TFG - Pablo Martin Fuentes

GRADO EN INGENIERÍA MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÉTODO DE LONGSTAFF-SCHWARTZ
PARA LA VALORACIÓN DE OPCIONES
AMERICANAS BAJO UN MODELO “JUMP
DIFFUSION”
TRABAJO FIN DE GRADO: MATEMÁTICA FINANCIERA
PABLO MARTÍN FUENTES
JULIO DE 2015
TUTOR: GERARDO OLEAGA APADULA

Resumen
In recent years the stock markets have shown tremendous volatility with significant spikes and drops
in the stock prices. Within the past decade, there have been numerous jumps in the market; one key
example was on June 29, 2015 when the IBEX35 dropped 518 points following the Greek bank freeze.
These evident jumps in the markets show the inaccuracy of the Black-Scholes model for pricing options.
Merton provided the first research to appease this problem in 1976 when he extended the Black-Scholes
model to include jumps in the market.
This work presents a simple yet powerful new approach - by Francis A. Longsta↵ and Eduardo S.
Schwartz (2001) - for approximating the value of American options by simulation. The key to this ap-
proach is the use of least squares to estimate the conditional expected payo↵ to the option holder from
continuation. This makes this approach readily applicable in path-dependent and multifactor situations
where traditional finite di↵erence techniques cannot be used. Finally, this algorithm is implemented to
value American options when the underlying asset is following a Jump Di↵usion process.
1

ÍNDICE ÍNDICE
Índice
1. Introducción 4
1.1. Motivación. Introducción a los Derivados Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Estructura del trabajo y relación con las asignaturas del grado . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Conceptos Básicos 6
2.1. Opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1. Opción Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2. Opción Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Valoración de opciones europeas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1. El modelo de Black-Scholes-Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Valoración de opciones americanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1. Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2. Métodos de Rejilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3. Métodos de Redes Estocásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.4. Simulación Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. El método ((Least-Squares Monte Carlo)) (LSM) 19
3.1. Marco general de valoración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Descripción del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Regresión m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4. Un ejemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Procesos ((Jump Di↵usion)) 25
4.1. Las dinámicas del precio del activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Las dinámicas del precio de la opción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Hedging con saltos de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4. Fórmula de Merton para la valoración de la opción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. LSM para Activos con Precio Discontinuo 31
5.1. Un ejemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3. Análisis de Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1. Variando la volatilidad del activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.2. Variando la probabilidad de salto en el precio del activo . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6. Conclusiones 36
7. Apéndice I 37
7.1. El modelo ecónomico de evolución de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2. Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.3. Solución Parcial de la Fórmula de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8. Apéndice II 41
8.1. Código MATLAB Generación caminos Jump Di↵usion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.2. Código MATLAB Algoritmo LSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9. Bibliograf´ıa 43
3

1 INTRODUCCI ÓN
1. Introducción
Bienvenido a la carrera de la rata
Robert T Kiyosaki
Rich dad, poor dad
1.1. Motivación. Introducción a los Derivados Financieros
En los últimos años los Derivados Financieros han cobrado una relevancia más que importante en los
Mercados Financieros. Forwards, swaps, opciones o futuros son algunos de los muchos tipos de contratos
derivados que se negocian a diario en los mercados extrabursátiles (over-the-counter, OTC). Se ha alcanzado
un punto donde todo profesional de las finanzas necesita comprender cómo funcionan los derivados, cómo
se usan y cómo se determina su precio (pricing).
Un derivado es un instrumento financiero cuyo valor depende (o deriva) del valor de otras variables mas
básicas. Frecuentemente esas variables son los precios de los activos negociados. Una opción sobre una acción,
por ejemplo, es un derivado cuyo valor depende del precio de la acción. Sin embargo, los derivados pueden
depender de prácticamente cualquier variable, desde el precio del pollo hasta el volúmen de precipitaciones
en una determinada ciudad.
Los derivados financieros se pueden clasificar de varios modos, tal y como se refleja a continuación:
Por los agentes que intervienen: OTC y ETD
Los derivados OTC son aquellos hechos a la medida de las partes que contratan en el mercado. Se
negocian en mercados ajenos al propio mercado de valores, y en los que se pactan las operaciones
directamente entre compradores y vendedores (contrapartidas), sin la tensión de una contraparte
central que mitigue el riesgo de crédito. Este tipo de derivados constituye, por valor, la mayor parte
de derivados financieros. Se suelen utilizar para operaciones de cobertura o hedging.
Los ETD (Exchange Traded Derivatives) se distinguen porque los contratos son estandarizados, lo que
implica que existirán derivados sobre subyacentes que el mercado haya autorizado, los vencimientos
y los precios de ejercicio son los mismos para todos los participantes. La transparencia de precios es
mayor y los activos tienen más liquidez por lo que son más propensos a la especulación. En España
este tipo de contratos se negocian en el Mercado Oficial de Opciones y Futuros Financieros (MEFF), el
mercado secundario oficial regulado por las leyes españolas e integrado en Bolsas y Mercados Españoles
(BME), el operador de los Mercados de Valores españoles. El MEFF está bajo la supervisión de la
Comisión Nacional del Mercado de Valores (CNMV).
Por el tipo de valor subyacente
Los derivados de tipo de interés son aquellos derivados en los que el valor depende de los tipos
de interés. Un ejemplo es un Interest Rate Swap1
o un Basis Rate Swap2
. Estos derivados se suelen
utilizar para protegerse de variaciones o exceso de exposición a un tipo de interés. También se aceptan
para aprovechar las variaciones del mismo, especialmente si se cree que los tipos van a subir y se tienen
inversiones a tipo fijo.
Los derivados FOREX son aquellos que intervienen el tipo de cambio de moneda. En este tipo de
derivados se suelen hacer opciones o futuros sobre una moneda distinta a la propia, o incluso con
dos monedas ajenas. Un ejemplo ser´ıa una opción de compra de reales brasileños con libras esterlinas
ejecutada por un banco en Tokio.
Los derivados sobre equities y commodities son derivados cuyo valor depende de un activo inter-
cambiado en los mercados de valores, por ejemplo acciones o bonos. No obstante, también se suelen
ver opciones sobre materias primas, como por ejemplo petróleo u oro. Se tienen opciones, futuros o
warrants como los más comunes.
1Un swap es un contrato por el cual dos partes se comprometen a intercambiar una serie de cantidades de dinero en fechas
futuras. Normalmente están referenciados a tipos de interés, llamándose IRS (Interest Rate Swap).
2Un Basis Rate Swap es un tipo de swap en el cual las dos partes intercambian tipos de interes de diferentes mercados
monetarios
4

1.2 Estructura del trabajo y relación con las asignaturas del grado 1 INTRODUCCI ÓN
Los derivados de crédito se refieren al riesgo de un crédito o un bono. Últimamente se habla mucho
de ellos con la crisis de la deuda soberana y el valor de los Credit Default Swap, apareciendo en las
noticias. También son conocidos los CDOs, que se utilizan para garantizar créditos.
Existen otros derivados entre los que destacan derivados de emisiones de CO2, derivados de inflación,
etc.
En función de cómo se instrumentalicen los contratos
Los contratos de permuta financiera, popularmente conocidos como swaps, que permiten intercambiar
en el mercado pagos y/o contraprestaciones de tipo fijo por variable, y viceversa.
Los contratos de futuros3
, forwards4
y compraventas a plazo, negociados o no en un mercado o
sistema organizado de negociación.
En función de la ejecución posible del contrato: opción americana o europea.
El objetivo de la valoración de derivados es determinar un precio justo de un determinado activo en términos
de valores5
más l´ıquidos, cuyo precio está determinado por la ley de la oferta y la demanda. El término
((justo)) depende, por supuesto, de si uno considera comprar o vender el valor.
Una vez que el precio justo ha sido determinado, el vendedor puede negociar el contrato. Por tanto, la
valoración de derivados es un ejercicio de extrapolación complejo para definir el valor actual de mercado de
un activo.
1.2. Estructura del trabajo y relación con las asignaturas del grado
Los instrumentos financieros que se van a desarrollar en el trabajo, as´ı como la obtención de su precio,
son las llamadas ((opciones financieras)) y dentro de éstas, las opciones americanas, que tienen un formato
más complejo que las europeas. Mientras que el precio de las últimas puede obtenerse fácilmente de manera
anal´ıtica utilizando la ecuación de Black-Scholes, el de las americanas debe obtenerse numéricamente. El
método numérico desarrollado aqu´ı recibe el nombre de ((Least Squares Monte Carlo)) (cap´ıtulos 3 y 5) y ha
sido desarrollado por Longsta↵ y Schwartz en [1].
En el segundo cap´ıtulo de este trabajo se presentan las definiciones de opciones financieras y los tipos
que existen. Además, se muestra en detalle cómo simular los caminos que puede seguir el subyacente a lo
largo del tiempo mediante simulación Monte Carlo, y cómo se valoran opciones estándar europeas usando
esta simulación mediante un ejemplo. Los conceptos financieros básicos, y su relación con las matemáticas,
los he adquirido en la asignatura Matemática Financiera, optativa del cuarto curso, as´ı como en Introduction
to Corporate Finance, en la University of Warwick, y Stochastic Calculus for Finance, en la University of
Calgary . En el tercer cap´ıtulo se presenta el algoritmo Least Squares Monte Carlo (LSM) para obtener el
precio de opciones estándar americanas. Este algoritmo requiere en cada etapa realizar una regresión por
m´ınimos cuadrados con diferentes funciones base, donde se utilizan conceptos de la asignatura Estad´ıstica
Aplicada del tercer curso. Se incluye también un ejemplo numérico muy ilustrativo. En el cuarto cap´ıtulo
se introduce la base teórica de Merton sobre los procesos Jump Difussion, que ampl´ıan la teor´ıa impartida
en la asignatura de Cálculo Estocástico. En el cap´ıtulo quinto aumenta la complejidad del producto que
se quiere valorar: se trata de una opción americana sobre un activo cuyo precio sigue un proceso Jump
Di↵usion.
3Los futuros son principalmente contratos mediante los cuales dos partes se comprometen y obligan una a comprar y la
otra vender un activo determinado en una fecha futura a un precio prefijado.
4Un forward es un contrato mediante el cual dos partes se comprometen a comprar y vender un activo determinado en
una fecha futura a un precio prefijado en el momento de la contratación. La diferencia con los contratos de futuros es que los
forward se contratan en operaciones over the counter, es decir, fuera de mercados organizados.
5En finanzas, un valor o security representa derechos parciales de propietario sobre cierta sociedad (((acciones))), o algún
t´ıtulo de crédito u obligación, con caracter´ısticas y derechos estandarizados
5

2 CONCEPTOS B ÁSICOS
2. Conceptos Básicos
Para comprender mejor la motivación de este trabajo, en este cap´ıtulo se va a explicar con detalle qué
son las opciones financieras, qué tipos de opciones hay según sus caracter´ısticas, cómo funcionan, cuándo
pueden ejercerse, qué es la prima de una opción, cuáles son algunos de los modelos de valoración y en qué
opciones se utilizan. Por último, se introducirá la simulación de la evolución del subyacente usando la técnica
Monte Carlo.
2.1. Opciones
Una opción es un contrato que otorga al comprador el derecho, pero no la obligación, a comprar o vender
un determinado activo subyacente, a un precio fijado de antemano llamado precio de ejercicio o strike, en
un plazo de tiempo determinado o fecha de vencimiento.
El comprador de la opción tiene el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender (en función del
tipo de contrato) al precio de ejercicio en la fecha de vencimiento del contrato; por el contrario, el vendedor
de la opción está obligado o comprar o vender el activo subyacente al comprador de la opción si este decide
ejercer su derecho de compra o venta.
As´ı, en el momento del vencimiento, el comprador de la opción decidirá si le interesa ejercitar o no
su derecho de compra o venta, en función de la diferencia entre el precio fijado en el contrato (precio de
ejercicio o strike) y el precio que tenga el subyacente en el mercado de contado (cotización de acciones,
divisas, commodities...).
La principal diferencia entre las opciones y los t´ıtulos clásicos (acciones y obligaciones), radica en que
aquellas no representan un derecho sobre el activo del emisor. Es decir, un accionista ordinario tiene derecho
sobre una parte de los beneficios futuros y de los activos de la compañ´ıa, mientras que el poseedor de una
opción call sólo tiene el derecho a adquirir acciones en el futuro, lo que representa sólo un derecho potencial
sobre los activos y beneficios de la empresa. Por otra parte, un accionista posee un t´ıtulo emitido por la
compañ´ıa al haberla provisto de recursos financieros a cambio de unos ingresos futuros. El poseedor de una
opción no tiene relación alguna con la empresa sobre cuyos t´ıtulos posee un derecho de compra o venta.
Simplemente tiene un acuerdo con otra parte, la del vendedor, que concierne a la posible adquisición en el
futuro de los t´ıtulos a un precio determinado.
La gran mayor´ıa de los contratos sobre opciones son compensados o cerrados antes de que la operación
de compra o venta se ejerza. Dicho de otra manera, la mayor´ıa de las personas que operan en opciones no
están interesadas en el activo subyacente sino en ganar dinero. De esta manera se podrán emitir muchas
más opciones de las que realmente serán ejercidas. En otras palabras, las acciones subyacentes raramente
serán compradas o vendidas por el poseedor de la opción, por ello el número de acciones sobre las que se
pueden ejercer las opciones puede superar el número de acciones realmente emitidas.
Existen dos tipos básicos de opciones: call, u opciones de compra, y put, u opciones de venta.
2.1.1. Opción Call
Las opciones call dan al poseedor el derecho de comprar el subyacente en una fecha y a un precio
concretos. A cambio de una prima (premium) por la opción, el comprador de ésta ejerce su derecho en el
instante de tiempo t si el precio de mercado del activo subyacente St, en ese instante, es superior al strike K.
La diferencia entre ambos valores supone la ganancia para el inversor que ha comprado la opción, y recibe
el nombre de payo↵. De esta ganancia habr´ıa que descontar, pues, la prima que se pagó en el momento
inicial al vendedor. Nótese que esta prima es independiente de si se ejerce o no la opción. El vendedor de
una opción call está obligado a vender el activo al comprador siéste ejerce su opc´ıón.
El payo↵ puede recogerse en la siguiente fórmula:
max {St K, 0}
6

2.1 Opciones 2 CONCEPTOS B ÁSICOS
Figura 1: Payo↵ de una opción call con strike K
2.1.2. Opción Put
Las opciones put dan el derecho a vender el subyacente también en fecha y a un precio acordados. A
cambio de la prima, el comprador de una opción put ejerce su derecho en t si el precio de mercado del activo
subyacente St, en ese instante, es inferior al strike, K. De nuevo, la diferencia entre ambos precios supone la
ganancia para el inversor que ha comprado la opción (payo↵ ). Igual que con la call, esta ganancia es bruta,
pues se debe descontar el precio de la opción que se pagó en el momento inicial al vendedor. El vendedor
de una opción put está obligado a comprar el activo al inversor al precio de strike si éste ejerce su opción.
El payo↵ puede recogerse en la siguiente fórmula:
max {K St, 0}
Figura 2: Payo↵ de una opción put con strike K
El vencimiento de las opciones Aquellas opciones que pueden ser ejercidas sólo en el momento de su
vencimiento T reciben el nombre de opciones europeas, pero si se pueden ejercer, además, en cualquier
momento antes de dicha fecha se denominan opciones americanas. Un caso intermedio,cuando se discretiza
el tiempo de ejercicio, lo representan las opciones bermuda, que sólo se pueden ejercer en algunas fechas
intermedias y en las de vencimiento.
El poseedor de una opción, tanto si es de compra como de venta, puede optar por tres posibles decisiones:
1. Ejercer el derecho comprando o vendiendo los t´ıtulos que la opción le permite.
2. Dejar pasar la fecha de vencimiento sin ejercer su opción.
3. Venderla antes de su vencimiento en el mercado secundario de opciones.
7

El precio de ejercicio El precio de ejercicio es aquél al que se tiene derecho a adquirir o a vender (call
o put) el activo subyacente durante el periodo de vida de la opción.
Cuando el precio de mercado del activo subyacente St es superior al precio de ejercicio K de la opción
call se dice que está in-the-money6
(ITM ). En caso de las opciones put es justo al revés.
Cuando el precio de mercado del activo subyacente St está próximo al precio de ejercicio K, se dice
que la opción está at-the-money7
(ATM ).
Cuando el precio de mercado del activo subyacente St es inferior al precio de ejercicio K de la opción
call se dice que está out-of-the-money8
(OTM ). En caso de las opciones put es justo al revés.
Opcion Call
8
><
>:
St > K =) ITM
St < K =) OTM
St ⇡ K =) ATM
Opcion Put
8
><
>:
St > K =) ITM
St < K =) OTM
St ⇡ K =) ATM
Veámos ahora un ejemplo práctico de una opción de Apple Inc. (AAPL) que cotiza en el NASDAQ.
Figura 3: Evolución del precio de mercado de una acción de Apple Inc. (finance.yahoo.com)
En la Figura 4 se observa una representación de una fracción de opciones call para una acción de Apple
con fecha de vencimiento 17/07/2015. Las columnas encabezadas por Bid(compra) y Ask(venta) indican,
respectivamente, el precio al que le comprarán la opción y precio al que se la venderán (si se quiere adquirir
una opción call se deberá ver cuánto se pide (Ask) en la columna de venta y si, por el contrario, se quiere
emitirla, se deberá ver lo que se ofrece (bid) en la columna de compra. La columna Vol indica el número de
contratos negociados a ese precio.
6Esta denominación hace referencia a que, si no se tiene en cuenta el precio pagado por la prima, el propietario de la opción
ganara dinero si decide ejercerla en este mismo instante.
7En este caso el propietario no ganar´ıa ni perder´ıa nada (siempre sin tener en consideración el precio de la prima)
8Esta denominación hace referencia a que, si no se tiene en cuenta el precio pagado por la prima, el propietario de la opción
perder´ıa dinero si decide ejercerla en este mismo instante.
8

Figura 4: Call Options — Apple Inc. (finance.yahoo.com)
Tanto el Volúmen como el Interés Abierto (Open Interest —última columna) merecen un cap´ıtulo
aparte.
En el mercado de opciones, los movimientos de los precios son resultado de las operaciones de millones
de traders. Tanto el volúmen como el interés abierto son indicadores de lo que los otros participantes están
haciendo.
El Volúmen (especialmente el Daily Trading Volume) proporciona información sobre la dirección de
mercado del activo subyacente. Es el encargado de informar de la anchura de mercado.
El Interés Abierto es un concepto que todo trader de opciones necesita comprender. Si bien es un indica-
dor menos importante que el precio o el volúmen, proporciona información útil que debiera ser considerada
antes de establecer nuestra posición. Representa el número total de contratos que no están cerrados. Desde
el momento que el comprador o vendedor ((abre)) el contrato hasta que la contraparte lo cierra se considera
que el contrato está abierto.
Si seguimos el interés abierto se pueden extraer ciertas conclusiones:
Una subida del interés abierto significa que nuevo dinero está entrando en el mercado. El resultado
será que la tendencia actual continuará.
9

Una bajada, en cambio, significa que el mercado está liquidándose y por tanto implica que la tendencia
del precio actual está llegando a su fin.
Ejemplo Práctico. Compra de una Call opción de AAPL. Supóngase que un inversor desea
adquirir una acción de Apple porque piensa que su cotización va a subir, pero que por algún motivo no
puede, o no quiere, pagar los $123.59USD que el mercado le demanda, como se indica en la Figura 3. En
este caso podr´ıa adquirir una opción call sobre la misma.
Al adquirir una opción call se podrá beneficiar de un aumento del precio del activo subyacente sin
haberlo comprado. As´ı que el inversor adquiere una opción call sobre una acción de Apple con un strike de,
por ejemplo, $120USD. El precio de mercado de dicha opción (la prima) en este momento es de $10.
El poseedor de la opción call de Apple (se dice que tiene una posición larga en opciones call porque
las posee, y una posición corta en acciones porque no las tiene) podrá decidir si ejerce o no la opción.
Obviamente, la ejercerá cuando la cotización de la acción supere el precio de ejercicio. Por el contrario, si
llegada la fecha de vencimiento, en este caso el 17/07/2015, se encuentra en una situación out of the money
la opción no será ejercida, pues puede adquirla a precio de mercado a un precio inferior al de la opción. Si
la opción se ejerce, la pérdida máxima será de $10.
Los precios de la acción previamente enunciados se pueden resumir en la siguiente Tabla:
Precio de la acción $123.59
Strike $120.00
Prima $10.00
Fecha de contratación 13/03/2015
Fecha de vencimiento 13/07/2015
En la fecha de vencimiento del contrato el comprador se puede encontrar, por ejemplo, con los siguientes
casos. Por razones de sencillez no se tienen en cuenta los cálculos posteriores de los costes de transacción, ni
los impuestos ni el valor temporal del dinero. Del mismo modo, se va a suponer una opción europea, pero
no cambiar´ıa en absoluto en el caso de considerar una opción americana.
Caso 1. ST = 140
El inversor ejerce la opción al precio de strike K=120 y revende el activo seguidamente al precio
de mercado ST = 140, obteniendo los siguientes resultados:
Precio de compra $120
Prima $10
Coste TOTAL $130
Ingreso TOTAL $140
Beneficio de la operación $10
Caso 2. ST = 125
El inversor ejerce la opción al precio de strike K=120 y revende el activo seguidamente al precio
de mercado ST = 125, obteniendo los siguientes resultados:
Precio de compra $120
Prima $10
Coste TOTAL $130
Ingreso TOTAL $125
Beneficio de la operación -$5
Nótese que si no ejerciese la opción perder´ıa el coste de la misma, es decir, $10 lo que ser´ıa, sin
duda, peor.
Caso 3. ST = 110
El inversor no ejerce la opción y su pérdida es el valor de la misma, es decir, $10. Si la ejerce, la
pérdida ser´ıa mayor.
10

En la figura se muestra la gráfica representativa del beneficio que puede obtenerse a través de una opción
call que numéricamente se han analizado previamente. La princial atracción de esta operación es el alto
apalancamiento que proporciona al inversor, puesto que se pueden obtener fuertes ganancias con pequeños
desembolsos iniciales y, además, el riesgo está limitado por una cantidad fija: la prima.
En definitiva, la máxima pérdida de la estrategia consistente en adquirir una opción call queda limitada
al pago de la prima, mientras que, sin embargo, el beneficio puede ser, en teor´ıa, ilimitado.
Figura 5: Profit/Loss opción Call — Apple Inc.
En la Figura 5 se comparan las decisiones de ejercer, o no, la opción call de la acción a los tres precios
indicados anteriormente o, por el contrario, adquirla directamente a precio de mercado. Lo que nos indica
las tres diferencias básicas entre ambas decisiones:
1. El desembolso inicial requerido de la inversión, a través de la compra de opciones, es inferior al de
la compra de acciones (10.00<123.59).
2. El riesgo en términos monetarios absolutos es más pequeño en el caso de la opción.
3. El porcentaje de ganancia/pérdida dado por el redimiento del periodo es mayor en el caso de la
opción call, que en el de la adquisición de la acción, lo que nos indica que la inversión en opciones es
más arriesgada que si fuese directamente en el activo subyacente.
Factores que determinan el precio de una opción (c)
1. El valor intr´ınseco del activo subyacente (S0). Cuanto mayor sea su valor, mayor será el precio
de la opción call suscrita sobre ese t´ıtulo —considerando constantes el strike y la fecha de vencimiento
del contrato.
2. El precio de ejercicio(K). Cuanto más bajo sea el precio de ejercicioK, mayor será el precio de
la opción call, puesto que existirá una mayor probabilidad de que el precio de mercado de la acción
acabe superando al de ejercicio. Ocurre el caso contrario en las opciones put, como se puede ver en la
Figura 6.
11

Figura 6: Put Options — Apple Inc. (finance.yahoo.com)
3. La volatilidad del activo subyacente( ). La volatilidad9
influye directamente en el tamaño del
valor de la opción call o put, de manera que a mayor riesgo mayor precio, y viceversa. Estad´ısticamente
es la dispersión —varianza o desviación t´ıpica— del rendimiento del activo subyacente, siendo el
rendimiento las variaciones del precio durante el periodo considerado.
4. El tiempo de vida de la acción (T). El precio incluye un elemento temporal, que tiende a decrecer
al aproximarse a la fecha de expiración del contrato de la opción. Es decir, cuanto menos le quede de
vida a la opción call, menor será su valor, puesto que menos probabilidades tiene el precio de mercado
de superar al de ejercicio (o de ser inferior, si se refiere a una opción put).
5. El tipo de interés libre de riesgo10
(rf ). El valor de la opción de pende de la tasa de descuento que
se aplica en el mercado financiero a las inversiones financieras libres de riesgo. Esto es as´ı porque al
combinar la emisión de opciones call sobre acciones con la tenencia de las propias acciones es posible
eliminar totalmente el riesgo de la inversión.
6. Los dividendos (D). Los dividendos repartidos por la acción subyacente también afectan al valor
de la opción, pues cuanto mayores sean los dividendos repartidos, más bajo será el coste de la opción
call, ya que se supone que al repartirse los dividendos el precio de mercado de la acción descenderá,
o no subirá tanto como debiera, lo que puede retraer a los posibles adquierentes de las opciones call.
9La volatilidad se define como la magnitud de las oscilaciones del precio del activo subyacente
10El Risk-free interest rate es el tipo de interés teorico de una una inversión con cero riesgo. En la práctica se suele tomar
como referencia un bono del estado o de una agencia cuyo riesgo de quiebra pueda suponerse nulo.
12

2.2 Valoración de opciones europeas 2 CONCEPTOS B ÁSICOS
Con la opción put ocurrirá exactamente lo contrario, puesto que si desciende el precio de mercado del
activo subyacente, ello redundará en un aumento de la opción de venta.
El precio de una opción call depende principalmente de seis factores: c=f (S, K, , T, rf , D) de la siguiente
forma:
@c
@S
> 0 @c
@K < 0
@c
@T
> 0
@c
@
> 0 @c
@rf
> 0
@c
@D
> 0
mientras que en las opciones put ser´ıa:
@c
@S
< 0 @c
@K > 0
@c
@T
> 0
@c
@
> 0 @c
@rf
< 0
@c
@D
> 0
2.2. Valoración de opciones europeas
En general, la valoración de opciones comienza suponiendo que el precio del activo subyacente sigue
un cierto proceso de difusión. Bajo condiciones de no-arbitraje11
, diversas técnicas matemáticas permiten
derivar una ecuación diferencial en derivadas parciales, cuya solución es el precio de la opción.
Para opciones europeas, esta solución se puede obtener de forma anal´ıtica. Sin embargo, para opciones
americanas, la solución se suele obtener de forma numérica, empleando técnicas como diferencias finitas,
árboles, integración numérica o simulación Monte Carlo.
2.2.1. El modelo de Black-Scholes-Merton
Este modelo parte de una econom´ıa en la que se tienen tres instrumentos financieros: una opción europea,
una acción (activo subyacente de esta opción) y un activo libre de riesgo.
Suposiciones del Modelo de BS
1. El comportamiento del precio de las acciones corresponde al modelo lognormal12
.
2. No hay costes de transacción o impuestos. Todos los activos financieros son perfectamente divisibles.
3. No hay dividendos sobre las acciones durante la vida de la opción.
4. No hay oportunidades de arbitraje.
5. La negociación de valores financieros es continua.
6. Los inversores pueden prestar o pedir prestado13
al mismo tipo de interés libre de riesgo (rf ).
7. El tipo de interés libre de riesgo a corto plazo, r = rf , es constante.
Finalmente, se supone que el precio del activo subyacente, S, sigue, bajo la medida de probabilidad neutral
al riesgo, un proceso browniano geométrico:
dS = rSdt + Sdz (1)
11Es la práctica de tomar ventaja de una diferencia de precio entre dos o más mercados: realizar una combinación de
transacciones complementarias que capitalizan el desequilibrio de precios. La utilidad se logra debido a la diferencia de precios
de los mercados. Por medio de arbitraje, los participantes en el mercado pueden lograr una utilidad instantánea libre de riesgo.
12El modelo lognormal viene modelado por un movimiento browniano geométrico dS/S = µdt + dw donde dw es un
movimiento browniano, representa la componente aleatoria, en este caso la volatilidad, y µ corresponde al drift o deriva que
intuitivamente corresponder´ıa al retorno instantáneo.
13As´ı, la cantidad Bt invertida en el activo libre de riesgo en el momento t sigue la ecuación diferencial dBt = rBtdt
13

2.3 Valoración de opciones americanas 2 CONCEPTOS B ÁSICOS
donde es la tasa de volatilidad de la rentabilidad de la acción y z es un movimiento browniano estándar.
A veces, es útil reescribir esta ecuación en función del logaritmo del precio del activo, x=ln(S). Con esta
nueva variable y, usando el Lema de It¯o, la ecuación (1) se convierte en:
dx=
✓
r
1
2
2
◆
dt + dz (2)
con la ventaja de que ahora se tiene un término constante tanto en la deriva como en la volatilidad del
proceso estocástico.
Tras construir una cartera de cobertura (libre de riesgo), estos autores aplican condiciones de no-arbitraje
y derivan la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales para el precio de la opción C(S, t):
1
2
2
S2 @2
C (S, t)
@S2
+ rS
@C (S, t)
@S
+
@C (S, t)
@t
= rC (S, t) (3)
La condición terminal que debe cumplir la solución de esta ecuación, C (S, t) viene dada por el pago
final de la opción. Para el caso de una opción call, se tiene, como se comenta en (2.1.1):
max {ST K, 0}
Si se utilizan las variables x=ln(S) , W(x, t) = C(S, t) se obtiene una ecuación con coeficientes constantes
para las derivadas parciales:
1
2
2 @2
W(x, t)
@x2
+
✓
r
1
2
2
◆
@W(x, t)
@x
+
@W(x, t)
@t
= rW(x, t) (4)
Esta ecuac´ıon, despúes de utilizar cierto cambio de variables, es equivalente a la ((ecuac´ıon del calor)),
cuya solución (el precio de la opción call europea) viene dada por:
C (S, t) = S · N(d1) Ke r(T t)
N(d2)
donde N(·) es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar y se
tiene que:
(
d1=
ln( S
K )+(r+ 1
2
2
)(T t)
p
T t
d2 = d1
p
T t
Aplicando la paridad put-call14
, se obtiene el precio de una opción put europea:
P (S, t) =Ke r(T t)
N( d2) SN( d1)
Esta fómula no se puede aplicar a opciones americanas pues, en éstas, hay que decidir en cada fecha
de ejercicio si se ejerce la opción o si se espera a ejercerla en un momento futuro. La frontera que separa
las regiones de ejercicio anticipado y de continuación es la frontera óptima de ejercicio, que debe
determinarse para valorar dicha opción.
2.3. Valoración de opciones americanas
De los dos tipos comunes de opciones en el mercado, las americanas son mucho más complejas de
evaluar. No sólo el propietario tiene que determinar la pol´ıtica de ejercicio óptima, sino que el precio de
la opción tambien ha de ser determinado. El modelo de Black Scholes proporciona de forma expl´ıcita una
fórmula cerrada para valorar opciones europeas sin dividendos. Lamentablemente, a diferencia del caso
europeo, generalmente no se puede encontrar de manera expl´ıcita una fórmula cerrada para el problema de
valorar una opción americana. Como resultado cuando no se puede encontrar una formulación exacta o es
muy complicada de implementar, se suele recurrir a métodos numéricos para valorar dichas opciones. Los
métodos numéricos existentes se pueden dividir en cuatro grupos principales: métodos basados en EDPs,
métodos de rejillas, métodos de Redes Estocásticas y métodos basados en la simulación.
14La paridad put-call establece una relación entre el precio de la opción call C(S, t) y la opción put P(S, t). Para comprenderlo
se deben considerar dos carteras. La cartera A con una opción call europea y una cantidad de cash Ke rT y la cartera B con
una opción put europea y una acción. En la fecha de vencimiento ambas valen max {ST , K}. Puesto que ambas opciones son
europeas no pueden ser ejercidas antes de la fecha de vencimiento. Las carteras, por tanto, deben de tener un valor idéntico
en este momento, es decir, C + Ke rT = P + S0. Si no se da la igualdad, entonces existen oportunidades de arbitraje.
14

2.3.1. Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs)
Los avances más significativos para los métodos de valoración basados en EDPs han sido en la aplicación
de la transformación del dominio. En particular, Fourier, Laplace y métodos de transformación generalizados
se han aplicado a modelos estocásticos de volatilidad y a muchos otros modelos de valoración (ver [11]).
Estas técnicas se pueden aplicar tambien a modelos de valoración de activos que siguen un proceso
Jump-Di↵usion como se prueba en [12]. Puesto que los métodos basados en EDPs usan varias técnicas
de aproximación, se los considera menos precisos y, en muchos casos, más complicados de implementar
y calcular el precio de los activos y, por tanto, son mucho menos populares que el resto de métodos de
valoración.
2.3.2. Métodos de Rejilla
Los métodos de rejilla usan un tiempo discreto y aproximaciones por estados de de ecuaciones dife-
renciales para valorar opciones europeas y americanas. A estos métodos se les conoce comúnmente como
árboles m-nomiales, ie, cuando m = 2 se dice que es un árbol binomial, cuando m = 3 se dice que es
un árbol trinomial, etc. En general, los métodos de rejilla son fáciles de implementar por modelos simples,
pero suelen ser mucho menos precisos conforme la complejidad del modelo aumenta y, por tanto, no se usan
normalmente como modelos complejos.
Figura 7: Árbol Binomial
La Figura 7 muestra la estructura del árbol binomial. Como se menciona anteriormente, los ´metodos
basados en árboles parten de la versión en tiempo discreto del proceso (neutral al riesgo) en tiempo continuo
que sigue el precio del activo subyacente. Tras esta discretización, el precio de la opción se obtiene a partir
del valor final, mov´ıendonos hacia atrás en el tiempo. El método binomial se basa en la aproximación del
movimiento browniano (proceso seguido por el activo subyacente de la opción) mediante un paseo aleatorio
en tiempo discreto. Este método proporciona una solución numérica sencilla e intuitiva. En este método se
considera la partición {t0 = 0, t1, t2, . . . , tN = T} del intervalo [0, T]. En cada punto de esta partición, se
supone que el precio del activo subyacente sigue un proceso binomial multiplicativo: dicho precio sube en
una proporción u o baja en una proporción d. Ambos valores, u y d, determinan la media y la volatilidad
del activo subyacente. De acuerdo a esta evoluc´ıon del precio del activo, el pago final de la opción de compra
es:
Cu = max {uS K, 0}
Cd = max {dS K, 0}
15

De manera análoga al modelo Black-Scholes, se construye una cartera libre de riesgo y el precio de una
opción de compra con un vencimiento igual a un pe´rıodo viene dado por:
C = e r t
(pCu + (1 p)Cd)
p =
er t
d
u d
t = T/N
Por tanto, el precio de la opción call puede interpretarse como el valor esperado (descontado) de los
pagos futuros de dicha opción. Dicha esperanza se calcula utilizando la medida de probabilidad neutral al
riesgo. Puesto que el método binomial es una aproximación del proceso en tiempo continuo que sigue el
precio del activo, se eligen los valores de los parámetros de salto (u y d) y la probabilidad (neutral al riesgo)
p de manera que la media y varianza neutrales al riesgo del proceso en tiempo discreto coincidan con las
del proceso en tiempo continuo dado por la ecuación (1).
Para evitar problemas numéricos, es recomendable utilizar el cambio de variable x = ln(S). En este
caso, x puede subir a x + xuo bajar a x + xd con probabilidades p y 1 p, respectivamente. Igualando
la media y la varianza de los procesos discreto y continuo, obteniéndose dos ecuaciones y, como antes, uno
de los tres pa´rámetros ( xu, xd o p) se puede elegir libremente.
Para la especificac´ıon basada en S(x), se puede construir un árbol para el precio del activo a partir
del valor inicialS0(x0). En cada nodo (i, j) de este árbol, los precios del activo y de la opción de compra
son Si,j = S0uj
di j
(xi,j = x0 + j xu + (i j) xd) y Ci,j, respectivamente. Se comienza en el nodo
final del ´árbol en el momento T donde se conoce el valor de la opción (su pago final). Puesto que se
está trabajando en un mundo neutral al riesgo, el valor de la opción en cada nodo en el momento T t
puede obtenerse como el valor esperado en el momento T multiplicado por un factor de descuento: Ci,j =
e r t
(pCi+1,j+1 + (1 p)Ci+1,j). Moviéndonos hacia atrás en el tiempo a lo largo de todos los nodos en el
árbol, se obtiene el precio de la opción en el momento inicial, C0,0.
Para una opción americana, la única diferencia es que, en cada nodo, se debe comparar la ganancia que
se obtiene si se ejerce la opción antes de su vencimiento frente a la ganancia que se consigue si la opc´ıon se
ejerce en un momento posterior.
La popularidad de los métodos de rejilla reside en su simplicidad conceptual y facilidad de implemen-
tación. Sin embargo, el hecho de que el número de precios del activo sea muy reducido en los periodos
iniciales supone un problema. Cuando se mira a los dos primeros periodos, con m=2, se encuentran un total
de 6 precios posibles —este número aumenta hasta 11 con m = 3. Comparando con las redes estocásticas
(siguiente sección), es bastante evidente que hay una diferencia significativa en el número de posibles precios
del activo en los periodos iniciales, lo cual puede llevar a resultados imprecisos.
Además, cuando se comparan con los Métodos Monte Carlo, se encuentra una clara desventaja al com-
parar Precisión/Coste Computacional.
2.3.3. Métodos de Redes Estocásticas
Las redes estocásticas se utilizan para valorar opciones americanas usando un tiempo discreto y aproxi-
maciones discretas. Se usan cuando no se puede obtener una solución cerrada. Esta sección se centra en el
Método de las Diferencias Finitas.
Método de las Diferencias Finitas Este método representa una técnica alternativa a la anterior y parte
de la construcción de una rejilla de puntos{(t, x) =(ik, jh) | i 2 Z+
, j 2 Z} , donde h y k son los parámetros
que indican el tamaño de la rejilla, tan pequeños como se quiera. A continuación, se obtiene una solución
aproximada de la ecuación diferencial en derivadas parciales en dichos puntos. Dicha solución se consigue
sustituyendo las derivadas parciales por diferencias finitas. En general, el método de las diferencias finitas
es una de las formas más simples de aproximar una ecuación diferencial. Por este motivo, el método de las
diferencias finitas se usa con frecuencia para modelos y productos financieros más complejos. Este método
se basa en la expresión f (x + b) f (x + a) que implica que el siguiente punto deriva del anterior haciendo
un método recursivo ya sea hacia adelante o hacia atrás. Las expresiones en diferencias se pueden centrar
alrededor de los momentos i + 1, i, o i + 1
2 . Estas alternativas dan lugar a tres métodos: expl´ıcito, impl´ıcito
o el método de Crank-Nicolson, respectivamente.
16

Figura 8: Método Impl´ıcito (forward recursion) vs Método Expl´ıcito (backward recursion)
La Figura 8 muestra la diferencia entre el método expl´ıcito (o recursión hacia atrás) y el método impl´ıcito
(o recursión hacia adelante). El método expl´ıcito tiene el inconveniente de ser estable y convergente sólo
si se impone la restricción x >
p
2 t. Dicha restricción implica que se podr´ıa necesitar muchos periodos
infinitesimales para obtener la solución. Este problema se evita con cualquiera de los otros dos métodos,
aunque son computacionalmente más costosos.
2.3.4. Simulación Monte Carlo
Según la teor´ıa general de valoración, el precio de una opción es la esperanza de su valor final descontado,
donde esta esperanza se calcula utilizando la medida de probabilidad neutral al riesgo. Dicho valor esperado
se puede estimar calculando la media de un gran número de pagos finales. Como se comenta anteriormente,
los pasos a seguir son los siguientes:
1. Simular el precio del activo subyacente (véase la expresión (1)) hasta el vencimiento de la opción y
calcular el payo↵ de dicha opción. Este paso se repite M veces.
2. Calcular la media de estos payo↵s15
.
3. Descontar esta media utilizando el tipo de interés libre de riesgo r para obtener una estimación del
precio de la opción.
El punto crucial es simular adecuadamente el proceso que sigue el precio del activo subyacente para lo cual
se recomienda utilizar el logaritmo de dicho precio. En este caso, la ecuación (2) se aproxima mediante:
x(t + t) = x(t) +
✓
r
1
2
2
◆
t +
p
t"
t = T/N
donde " procede de una distribución normal estándar. Esta ecuación se utiliza para obtener el valor de
x(t) desde el instante inicial hasta el momento final, T .
Deshaciendo el cambio x = ln(S) y resolviendo la ecuación diferencial se obtiene:
ST = S0e(r 1
2
2
)T +
p
T "
15Nótese que los caminos son igualmente probables pues la variables {"t} son independientes e idénticamente distribuidas.
17

El principal inconveniente de este método es que es muy intensivo desde un punto de vista computacio-
nal pues, en general, se necesitan muchas simulaciones para obtener un grado de precisión aceptable. Este
problema se puede simplificar mediante la utilización de técnicas de reducción de la varianza o con métodos
como el que proponen Longsta↵ y Schwartz en el cap´ıtulo 3.
Figura 9: Simulación Monte Carlo con 40 caminos. K = 120, S0 = 123,59
En la figura 9 se puede ver una simulación de 40 caminos con S0 = 123,59 , = 0,2 y r = 0,05.
Como ilustración ahora se procede a calcular el precio de la opción call europea con vencimiento un año
y strike K = 120. Para ello se aplica la fórmula de valoración neutral al riesgo descontando con el tipo de
interés libre de riesgo
C (S, T) =e rT 1
M
MX
i=1
payo↵i=e rT 1
M
MX
i=1
max Si
T K, 0 = $17,473
Como se ha mencionado previamente, el principal problema para valorar opciones americanas proviene
de la posibilidad de ejercerla antes del vencimiento. Existen por tanto diferentes fechas posibles de ejercicio
en cada una de las cuales el propietario de la opción debe decidir entre ejercer la opción o esperar a ejercer
en una fecha futura. Esta decisión depende de la comparación entre la ganancia que se obtiene si se ejerce la
opción (el valor inmediato de ejercicio) y la ganancia que se consigue si se ejerce la opción en un momento
posterior (el valor de continuación).
Esta complicación no se presenta en el caso de las opciones europeas, que se ejercen sólo a vencimiento y
si el payo↵ es positivo. Ésta es la razón por la que Longsta↵ y Schwartz desarrollaron el método LSM, que
resulta ser simple y eficiente para determinar si es conveniente el ejercicio inmediato de la opción, además
de proporcionar su precio inicial.
18

3 EL MÉTODO ((LEAST-SQUARES MONTE CARLO)) (LSM)
3. El método ((Least-Squares Monte Carlo)) (LSM)
El algoritmo propuesto por Longsta↵ y Schwartz en [1] es una metodolog´ıa simple, pero a la vez eficiente,
para valorar opciones americanas, bermuda y exóticas a través de la simulación Monte Carlo y las técnicas
de regresión. El objetivo del algoritmo LSM es proporcionar el precio de estos contratos. La idea clave
es encontrar, para cada camino simulado !, el instante en el que el ejercicio inmediato procure un payo↵
mayor que el valor que se obtendr´ıa en caso de continuar con la opción (i.e. sin ejercerla). Este valor de
continuación C(St|Ft) se estima mediante una regresión m´ınimos cuadrados para cada instante de ejercicio
t. Estas regresiones utilizan como variables explicativas una serie de funciones cuyos argumentos dependen
de los precios de los activos subyacentes. El valor esperado de continuación de la opción viene dado por
el valor estimado en estas regresiones. La pol´ıtica óptima de ejercicio se toma tras comparar estos valores
estimados con los valores de ejercicio inmediato. Este proceso se repite recursivamente en cada una de las
posibles fechas de ejercicio comenzando en el instante dado por el vencimiento de la opción y terminando
en el momento inicial. As´ı, en cada fecha de ejercicio, se obtiene un flujo de caja. El precio de la opción
americana se obtiene descontando al momento inicial estos flujos de caja. Por otra parte, el instante de
ejercicio óptimo, ⌧k, es el que maximiza el valor de la opción.
3.1. Marco general de valoración
Estos autores quieren valorar en el instante inicial, t = 0, una opción que vence en el instante T. En
el intervalo temporal finito, [0, T], se define un espacio de probabilidad (⌦, F, P) y una medida martingala
equivalente, Q (ver [11]; p.1148; sección 2.2.2) . ⌦ representa el conjunto de todas las posibles realizaciones
de una econom´ıa estocástica desde 0 hasta T y sus elementos, ! 2 ⌦, representan cada camino simulado. F
representa la álgebra que simboliza los eventos que pueden distinguirse a tiempo T. P denota la medida
de probabilidad definida para los elementos de F. Se denota por F (!, s; t, T), ! 2 ⌦, s 2 (t, T] la trayectoria
de cash flows de la opción, suponiendo que la opción se ejerce después de t y que el inversor sigue siempre
la estrategia de decisión óptima.
Se supone que la opción americana se puede ejercer en un número finito de fechas de ejercicio 0 < t1 <
t2 < . . . < tK = T. Esto equivale a aproximar la opción american por su opción bermuda correspondiente.
Bajo condiciones de no-arbitraje, el valor de continuación es igual a la esperanza (neutral al riesgo) de los
cash flows futuros descontados F (!, s; tk, T) con respecto a la medida neutral al riesgo Q. Concretamente,
en tk, el valor de continuación se puede expresar como:
C(!; tk) = EQ
2
4
KX
j=i+1
exp
✓ ˆ tj
tk
r(!, s)ds
◆
F (!, tj; tk, T) |Ftk
3
5 (5)
donde r(!, s) es el tipo de interés libre de riesgo y Ftk
representa la información disponible en el instante
tk
16
.
Suposición. En lo que sigue se asumirá que el tipo de interés libre de riesgo sigue una función constante.
Por tanto, se podr´ıa entender la expresión (5) como:
C(!; tk) = EQ
2
4
KX
j=i+1
exp ( r (tj tk)) F (!, tj; tk, T) |Ftk
3
5
Los datos de inicio son FK(!) = P(ST (!)) = PK(!), que es el valor de los payo↵s a vencimiento, y
⌧K = T, es decir, en el primer paso se asume que el ejercicio óptimo se realiza en t = T (ser´ıa el equialente
a una opción europea) y se van modificando iterativamente los cash flows y los instantes de ejercicio.
En la fecha de vencimiento, el inversor ejercerá la opción si está ITM o la dejará vencer si está OTM.
Supóngase ahora que se está en tk y que ya se han calculado Fk+1 y ⌧k+1 (tk+1  ⌧k+1  T), se procede
a calcular estas cantidades para k. Para ello se compara el valor de ejercicio inmediato, Pk, con el
valor de continuación, Ck := C(Sk, tk), bajo la estrategia ⌧k en cada camino !, que corresponde al valor
esperado de los cash flows descontados desde los instantes de pago óptimos, suponiendo que no se puede
ejercer antes de tk:
Ck = EQ [exp ( r(⌧k+1 tk)) Fk+1|Fk]
16Se asume que FT = F.
19

3.2 Descripción del algoritmo 3 EL MÉTODO ((LEAST-SQUARES MONTE CARLO)) (LSM)
El valor esperado está condicionado por la información del mercado hasta tk. De la comparación de los
dos valores se dan los siguientes casos:
(
Ck(!) > Pk(!) entonces Fk = Fk+1 y ⌧k = ⌧k+1, 8!
Ck(!) < Pk(!) entonces Fk = Fk y ⌧k = tk+1, 8!
(6)
El precio de la opción put corresponde con el valor C0 bajo la estrategia de ejercicio óptima ⌧1,
C0 = EQ [exp ( r(⌧1 t0)F1|F0)]
3.2. Descripción del algoritmo
El enfoque del LSM usa los m´ınimos cuadrados para aproximar la esperanza condicionada, Ck, en cada
instante tK 1, tK 2, ..., t1. Se trabaja hacia atrás en el tiempo pues el camino de cash flows F (!, s; tk, T)
puede diferir de C (!, s; tk+1, T) ya que puede ser óptimo el parar en el tiempo tk+1. Estos valores Ck se
obtienen eligiendo un conjunto de funciones base y haciendo una regresión mediante m´ınimos cuadrados
para determinar los coeficientes {ai|i = 0, 1, ..., r} de la aproximación. Se van a considerar sólo los caminos !
que en ese instante esten ITM, ya que en los que estén OTM no hay que tomar decisiones, pues no se ejerce
inmediatamente y alteran los resultados de la regresión. Los cash flows obtenidos en tk+1 y descontado a
tk, Fk+1 · e⌧k+1 tk
(suponiendo que no se haya ejercido antes) forman la variable dependiente Y para la
regresión. Los valores del activo subyacente, Sk, formar´ıan la variable dependiente X. Con la elección de las
funciones base L = {1, L1, ..., Lr}la expresión que mejor ajusta es:
Ck = EQ [exp ( r(⌧k+1 tk)) Fk+1|Fk] = EQ [Y |X] = a0 +
rX
i=1
aiLi (7)
En primer lugar se va al vencimientoT, suponiendo que no se ha ejercido antes la opción. Los cash flows
FT (!) están determinados por el payo↵:
FT (!) = PT (ST (!), T) = max {K ST , 0}
que ser´ıan el equivalente al de una opción europea.
A continuación, se retrocede a tK 1. En este instante se quiere maximizar el payo↵, ie, se debe decidir
entre ejercer inmediatamente, obteniendo PK 1 = max {K SK 1, 0} o ejercer en T y obtener PT =
PK t ⌘ PK. El problema es que en tK 1 hay que calcular CK 1, que depende de la distribución de SK
condicionada a la situación actual. Si se decidiera ejercer en un caso en que el valor de continuación (es
decir, de no ejercer inmediatamente) fuera mayor que el de ejercicio inmediato, se estar´ıa infravalorando
la opción. Como consecuencia, es necesario estimar el valor de continuación, CK 1, con la información de
mercado disponible hasta tT 1 y la regresión descrita en (7).
Habiendo estimado CK 1(!), si CK 1(!) < PK 1(!) 8!, se ejerce inmediatamente, por lo tanto,
FK 1(!) se actualiza con el valor PK 1(!) y se guarda tK 1 como ⌧K 1(!). En caso contratio, no se
ejerce y FK 1(!) = FK(!), ⌧K 1(!) = ⌧K(!).
En general, para cada camino ! en tk, se desconoce Ck(!) as´ı que se estima de nuevo su valor con (7)
usando sólo los caminos ITM. Se compara el valor de ejercicio inmediato Pk(!) con el de continuación Ck(!)
y se actualizan los valores de Fk(!) y ⌧k(!) como en (6).
Cuando se obtiene en el último paso el valor de F1, se descuentan los valores para cada ! desde ⌧1(!)
hasta t0. El precio de la opción es la media aritmétcia de estos valores, es decir, el precio es la media de los
payo↵s de la opción en el instante óptimo de ejercicio para cada camino y descontado al presente.
3.3. Regresión m´ınimos cuadrados
En cada etapa tk del algoritmo se ha visto la necesidad de realizar una regresión que estime el valor
esperado Ck de continuar sin ejercer inmediatamente la opción.
Se toma como variable independiente X = {St (!) | ! 2 ITM}. Del mismo modo se toma como variable
dependiente Y = {Fk+1 (!) exp ( r (⌧k+1 tk)) | ! 2 ITM} y las funciones base {1, L1 (X) , L2 (X) , ...., Lr (X)}.
Se quiere encontrar una combinación lineal de estas funciones que aproxime el valor de continuación
Ck (Sk, tk):
Ck (Sk, tk) ⇡ Fk (!) ⇡
rX
i=0
aiLi (X)
20

3.4 Un ejemplo numérico 3 EL MÉTODO ((LEAST-SQUARES MONTE CARLO)) (LSM)
de manera que se minimice el error cuadrático:
✏ =
v
u
u
t
X
!2IT M
Fk (!)
rX
i=0
aiLi (X)
!2
El m´ınimo se alcanza en:
0 =
@✏2
@as
= 2
X
!2IT M
Fk (!)
rX
i=0
aiLi (X)
!
Ls (X)
!
s 2 {0, 1, ..., r}
de modo que para cada s los coeficientes ai son la solución de:
X
!2IT M
Fk (!) Lx (X) =
X
!2IT M
rX
i=0
aiLi (X) Ls (X) =
rX
i=0
ai
X
!2IT M
Li (X) Ls (X)
Se trata, pues, de un sistema lineal de ecuaciones de la forma:
cr⇥1 = Ar⇥r · br⇥1
donde
cs =
X
!2IT M
Fk (!) Ls (X)
As,i =
X
!2IT M
Li (X) Ls (X)
para s 2 {0, 1, ..., r} . El vector c y la matriz A son datos conocidos y b es el vector de coeficientes buscado.
Este sistema tiene solución: 0
B
B
B
@
b0
b1
...
br
1
C
C
C
A
= A 1
0
B
B
B
@
c0
c1
...
cr
1
C
C
C
A
3.4. Un ejemplo numérico
A continuación, se incluye un ejemplo numérico que muestra que, si se utiliza el método LSM con
un número reducido de trayectorias simuladas, una opción americana puede tener un precio inferior a su
contraparte europea.
Se va a valorar una opción put americana sobre una acción que no paga dividendos.
Tiene 3 instantes de ejercicio: en 4, 8 y 12 meses.
El valor actual del activo subyacente es S0 = 1
Precio de ejercicio:K = 1,1
Tasa de interés libre de riesgo: r = 5 %
La volatilidad impl´ıcita del activo subyacente es = 20 %
Se toman como funciones base L = {1, L1, ..., LT } = 1, X, X2
Simulación de trayectorias Se generan 8 trayectorias del activo subyacente.
21

Camino t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Cam 1 1 0.917938 1.272171 1.417021
Cam 2 1 1.133931 1.290983 1.669802
Cam 3 1 1.162833 0.917742 1.228432
Cam 4 1 1.096706 1.081163 1.11828
Cam 5 1 1.056690 0.871784 0.818722
Cam 6 1 1.416442 1.672474 1.363264
Cam 7 1 0.937138 0.945920 0.861259
Cam 8 1 0.872576 0.658605 0.47527
Figura 10: Caminos del subyacente
La representación gráfica de estos valores se recoge en la siguiente figura:
Figura 11: Representación gráfica de la matriz de precios
El eje de abscisas representa el tiempo, desde el instante de ejerciciot = 1 , que representa el momento
inicial, hasta t = 4. El eje de ordenadas son los valores que puede tomar subyacente. Se procede hacia atrás
en el tiempo:
Cashflows F3 en el vencimiento T Se calculan los flujos F3 obtenidos por el comprador en el momento
de vencimiento de la opción, condicionado a no ejercer antes de T para cada camino. En este primer paso,
los flujos coinciden con el payo↵ en t3, P3. Además, se inicializan los instantes de ejercicio óptimos t⇤
Recuérdese que el payo↵ de una opción put en el instante de ejercicio t es el siguiente:
Pt = max {K St, 0} t 2 {1, .., 3}
22

P1 P2 P3
Cam 1 0.1821 0 0
Cam 2 0 0 0
Cam 3 0 0.1823 0
Cam 4 0.0033 0.0188 0
Cam 5 0.0433 0.2282 0.2813
Cam 6 0 0 0
Cam 7 0.1629 0.1541 0.2387
Cam 8 0.2274 0.4414 0.6247
F3 t⇤
0 3
0 3
0 3
0 3
0.2813 3
0 3
0.2387 3
0.6247 3
Cashflows F2 Se descuentan los flujos F3 hasta tiempo t2. En cada fecha, X denota el precio del activo
subyacente, e Y representa el flujo de caja (descontado) que se recibirá en fechas futuras si se decide que
la opción no será ejercida en este momento.Se hace la regresión entre estos valores considerados como la
variable dependiente Y y la variable independiente X = S2 usando sólo las trayectorias in-the-money para
obtener la aproximación polinómica C2 (E [Y |X]). Comparando C2 (el valor esperado que se obtiene si no
se ejerce en t2 y se continúa) con P2 (el valor que se obtiene si se ejerce en t2) se decide si ejercer o no en
tiempot2 . Si se ejerce, se actualiza el valor t⇤
a este instante en el respectivo camino.
Camino F3 Y X P2 C2 (E [Y |X]) Decisión
Cam 1 0 0 0 0 0 —
Cam 2 0 0 0 0 0 —
Cam 3 0 e 0,05
· 0 0.917742 0.182258 0.1539056 Ejercer
Cam 4 0 e 0,05
· 0 1.081163 0.018837 0.0048106 Ejercer
Cam 5 0.2813 e 0,05
· 0,2813 0.871784 0.228216 0.2138467 Ejercer
Cam 6 0 0 0 0 0 —
Cam 7 0.2387 e 0,05
· 0,2387 0.945920 0.154080 0.1210645 Ejercer
Cam 8 0.6247 e 0,05
· 0,6247 0.658605 0.441395 0.5952915 Esperar
Para decidir entre ejercer o esperar, se ha estimado el valor de continuación y se compara con el valor
de ejercicio inmediato. La aproximación polinómica de C2 que mejor ajusta está dada por:
E [Y |X] = 2, 848474−4, 6539X + 1, 871826X2
En la tabla anterior, se observa que se ejerce la opción en todas las trayectorias ITM, excepto la octava,
en la que P2 < C2
P1 P2 P3
Cam 1 0.1821 0 0
Cam 2 0 0 0
Cam 3 0 0.182258 0
Cam 4 0.0033 0.018837 0
Cam 5 0.0433 0.228216 0.2813
Cam 6 0 0 0
Cam 7 0.1629 0.154080 0.2387
Cam 8 0.2274 0.441395 0.6247
F2 t⇤
0 3
0 3
0 2
0 2
0.2813 2
0 3
0.2387 2
0.6247 3
Cashflows F1 Se repite este proceso en t = 1, donde también se tienen 5 trayectorias ITM. Ahora, para
calcular la variable Y , se utilizan los cashflows que se recebirán en los momentos t = 2 ot = 3 (pero no en
ambas fechas) para cada trayectoria. Estimando otra vez Y sobre una constante y sobre las dos primeras
potencias de X, se obtiene:
E [Y |X] = 23, 905695−47, 1482X + 23, 23217X2
Los valores de X e Y son los siguientes:
23

Cam 1 0 e 0,05
· 0 0.917938 0.182062 0.202191 Esperar
Cam 2 0 0 0 0 0 —
Cam 3 0 0 0 0.182258 0 —
Cam 4 0 e 0,05
· 0,018837 1.096706 0.003294 0.1407488 Esperar
Cam 5 0.2813 e 0,05
· 0,228216 1.056690 0.043310 0.0255102 Ejercer
Cam 6 0 0 0 0 0 —
Cam 7 0.2387 e 0,05
· 0,154080 0.937138 0.162862 0.1244155 Ejercer
Cam 8 0.6247 e 0,05·2
· 0,62473 0.872576 0.227424 0.4539830 Esperar
Por tanto, los cashflows que paga esta opción americana en las tres fechas de ejercicio son los siguientes:
Camino t=1 t = 2 t = 3
Cam 1 0 0 0
Cam 2 0 0 0
Cam 3 0 0.182258 0
Cam 4 0 0.018837 0
Cam 5 0.043310 0 0
Cam 6 0 0 0
Cam 7 0.162862 0 0
Cam 8 0 0 0.62473
Por tanto, en t = 1, se ejerce la opción en las trayectorias quinta y séptima. En t = 2, se ejerce la opción
en las trayectorias tercera y cuarta y, en el momento final, t = 3, se recibe un pago no nulo en la octava
trayectoria.
Obviamente, todos los cashflows en las trayectorias segunda y sexta son nulos porque ambas son tra-
yectorias OTM. En la primera trayectoria, los flujos de caja son también nulos aunque, en t = 1, la opción
está ITM. Esto se debe a que la decisión óptima en este momento fue la de esperar.
Camino F1 F1 descontado
Cam 1 0 F1 · e 0,05·3
Cam 2 0 F1 · e 0,05·3
Cam 3 0.182258 F1 · e 0,05·2
Cam 4 0.018837 F1 · e 0,05·2
Cam 5 0.043310 F1 · e 0,05·1
Cam 6 0 F1 · e 0,05·3
Cam 7 0.162862 F1 · e 0,05·1
Cam 8 0.62473 F1 · e 0,05·3
Finalmente, descontado estos cashflows al momento inicial y calculando la media de los valores en todas
las trayectorias, se obtiene que el precio para la opción americana es 0.114473.
24

4 PROCESOS ((JUMP DIFFUSION))
4. Procesos ((Jump Di↵usion))
El desarrollo del modelo de Merton exige obligatoriamente un conocimiento extenso del proceso de
difusión con saltos. En s´ıntesis, este tipo de proceso implica la posibilidad de que la rentabilidad de un
t´ıtulo experimente, de vez en cuando, modificaciones sustanciales, seguidas de per´ıodos de reducida variación.
Anal´ıticamente, la tasa de variación de los precios del t´ıtulo se compone de dos términos: el correspondiente
a variaciones reducidas se modeliza como un proceso de difusión, similar a B-S, mientras que el término que
describe esas modificaciones importantes, denominadas como saltos, se representa mediante un proceso de
Poisson. Esta dinámica parece más ((real)), intuitiva y sugerente que aquella otra que establece la posibilidad
de sólo pequeños cambios en per´ıodos de tiempo relativamente cortos, como se hace con el proceso clásico
de difusión.
En la sección (2.2.1) se presentaba el modelo de Black-Scholes junto con una serie de suposiciones
que hac´ıan funcionar al modelo. Como se demuestra en [5] el modelo funciona en tanto que el precio del
activo siga un proceso de difusión en tiempo continuo. Sin embargo, la solución de Black-Scholes no es
válida, incluso en el l´ımite continuo, cuando la dinámica del precio del activo no puede representarse por
un proceso estocástico con gráfica continua. En esencia, la validez de la fórmula de B-S depende de que
el precio del activo satisfaga la propiedad de Markov17
a nivel ((local)). Esto es, en un periodo pequeño de
tiempo, el precio del activo sólo puede variar una cantidad pequeña.
Los procesos opuestos serian los llamados procesos estocásticos de salto definidos en tiempo conti-
nuo. En estos procesos, básicamente, se permite que el precio del activo cambie ((extraordinariamente)) sin
importar el tamaño del intervalo entre dos observaciones sucesivas. No es raro observar cambios en el precio
de algun activo en el que, al menos aparentemente, se vean saltos (normalmente en respuesta a alguna no-
ticia o acontecimiento). El propósito de esta sección es evaluar el precio de una opción cuando el precio del
activo subyacente sufre (o puede sufrir) cambios ((no locales)). Se asumirán ciertas las mismas suposiciones
hechas por Black y Scholes.
4.1. Las dinámicas del precio del activo
El cambio total en el precio del activo se supone dado por dos tipos de cambios:
1. Las fluctuaciones ((normales)) del precio. Por ejemplo, debido a una descoordinación entre oferta
y demanda, cambios en las tasas de capitalización, o la llegada de nueva información que cause un
cambio maringal en el precio del activo. Esta componente esta modelada por Movimiento Browniano
Geométrico18
estandar.
2. Las fluctuaciones ((anormales)) del precio. Generalmente se deben a la llegada de información im-
portante que tiene un efecto más que marginal en el precio del activo. Suele ser información concreta
referente a la empresa. Es importante suponer que este tipo de información sólo llega en momen-
tos puntuales, en puntos discretos del intervalo temporal19
. Esta componente está modelada por un
proceso estocástico de salto.
Dado que se suponen las dinámicas como un proceso de tiempo continuo, se hace la asociacián natural entre
la componente continua del cambio del precio del activo y un proceso de Wiener. De igual modo, la
componente del salto se modela por un proceso de Poisson.
En el proceso de Poisson se asume que las llegadas de informacián es independiente e idénticamente
distribuidas. Por tanto, la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo de longitud h (donde h es
tan pequeño como se quiera) puede escribirse como:
dq :
8
><
>:
P {el evento no ocurre en el intervalo (t, t + h)} = 1 h + o (h)
P {el evento ocurre una vez en el intervalo (t, t + h)} = h + o (h)
P {el evento ocurre más de una vez en el intervalo (t, t + h)} = o (h)
17Se dice que un proceso estocastico (Xt)t2T satisface la propiedad de Markov si P Xtn+1 2 B|Xt1 , ..., Xtn =
P Xtn+1 2 B|Xtn para cada t1 < t2 < ... < tn 2 T y B ⇢ S donde S es el conjunto de todos los posibles valores
para Xt.
18Un proceso estocastico St se dice que sigue un Movimiento Browniano Geometrico si satisface la siguiente ecuacion
diferencial estocastica dSt = µStdt + StdWt donde µ (el llamado drift) y (volatilidad) son constantes.
19Para ser consistentes con la hipotesis del mercado eficiente, las dinámicas de la parte no prevista de los movimientos del
precio del activo deben de ser una martingala.
25

4.1 Las dinámicas del precio del activo 4 PROCESOS ((JUMP DIFFUSION))
donde o (h) es el s´ımbolo asintótico definido por (h) = o (h) si limh!0 [ (h) /h] = 0 y (intensidad
del proceso de Poisson) representa el número medio de llegadas de información por minuto. Por lo tanto,
existe una probabilidad finita de salto en un tiempo finito. Nótese que E [dq] = dt y entonces se tiene una
probabilidad dt de un salto en q de tamaño 1 en el instante dt.
Suponiendo que ocurra uno de los llamados procesos de Poisson se ve que la llegada de nueva información
supone cierto impacto en el precio del activo. Es decir, supóngase que S (t) representa el precio del activo
en el tiempo t y que Y representa la variable aleatoria de este impacto, entonces, el precio del activo en
el tiempo t + h, S (t + h), vendrá dado por la variable aleatoria S (t + h) = S (t) Y 20
, asumiendo que esa
información llega en el intervalo (t, t + h).
Suposición. Se asume en todo momento que Y es una variable aleatoria con soporte compacto y no nega-
tiva.
Se puede formular el precio del activo subyacente como una combinación de ecuaciones diferenciales
estocásticas en la que los caminos son continuos y otras en las que los caminos siguen procesos de Poisson.
Suponiendo que S (t) = S, se tiene:
dS
S
= (↵ k) dt + dZ + dq
donde ↵ es el retorno esperado instantáneo; 2
es la varianza instantánea del retorno supuesto no llegue
información nueva, ie, que no suceda un evento de Poisson; dZ es un proceso de Gauss-Wiener estándar;
q (t) es proceso independiente de Poisson descrito anteriormente. dq y dZ se suponen independientes; es
la media de llegadas de informacián por unidad de tiempo; k = E (Y 1) donde (Y 1) es la variable
aleatoria que representa el porcentaje en el cambio —medido sobre 1— del precio del activo cuando sucede
un proceso de Poisson; E representa el valor esperado en la medida neutral al riesgo de la variable aleatoria.
Figura 12: Dos procesos ((Jump Di↵usion)) con = 0,01
La componente dZ describe la parte instantánea del retorno no anticipado debido a las fluctuaciones
((normales)) del precio, y la componente dq describir´ıa la parte correspondiente a las fluctuaciones llamadas
((anormales)). Nótese que si = 0 y, por tanto, dq = 0, las dinámicas del retorno ser´ıan idénticas a las
planteadas por Black y Scholes y que se mencionan en (1), entonces se puede reescribir:
dS
S
=
(
(↵ k) dt + dZ si el proceso de Poisson no sucede
(↵ k) dt + dZ + (Y 1) si el proceso de Poisson sucede
(8)
20Notese que Y es la variable aleatoria que representa el impacto sobre el precio del activo. Por eso la tasa de cambio viene
dada por (Y 1) 2 [0, 1].
26

4.2 Las dinámicas del precio de la opción 4 PROCESOS ((JUMP DIFFUSION))
Figura 13: Dos procesos ((Jump Di↵usion)) con = 0
Se aprecia que, en el caso de producirse un proceso de Poisson, la función obtiene un salto finito desde
S hasta SY . As´ı, el camino resultante para S (t) será continuo la mayor´ıa del tiempo con saltos finitos de
diferentes signos (hacia arriba o hacia abajo) y con diferentes amplitudes en puntos discretos del intervalo
temporal.
4.2. Las dinámicas del precio de la opción
Una vez establecidos las dinámicas del precio del activo, esta subsección se centra en las dinámicas del
precio de la opción. Supóngase que el precio de la opción, W, puede ser escrito como una función continua
dos veces diferenciable del precio del activo y del tiempo.
W (t) = F (S, t)
Si el precio del activo sigue las dinámicas descritas en (8), entonces las dinámicas de los retornos de la
opción pueden escribirse, de igual modo, como:
dW
W
= (↵W kW ) dt + W dZ + dqW
donde ↵W es el retorno esperado instantáneo de la opción; 2
W es la varianza instantánea del retorno de
la opción supuesto no llegue información nueva, ie, que no suceda un evento de Poisson; dZ es un proceso
de Gauss-Wiener estándar; qW (t) es proceso independiente de Poisson con parámetro ; kW = E (YW 1)
donde (YW 1) es la variable aleatoria que representa el porcentaje en el cambio del precio de la opción
cuando sucede un proceso de Poisson.
Aplicando el Lema de Itô para la parte continua y para la parte del salto se obtiene
↵W =

1
2
2
S2
FSS (S, t) + (↵ k) SFS (S, t) + Ft + E (F (SY, t) F (S, t)) /F (S, t) (9)
W = FS (S, T) S/F (S, t) (10)
donde FSS y FS representan la derivada parcial segunda y primera respectivamente.
El proceso de Poisson para el precio de la opción, qW (t), es perfectamente dependiente del proceso de
Poisson del precio del activo, q (t). Asi, el proceso de Poisson para la opción ocurre si y solo si ocurre el
equivalente para el precio del activo. Es más, si ocurre el proceso para el precio del activo y la variable
27

4.3 Hedging con saltos de Poisson 4 PROCESOS ((JUMP DIFFUSION))
aleatoria Y toma el valor Y = y entonces el proceso de Poisson para la opción ocurre también, y la variable
YW toma el valor21
YW = F (SY, t) /F (S, t) .
4.3. Hedging con saltos de Poisson
Dado un activo financiero cuyo precio viene representado por un proceso estocastico S = (St)t lo natural,
además de construir derivados sobre el precio del activo, es construir estrategias de trading que involucren a
S. Para describir las estrategias de trading se necesita considerar carteras dinámicas que resultan de comprar
y vender activos.
En esta subsección se considera una estrategia de cartera que contenga el activo, la opción y un activo
libre de riesgo con retorno r por unidad de tiempo con proporciones w1,w2 y w3. Naturalmente
P3
j=1 wj = 1.
Si se denota por P al valor de la cartera o portfolio entonces las dinámicas de retorno se pueden escribir
como:
dP/P = (↵P kP ) dt + P dZ + dqP (11)
donde ↵P es el retorno esperado instantáneo de la cartera; 2
W es la varianza instantánea del retorno de
la cartera suponiendo que no llegue informacion nueva, ie, que no suceda un evento de Poisson; qP (t) es
proceso independiente de Poisson con parámetro ; kP = E (YP 1) donde (YP 1) es la variable aleatoria
que representa el porcentaje en el cambio del valor de la cartera cuando sucede un proceso de Poisson.
Obteniéndose as´ı:
↵P = w1 (↵ r) + w2 (↵W r) + r (12)
P = w1 + w2 W (13)
YP 1 = w1 (Y 1) + w2 [F (SY, t) F (S, t)] /F (S, t) (14)
donde w3 = 1 w1 w2 ya se ha sustituido.
En el análisis de B-S, donde = 0 (y por tanto, dq = dqW = dqP = 0), el retorno de la cartera puede
hacerse libre de riesgo escogiendo w1 = w⇤
1, w2 = w⇤
2 de forma que w⇤
1 + w⇤
2 W = 0. Un vez hecho esto, y
con objeto de evitar arbitraje, el retorno esperado de la cartera con proporciones (w⇤
1, w⇤
2) equivale a la tasa
libre de riesgo r. De esta condición, junto con las ecuaciones (12) y (13), se deduce que (ver Apendice I) :
(↵ r) / = (↵W r) / W (15)
y de (9) —con = 0— (10) y (15) se llega a la EDP para el precio de la opción (ver Apéndice I):
1
2
2
S2
FSS + rSFS rF + Ft = 0 (16)
Lamentablemente, en presencia del proceso de salto, dq, el retorno de la cartera con proporciones w⇤
1 y
w⇤
2 no podrá ser libre de riesgo. Es más, un estudio más en profundidad de la ecuación (14) prueba que no
existen w1, w2 que eliminen el riesgo causado por el salto, es decir, que hagan YP = 1. La razón es que las
combinaciones de activos que se hacen en la cartera son lineales y el precio de la opción es una función
no lineal del precio de la acción. De esta forma, si Y tiene dispersión (varianza o desviación tipica) positiva
entonces para cualquier valor de (w1, w2) , YP 1 no tomará valor cero para ningun valor positivo de Y .
As´ı, la cobertura (hedge) de Black-Scholes siempre tendrá riesgo.
Sin embargo, uno todav´ıa puede hacer funcionar las caracter´ısticas de la cartera cuando seguimos las
coberturas de B-S. Denótese por P⇤
el valor de la cartera. De (21) se tiene que
dP⇤
/P⇤
= (↵⇤
P k⇤
P ) dt + dq⇤
P (17)
Nota. El retorno de la cartera es un proceso de salto puro puesto que la parte continua de los precios de la
acción y la opción has sido cubiertos.
Se puede reescribir (17) como:
dP⇤
/P⇤
=
(
(↵⇤
P k⇤
P ) dt si el proceso de Poisson no sucede
(↵⇤
P k⇤
P ) dt + (Y ⇤
P 1) si el proceso de Poisson sucede
21Se debe advertir que, aunque ambos procesos son dependientes, no lo son linealmente pues F es una función no-lineal de
S.
28

4.4 Fórmula de Merton para la valoración de la opción 4 PROCESOS ((JUMP DIFFUSION))
De la ecuación anterior se ve que la mayor parte del tiempo el retorno de la cartera es predecible y da
un rendimiento de (↵⇤
P k⇤
P ). Sin embargo, en media, una vez cada 1/ unidades de tiempo, el valor de
la cartera tomará un salto inesperado.
Se pueden obtener algunos resultados cualitativos del retorno. De las ecuaciones (14) y (10) se obtiene:
Y ⇤
P 1 = w⇤
2 [F (SY, t) F (S, t) FS (S, t) (SY S)] /F (S, t) (18)
Por convexidad de la función del precio del activo y del precio de la opción,
[F (SY, t) F (S, t) FS (S, t) (SY S)] 0
para todo valor de Y . As´ı, si w⇤
2 0 entonces (Y ⇤
P 1) 0 tambien, y el retorno no anticipado de la cartera
de cobertura será siempre positivo. Si w⇤
2 < 0 entonces el retorno no ancticipado será negativo. Es más, el
signo de k⇤
P será el mismo que el de w⇤
2.
Por tanto, si un inversor sigue una cobertura de Black-Scholes donde mantiene una posición larga en
la acción y una posición corta en la opción (ie, w⇤
2 < 0) entonces la mayor´ıa del tiempo ganará más que
el retorno esperado, ↵⇤
P , en la cobertura, porque k⇤
P < 0. Sin embargo, en esas ((raras)) ocasiones donde
el precio de la acción ((salte)), sufrirá pérdidas relativamente grandes. Por supuesto, esas pérdidas ocurren
con una frecuencia tal que, en media, compensan ese ((exceso)) en el retorno, k⇤
P . Si, por el contrario,
el inversor sigue una cobertura de Black-Scholes (inversa) donde tiene una posición corta en la acción y
una posición larga en la opción (ie, w⇤
2 > 0), entonces la mayor´ıa del tiempo ganará menos que el retorno
esperado. Pero si el precio de la acción ((salta)) entonces tendrá ganancias relativamente grandes.
En conclusión, en periodos ((tranquilos)) donde llegue poca o ninguna información espec´ıfica referente a
la compañ´ıa, los emisores de opciones tenderán a ganar lo que aparentemente son ganancias excesivas, y los
compradores de opciones perderán. Sin embargo, en los relativamente infrecuentes periodos de ((actividad)),
los emisores sufrirán pérdidas relativamente grandes y los compradores ganarán. Evidentemente, si la llegada
de un periodo de ((actividad)) es arbitraria, entonces no existe una forma sistemática de explotarlo. Es
importante resaltar que las pérdidas sufridas por los emisores de acciones durante los periodos de actividad
no son resultado de una infravaloración de la varianza. En general, no hay una varianza finita que se pueda
usar en la fórmula para ((proteger)) al emisor contra las pérdidas producidas por un salto.
4.4. Fórmula de Merton para la valoración de la opción
Como se ha demostrado en el apartado anterior, no existe forma de construir una cartera libre de riesgo
con acciones y opciones y, por tanto, la técnica de no arbitraje de Black-Scholes no se puede usar. Está
claro que si uno supiese el retorno requerido de la opción (como función del precio de la acción y del tiempo
hasta la fecha de vencimiento) entonces se podr´ıa establecer una fórmula para el precio de la opción. Sea
g (S, ⌧) la tasa esperada de retorno instantánea de la opción que está en equilibrio cuando el precio actual
de la acción es S y la opción expira en ⌧. Se sigue de (9) que F, escrita como función del tiempo hasta la
expiración, debe satisfacer:
0 =
1
2
2
S2
FSS + (↵ k) SFS Ft g (S, ⌧) F + E {F (SY, ⌧) F (S, t)} (19)
sujeto a las condiciones de contorno:
F (0, ⌧) = 0 (20)
F (S, 0) = max {S K, 0} (21)
La ecuación (18) es una EDP que, aunque es lineal, es dif´ıcil de resolver. La belleza del resultado de
Black-Scholes surge de la no necesidad de conocer ↵ o g (S, t) para calcular el precio de la opción y, en
cambio, se necesita conocer ambas para resolver (19).
Un enfoque alternativo al problema de valoración de la opción seguir´ıa la l´ınea del resultado original de
Black-Scholes. Al comienzo del cap´ıtulo (4) se hab´ıan descrito las dinámicas del precio de la acción como
una composición de una parte continua que reflejaba la nueva información que ten´ıa un impacto marginal
en el precio, y de una parte de salto que representaba la nueva información importante que ten´ıa un
impacto más que marginal en el precio del acción. Nótese que si el motivo de los saltos es dicha información
entonces la componente del salto representara un ((riesgo no sistemático)), es decir, la componente del salto
estará incorrelada con el mercado. Supóngase que esto es cierto para, al menos, las acciones. Se vuelve a
29

4.4 Fórmula de Merton para la valoración de la opción 4 PROCESOS ((JUMP DIFFUSION))
la cartera de cobertura P⇤
de la sección anterior. Al estudiar la ecuación (17) se puede apreciar que la
única fuente de incertidumbre proviene de los retornos de la componente de salto. Pero, por hipótesis, tales
componentes sólo representan un riesgo no sistemático y, por tanto, la ((beta)) de esta cartera es cero. Si
se supone cierto el CAPM (Capital Asset Pricing Model) (ver [13]), entonces el retorno esperado de todos
los valores (securities)22
con = 0 deben igualar la tasa libre de riesgo r. Por tanto, ↵⇤
P = r. Pero, de la
ecuación (12) se sigue que w⇤
1 (↵ r) + w⇤
2 (↵W r) = 0 o, sustituyendo (w⇤
1, w⇤
2), se tiene que:
(↵ r) / = (↵W r) / W (22)
Pero (22), junto con (9) y (10), implican que F debe satisfacer
0 =
1
2
2
S2
FSS + (r k) SFS Ft rF + E {F (SY, ⌧) F (S, ⌧)} (23)
sujeto a las condiciones de contorno dadas por (20) y (21). Fijémonos en que (23) es una ecuación del
mismo tipo que (19) pero no depende ni de ↵ ni de g (S, t). En cambio, como en el caso estandar de Black-
Scholes, sólo figura la tasa de interés libre de riesgo, r. (23) podr´ıa reducirse a la ecuación de Black-Scholes
si = 0, es decir, en ausencia de saltos. Es importante resaltar que aunque los saltos representen riesgo no
sistemático puro, la componente del salto afecta al equilibrio del precio de la opción. Es decir, uno no puede
actuar como si la componente de salto no estuviera ah´ı y calcular el precio de la opción.
Aunque no se puede encontrar una fórmula cerrada para resolver la ecuación (23) sin especificar la dis-
tribución de Y , se puede encontrar una solución parcial que satisfaga nuestras necesidades computacionales
(ver Apéndice I).
22Un valor financiero es un instrumento que tiene algún tipo de valor, emitido por un gobierno o una corporación. Los valores
son cualquier acción, como común y las acciones privilegiadas, y la deuda, como bonos, las notas, y las obligaciones.
30

5 LSM PARA ACTIVOS CON PRECIO DISCONTINUO
5. LSM para Activos con Precio Discontinuo
En esta sección se ilustra cómo el método de Longsta↵-Schwartz (LSM) también se puede aplicar para
valorar opciones americanas cuando el activo subyacente sigue un proceso Jump Di↵usion.
5.1. Un ejemplo numérico
A continuación, se incluye un ejemplo numérico que muestra el resultado de aplicar el metodo LSM al
ejemplo del cap´ıtulo 3, con la diferencia que el precio de nuestro activo sigue un proceso Jump Di↵usion.
Se valora una opción put americana sobre una acción que no paga dividendos.
Tiene 3 instantes de ejercicio: en 4, 8 y 12 meses.
El valor actual del activo subyacente es S0 = 5.
Precio de ejercicio: K = 5,1.
Tasa de interés libre de riesgo: r = 5 %.
La volatilidad impl´ıcita del activo subyacente es = 20 %.
Se toman como funciones base L = {1, L1, ..., LT } = 1, X, X2
.
Simulación de trayectorias Se generan 8 trayectorias del activo subyacente.
Camino t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Cam 1 5.0000 4.9641 4.9050 5.0371
Cam 2 5.0000 5.0051 4.5208 4.1133
Cam 3 5.0000 4.9207 4.9732 4.8314
Cam 4 5.0000 4.8824 4.7649 5.0369
Cam 5 5.0000 4.7770 4.6713 4.4845
Cam 6 5.0000 5.1153 4.9241 5.0539
Cam 7 5.0000 5.2470 5.0484 4.8106
Cam 8 5.0000 4.9677 5.0289 5.2321
La representación gráfica de estos valores se recoge en la siguiente Figura 14
Figura 14: Representación gráfica de la matriz de precios
El eje de abscisas representa el tiempo, desde el instante de ejerciciot = 1 , que representa el momento
inicial, hasta t = 4. El eje de ordenadas son los valores que puede tomar subyacente. A simple vista se
31

5.1 Un ejemplo numérico 5 LSM PARA ACTIVOS CON PRECIO DISCONTINUO
observa que la volatilidad implicita del activo es mayor a la de los procesos normales de difusion. Se procede
hacia atrás en el tiempo:
Cashflows F3 en el vencimiento T Se calculan los flujos F3 obtenidos por el comprador en el momento
de vencimiento de la opción, condicionado a no ejercer antes de T para cada camino. En este primer paso,
los flujos coinciden con el payo↵ en t3, P3. Además, se inicializan los instantes de ejercicio óptimos t⇤
.
Recuérdese que el payo↵ de una opción put en el instante de ejercicio t es el siguiente:
Pt = max {K St, 0} t 2 {1, .., 3}
P1 P2 P3
Cam 1 0.1359 0.1950 0.0629
Cam 2 0.0949 0.5792 0.9867
Cam 3 0.1793 0.1268 0.2686
Cam 4 0.2176 0.3351 0.0631
Cam 5 0.3230 0.4287 0.6155
Cam 6 0 0.1759 0.0461
Cam 7 0 0.0516 0.2894
Cam 8 0.1323 0.0711 0
F3 t⇤
0.0629 3
0.9867 3
0.2686 3
0.0631 3
0.6155 3
0.0461 3
0.2894 3
0 3
Cashflows F2 Se descuentan los flujos F3 hasta tiempo t2. En cada fecha, X denota el precio del activo
subyacente e Y representa el flujo de caja (descontado) que se recibirá en fechas futuras si se decide que
la opción no será ejercida en este momento. Se hace la regresión entre estos valores considerados como la
variable dependiente Y y la variable independiente X = S2 usando sólo las trayectorias in-the-money para
obtener la aproximación polinómica C2 (E [Y |X]). Comparando C2 (el valor esperado que se obtiene si no
se ejerce en t2 y se continúa) con P2 (el valor que se obtiene si se ejerce en t2) se decide si ejercer o no en
tiempot2 . Si se ejerce, se actualiza el valor t⇤
a este instante en el respectivo camino.
Cam 1 0.0629 e 0,05/3
· 0,0629 = 0,0619 4.9050 0.1950 0.0837 Ejercer
Cam 2 0.9867 e 0,05/3
· 0,9867 = 0,9704 4.5208 0.5792 1.0306 Esperar
Cam 3 0.2686 e 0,05/3
· 0,2686 = 0,2642 4.9732 0.1268 0.1070 Ejercer
Cam 4 0.0631 e 0,05/3
· 0,0631 = 0,0621 4.7649 0.3351 0.2168 Ejercer
Cam 5 0.6155 e 0,05/3
· 0,6155 = 0,6053 4.6713 0.4287 0.4415 Esperar
Cam 6 0.0461 e 0,05/3
· 0,0461 = 0,0453 4.9241 0.1759 0.0844 Ejercer
Cam 7 0.2894 e 0,05/3
· 0,2894 = 0,2846 5.0484 0.0516 0.1996 Esperar
Cam 8 0 e 0,05/3
· 0 = 0 5.0289 — — Esperar
Para decidir entre ejercer o esperar, se ha estimado el valor de continuación y se ha comparado con el
valor de ejercicio inmediato. La aproximación polinómica de C2 que mejor ajusta está dada por:
E [Y |X] = 149,7249 60,9344X + 6,2032X2
En la tabla anterior, se ibserva que se ejerce la opción en todas las trayectorias en las que P2 < C2
P1 P2 P3
Cam 1 0.1359 0.1950 0.0629
Cam 2 0.0949 0.5792 0.9867
Cam 3 0.1793 0.1268 0.2686
Cam 4 0.2176 0.3351 0.0631
Cam 5 0.3230 0.4287 0.6155
Cam 6 0 0.1759 0.0461
Cam 7 0 0.0516 0.2894
Cam 8 0.1323 0.0711 0
F2 t⇤
0.1950 2
0.9867 3
0.1268 2
0.3351 2
0.6155 3
0.1759 2
0.2894 3
— 3
32

5.2 Resultados numéricos 5 LSM PARA ACTIVOS CON PRECIO DISCONTINUO
Cashflows F1 Se repite este proceso en t = 1, donde se tienen 6 trayectorias ITM. Ahora, para calcular
la variable Y , se utilizan los cashflows que se recibirán en los momentos t = 2 o t = 3 (pero no en ambas
fechas) para cada trayectoria. Estimando otra vez Y sobre una constante y sobre las dos primeras potencias
de X, se obtiene:
E [Y |X] = 1125−460,1X + 47X2
Los valores de X e Y son los siguientes:
Cam 1 0.1950 e 0,05/3
· 0,1950 = 0,1918 4.9641 0.1950 0.3286 Esperar
Cam 2 0.9867 e 0,05/3
· 0,9867 = 0,9544 5.0051 0.5792 0.6939 Esperar
Cam 3 0.1268 e 0,05/3
· 0,1268 = 0,1247 4.9207 0.1268 0.1142 Ejercer
Cam 4 0.3351 e 0,05/3
· 0,3351 = 0,3296 4.8824 0.3351 0.0722 Ejercer
Cam 5 0.6155 e 0,05/3
· 0,6155 = 0,5953 4.7770 0.4287 0.6693 Esperar
Cam 6 0.1759 e 0,05/3
· 0,1759 = 0,1730 5.1153 0.1759 0.0844 Esperar
Cam 7 0.2894 e 0,05/3
· 0,2894 = 0,2799 5.2470 0.0516 0.1996 Esperar
Cam 8 0 e 0,05/3
· 0 = 0 4.9677 — — Esperar
Por tanto, los cashflows que paga esta opción americana en las tres fechas de ejercicio son los siguientes:
P1 P2 P3
Cam 1 0.1359 0.1950 0.0629
Cam 2 0.0949 0.5792 0.9867
Cam 3 0.1793 0.1268 0.2686
Cam 4 0.2176 0.3351 0.0631
Cam 5 0.3230 0.4287 0.6155
Cam 6 0 0.1759 0.0461
Cam 7 0 0.0516 0.2894
Cam 8 0.1323 0.0711 0
F1 t⇤
0.1950 2
0.9867 3
0.1793 1
0.2176 1
0.6155 3
0.1759 2
0.2894 3
0 3
Por consiguiente, en t = 1, se ejerce la opción en las trayectorias tercera y cuarta. En t = 2, se ejerce la
opción en las trayectorias primera y sexta y, en el momento final, t = 3, se ejercer´ıan las restantes.
Camino F1 F1 descontado
Cam 1 0.1950 F1 · e 0,05/3
= 0,1918
Cam 2 0.9867 F1 · e 0,05/3
= 0,9544
Cam 3 0.1793 F1 · e 0,05/3
= 0,1793
Cam 4 0.2176 F1 · e 0,05/3
= 0,2176
Cam 5 0.6155 F1 · e 0,05/3
= 0,5953
Cam 6 0.1759 F1 · e 0,05/3
= 0,1730
Cam 7 0.2894 F1 · e 0,05/3
= 0,2799
Cam 8 0 F1 · e 0,05/3
= 0
Finalmente, descontando estos cashflows al momento inicial y calculando la media de los valores en todas
las trayectorias, se obtiene que el precio para la opción americana es 0.3239.
5.2. Resultados numéricos
En esta sección se valoran diferentes opciones put y se comparan con sus respectivas versiones europeas.
La elección de funciones base que se ha elegido para la valoración de opciones JDP (Jump Di↵usion Process)
son:
1, x, x2
Polinomios de Laguerre23
:
n
1, e
x
2 , e
x
2 (1 x)
o
23Sugeridos por Longsta↵ y Schwartz.
33

