MODELAGEM NUMÉRICA DA FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS
DE SEÇÕES ABERTAS E PAREDES FINAS
Pablo Enio Koike
Dissertação de M...
MODALAGEM NUMÉRICA DA FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS
DE SEÇÃO ABERTA E PAREDES FINAS
Pablo Enio Koike
DISSERTAÇÃO SUBMET...
iii
Koike, Pablo Enio
Modelagem numérica de flambagem de elementos
metálicos de seção aberta e paredes finas / Pablo Enio ...
iv
Aos meus pais, Goretti e Milton, meus maiores exemplos.
À Carolina, meu amor, minha grande incentivadora, que esteve
co...
v
Agradecimentos
Agradeço, em primeiro lugar, ao Pai celestial, que me motivou e me deu forças para que
eu perseverasse ne...
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre ...
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master...
viii
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO....................................................................................................
ix
3.12 Matriz de rigidez geométrica ............................................................................ 37
3.13 ...
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-1 - Perfil modelado em elementos finitos / Perfil modelado em faixas finitas.. 5
Figura 1-2 - ...
xi
Figura 3-10 - Sistema de coordenadas e graus de liberdade da faixa finita .................. 30
Figura 3-11 - Carregame...
xii
Figura 4 - Entrada de dados - propriedades do material................................................. 68
Figura 5 - ...
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 3-1 - Número de linhas nodais por faixa ........................................................
xiv
LISTA DE ABREVIATURAS
AO2 Elemento de Alta Ordem com duas linhas nodais
AO3 Elemento de Alta Ordem com três linhas nod...
xv
x, y, z coordenadas retangulares
u, v, w deslocamento característico na direção x, y e z respectivamente
Letras Romanas...
xvi
Nk funções de forma
P carga concentrada
Pcr carga crítica de flambagem
{P} vetor de carga
[R] matriz de tranformação
[...
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
O presente trabalho apresenta aspectos e procedimentos relativos à implementação
computacion...
2
1.2 UTILIZAÇÃO DOS PERFIS FORMADOS A
FRIO NA CONSTRUÇÃO CIVIL
Os perfis de chapa dobrada alcançaram lugar de destaque en...
3
1.3 NOTÍCIAS HISTÓRICAS SOBRE O MÉTODO
DAS FAIXAS FINITAS
A idéia de discretizar estruturas laminares em faixas finitas ...
4
Tais estudos abriram horizontes variados e serão sumarizados a seguir, nos aspectos
mais importantes extraídos da biblio...
5
1.4 OBJETIVO
O objetivo do presente trabalho consiste em desenvolver um aplicativo computacional
para a análise numérica...
6
denominada como a “assinatura do perfil” dadas suas características intrinsecamente
associadas àquela seção transversal....
7
2. INCERTEZAS NA DEFINIÇÃO DOS MODOS DE
FLAMBAGEM DE PERFIS DE PAREDES FINAS
2.1 BARRAS COMPRIMIDAS
É interessante que s...
8
O colapso por esmagamento da seção se dá em perfis muito curtos (com índice de
esbeltez global KL/r < 20) e com paredes ...
9
A figura 2-3 apresenta a seção de um perfil U formado a frio com um pequeno
enrijecedor de borda. O modo de flambagem ap...
10
GBT. Enquanto esses métodos podem ser considerados como eficientes e amplamente
utilizados como maneira de determinar a...
11
Figura 2-5 - Curvas dos modos de flambagem
A GBT também é aplicada com grande sucesso na análise de flambagem de perfis...
12
Figura 2-6 - Modo de flambagem local de perfil U enrijecido
O primeiro ponto de mínimo da curva indica a flambagem loca...
13
Figura 2-9 - Identificação da flambagem distorcional de perfil U - CUFSM
Para o comprimento de semi-onda 10000mm, a fla...
14
2.5 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE
CÁLCULO PARAAANÁLISE DE FLAMBAGEM
A tensão na flambagem elástica e os modos de flamb...
15
A manipulação de dados de saída no MFF é bem mais simples e menos trabalhosa do
que no MEF, onde a sua quantidade é, vi...
16
3. AANÁLISE PELO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS
3.1 INTRODUÇÃO
O objetivo desse capítulo é apresentar a completa descrição d...
17
guarda semelhança com os procedimentos adotados por Matier e por Levy
(SEGENREICH, 1972) no cálculo de chapas e placas,...
18
Figura 3-2- Exemplos de discretização de barras
(2) Conexão das faixas através das linhas nodais comuns (fronteiras lon...
19
Adota-se o procedimento clássico do método dos deslocamentos, utilizando-se o
princípio da mínima energia potencial. A ...
20
Escolhida a função deslocamento, são estabelecidas as características da faixa utilizada
de acordo com o procedimento a...
21
3.4.2 Classes de nós
A fim de criar uma formulação geral, foi necessário classificar os nós de alguma
maneira, ou seja,...
22
Figura 3-6 - Representação esquemática dos tipos de faixas
Basicamente as faixas podem ser diferenciadas com relação ao...
23
curvaturas e resíduos de momentos fletores Mx em bordas livres. Os problemas citados
(descontinuidade e resíduos) dimin...
24
Seção transversal AO3 porque produz soluções mais acuradas do que BO2, sem os
inconvenientes relacionados no item anter...
25
3.7 FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO E CAMPOS DE
DESLOCAMENTOS
Cada problema a ser analisado contém, em si mesmo, propriedades q...
26
são as funções de interpolação dos graus de liberdade nodais em duas direções e devem
ser descritas a seguir.
A função ...
27
Figura 3-8 - Deslocamentos das Linhas Nodais
3.8 CAMPO DE DESLOCAMENTOS E
CONVERGÊNCIA
Convergência
Ao se adotar o méto...
28
Figura 3-9 - Faixa finita padrão
A forma geral da função deslocamento é dado por um produto de polinômios e séries
trig...
29
potencial total, aproximação essa crescente ao se aumentar o número de divisões da
estrutura e o número de harmônicos d...
30
(3.5)
(3.6)
Com , , e :
(3.7)
(3.8)
Apenas como ilustração são apresentadas as funções de forma polinomiais para uma
li...
31
(3.9)
(3.10)
(3.11)
onde , e p é o número de semi-ondas, a qual para certo comprimento de semi-
ondas ao longo da direç...
32
= (3.17)
(3.18)
Como está apresentado acima, as deformações e podem ser escritas em termos
apropriados das derivadas da...
33
, , (3.25)
, (3.26)
(3.27)
A matriz de rigidez elástica pode ser derivada da energia de deformação interna:
(3.28)
Ou d...
34
É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de flexão para a faixa finita retangular para uma condição de contorn...
35
A substituição e integração leva a seguinte solução para a matriz de rigidez de
membrana, , e flexão, :
(3.39)
(3.40)
É...
36
É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de flexão para a faixa finita retangular na condição A-A (apoio-apoio...
37
A matriz de rigidez elástica local é composta de uma parcela de membrana e flexão, como
mostra a matriz abaixo:
(3.45)
...
38
As derivadas dos deslocamentos podem ser escritas em função das derivadas de funções de
forma, Nuv e Nw e os deslocamen...
39
(3.53)
As expressões e da matriz de rigidez geométrica correspondentes aos números p e q
de semi-ondas podem ser obtida...
40
Para simplificar a apresentação da constituição da matriz completa, serão utilizadas as
variáveis k1, k2, k3, k4, k5, k...
41
3.13 TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZ LOCAL EM
MATRIZ GLOBAL
As matrizes de rigidez para vários tipos de faixas são derivadas em...
42
A matriz de rotação faz a correlação entre as matrizes locais e globais. O objetivo dessa
função é obter as matrizes el...
43
3.15 LINGUAGEM COMPUTACIONAL
A escolha da linguagem de programação se consolidou pelas vantagens em resolver
problemas ...
44
O compilador MATLAB: A flexibilidade e a independência de plataforma do
MATLAB resultam da compilação de programas MATL...
45
Assemble – Roteiro para encontrar a solução do problema de autovalores. Essa função
agrupa as matrizes global elástica ...
46
Propriedade_elem - Essa função constitui a matriz dos elementos e propriedades, por
exemplo: nó inicial, nó final, espe...
47
4. ESTUDOS DE CASO
Perfis de diferentes geometrias foram analisados pelo programa desenvolvido no presente
trabalho, po...
48
Tabela 4-1 - Propriedades geométricas da seção aberta - Comparativo de resultados
PFF CUFSM dif. percentual
A 1700.0 mm...
49
Tabela 4-2 - Propriedades do material utilizado na análise
Material aço
Módulo de elasticidade (Ex = Ey) 29500.0 ksi 20...
50
Figura 4-5 - Resultados gerados para o caso 2 (passo 1) no programa CUFSM
Passo 3) Modelo numérico gerado no APFF, nas ...
51
O fator de carga (fc) é fornecido pela equação:
fc = ζcrl/ ζy
Na figura 9-5, o primeiro ponto mínimo representa o compo...
52
Figura 4-8 – Resultados gerados para o caso 2 no programa APFF
Os fatores de carga (fc) correspondentes ao gráfico acim...
53
4.4 CASO 4
Figura 4-9 - Perfil U9x5x1x0.1 (in)
O presente caso apresenta um perfil cartola enrijecido, figura 4-9, subm...
54
Figura 4-11 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF
Figura 4-12 - Forma de flambagem distorciona...
55
Figura 4-13 - Forma de flambagem flexão global – compressão centrada - APFF
Tabela 4-5 – Comparação entre os resultados...
56
Figura 4-14 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF
Figura 4-15 - Forma de flambagem distorcional – flexão s...
57
Figura 4-16 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF
Figura 4-17 - Forma de flambagem local – flexão simples ...
58
Tabela 4-6 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para flexão simples
APFF CUFSM
Forma de flambagem Com...
59
Figura 4-20 – Carga crítica de flambagem da placa
Cálculo da tensão crítica de uma placa retangular comprimida é dado p...
60
5. CONCLUSÃO
A implementação do MFF é uma poderosa ferramenta para examinar o comportamento de
perfis formados a frio à...
61
anteriormente, os resultados numéricos das forças críticas podem ser tomados com
suficiente precisão e confiabilidade.
...
62
universidade, o intelecto, assim como a criatividade não se desenvolvem plenamente, pois não
encontram novas demandas, ...
63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
_____. ABNT, 2001, NBR 14762: Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por
perfis f...
64
HANCOCK, G. J., 1981, Interaction Buckling of I-Section Columns, Journal of Structural
Division (ASCE), vol. 107, nº 1....
65
SCHAFER, B.W., 2000, “Distortional Buckling of Cold-Formed Steel Columns: Final
Report.” Sponsored by the American Iron...
66
ANEXO 1 - MANUAL DO PROGRAMA
Esse capítulo é dedicado à apresentação do manual do programa computacional APFF. Uma
brev...
67
-Resultados. Esse é o menu mais importante pois nele estão os comandos de calcular as
propriedades da seção e elaborar ...
68
Ey - módulo de deformação na direção transversal
Vx - módulo de deformação na direção transversal
Vy - módulo de deform...
69
Figura 7 - Resultados da análise
4 - Propriedades
Figura 8 - Propriedades da seção geométrica
1
70
1- Na caixa de saída de propriedades são calculadas as propriedades geométricas da seção
transveral:
A - área da seção ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Pablo Enio Koike - dissertação de Mestrado.PDF

202 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
202
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
9
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
6
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Pablo Enio Koike - dissertação de Mestrado.PDF

  1. 1. MODELAGEM NUMÉRICA DA FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS DE SEÇÕES ABERTAS E PAREDES FINAS Pablo Enio Koike Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Orientador: Eduardo de Miranda Batista Rio de Janeiro Setembro de 2011
  2. 2. MODALAGEM NUMÉRICA DA FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDES FINAS Pablo Enio Koike DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Examinada por: _____________________________________________ Prof. Eduardo de Miranda Batista, D. Sc. _____________________________________________ Profa . Michèle Schubert Pfeil, D. Sc. _____________________________________________ Profa . Arlene Maria Sarmanho Freitas, D. Sc. RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL SETEMBRO DE 2011
  3. 3. iii Koike, Pablo Enio Modelagem numérica de flambagem de elementos metálicos de seção aberta e paredes finas / Pablo Enio Koike. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2011. XVI, 70 p.: il.; 29,7 cm. Orientador: Eduardo de Miranda Batista Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2011. Referencias Bibliográficas: p. 63-65 1. Modelagem numérica. 2. Flambagem global, distorcional e local. 3. Método das faixas finitas. I. Batista, Eduardo de Miranda. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Titulo.
