Intro teoria dos numerros cap3

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Intro teoria dos numerros cap3

  1. 1. 3 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 3.1 Divisibilidade Em nossa educa»c~ao b¶asica, aprendemos que quando um n¶umero inteiro ¶e dividido por um n¶umero inteiro n~ao nulo, o quociente pode ou n~ao ser um n¶umero inteiro. Esta observa»c~ao nos leva µa seguinte de¯ni»c~ao. De¯ni»c~ao 3.1 Um inteiro a divide um inteiro b quando existe um n¶umero inteiro m tal que b = a ¢ m. Quando a 6= 0 (e somente neste caso), dizemos tamb¶em que b ¶e divis¶³vel por a. Neste caso, o inteiro m ¶e chamado quociente de b por a e ¶e indicado por m = b a . Quando a divide b denotamos a j b e dizemos tamb¶em que a ¶e um divisor de b ou que a ¶e um fator de b ou ainda que b ¶e um m¶ultiplo de a. No caso em que a 6= 0, dizemos ainda que b ¶e divis¶³vel por a. Quando a n~ao divide b escrevemos a6j b. N~ao escreva a= b e nem an b para denotar que a divide b. A nota»c~ao correta ¶e a j b. Exemplo 3.1 7 divide 161 j¶a que existe um inteiro, 23, tal que 161 = 7 ¢ 23. Os divisores de 12 s~ao 1, 2, 3, 4, 6, 12, ¡1, ¡2, ¡3 ¡4, ¡6, e ¡12. J¶a os divisores de 23 s~ao 1, 23, ¡1 e ¡23. 20
  2. 2. Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 21 Proposi»c~ao 3.1 Se a, b e c s~ao inteiros, tais que a j b e b j c, ent~ao a j c. Demonstra»c~ao. Como a j b e b j c, existem inteiros m e n tais que b = am e c = bn. Logo, c = (am)n = a(mn), e portanto a j c. Proposi»c~ao 3.2 Se a, b, c, m e n s~ao inteiros, tais que a j b e a j c, ent~ao a j (mb+nc). Demonstra»c~ao. Como a j b e a j c existem inteiros e e f tais que b = ae e c = af. Logo mb + nc = m(ae) + n(af) = (me + nf)a. Portanto, a j (mb + nc). Para exempli¯car a proposi»c~ao acima, note que 3 j 21, 3 j 33 e, conseqÄuentemente, 3 j (5 ¢ 21 ¡ 3 ¢ 33), isto ¶e, 3 j 6. 3.2 O algoritmo da divis~ao em Z Teorema 3.1 (Teorema do algoritmo da divis~ao em Z) Se a e b s~ao inteiros, e b 6= 0, ent~ao existem inteiros q e r tais que a = bq + r, e 0 · r < jbj. Os inteiros q e r, nas condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos. Os inteiros q e r s~ao chamados, respectivamente, de quociente e resto da divis~ao euclidiana de a por b. Demonstra»c~ao. Demonstraremos o teorema supondo b > 0 e deixaremos o caso b < 0 para ser completado pelo leitor. Pelo teorema 2.4, do algoritmo da divis~ao em N, cap¶³tulo 2, se a ¸ 0, existem n¶umeros naturais q e r satisfazendo a = bq + r e 0 · r < b. Se a < 0, ent~ao jaj > 0. Aplicando o teorema 2.4, existem naturais q e r satisfazendo jaj = bq + r; e 0 · r < b Como jaj = ¡a, temos ent~ao ¡a = bq + r, ou seja, a = b(¡q) + (¡r). Se r = 0, temos a = b(¡q) + 0, sendo ent~ao ¡q e 0 o quociente e o resto da divis~ao de a por b, respectivamente. Se r > 0, temos a = b(¡q) + (¡r) = b(¡q) ¡ b + b ¡ r, logo = b(¡q ¡ 1) + (b ¡ r) Como 0 < r < b, temos ¡b < ¡r < 0 e ent~ao, somando b aos tr^es membros desta ¶ultima desigualdade, 0 < b ¡ r < b. Fazendo q0 = ¡q ¡ 1, e r0 = b ¡ r, temos a = bq0 + r0 , com 0 < r0 < b. No caso em que b < 0, fazendo a divis~ao euclidiana de a por jbj, obtemos quociente e resto da divis~ao de a por b.