5.3 Análisis de Sensibilidad 5 LSM PARA ACTIVOS CON PRECIO DISCONTINUO
Polinomios de Legendre: 1, x, 1
2 3x2
1
Se toma como ejemplo una opción sobre una acción de Grifols SA (GRF:SM), que cotiza a d´ıa de hoy,
aproximadamente, a 36€. El stock de Grifols cotizaba entre 27.91 y 42.90 durante las últimas 52 semanas.
En la siguiente tabla se ven distintos precios de la opción cuando var´ıan el precio de la acción y su
volatilidad; y se compara con la versión europea de la opción, con la versión sin saltos de la opción americana
y con la opción con saltos de la opción americana cuando se toman como funciones base los polinomios de
Laguerre y Legendre.
Realizando 10, 000 simulaciones se obtiene:
S0 K European JDP American JDP American DP JDP - Laguerre JDP - Legendre
36 40 0.2 3.9981 6.7063 4.5561 6.6931 6.6951
36 40 0.4 5.9671 8.6954 7.2625 8.6786 8.6991
40 40 0.2 1.8697 5.2332 2.4018 5.2701 5.2419
40 40 0.4 3.9388 7.1735 5.4111 7.1423 7.1539
Cuadro 1: La tasa de interés libre de riesgo es r = 5 % y =0.002
A la vista de los resultados obtenidos se puede resaltar
La posibilidad de ejercicio anterior al vencimiento añade valor a la opción americana frente a las de
tipo europeo en el caso de las opciones put.
Valores mayores de volatilidad incrementan el precio de la opción (ver sección (5.3)).
Las opciones que estan ITM valen mas que aquellas que están ATM y, evidentemente, que aquellas
que estén OTM.
Los procesos con saltos añaden valor a la opción, tanto europea como americana.
5.3. Análisis de Sensibilidad
Cualquier institución financiera que venda opciones a clientes OTC se encuentra con el problema de
gestionar el riesgo. Si la opción resulta ser la misma que una que se negocia en un mercado de intercambio
la entidad puede neutralizar su exposición simplemente comprando en el mercado la misma opción que ha
vendido. Pero cuando la opción se ha diseñado para satisfacer las necesidades de un cliente en concreto y
no se corresponde con los estándares negociados en los mercados, entonces la cobertura se hace mucho más
complicada. En esta sección se expone una representación visual de las variaciones en el precio de la opción
cuando se cambian las condiciones iniciales.
En la práctica se recurre a las llamadas letras griegas, que miden riesgos en las diferentes dimensiones
de la opción.
5.3.1. Variando la volatilidad del activo
Como es intuitivo, el precio de la opción aumenta conforme lo hace la volatilidad del activo subyacente.
Esto es as´ı porque una volatilidad más alta aumenta la probabilidad de oscilaciones en el precio del activo.
La figura 15 ilustra esta evidencia cuando las varianzas oscilan entre = 20 % – estándar cuando el activo
es una acción— y = 60 %.
34

5.3 Análisis de Sensibilidad 5 LSM PARA ACTIVOS CON PRECIO DISCONTINUO
Figura 15: Evolución del precio de la opción en función de la volatilidad
5.3.2. Variando la probabilidad de salto en el precio del activo
De igual modo que en el apartado anterior, si se fija un nivel de volatilidad, a medida que aumentan la
intensidad del proceso de Poisson, , aumenta el nivel de las oscilaciones y aumenta, por tanto, el precio de
la opción.
Figura 16: Evolución del precio de la opción en función de la tasa de saltos
35

6 CONCLUSIONES
6. Conclusiones
I. Se ha elaborado una simulación del método ((Least Squares Monte Carlo)) [1] propuesto por [F. A.
Longsta↵ y E. S. Schwartz, 2001] para la aproximación de los valores de opciones Americanas bajo un
modelo Jump Di↵usion mediante simulación Monte Carlo y técnicas de regresión. Existe una amplia
variedad de métodos de valoración de instrumentos financieros, pero la simulación aporta la ventaja
de aplicación cuando el valor de la opción depende de un número elevado de factores.
II. Se ha conseguido el objetivo de encontrar el precio aproximado de un contrato q-ue en el futuro pagará
más o menos en función de cómo haya evolucionado el subyacente al que está ligado. Puesto que el
modelo matemático de evolución de precios (sección 7.1) es aleatorio, la valoración del instrumento
debe hacerse gestionando dicha aleatoriedad.
III. Se ha incluido el desarrollo teórico introducido por [R. Merton, 1976] en [14] donde se introduce los
modelos Jump Di↵usion y las dinámicas del precio del activo y la opción. Se deriva, además, una
fórmula para la aproximación de los retornos esperados.
IV. Se ha estimado el payo↵ en cada uno de los posibles instantes de ejercicio del contrato. La idea fun-
damental reside en determinar si en un instante intermedio es conveniente ejercer el instrumento o
no, comparando el valor de ejercicio inmediato con el de continuación. Este valor de continuación se
puede estimar mediante una regresión por m´ınimos cuadrados.
V. Los resultados obtenidos por el algoritmo confirman un aumento del valor de la opción cuando el
precio del activo subyacente sigue un proceso Jump Di↵usion.
VI. Los resultados de los análisis de sensibilidad confirman las ideas intuitivas sobre el precio de la opción.
Un aumento en los parámetros que involucran una mayor oscilación en el precio del activo suponen
un aumento en el precio de la opción.
Como posibles ampliaciones de este trabajo podr´ıa considerarse activos subyacentes que paguen dividendos.
Además, podr´ıa relajarse la condición de volatilidad constante y conseguir, as´ı, una superficie de volatilidad
en función de distintos horizontes temporales y del nivel de moneyness24
medido sobre strike.
24En finanzas, se denomina moneyness a la posición relativa del precio actual de un activo subyacente con respecto al strike
de un derivado, más comunmente una opción.
36

7 APÉNDICE I
7. Apéndice I
Demostración. Se comprobará que, efectivamente, la ecuación (15) surge de (12) y (13).
Se hab´ıa considerado una estrategia de cartera tal que retorno tenia un rendimiento r por unidad de
tiempo. Es decir, se tiene que ↵P = r.
Despejando !1 se obtiene
!1 =
!2 (↵W r)
↵ r
Por otro lado, el análisis de Black-Scholes permite hacer la cartera libre de riesgo al elegir !1 = !⇤
1, !2 = !⇤
2
de forma que !⇤
1 + !⇤
2 W = 0. Por tanto,
P =
!2 (↵W r)
↵ r
+ W !2 = 0
Se obtiene as´ı
↵W r
W
=
↵ r
Demostración. Se quiere derivar la EDP (16) de (9) – con = 0 –(10) y (15). Si = 0 (9) se transforma en
↵W =

1
2
2
S2
FSS (S, t) + ↵SFS (S, t) + Ft /F (S, t)
Ahora, sustituyendo esta expresión, junto con (10) en (15) se obtiene que
↵ r
=
⇥1
2
2
S2
FSS (S, t) + ↵SFS (S, t) + Ft rF (S, t)
⇤
/F (S, t)
FS (S, t) S/F (S, t)
Multiplicando ambas expresiones por y simplificando F (S, t) en la parte de la derecha se llega a
↵ r =
⇥1
2
2
S2
FSS (S, t) + ↵SFS (S, t) + Ft rF (S, t)
⇤
FS (S, t) S
si se resta ↵ r en ambos lados y multiplicando luego por el denominador de la segunda expresión, se tiene
que
0 =
1
2
2
S2
FSS (S, t) + ↵SFS (S, t) + Ft rF (S, t) ↵FS (S, t) + rSFS (S, t)
que es lo mismo que
0 =
1
2
2
S2
FSS (S, t) + Ft rF (S, t) + rSFS (S, t)
7.1. El modelo ecónomico de evolución de precios
Se asume durante todo el trabajo la hipótesis lognormal del modelo de Black-Scholes.
Mientras que una variable con distribución normal puede tomar valor positivo o negativo, una variable
distribuida lognormalmente sólo puede ser positiva, con media, moda y mediana todas diferentes.
El modelo lognormal sigue un movimiento browniano geometrico
dSt
St
= µdt + dWt
donde representa la componente aleatoria, en este caso la volatilidad y µ corresponde al drift o deriva
que, intuitivamente, corresponder´ıa al retorno instantáneo y dWt es un movimiento browniano estándar tal
que:
1. Wt ⇠
p
dtN (0, 1) , es decir, tiene una distribución normal con media cero y desviación t´ıpica
p
dt.
2. (dWt)
2
⌘ dt
3. dWt son todos independientes entre s´ı.
37

7.2 Lema de Itô 7 APÉNDICE I
7.2. Lema de Itô
El precio de una acción sobre una acción es una función que depende del precio de la acción subyacente
y del tiempo. Un resultado importante en este área fue descubierto por el matemático Kiyosi Itô en 1951 y
es conocido como Lema de Itô.
Lema. (Itô) Supóngase que el valor de la variable x sigue un proceso de Itô:
bdx = a (x, t) dt + b (x, t) dz
donde dz es un proceso de Wiener y a y b son funciones de x y t. La variable x tiene una tasa de drift a y
una varianza de b2
. Entonces existe una función G de x y t que sigue el proceso:
dG =
✓
@G
@x
a +
@G
@t
+
1
2
@2
G
@x2
b2
◆
dt +
@G
@x
bdz
donde dz es el mismo proceso de Wiener de la ecuación anterior. Asi, G también sigue un proceso de Itô.
Tiene una tasa de drift de:
@G
@x
a +
@G
@t
+
1
2
@2
G
@x2
b2
y una varianza de:
✓
@G
@x
◆2
b2
7.3. Solución Parcial de la Fórmula de Merton
Sea W S, ⌧; K, r 2
la fórmula de Black-Scholes para la valoración de la opción en ausencia de saltos. W
tendrá que satisfacer (16) sujeta a las condiciones de contorno (20) y (21). Se sabe del paper de Black-Scholes
([5] ecuación 13) que W se puede escribir como:
W S, ⌧; K, r 2
= S (d1) Ke rt
(d2) (24)
donde:
(y) =
1
p
2⇡
ˆ y
1
e s2
/2
ds
d1 =
log S
K +
⇣
r +
2
2
⌘
⌧
/
p
⌧
d2 = d1
p
⌧
Se define la variable aleatoria, Xn, de forma que tenga la misma distribución que el producto de n variables
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con distribución igual a la de Y
definida al principio del cap´ıtulo, donde se entiende que X0 = 1. Se define En = E [Xn].
La solución a la ecuación (23) para el precio de la opción cuando el precio actual de la opción es S puede
escribirse como
F (S, t) =
1X
n=0
e t
( t)
n
n!
⇥
En W SXne k⌧
, ⌧, K, 2
, r
⇤
(25)
Demostración. Para verificar que la fórmula (25) es solución de (23) con las condiciones de contorno (20) y
(21) se procede como sigue:
De (25), el precio de la opción puede ser reescrito como:
F (S, t) =
1X
n=0
Pn (⌧) En W Vn, ⌧; K, 2
, r (26)
donde se definen Pn (⌧) = exp { t} ( t)
n
/n! y Vn = SXnexp { k⌧}.
38

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