Integración por partes y fracciones parciales

1. Cálculo II
Ayudantía 04/ Integración por partes y fracciones parciales
a) Resolver
∫
Usamos los siguientes cambios de variable:
Obteniendo:
∫ ∫
Usamos los siguientes cambios de variable:
Obteniendo:
∫ ( ∫ )
Obtenemos la misma integral que la que se pide pero por una constante, por lo tanto la podemos
sumar a la que se nos pide para poder despejarla después.
( )∫
( )∫
∫
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

2. Cálculo II
Ayudantía 04/ Integración por partes y fracciones parciales
b) Resolver
∫
√
Usamos los siguientes cambios de variable:
√
Obteniendo:
∫ ( ) ∫
√
Usamos el siguiente cambio de variable:
⇒ ⇒
Obteniendo:
∫
(∫ ∫ )
( )
( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

3. Cálculo II
Ayudantía 04/ Integración por partes y fracciones parciales
c) Resolver
∫
Usamos los siguientes cambios de variable:
Obteniendo:
∫ ∫
Usamos los siguientes cambios de variable en la nueva integral:
Obteniendo:
∫ ( ∫ )
Obtenemos la misma integral que la que se pide pero por una constante, por lo tanto la podemos
sumar a la que se nos pide para poder despejarla después.
∫ ∫
∫ ∫
( )∫
∫
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

4. Cálculo II
Ayudantía 04/ Integración por partes y fracciones parciales
Fracciones Parciales
Factores lineales:
En caso de enfrentarnos a integrales de la siguiente forma:
∫
Podemos expresar la función de la siguiente manera:
Buscamos el mínimo común múltiplo que en este caso es , y nos queda:
Ahora hay que buscar los factores comunes e igualar los términos semejantes. En caso de que un
factor lineal este repetido, se debe usar ese factor tantas veces como se repita.
Buscamos el mínimo común múltiplo que en este caso es , y nos queda:
Ahora igual que en el caso anterior se igualan los términos generales y podemos obtener las
fracciones parciales que nos facilitaran la integración. En caso de ser tendremos n
fracciones con .
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

5. Cálculo II
Ayudantía 04/ Integración por partes y fracciones parciales
d) Resolver
∫
Usando factorización obtenemos que:
Podemos expresar la integral de la siguiente manera:
∫
Ahora usamos fracciones parciales para descomponer la integral:
Multiplicamos todo por y obtenemos:
Igualamos los términos que acompañan a las x correspondientes:
Extraemos que entonces la expresión nos queda de la siguiente manera:
Por lo tanto la integral nos queda:
∫ ∫( )
∫ ∫ ∫
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca