Pablo Enio Koike - dissertação de Mestrado.PDF

MODELAGEM NUMÉRICA DA FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS
DE SEÇÕES ABERTAS E PAREDES FINAS
Pablo Enio Koike
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio
de Janeiro, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do título de Mestre em Engenharia
Civil.
Orientador: Eduardo de Miranda Batista
Rio de Janeiro
Setembro de 2011

MODALAGEM NUMÉRICA DA FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS
DE SEÇÃO ABERTA E PAREDES FINAS
Pablo Enio Koike
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA CIVIL.
Examinada por:
_____________________________________________
Prof. Eduardo de Miranda Batista, D. Sc.
_____________________________________________
Profa
. Michèle Schubert Pfeil, D. Sc.
_____________________________________________
Profa
. Arlene Maria Sarmanho Freitas, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO DE 2011

iii
Koike, Pablo Enio
Modelagem numérica de flambagem de elementos
metálicos de seção aberta e paredes finas / Pablo Enio Koike.
– Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011.
XVI, 70 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Eduardo de Miranda Batista
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Civil, 2011.
Referencias Bibliográficas: p. 63-65
1. Modelagem numérica. 2. Flambagem global,
distorcional e local. 3. Método das faixas finitas. I. Batista,
Eduardo de Miranda. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Titulo.

iv
Aos meus pais, Goretti e Milton, meus maiores exemplos.
À Carolina, meu amor, minha grande incentivadora, que esteve
comigo nos momentos felizes e de privações.

v
Agradecimentos
Agradeço, em primeiro lugar, ao Pai celestial, que me motivou e me deu forças para que
eu perseverasse nessa caminhada.
À minha mãe, com quem aprendi e continuo aprendendo lições de bondade, humildade,
luta, respeito e amor.
Ao meu pai e minha irmã que me incentivaram nessa caminhada.
Em memória, ao meu tio Francisco Koike, de quem sinto saudades.
Ao meu amor Carolina, que Deus pôs na minha vida. Obrigado pelo incentivo e
compreensão pelos momentos que estive ausente durante esses anos de mestrado.
Aos engenheiros Rodrigo Werneck e Mario Santos, com quem aprendi a ser engenheiro,
além de belas lições de profissionalismo, caráter e honestidade.
À “família EXACTUM” e aos meus amigos, extensões da minha família.
Meus sinceros agradecimentos ao orientador, professor Eduardo Batista, pelos
ensinamentos passados, pelo apoio e orientação irrestritos e por ter acreditado que eu
conseguiria desenvolver este trabalho.
A todos que, de alguma forma, contribuíram e torceram por mim nessa jornada.

vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
MODELAGEM NUMÉRICA DE FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS
SEÇÃO ABERTA E PAREDES FINAS
Pablo Enio Koike
Setembro/2011
Orientadores: Eduardo de Miranda Batista
Programa: Engenharia Civil
O método das faixas finitas é dirigido à análise de flambagem de elementos
estruturais com paredes finas, com destaque especial para os perfis de aço formados a
frio, PFF. A presente pesquisa foi focada no desenvolvimento de um programa
computacional especialmente dirigido à análise e determinação dos modos de
flambagem e das cargas críticas de PFF. O programa computacional desenvolvido com
base no método das faixas finitas recebeu a designação de Análise de Perfis Formados a
Frio, APFF, e foi concebido para a aplicação prática em dimensionamento de estruturas
constituídas com PFF, a partir dos métodos de resistência direta e das seções efetivas,
ambos incluídos na última edição da norma brasileira ABNT NBR 14762:2010. Essas
metodologias recentemente incorporadas à norma brasileira permitiram importante
simplificação nos procedimentos de cálculo da resistência dos PFF, ao mesmo tempo
em que aprimoraram de forma significativa os resultados, conferindo maior precisão
frente aos resultados experimentais de calibração, se comparado ao tradicional método
das larguras efetivas. Exemplos de análise numérica da flambagem local, distorcional e
global de PFF com variações na geometria e do material são apresentados e comparados
com resultados de programa CUFSM, confirmando a acurácia do programa APFF.

vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
NUMERICAL MODELING OF BUCKLING FOR STEEL ELEMENTS OF THIN
WALLED OPEN SECTIONS
Pablo Enio Koike
September/2011
Advisor: Eduardo de Miranda Batista
Department: Civil Engineering
Finite strip method buckling analysis is applied in order to improve the
knowledge of thin-walled steel cold-formed members. The present investigation
proposed the development of a computational program specially addressed to perform
finite strip method analysis of the buckling modes and to calculate the critical elastic
loads of cold-formed steel sections. APFF - Cold Formed Sections Analysis is the
developed software aimed to be very useful for the design of steel structures based on
cold formed sections. The developed finite strip computational program was conceived
to be an important tool for the design of cold-formed members on the bases of both
direct strength and effective section methods as presented in the last edition of the
Brazilian code ABNT NBR 14762:2010, allowing simplification of the design
procedures as well as obtaining improved strength results when compared with the
traditional effective width method. Numerical examples with geometrical and physics
variations are presented and compared with the results from the software CUFSM,
confirming the accuracy of the APFF computational program.

viii
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................1
1.1 Motivação............................................................................................................ 1
1.2 Utilização dos perfis formados a frio na construção civil ................................... 2
1.3 Notícias históricas sobre o Método das Faixas Finitas........................................ 3
1.4 Objetivo............................................................................................................... 5
2. INCERTEZAS NA DEFINIÇÃO DOS MODOS DE FLAMBAGEM DE PERFIS DE
PAREDES FINAS ................................................................................................7
2.1 Barras comprimidas ............................................................................................ 7
2.2 Problemas nas definições dos modos de flambagem......................................... 8
2.3 Problemas no cálculo dos modos de flambagem ............................................... 9
2.4 Definição dos modos de flambagem................................................................. 11
2.5 Comparação entre os métodos de cálculo para a análise de flambagem........ 14
3. A ANÁLISE PELO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS............................................... 16
3.1 Introdução......................................................................................................... 16
3.2 Filosofia do Método .......................................................................................... 16
3.3 Flexão de placas retangulares........................................................................... 19
3.4 Notações gerais................................................................................................. 20
3.4.1 Sistemas de coordenadas........................................................................... 20
3.4.2 Classes de nós............................................................................................. 21
3.5 Classificação das faixas finitas........................................................................... 21
3.6 Escolha da faixa................................................................................................. 22
3.6.1 Continuidade .............................................................................................. 22
3.6.2 Condições de Contorno .............................................................................. 23
3.7 Funções de interpolação E Campos de deslocamentos.................................... 25
3.8 Campo de deslocamentos e convergência ....................................................... 27
3.9 Funções deslocamentos típicas......................................................................... 29
3.10 Funções de forma da faixa finita....................................................................... 30
3.11 Matriz de rigidez elástica .................................................................................. 31

ix
3.12 Matriz de rigidez geométrica ............................................................................ 37
3.13 Transformação de matriz local em matriz global.............................................. 41
3.14 Método agrupar ................................................................................................ 42
3.15 Liguagem Computacional.................................................................................. 43
3.16 Descrição das principais funções do programa ................................................ 44
4. ESTUDOS DE CASO.......................................................................................... 47
4.1 Caso 1 ................................................................................................................ 47
4.2 Caso 2 ................................................................................................................ 48
4.3 Caso 3 ................................................................................................................ 51
4.4 Caso 4 ................................................................................................................ 53
4.5 Caso 5 ................................................................................................................ 58
5. CONCLUSÃO................................................................................................... 60
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................ 63
ANEXO 1 - MANUAL DO PROGRAMA................................................................... 66

x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-1 - Perfil modelado em elementos finitos / Perfil modelado em faixas finitas.. 5
Figura 1-2 - Curva de flambagem típica para uma seção transversal particular (ML -
modo local; MD - modo distorcional; MG – modo global) ............................................. 6
Figura 1-3 - Ilustração de flambagem 2D (no plano) / Flambagem 3D (fora do plano) . 6
Figura 2-1 - Deformadas dos modos de flambagem de uma seção U enrijecida ............. 7
Figura 2-2 - Perfil U e deformada - Flambagem Local.................................................... 8
Figura 2-3 - Perfil U enrijecido e deformada - Flambagem Distorcional ........................ 8
Figura 2-4 - Perfil I e deformada...................................................................................... 9
Figura 2-5 - Curvas dos modos de flambagem.............................................................. 11
Figura 2-6 - Modo de flambagem local de perfil U enrijecido....................................... 12
Figura 2-7 - Identificação da flambagem local de perfil U enrijecido - CUFSM ......... 12
Figura 2-8 - Modo de flambagem distorcional de perfil U enrijecido .......................... 12
Figura 2-9 - Identificação da flambagem distorcional de perfil U - CUFSM ............... 13
Figura 2-10 - Modo de flambagem global de perfil U enrijecido .................................. 13
Figura 2-11 - Identificação da flambagem global de perfil U enrijecido - CUFSM ...... 13
Figura 3-1- Funções deslocamentos do elemento........................................................... 16
Figura 3-2- Exemplos de discretização de barras........................................................... 18
Figura 3-3 - Faixa retangular típica para flexão ............................................................ 18
Figura 3-4 - Sistemas de coordenadas global e local..................................................... 20
Figura 3-5 - Classificação dos nós na seção.................................................................. 21
Figura 3-6 - Representação esquemática dos tipos de faixas ........................................ 22
Figura 3-7 - Exemplo básico de placa discretizada em faixas finitas............................ 25
Figura 3-8 - Deslocamentos das Linhas Nodais ............................................................ 27
Figura 3-9 - Faixa finita padrão..................................................................................... 28

xi
Figura 3-10 - Sistema de coordenadas e graus de liberdade da faixa finita .................. 30
Figura 3-11 - Carregamento atuante na faixa finita....................................................... 37
Figura 3-12 - Orientação dos eixos locais ..................................................................... 41
Figura 4-1 - Perfil U9x5x1x0.1 (in)................................................................................ 47
Figura 4-2 - Perfil Ue 152,4x50,8x15,75x0,88mm ........................................................ 48
Figura 4-3 – Regra de classificação de perfis comerciais de chapa fina americanos..... 49
Figura 4-4 – Marcação em perfil U enrijecido (stud) 600S162-33 ................................ 49
Figura 4-5 - Resultados gerados para o caso 2 (passo 1) no programa CUFSM............ 50
Figura 4-6 – Resultados gerados para o caso 2 (passo 2) no programa APFF............... 50
Figura 4-8 – Resultados gerados para o caso 2 no programa APFF............................... 52
Figura 4-10 - Forma de flambagem local – compressão centrada - APFF..................... 53
Figura 4-11 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF.......... 54
Figura 4-12 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF.......... 54
Figura 4-13 - Forma de flambagem flexão global – compressão centrada - APFF........ 55
Figura 4-14 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF............................... 56
Figura 4-15 - Forma de flambagem distorcional – flexão simples - APFF.................... 56
Figura 4-18 – Geometria da placa / comp. 500mm........................................................ 58
Figura 4-19 – Modelo estrutural da placa / deformada da placa .................................... 58
Figura 4-20 – Carga crítica de flambagem da placa....................................................... 59
Figura 1 - Tela inicial do programa computacional APFF............................................. 66
Figura 2 - Barra de menu principal................................................................................. 67
Figura 3 - Entrada de dados e resultados das propriedades geométricas da seção......... 67

