Juro composto

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Juro composto

  1. 1. Capitalização Composta Taxas de Juros Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  2. 2. Juro Composto Cálculo do rendimento a Juros Compostos:  Montante;  Juros;  Capital;  Tempo;  Taxa de juros;  Equivalência em juros composto. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  3. 3. Juro Composto O conceito fundamental de Juros compostos é que os juros são capitalizados ao longo do período, ou seja, os juros rendem juros.  Ex: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado por 4 anos a taxa de 10% ao ano. Ano (n) 0 1 2 3 4 Juro (j) 0,00 100,00 110,00 121,00 133,10Montante (S) 1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 1464,10 Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  4. 4. Juro Composto Montante (taxa 10%a.a.) 300,00 Valores em reais 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00 0 2 4 6 8 10 tempo (anos) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  5. 5. Juro Composto Como visto anteriormente, os juros agora são capitalizados, tornando assim o crescimento exponencial. 0 1 2 3 n-1 n j1 = P . i j2 = S1 . i j3 = S2 . i jn-1 = Sn-2 .i jn = Sn-1 . i S1 = P + j1 => S1 = P (1 + i) S2 = S1 + j2 => S1 + S1 . i => S1 (1 +i) => P(1+i)(1+i) => P(1+i)2 S3 = S2 + j3 => S2 + S2 . i => S2 (1 +i) => P(1+i)2 (1+i) => P(1+i)3 Sn = Sn-1 + jn => Sn-1 + Sn-1 . i => Sn-1 (1 +i) => P(1+i)n-1 (1+i) => P(1+i)n Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  6. 6. Juro Composto  Os juros na capitalização composta são incorporados no capital para novamente serem calculados 0 1 2 3 n-1 nValor Inicial Valor Futuro ou ou Principal S = P(1+i)n P = S(1+i)-n Montante P+J = P(1+i)n S -J= S(1+i)-n J = P(1+i)n – P J = S – S(1+i)-n J = P[(1+i)n – 1] J = S[1- (1+i)-n] Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  7. 7. Juro Composto O Capital representa o valor inicial de um fluxo de caixa podendo também ser chamado de:  Principal  Valor atual  Investimento, etc.0 1 2 3 n-1 nP S S = P(1+i)n P = S(1+i)-n Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  8. 8. Juro Composto A taxa é a razão que remunera o capital em um determinado período de tempo.0 1 2 3 n-1 nP  Podendo ser constante ou variável ao longo dos período. S = P(1+i)n S S/P = (1+i)n i n 1 P i = (S/P)1/n -1 Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  9. 9. Juro Composto Prazo, mostra o número de períodos de um fluxo de caixa completo ou não sendo dividido em: n S = P(1+i)  Meses; S/P = (1+i)n  Bimestres; ln(S/P) = ln(1+i)n  Semestres;  Anos, etc ln(S/P) = n.ln(1+i) S ln P n ln (1 i) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  10. 10. Juro Composto Capitalização Contínua  Quando a taxa é expressa em um determinado período de tempo, o cálculo (em princípio) é realizado só no período que foi estabelecido a taxa, porém em alguns casos há a necessidade de se reduzir o prazo da taxa. Neste caso se tivermos a taxa num período de tempo ao dia, será indiferente receber hoje ou amanhã, chamamos isto de capitalização contínua.  Temos então que converter a taxa nominal, para a equivalente ao dia, isto será demonstrado no próximo tópico. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  11. 11. Taxas de Juros Taxas de juro, vão incidir no cálculo financeiro, conforme for estabelecido no problema a ser resolvido. Podem ser divididas em:  Proporcionais;  Nominais  Equivalentes, e  Efetivas, real ou capitalizada. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  12. 12. Taxas de Juros Proporcionais  A taxa é expressa em período de tempo, porém em alguns casos haverá a necessidade de adequação ao período solicitado. Veja no exemplo abaixo que 2 semestres correspondem a 1 ano, logo multiplicamos a taxa por dois. Toda vez que houver a necessidade de conversão, ela deverá ser feita de forma linear. Semestres 0 1 2 3 4 5 P S 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3% a.s. 3 x 2 = 6% a.a. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  13. 13. Taxas de Juros Nominais  Corresponde a taxa de um período inteiro como por exemplo: Ano 12% Semestre 6% Mês 1%  A conversão é feita de forma linear, ou seja, na forma da capitalização simples. (proporcional) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  14. 14. Taxas de Juros Equivalentes  Na capitalização composta, todos os valores ao longo do tempo são capitalizados de forma exponencial (acumulativa), portanto o mesmo principio será aplicado na taxa.  A taxa equivalente corresponde a um valor que é estabelecido no tempo, e se houver mudança no período da taxa o resultado não será alterado. Veja exemplo: Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  15. 15. Taxas de Juros Exemplo para um período semestral, onde se deseja converter para anual. Semestres0 1 2 3 4 5P S 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 5% a.s. 10,25% a.a. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  16. 16. Taxas de Juros Equivalentes  No exemplo anterior a diferença de valor e justamente pela acumulação dos juros na forma composta.  Quando o período da taxa é maior que o período se deseja descobrir, utilizamos a seguinte formula:  iq = (1+it)q - 1  Caso seja o inverso, utilizamos a fórmula:  iq = (1 + it)1/q – 1  iq = taxa que quero  it = taxa que tenho Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  17. 17. Taxas de Juros Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja: q t iq (1 it ) 1  Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue:  iq = taxa para o prazo que eu quero  it = taxa para o prazo que eu tenho  q = prazo que eu quero  t = prazo que eu tenho Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  18. 18. Taxas de Juros Vejamos alguns exemplos:  Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano:  i183 = (1,65)183/360 - 1=28,99%  Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês:  i491 = (1,05)491/30 — 1 = 122,23% Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  19. 19. Taxas de Juros Pontos importantes  Observar o enunciado da questão a ser resolvida. Em caso de capitalização simples a conversão sempre é linear.  Capitalização composta será utilizada a taxa equivalente.  Tudo isto é para adequar o período da taxa com o período da capitalização. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler
  20. 20. Bibliografia FARO, Clovis de. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2006. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2000. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

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