)! + ¢ ¢ ¢ + 2 ¢ 2! + 1! e, fazendo uso da f¶ormula apresentada no exerc¶³cio 2f, p¶agina 16, cap¶³tulo 1, mostre que a` = b`. 16. O Jogo chin^es NIM ¶e jogado em duplas como segue. Inicialmente v¶arios palitos est~ao dispostos em v¶arias ¯leiras. Cada movimento consiste em retirar um ou mais palitos de apenas uma das ¯leiras. Vence o jogo aquele que retirar o ¶ultimo palito em sua jogada. Uma posi»c~ao ganhadora ¶e uma con¯gura»c~ao de palitos tal que, se voc^e deix¶a-la para seu oponente, voc^e poder¶a continuar jogando de
  11. 11. Representac»~ao posicional de inteiros 37 modo a ganhar, n~ao importa quais sejam as futuras jogadas de seu oponente. Por exemplo, se voc^e deixar somente dois palitos, cada um em uma ¯leira, voc^e est¶a em uma posi»c~ao ganhadora, pois seu oponente ir¶a tirar um dos palitos e voc^e ir¶a tirar o ¶ultimo palito. (a) Mostre que a con¯gura»c~ao de duas ¯leiras, com dois palitos cada, ¶e uma posi»c~ao ganhadora. (b) Para cada arranjo de palitos em ¯leiras, podemos escrever o n¶umero de palitos em cada ¯leira no sistema bin¶ario, e dispor esses n¶umeros em uma coluna, alinhando seus d¶³gitos em colunas, acrescentando zeros quando necess¶ario. Por exemplo, se a con¯gura»c~ao de palitos ¶e de tr^es ¯leiras, sendo elas de 10, 8 e 3 palitos, escrevemos 10 = 1 0 1 0 8 = 1 0 0 0 7 = 0 1 1 1 Mostre que uma posi»c~ao ¶e ganhadora se o n¶umero de 1's em cada coluna ¶e par, e ¶e perdedora se o n¶umero de 1's em alguma das colunas ¶e impar. Por exemplo, se tivermos tr^es ¯leiras com 10, 8 e 7 palitos, como acima, temos uma posi»c~ao perdedora. Sugest~ao. Mostre que (a) a retirada de palitos, de qualquer ¯leira, a partir de uma posi»c~ao ganha- dora, produz uma posi»c~ao perdedora; (b) a partir de uma posi»c~ao perdedora, existe uma retirada de palitos, de uma das ¯leiras, que produz uma posi»cao ganhadora. Considere a ¯leira com maior n¶umero de palitos. Mostre que ¶e poss¶³vel subtrair um n¶umero de palitos dessa ¯leira de modo a alterar d¶³gitos previamente escolhidos (transformando os 0's escolhidos em 1's e vice-versa).

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