  4. 4. iv Aos meus pais, Goretti e Milton, meus maiores exemplos. À Carolina, meu amor, minha grande incentivadora, que esteve comigo nos momentos felizes e de privações.
  5. 5. v Agradecimentos Agradeço, em primeiro lugar, ao Pai celestial, que me motivou e me deu forças para que eu perseverasse nessa caminhada. À minha mãe, com quem aprendi e continuo aprendendo lições de bondade, humildade, luta, respeito e amor. Ao meu pai e minha irmã que me incentivaram nessa caminhada. Em memória, ao meu tio Francisco Koike, de quem sinto saudades. Ao meu amor Carolina, que Deus pôs na minha vida. Obrigado pelo incentivo e compreensão pelos momentos que estive ausente durante esses anos de mestrado. Aos engenheiros Rodrigo Werneck e Mario Santos, com quem aprendi a ser engenheiro, além de belas lições de profissionalismo, caráter e honestidade. À “família EXACTUM” e aos meus amigos, extensões da minha família. Meus sinceros agradecimentos ao orientador, professor Eduardo Batista, pelos ensinamentos passados, pelo apoio e orientação irrestritos e por ter acreditado que eu conseguiria desenvolver este trabalho. A todos que, de alguma forma, contribuíram e torceram por mim nessa jornada.
  6. 6. vi Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) MODELAGEM NUMÉRICA DE FLAMBAGEM DE ELEMENTOS METÁLICOS SEÇÃO ABERTA E PAREDES FINAS Pablo Enio Koike Setembro/2011 Orientadores: Eduardo de Miranda Batista Programa: Engenharia Civil O método das faixas finitas é dirigido à análise de flambagem de elementos estruturais com paredes finas, com destaque especial para os perfis de aço formados a frio, PFF. A presente pesquisa foi focada no desenvolvimento de um programa computacional especialmente dirigido à análise e determinação dos modos de flambagem e das cargas críticas de PFF. O programa computacional desenvolvido com base no método das faixas finitas recebeu a designação de Análise de Perfis Formados a Frio, APFF, e foi concebido para a aplicação prática em dimensionamento de estruturas constituídas com PFF, a partir dos métodos de resistência direta e das seções efetivas, ambos incluídos na última edição da norma brasileira ABNT NBR 14762:2010. Essas metodologias recentemente incorporadas à norma brasileira permitiram importante simplificação nos procedimentos de cálculo da resistência dos PFF, ao mesmo tempo em que aprimoraram de forma significativa os resultados, conferindo maior precisão frente aos resultados experimentais de calibração, se comparado ao tradicional método das larguras efetivas. Exemplos de análise numérica da flambagem local, distorcional e global de PFF com variações na geometria e do material são apresentados e comparados com resultados de programa CUFSM, confirmando a acurácia do programa APFF.
  7. 7. vii Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) NUMERICAL MODELING OF BUCKLING FOR STEEL ELEMENTS OF THIN WALLED OPEN SECTIONS Pablo Enio Koike September/2011 Advisor: Eduardo de Miranda Batista Department: Civil Engineering Finite strip method buckling analysis is applied in order to improve the knowledge of thin-walled steel cold-formed members. The present investigation proposed the development of a computational program specially addressed to perform finite strip method analysis of the buckling modes and to calculate the critical elastic loads of cold-formed steel sections. APFF - Cold Formed Sections Analysis is the developed software aimed to be very useful for the design of steel structures based on cold formed sections. The developed finite strip computational program was conceived to be an important tool for the design of cold-formed members on the bases of both direct strength and effective section methods as presented in the last edition of the Brazilian code ABNT NBR 14762:2010, allowing simplification of the design procedures as well as obtaining improved strength results when compared with the traditional effective width method. Numerical examples with geometrical and physics variations are presented and compared with the results from the software CUFSM, confirming the accuracy of the APFF computational program.
  8. 8. viii ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO...................................................................................................1 1.1 Motivação............................................................................................................ 1 1.2 Utilização dos perfis formados a frio na construção civil ................................... 2 1.3 Notícias históricas sobre o Método das Faixas Finitas........................................ 3 1.4 Objetivo............................................................................................................... 5 2. INCERTEZAS NA DEFINIÇÃO DOS MODOS DE FLAMBAGEM DE PERFIS DE PAREDES FINAS ................................................................................................7 2.1 Barras comprimidas ............................................................................................ 7 2.2 Problemas nas definições dos modos de flambagem......................................... 8 2.3 Problemas no cálculo dos modos de flambagem ............................................... 9 2.4 Definição dos modos de flambagem................................................................. 11 2.5 Comparação entre os métodos de cálculo para a análise de flambagem........ 14 3. A ANÁLISE PELO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS............................................... 16 3.1 Introdução......................................................................................................... 16 3.2 Filosofia do Método .......................................................................................... 16 3.3 Flexão de placas retangulares........................................................................... 19 3.4 Notações gerais................................................................................................. 20 3.4.1 Sistemas de coordenadas........................................................................... 20 3.4.2 Classes de nós............................................................................................. 21 3.5 Classificação das faixas finitas........................................................................... 21 3.6 Escolha da faixa................................................................................................. 22 3.6.1 Continuidade .............................................................................................. 22 3.6.2 Condições de Contorno .............................................................................. 23 3.7 Funções de interpolação E Campos de deslocamentos.................................... 25 3.8 Campo de deslocamentos e convergência ....................................................... 27 3.9 Funções deslocamentos típicas......................................................................... 29 3.10 Funções de forma da faixa finita....................................................................... 30 3.11 Matriz de rigidez elástica .................................................................................. 31
  9. 9. ix 3.12 Matriz de rigidez geométrica ............................................................................ 37 3.13 Transformação de matriz local em matriz global.............................................. 41 3.14 Método agrupar ................................................................................................ 42 3.15 Liguagem Computacional.................................................................................. 43 3.16 Descrição das principais funções do programa ................................................ 44 4. ESTUDOS DE CASO.......................................................................................... 47 4.1 Caso 1 ................................................................................................................ 47 4.2 Caso 2 ................................................................................................................ 48 4.3 Caso 3 ................................................................................................................ 51 4.4 Caso 4 ................................................................................................................ 53 4.5 Caso 5 ................................................................................................................ 58 5. CONCLUSÃO................................................................................................... 60 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................ 63 ANEXO 1 - MANUAL DO PROGRAMA................................................................... 66
  10. 10. x LISTA DE FIGURAS Figura 1-1 - Perfil modelado em elementos finitos / Perfil modelado em faixas finitas.. 5 Figura 1-2 - Curva de flambagem típica para uma seção transversal particular (ML - modo local; MD - modo distorcional; MG – modo global) ............................................. 6 Figura 1-3 - Ilustração de flambagem 2D (no plano) / Flambagem 3D (fora do plano) . 6 Figura 2-1 - Deformadas dos modos de flambagem de uma seção U enrijecida ............. 7 Figura 2-2 - Perfil U e deformada - Flambagem Local.................................................... 8 Figura 2-3 - Perfil U enrijecido e deformada - Flambagem Distorcional ........................ 8 Figura 2-4 - Perfil I e deformada...................................................................................... 9 Figura 2-5 - Curvas dos modos de flambagem.............................................................. 11 Figura 2-6 - Modo de flambagem local de perfil U enrijecido....................................... 12 Figura 2-7 - Identificação da flambagem local de perfil U enrijecido - CUFSM ......... 12 Figura 2-8 - Modo de flambagem distorcional de perfil U enrijecido .......................... 12 Figura 2-9 - Identificação da flambagem distorcional de perfil U - CUFSM ............... 13 Figura 2-10 - Modo de flambagem global de perfil U enrijecido .................................. 13 Figura 2-11 - Identificação da flambagem global de perfil U enrijecido - CUFSM ...... 13 Figura 3-1- Funções deslocamentos do elemento........................................................... 16 Figura 3-2- Exemplos de discretização de barras........................................................... 18 Figura 3-3 - Faixa retangular típica para flexão ............................................................ 18 Figura 3-4 - Sistemas de coordenadas global e local..................................................... 20 Figura 3-5 - Classificação dos nós na seção.................................................................. 21 Figura 3-6 - Representação esquemática dos tipos de faixas ........................................ 22 Figura 3-7 - Exemplo básico de placa discretizada em faixas finitas............................ 25 Figura 3-8 - Deslocamentos das Linhas Nodais ............................................................ 27 Figura 3-9 - Faixa finita padrão..................................................................................... 28
  11. 11. xi Figura 3-10 - Sistema de coordenadas e graus de liberdade da faixa finita .................. 30 Figura 3-11 - Carregamento atuante na faixa finita....................................................... 37 Figura 3-12 - Orientação dos eixos locais ..................................................................... 41 Figura 4-1 - Perfil U9x5x1x0.1 (in)................................................................................ 47 Figura 4-2 - Perfil Ue 152,4x50,8x15,75x0,88mm ........................................................ 48 Figura 4-3 – Regra de classificação de perfis comerciais de chapa fina americanos..... 49 Figura 4-4 – Marcação em perfil U enrijecido (stud) 600S162-33 ................................ 49 Figura 4-5 - Resultados gerados para o caso 2 (passo 1) no programa CUFSM............ 50 Figura 4-6 – Resultados gerados para o caso 2 (passo 2) no programa APFF............... 50 Figura 4-7 - Perfil U9x5x1x0.1 (in)................................................................................ 51 Figura 4-8 – Resultados gerados para o caso 2 no programa APFF............................... 52 Figura 4-9 - Perfil U9x5x1x0.1 (in)................................................................................ 53 Figura 4-10 - Forma de flambagem local – compressão centrada - APFF..................... 53 Figura 4-11 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF.......... 54 Figura 4-12 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF.......... 54 Figura 4-13 - Forma de flambagem flexão global – compressão centrada - APFF........ 55 Figura 4-14 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF............................... 56 Figura 4-15 - Forma de flambagem distorcional – flexão simples - APFF.................... 56 Figura 4-16 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF............................... 57 Figura 4-17 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF............................... 57 Figura 4-18 – Geometria da placa / comp. 500mm........................................................ 58 Figura 4-19 – Modelo estrutural da placa / deformada da placa .................................... 58 Figura 4-20 – Carga crítica de flambagem da placa....................................................... 59 Figura 1 - Tela inicial do programa computacional APFF............................................. 66 Figura 2 - Barra de menu principal................................................................................. 67 Figura 3 - Entrada de dados e resultados das propriedades geométricas da seção......... 67
