Intro teoria dos números

1. 2
Indu»c~ao ¯nita e suas aplica»c~oes
2.1 Indu»c~ao ¯nita
Muitos teoremas que se referem a n¶umeros inteiros tem um formato do tipo Para cada
inteiro n, a partir de um certo inteiro n0, vale a propriedade...".
Um m¶etodo freqÄuentemente usado para demonstrar esses teoremas ¶e o da demons-
tra»c~ao por indu»c~ao sobre n. Tal m¶etodo ¶e validado pelos princ¶³pios de indu»c~ao matem¶a-
tica, ou de indu»c~ao ¯nita.
O primeiro princ¶³pio de indu»c~ao matem¶atica ¶e baseado no seguinte teorema, que
¶e uma propriedade bastante intuitiva, quase um axioma. Como veremos, este teorema
¶e uma conseqÄu^encia do princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos.
Teorema 2.1 Seja S um conjunto de inteiros positivos, satisfazendo as seguintes pro-
priedades:
1. 1 2 S
2. Para cada inteiro positivo k, se k 2 S, tem-se tamb¶em k + 1 2 S (ou seja,
k 2 S ) k + 1 2 S).
Ent~ao S ¶e o conjunto Z¤
+ de todos os inteiros positivos.
Demonstra»c~ao. Suponhamos que o conjunto S satisfaz as hip¶oteses 1 e 2, mas n~ao
cont¶em todos os inteiros positivos.
Pelo princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos, como existem inteiros posi-
tivos que n~ao pertencem a S, existe ent~ao o menor inteiro positivo s tal que s 62 S.
Temos ent~ao s > 1, pois 1 2 S.
Da¶³, s ¡ 1 ¸ 1 e s ¡ 1 2 S, visto que s ¶e o menor dos inteiros positivos n
satisfazendo n 62 S.
8

2. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 9
Agora, s ¡ 1 2 S ) s = (s ¡ 1) + 1 2 S, pela hip¶otese 2 sobre S. Temos ent~ao
uma contradi»c~ao: s 62 S e s 2 S.
Assim, se existe um inteiro positivo n, n 62 S, deduzimos uma contradi»c~ao. Logo,
S cont¶em todos os inteiros positivos.
Podemos adaptar a demonstra»c~ao acima e demonstrar o seguinte teorema, mais
geral.
Teorema 2.2 Sejam n0 um inteiro (positivo ou n~ao) e S um conjunto de inteiros,
satisfazendo as seguintes propriedades:
1. n0 2 S;
2. Cada elemento x de S satisfaz x ¸ n0;
3. Para cada inteiro k, se k 2 S ent~ao k + 1 2 S.
Ent~ao, S ¶e o conjunto de todos os inteiros n satisfazendo n ¸ n0.
Demonstra»c~ao. Esta demonstra»c~ao ¶e deixada como exerc¶³cio.
Considere A = fm 2 Z j m = n ¡ n0 + 1; n 2 Sg. Mostre que A ½ Z¤
+. Mostre
ent~ao que 1 2 A, e que se k 2 A, ent~ao k + 1 2 A. Aplique o teorema 2.1 e conclua
sua demonstra»c~ao.
Os resultados acima nos prov^eem um teorema utilizado para demonstrar teoremas
sobre n¶umeros inteiros, quando eles enunciam propriedades que se aplicam a todos os
inteiros a partir de um certo inteiro n0. Esse teorema ¶e o primeiro princ¶³pio de indu»c~ao
¯nita e consiste no seguinte:
Teorema 2.3 (Primeiro Princ¶³pio de Indu»c~ao Finita) Seja n0 um n¶umero inteiro e
suponhamos que a cada inteiro n, n ¸ n0, est¶a associada uma a¯rma»c~ao A(n), a qual,
dependendo de n, pode ser verdadeira ou falsa. Suponhamos que as condi»c~oes 1 e 2
abaixo sejam veri¯cadas:
1. A a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira quando n = n0;
2. Para cada k ¸ n0, quando A(k) ¶e verdadeira, A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira (ou
seja, A(k) verdadeira ) A(k + 1) verdadeira).
Ent~ao a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para todo n ¸ n0.
Demonstra»c~ao. Considere o conjunto de inteiros,
S = fn 2 Z j n ¸ n0 e A(n) ¶e verdadeirag
Ent~ao temos:

3. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 10
1. n0 2 S pois, por hip¶otese, A(n0) ¶e verdadeira;
2. n ¸ n0 para cada n 2 S;
3. Para cada inteiro positivo k, se k 2 S, ent~ao A(k) ¶e verdadeira, e ent~ao, pelo
item 2 da hip¶otese, A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira.
Portanto, k 2 S ) k + 1 2 S.
Pelo teorema 2.2, S ¶e o conjunto de todos os inteiros satisfazendo n ¸ n0. Assim,
a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para todo n ¸ n0.
Damos a seguir alguns exemplos de resultados (teoremas) que podem ser demons-
trados mediante aplica»c~ao do primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita.
Exemplo 2.1 Muitas vezes, ap¶os um pouco de experimenta»c~ao com n¶umeros, notamos
um padr~ao de comportamento, tal como no seguinte exemplo.
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
Feitas as contas acima, podemos naturalmente suspeitar que a soma dos n primeiros
n¶umeros¶³mpares positivos ¶e igual a n2
. A con¯rma»c~ao disto vir¶a na forma de um teorema
que podemos demonstrar usando o primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita.
Pequeno teorema.
nX
j=1
(2j ¡ 1) = 1 + 3 + 5 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) = n2
.
Demonstra»c~ao. Faremos a demonstra»c~ao disto, por indu»c~ao sobre n.
Aqui, a a¯rma»c~ao A(n), do enunciado do teorema 2.3, que queremos demonstrar
ser verdadeira para todo inteiro n ¸ 1, ¶e a seguinte:
nX
j=1
(2j ¡ 1) = 1 + 3 + 5 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) = n2
Veri¯camos (facilmente) que a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira quando n = 1:
1X
j=1
(2j ¡ 1) = 1 = 12
.
Supomos ent~ao que a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para n = k, isto ¶e, supomos
que
kX
j=1
(2j ¡ 1) = 1 + 3 + ¢ ¢ ¢ (2k ¡ 1) = k2
. Esta ¶e a nossa hip¶otese de indu»c~ao.

4. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 11
Assumindo a hip¶otese de indu»c~ao, demonstramos que ent~ao a mesma propriedade
¶e v¶alida para n = k + 1:
Vejamos:
k+1X
j=1
(2j ¡ 1) = 1 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (2k ¡ 1) + (2(k + 1) ¡ 1)
= 1 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (2k ¡ 1)
| {z }
=k2
+(2k + 1) (hip¶otese de indu»c~ao)
= k2
+ 2k + 1
= (k + 1)2
e portanto, assumindo a hip¶otese de indu»c~ao, deduzimos que
k+1X
j=1
(2j ¡ 1) = (k + 1)2
.
Assim, pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, temos que
1 + 3 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1) = n2
, para todo inteiro positivo n.
Exemplo 2.2 (2o
Pequeno teorema) Para cada inteiro n, n ¸ 0, o inteiro 9n
¡ 1 ¶e
divis¶³vel por 8, ou seja (9n
¡ 1)=8 ¶e um n¶umero inteiro.
Demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre n".
Agora a a¯rma»c~ao A(n) do enunciado do teorema 2.3, que queremos demonstrar
ser verdadeira para todo inteiro n ¸ 0, ¶e a seguinte:
A(n) : 9n
¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8"
A demonstra»c~ao de que vale a propriedade A(n) para cada n ¸ 0, por indu»c~ao
sobre n, consiste em veri¯car a validade de A(n) em apenas duas inst^ancias, realizando
duas veri¯ca»c~oes" (da¶³ o nome indu»c~ao ¯nita"), a saber,
² veri¯camos a validade da a¯rma»c~ao A(n) para n = 0;
² considerando um inteiro k qualquer, k ¸ 0, supomos que a a¯rma»c~ao A(n) j¶a
esteja valendo para n = k (esta suposi»c~ao ¶e chamada hip¶otese de indu»c~ao) e, a
partir disto, deduzimos (demonstramos) que a¯rma»c~ao A(n) tamb¶em vale para
n = k + 1.
Se n = 0, A(n) ou A(0) ¶e a a¯rma»c~ao 90
¡1 ¶e divis¶³vel por 8", que ¶e verdadeira,
pois 90
¡ 1 = 0.