xii
Figura 4 - Entrada de dados - propriedades do material................................................. 68
Figura 5 - Entrada de dados - geometria dos nós ........................................................... 68
Figura 6 - Entrada de dados - geometria dos elementos................................................. 68
Figura 7 - Resultados da análise..................................................................................... 69
Figura 8 - Propriedades da seção geométrica................................................................. 69

xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 3-1 - Número de linhas nodais por faixa ............................................................ 24
Tabela 3-2 - Seção longitudinal da faixa - parte em série da função deslocamento....... 26
Tabela 3-3 - Seção transversal da faixa - parte polinomial da função deslocamento..... 26
Tabela 3-4 – Faixa finita utilizada no programa computacional.................................... 29
Tabela 4-1 - Propriedades geométricas da seção aberta - Comparativo de resultados... 48
Tabela 4-2 - Propriedades do material utilizado na análise............................................ 49
Tabela 4-2 – Comparação entre os resultados utilizados na análise na análise do caso 1
........................................................................................................................................ 51
Tabela 4-3 – Comparação entre os resultados utilizados na análise do caso 2 .............. 52
Tabela 4-4 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para compressão... 55
Tabela 4-5 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para flexão simples58

xiv
LISTA DE ABREVIATURAS
AO2 Elemento de Alta Ordem com duas linhas nodais
AO3 Elemento de Alta Ordem com três linhas nodais
BO2 Elemento de Baixa Ordem com duas linhas nodais
GBT Método particular das faixas finitas
GDL Grau de liberdade
LN Linha Nodal
MEF Método dos Elementos Finitos
MFF Método das Faixas Finitas
MLE Método das Larguras Efetivas
MRD Método da Resistência Direta
MSE Método das Seções Efetivas
LISTA DE SÍMBOLOS
Letras Romanas Minúsculas:
a comprimento da placa ou comprimento da semi-onda ou distância do ponto de
aplicação da carga ao apoio mais próximo
b largura da placa ou largura da faixa finita
e excentricidade
f(x) função polinomial na direção transveral
fi parâmetro nodal de uma faixa
m número de semi-ondas
t espessura de placas
tw espessura da alma
tf espessura do flange ou mesa

xv
x, y, z coordenadas retangulares
u, v, w deslocamento característico na direção x, y e z respectivamente
Letras Romanas Maiúsculas:
A área da seção transversal
Ai constantes indeterminadas das funções polinomiais de deslocamento
[B] matriz de rigidez
Ci funções de forma para um faixa finita
Cw constante de empenamento
[D] matriz de propriedades
E módulo de elasticidade
Ef módulo de elasticidade na flexão
Ex módulo de elasticidade na direção longitudinal
Ey módulo de elasticidade na direção transversal
E11 módulo de elasticidade na direção 1
E22 módulo de elasticidade na direção 2
Gxy módulo de cisalhamento
G módulo de elasticidade transversal
I segundo momento de área
Ixx momento de inércia em torno do eixo x
Iyy momento de inércia em torno do eixo y
Ixy momento polar
I11 carga máxima
I22 carga máxima
J momento polar de inércia
L comprimento do perfil ou vão livre entre apoios

xvi
Nk funções de forma
P carga concentrada
Pcr carga crítica de flambagem
{P} vetor de carga
[R] matriz de tranformação
[S] matriz de rigidez de uma faixa finita
[SG] matriz de rigidez geométrica de uma faixa finita
U energia de deformação
Xcg centro de gravidade no eixo x
Xs centro de cisalhamento no eixo x
Ycg centro de gravidade no eixo y
Ys centro de cisalhamento no eixo y
W energia potencial das forças externas
Letras Gregas Minúsculas:
ε, εx, εy, γxy deformações
ζ, ζx, ζy, ηxy tensões
{ζ}, {η} vetores para tensões e deformações
{δ} vetor deslocamentos nodais
ν coeficiente de poisson
λ autovalores
θ rotação
Letras Gregas Maiúsculas:
somatório
Φ energia potencial total

1
1. INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
O presente trabalho apresenta aspectos e procedimentos relativos à implementação
computacional do Método das Faixas Finitas (MFF) para análise linear de problemas de
instabilidade de elementos metálicos formados por placas associadas sujeitas à
compressão centrada.
Perfis formados a frio, com paredes de espessura fina, sujeitos à compressão
desenvolvem flambagem local da seção transveral e global da barra enquanto perfis de
paredes espessas estão sujeitos apenas à flambagem global. Três modos básicos, ou
classes de flambagem, podem ser distinguidos: flambagem local, distorcional e global.
Qualquer um desses modos pode conduzir a deformação excessiva e, finalmente a falha
estrutural. Cada modo de flambagem tem um grau diferente de capacidade pós-
flambagem e formação de mecanismo típico de colapso, sendo indispensável o cálculo
das respectivas cargas de flambagem para cada modo, associado com o objetivo de
identificar a carga crítica (mínima). A importância da flambagem no cálculo do estado
limite último é refletida nas normas, as quais, direta ou indiretamente, usam a carga
crítica para determinar a resistência da barra.
O programa computacional proposto desenvolve análises que envolvem a modelagem
das condições de extremidade das barras, sob compressão uniforme. As condições de
extremidade influenciam de forma distinta o modo flambagem local de placa e o modo
distorcional, com conseqüente alteração tanto das tensões de flambagem (carga crítica
de flambagem) quanto do número de semi-ondas (modo de flambagem). Porém nesse
trabalho será considerada apenas a condição de apoio simples, sendo essa uma restrição
do MFF.
Os resultados numéricos das análises serão comparados com resultados disponíveis na
literatura, permitindo a validação do programa computacional desenvolvido com base
no MFF, com o objetivo de avaliar os fenômenos de flambagem de elementos metálicos
de seção aberta e paredes finas.

2
1.2 UTILIZAÇÃO DOS PERFIS FORMADOS A
FRIO NA CONSTRUÇÃO CIVIL
Os perfis de chapa dobrada alcançaram lugar de destaque entre as estruturas metálicas
dada a grande variedade de formas das seções transversais. Sua utilização é notória
principalmente em obras de menor porte que possuem, em geral, pequenos vãos e
carregamentos de pequena magnitude.
Como estrutura principal, o uso dos perfis de chapa dobrada dá-se em edifícios de
pequena altura, residências, galpões e coberturas leves em geral. Fôrmas para
concretagem, andaimes e escoramentos, terças, longarinas e armações para forros são
outros exemplos que ilustram a versatilidade desses perfis na construção civil.
Podem ser citadas diversas características que diferenciam o comportamento estrutural
desses perfis em relação aos perfis laminados e soldados.
A pequena espessura das chapas utilizadas resulta em elevada relação largura/ espessura
dos elementos planos que compõe a seção transversal. Os perfis assim obtidos estão
sujeitos à flambagem local dos elementos que compõem a sua seção transversal. No
entanto isto não representa, em geral, o esgotamento da capacidade resistente da barra.
A análise de flambagem de chapas permite prever a carga crítica e compreender o
comportamento elástico das placas metálicas associadas, que é o tema de estudo
desenvolvido e apresentado nos capítulos seguintes.
Outra característica da conformação a frio das chapas finas é a alteração das
características mecânicas do aço virgem, com acréscimo na tensão limite de escoamento
e na tensão limite de resistência à tração, sendo esses efeitos mais pronunciados na
região vizinha dos cantos dobrados onde há presença de tensões residuais.

3
1.3 NOTÍCIAS HISTÓRICAS SOBRE O MÉTODO
DAS FAIXAS FINITAS
A idéia de discretizar estruturas laminares em faixas finitas adjacentes é mais antiga do
que tem sido apontado pelos estudiosos do Método das Faixas Finitas, MFF. Assim é
que o escandinavo Kärrholm (KÄRRHOLM, 1956) na década de 1950 já utilizava tal
conceito, com a preocupação fundamental de resolver, através das diferenças finitas, a
equação geral das placas para cada uma das faixas, individualmente, e compatibilizar
flechas nas fronteiras comuns de faixas contíguas. Embora já tivesse utilizado séries
trigonométricas, não ocorreu a automatização do método, provavelmente devido ao
pouco desenvolvimento dos computadores daquela época.
Em 1963, outro escandinavo, Hellan (HELLAN, 1963) apresentou suas idéias sobre a
aplicação de um procedimento numérico para a análise de placas retangulares
isotrópicas, baseado nas condições de equilíbrio e compatibilidade de deslocamentos
nas fronteiras comuns de faixas vizinhas. Paralelamente, desenvolvia-se o Método dos
Elementos Finitos, MEF, com o grande impulso fornecido pela utilização crescente dos
computadores e implementação das técnicas de programação.
Cheung, envolvido com o estudo do MEF junto ao professor Zienkiewcz, propôs em
1968 uma variante do MEF, para a análise de placas ortotrópicas retangulares
simplesmente apoiadas em seus extremos à qual chamou de Método das Faixas Finitas.
Independentemente Powell e Ogden sugeriram em 1969 (POWELL e OGDEN, 1969) a
mesma solução e desenvolveram um programa de computador para a análise de
tabuleiros de pontes metálicas. Após os primeiros passos, inúmeros estudos foram feitos
com o intuito de generalizar a aplicação do método.
Mais recentemente por Ben Schafer (SHAFER, 2006), nos Estados Unidos,
desenvolveu rotinas computacionais com base no MFF, especialmente dirigidas aos
perfis de aço formados a frio.

4
Tais estudos abriram horizontes variados e serão sumarizados a seguir, nos aspectos
mais importantes extraídos da bibliografia disponível.
1971 – Cheung (CHEUNG, 1971) adapta a faixa típica de placa para compatibilização
de curvaturas (faixa de alta ordem).
1972 – Cheung e Cheung (CHEUNG M.S. e CHEUNG Y.K., 1972) utiliza faixas de
alta ordem para análise dinâmica de placas.
1972 – Zienkiewicz e Too (ZIENKIEWICZ e TOO, 1972), utilizando o Método dos
Primas Finitos, analisam vigas-caixão espessas simplesmente apoiadas.
1976 – Cheung (CHEUNG, 1976) lança o primeiro livro específico sobre o MFF.
1978 – Loo e Cusens (LOO e CUSENS, 1978) lançam livro sobre a aplicação do MFF à
engenharia de pontes.
1985 – Michèle Pfeil (PFEIL, 1985) apresenta um abordagem analítica da interação
local-global na flambagem de colunas de seção U enrijecida em sua dissertação de
mestrado.
1988 – Eduardo Batista (BATISTA, 1988) desenvolve um programa com base no MFF
em sua tese de doutorado, para análise de seções de paredes finas.
1997 – Ben Schafer (SCHAFER, 1997) publica seu primeiro artigo sobre o
comportamento e dimensionamento de elementos enrijecidos formados por placas
associadas de paredes finas, desde então, como professor do departamento de
engenharia civil, ele desenvolve trabalhos com um grupo de pesquisa na Johns Hopkins
University em Baltimore, Estados Unidos. Adicionalmente ele mantém o
desenvolvimento do programa CUFSM, um programa para análise elástica de
flambagem de barras de paredes finas utilizando o MFF.
Indubitavelmente muito mais se fez em relação ao MFF. O presente resumo tem como
objetivo maior tão somente um breve delineamento histórico que permita ao leitor
absorver a espinha dorsal do andamento das pesquisas ao longo do tempo.