  12. 12. xii Figura 4 - Entrada de dados - propriedades do material................................................. 68 Figura 5 - Entrada de dados - geometria dos nós ........................................................... 68 Figura 6 - Entrada de dados - geometria dos elementos................................................. 68 Figura 7 - Resultados da análise..................................................................................... 69 Figura 8 - Propriedades da seção geométrica................................................................. 69
  13. 13. xiii LISTA DE TABELAS Tabela 3-1 - Número de linhas nodais por faixa ............................................................ 24 Tabela 3-2 - Seção longitudinal da faixa - parte em série da função deslocamento....... 26 Tabela 3-3 - Seção transversal da faixa - parte polinomial da função deslocamento..... 26 Tabela 3-4 – Faixa finita utilizada no programa computacional.................................... 29 Tabela 4-1 - Propriedades geométricas da seção aberta - Comparativo de resultados... 48 Tabela 4-2 - Propriedades do material utilizado na análise............................................ 49 Tabela 4-2 – Comparação entre os resultados utilizados na análise na análise do caso 1 ........................................................................................................................................ 51 Tabela 4-3 – Comparação entre os resultados utilizados na análise do caso 2 .............. 52 Tabela 4-4 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para compressão... 55 Tabela 4-5 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para flexão simples58
  14. 14. xiv LISTA DE ABREVIATURAS AO2 Elemento de Alta Ordem com duas linhas nodais AO3 Elemento de Alta Ordem com três linhas nodais BO2 Elemento de Baixa Ordem com duas linhas nodais GBT Método particular das faixas finitas GDL Grau de liberdade LN Linha Nodal MEF Método dos Elementos Finitos MFF Método das Faixas Finitas MLE Método das Larguras Efetivas MRD Método da Resistência Direta MSE Método das Seções Efetivas LISTA DE SÍMBOLOS Letras Romanas Minúsculas: a comprimento da placa ou comprimento da semi-onda ou distância do ponto de aplicação da carga ao apoio mais próximo b largura da placa ou largura da faixa finita e excentricidade f(x) função polinomial na direção transveral fi parâmetro nodal de uma faixa m número de semi-ondas t espessura de placas tw espessura da alma tf espessura do flange ou mesa
  15. 15. xv x, y, z coordenadas retangulares u, v, w deslocamento característico na direção x, y e z respectivamente Letras Romanas Maiúsculas: A área da seção transversal Ai constantes indeterminadas das funções polinomiais de deslocamento [B] matriz de rigidez Ci funções de forma para um faixa finita Cw constante de empenamento [D] matriz de propriedades E módulo de elasticidade Ef módulo de elasticidade na flexão Ex módulo de elasticidade na direção longitudinal Ey módulo de elasticidade na direção transversal E11 módulo de elasticidade na direção 1 E22 módulo de elasticidade na direção 2 Gxy módulo de cisalhamento G módulo de elasticidade transversal I segundo momento de área Ixx momento de inércia em torno do eixo x Iyy momento de inércia em torno do eixo y Ixy momento polar I11 carga máxima I22 carga máxima J momento polar de inércia L comprimento do perfil ou vão livre entre apoios
  16. 16. xvi Nk funções de forma P carga concentrada Pcr carga crítica de flambagem {P} vetor de carga [R] matriz de tranformação [S] matriz de rigidez de uma faixa finita [SG] matriz de rigidez geométrica de uma faixa finita U energia de deformação Xcg centro de gravidade no eixo x Xs centro de cisalhamento no eixo x Ycg centro de gravidade no eixo y Ys centro de cisalhamento no eixo y W energia potencial das forças externas Letras Gregas Minúsculas: ε, εx, εy, γxy deformações ζ, ζx, ζy, ηxy tensões {ζ}, {η} vetores para tensões e deformações {δ} vetor deslocamentos nodais ν coeficiente de poisson λ autovalores θ rotação Letras Gregas Maiúsculas: somatório Φ energia potencial total
  17. 17. 1 1. INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÃO O presente trabalho apresenta aspectos e procedimentos relativos à implementação computacional do Método das Faixas Finitas (MFF) para análise linear de problemas de instabilidade de elementos metálicos formados por placas associadas sujeitas à compressão centrada. Perfis formados a frio, com paredes de espessura fina, sujeitos à compressão desenvolvem flambagem local da seção transveral e global da barra enquanto perfis de paredes espessas estão sujeitos apenas à flambagem global. Três modos básicos, ou classes de flambagem, podem ser distinguidos: flambagem local, distorcional e global. Qualquer um desses modos pode conduzir a deformação excessiva e, finalmente a falha estrutural. Cada modo de flambagem tem um grau diferente de capacidade pós- flambagem e formação de mecanismo típico de colapso, sendo indispensável o cálculo das respectivas cargas de flambagem para cada modo, associado com o objetivo de identificar a carga crítica (mínima). A importância da flambagem no cálculo do estado limite último é refletida nas normas, as quais, direta ou indiretamente, usam a carga crítica para determinar a resistência da barra. O programa computacional proposto desenvolve análises que envolvem a modelagem das condições de extremidade das barras, sob compressão uniforme. As condições de extremidade influenciam de forma distinta o modo flambagem local de placa e o modo distorcional, com conseqüente alteração tanto das tensões de flambagem (carga crítica de flambagem) quanto do número de semi-ondas (modo de flambagem). Porém nesse trabalho será considerada apenas a condição de apoio simples, sendo essa uma restrição do MFF. Os resultados numéricos das análises serão comparados com resultados disponíveis na literatura, permitindo a validação do programa computacional desenvolvido com base no MFF, com o objetivo de avaliar os fenômenos de flambagem de elementos metálicos de seção aberta e paredes finas.
  18. 18. 2 1.2 UTILIZAÇÃO DOS PERFIS FORMADOS A FRIO NA CONSTRUÇÃO CIVIL Os perfis de chapa dobrada alcançaram lugar de destaque entre as estruturas metálicas dada a grande variedade de formas das seções transversais. Sua utilização é notória principalmente em obras de menor porte que possuem, em geral, pequenos vãos e carregamentos de pequena magnitude. Como estrutura principal, o uso dos perfis de chapa dobrada dá-se em edifícios de pequena altura, residências, galpões e coberturas leves em geral. Fôrmas para concretagem, andaimes e escoramentos, terças, longarinas e armações para forros são outros exemplos que ilustram a versatilidade desses perfis na construção civil. Podem ser citadas diversas características que diferenciam o comportamento estrutural desses perfis em relação aos perfis laminados e soldados. A pequena espessura das chapas utilizadas resulta em elevada relação largura/ espessura dos elementos planos que compõe a seção transversal. Os perfis assim obtidos estão sujeitos à flambagem local dos elementos que compõem a sua seção transversal. No entanto isto não representa, em geral, o esgotamento da capacidade resistente da barra. A análise de flambagem de chapas permite prever a carga crítica e compreender o comportamento elástico das placas metálicas associadas, que é o tema de estudo desenvolvido e apresentado nos capítulos seguintes. Outra característica da conformação a frio das chapas finas é a alteração das características mecânicas do aço virgem, com acréscimo na tensão limite de escoamento e na tensão limite de resistência à tração, sendo esses efeitos mais pronunciados na região vizinha dos cantos dobrados onde há presença de tensões residuais.
  19. 19. 3 1.3 NOTÍCIAS HISTÓRICAS SOBRE O MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS A idéia de discretizar estruturas laminares em faixas finitas adjacentes é mais antiga do que tem sido apontado pelos estudiosos do Método das Faixas Finitas, MFF. Assim é que o escandinavo Kärrholm (KÄRRHOLM, 1956) na década de 1950 já utilizava tal conceito, com a preocupação fundamental de resolver, através das diferenças finitas, a equação geral das placas para cada uma das faixas, individualmente, e compatibilizar flechas nas fronteiras comuns de faixas contíguas. Embora já tivesse utilizado séries trigonométricas, não ocorreu a automatização do método, provavelmente devido ao pouco desenvolvimento dos computadores daquela época. Em 1963, outro escandinavo, Hellan (HELLAN, 1963) apresentou suas idéias sobre a aplicação de um procedimento numérico para a análise de placas retangulares isotrópicas, baseado nas condições de equilíbrio e compatibilidade de deslocamentos nas fronteiras comuns de faixas vizinhas. Paralelamente, desenvolvia-se o Método dos Elementos Finitos, MEF, com o grande impulso fornecido pela utilização crescente dos computadores e implementação das técnicas de programação. Cheung, envolvido com o estudo do MEF junto ao professor Zienkiewcz, propôs em 1968 uma variante do MEF, para a análise de placas ortotrópicas retangulares simplesmente apoiadas em seus extremos à qual chamou de Método das Faixas Finitas. Independentemente Powell e Ogden sugeriram em 1969 (POWELL e OGDEN, 1969) a mesma solução e desenvolveram um programa de computador para a análise de tabuleiros de pontes metálicas. Após os primeiros passos, inúmeros estudos foram feitos com o intuito de generalizar a aplicação do método. Mais recentemente por Ben Schafer (SHAFER, 2006), nos Estados Unidos, desenvolveu rotinas computacionais com base no MFF, especialmente dirigidas aos perfis de aço formados a frio.
  20. 20. 4 Tais estudos abriram horizontes variados e serão sumarizados a seguir, nos aspectos mais importantes extraídos da bibliografia disponível. 1971 – Cheung (CHEUNG, 1971) adapta a faixa típica de placa para compatibilização de curvaturas (faixa de alta ordem). 1972 – Cheung e Cheung (CHEUNG M.S. e CHEUNG Y.K., 1972) utiliza faixas de alta ordem para análise dinâmica de placas. 1972 – Zienkiewicz e Too (ZIENKIEWICZ e TOO, 1972), utilizando o Método dos Primas Finitos, analisam vigas-caixão espessas simplesmente apoiadas. 1976 – Cheung (CHEUNG, 1976) lança o primeiro livro específico sobre o MFF. 1978 – Loo e Cusens (LOO e CUSENS, 1978) lançam livro sobre a aplicação do MFF à engenharia de pontes. 1985 – Michèle Pfeil (PFEIL, 1985) apresenta um abordagem analítica da interação local-global na flambagem de colunas de seção U enrijecida em sua dissertação de mestrado. 1988 – Eduardo Batista (BATISTA, 1988) desenvolve um programa com base no MFF em sua tese de doutorado, para análise de seções de paredes finas. 1997 – Ben Schafer (SCHAFER, 1997) publica seu primeiro artigo sobre o comportamento e dimensionamento de elementos enrijecidos formados por placas associadas de paredes finas, desde então, como professor do departamento de engenharia civil, ele desenvolve trabalhos com um grupo de pesquisa na Johns Hopkins University em Baltimore, Estados Unidos. Adicionalmente ele mantém o desenvolvimento do programa CUFSM, um programa para análise elástica de flambagem de barras de paredes finas utilizando o MFF. Indubitavelmente muito mais se fez em relação ao MFF. O presente resumo tem como objetivo maior tão somente um breve delineamento histórico que permita ao leitor absorver a espinha dorsal do andamento das pesquisas ao longo do tempo.