Seja ent~ao k um inteiro, k ¸ 0, e admitamos a hip¶otese de indu»c~ao, de que A(k) ¶e
verdadeira, ou seja, de que 9k
¡1 ¶e divis¶³vel por 8. Demonstraremos que ent~ao 9k+1
¡ 1
tamb¶em ¶e divis¶³vel por 8.

5. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 12
Por hip¶otese de indu»c~ao, 9k¡1
8
= a, para algum inteiro a. Da¶³ 9k
= 8a + 1.
Como conseqÄu^encia temos ent~ao
9k+1
¡ 1 = 9k
¢ 9 ¡ 1
= (8a + 1) ¢ 9 ¡ 1 (hip¶otese de indu»c~ao)
= 72a + 9 ¡ 1
= 72a + 8
= 8(9a + 1)
e portanto 9k+1¡1
8
= 9a+1, ou seja, 9k+1
¡1 ¶e um m¶ultiplo inteiro de 8, isto ¶e, tamb¶em
¶e divis¶³vel por 8.
Demonstramos portanto que a hip¶otese de indu»c~ao, isto ¶e, a validade da a¯rma»c~ao
A(k), implica na validade da a¯rma»c~ao A(k + 1).
Sendo assim, demonstramos, pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, que A(n)
¶e v¶alida para cada n ¸ 0, ou seja, que 9n
¡ 1 ¶e divis¶³vel por 8 para cada n ¸ 0.
2.1.1 Divis~ao euclidiana em N
Um n¶umero natural ¶e um inteiro n~ao negativo. O conjunto dos n¶umeros naturais ¶e
denotado por N. Assim,
N = fn 2 Z j n ¸ 0g
Um importante resultado da aritm¶etica dos inteiros, e que pode ser demonstrado
por indu»c~ao ¯nita, ¶e o seguinte teorema.
Teorema 2.4 (Teorema do algoritmo da divis~ao euclidiana em N) Para cada
n¶umero natural n, e cada inteiro positivo d, existem n¶umeros naturais q (quociente) e r
(resto) satisfazendo:
n = d ¢ q + r e 0 · r < d:
Al¶em disso, os naturais q e r, satisfazendo as condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos.
Demonstra»c~ao da exist^encia dos naturais q e r, por indu»c~ao sobre n.
Mostraremos que, ¯xado um inteiro positivo d, para cada n¶umero natural n, exis-
tem q e r nas condi»c~oes enunciadas.
Se n = 0, basta tomar q = r = 0.
Seja k um n¶umero natural e suponhamos que existem q e r satisfazendo
k = dq + r e 0 · r < d:

6. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 13
Ent~ao k + 1 = dq + (r + 1).
Como 0 · r < d, temos r +1 < d+1, ou seja, r +1 · d. Se r+1 < d, tomamos
q0
= q e r0
= r + 1 e teremos k + 1 = dq0
+ r0
, com 0 · r0
< d.
Se r + 1 = d, ent~ao k + 1 = dq + d = d(q + 1) = dq00
+ r00
, onde q00
= q + 1 e
r00
= 0.
Portanto, pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, para cada n 2 N , existem q e
r satifazendo n = dq + r, com 0 · r < d.
Demonstra»c~ao da unicidade de q e r:
Suponhamos que existem naturais q1; q2; r1 e r2 tais que
n = q1d + r1 = q2d + r2
e 0 · r1 < d, 0 · r2 < d.
Ent~ao (q1 ¡ q2)d = r2 ¡ r1. Da¶³, jq1 ¡ q2jjdj = jr2 ¡ r1j.
Agora, como 0 · r1 < d e 0 · r2 < d, temos ent~ao 0 · jr2 ¡ r1j < d (justi¯que
esta passagem). Logo, jq1 ¡q2jjdj < jdj, e ent~ao jq1 ¡q2j < 1. Sendo 0 · jq1 ¡q2j < 1,
como n~ao existem inteiros x com 0 < x < 1, temos necessariamente jq1 ¡ q2j = 0, ou
seja, q1 = q2 e, por conseguinte, r1 = r2.
Logo, o quociente e o resto, em uma divis~ao euclidiana, s~ao determinados de
maneira ¶unica.