5
1.4 OBJETIVO
O objetivo do presente trabalho consiste em desenvolver um aplicativo computacional
para a análise numérica da flambagem local, distorcional e global de perfis de paredes
finas e seção aberta formados por placas metálicas associadas.
No caso da flambagem por distorção, em função da complexidade analítica, as normas
tratam essa forma de flambagem por métodos simplificados, como prescreve a norma
brasileira NBR 14762 (ABNT, 2001), ou por meio de limitações geométricas a serem
aplicadas nos perfis, liberando, então, a necessidade de se abordar esse modo de
flambagem.
Pretende-se abordar o problema da flambagem através da análise linear de estabilidade,
solução de autovalor, o que permite identificar os modos de flambagem que influenciam
no comportamento do elemento estrutural (autovetor), e calcular a carga crítica de
flambagem (autovalor). Matematicamente, a análise linear de estabilidade através do
Método das Faixas Finitas, ou de qualquer outro método de discretização, envolve a
resolução de um problema de autovalores, definido pelas matrizes de rigidez do perfil
discretizado.
O programa computacional realiza a análise de elementos metálicos formados por
placas associadas, facilita a decomposição das soluções de estabilidade e apresenta as
curvas dos modos de deformação local, distorcional e global da seção transversal.
Figura 1-1 - Perfil modelado em elementos finitos / Perfil modelado em faixas finitas
No Método das Faixas Finitas, as funções de forma do elemento são polinômios na
direção transversal e funções trigonométricas na direção longitudinal. A curva de
flambagem é o resultado principal de uma análise do Método de Faixas Finitas. A típica
curva de flambagem para uma dada seção está mostrada na figura 1-2, sendo também

6
denominada como a “assinatura do perfil” dadas suas características intrinsecamente
associadas àquela seção transversal. Os valores mínimos dessa curva são de interesse
especial porque indicam as cargas críticas associadas a cada modo de flambagem, como
mostra a figura 1-2.
cargacrítica
Figura 1-2 - Curva de flambagem típica para uma seção transversal particular (ML -
modo local; MD - modo distorcional; MG – modo global)
O modo de flambagem é a forma como um perfil se deforma no processo de
flambagem. A figura 1-3, por exemplo, ilustra o modo de flambagem de um perfil Z em
flexão gerado pelo programa CUFSM no plano transversal da seção e em terceira
dimensão mostrando o desenvolvimento dos comprimentos de semi-onda.
Figura 1-3 - Ilustração de flambagem 2D (no plano) / Flambagem 3D (fora do plano)
A figura tridimensional, figura 1-3, ilustra o modo de flambagem local para flexão
simples. A flambagem local se desenvolve em comprimentos de semi-onda a, repetidos
de forma mono tônica, com comprimentos múltiplos da ordem das dimensões da seção
transversal. Admite-se que as deformações referentes ao modo de flambagem se
desenvolvem com um número inteiro de semi-ondas senoidais ao longo do
comprimento da barra.
a

7
2. INCERTEZAS NA DEFINIÇÃO DOS MODOS DE
FLAMBAGEM DE PERFIS DE PAREDES FINAS
2.1 BARRAS COMPRIMIDAS
É interessante que se discuta o comportamento e a resistência de uma placa dobrada
comprimida, porque o procedimento de verificação adotado nas normas, incluindo a
norma brasileira, com base no tradicional método das larguras efetivas, é o de
considerar, de forma aproximada, o perfil formado por uma série de placas isoladas
entre si, servindo cada uma como vinculação com a placa vizinha na região da fronteira
entre ambas. Tal concepção encontra-se ultrapassada após a disponibilização de
programas computacionais de análise da flambagem elástica, em especial com base no
método das faixas finitas. Um perfil formado a frio pode entrar em colapso de duas
formas ou pela interação entre ambas:
1) Por escoamento;
O colapso por escoamento puro se dá em placas muito espessas, onde a relação largura
da placa/ espessura é menor do que 10 e seu comprimento também é pequeno.
2) Por flambagem;
a) Flambagem local L da seção;
b) Flambagem global G da barra por flexão, torção pura ou flexo-torção;
c) Flambagem distorcional D;
d) Pela interação entre modos de flambagem: LG, LD, DG ou ainda LDG.
A figura a seguir, a figura 2-1, apresenta os diferentes modos de flambagem, puros e
combinados.
Seção Flexão menor Torção Flexo Local Distorcional
transversal inércia pura Torção
Figura 2-1 - Deformadas dos modos de flambagem de uma seção U enrijecida

8
O colapso por esmagamento da seção se dá em perfis muito curtos (com índice de
esbeltez global KL/r < 20) e com paredes espessas.
O colapso por flambagem local ocorre em um ou mais elementos de placas associadas
que formam o perfil. A flambagem local pura só se dará em perfis curtos (com índice de
esbeltez KL/r < 20) e com paredes muito finas.
Já a flambagem global pode apresentar-se de três modos distintos:
Flambagem por flexão
Flambagem por torção
Flambagem por flexo-torção
2.2 PROBLEMAS NAS DEFINIÇÕES DOS MODOS
DE FLAMBAGEM
As definições apresentadas no capítulo anterior funcionam bem para um grupo de
problemas práticos; entretanto, não são suficientemente precisas para muitos outros
casos. Dois casos típicos devem ser mencionados nas figuras 2-2 e 2-3.
Figura 2-2 - Perfil U e deformada - Flambagem Local
Figura 2-3 - Perfil U enrijecido e deformada - Flambagem Distorcional

9
A figura 2-3 apresenta a seção de um perfil U formado a frio com um pequeno
enrijecedor de borda. O modo de flambagem apresentado e a carga crítica associada são
quase idênticos àqueles de perfis U que não apresentam enrijecedor, figura 2-2.
Entretanto, enquanto a forma da flambagem de um perfil U sem enrijecedor é
classificado como flambagem local, para o caso da seção U enrijecida, o modo de
flambagem aparentemente análogo é classificado como distorcional. Note que mesmo
no caso de um perfil U sem enrijecedor há razões (comprimento no modo de
flambagem, mecanismo da falha) para classificar o presente modo como distorcional em
vez de local. Nesse caso, a classificação do modo pode ser estudada em um programa de
faixas finitas onde é apresentada a deformada da seção transversal.
Figura 2-4 - Perfil I e deformada
A figura 2-4 apresenta a seção de um perfil I simétrico e uma possível forma de
flambagem, a qual pode ocorrer caso o perfil seja carregado em flexão. Está claro que o
presente modo de flambagem não pode ser classificado nem como puramente local nem
puramente global, uma vez que a seção transversal está distorcida e ao menos uma das
linhas de interseção entre as placas estão deslocadas. A partir deste último aspecto, a
deformada apresentada na figura 2-4 deve ser classificada como modo de flambagem
distorcional (SCHAFER, 2006).
2.3 PROBLEMAS NO CÁLCULO DOS MODOS DE
FLAMBAGEM
A formulação analítica para o cálculo da carga crítica de flambagem em todos os modos
(global, distorcional, e local) é muito trabalhosa ou não existe. Existem três métodos
reconhecidos para executar o cálculo da carga crítica, são eles: o Métodos dos
Elementos Finitos MEF, o Método das Faixas Finitas MFF e o General Beam Theory

10
GBT. Enquanto esses métodos podem ser considerados como eficientes e amplamente
utilizados como maneira de determinar as cargas críticas, cada método numérico tem
suas limitações.
O Métodos dos Elementos Finitos é de longe o método numérico mais geral e mais
utilizado. O MEF é aplicável a praticamente qualquer tipo de elemento estrutural,
qualquer carregamento e qualquer condição de contorno. Adicionalmente existe um
grande número programas disponíveis no mercado. O valor desses aplicativos gerais é a
grande quantidade de elementos finitos, os quais demandam resultados em um grande
número de possíveis modos de flambagem, os quais o MEF não consegue distinguir.
Dessa maneira, é o usuário quem deve classificar os modos calculados. Basicamente ele
deve fazer uma análise visual do modo de flambagem, o que pode levar a equívocos na
interpretação de resultados.
O programa CUFSM (SCHAFER, 2006) utiliza o Métodos das Faixas Finitas e tenta
superar o problema de identificação do MEF fazendo a determinação automática da
carga crítica de flambagem como uma função do comprimento de flambagem. Isso
ajuda o usuário a identificar as características do modo de flambagem, desde que, em
muitos casos, o primeiro ponto de mínimo da curva identifica a flambagem local,
enquanto o segundo mínimo é geralmente associado ao modo de flambagem
distorcional.
A figura 2-5 (SCHAFER, 2006) apresenta um exemplo para perfil U enrijecido (curva
superior), onde a carga crítica de flambagem (Pcr) é apresentada de forma adimensional
pela divisão da carga de escoamento (Py=A.fy). Existem exemplos para os quais o MFF
não identifica automaticamente o ponto de mínimo (curva inferior), novamente para
perfil U enrijecido, onde somente um ponto de mínimo existe. Finalmente, como
normalmente utilizado, o MFF é limitado a aplicação de perfis de seção aberta e
condições de extremidade simplesmente apoiadas e empenamento livre.

11
Figura 2-5 - Curvas dos modos de flambagem
A GBT também é aplicada com grande sucesso na análise de flambagem de perfis
formados a frio. A característica atraente da GBT é a capacidade de classificar a
composição do modo de flambagem, com base na consideração da participação modal.
Assim, seria útil desenvolver um procedimento geral orientado para o cálculo das cargas
críticas de flambagem e identificação dos modos, sem abrir margem às interpretações
equivocadas como se apresentam no MFF e MEF. Entretanto, isso requer definições
mais exatas para os modos de flambagem.
2.4 DEFINIÇÃO DOS MODOS DE FLAMBAGEM
Esse capítulo apresenta definições dos modos de flambagem a partir da interpretação da
curva de flambagem. A caracterização do modo é feita com base na identificação dos
pontos de mínimo da curva. Para isso foi utilizado o programa CUFSM para a análise de
uma seção U enrijecida 600S200-33 (perfil comercial americano). A barra foi analisada
variando o comprimento de 10 mm até 23000mm com incrementos de 100 mm.Esse
curto incremento refina a curva de maneira que a região de interesse tenha uma curva
suave, facilitando a leitura dos resultados. As figuras 2-7, 2-9 e 2-11 apresentadas nesse
capítulo foram geradas pelo programa CUFSM (SCHAFER, 2006).
O primeiro modo de flambagem, para barras curtas é a flambagem local. A figura 3-1
apresenta a geometria não deformada e placas deformadas, com flexão fora do seu
plano, sem translação das arestas, caracterizando o modo local.

12
Figura 2-6 - Modo de flambagem local de perfil U enrijecido
O primeiro ponto de mínimo da curva indica a flambagem local para o comprimento da
primeira semi-onda de 100mm . O fator de carga é 0,74, isso quer dizer que a carga
crítica de flambagem local (Pcrl) é igual a 0,74Py. A identificação de Pcrl do primeiro
modo de flambagem, nesse caso local, é apresentada na figura 3-2.
Figura 2-7 - Identificação da flambagem local de perfil U enrijecido - CUFSM
A segunda forma de flambagem é a distorcional, que ocorre com valor mínimo para o
comprimento de semi-onda de 700mm. É importante observar que não há ocorrência de
um mínimo absoluto para esse caso. Verifique que para a deformada, figura 3-3, houve
uma rotação nas abas superiores e inferiores comprovando a distorção nas paredes do
perfil. O fator de carga é 2,30 e isso quer significa que a carga crítica de flambagem
distorcional (Pcrd) é igual a 2,30Py.
Figura 2-8 - Modo de flambagem distorcional de perfil U enrijecido
Local

13
Figura 2-9 - Identificação da flambagem distorcional de perfil U - CUFSM
Para o comprimento de semi-onda 10000mm, a flambagem é global, de flexão e em
torno do eixo de menor inércia, verificada pelo deslocamento da seção na direção do
eixo x, conforme apresentado na figura 3-5. Nesse caso, o fator de carga é 0,153 e a
carga crítica de flambagem para flexão é igual a 0,153Py.
Figura 2-10 - Modo de flambagem global de perfil U enrijecido
Figura 2-11 - Identificação da flambagem global de perfil U enrijecido - CUFSM
Distorção
Global

14
2.5 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE
CÁLCULO PARAAANÁLISE DE FLAMBAGEM
A tensão na flambagem elástica e os modos de flambagem podem ser calculados de
várias maneiras. As duas maneiras clássicas são o MEF e MFF. O método de elementos
finitos permite soluções elásticas de flambagem para todos os tipos de geometrias e
várias condições de contorno. O método das faixas finitas é aplicável somente aos
problemas com maior complexidade geométrica na seção transversal, e na direção do
comprimento não há discretização dos elementos. Apesar de o método de elementos
finitos ser amplamente utilizado na análise de problemas de engenharia, o método de
faixas finitas pelas vantagens na determinação e classificação dos modos de flambagem
é amplamente utilizado nas estruturas de perfis formados a frio.
Dentro de seu campo de aplicação o MFF tem se apresentado como alternativa
importante em comparação com o MEF, pois permite a redução de esforço
computacional.
Enquanto o MEF apresenta solução geral, com auxílio de elementos finitos de casca,
para qualquer tipo de elemento estrutural de paredes finas, incluindo análise elástica e
inelástica e quaisquer condição de extremidade, o MFF só se aplica a análise elástica,
elementos de paredes finas com apoios simples nos extremos, simplesmente apoiados na
flexão global e na flexão local das placas e com empenamento livre.
O número de graus de liberdade e de equações envolvidas na análise pelo MFF é bem
menor do que no caso do MEF, exigindo um esforço computacional menor. Como
consequência, a largura da banda da matriz do sistema de equações é significativamente
menor, o que faz com que o tempo de processamento seja bastante reduzido.
O MFF requer uma ocupação de memória consideravelmente reduzida em relação ao
MEF, tendo inclusive a vantagem de ser de programação mais simplificada, permitindo
a utilização de técnicas matriciais de uso corrente, evitando a recorrência de técnicas
avançadas e sofisticadas que visam a diminuição de área de memória ocupada.
A quantidade de dados de entrada é muito pequena, diminuindo a possibilidade de erros
e não requerendo a geração automática de carregamentos e sistemas de combinações.

15
A manipulação de dados de saída no MFF é bem mais simples e menos trabalhosa do
que no MEF, onde a sua quantidade é, via de regra, muito grande.

16
3. AANÁLISE PELO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS
3.1 INTRODUÇÃO
O objetivo desse capítulo é apresentar a completa descrição do MFF (CHEUNG, 1976)
para soluções de estabilidade aplicada a perfis de paredes finas com seção aberta e
condição de contorno bi-apoiada nas extremidades da barra.
As funções de forma de membrana são assumidas por polinômios na direção
transversal, enquanto na direção longitudinal são empregadas funções trigonométricas,
as quais satisfazem às condições de contorno empregadas. A estrutura básica do MFF é
similar a qualquer outro método estudado na análise matricial de estruturas.
Figura 3-1- Funções deslocamentos do elemento
As matrizes essenciais de rigidez elástica e geométrica estão deduzidas e apresentadas
nos itens 3.11 e 3.12.
3.2 FILOSOFIA DO MÉTODO
O MFF apresenta-se como um procedimento híbrido. Associa algumas vantagens da
solução de estruturas em séries trigonométricas ao Método dos Elementos Finitos.
Sua filosofia é semelhante ao Método de Kantorovich (TIMOSHENKO, 1959), uma
generalização do Método de Ritz, que reduz a solução de uma equação diferencial
parcial à solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias adotando funções
contínuas que satisfazem às condições de contorno em uma dada direção. Tal adoção

17
guarda semelhança com os procedimentos adotados por Matier e por Levy
(SEGENREICH, 1972) no cálculo de chapas e placas, respectivamente.
O MFF pode ser encarado com um subproduto do MEF, com a diferença básica
caracterizada pela discretização do contínuo que se faz através de faixas longitudinais
ao invés de elementos finitos bidimensionais, sendo que na direção longitudinal são
previamente incluídas as condições de contorno na aproximação do campo de
deslocamentos.
A análise com base no MFF efetua, sistematicamente, acréscimos de semi-ondas
senoidais para determinar o comportamento da flambagem de um perfil. A montagem
da solução matricial de autovalores resulta na identificação da carga crítica e a solução
de autovetores no modo de flambagem.
Os resultados da análise pelo MFF podem ser utilizados no Método da Resistência
Direta para o cálculo da resistência dos perfis em compressão com flambagem. Este
método requer que seja conhecida a carga crítica de flambagem (Pcr) ou o momento
crítico de flambagem (Mcr) para um determinado perfil. O programa computacional
desenvolvido na presente pesquisa permitirá que o usuário calcule esses valores para
uma seção transversal arbitrária.
O resumo a seguir apresenta o procedimento adotado no MFF, utilizando o método dos
deslocamentos. Os comentários intercalados visam a explicação de cada um dos passos
apontados.
(1) Divisão da seção transversal em faixas longitudinais através das linhas fictícias,
apresentada na figura 3-2.
As linhas divisórias são chamadas linhas nodais, sendo que nas extremidades laterais da
estrutura elas se confundem com as fronteiras físicas da mesma.
As propriedades geométricas e as elásticas de cada faixa são consideradas constantes
mas podem diferir entre faixas adjacentes, permitindo a simulação de situações em que
as propriedades variem transversalmente.

18
Figura 3-2- Exemplos de discretização de barras
(2) Conexão das faixas através das linhas nodais comuns (fronteiras longitudinais).
A conexão é feita de maneira semelhante à que se produz na junção de barras de
estruturas reticulares planas, bastando fazer analogia entre linhas nodais e nós.
(3) Fixação dos graus de liberdade nodais de deslocamento em cada linha nodal
como está representado na figura 3-3. Tais parâmetros são, em geral,
deslocamentos (u, v, w) e suas derivadas até uma ordem previamente escolhida,
permitindo incluir na análise, deformações axiais, transversais, curvaturas de
flexão, etc.
Figura 3-3 - Faixa retangular típica para flexão
(4) Escolha de funções-deslocamento, em termos dos parâmetros nodais que
representem o campo de deslocamentos em cada faixa.
Essas funções representam o campo de deslocamentos e consequentemente os campos
de deformações e tensões em cada faixa.
(5) Geração da matriz de rigidez e dos vetores de cargas nodais para cada faixa.

19
Adota-se o procedimento clássico do método dos deslocamentos, utilizando-se o
princípio da mínima energia potencial. A matriz de rigidez e os vetores de cargas são
gerados, para cada faixa, em relação a um sistema local de coordenadas.
(6) Montagem de matriz de rigidez e do vetor de cargas nodais para toda a estrutura.
Levando-se em conta a contribuição de cada uma das faixas e promovendo-se as
necessárias transformações de coordenadas, monta-se a matriz de rigidez e o vetor de
cargas em relação a um sistemas global de referência. Cabe observar que a matriz de
rigidez (em banda) possui ordem e semi-largura da banda, em geral, bem menores do
que as presentes na solução do mesmo problema através do MEF, com precisão
semelhante.
(7) Solução do sistema de equações lineares, determinando-se os parâmetros nodais
incógnitos.
Ao resolver o sistema de equações lineares, determinam-se os parâmetros nodais
referidos ao sistema global de coordenadas.
(8) Retorno aos sistemas locais do coordenadas e cálculo doas incógnitas procuradas
(esforços, tensões, deslocamentos, etc.).
Retorna-se a cada um dos sistemas locais encontrando os parâmetros nodais para cada
faixa, o que possibilita a determinação de tensões, deformações, deslocamentos, etc., em
qualquer ponto do perfil.
3.3 FLEXÃO DE PLACAS RETANGULARES
Dentro do escopo deste trabalho são adotadas as mesmas aproximações da teoria
clássica das placas finas que permitem simplificar o problema, tornando-o
bidimensional.
O estado de deformação pode ser inteiramente descrito pelos deslocamentos w dos
pontos pertencentes ao plano médio da placa na direção ortogonal a esse plano.
Condições de continuidade entre as faixas são impostas não apenas nos deslocamentos
w, mas também nas suas derivadas em relação à coordenada transversal x.

20
Escolhida a função deslocamento, são estabelecidas as características da faixa utilizada
de acordo com o procedimento apresentado no item 3.11.
3.4 NOTAÇÕES GERAIS
3.4.1 Sistemas de coordenadas
Existem basicamente dois sistemas de coordenadas utilizados nesse documento: um
global e outro local, veja a figura 3-4, ambos baseados na regra da mão-direita. O
sistema de coordenadas global é denotado como: X-Y-Z, e assume-se que o eixo Y está
paralelo com o eixo longitudinal do perfil. O sistema de coordenadas local é denotado
como x-y-z. O sistema local é sempre associado com um elemento de placa do perfil tal
que o eixo x seja paralelo ao elemento de placa e perpendicular ao eixo longitudinal do
perfil, o eixo y seria paralelo ao eixo longitudinal do perfil (em outras palavras: Y e y
devem coincidir), enquanto o eixo z é perpendicular ao plano local x-y.
Figura 3-4 - Sistemas de coordenadas global e local

21
3.4.2 Classes de nós
A fim de criar uma formulação geral, foi necessário classificar os nós de alguma
maneira, ou seja, as seções transversais multi-facetadas devem ter placas subdivididas.
Os sub-nós são nós utilizados para subdividir as placas. Assim, as características básicas
de um sub-nó são:
- Ter somente dois elementos conectados a ele;
- Os dois elementos conectados devem estar no mesmo plano.
Todos os outros nós são chamados de nós principais, assim existem dois tipos de nós.
Devem existir alguns nós principais os quais conectam somente a um elemento de placa,
por exemplo, o primeiro e o último nó de uma seção transveral aberta, esses nós são
conhecidos como nós externos. Todos os outros nós principais podem ser chamados de
nós principais internos, ou simplesmente: nós de quina, como mostra a figura 3-5.
Classes dos nós:
nós principais: 1, 2, 4, 6, 8 e 9.
sub-nós: 3, 5 e 7.
Sub-classes dos nós:
- nós principais externos: 1 e 9.
- nós principais internos: 2, 4, 6 e 8.
Figura 3-5 - Classificação dos nós na seção
3.5 CLASSIFICAÇÃO DAS FAIXAS FINITAS
São vários os tipos de faixas utilizadas nos estudos de flexão de placas retangulares.