  21. 21. 5 1.4 OBJETIVO O objetivo do presente trabalho consiste em desenvolver um aplicativo computacional para a análise numérica da flambagem local, distorcional e global de perfis de paredes finas e seção aberta formados por placas metálicas associadas. No caso da flambagem por distorção, em função da complexidade analítica, as normas tratam essa forma de flambagem por métodos simplificados, como prescreve a norma brasileira NBR 14762 (ABNT, 2001), ou por meio de limitações geométricas a serem aplicadas nos perfis, liberando, então, a necessidade de se abordar esse modo de flambagem. Pretende-se abordar o problema da flambagem através da análise linear de estabilidade, solução de autovalor, o que permite identificar os modos de flambagem que influenciam no comportamento do elemento estrutural (autovetor), e calcular a carga crítica de flambagem (autovalor). Matematicamente, a análise linear de estabilidade através do Método das Faixas Finitas, ou de qualquer outro método de discretização, envolve a resolução de um problema de autovalores, definido pelas matrizes de rigidez do perfil discretizado. O programa computacional realiza a análise de elementos metálicos formados por placas associadas, facilita a decomposição das soluções de estabilidade e apresenta as curvas dos modos de deformação local, distorcional e global da seção transversal. Figura 1-1 - Perfil modelado em elementos finitos / Perfil modelado em faixas finitas No Método das Faixas Finitas, as funções de forma do elemento são polinômios na direção transversal e funções trigonométricas na direção longitudinal. A curva de flambagem é o resultado principal de uma análise do Método de Faixas Finitas. A típica curva de flambagem para uma dada seção está mostrada na figura 1-2, sendo também
  22. 22. 6 denominada como a “assinatura do perfil” dadas suas características intrinsecamente associadas àquela seção transversal. Os valores mínimos dessa curva são de interesse especial porque indicam as cargas críticas associadas a cada modo de flambagem, como mostra a figura 1-2. cargacrítica Figura 1-2 - Curva de flambagem típica para uma seção transversal particular (ML - modo local; MD - modo distorcional; MG – modo global) O modo de flambagem é a forma como um perfil se deforma no processo de flambagem. A figura 1-3, por exemplo, ilustra o modo de flambagem de um perfil Z em flexão gerado pelo programa CUFSM no plano transversal da seção e em terceira dimensão mostrando o desenvolvimento dos comprimentos de semi-onda. Figura 1-3 - Ilustração de flambagem 2D (no plano) / Flambagem 3D (fora do plano) A figura tridimensional, figura 1-3, ilustra o modo de flambagem local para flexão simples. A flambagem local se desenvolve em comprimentos de semi-onda a, repetidos de forma mono tônica, com comprimentos múltiplos da ordem das dimensões da seção transversal. Admite-se que as deformações referentes ao modo de flambagem se desenvolvem com um número inteiro de semi-ondas senoidais ao longo do comprimento da barra. a
  23. 23. 7 2. INCERTEZAS NA DEFINIÇÃO DOS MODOS DE FLAMBAGEM DE PERFIS DE PAREDES FINAS 2.1 BARRAS COMPRIMIDAS É interessante que se discuta o comportamento e a resistência de uma placa dobrada comprimida, porque o procedimento de verificação adotado nas normas, incluindo a norma brasileira, com base no tradicional método das larguras efetivas, é o de considerar, de forma aproximada, o perfil formado por uma série de placas isoladas entre si, servindo cada uma como vinculação com a placa vizinha na região da fronteira entre ambas. Tal concepção encontra-se ultrapassada após a disponibilização de programas computacionais de análise da flambagem elástica, em especial com base no método das faixas finitas. Um perfil formado a frio pode entrar em colapso de duas formas ou pela interação entre ambas: 1) Por escoamento; O colapso por escoamento puro se dá em placas muito espessas, onde a relação largura da placa/ espessura é menor do que 10 e seu comprimento também é pequeno. 2) Por flambagem; a) Flambagem local L da seção; b) Flambagem global G da barra por flexão, torção pura ou flexo-torção; c) Flambagem distorcional D; d) Pela interação entre modos de flambagem: LG, LD, DG ou ainda LDG. A figura a seguir, a figura 2-1, apresenta os diferentes modos de flambagem, puros e combinados. Seção Flexão menor Torção Flexo Local Distorcional transversal inércia pura Torção Figura 2-1 - Deformadas dos modos de flambagem de uma seção U enrijecida
  24. 24. 8 O colapso por esmagamento da seção se dá em perfis muito curtos (com índice de esbeltez global KL/r < 20) e com paredes espessas. O colapso por flambagem local ocorre em um ou mais elementos de placas associadas que formam o perfil. A flambagem local pura só se dará em perfis curtos (com índice de esbeltez KL/r < 20) e com paredes muito finas. Já a flambagem global pode apresentar-se de três modos distintos: Flambagem por flexão Flambagem por torção Flambagem por flexo-torção 2.2 PROBLEMAS NAS DEFINIÇÕES DOS MODOS DE FLAMBAGEM As definições apresentadas no capítulo anterior funcionam bem para um grupo de problemas práticos; entretanto, não são suficientemente precisas para muitos outros casos. Dois casos típicos devem ser mencionados nas figuras 2-2 e 2-3. Figura 2-2 - Perfil U e deformada - Flambagem Local Figura 2-3 - Perfil U enrijecido e deformada - Flambagem Distorcional
  25. 25. 9 A figura 2-3 apresenta a seção de um perfil U formado a frio com um pequeno enrijecedor de borda. O modo de flambagem apresentado e a carga crítica associada são quase idênticos àqueles de perfis U que não apresentam enrijecedor, figura 2-2. Entretanto, enquanto a forma da flambagem de um perfil U sem enrijecedor é classificado como flambagem local, para o caso da seção U enrijecida, o modo de flambagem aparentemente análogo é classificado como distorcional. Note que mesmo no caso de um perfil U sem enrijecedor há razões (comprimento no modo de flambagem, mecanismo da falha) para classificar o presente modo como distorcional em vez de local. Nesse caso, a classificação do modo pode ser estudada em um programa de faixas finitas onde é apresentada a deformada da seção transversal. Figura 2-4 - Perfil I e deformada A figura 2-4 apresenta a seção de um perfil I simétrico e uma possível forma de flambagem, a qual pode ocorrer caso o perfil seja carregado em flexão. Está claro que o presente modo de flambagem não pode ser classificado nem como puramente local nem puramente global, uma vez que a seção transversal está distorcida e ao menos uma das linhas de interseção entre as placas estão deslocadas. A partir deste último aspecto, a deformada apresentada na figura 2-4 deve ser classificada como modo de flambagem distorcional (SCHAFER, 2006). 2.3 PROBLEMAS NO CÁLCULO DOS MODOS DE FLAMBAGEM A formulação analítica para o cálculo da carga crítica de flambagem em todos os modos (global, distorcional, e local) é muito trabalhosa ou não existe. Existem três métodos reconhecidos para executar o cálculo da carga crítica, são eles: o Métodos dos Elementos Finitos MEF, o Método das Faixas Finitas MFF e o General Beam Theory
  26. 26. 10 GBT. Enquanto esses métodos podem ser considerados como eficientes e amplamente utilizados como maneira de determinar as cargas críticas, cada método numérico tem suas limitações. O Métodos dos Elementos Finitos é de longe o método numérico mais geral e mais utilizado. O MEF é aplicável a praticamente qualquer tipo de elemento estrutural, qualquer carregamento e qualquer condição de contorno. Adicionalmente existe um grande número programas disponíveis no mercado. O valor desses aplicativos gerais é a grande quantidade de elementos finitos, os quais demandam resultados em um grande número de possíveis modos de flambagem, os quais o MEF não consegue distinguir. Dessa maneira, é o usuário quem deve classificar os modos calculados. Basicamente ele deve fazer uma análise visual do modo de flambagem, o que pode levar a equívocos na interpretação de resultados. O programa CUFSM (SCHAFER, 2006) utiliza o Métodos das Faixas Finitas e tenta superar o problema de identificação do MEF fazendo a determinação automática da carga crítica de flambagem como uma função do comprimento de flambagem. Isso ajuda o usuário a identificar as características do modo de flambagem, desde que, em muitos casos, o primeiro ponto de mínimo da curva identifica a flambagem local, enquanto o segundo mínimo é geralmente associado ao modo de flambagem distorcional. A figura 2-5 (SCHAFER, 2006) apresenta um exemplo para perfil U enrijecido (curva superior), onde a carga crítica de flambagem (Pcr) é apresentada de forma adimensional pela divisão da carga de escoamento (Py=A.fy). Existem exemplos para os quais o MFF não identifica automaticamente o ponto de mínimo (curva inferior), novamente para perfil U enrijecido, onde somente um ponto de mínimo existe. Finalmente, como normalmente utilizado, o MFF é limitado a aplicação de perfis de seção aberta e condições de extremidade simplesmente apoiadas e empenamento livre.
  27. 27. 11 Figura 2-5 - Curvas dos modos de flambagem A GBT também é aplicada com grande sucesso na análise de flambagem de perfis formados a frio. A característica atraente da GBT é a capacidade de classificar a composição do modo de flambagem, com base na consideração da participação modal. Assim, seria útil desenvolver um procedimento geral orientado para o cálculo das cargas críticas de flambagem e identificação dos modos, sem abrir margem às interpretações equivocadas como se apresentam no MFF e MEF. Entretanto, isso requer definições mais exatas para os modos de flambagem. 2.4 DEFINIÇÃO DOS MODOS DE FLAMBAGEM Esse capítulo apresenta definições dos modos de flambagem a partir da interpretação da curva de flambagem. A caracterização do modo é feita com base na identificação dos pontos de mínimo da curva. Para isso foi utilizado o programa CUFSM para a análise de uma seção U enrijecida 600S200-33 (perfil comercial americano). A barra foi analisada variando o comprimento de 10 mm até 23000mm com incrementos de 100 mm.Esse curto incremento refina a curva de maneira que a região de interesse tenha uma curva suave, facilitando a leitura dos resultados. As figuras 2-7, 2-9 e 2-11 apresentadas nesse capítulo foram geradas pelo programa CUFSM (SCHAFER, 2006). O primeiro modo de flambagem, para barras curtas é a flambagem local. A figura 3-1 apresenta a geometria não deformada e placas deformadas, com flexão fora do seu plano, sem translação das arestas, caracterizando o modo local.
  28. 28. 12 Figura 2-6 - Modo de flambagem local de perfil U enrijecido O primeiro ponto de mínimo da curva indica a flambagem local para o comprimento da primeira semi-onda de 100mm . O fator de carga é 0,74, isso quer dizer que a carga crítica de flambagem local (Pcrl) é igual a 0,74Py. A identificação de Pcrl do primeiro modo de flambagem, nesse caso local, é apresentada na figura 3-2. Figura 2-7 - Identificação da flambagem local de perfil U enrijecido - CUFSM A segunda forma de flambagem é a distorcional, que ocorre com valor mínimo para o comprimento de semi-onda de 700mm. É importante observar que não há ocorrência de um mínimo absoluto para esse caso. Verifique que para a deformada, figura 3-3, houve uma rotação nas abas superiores e inferiores comprovando a distorção nas paredes do perfil. O fator de carga é 2,30 e isso quer significa que a carga crítica de flambagem distorcional (Pcrd) é igual a 2,30Py. Figura 2-8 - Modo de flambagem distorcional de perfil U enrijecido Local
  29. 29. 13 Figura 2-9 - Identificação da flambagem distorcional de perfil U - CUFSM Para o comprimento de semi-onda 10000mm, a flambagem é global, de flexão e em torno do eixo de menor inércia, verificada pelo deslocamento da seção na direção do eixo x, conforme apresentado na figura 3-5. Nesse caso, o fator de carga é 0,153 e a carga crítica de flambagem para flexão é igual a 0,153Py. Figura 2-10 - Modo de flambagem global de perfil U enrijecido Figura 2-11 - Identificação da flambagem global de perfil U enrijecido - CUFSM Distorção Global
  30. 30. 14 2.5 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE CÁLCULO PARAAANÁLISE DE FLAMBAGEM A tensão na flambagem elástica e os modos de flambagem podem ser calculados de várias maneiras. As duas maneiras clássicas são o MEF e MFF. O método de elementos finitos permite soluções elásticas de flambagem para todos os tipos de geometrias e várias condições de contorno. O método das faixas finitas é aplicável somente aos problemas com maior complexidade geométrica na seção transversal, e na direção do comprimento não há discretização dos elementos. Apesar de o método de elementos finitos ser amplamente utilizado na análise de problemas de engenharia, o método de faixas finitas pelas vantagens na determinação e classificação dos modos de flambagem é amplamente utilizado nas estruturas de perfis formados a frio. Dentro de seu campo de aplicação o MFF tem se apresentado como alternativa importante em comparação com o MEF, pois permite a redução de esforço computacional. Enquanto o MEF apresenta solução geral, com auxílio de elementos finitos de casca, para qualquer tipo de elemento estrutural de paredes finas, incluindo análise elástica e inelástica e quaisquer condição de extremidade, o MFF só se aplica a análise elástica, elementos de paredes finas com apoios simples nos extremos, simplesmente apoiados na flexão global e na flexão local das placas e com empenamento livre. O número de graus de liberdade e de equações envolvidas na análise pelo MFF é bem menor do que no caso do MEF, exigindo um esforço computacional menor. Como consequência, a largura da banda da matriz do sistema de equações é significativamente menor, o que faz com que o tempo de processamento seja bastante reduzido. O MFF requer uma ocupação de memória consideravelmente reduzida em relação ao MEF, tendo inclusive a vantagem de ser de programação mais simplificada, permitindo a utilização de técnicas matriciais de uso corrente, evitando a recorrência de técnicas avançadas e sofisticadas que visam a diminuição de área de memória ocupada. A quantidade de dados de entrada é muito pequena, diminuindo a possibilidade de erros e não requerendo a geração automática de carregamentos e sistemas de combinações.
  31. 31. 15 A manipulação de dados de saída no MFF é bem mais simples e menos trabalhosa do que no MEF, onde a sua quantidade é, via de regra, muito grande.
  32. 32. 16 3. AANÁLISE PELO MÉTODO DAS FAIXAS FINITAS 3.1 INTRODUÇÃO O objetivo desse capítulo é apresentar a completa descrição do MFF (CHEUNG, 1976) para soluções de estabilidade aplicada a perfis de paredes finas com seção aberta e condição de contorno bi-apoiada nas extremidades da barra. As funções de forma de membrana são assumidas por polinômios na direção transversal, enquanto na direção longitudinal são empregadas funções trigonométricas, as quais satisfazem às condições de contorno empregadas. A estrutura básica do MFF é similar a qualquer outro método estudado na análise matricial de estruturas. Figura 3-1- Funções deslocamentos do elemento As matrizes essenciais de rigidez elástica e geométrica estão deduzidas e apresentadas nos itens 3.11 e 3.12. 3.2 FILOSOFIA DO MÉTODO O MFF apresenta-se como um procedimento híbrido. Associa algumas vantagens da solução de estruturas em séries trigonométricas ao Método dos Elementos Finitos. Sua filosofia é semelhante ao Método de Kantorovich (TIMOSHENKO, 1959), uma generalização do Método de Ritz, que reduz a solução de uma equação diferencial parcial à solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias adotando funções contínuas que satisfazem às condições de contorno em uma dada direção. Tal adoção
  33. 33. 17 guarda semelhança com os procedimentos adotados por Matier e por Levy (SEGENREICH, 1972) no cálculo de chapas e placas, respectivamente. O MFF pode ser encarado com um subproduto do MEF, com a diferença básica caracterizada pela discretização do contínuo que se faz através de faixas longitudinais ao invés de elementos finitos bidimensionais, sendo que na direção longitudinal são previamente incluídas as condições de contorno na aproximação do campo de deslocamentos. A análise com base no MFF efetua, sistematicamente, acréscimos de semi-ondas senoidais para determinar o comportamento da flambagem de um perfil. A montagem da solução matricial de autovalores resulta na identificação da carga crítica e a solução de autovetores no modo de flambagem. Os resultados da análise pelo MFF podem ser utilizados no Método da Resistência Direta para o cálculo da resistência dos perfis em compressão com flambagem. Este método requer que seja conhecida a carga crítica de flambagem (Pcr) ou o momento crítico de flambagem (Mcr) para um determinado perfil. O programa computacional desenvolvido na presente pesquisa permitirá que o usuário calcule esses valores para uma seção transversal arbitrária. O resumo a seguir apresenta o procedimento adotado no MFF, utilizando o método dos deslocamentos. Os comentários intercalados visam a explicação de cada um dos passos apontados. (1) Divisão da seção transversal em faixas longitudinais através das linhas fictícias, apresentada na figura 3-2. As linhas divisórias são chamadas linhas nodais, sendo que nas extremidades laterais da estrutura elas se confundem com as fronteiras físicas da mesma. As propriedades geométricas e as elásticas de cada faixa são consideradas constantes mas podem diferir entre faixas adjacentes, permitindo a simulação de situações em que as propriedades variem transversalmente.
  34. 34. 18 Figura 3-2- Exemplos de discretização de barras (2) Conexão das faixas através das linhas nodais comuns (fronteiras longitudinais). A conexão é feita de maneira semelhante à que se produz na junção de barras de estruturas reticulares planas, bastando fazer analogia entre linhas nodais e nós. (3) Fixação dos graus de liberdade nodais de deslocamento em cada linha nodal como está representado na figura 3-3. Tais parâmetros são, em geral, deslocamentos (u, v, w) e suas derivadas até uma ordem previamente escolhida, permitindo incluir na análise, deformações axiais, transversais, curvaturas de flexão, etc. Figura 3-3 - Faixa retangular típica para flexão (4) Escolha de funções-deslocamento, em termos dos parâmetros nodais que representem o campo de deslocamentos em cada faixa. Essas funções representam o campo de deslocamentos e consequentemente os campos de deformações e tensões em cada faixa. (5) Geração da matriz de rigidez e dos vetores de cargas nodais para cada faixa.
  35. 35. 19 Adota-se o procedimento clássico do método dos deslocamentos, utilizando-se o princípio da mínima energia potencial. A matriz de rigidez e os vetores de cargas são gerados, para cada faixa, em relação a um sistema local de coordenadas. (6) Montagem de matriz de rigidez e do vetor de cargas nodais para toda a estrutura. Levando-se em conta a contribuição de cada uma das faixas e promovendo-se as necessárias transformações de coordenadas, monta-se a matriz de rigidez e o vetor de cargas em relação a um sistemas global de referência. Cabe observar que a matriz de rigidez (em banda) possui ordem e semi-largura da banda, em geral, bem menores do que as presentes na solução do mesmo problema através do MEF, com precisão semelhante. (7) Solução do sistema de equações lineares, determinando-se os parâmetros nodais incógnitos. Ao resolver o sistema de equações lineares, determinam-se os parâmetros nodais referidos ao sistema global de coordenadas. (8) Retorno aos sistemas locais do coordenadas e cálculo doas incógnitas procuradas (esforços, tensões, deslocamentos, etc.). Retorna-se a cada um dos sistemas locais encontrando os parâmetros nodais para cada faixa, o que possibilita a determinação de tensões, deformações, deslocamentos, etc., em qualquer ponto do perfil. 3.3 FLEXÃO DE PLACAS RETANGULARES Dentro do escopo deste trabalho são adotadas as mesmas aproximações da teoria clássica das placas finas que permitem simplificar o problema, tornando-o bidimensional. O estado de deformação pode ser inteiramente descrito pelos deslocamentos w dos pontos pertencentes ao plano médio da placa na direção ortogonal a esse plano. Condições de continuidade entre as faixas são impostas não apenas nos deslocamentos w, mas também nas suas derivadas em relação à coordenada transversal x.
  36. 36. 20 Escolhida a função deslocamento, são estabelecidas as características da faixa utilizada de acordo com o procedimento apresentado no item 3.11. 3.4 NOTAÇÕES GERAIS 3.4.1 Sistemas de coordenadas Existem basicamente dois sistemas de coordenadas utilizados nesse documento: um global e outro local, veja a figura 3-4, ambos baseados na regra da mão-direita. O sistema de coordenadas global é denotado como: X-Y-Z, e assume-se que o eixo Y está paralelo com o eixo longitudinal do perfil. O sistema de coordenadas local é denotado como x-y-z. O sistema local é sempre associado com um elemento de placa do perfil tal que o eixo x seja paralelo ao elemento de placa e perpendicular ao eixo longitudinal do perfil, o eixo y seria paralelo ao eixo longitudinal do perfil (em outras palavras: Y e y devem coincidir), enquanto o eixo z é perpendicular ao plano local x-y. Figura 3-4 - Sistemas de coordenadas global e local
  37. 37. 21 3.4.2 Classes de nós A fim de criar uma formulação geral, foi necessário classificar os nós de alguma maneira, ou seja, as seções transversais multi-facetadas devem ter placas subdivididas. Os sub-nós são nós utilizados para subdividir as placas. Assim, as características básicas de um sub-nó são: - Ter somente dois elementos conectados a ele; - Os dois elementos conectados devem estar no mesmo plano. Todos os outros nós são chamados de nós principais, assim existem dois tipos de nós. Devem existir alguns nós principais os quais conectam somente a um elemento de placa, por exemplo, o primeiro e o último nó de uma seção transveral aberta, esses nós são conhecidos como nós externos. Todos os outros nós principais podem ser chamados de nós principais internos, ou simplesmente: nós de quina, como mostra a figura 3-5. Classes dos nós: nós principais: 1, 2, 4, 6, 8 e 9. sub-nós: 3, 5 e 7. Sub-classes dos nós: - nós principais externos: 1 e 9. - nós principais internos: 2, 4, 6 e 8. Figura 3-5 - Classificação dos nós na seção 3.5 CLASSIFICAÇÃO DAS FAIXAS FINITAS São vários os tipos de faixas utilizadas nos estudos de flexão de placas retangulares.
  38. 38. 22 Figura 3-6 - Representação esquemática dos tipos de faixas Basicamente as faixas podem ser diferenciadas com relação ao número de linhas nodais, número de graus de liberdade por linha nodal e às condições de contorno longitudinais. A tabela 3-5 apresenta as seções transversais das faixas, caracterizando-as em três tipos, de acordo com o número de linhas nodais e os parâmetros nodais de deslocamento em cada linha nodal. A nomenclatura das faixas deve representar o número de graus de liberdade GDL por linha nodal LN, por exemplo: - BO, baixa ordem é a faixa que contém dois graus de liberdade por linha nodal; - AO, alta ordem é a faixa que contém três graus de liberdade por linha nodal. O sufixo 2 ou 3, identifica o número de linhas nodais existentes em uma determinada faixa finita. Note que a faixa BO2 é chamada de baixa ordem por incorporar um total de 4 graus de liberdade, enquanto as demais, AO2 e BO3, agrupam um total de 6 graus de liberdade. 3.6 ESCOLHA DA FAIXA A difícil escolha da faixa a ser utilizada liga-se a dois aspectos básicos: continuidade e contorno, que serão analisados separadamente. 3.6.1 Continuidade Dentre as faixas apresentas na tabela 3-1, a primeira delas (BO2) admite a continuidade de deslocamentos w e rotação elástica transversal em cada linha nodal. Os resultados alcançados na análise de placas, ao se utilizar tal faixa, têm apresentado valores precisos para os deslocamentos w, descontinuidade de momento fletor Mx nas fronteiras comuns de faixas adjacentes por causa da dependência em relação às
  39. 39. 23 curvaturas e resíduos de momentos fletores Mx em bordas livres. Os problemas citados (descontinuidade e resíduos) diminuem ao se aumentar gradativamente o número de faixas em que se discretiza a placa. As outras duas faixas, mostradas na tabela 3-1, incorporam técnicas que permitem obter soluções mais eficientes para o problemas da flexão de placas. Para a faixa AO2 há o estabelecimento de continuidade de alta ordem nas fronteiras da faixa – em particular, curvatura, além de deslocamento e rotação na direção transversal. Este procedimento conduz a soluções mais acuradas do problema e, apesar da introdução de mais um grau de liberdade por linha nodal (em comparação a BO2), a mesma precisão de resultados pode ser alcançada com um menor esforço computacional, por ser possível a redução do número de faixas utilizadas, o que conduz a um sistema de equações lineares de menor orem. Entretanto a imposição de curvaturas iguais nas linhas nodais comuns a faixas contíguas é inconveniente para as placas em que ocorre variação brusca de rigidez na direção transversal. A faixa AO3 apresenta uma linha nodal auxiliar entre as duas periféricas. Esta técnica também possibilita uma solução refinada de aplicação geral e sem o inconveniente de introduzir condições de compatibilidade estranhas ao problema considerado, nas linhas nodais pertencentes a duas faixas vizinhas. A introdução de dois parâmetros adicionais (em relação a BO2) é contornada eliminando-os, antes de montagem das equações de rigidez para a estrutura global, o que reduz significativamente, a ordem do sistema de equações lineares. 3.6.2 Condições de Contorno Dentre as faixas cujas seções longitudinais estão apresentadas na tabela 3-1, as três primeiras (A-A, A-E, E-E) têm sido utilizadas para a análise estática, detacando-se a faixa A-A por possibilitar o tratamento individual de cada harmônico da série. Na análise dinâmica todos os seis tipos têm sido utilizados pelos diversos pesquisadores do MFF. Optou-se, neste trabalho, pela faixa AO3 na condição de apoio simples nos dois extremos longitudinais (A-A) pelos motivos relacionados a seguir.
  40. 40. 24 Seção transversal AO3 porque produz soluções mais acuradas do que BO2, sem os inconvenientes relacionados no item anterior e devido à vantagem de que AO3 acopla duas faixas BO2, sem o incômodo de dobrar o número de parâmetros nodais a serem utilizados nas equações de rigidez da estrutura global. Seção longitudinal A-A por causa da vantagem de análise individual para cada harmônico da série e a opção de simular a continuidade da estrutura através de um procedimento simples, exposto no item 3.14. Tabela 3-1 - Número de linhas nodais por faixa Tipo Nº de LN GDL por LN Continuidade Representação esquemática BO2 2 2 Baixa Ordem AO2 2 3 Alta Ordem AO3 3 2 Alta Ordem
  41. 41. 25 3.7 FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO E CAMPOS DE DESLOCAMENTOS Cada problema a ser analisado contém, em si mesmo, propriedades que lhe são peculiares. Portanto, o tipo da faixa a ser utilizada, bem como a função de forma, dependem da estrutura a ser estudada e do tipo de análise que se deseja fazer (estática ou dinâmica). Admita-se que o problema analisado seja o da flexão de uma placa retangular simplesmente apoiada em dois lados. Uma possível discretização seria a indicada na figura abaixo, o que leva naturalmente a se conceber cada faixa como simplesmente apoiada nos dois extremos. Figura 3-7 - Exemplo básico de placa discretizada em faixas finitas Três translações e uma rotação são consideradas como deslocamentos globais. As translações são denotados por U-V-W e elas são correspondentes às coordenadas do eixo global X-Y-Z apresentadas na figura 3-4. A rotação em torno do eixo longitudinal é denotada por θ, figura 3-3. Deslocamentos nodais são associados com as deformações de um único elemento de placa. Por similaridade aos deslocamentos globais são consideradas três translações (u- v-w) e uma rotação (θ). De acordo com a premissa básica do MFF a deformação do elemento é expressa em função dos deslocamentos nodais. Uma vez que a função deslocamento é constituída de duas partes, uma polinomial, , e outra em série, , cabe determiná-las com o intuito de encontrar as primeiras pistas para a resolução genérica do problema. As componentes e
  42. 42. 26 são as funções de interpolação dos graus de liberdade nodais em duas direções e devem ser descritas a seguir. A função de forma é um polinômio associado com os parâmetros nodais de deslocamento que podem ser, neste caso, a flecha w e a rotação elástica em cada uma das linhas nodais (LN), totalizando quatro graus liberdade por faixa: dois na LNi e dois na LNj. A parte em série deve satisfazer às condições de contorno no extremos y = 0 e y = a. Por exemplo, uma possível adoção para a função deslocamento da placa é dada por: 3 2− 2 2 (3.1) Tabela 3-2 - Seção longitudinal da faixa - parte em série da função deslocamento Tipo Condições de Contorno Longitudinais y = 0 y = a A-A Y(0) = 0 Y(a) = 0 Tabela 3-3 - Seção transversal da faixa - parte polinomial da função deslocamento Tipo Condições de Contorno Transversais x = 0 x = b A-A X(0) = = X(b) = O que garante a compatibilidade até as rotações elásticas (na direção transversal x) e o atendimento às condições de contorno nos extremos longitudinais (direção y).
  43. 43. 27 Figura 3-8 - Deslocamentos das Linhas Nodais 3.8 CAMPO DE DESLOCAMENTOS E CONVERGÊNCIA Convergência Ao se adotar o método de rigidez é necessário admitir um campo de deslocamentos virtuais que possibilite a análise de estrutura através do estabelecimento da energia potencial e sua conseqüente minimização. A escolha de tal campo de deslocamentos é de extrema importância, pois feita de maneira descuidada pode levar às seguintes situações desastrosas: respostas estranhas que não refletem os deslocamentos possíveis dos pontos que constituem a estrutura; convergência muito lenta, tornando a aplicação do MFF inviável em termos de esforço computacional mobilizado e, até mesmo, a não convergência. Campo de deslocamentos A figura 3-9 apresenta as dimensões e o sistema de coordenadas correspondentes a uma faixa retangular padrão.
  44. 44. 28 Figura 3-9 - Faixa finita padrão A forma geral da função deslocamento é dado por um produto de polinômios e séries trigonométricas. Polinômios que dependem de uma coordenada ao longo da direção transversal (x) e séries que dependem de uma coordenada ao longo da direção longitudinal (y). O problema bidimensional a ser resolvido d = d (x,y) é concebido como o produto de dois problemas unidimensionais . Conceitualmente corresponde a admitir-se uma solução da equação diferencial básica tendo uma forma particular , onde e são funções apenas de x e y, respectivamente. Esta separação de variáveis traz conseqüências apreciáveis na resolução do problema, conforme será mostrado no desenvolvimento teórico que segue. Com o objetivo de garantir a convergência a resultados corretos, algumas recomendações simples encontram-se nos parágrafos seguintes. A parte em série da função deslocamento, além de ser regular, deve satisfazer às condições de contorno nas extremidades das faixas. Ao longo de fronteiras longitudinais comuns às faixas vizinhas, a função deve satisfazer à compatibilidade de deslocamentos. Isto se faz necessário para que as deformações requeridas nas formulações energéticas permaneçam finitas na interfaces das faixas. A idéia geral que se deve ter em mente é a de possibilitar o aparecimento dos deslocamentos e deformações típicos do problema analisado, bem como garantir que a soma das energias potenciais das várias faixas constitua uma aproximação da energia
  45. 45. 29 potencial total, aproximação essa crescente ao se aumentar o número de divisões da estrutura e o número de harmônicos da série. 3.9 FUNÇÕES DESLOCAMENTOS TÍPICAS Considere a faixa BO2 a qual cada linha nodal é livre para mover-se para cima e para baixo na direção z e rotacionar em torno do eixo y, com o resultado que são dois GDLs por linha nodal e um total de quatro GDLs para a faixa inteira. A função deslocamento pode ser reescrita da seguinte maneira: (3.2) onde; (3.3) - é o vetor dos parâmetros de deslocamentos da , correspondentes ao m-ésimo termo da série. - funções de forma associadas com . s - é o número de linhas nodais (LN) da faixa. Os vetores dependem dos parâmetros nodais adotados e da utilização de uma ou mais linhas nodais auxiliares entre as linhas nodais que delimitam a faixa. - é a parte em série, normalmente uma das soluções da equação diferencial da vibração de vigas, cuja forma geral é (3.4) com os coeficientes , , e a serem determinados a partir das condições de contorno longitudinais. Tabela 3-4 – Faixa finita utilizada no programa computacional Tipo Nº L.N. GDL por L.N. Continuidade Representação esquemática BO2 2 2 Baixa Ordem
  46. 46. 30 (3.5) (3.6) Com , , e : (3.7) (3.8) Apenas como ilustração são apresentadas as funções de forma polinomiais para uma linha com dois nós, deslocamentos e primeira derivada correspondentes a faixa tipo A- A, como é apresentado na tabela 3-2 e 3-3. As funções de forma polinomiais utilizadas retratam bem a deformada da barra para a condição de contorno A-A, porém o mesmo não ocorre para as demais condições de contorno. 3.10 FUNÇÕES DE FORMA DA FAIXA FINITA No MFF, um perfil de paredes finas do tipo U é discretizado abaixo somente na seção transversal. Isso difere o MFF do MEF porque o último método também discretiza o perfil na direção longitudinal. Na figura abaixo uma simples faixa finita é assinalada para que sejam apresentados os graus de liberdade (GDL) da faixa, assim como as dimensões e carregamentos. Figura 3-10 - Sistema de coordenadas e graus de liberdade da faixa finita
  47. 47. 31 (3.9) (3.10) (3.11) onde , e p é o número de semi-ondas, a qual para certo comprimento de semi- ondas ao longo da direção longitudinal m é o máximo número de meia onda empregado na análise, que é um inteiro positivo finito. é a função de forma na direção longitudinal para representar o deslocamento longitudinal e para a condição de contorno rótula-rótula. As expressões de u, v e w podem ser apresentados na forma geral de vetor como: (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) 3.11 MATRIZ DE RIGIDEZ ELÁSTICA A rigidez da faixa consiste de duas partes: membrana e flexão como é apresentado abaixo. A deformação da membrana, , ocorre no meio da faixa e é governada pelas premissas de tensões no plano. A deformação na flexão, , segue a teoria de placas final de Kirchoff e zera no meio da faixa. (3.16)
  48. 48. 32 = (3.17) (3.18) Como está apresentado acima, as deformações e podem ser escritas em termos apropriados das derivadas das funções de forma, e , e deslocamentos nodais, com respeito a cada número de semi-onda p. Além disso, a relação geral rigidez- deslocamento pode ser usada no lugar da rigidez à flexão como: = (3.19) A energia de deformação interna durante a flambagem consiste na composição de duas parcelas: (3.20) Para uma espessura constante t, aplicando a relação constitutiva da membrana, , e as tensões generalizadas da relação de rigidez; , a energia de deformação pode ser reescrita como segue abaixo: (3.21) Onde: (3.22) (3.23) , , (3.24)
  49. 49. 33 , , (3.25) , (3.26) (3.27) A matriz de rigidez elástica pode ser derivada da energia de deformação interna: (3.28) Ou de uma forma simplifcada: (3.29) Onde , e é a matriz de rigidez elástica correspondente aos números p e q de meia-onda a qual pode ser separada por membrana e flexão, (3.30) Matriz de rigidez elástica de membrana da faixa retangular na condição A-A: (3.31) Os termos I1, I2, I3, I4 e I5 da matriz de rigidez elástica de flexão para uma faixa finita com condição de contorno qualquer: ; (3.32) ; (3.33) ; (3.34) ; (3.35) (3.36) (3.37)
  50. 50. 34 É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de flexão para a faixa finita retangular para uma condição de contorno qualquer: (3.38)
  51. 51. 35 A substituição e integração leva a seguinte solução para a matriz de rigidez de membrana, , e flexão, : (3.39) (3.40) É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de membrana da faixa finita retangular na condição A-A (apoio-apoio): (3.41) Onde , e (3.42)
  52. 52. 36 É apresentada abaixo a matriz de rigidez elástica de flexão para a faixa finita retangular na condição A-A (apoio-apoio): (3.43) Onde , , , , e . (3.44)
  53. 53. 37 A matriz de rigidez elástica local é composta de uma parcela de membrana e flexão, como mostra a matriz abaixo: (3.45) (3.46) 3.12 MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA O carregamento apresentado na figura 3-11 do elemento de faixa pressiona linearmente as bordas extremas. O método utilizado para se determinar a matriz de rigidez geométrica, emprega a energia potencial Vp dada por essas tensões (T1, T2) durante a flambagem, e é expressa por: (3.47) Figura 3-11 - Carregamento atuante na faixa finita
  54. 54. 38 As derivadas dos deslocamentos podem ser escritas em função das derivadas de funções de forma, Nuv e Nw e os deslocamentos nodais com relação a cada número p de semi-ondas, de forma análoga a solução de rigidez elastica. Para ilustrar o caso da flexão, as derivadas de w podem ser expressas por: (3.48) Para ilustrar o caso da membrana, as derivadas de u e v podem ser expressas por: (3.49) A energia potencial pode ser reescrita como: (3.50) Onde , e é a matriz de rigidez geométrica correspondente aos números de semi-ondas p e q as quais podem ser separada por membrana e flexão: (3.51) (3.52)
  55. 55. 39 (3.53) As expressões e da matriz de rigidez geométrica correspondentes aos números p e q de semi-ondas podem ser obtidas pela substituição e integração. (3.54) (3.55) Onde: ; (3.56) ; (3.57) ; (3.58) ; (3.59) ; (3.60) . (3.61) Segue abaixo a matriz de rigidez geométrica de membrana após resolvida as devidas substituições: (3.62)
  56. 56. 40 Para simplificar a apresentação da constituição da matriz completa, serão utilizadas as variáveis k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8, k9, k10, k11, k12 e k13 no lugar dos termos descritos na matriz anterior. (3.63) É apresentada abaixo a matriz de rigidez geométrica de flexão: (3.64) Representada por: (3.65) A matriz de rigidez geométrica local composta da parcela membrana e flexão é apresentada abaixo: (3.66) Onde . (3.67)
  57. 57. 41 3.13 TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZ LOCAL EM MATRIZ GLOBAL As matrizes de rigidez para vários tipos de faixas são derivadas em termos de uma configuração de eixos locais, dos quais dois normalmente coincidem com o meio da espessura da faixa. Tais matrizes de rigidez podem ser usadas diretamente em problemas de flexão de placas ou tensões no plano porque todas as faixas são coplanares. Figura 3-12 - Orientação dos eixos locais Em estruturas de placas associadas, entretanto, quaisquer duas placas se encontrarão em um ângulo, e para estabilizar o equilíbrio nodal de forças em linhas nodais comuns para faixas não coplanares, um sistema de coordenadas comum é necessário. Na figura anterior as coordenadas individuais de uma faixa são representadas por x’, y’, z’ e as coordenadas comuns x, y, z. y e y’ são coincidentes entre si e também com a linha de interseção entre duas faixas adjacentes. Uma vez que a matriz de rigidez da faixa foi transformada no sistema de coordenadas global, essa está pronta para ser agrupada em uma matriz de rigidez completa da estrutura da forma convencional. Nesse processo de transformação, o MFF leva vantagem quando comparado ao MEF. O primeiro se preocupa em compatibilizar os deslocamentos após a transformação. No MFF, as funções deslocamentos foram escolhidas de tal maneira que u e w, os dois componentes que estão envolvidos na transformação, têm a mesma variação na direção longitudinal (y), e uma rotação das coordenadas x e z conseqüentemente não afeta a compatibilidade de deslocamentos nas linhas nodais.