Observa»c~ao 2.1 (Uma nota»c~ao para o algoritmo da divis~ao.) Se n e d s~ao n¶ume-
ros naturais, com d 6= 0, e se q e r s~ao n¶umeros naturais como no teorema 2.4, denotamos
simbolicamente:
n d
r q
Neste caso, nessa divis~ao euclidiana de n por d, n ¶e o dividendo, d ¶e o divisor, q
¶e o quociente e r ¶e o resto.
Assim, por exemplo, escrevemos
59 7
3 8
para indicar que, na divis~ao euclidiana de 59 por 7, o quociente ¶e 8 e o resto ¶e 3.
O leitor poder¶a veri¯car facilmente, atrav¶es de alguns poucos exemplos, que o
teorema 2.4 n~ao ¶e v¶alido se d = 0.
Um pouco mais adiante, enunciaremos e demonstraremos um teorema do algoritmo
da divis~ao na sua vers~ao mais geral para inteiros, n~ao necessariamente naturais.

7. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 14
2.1.2 O segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita
Uma segunda forma de demonstra»c~ao por indu»c~ao, algumas vezes utilizada, ¶e estabele-
cida pelo seguinte teorema:
Teorema 2.5 (Segundo Princ¶³pio de Indu»c~ao Finita.) Seja n0 um n¶umero inteiro
e suponhamos que a cada inteiro n, n ¸ n0, est¶a associada uma a¯rma»c~ao A(n), a
qual, dependendo de n, pode ser verdadeira ou falsa. Suponhamos que as condi»c~oes 1
e 2 abaixo sejam veri¯cadas:
1. A a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para n = n0;
2. Para cada inteiro k ¸ n0, se A(n) ¶e verdadeira para cada inteiro n tal que
n0 · n · k, ent~ao A(k + 1) ¶e tamb¶em verdadeira (ou seja, A(n) verdadeira para
n = n0; n0 + 1; : : : ; k ) A(k + 1) verdadeira)
Ent~ao a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para cada n ¸ n0.
Observa»c~ao 2.2 O que difere o segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita do primeiro ¶e a
forma como ¶e formulada a hip¶otese de indu»c~ao. Na hip¶otese de indu»c~ao do primeiro
princ¶³pio, supomos que a a¯rma»c~ao A(n) ¶e verdadeira para n = k somente, enquanto
que, na hip¶otese do segundo, supomos A(n) v¶alida para cada n desde n0 at¶e k, ou seja,
para n0 · n · k. Em ambos os princ¶³pios, devemos demonstrar que a hip¶otese de
indu»c~ao acarreta a validade de A(n) para n = k + 1.
Um teorema cuja demonstra»c~ao pode ser feita pelo segundo princ¶³pio de indu»c~ao
¶e o seguinte
Teorema 2.6 (Representa»c~ao decimal de n¶umeros naturais) Para cada inteiro
n ¸ 1, existem n¶umeros naturais a0; : : : ; as, (s ¸ 0), com os algarismos" a0, : : : , as,
tomados no conjunto f0; 1; 2; : : : ; 9g, e as 6= 0, tais que
n =
sX
i=0
ai ¢ 10i
= as10s
+ ¢ ¢ ¢ + a0100
Observa»c~ao 2.3 Ilustrando o teorema acima com um exemplo, quando escrevemos,
por exemplo, 50 237, queremos dizer 5 ¢ 104
+ 0 ¢ 103
+ 2 ¢ 102
+ 3 ¢ 101
+ 7 ¢ 100
.
Demonstra»c~ao do teorema 2.6.
Se n = 1, podemos tomar n = a0 = 1.

8. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 15
Seja k ¸ 1 um inteiro e suponhamos que o resultado do teorema seja verdadeiro
para cada inteiro n, com 1 · n · k. Mostraremos que isto acarreta a validade da
mesma propriedade para n = k + 1.
Com efeito, realizando a divis~ao euclidiana de k + 1 por 10,
k + 1 10
r q
obtemos um quociente q 2 N e um resto r 2 N, satisfazendo k + 1 = 10q + r, com
0 · r < 10, conforme o teorema 2.4.
Se q = 0, ent~ao k + 1 = r = a0, com a0 2 f0; 1; 2; : : : ; 9g.