22
Figura 3-6 - Representação esquemática dos tipos de faixas
Basicamente as faixas podem ser diferenciadas com relação ao número de linhas nodais,
número de graus de liberdade por linha nodal e às condições de contorno longitudinais.
A tabela 3-5 apresenta as seções transversais das faixas, caracterizando-as em três tipos,
de acordo com o número de linhas nodais e os parâmetros nodais de deslocamento em
cada linha nodal. A nomenclatura das faixas deve representar o número de graus de
liberdade GDL por linha nodal LN, por exemplo:
- BO, baixa ordem é a faixa que contém dois graus de liberdade por linha nodal;
- AO, alta ordem é a faixa que contém três graus de liberdade por linha nodal.
O sufixo 2 ou 3, identifica o número de linhas nodais existentes em uma determinada
faixa finita.
Note que a faixa BO2 é chamada de baixa ordem por incorporar um total de 4 graus de
liberdade, enquanto as demais, AO2 e BO3, agrupam um total de 6 graus de liberdade.
3.6 ESCOLHA DA FAIXA
A difícil escolha da faixa a ser utilizada liga-se a dois aspectos básicos: continuidade e
contorno, que serão analisados separadamente.
3.6.1 Continuidade
Dentre as faixas apresentas na tabela 3-1, a primeira delas (BO2) admite a continuidade
de deslocamentos w e rotação elástica transversal em cada linha nodal. Os
resultados alcançados na análise de placas, ao se utilizar tal faixa, têm apresentado
valores precisos para os deslocamentos w, descontinuidade de momento fletor Mx nas
fronteiras comuns de faixas adjacentes por causa da dependência em relação às

23
curvaturas e resíduos de momentos fletores Mx em bordas livres. Os problemas citados
(descontinuidade e resíduos) diminuem ao se aumentar gradativamente o número de
faixas em que se discretiza a placa.
As outras duas faixas, mostradas na tabela 3-1, incorporam técnicas que permitem obter
soluções mais eficientes para o problemas da flexão de placas.
Para a faixa AO2 há o estabelecimento de continuidade de alta ordem nas fronteiras da
faixa – em particular, curvatura, além de deslocamento e rotação na direção transversal.
Este procedimento conduz a soluções mais acuradas do problema e, apesar da
introdução de mais um grau de liberdade por linha nodal (em comparação a BO2), a
mesma precisão de resultados pode ser alcançada com um menor esforço
computacional, por ser possível a redução do número de faixas utilizadas, o que conduz
a um sistema de equações lineares de menor orem. Entretanto a imposição de curvaturas
iguais nas linhas nodais comuns a faixas contíguas é inconveniente para as placas em
que ocorre variação brusca de rigidez na direção transversal.
A faixa AO3 apresenta uma linha nodal auxiliar entre as duas periféricas. Esta técnica
também possibilita uma solução refinada de aplicação geral e sem o inconveniente de
introduzir condições de compatibilidade estranhas ao problema considerado, nas linhas
nodais pertencentes a duas faixas vizinhas. A introdução de dois parâmetros adicionais
(em relação a BO2) é contornada eliminando-os, antes de montagem das equações de
rigidez para a estrutura global, o que reduz significativamente, a ordem do sistema de
equações lineares.
3.6.2 Condições de Contorno
Dentre as faixas cujas seções longitudinais estão apresentadas na tabela 3-1, as três
primeiras (A-A, A-E, E-E) têm sido utilizadas para a análise estática, detacando-se a
faixa A-A por possibilitar o tratamento individual de cada harmônico da série. Na
análise dinâmica todos os seis tipos têm sido utilizados pelos diversos pesquisadores do
MFF.
Optou-se, neste trabalho, pela faixa AO3 na condição de apoio simples nos dois
extremos longitudinais (A-A) pelos motivos relacionados a seguir.

24
Seção transversal AO3 porque produz soluções mais acuradas do que BO2, sem os
inconvenientes relacionados no item anterior e devido à vantagem de que AO3 acopla
duas faixas BO2, sem o incômodo de dobrar o número de parâmetros nodais a serem
utilizados nas equações de rigidez da estrutura global.
Seção longitudinal A-A por causa da vantagem de análise individual para cada
harmônico da série e a opção de simular a continuidade da estrutura através de um
procedimento simples, exposto no item 3.14.
Tabela 3-1 - Número de linhas nodais por faixa
Tipo Nº de LN GDL por LN Continuidade Representação esquemática
BO2 2 2 Baixa Ordem
AO2 2 3 Alta Ordem
AO3 3 2 Alta Ordem

25
3.7 FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO E CAMPOS DE
DESLOCAMENTOS
Cada problema a ser analisado contém, em si mesmo, propriedades que lhe são
peculiares. Portanto, o tipo da faixa a ser utilizada, bem como a função de forma,
dependem da estrutura a ser estudada e do tipo de análise que se deseja fazer (estática
ou dinâmica).
Admita-se que o problema analisado seja o da flexão de uma placa retangular
simplesmente apoiada em dois lados.
Uma possível discretização seria a indicada na figura abaixo, o que leva naturalmente a
se conceber cada faixa como simplesmente apoiada nos dois extremos.
Figura 3-7 - Exemplo básico de placa discretizada em faixas finitas
Três translações e uma rotação são consideradas como deslocamentos globais. As
translações são denotados por U-V-W e elas são correspondentes às coordenadas do
eixo global X-Y-Z apresentadas na figura 3-4. A rotação em torno do eixo longitudinal
é denotada por θ, figura 3-3.
Deslocamentos nodais são associados com as deformações de um único elemento de
placa. Por similaridade aos deslocamentos globais são consideradas três translações (u-
v-w) e uma rotação (θ). De acordo com a premissa básica do MFF a deformação do
elemento é expressa em função dos deslocamentos nodais.
Uma vez que a função deslocamento é constituída de duas partes, uma
polinomial, , e outra em série, , cabe determiná-las com o intuito de encontrar
as primeiras pistas para a resolução genérica do problema. As componentes e

26
são as funções de interpolação dos graus de liberdade nodais em duas direções e devem
ser descritas a seguir.
A função de forma é um polinômio associado com os parâmetros nodais de
deslocamento que podem ser, neste caso, a flecha w e a rotação elástica em
cada uma das linhas nodais (LN), totalizando quatro graus liberdade por faixa: dois na
LNi e dois na LNj.
A parte em série deve satisfazer às condições de contorno no extremos y = 0 e
y = a. Por exemplo, uma possível adoção para a função deslocamento da placa é dada
por:
3 2− 2 2 (3.1)
Tabela 3-2 - Seção longitudinal da faixa - parte em série da função deslocamento
Tipo
Condições de Contorno Longitudinais
y = 0 y = a
A-A
Y(0) = 0 Y(a) = 0
Tabela 3-3 - Seção transversal da faixa - parte polinomial da função deslocamento
Tipo
Condições de Contorno Transversais
x = 0 x = b
A-A
X(0) = = X(b) =
O que garante a compatibilidade até as rotações elásticas (na direção transversal x) e o
atendimento às condições de contorno nos extremos longitudinais (direção y).

27
Figura 3-8 - Deslocamentos das Linhas Nodais
3.8 CAMPO DE DESLOCAMENTOS E
CONVERGÊNCIA
Convergência
Ao se adotar o método de rigidez é necessário admitir um campo de deslocamentos
virtuais que possibilite a análise de estrutura através do estabelecimento da energia
potencial e sua conseqüente minimização. A escolha de tal campo de deslocamentos é
de extrema importância, pois feita de maneira descuidada pode levar às seguintes
situações desastrosas: respostas estranhas que não refletem os deslocamentos possíveis
dos pontos que constituem a estrutura; convergência muito lenta, tornando a aplicação
do MFF inviável em termos de esforço computacional mobilizado e, até mesmo, a não
convergência.
Campo de deslocamentos
A figura 3-9 apresenta as dimensões e o sistema de coordenadas correspondentes a uma
faixa retangular padrão.

28
Figura 3-9 - Faixa finita padrão
A forma geral da função deslocamento é dado por um produto de polinômios e séries
trigonométricas. Polinômios que dependem de uma coordenada ao longo da direção
transversal (x) e séries que dependem de uma coordenada ao longo da direção
longitudinal (y). O problema bidimensional a ser resolvido d = d (x,y) é concebido
como o produto de dois problemas unidimensionais .
Conceitualmente corresponde a admitir-se uma solução da equação diferencial básica
tendo uma forma particular , onde e são funções apenas
de x e y, respectivamente. Esta separação de variáveis traz conseqüências apreciáveis na
resolução do problema, conforme será mostrado no desenvolvimento teórico que segue.
Com o objetivo de garantir a convergência a resultados corretos, algumas
recomendações simples encontram-se nos parágrafos seguintes.
A parte em série da função deslocamento, além de ser regular, deve satisfazer às
condições de contorno nas extremidades das faixas.
Ao longo de fronteiras longitudinais comuns às faixas vizinhas, a função deve
satisfazer à compatibilidade de deslocamentos. Isto se faz necessário para que as
deformações requeridas nas formulações energéticas permaneçam finitas na interfaces
das faixas.
A idéia geral que se deve ter em mente é a de possibilitar o aparecimento dos
deslocamentos e deformações típicos do problema analisado, bem como garantir que a
soma das energias potenciais das várias faixas constitua uma aproximação da energia

29
potencial total, aproximação essa crescente ao se aumentar o número de divisões da
estrutura e o número de harmônicos da série.
3.9 FUNÇÕES DESLOCAMENTOS TÍPICAS
Considere a faixa BO2 a qual cada linha nodal é livre para mover-se para cima e para
baixo na direção z e rotacionar em torno do eixo y, com o resultado que são dois GDLs
por linha nodal e um total de quatro GDLs para a faixa inteira. A função deslocamento
pode ser reescrita da seguinte maneira:
(3.2)
onde; (3.3)
- é o vetor dos parâmetros de deslocamentos da , correspondentes ao m-ésimo
termo da série.
- funções de forma associadas com .
s - é o número de linhas nodais (LN) da faixa.
Os vetores dependem dos parâmetros nodais adotados e da utilização de uma ou
mais linhas nodais auxiliares entre as linhas nodais que delimitam a faixa.
- é a parte em série, normalmente uma das soluções da equação diferencial da
vibração de vigas, cuja forma geral é
(3.4)
com os coeficientes , , e a serem determinados a partir das condições de
contorno longitudinais.
Tabela 3-4 – Faixa finita utilizada no programa computacional
Tipo Nº L.N. GDL por L.N. Continuidade Representação esquemática
BO2 2 2 Baixa Ordem

30
(3.5)
(3.6)
Com , , e :
(3.7)
(3.8)
Apenas como ilustração são apresentadas as funções de forma polinomiais para uma
linha com dois nós, deslocamentos e primeira derivada correspondentes a faixa tipo A-
A, como é apresentado na tabela 3-2 e 3-3. As funções de forma polinomiais utilizadas
retratam bem a deformada da barra para a condição de contorno A-A, porém o mesmo
não ocorre para as demais condições de contorno.
3.10 FUNÇÕES DE FORMA DA FAIXA FINITA
No MFF, um perfil de paredes finas do tipo U é discretizado abaixo somente na seção
transversal. Isso difere o MFF do MEF porque o último método também discretiza o
perfil na direção longitudinal. Na figura abaixo uma simples faixa finita é assinalada
para que sejam apresentados os graus de liberdade (GDL) da faixa, assim como as
dimensões e carregamentos.
Figura 3-10 - Sistema de coordenadas e graus de liberdade da faixa finita