  3. 3. Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 22 Para demonstrar a unicidade do quociente q e do resto r, suponhamos que seja poss¶³vel fazer a = bq1 + r1 = bq2 + r2 com q1; q2; r1 e r2 inteiros, 0 · r1 < b e 0 · r2 < b. Mostraremos que necessariamente q1 = q2 e r1 = r2. A partir da igualdade bq1 + r1 = bq2 + r2, obtemos 0 = b(q1 ¡ q2) + (r1 ¡ r2) ou, equivalentemente, (r2 ¡ r1) = b(q1 ¡ q2). Logo b divide r2 ¡ r1. Por outro lado, como 0 · r1 < b e 0 · r2 < b segue que ¡b < r2 ¡ r1 < b, e portanto jr2 ¡ r1j < b. Como b divide jr2 ¡ r1j < b (pois divide r2 ¡ r1), temos necessariamente (justi¯que) r2 ¡ r1 = 0 e, conseqÄuentemente, q1 ¡ q2 = 0. Segue portanto a unicidade q1 = q2 e r1 = r2. Observa»c~ao 3.1 Fixado um inteiro positivo d, em v¶arias inst^ancias, na teoria do n¶umeros, classi¯camos os n¶umeros inteiros pelos restos da divis~ao por d. Por exemplo, se d = 2 ent~ao o resto da divis~ao de qualquer inteiro n por 2 satisfaz 0 · r < 2, isto ¶e, r = 0 ou r = 1. No primeiro caso, n = 2q, dizemos que n ¶e um inteiro par, e no segundo caso, n = 2q + 1, dizemos que n ¶e um inteiro ¶³mpar. De forma an¶aloga, se d = 4 temos 0 · r < 4. Conclu¶³mos ent~ao que cada inteiro n tem uma e apenas uma das formas: n = 4q, n = 4q + 1, n = 4q + 2, n = 4q + 3 (com q 2 Z) Assim, o conjunto Z, dos n¶umeros inteiros, ¯ca subdividido em quatro classes de inteiros, cada uma das classes contendo todos os inteiros que deixam um mesmo resto quando divididos por 4. 3.3 Divis~ao euclidiana na calculadora Nesta se»c~ao, assumiremos familiaridade com os n¶umeros reais, e exploraremos um m¶etodo simples para obter quociente e resto, de uma divis~ao euclidiana em Z, usando uma cal- culadora comum. De¯ni»c~ao 3.2 (Fun»c~ao maior inteiro) Para cada x 2 R, de¯ne-se o maior inteiro contido em x, como sendo o n¶umero [x] 2 Z tal que x = [x] + ¸, sendo ¸ real, 0 · ¸ < 1. Exemplo 3.2 [8=3] = 2, pois 8=3 = 2 + 2=3; [¼] = 3, pois ¼ = 3 + ®, sendo ® ¼ 0; 14. [¡1;5] = ¡2, pois ¡1;5 = ¡2 + 0;5.
  4. 4. Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 23 Lema 3.1 Para cada x 2 R, x ¡ 1 < [x] · x. Demonstra»c~ao. Seja x um n¶umero real. Ent~ao x = [x] + ®, com [x] 2 Z e 0 · ® < 1. Da¶³ temos [x] · [x] + ® = x. Agora, x ¡ 1 = [x] + (® ¡ 1). Como 0 · ® < 1, temos ¡1 · ® ¡ 1 < 0 e ent~ao [x] + (® ¡ 1) < [x]. Portanto, x ¡ 1 < [x]. Assim, x ¡ 1 < [x] · x. Proposi»c~ao 3.3 (Obtendo quociente e resto em uma calculadora) Sejam a e b inteiros, com b > 0. Consideremos o n¶umero racional a b . Ent~ao o quociente q e o resto r, da divis~ao euclidiana de a por b, s~ao dados por q = ha b i e r = b ¢ ³a b ¡ ha b i´ Demonstra»c~ao. Tomemos q = ha b i e r = b ¢ ³a b ¡ ha b i´ . Temos ent~ao a = bq + r, sendo q = [a b ] e r = a ¡ b[a b ] = a ¡ bq ambos inteiros. Basta veri¯car agora que 0 · r < b. Pelo lema 3.1 temos a b ¡ 1 < £a b ¤ · a b , isto ¶e, a b ¡ 1 < q · a b . Sendo b > 0, temos ent~ao a ¡ b < bq · a, de onde ¡a · ¡bq < b ¡ a, e ent~ao 0 · a ¡ bq < b. Exemplo 3.3 Como exemplo, ao dividir 26795 por 125, em uma calculadora obtemos 26795=125 = 214;36, portanto q = [214;36] = 214 e r = (214;36 ¡ 214) ¢ 125 = 0;36 ¢ 125 = 45. Se a = 536 e b = 18 ent~ao q = [536=18] = 29 e r = 536 ¡ [536=18] ¢ 18 = 536 ¡ 29 ¢ 18 = 14. Se a = ¡380 e b = 75 ent~ao q = [¡380=75] = ¡6 e r = ¡380¡[¡380=75]¢75 = ¡380 ¡ (¡6) ¢ 75 = 70. Este algoritmo funciona bem em calculadoras eletr^onicas, desde que os inteiros envolvidos n~ao sejam muito grandes, por causa de limita»c~oes de mem¶oria. Sabemos que r = (a b ¡[a b ])¢b ¶e um inteiro. Se aparecer, no visor de sua calculadora, um resultado para r tal como 6; 9999998, simplesmente arredonde-o para 7.