  58. 58. 42 A matriz de rotação faz a correlação entre as matrizes locais e globais. O objetivo dessa função é obter as matrizes elásticas e geométricas globais a partir das matrizes locais. α é o ângulo de inclinação do elemento em relação ao eixo global. (5.1) kglobal = gama . k . gama’ (5.2) kgglobal = gama . kg . gamma’ (5.3) 3.14 MÉTODO AGRUPAR O processo de agrupar para obter a matriz de rigidez K da estrutura é simbolicamente representada por , onde a matriz é a matriz de rigidez do iésimo elemento e o somatório percorre todos os elementos do agrupamento. No MFF a discretização dos elementos é elaborada apenas na seção transversal, diferente do MEF que adicionalmente discretiza os elementos na seção longitudinal. As condições de contorno das extremidades carregadas podem ser definidas tanto por cada faixa separadamente ou pelas seção transversal como um todo. Uma vez especificada a condição de contorno de cada faixa, as matrizes elástica e geométrica podem ser calculadas definido o máximo número m de semi-ondas. Deve-se fazer um somatório adequado das matrizes de rigidez global com todos os GDLs nas coordenadas globais. O assembler é um método para juntar a matriz global elástica e geométrica e assim depois de agregados resolver o problema de flambagem elástica que é um típico problema de autovalor.
  59. 59. 43 3.15 LINGUAGEM COMPUTACIONAL A escolha da linguagem de programação se consolidou pelas vantagens em resolver problemas técnicos, facilidade de uso, funções predefinidas, interface gráfica de usuário e pelo compilador. MATLAB é uma linguagem computacional altamente técnica e especializada em cálculos científicos e de engenharia, com suporte em diferentes sistemas computacionais, o que proporciona independência de plataforma. MATLAB tem muitas vantagens em comparação com linguagens computacionais convencionais para resolver problemas técnicos. Dentre elas temos: Facilidade de uso: MATLAB é uma linguagem interpretada e de fácil utilização. O programa pode ser usado como prancheta de rascunhos para avaliar expressões digitadas em linha de comando, ou pode ser utilizado para executar programas escritos previamente. Os programas podem ser facilmente escritos e modificados na ambiente integrado de desenvolvimento, e depois depurados por meio do depurador MATLAB. É o ambiente ideal para o desenvolvimento rápido de protótipos para novos programas, como é o caso do APFF. Funções predefinidas: O MATLAB vem completo, com uma grande biblioteca de funções predefinidas, que representam soluções testadas e empacotadas para diversas técnicas básicas. Essas funções são os métodos numéricos que ajudam a resolver problemas complexos em áreas específicas. Desenhos independentes de dispositivos: Diferente da maioria das linguagens de computador, MATLAB tem muitos comandos de desenhos e imagens. Os desenhos e imagens podem ser apresentados em qualquer dispositivo de saída gráfica suportado pelo computador que executa o MATLAB. Esse recurso torna o MATLAB uma ferramenta excepcional para visualização de dados técnicos. Interface gráfica de usuário: MATLAB tem ferramentas que permitem a um usuário construir interativamente uma plataforma gráfica de usuário (GUI, do inglês Graphical User Interface) para seus programas. Com esse recurso, o programador pode projetar programa sofisticados de análise de dados, os quais podem ser operados por usuários relativamente inexperientes.
  60. 60. 44 O compilador MATLAB: A flexibilidade e a independência de plataforma do MATLAB resultam da compilação de programas MATLAB em um código independente de dispositivo denominado pcode. Essa abordagem é similar à adotada pela linguagem Visual Basic da Microsoft. Infelizmente, os programas resultantes podem às vezes se tornar lentos, pois o código MATLAB é interpretado em vez de compilado. Existe um compilador MATLAB separado. Ele pode compilar um programa MATLAB como um programa efetivamente executável, que é mais rápido que o código interpretado. Ao final do desenvolvimento do APFF o protótipo do programa deve ser convertido para um programa executável que pode ser distribuído a usuários e alunos de engenharia civil. 3.16 DESCRIÇÃO DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES DO PROGRAMA Tendo como base os fundamentos teóricos apresentados nos capítulos anteriores, foi elaborado um programa na linguagem MATLAB denominado APFF – Perfis Formados a Frio, para cálculo da carga crítica de flambagem e representação da deformada do modo. O programa performa a análise estática de perfis formados por placas associadas de seção aberta e constante, biapoiados nas seções extremas utilizando o MFF Nesse capítulo são apresentadas algumas principais funções do programa, não atentando para detalhes de funcionamento, métodos numéricos ou ainda a diagramação do código. Comandos – esse arquivo contém os principais comandos do programa. As demais funções apresentadas são ativadas através dele. Resultados – esse arquivo contém os principais elementos do layout da tela de resultados, por exemplo: caixas de texto, botões, tabelas e gráficos. Pré-processador – esse arquivo contém os principais elementos do layout da tela de entrada de dados, por exemplo: caixas de texto, botões, tabelas e gráficos. Propriedades – esse arquivo contém os comandos que ativam as funções de cálculo das propriedades geométricas da seção transversal aberta.
  61. 61. 45 Assemble – Roteiro para encontrar a solução do problema de autovalores. Essa função agrupa as matrizes global elástica e geométrica e assim, depois de aglutinadas são encaminhados para resolução do problema de autovalor. Este item apresenta sucintamente o passo-a-passo das funções chave de solução do método assembler ao problema de autovalores. Solicita-se um loop em todos os elementos de faixas que compõe a seção transversal. Nesse loop são formadas as matrizes de rigidez elástica e geométrica nas coordenadas locais (ke_local e kg_local). Para as matrizes de rigidez elástica locais é necessário colecionar as seguintes variáveis: [ke_local]=kelocal (t, a, b, material, Ex, Ey, vx, vy, G) Para as matrizes de rigidez elástica globais é necessário colecionar as seguintes variáveis: [kg_local]=kglocal (t, a, b, material, Ex, Ey, vx, vy, G) Transformar as matrizes de rigidez elástica e geométrica locais em globais. [ke, kg]=trans (alpha, ke_local , kg_local) Adicionar as contribuições dos elementos de ke e kg à matriz completa Ke e Kg. [Ke, Kg]=assemble (Ke, Kg, ke, kg, nói, nój, nnós ) Introduzir as restrições e reduzir as matrizes Ke e Kg às partes livres somente. Keff = R’ . Ke . R (8.1) Kgff = R’ . Kg . R (8.2) Resolver o problema de autovalores e dar tratamento adequado aos dados da solução. Encontrar todos os autovalores positivos que estão na diagonal da matriz solução e os vetores correspondentes; Renumerar os resultados em ordem crescente; Reduzir a um número razoável a quantidade de modos encontrados. Gerar os valores de saída para formação das curvas de flambagem.
  62. 62. 46 Propriedade_elem - Essa função constitui a matriz dos elementos e propriedades, por exemplo: nó inicial, nó final, espessura e ângulo alpha. Trans_gl - Essa função transforma coordenadas globais em coordenadas locais; Trans_lg - Essa função transforma deslocamentos locais em deslocamentos globais; Kglobal - Essa função constitui a matriz de rigidez geométrica local; Klocal - Essa função constitui a matriz de rigidez elástica local; Partições - Essa função particiona a matriz de rigidez em pedaços de tal maneira para facilitar a eliminação dos graus de liberdade dos nós fixos e manter os graus de liberdades dos demais nós; Faixas_finitas - Essa função faz a análise de rigidez pelo método das faixas finitas; Trans - Essa função transforma as matrizes locais geométricas e elásticas do elemento em matrizes globais.
  63. 63. 47 4. ESTUDOS DE CASO Perfis de diferentes geometrias foram analisados pelo programa desenvolvido no presente trabalho, porém alguns casos merecem destaque e devem ser apresentados nesse capítulo pela singularidade no comportamento. Esses estudos têm por finalidade comparar os resultados gerados pelo programa computacional APFF com os resultados conhecidos do programa CUFSM. A seguir um resumo dos cinco casos de estudo: Caso 1: Comparar as propriedades geométricas geradas pelo APFF vs CUFSM. Caso 2: Comparar os resultados gerados de um perfil U enrijecido pelo APFF vs CUFSM. Caso 3: Mostrar que o fator de carga é múltiplo do carregamento aplicado ao perfil. Caso 4: Comparar os resultados gerados de um perfil cartola pelo APFF vs CUFSM. Caso 5: Comparar os resultados gerados pelo APFF vs formulação analítica. 4.1 CASO 1 É apresentada uma comparação de propriedades geométricas do perfil cartola enrijecido geradas pelo APFF vs CUFSM. O perfil tem a geometria apresentada na figura 4-1. Figura 4-1 - Perfil U9x5x1x0.1 (in)
  64. 64. 48 Tabela 4-1 - Propriedades geométricas da seção aberta - Comparativo de resultados PFF CUFSM dif. percentual A 1700.0 mm² 1700.0 mm² 0.0% J 2266.7 mm4 2266.7 mm4 0.0% Xcg 105.9 mm 105.9 mm 0.0% Ycg 102.6 mm 102.6 mm 0.0% Ixx 9951421.6 mm4 9951421.6 mm4 0.0% Iyy 12524509.8 mm4 12524509.8 mm4 0.0% Ixy 648529.4 mm4 648529.4 mm4 0.0% θ -76.6 ° -76.6 ° 0.0% I11 12678724.5 mm4 12678724.5 mm4 0.0% I22 9797206.8 mm4 9797206.8 mm4 0.0% Xs -137.5 mm -137.5 mm 0.0% Ys 107.5 mm 107.5 mm 0.0% Cw 230722551.3 mm 230722551.3 mm 0.0% Pode se dizer que os resultados atestam que as propriedades calculadas pelo programa computacional APFF são equivalentes as propriedades calculadas pelo programa CUFSM. 4.2 CASO 2 Modelar um típico perfil U enrijecido 600S200-33 submetido à compressão centrada e verificar a equivalência entre os resultados gerados para os modos de flambagem pelo programa computacional desenvolvido APFF e o CUFSM. A geometria do perfil e entrada de dados dos material utilizado são apresentadas nas tabela 4-2 e figura 4-2 respectivamente. Figura 4-2 - Perfil Ue 152,4x50,8x15,75x0,88mm
  65. 65. 49 Tabela 4-2 - Propriedades do material utilizado na análise Material aço Módulo de elasticidade (Ex = Ey) 29500.0 ksi 20500.0 N/mm2 Coeficiente de Poisson (νx = νy) 0.3 0.3 Módulo de seção (G) 11346.0ksi 78846.0 N/mm2 A figura 9-2 apresenta a regra de classificação dos perfis comerciais americanos utilizados nos estudos de caso do presente trabalho. Figura 4-3 – Regra de classificação de perfis comerciais de chapa fina americanos Figura 4-4 – Marcação em perfil U enrijecido (stud) 600S162-33 Passo 1 - Analisar os comprimentos de semi-onda de 1in a 1000in de um perfil U 600S200-33 submetido à compressão centrada e = 50ksi no programa CUFSM. Passo 2 - Analisar os comprimentos de semi-onda de 1in a 1000in de um perfil U 600S200-33 submetido à compressão centrada e = 50ksi no programa APFF.
