1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Trigonometría
Las Razones Trigonométricas
Las Identidades Trigonometricas
Preparado por
Dra. Casilda Canino, Enero 1994
Prof. Norma Rivera, Enero 1994
Revisado por
Prof. Rene Rivera, Diciembre 2011

2. Este manual es propiedad del Campus Virtual de la Escuela de
Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo
no puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización
expresa del Decano Asociado del Campus Virtual de la Escuela
de Educación Continua de la Universidad Metropolitana.
®Escuela de Educación Continua de UMET, enero de 2012

3. Trigonometría
I. Las razones trigonométricas
Recuerde que si ∆ ABC es rectángulo en C (véase figura), entonces las RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS del ángulo A se definen en la forma que pasamos de inmediato a
indicar.
B
c
a
A
C b
a Catetoopuestoa A
SENO: senoA  
c hipotenusa
b Catetoabyacentea A
COSENO: cos A  
c hipotenusa
a Catetoabyacentea A
TANGENTE: tan A  
b Catetoabyacentea A
1 c hipotenusa
SECANTE: sec A   
cos A b Catetoabyacentea A
1 c hipotenusa
COSECANTE: csc A   
senA a Catetoopuestoa A
1 b cateto .abyacente .alA
COTANGENTE: cot A   
tan A a Cateto .opuesto.alA

4. II. Las identidades trigonométricas
Utilizando las definiciones de las razones trigonométricas podemos verificar
fácilmente las IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS siguientes:
senA
tan A 
cos A
cos A
cot A 
senA
sen 2 A  cos 2 A  1
tan 2 a  1  sec 2 A
1. La primera identidad se verifica inmediatamente si observamos que
a
a senA
tan A   c 
b b cos A
c
1
cot A 
2. La segunda se verifica recordando que tan A
La tercera identidad se basa en una aplicación inmediata del teorema de Pitágoras para el ∆
ABC, observamos a continuación:
2 2
a b
sen A  co s A 
2 2

c c
(por definición de seno y coseno)
2 2
a b
 2
 2
c c ( elevado al cuadrado)
a b
2 2

c2 (simplificado)
2
c

c2 (por el teorema de Pitágoras)
1

5. Para obtener la cuarta simplemente dividimos ambos miembros de la tercera, cos 2 A para
obtener:
sen 2 A cos 2 A 1
2
 2

cos A cos A cos 2 A
Por consiguientes, tan 2 A  1  sec2 A.
Si ahora recordamos que en un triángulo rectángulo los ángulos agudos son
complementarios, resulta fácil verificar las identidades adicionales siguientes:
 
sen 90   A  cos A
cos 90 
 A  senA
tan90 
 A  cot A
En la tabla siguiente le suministramos los valores de las razones trigonométricas para los
valores más comunes:
A 0 30 45 60 90
SenA 0 1 2 3 1
2 2 2
CosA 1 3 2 1 0
2 2 2
TanA 0 3 1 3 Indefinido
3
SecA 1 2 3 2 2 Indefinido
3
CscA Indefinido 2 2 2 3 1
3
CotA Indefinido 3 1 3 0
3

6. Ejemplos:
1- Hallar las seis razones trigonométricas para el ángulo A en el triángulo rectángulo de
la figura:
5
4
3 A
Utilizando las definiciones de las razones trigonométricas, obtenemos que:
4 5
senA  csc A 
5 4
3 5
cos A  sec A 
5 3
4 3
tan A  cot A 
3 4
Así vemos entonces que para hallar los valores de las razones trigonométricas solamente es
necesario saber identificar la hipotenusa, el cateto adyacente al ángulo A y el cateto
opuesto al ángulo B.
2- En la figura siguiente determinar c.
C 5
30 º

7. Como se nos pide hallar la hipotenusa y nos dan el lado opuesto al ángulo de 30O, resulta
5 1
conveniente que utilicemos el seno. Luego sen 30  . Como el valor de sen30 es
c 2
1 5
tenemos que  y despejando c obtenemos que c =10.
2 c
3. Si cos A = 0.30, determinar sen A.
Utilizando la identidad sen A  cos A  1, obtenemos que:
2 2
sen 2 A  0.30  1
2
sen 2  1  0.09
sen 2  0.91
Luego sen 2  0.91
Práctica: Razones trigonométricas
1) Calcular las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo
rectángulo con lados 3, 4, y 5 .
B
5
B
a
3
A
4 C

8. 2) Calcular el sen 45o, cos 45o y tan 45o .
B
45º
3
45 º
A C
3
3) En un ∆ rectángulo isósceles, halla el seno, el coseno y la tangente de 45˚.
45º
h
1
45º 1
4) Calcula el seno, el coseno y la tangente de cada ángulo agudo,
J
24
25
K L
7

9. Respuestas (Práctica 37) Razones trigonométricas
4 3 4
1) senb  cos b  tan b 
5 5 3
3 2 3 2 3
2) sen45    cos 45   tan 45  1
3 2 2 3 2 2 3
1
sen45    0.71
1.41
1
3) cos 45    0.71
1.41
1
tan 45    1
1
7 24
senJ   0.280 senL   0.960
25 25
24 7
4) cos J   0.960 cos L   0.28
25 25
7 24
tan J   0.292 tan L   3.429
24 7