31
(3.9)
(3.10)
(3.11)
onde , e p é o número de semi-ondas, a qual para certo comprimento de semi-
ondas ao longo da direção longitudinal m é o máximo número de meia onda empregado
na análise, que é um inteiro positivo finito. é a função de forma na direção
longitudinal para representar o deslocamento longitudinal e para a
condição de contorno rótula-rótula.
As expressões de u, v e w podem ser apresentados na forma geral de vetor como:
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
3.11 MATRIZ DE RIGIDEZ ELÁSTICA
A rigidez da faixa consiste de duas partes: membrana e flexão como é apresentado
abaixo. A deformação da membrana, , ocorre no meio da faixa e é governada pelas
premissas de tensões no plano. A deformação na flexão, , segue a teoria de placas
final de Kirchoff e zera no meio da faixa.
(3.16)

32
= (3.17)
(3.18)
Como está apresentado acima, as deformações e podem ser escritas em termos
apropriados das derivadas das funções de forma, e , e deslocamentos nodais,
com respeito a cada número de semi-onda p. Além disso, a relação geral rigidez-
deslocamento pode ser usada no lugar da rigidez à flexão como:
= (3.19)
A energia de deformação interna durante a flambagem consiste na composição de duas
parcelas:
(3.20)
Para uma espessura constante t, aplicando a relação constitutiva da membrana,
, e as tensões generalizadas da relação de rigidez;
, a energia de deformação pode ser reescrita como segue abaixo:
(3.21)
Onde:
(3.22)
(3.23)
, , (3.24)

33
, , (3.25)
, (3.26)
(3.27)
A matriz de rigidez elástica pode ser derivada da energia de deformação interna:
(3.28)
Ou de uma forma simplifcada:
(3.29)
Onde , e é a matriz de rigidez elástica correspondente aos
números p e q de meia-onda a qual pode ser separada por membrana e flexão,
(3.30)
Matriz de rigidez elástica de membrana da faixa retangular na condição A-A:
(3.31)
Os termos I1, I2, I3, I4 e I5 da matriz de rigidez elástica de flexão para uma faixa finita com
condição de contorno qualquer:
; (3.32)
; (3.33)
; (3.34)
; (3.35)
(3.36)
(3.37)

34
É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de flexão para a faixa finita retangular para uma condição de contorno qualquer:
(3.38)

35
A substituição e integração leva a seguinte solução para a matriz de rigidez de
membrana, , e flexão, :
(3.39)
(3.40)
É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de membrana da faixa finita retangular
na condição A-A (apoio-apoio):
(3.41)
Onde , e
(3.42)

36
É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de flexão para a faixa finita retangular na condição A-A (apoio-apoio):
(3.43)
Onde , , , , e .
(3.44)

37
A matriz de rigidez elástica local é composta de uma parcela de membrana e flexão, como
mostra a matriz abaixo:
(3.45)
(3.46)
3.12 MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA
O carregamento apresentado na figura 3-11 do elemento de faixa pressiona linearmente as
bordas extremas. O método utilizado para se determinar a matriz de rigidez geométrica,
emprega a energia potencial Vp dada por essas tensões (T1, T2) durante a flambagem, e é
expressa por:
(3.47)
Figura 3-11 - Carregamento atuante na faixa finita

38
As derivadas dos deslocamentos podem ser escritas em função das derivadas de funções de
forma, Nuv e Nw e os deslocamentos nodais com relação a cada número p de semi-ondas, de
forma análoga a solução de rigidez elastica. Para ilustrar o caso da flexão, as derivadas de w
podem ser expressas por:
(3.48)
Para ilustrar o caso da membrana, as derivadas de u e v podem ser expressas por:
(3.49)
A energia potencial pode ser reescrita como:
(3.50)
Onde , e é a matriz de rigidez geométrica
correspondente aos números de semi-ondas p e q as quais podem ser separada por membrana
e flexão:
(3.51)
(3.52)

39
(3.53)
As expressões e da matriz de rigidez geométrica correspondentes aos números p e q
de semi-ondas podem ser obtidas pela substituição e integração.
(3.54)
(3.55)
Onde:
; (3.56)
; (3.57)
; (3.58)
; (3.59)
; (3.60)
. (3.61)
Segue abaixo a matriz de rigidez geométrica de membrana após resolvida as devidas
substituições:
(3.62)

40
Para simplificar a apresentação da constituição da matriz completa, serão utilizadas as
variáveis k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8, k9, k10, k11, k12 e k13 no lugar dos termos descritos
na matriz anterior.
(3.63)
É apresentada abaixo a matriz de rigidez geométrica de flexão:
(3.64)
Representada por:
(3.65)
A matriz de rigidez geométrica local composta da parcela membrana e flexão é apresentada
abaixo:
(3.66)
Onde . (3.67)

41
3.13 TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZ LOCAL EM
MATRIZ GLOBAL
As matrizes de rigidez para vários tipos de faixas são derivadas em termos de uma
configuração de eixos locais, dos quais dois normalmente coincidem com o meio da espessura
da faixa. Tais matrizes de rigidez podem ser usadas diretamente em problemas de flexão de
placas ou tensões no plano porque todas as faixas são coplanares.
Figura 3-12 - Orientação dos eixos locais
Em estruturas de placas associadas, entretanto, quaisquer duas placas se encontrarão em um
ângulo, e para estabilizar o equilíbrio nodal de forças em linhas nodais comuns para faixas
não coplanares, um sistema de coordenadas comum é necessário.
Na figura anterior as coordenadas individuais de uma faixa são representadas por x’, y’, z’ e
as coordenadas comuns x, y, z. y e y’ são coincidentes entre si e também com a linha de
interseção entre duas faixas adjacentes.
Uma vez que a matriz de rigidez da faixa foi transformada no sistema de coordenadas global,
essa está pronta para ser agrupada em uma matriz de rigidez completa da estrutura da forma
convencional.
Nesse processo de transformação, o MFF leva vantagem quando comparado ao MEF. O
primeiro se preocupa em compatibilizar os deslocamentos após a transformação. No MFF, as
funções deslocamentos foram escolhidas de tal maneira que u e w, os dois componentes que
estão envolvidos na transformação, têm a mesma variação na direção longitudinal (y), e uma
rotação das coordenadas x e z conseqüentemente não afeta a compatibilidade de
deslocamentos nas linhas nodais.

42
A matriz de rotação faz a correlação entre as matrizes locais e globais. O objetivo dessa
função é obter as matrizes elásticas e geométricas globais a partir das matrizes locais.
α é o ângulo de inclinação do elemento em relação ao eixo global.
(5.1)
kglobal = gama . k . gama’ (5.2)
kgglobal = gama . kg . gamma’ (5.3)
3.14 MÉTODO AGRUPAR
O processo de agrupar para obter a matriz de rigidez K da estrutura é simbolicamente
representada por , onde a matriz é a matriz de rigidez do iésimo elemento e o
somatório percorre todos os elementos do agrupamento.
No MFF a discretização dos elementos é elaborada apenas na seção transversal, diferente do
MEF que adicionalmente discretiza os elementos na seção longitudinal. As condições de
contorno das extremidades carregadas podem ser definidas tanto por cada faixa
separadamente ou pelas seção transversal como um todo. Uma vez especificada a condição de
contorno de cada faixa, as matrizes elástica e geométrica podem ser calculadas definido o
máximo número m de semi-ondas. Deve-se fazer um somatório adequado das matrizes de
rigidez global com todos os GDLs nas coordenadas globais. O assembler é um método para
juntar a matriz global elástica e geométrica e assim depois de agregados resolver o problema
de flambagem elástica que é um típico problema de autovalor.

43
3.15 LINGUAGEM COMPUTACIONAL
A escolha da linguagem de programação se consolidou pelas vantagens em resolver
problemas técnicos, facilidade de uso, funções predefinidas, interface gráfica de usuário e
pelo compilador. MATLAB é uma linguagem computacional altamente técnica e
especializada em cálculos científicos e de engenharia, com suporte em diferentes sistemas
computacionais, o que proporciona independência de plataforma. MATLAB tem muitas
vantagens em comparação com linguagens computacionais convencionais para resolver
problemas técnicos. Dentre elas temos:
Facilidade de uso: MATLAB é uma linguagem interpretada e de fácil utilização. O
programa pode ser usado como prancheta de rascunhos para avaliar expressões
digitadas em linha de comando, ou pode ser utilizado para executar programas escritos
previamente. Os programas podem ser facilmente escritos e modificados na ambiente
integrado de desenvolvimento, e depois depurados por meio do depurador MATLAB.
É o ambiente ideal para o desenvolvimento rápido de protótipos para novos
programas, como é o caso do APFF.
Funções predefinidas: O MATLAB vem completo, com uma grande biblioteca de
funções predefinidas, que representam soluções testadas e empacotadas para diversas
técnicas básicas. Essas funções são os métodos numéricos que ajudam a resolver
problemas complexos em áreas específicas.
Desenhos independentes de dispositivos: Diferente da maioria das linguagens de
computador, MATLAB tem muitos comandos de desenhos e imagens. Os desenhos e
imagens podem ser apresentados em qualquer dispositivo de saída gráfica suportado
pelo computador que executa o MATLAB. Esse recurso torna o MATLAB uma
ferramenta excepcional para visualização de dados técnicos.
Interface gráfica de usuário: MATLAB tem ferramentas que permitem a um usuário
construir interativamente uma plataforma gráfica de usuário (GUI, do inglês Graphical
User Interface) para seus programas. Com esse recurso, o programador pode projetar
programa sofisticados de análise de dados, os quais podem ser operados por usuários
relativamente inexperientes.

44
O compilador MATLAB: A flexibilidade e a independência de plataforma do
MATLAB resultam da compilação de programas MATLAB em um código
independente de dispositivo denominado pcode. Essa abordagem é similar à adotada
pela linguagem Visual Basic da Microsoft. Infelizmente, os programas resultantes
podem às vezes se tornar lentos, pois o código MATLAB é interpretado em vez de
compilado. Existe um compilador MATLAB separado. Ele pode compilar um
programa MATLAB como um programa efetivamente executável, que é mais rápido
que o código interpretado. Ao final do desenvolvimento do APFF o protótipo do
programa deve ser convertido para um programa executável que pode ser distribuído a
usuários e alunos de engenharia civil.
3.16 DESCRIÇÃO DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES DO
PROGRAMA
Tendo como base os fundamentos teóricos apresentados nos capítulos anteriores, foi
elaborado um programa na linguagem MATLAB denominado APFF – Perfis Formados a
Frio, para cálculo da carga crítica de flambagem e representação da deformada do modo. O
programa performa a análise estática de perfis formados por placas associadas de seção aberta
e constante, biapoiados nas seções extremas utilizando o MFF
Nesse capítulo são apresentadas algumas principais funções do programa, não atentando para
detalhes de funcionamento, métodos numéricos ou ainda a diagramação do código.
Comandos – esse arquivo contém os principais comandos do programa. As demais funções
apresentadas são ativadas através dele.
Resultados – esse arquivo contém os principais elementos do layout da tela de resultados,
por exemplo: caixas de texto, botões, tabelas e gráficos.
Pré-processador – esse arquivo contém os principais elementos do layout da tela de entrada
de dados, por exemplo: caixas de texto, botões, tabelas e gráficos.
Propriedades – esse arquivo contém os comandos que ativam as funções de cálculo das
propriedades geométricas da seção transversal aberta.