Se q > 0, ent~ao q · k, pois se q > k, ent~ao k + 1 = 10q + r > 10k + r ¸ 10k, e
assim k + 1 > 10k e ent~ao 1 > 9k ¸ 9, o que ¶e imposs¶³vel.
Sendo ent~ao 1 · q · k, pela hip¶otese de indu»c~ao,
q = bt ¢ 10t
+ ¢ ¢ ¢ + b0 ¢ 100
para certos algarismos bt; : : : ; b0, todos em f0; 1; 2; : : : ; 9g.
Ent~ao,
k + 1 = 10q + r
= 10(bt ¢ 10t
+ ¢ ¢ ¢ + b0 ¢ 100
) + r
= bt ¢ 10t+1
+ ¢ ¢ ¢ + b0 ¢ 101
+ r
com bt; : : : ; b0 e r todos em f0; 1; 2; : : : ; 9g.
Logo, pelo segundo princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, a representa»c~ao decimal de n ¶e
poss¶³vel para cada inteiro n ¸ 1.
2.1.3 Exerc¶³cios
1. Sendo a1, a2, : : : , an uma sequ^encia de n n¶umeros reais, de¯ne-se
nX
k=1
ak = a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + an
como sendo o somat¶orio (ou soma) dos ak, para k de 1 at¶e n. Se m · n,
nX
k=m
ak = am + am+1 + ¢ ¢ ¢ + an.
Demonstre que, sendo a um n¶umero real, com a 6= 1,
nX
j=0
aj
=
an+1
¡ 1
a ¡ 1
Usando esta f¶ormula, calcule as seguintes somas.

9. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 16
(a) 1 ¡ 2 + 22
¡ 23
+ ¢ ¢ ¢ + 2100
(b) 3 + 3 ¢ 52
+ 3 ¢ 54
+ 3 ¢ 56
+ ¢ ¢ ¢ + 3 ¢ 51000
(c) 73
¢ 112
+ 75
¢ 116
+ 77
¢ 1110
+ ¢ ¢ ¢ + 799
¢ 11194
(d) 1 + 1
2
+ 1
22 + 1
23 + ¢ ¢ ¢ + 1
2100
Sugest~ao. Em todas as somas, coloque o primeiro termo em evid^encia.
2. Use indu»c~ao ¯nita para demonstrar que
(a)
nP
j=1
j = 1 + 2 + ¢ ¢ ¢ + n = n(n+1)
2
, para todo inteiro n ¸ 1.
(b)
nP
j=1
j2
= 12
+ 22
+ ¢ ¢ ¢ + n2
= n(n+1)(2n+1)
6
, para todo inteiro n ¸ 1.
(c)
nP
j=1
j3
= 13
+ 23
+ ¢ ¢ ¢ + n3
=
h
n(n+1)
2
i2
, para todo inteiro n ¸ 1.
(d)
nP
k=1
1
k2 = 1
12 + 1
22 + ¢ ¢ ¢ + 1
n2 < 2 ¡ 1
n
, para todo inteiro n ¸ 2.
(e) Um conjunto com n elementos tem 2n
subconjuntos.
Sugest~ao. Considere An = fx1; x2; : : : ; xng. Mostre, por indu»c~ao sobre n,
que o n¶umero de subconjuntos de An ¶e 2n
. Ao fazer uso da hip¶otese de
indu»c~ao, use o fato de que An+1 = An [ fxn+1g. Ao contar os subconjuntos
de An+1, subdivida-os em subconjuntos que cont¶em xn+1 e subconjuntos que
n~ao cont¶em xn+1.
(f)
nP
j=1
j ¢ j! = 1 ¢ 1! + 2 ¢ 2! + ¢ ¢ ¢ + n ¢ n! = (n + 1)! ¡ 1
(g) Sendo Hn =
nP
j=1
1
j
= 1 + 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+ ¢ ¢ ¢ + 1
n
, tem-se H2n ¸ 1 + n
2
, para
cada inteiro n ¸ 1.
3. Conjeture uma f¶ormula para An
, sendo A =
¡1 1
0 1
¢
. Demonstre sua conjetura
usando indu»c~ao sobre n.