  5. 5. Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 24 3.4 Exerc¶³cios 1. De acordo com a de¯ni»c~ao 3.1, podemos dizer que 0 divide 0? (N~ao se apresse em dar a resposta. Pense: 0 ¶e fator de 0?) Podemos dizer que 0 ¶e divis¶³vel por 0? 2. Mostre que 1260 ¶e divis¶³vel por 7, por 5 e por 9. 3. Encontre o quociente e o resto da divis~ao por 17, sendo o dividendo (a) 100 (b) 289 (c) ¡44 (d) ¡100 Respostas. (a) q = 5, r = 15. (b) q = 17, r = 0. (c) q = ¡3, r = 7. (d) q = ¡6, r = 2. 4. Use uma calculadora, para obter quociente e resto da divis~ao, por 2135, sendo o dividendo (a) 823 546 (b) 256 459 568 Respostas. (a) q = 385, r = 1571. (b) q = 120 121, r = 1233. 5. Sendo a e b inteiros, demonstre que a j b e b j a , a = §b. 6. Mostre que sendo a, b, c e d inteiros, se a j b e c j d ent~ao ac j bd. 7. Existem inteiros a, b e c tais que a j bc mas a6j b e a6j c ? 8. Mostre que a soma de dois inteiros pares ¶e sempre par, que a soma de dois inteiros ¶³mpares ¶e sempre par, e que a soma de um inteiro par com um inteiro ¶³mpar ¶e sempre ¶³mpar. 9. Mostre que se a ¶e um inteiro ent~ao a3 ¡ a ¶e divis¶³vel por 6. Sugest~ao. Pelo teorema 3.1, a = 6q + r, com r 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5g. 10. Mostre que o quadrado de um inteiro ¶³mpar ¶e da forma 8k + 1, com k inteiro. 11. Mostre que o produto de dois inteiros da forma 6k + 5 ¶e um inteiro da forma 6k + 1. Sugest~ao. Os dois inteiros tem a forma 6k1 + 5 e 6k2 + 5, para certos inteiros k1 e k2. 12. Mostre que o cubo de um inteiro ¶e de uma das formas: 9k, 9k ¡ 1, 9k + 1, com k inteiro. Sugest~ao. Pelo algoritmo da divis~ao por 3, todo inteiro n tem a forma 3q + r, sendo r 2 f0; 1; 2g. 13. Seja fn o n-¶esimo n¶umero de Fibonacci. Recorde-se de que f1 = f2 = 1, e fn = fn¡1 + fn¡2 para cada n ¸ 3. (a) Mostre que fn ¶e par , n ¶e divis¶³vel por 3. Sugest~ao. Mostre, por indu»c~ao sobre k, que para cada inteiro k ¸ 0, f3k ¶e par, enquanto que f3k+1 e f3k+2 s~ao ¶³mpares (podemos considerar f0 = 0).