45
Assemble – Roteiro para encontrar a solução do problema de autovalores. Essa função
agrupa as matrizes global elástica e geométrica e assim, depois de aglutinadas são
encaminhados para resolução do problema de autovalor.
Este item apresenta sucintamente o passo-a-passo das funções chave de solução do método
assembler ao problema de autovalores.
Solicita-se um loop em todos os elementos de faixas que compõe a seção transversal. Nesse
loop são formadas as matrizes de rigidez elástica e geométrica nas coordenadas locais (ke_local
e kg_local).
Para as matrizes de rigidez elástica locais é necessário colecionar as seguintes variáveis:
[ke_local]=kelocal (t, a, b, material, Ex, Ey, vx, vy, G)
Para as matrizes de rigidez elástica globais é necessário colecionar as seguintes variáveis:
[kg_local]=kglocal (t, a, b, material, Ex, Ey, vx, vy, G)
Transformar as matrizes de rigidez elástica e geométrica locais em globais.
[ke, kg]=trans (alpha, ke_local , kg_local)
Adicionar as contribuições dos elementos de ke e kg à matriz completa Ke e Kg.
[Ke, Kg]=assemble (Ke, Kg, ke, kg, nói, nój, nnós )
Introduzir as restrições e reduzir as matrizes Ke e Kg às partes livres somente.
Keff = R’ . Ke . R (8.1)
Kgff = R’ . Kg . R (8.2)
Resolver o problema de autovalores e dar tratamento adequado aos dados da solução.
Encontrar todos os autovalores positivos que estão na diagonal da matriz solução e os vetores
correspondentes;
Renumerar os resultados em ordem crescente;
Reduzir a um número razoável a quantidade de modos encontrados.
Gerar os valores de saída para formação das curvas de flambagem.

46
Propriedade_elem - Essa função constitui a matriz dos elementos e propriedades, por
exemplo: nó inicial, nó final, espessura e ângulo alpha.
Trans_gl - Essa função transforma coordenadas globais em coordenadas locais;
Trans_lg - Essa função transforma deslocamentos locais em deslocamentos globais;
Kglobal - Essa função constitui a matriz de rigidez geométrica local;
Klocal - Essa função constitui a matriz de rigidez elástica local;
Partições - Essa função particiona a matriz de rigidez em pedaços de tal maneira para
facilitar a eliminação dos graus de liberdade dos nós fixos e manter os graus de liberdades
dos demais nós;
Faixas_finitas - Essa função faz a análise de rigidez pelo método das faixas finitas;
Trans - Essa função transforma as matrizes locais geométricas e elásticas do elemento em
matrizes globais.

47
4. ESTUDOS DE CASO
Perfis de diferentes geometrias foram analisados pelo programa desenvolvido no presente
trabalho, porém alguns casos merecem destaque e devem ser apresentados nesse capítulo pela
singularidade no comportamento. Esses estudos têm por finalidade comparar os resultados
gerados pelo programa computacional APFF com os resultados conhecidos do programa
CUFSM.
A seguir um resumo dos cinco casos de estudo:
Caso 1: Comparar as propriedades geométricas geradas pelo APFF vs CUFSM.
Caso 2: Comparar os resultados gerados de um perfil U enrijecido pelo APFF vs
CUFSM.
Caso 3: Mostrar que o fator de carga é múltiplo do carregamento aplicado ao perfil.
Caso 4: Comparar os resultados gerados de um perfil cartola pelo APFF vs CUFSM.
Caso 5: Comparar os resultados gerados pelo APFF vs formulação analítica.
4.1 CASO 1
É apresentada uma comparação de propriedades geométricas do perfil cartola enrijecido
geradas pelo APFF vs CUFSM. O perfil tem a geometria apresentada na figura 4-1.
Figura 4-1 - Perfil U9x5x1x0.1 (in)

48
Tabela 4-1 - Propriedades geométricas da seção aberta - Comparativo de resultados
PFF CUFSM dif. percentual
A 1700.0 mm² 1700.0 mm² 0.0%
J 2266.7 mm4
2266.7 mm4
0.0%
Xcg 105.9 mm 105.9 mm 0.0%
Ycg 102.6 mm 102.6 mm 0.0%
Ixx 9951421.6 mm4
9951421.6 mm4
0.0%
Iyy 12524509.8 mm4
12524509.8 mm4
0.0%
Ixy 648529.4 mm4
648529.4 mm4
0.0%
θ -76.6 ° -76.6 ° 0.0%
I11 12678724.5 mm4
12678724.5 mm4
0.0%
I22 9797206.8 mm4
9797206.8 mm4
0.0%
Xs -137.5 mm -137.5 mm 0.0%
Ys 107.5 mm 107.5 mm 0.0%
Cw 230722551.3 mm 230722551.3 mm 0.0%
Pode se dizer que os resultados atestam que as propriedades calculadas pelo programa
computacional APFF são equivalentes as propriedades calculadas pelo programa CUFSM.
4.2 CASO 2
Modelar um típico perfil U enrijecido 600S200-33 submetido à compressão centrada e
verificar a equivalência entre os resultados gerados para os modos de flambagem pelo
programa computacional desenvolvido APFF e o CUFSM. A geometria do perfil e entrada de
dados dos material utilizado são apresentadas nas tabela 4-2 e figura 4-2 respectivamente.
Figura 4-2 - Perfil Ue 152,4x50,8x15,75x0,88mm

49
Tabela 4-2 - Propriedades do material utilizado na análise
Material aço
Módulo de elasticidade (Ex = Ey) 29500.0 ksi 20500.0 N/mm2
Coeficiente de Poisson (νx = νy) 0.3 0.3
Módulo de seção (G) 11346.0ksi 78846.0 N/mm2
A figura 9-2 apresenta a regra de classificação dos perfis comerciais americanos utilizados
nos estudos de caso do presente trabalho.
Figura 4-3 – Regra de classificação de perfis comerciais de chapa fina americanos
Figura 4-4 – Marcação em perfil U enrijecido (stud) 600S162-33
Passo 1 - Analisar os comprimentos de semi-onda de 1in a 1000in de um perfil U 600S200-33
submetido à compressão centrada e = 50ksi no programa CUFSM.
Passo 2 - Analisar os comprimentos de semi-onda de 1in a 1000in de um perfil U 600S200-33
submetido à compressão centrada e = 50ksi no programa APFF.

50
Figura 4-5 - Resultados gerados para o caso 2 (passo 1) no programa CUFSM
Passo 3) Modelo numérico gerado no APFF, nas unidades do sistema americano, ksi e in.
Figura 4-6 – Resultados gerados para o caso 2 (passo 2) no programa APFF

51
O fator de carga (fc) é fornecido pela equação:
fc = ζcrl/ ζy
Na figura 9-5, o primeiro ponto mínimo representa o comportamento da flambagem local e o
segundo ponto de mínimo representa o comportamento da flambagem distorcional.
Tabela 4-3 – Comparação entre os resultados utilizados na análise na análise do caso 1
Passo 1 - CUFSM Passo 2 - APFF
Forma de flambagem Comp. semi-onda fy fc σcrl Fy fc σcrl
Local 5 in 50.0 ksi 0.1 5.0 ksi 50.0 ksi 0.1 5.0 ksi
Distorcional 25 in 50.0 ksi 0.3 16.5 ksi 50.0 ksi 0.3 16.5 ksi
A tabela 9-3 apresenta uma equivalência entre os resultados gerados pelos dois programas
mencionados anteriormente.
4.3 CASO 3
O presente caso apresenta um típico perfil U9x5x1x0.1 (in), figura 4-7, enrijecido submetido
à compressão centrada de 1,0ksi e os comprimentos das semi-ondas analisados variando de
1in a 1000in. O objetivo é mostrar o conceito de fator de carga e que esse é múltiplo do
carregamento aplicado, o que pode ser observado na tabela 4-3.

52
Figura 4-8 – Resultados gerados para o caso 2 no programa APFF
Os fatores de carga (fc) correspondentes ao gráfico acima de compressão pura são:
- O primeiro ponto mínimo representa o comportamento da flambagem local e ocorre com um
comprimento de semi-onda de 6,0in;
- O segundo ponto de mínimo representa o comportamento da flambagem distorcional e
ocorre com um comprimento de semi-onda de 40,0in.
Tabela 4-4 – Comparação entre os resultados utilizados na análise do caso 2
APFF – Passo 1 APFF – Passo 2
Forma de flambagem Comp. semi-onda Fy fc σcrl Fy fc σcrl
Local 6 in 1.0 ksi 23.1 23.1 ksi 50.0 ksi 0.5 23.0 ksi
Distorcional 40 in 1.0 ksi 28.8 28.8 ksi 50.0 ksi 0.6 29.0 ksi
No presente estudo de caso, o perfil de fy= 1,0ksi possui o mesmo comportamento que o perfil
de fy= 50,0ksi. O fator de carga mostra que os resultados do perfil de tensão admissível
qualquer são proporcionais ao perfil que possua mesma geometria e que contenha tensão
admissível fy= 1,0ksi.
Global
Distorcional
Local

53
4.4 CASO 4
O presente caso apresenta um perfil cartola enrijecido, figura 4-9, submetido à compressão
centrada e flexão simples de fy=345 MPa. Os comprimentos das semi-ondas analisadas
variando de 1mm a 6000mm. O objetivo é comparar os resultados do APFF com um
programa consagrado na comunidade acadêmica, nesse caso, o CUFSM.
Resultados da análise do perfil sob compressão centrada:
Figura 4-10 - Forma de flambagem local – compressão centrada - APFF

54
Figura 4-11 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF
Figura 4-12 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF

55
Figura 4-13 - Forma de flambagem flexão global – compressão centrada - APFF
Tabela 4-5 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para compressão
APFF CUFSM
Forma de flambagem Comp. semi-onda Fy Fcr Fcr
Local 175 mm 345 MPa 0.3 0.3
Distorcional 500 mm 345 MPa 0.6 0.6
Global 5000 mm 345 MPa 0.3 0.3
Não existe diferença significativa entre os resultados da análise para o presente caso.
Resultados da análise do perfil sob flexão simples:

56
Figura 4-14 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF
Figura 4-15 - Forma de flambagem distorcional – flexão simples - APFF

57

58
Tabela 4-6 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para flexão simples
APFF CUFSM
Forma de flambagem Comp. semi-onda Fy fcr fcr
Local 125 mm 345 MPa 0.6 0.6
Global 6000 mm 345 MPa 0.9 0.9
Em termos percentuais existe um diferença entre os resultados da análise para o presente caso
porém essa diferença pode ser considerada aceitável.
4.5 CASO 5
No presente caso deve ser modelada uma placa retangular submetida à compressão uniforme e
determinada a tensão crítica de flambagem elástica (fcr). O objetivo desse caso é comparar os
resultados do APFF com os resultados analíticos e assim validar os resultados do programa.
Figura 4-18 – Geometria da placa / comp. 500mm
As figuras abaixo foram retiradas da saída gráfica do programa APFF. A figura da esquerda
apresenta a geometria não deformada e a da direita apresenta a placa deformada sem
translação das extremidades da placa.
Figura 4-19 – Modelo estrutural da placa / deformada da placa
O gráfico com o modo de flambagem apresenta a relação tensão x comprimento de semi-onda
e um fator de carga de 76,15. Esse fator é a relação entre .

59
Figura 4-20 – Carga crítica de flambagem da placa
Cálculo da tensão crítica de uma placa retangular comprimida é dado por:
Onde o valor teórico do coeficiente de flambagem k para a placa retangular apoiada é k=4.
A tensão amissível de referência na entrada de dados do programa é de 1,0 N/mm2
. Então
para esse caso, o fator de carga é equivalente a tensão crítica de flambagem em N/mm2
.
Portanto, encontramos o resultado numérico de fcr = 76,15N/mm2
a ser comparado com o
valor teórico de fcr = 74,14N/mm2
. A diferença encontrada, de 2,7% pode ser considerada
aceitável para fins de dimensionamento prático de estruturas de aço.
Local

60
5. CONCLUSÃO
A implementação do MFF é uma poderosa ferramenta para examinar o comportamento de
perfis formados a frio à compressão centrada e flexão. Essa solução, agregada a um programa
computacional, torna-se um método eficiente e fornece os parâmetros de estudo necessários
para examinar o comportamento dos modos de flambagem elástica.
O MFF manipula uma quantidade de dados de entrada e de equações menor que o MEF e por
conseqüência tem um custo computacional bem inferior e, ainda assim, os resultados
alcançados são satisfatórios. Entretanto o MEF permite uma variedade de condições de
contorno nas extremidades e ao longo da barra e uma variação da seção ao longo da barra que
não pode ser contemplado pelo MFF.
A primeira conclusão dos resultados obtidos com o programa computacional desenvolvido no
presente trabalho, APFF, é que os métodos numéricos que executam a análise do MFF estão
adequados para caracterizar as curvas referentes aos modos de flambagem. O gráfico da
deformada da seção em um determinado comprimento reflete com fidelidade o
comportamento de uma faixa finita isolada ou de uma composição de faixas finitas mostrando
a interação entre almas, flanges e reforços da seção transversal.
Em geral os exemplos apresentados demonstram que a determinação das forças críticas local e
distorcional não é tão óbvia, mesmo para seções simples. Da análise dos resultados
apresentados em forma gráfica, representando a curva de flambagem, é verificado que:
Os pontos de mínimo da curva das forças críticas nem sempre pertencem ao modo
puro (local, distorcional ou global).
Existem casos em que apenas um ponto de mínimo é identificado, representando um
único modo de flambagem.
Existem casos que não há um ponto de mínimo bem definido para a flambagem
distorcional, indicando que esse modo representa uma interação com o modo local.
Apesar da análise visual das deformadas ajudar na classificação do modo, isso não é
garantia de um método preciso pois envolve a interpretação humana.
Embora a interpretação e classificação dos modos de flambagem calculados pelo
programa computacional apresentem possíveis dúvidas, como aquelas citadas

61
anteriormente, os resultados numéricos das forças críticas podem ser tomados com
suficiente precisão e confiabilidade.
Pode-se dizer que o programa computacional APFF é de fácil utilização pois possui uma
interface gráfica amigável que permita o usuário escolher o tipo de seção a ser analisada,
alterar a geometria, os dados de entrada e realizar uma análise completa de uma barra com
seção aberta qualquer em um período de tempo muito curto.
Conforme foi apresentado nesse trabalho, os resultados também são de fácil entendimento e
manipulação, ambos apresentados graficamente. O usuário pode navegar entre os diferentes
modos de flambagem e diferentes comprimentos analisados para a mesma barra de maneira
simples e intuitiva.
O programa computacional APFF é um projeto antigo do orientando e do orientador e não
tem como atividade fim apenas a defesa e aprovação da dissertação. Esse projeto tem como
atividade fim o desenvolvimento de uma ferramenta computacional desenvolvida no Brasil
que atenda às demandas de pesquisa no tema análise de flambagem de perfis formados a frio e
de dimensionamento prático de perfis formados a frio.
O programa computacional desenvolvido no presente trabalho deve ser disponibilizado no site
www.hiperestatica.com como forma de disseminar a utilização de MFF orientado para análise
de perfis formados a frio. A diagramação do código será explicitada em uma seção específica
no site, assim como os exemplos de casos, manual e aplicações utilizando a NBR 14762
(ABNT, 2010).
A idéia desse projeto é compartilhar o conhecimento, pois além de uma atitude altruísta,
estamos contribuindo para o crescimento do outro, estamos expandindo nossos próprios
limites, articulando redes de relacionamentos cada vez mais interessantes e profícuas.
O ideal não é apenas repassar uma avalanche de informação, mas abrir espaço para troca da
informação filtrada, com conteúdo trabalhado, isto é, agregar mais conhecimento, seu e do
outro.
A era do conhecimento, ao contrário da era industrial, onde o trabalho se dava pela simples
execução manual de tarefas, é caracterizada pelo predomínio do trabalho intelectual e criativo.
Ora, se o conhecimento permanece limitado às paredes da empresa ou aos limites da

62
universidade, o intelecto, assim como a criatividade não se desenvolvem plenamente, pois não
encontram novas demandas, novos insights possibilitando a reavaliação de pressupostos.
Como proposição para a continuidade do presente trabalho, destacamos a revisão do código
do programa computacional, a qual deve incluir os seguintes itens:
Testes envolvendo análises de perfis sob compressão excêntrica e flexão pura.
Exportação de resultados formatados.
Exportação das propriedades geométricas de uma seção aberta qualquer para arquivo
de input do programa de análise estrutural Gtstrudl 30. O programa computacional
Gtstrudl 30 não executa o cálculo de uma seção geométrica qualquer. Esse
procedimento auxilia a análise e verificação de perfis não comerciais que tenham uma
geometria diferenciada.
Automatização do input de comprimentos de barra a serem analisados. Esse input no
programa é manual.
A versão 1.0 do programa refina todas as faixas de uma determinada seção duplicando
os elementos de uma só vez. Deve ser adicionada uma função para discretização de
cada elemento separadamente.
Alocação de mais de uma curva de diferentes perfis analisados na mesma apresentação
gráfica da curva de flambagem.

63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
_____. ABNT, 2001, NBR 14762: Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por
perfis formados a frio – Procedimento. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio
de Janeiro.
_____. ABNT, 2010, NBR 14762: Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por
perfis formados a frio – Procedimento. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio
de Janeiro.
_____. AMERICAN IRON AND STEEL INSTITUTE, 1996. Cold formed steel design
manual. Washington, AISI.
_____. AMERICAN IRON AND STEEL INSTITUTE, 1991. LRFD Cold formed steel
design manual. Washington, AISI.
CARVALHO, Paulo Roberto M. de, 2004. Curso Básico de Perfis Formados a Frio, Porto
Alegre.
CHEUNG, Y.K., 1971, Orthotropic Right Bridges by the Finite Strip Method – Concrete
Bridge Design, ACI Publications SP 26-8.
CHEUNG, M.S. e CHEUNG, Y.K., 1972, Static and Dynamic Behaviour of Rectangular
Plates Using Hiher Order Finite Strips – Building Science, Vol.7.
CHEUNG, Y.K., 1976, Finite Strip Method in Structural Analysis, Pergamon Press.
CHEUNG, M. S., LI, W., 1989, A Modified Finite Strip Method for Geometrically Nonlinear
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64
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KÄRRHOL, G., 1956, Parallelogram Plates Analysed by Strip Method, Göteborg.
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Developments in Cold-Formed Steel Design and Construction, University of Missouri-
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PFEIL, M.S., 1985, Interação local-global na flambagem de colunas de seção U enrijecida,
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SCHAFER, B.W., and Adany, 2006, S. "Buckling analysis of cold-formed steel members
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New York.
TIMOSHENKO, S.P. & GOODIER, J.N, 1970, Theory of elasticity. 3rd ed., McGraw-Hill,
New York.

66
ANEXO 1 - MANUAL DO PROGRAMA
Esse capítulo é dedicado à apresentação do manual do programa computacional APFF. Uma
breve explicação sobre todos os campos do programa deve ser desenvolvida nas próximas
páginas. Comecemos pela figura 1 referente à tela inicial do programa. Nessa primeira tela
deve ser escolhido o tipo de perfil a ser analisado. Existem alguns tipos padronizados, entre
eles temos perfis U, U enrijecido, T, L, rack, rack enrijecido, Z, Z enrijecido e I.
Figura 1 - Tela inicial do programa computacional APFF
A barra no menu superior, figura 2, contém todos os comandos existentes no programa e é
subdividida pelos menus principais conforme mostra a figura 2, são eles:
-Arquivo. Abre, salva, imprime arquivos e reseta as veriáveis do programa.
-Editar. Esse comando faz uma discretização maior dos elementos da seção transversal,
duplicando a quantidade de elementos.
-Perfis. Seleciona o tipo de perfil a ser utilizado, funciona do mesmo modo que os botões
inferiores na tela inicial.
Tela inicial, escolha o perfil
que deve ser analisado pelo programa.
Menu superior contém todos os
comandos do programa.

67
-Resultados. Esse é o menu mais importante pois nele estão os comandos de calcular as
propriedades da seção e elaborar a análise pelo MFF.
-Etiquetas. As etiquetas fazem as marcações dos nós, elementos, coordenadas e materiais na
seção transversal.
-Gráficos. O usuário pode atualizar a curva de flambagem, deformada do modo e apresentas
as coordenadas de centro de cisalhamento.
-Ajuda. O menu ajuda contém explicações sobre o programa.
Figura 2 - Barra de menu principal
Figura 3 - Entrada de dados e resultados das propriedades geométricas da seção
Os itens 1 a 4 marcados na figura 3 são referentes a entrada de dados e devem ser explicados
logo abaixo:
1- Na caixa de entrada superior, são digitados itens correspondents as propriedades do
material do perfil analisado, por exemplo:
Ex - módulo de deformação na direção longitudinal
1
2
3
4

68
Ey - módulo de deformação na direção transversal
Vx - módulo de deformação na direção transversal
Vy - módulo de deformação na direção transversal
Gxy - módulo de cisalhamento
Figura 4 - Entrada de dados - propriedades do material
2- Na caixa de entrada intermediária, são inseridos dados como os nós que formam a seção
transversal do perfil, coordenadas x, y e graus de liberdade dos nós.
Figura 5 - Entrada de dados - geometria dos nós
3- Na caixa de entrada inferior, são inseridos dados como:
elem# - número do elemento
nói - nó inicial do elemento
nój - nó final do elemento
espess - espessura do elemento
mat# - número do material do elemento
Figura 6 - Entrada de dados - geometria dos elementos

69
Figura 7 - Resultados da análise
4 - Propriedades
Figura 8 - Propriedades da seção geométrica
1

70
1- Na caixa de saída de propriedades são calculadas as propriedades geométricas da seção
transveral:
A - área da seção transversal
J - momento de Inércia
xcg - centro de gravidade em relação ao eixo x
ycg - centro de gravidade em relação ao eixo y
Ixx - momento de inércia em relação ao eixo x
Iyy - momento de inércia em relação ao eixo y
Ixy - momento polar de inércia
θ - ângulo de rotação dos eixos principais
I11 - momento de inércia principal 11
I22 - momento de inércia principal 11
Cw - constante de empenamento
Xs - centro de cisalhamento em relação ao eixo x
Ys - centro de cisalhamento em relação ao eixo y

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