4. (a) Uma fun»c~ao f, de¯nida no conjunto N, satisfaz f(1) = 2 e f(n+1) = 2f(n),
para n ¸ 1. Que f¶ormula de¯ne f(n)? Demonstre sua a¯rma»c~ao usando
indu»c~ao ¯nita.
(b) De¯ne-se uma fun»c~ao f, recursivamente, pelas regras: f(1) = 1, f(2) = 5
e, para n ¸ 3, f(n) = f(n¡1)+2f(n¡2). Mostre que f(n) = 2n
+(¡1)n
,
para todo inteiro positivo n.
5. Nos itens abaixo, fn denota o n-¶esimo termo da seqÄu^encia de Fibonacci, de¯nida
recursivamente por f1 = f2 = 1, e fn = fn¡1 + fn¡2 para cada inteiro n ¸ 3.
Assim, os termos iniciais da seqÄu^encia de Fibonacci s~ao (con¯ra)
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; : : :

10. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 17
(a) Suponha que em 1o
de janeiro, um casal de coelhos ¶e deixado numa ilha.
Este casal leva dois meses para procriar, e em 1o
de mar»co d¶a µa luz um
novo casal de coelhos. Eles produzem continuadamente um novo par de
coelhos no primeiro dia de cada m^es subseqÄuente. Cada novo casal gerado
leva dois meses para tornar-se adulto e produz um novo casal no primeiro
dia do terceiro m^es de sua vida, bem como no primeiro dia de cada m^es
subseqÄuente. Mostre que o n¶umero de casais de coelhos presentes na ilha no
n-¶esimo m^es ¶e fn, o n-¶esimo termo da seqÄu^encia de Fibonacci.
(b) Veri¯que que fk = fk+2 ¡ fk+1 (isto n~ao requer mais que duas linhas), e
ent~ao calcule
Pn
j=1 fj = f1 + f2 + ¢ ¢ ¢ + fn.
(c) Mostre que sendo ® =
1 +
p
5
2
e ¯ =
1 ¡
p
5
2
, tem-se fn =
®n
¡ ¯n
p
5
, para
cada inteiro positivo n.
Sugest~ao. Chame an = (®n
¡ ¯n
)=
p
5. Mostre que a1 = a2 = 1, e que
an = an¡1 + an¡2, para cada inteiro n ¸ 3.
(d) De¯ne-se a seqÄu^encia generalizada de Fibonacci por g1 = a, g2 = b e,
para cada inteiro n ¸ 3, gn = gn¡1 + gn¡2. Mostre que, para n ¸ 3,
gn = afn¡2 + bfn¡1.
6. Sendo n e k inteiros positivos, com n ¸ k, denotamos por
¡n
k
¢
o n¶umero de
subconjuntos com k elementos, de um conjunto de n elementos.
¡n
k
¢
¶e tamb¶em
chamado o n¶umero de combina»c~oes de n objetos, tomados k a k, e tamb¶em recebe
o nome de n¶umero binomial n sobre k.
(a) Explique porque
¡n
0
¢
= 1.
(b) Demonstre a rela»c~ao de Stifel: para n ¸ k + 1 e k ¸ 0,
µ
n
k
¶
+
µ
n
k + 1
¶
=
µ
n + 1
k + 1
¶
Sugest~ao. Considere An+1 = fx1; x2; : : : ; xn; xn+1g, um conjunto de n + 1
elementos. Temos An+1 = An [ fxn+1g. Considere que os subconjuntos
de An+1, com k elementos, subdividem-se em dois tipos. Aqueles que n~ao
cont¶em xn+1 e aqueles que cont¶em xn+1.
(c) Demonstre, por indu»c~ao sobre n, que
µ
n
k
¶
=
n!
k!(n ¡ k)!
(O fatorial de um inteiro positivo n, ¶e o produto n! =
Qn
k=1 k = 1¢2¢¢ ¢ ¢ ¢n.
De¯ne-se tamb¶em 0! = 1. Assim, por exemplo, 1! = 1, 2! = 1 ¢ 2 = 2,
3! = 1 ¢ 2 ¢ 3 = 6, 4! = 24, 5! = 120.)
Sugest~ao. Use a rela»c~ao de Stifel, exerc¶³cio 6b acima.