  6. 6. Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 25 (b) Mostre que fn ¶e divis¶³vel por 3 , n ¶e divis¶³vel por 4. (c) Mostre que fn+m = fnfm¡1 + fn+1fm se m ¸ 2 e n ¸ 1. Sugest~ao. Mostre que, para cada n ¸ 1, a igualdade ¶e valida para m = 2 e para m = 3. Demonstre ent~ao a igualdade, para cada n, por indu»c~ao sobre m, pelo 2o princ¶³pio de indu»c~ao. (d) Usando o resultado do item anterior, mostre que se n j m ent~ao fn j fm. Sugest~ao. Mostre, por indu»c~ao sobre k, k ¸ 1, que fkn ¶e divis¶³vel por fn. 14. Sejam a; b; c; d quatro inteiros com a e c n~ao nulos. Mostre que se a j b e c j d ent~ao ac j bd. 15. Existem inteiros a; b; c tais que a j bc mas a6j b e a6j c ? 16. Sejam a; b; c tr^es inteiros com c 6= 0. Mostre que a j b se e somente se ac j bc. 17. Sejam a e b dois inteiros tais que a j b. Mostre que a · jbj. 18. Complete a demonstra»c~ao do teorema 3.1, com o caso em que b < 0. 19. Demonstre que (a) Se x e y s~ao dois n¶umeros reais ent~ao [x + y] ¸ [x] + [y]. Sugest~ao. Considere que [x] = a , x = a + ®, sendo a inteiro e ® um n¶umero real satisfazendo 0 < ® < 1. (b) Se x ¶e um n¶umero real, e x 6= n + 1 2 para todo inteiro n, ent~ao £ x + 1 2 ¤ ¶e o inteiro mais pr¶oximo de x. Sugest~ao. Quando x 6= n + 1 2 para todo inteiro n, o inteiro m mais pr¶oximo de x ¶e aquele satisfazendo x = m + ®, com ¡1 2 < ® < 1 2 . (c) Se x = n + 1 2 , para algum inteiro n, ent~ao n e n + 1 s~ao eqÄuidistantes de x, sendo os inteiros mais pr¶oximos de x. 20. (a) Mostre que, se x e d s~ao inteiros positivos, o n¶umero de inteiros positivos, menores do que ou iguais a x, que s~ao divis¶³veis por d, ¶e calculado por £x d ¤ . Sugest~ao. Os inteiros positivos m¶ultiplos de d s~ao d, 2d, 3d, etc. Existe um ¶unico inteiro positivo n satisfazendo nd · x e (n + 1)d > x. (b) Calcule o n¶umero de inteiros positivos que n~ao excedem 1000 e que s~ao divis¶³veis por 5, por 25, por 125 e por 625. (c) Quantos inteiros entre 100 e 1000 s~ao divis¶³veis por 7 ? E por 49 ? 21. Seja T(n) uma fun»c~ao com dom¶³nio nos inteiros positivos de¯nida por T(n) = ( n 2 se n ¶e par 3n+1 2 se n ¶e ¶³mpar
  7. 7. Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 26 Iterando a fun»c~ao T podemos construir, a partir de um inteiro positivo n ¯xado, uma seqÄu^encia de inteiros conforme mostra o quadro abaixo: n n; T(n); T(T(n)); T(T(T(n))); T4 (n); T5 (n); : : : 1 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; : : : 2 2; 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; : : : 3 3; 5; 8; 4; 2; 1; 2; 1; : : : 4 4; 2; 1; 2; 1; 2; 1; : : : 5 5; 8; 4; 2; 1; 2; 1; : : : 6 6; 3; 5; 8; 4; 2; 1; 2; 1; : : : 7 7; 11; 17; 26; 13; 20; 10; 5; 8; 4; 2; 1; 2; 1; : : : ... ... Uma conjectura muito conhecida, as vezes chamada de Conjectura de Collatz, a¯rma que a seqÄu^encia obtida pelas itera»c~oes de T sempre recaem na repeti»c~ao 1; 2; 1; 2; 1; : : : , independentemente do valor do inteiro inicial n. (a) Encontre a seqÄu^encia obtida pelas itera»c~oes de T, come»cando com n = 29. (b) Mostre que se k ¸ 2 ¶e um inteiro, (22k ¡ 1)=3 ¶e sempre um inteiro ¶³mpar. (c) Mostre que a seqÄu^encia obtida pelas itera»c~oes de T, come»cando com n = (22k ¡ 1)=3, sendo k ¸ 2 um inteiro, sempre recai em 1, 2, 1, 2, 1, : : : .

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