(d) Demonstre, por indu»c~ao sobre n, que sendo a e b n¶umeros reais,

11. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 18
(a + b)n
=
nP
k=0
¡n
k
¢
an¡k
bk
=
an
+
¡n
1
¢
an¡1
b +
¡n
2
¢
an¡2
b2
+ ¢ ¢ ¢ +
¡ n
n¡2
¢
a2
bn¡2
+
¡ n
n¡1
¢
abn¡1
+ bn
Sugest~ao. Ao utilizar a hip¶otese de indu»c~ao, voc^e se deparar¶a com os
seguintes c¶alculos:
(a + b)n+1
= (a + b)n
¢ (a + b) =
à nX
k=0
µ
n
k
¶
an¡k
bk
!
¢ (a + b)
= an+1
+
nX
k=1
µ
n
k
¶
an+1¡k
bk
+
n¡1X
k=0
µ
n
k
¶
an¡k
bk+1
+ bn+1
Fa»ca ent~ao k = j + 1 no primeiro somat¶orio, obtendo, em seu lugar,
n¡1P
j=0
¡ n
j+1
¢
an¡j
bj+1
, e ent~ao
(a + b)n+1
= an+1
+
n¡1X
k=0
µ
n
k + 1
¶
an¡k
bk+1
+
n¡1X
k=0
µ
n
k
¶
an¡k
bk+1
+ bn+1
Agora, agrupe os dois somat¶orios centrais e use a rela»c~ao de Stifel, exerc¶³cio
6b acima.
7. Mostre que, sendo n um inteiro positivo,
(a)
¡n
0
¢
+
¡n
1
¢
+
¡n
2
¢
+ ¢ ¢ ¢ +
¡n
n
¢
= 2n
.
(b)
¡n
0
¢
¡
¡n
1
¢
+
¡n
2
¢
¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n
¡n
n
¢
= 0. Sugest~ao. Expanda (1 + (¡1))n
.
(c) Um conjunto ¯nito de n elementos tem 2n
subconjuntos (agora fa»ca uma
demonstra»c~ao direta, usando n¶umeros binomiais, sem usar indu»c~ao).
8. Sendo n um inteiro positivo, use os resultados do exerc¶³cio 7 para calcular
(a)
¡n
0
¢
+
¡n
2
¢
+
¡n
4
¢
+ ¢ ¢ ¢ (b)
¡n
1
¢
+
¡n
3
¢
+
¡n
5
¢
+ ¢ ¢ ¢
9. Sendo n e r inteiros, n ¸ r ¸ 1, mostre que
¡r
r
¢
+
¡r+1
r
¢
+ ¢ ¢ ¢ +
¡n
r
¢
=
¡n+1
r+1
¢
.
Sugest~ao. Indu»c~ao sobre n.
10. Utilizando o princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos, ou o teorema 2.1,
demonstre o teorema 2.2.
Sugest~ao. Desenvolva em detalhes o resumo da demonstra»c~ao, dado ap¶os o enun-
ciado do teorema.
11. Demonstre o teorema 2.5. Sugest~ao. Considere o conjunto S de todos os inteiros
k ¸ n0 tais que A(n) ¶e verdadeira para todo n satisfazendo n0 · n · k. Use
ent~ao o teorema 2.2 para demonstrar que todo inteiro n ¸ n0 est¶a em S.
12. O prop¶osito deste exerc¶³cio ¶e explorar como podem ser deduzidas as f¶ormulas para
somat¶orios do tipo
nP
k=1
kr
= 1r
+ 2r
+ ¢ ¢ ¢ + nr
, com r inteiro positivo.

12. Induc»~ao finita e suas aplicac»~oes 19
(a) Mostre que, sendo a0; : : : ; an uma seqÄu^encia de n¶umeros reais,
nX
k=1
(ak ¡ ak¡1) = an ¡ a0
(b) Somando membro a membro as igualdades
(k + 1)2
¡ k2
= 2k + 1;
de k = 1 at¶e k = n, e usando o resultado do item (a), deduza uma f¶ormula
para
nP
k=1
k.
(c) Somando membro a membro as igualdades
(k + 1)3
¡ k3
= 3k2
+ 3k + 1;
de k = 1 at¶e k = n, e usando o resultado do item (a) e a f¶ormula para
nP
k=1
k,
deduza uma f¶ormula para
nP
k=1
k2
.
(d) Deduza uma f¶ormula para
nP
k=1
k3
.