  66. 66. 50 Figura 4-5 - Resultados gerados para o caso 2 (passo 1) no programa CUFSM Passo 3) Modelo numérico gerado no APFF, nas unidades do sistema americano, ksi e in. Figura 4-6 – Resultados gerados para o caso 2 (passo 2) no programa APFF
  67. 67. 51 O fator de carga (fc) é fornecido pela equação: fc = ζcrl/ ζy Na figura 9-5, o primeiro ponto mínimo representa o comportamento da flambagem local e o segundo ponto de mínimo representa o comportamento da flambagem distorcional. Tabela 4-3 – Comparação entre os resultados utilizados na análise na análise do caso 1 Passo 1 - CUFSM Passo 2 - APFF Forma de flambagem Comp. semi-onda fy fc σcrl Fy fc σcrl Local 5 in 50.0 ksi 0.1 5.0 ksi 50.0 ksi 0.1 5.0 ksi Distorcional 25 in 50.0 ksi 0.3 16.5 ksi 50.0 ksi 0.3 16.5 ksi A tabela 9-3 apresenta uma equivalência entre os resultados gerados pelos dois programas mencionados anteriormente. 4.3 CASO 3 Figura 4-7 - Perfil U9x5x1x0.1 (in) O presente caso apresenta um típico perfil U9x5x1x0.1 (in), figura 4-7, enrijecido submetido à compressão centrada de 1,0ksi e os comprimentos das semi-ondas analisados variando de 1in a 1000in. O objetivo é mostrar o conceito de fator de carga e que esse é múltiplo do carregamento aplicado, o que pode ser observado na tabela 4-3.
  68. 68. 52 Figura 4-8 – Resultados gerados para o caso 2 no programa APFF Os fatores de carga (fc) correspondentes ao gráfico acima de compressão pura são: - O primeiro ponto mínimo representa o comportamento da flambagem local e ocorre com um comprimento de semi-onda de 6,0in; - O segundo ponto de mínimo representa o comportamento da flambagem distorcional e ocorre com um comprimento de semi-onda de 40,0in. Tabela 4-4 – Comparação entre os resultados utilizados na análise do caso 2 APFF – Passo 1 APFF – Passo 2 Forma de flambagem Comp. semi-onda Fy fc σcrl Fy fc σcrl Local 6 in 1.0 ksi 23.1 23.1 ksi 50.0 ksi 0.5 23.0 ksi Distorcional 40 in 1.0 ksi 28.8 28.8 ksi 50.0 ksi 0.6 29.0 ksi No presente estudo de caso, o perfil de fy= 1,0ksi possui o mesmo comportamento que o perfil de fy= 50,0ksi. O fator de carga mostra que os resultados do perfil de tensão admissível qualquer são proporcionais ao perfil que possua mesma geometria e que contenha tensão admissível fy= 1,0ksi. Global Distorcional Local
  69. 69. 53 4.4 CASO 4 Figura 4-9 - Perfil U9x5x1x0.1 (in) O presente caso apresenta um perfil cartola enrijecido, figura 4-9, submetido à compressão centrada e flexão simples de fy=345 MPa. Os comprimentos das semi-ondas analisadas variando de 1mm a 6000mm. O objetivo é comparar os resultados do APFF com um programa consagrado na comunidade acadêmica, nesse caso, o CUFSM. Resultados da análise do perfil sob compressão centrada: Figura 4-10 - Forma de flambagem local – compressão centrada - APFF
  70. 70. 54 Figura 4-11 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF Figura 4-12 - Forma de flambagem distorcional – compressão centrada - APFF
  71. 71. 55 Figura 4-13 - Forma de flambagem flexão global – compressão centrada - APFF Tabela 4-5 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para compressão APFF CUFSM Forma de flambagem Comp. semi-onda Fy Fcr Fcr Local 175 mm 345 MPa 0.3 0.3 Distorcional 500 mm 345 MPa 0.6 0.6 Distorcional 2750 mm 345 MPa 0.3 0.3 Global 5000 mm 345 MPa 0.3 0.3 Não existe diferença significativa entre os resultados da análise para o presente caso. Resultados da análise do perfil sob flexão simples:
  72. 72. 56 Figura 4-14 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF Figura 4-15 - Forma de flambagem distorcional – flexão simples - APFF
  73. 73. 57 Figura 4-16 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF Figura 4-17 - Forma de flambagem local – flexão simples - APFF
  74. 74. 58 Tabela 4-6 – Comparação entre os resultados utilizados na análise para flexão simples APFF CUFSM Forma de flambagem Comp. semi-onda Fy fcr fcr Local 125 mm 345 MPa 0.6 0.6 Distorcional 425 mm 345 MPa 1.3 1.2 Distorcional 2650 mm 345 MPa 0.6 0.6 Global 6000 mm 345 MPa 0.9 0.9 Em termos percentuais existe um diferença entre os resultados da análise para o presente caso porém essa diferença pode ser considerada aceitável. 4.5 CASO 5 No presente caso deve ser modelada uma placa retangular submetida à compressão uniforme e determinada a tensão crítica de flambagem elástica (fcr). O objetivo desse caso é comparar os resultados do APFF com os resultados analíticos e assim validar os resultados do programa. Figura 4-18 – Geometria da placa / comp. 500mm As figuras abaixo foram retiradas da saída gráfica do programa APFF. A figura da esquerda apresenta a geometria não deformada e a da direita apresenta a placa deformada sem translação das extremidades da placa. Figura 4-19 – Modelo estrutural da placa / deformada da placa O gráfico com o modo de flambagem apresenta a relação tensão x comprimento de semi-onda e um fator de carga de 76,15. Esse fator é a relação entre .
  75. 75. 59 Figura 4-20 – Carga crítica de flambagem da placa Cálculo da tensão crítica de uma placa retangular comprimida é dado por: Onde o valor teórico do coeficiente de flambagem k para a placa retangular apoiada é k=4. A tensão amissível de referência na entrada de dados do programa é de 1,0 N/mm2 . Então para esse caso, o fator de carga é equivalente a tensão crítica de flambagem em N/mm2 . Portanto, encontramos o resultado numérico de fcr = 76,15N/mm2 a ser comparado com o valor teórico de fcr = 74,14N/mm2 . A diferença encontrada, de 2,7% pode ser considerada aceitável para fins de dimensionamento prático de estruturas de aço. Local
  76. 76. 60 5. CONCLUSÃO A implementação do MFF é uma poderosa ferramenta para examinar o comportamento de perfis formados a frio à compressão centrada e flexão. Essa solução, agregada a um programa computacional, torna-se um método eficiente e fornece os parâmetros de estudo necessários para examinar o comportamento dos modos de flambagem elástica. O MFF manipula uma quantidade de dados de entrada e de equações menor que o MEF e por conseqüência tem um custo computacional bem inferior e, ainda assim, os resultados alcançados são satisfatórios. Entretanto o MEF permite uma variedade de condições de contorno nas extremidades e ao longo da barra e uma variação da seção ao longo da barra que não pode ser contemplado pelo MFF. A primeira conclusão dos resultados obtidos com o programa computacional desenvolvido no presente trabalho, APFF, é que os métodos numéricos que executam a análise do MFF estão adequados para caracterizar as curvas referentes aos modos de flambagem. O gráfico da deformada da seção em um determinado comprimento reflete com fidelidade o comportamento de uma faixa finita isolada ou de uma composição de faixas finitas mostrando a interação entre almas, flanges e reforços da seção transversal. Em geral os exemplos apresentados demonstram que a determinação das forças críticas local e distorcional não é tão óbvia, mesmo para seções simples. Da análise dos resultados apresentados em forma gráfica, representando a curva de flambagem, é verificado que: Os pontos de mínimo da curva das forças críticas nem sempre pertencem ao modo puro (local, distorcional ou global). Existem casos em que apenas um ponto de mínimo é identificado, representando um único modo de flambagem. Existem casos que não há um ponto de mínimo bem definido para a flambagem distorcional, indicando que esse modo representa uma interação com o modo local. Apesar da análise visual das deformadas ajudar na classificação do modo, isso não é garantia de um método preciso pois envolve a interpretação humana. Embora a interpretação e classificação dos modos de flambagem calculados pelo programa computacional apresentem possíveis dúvidas, como aquelas citadas
  77. 77. 61 anteriormente, os resultados numéricos das forças críticas podem ser tomados com suficiente precisão e confiabilidade. Pode-se dizer que o programa computacional APFF é de fácil utilização pois possui uma interface gráfica amigável que permita o usuário escolher o tipo de seção a ser analisada, alterar a geometria, os dados de entrada e realizar uma análise completa de uma barra com seção aberta qualquer em um período de tempo muito curto. Conforme foi apresentado nesse trabalho, os resultados também são de fácil entendimento e manipulação, ambos apresentados graficamente. O usuário pode navegar entre os diferentes modos de flambagem e diferentes comprimentos analisados para a mesma barra de maneira simples e intuitiva. O programa computacional APFF é um projeto antigo do orientando e do orientador e não tem como atividade fim apenas a defesa e aprovação da dissertação. Esse projeto tem como atividade fim o desenvolvimento de uma ferramenta computacional desenvolvida no Brasil que atenda às demandas de pesquisa no tema análise de flambagem de perfis formados a frio e de dimensionamento prático de perfis formados a frio. O programa computacional desenvolvido no presente trabalho deve ser disponibilizado no site www.hiperestatica.com como forma de disseminar a utilização de MFF orientado para análise de perfis formados a frio. A diagramação do código será explicitada em uma seção específica no site, assim como os exemplos de casos, manual e aplicações utilizando a NBR 14762 (ABNT, 2010). A idéia desse projeto é compartilhar o conhecimento, pois além de uma atitude altruísta, estamos contribuindo para o crescimento do outro, estamos expandindo nossos próprios limites, articulando redes de relacionamentos cada vez mais interessantes e profícuas. O ideal não é apenas repassar uma avalanche de informação, mas abrir espaço para troca da informação filtrada, com conteúdo trabalhado, isto é, agregar mais conhecimento, seu e do outro. A era do conhecimento, ao contrário da era industrial, onde o trabalho se dava pela simples execução manual de tarefas, é caracterizada pelo predomínio do trabalho intelectual e criativo. Ora, se o conhecimento permanece limitado às paredes da empresa ou aos limites da
  78. 78. 62 universidade, o intelecto, assim como a criatividade não se desenvolvem plenamente, pois não encontram novas demandas, novos insights possibilitando a reavaliação de pressupostos. Como proposição para a continuidade do presente trabalho, destacamos a revisão do código do programa computacional, a qual deve incluir os seguintes itens: Testes envolvendo análises de perfis sob compressão excêntrica e flexão pura. Exportação de resultados formatados. Exportação das propriedades geométricas de uma seção aberta qualquer para arquivo de input do programa de análise estrutural Gtstrudl 30. O programa computacional Gtstrudl 30 não executa o cálculo de uma seção geométrica qualquer. Esse procedimento auxilia a análise e verificação de perfis não comerciais que tenham uma geometria diferenciada. Automatização do input de comprimentos de barra a serem analisados. Esse input no programa é manual. A versão 1.0 do programa refina todas as faixas de uma determinada seção duplicando os elementos de uma só vez. Deve ser adicionada uma função para discretização de cada elemento separadamente. Alocação de mais de uma curva de diferentes perfis analisados na mesma apresentação gráfica da curva de flambagem.
  79. 79. 63 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS _____. ABNT, 2001, NBR 14762: Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio – Procedimento. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro. _____. ABNT, 2010, NBR 14762: Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio – Procedimento. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro. _____. AMERICAN IRON AND STEEL INSTITUTE, 1996. Cold formed steel design manual. Washington, AISI. _____. AMERICAN IRON AND STEEL INSTITUTE, 1991. LRFD Cold formed steel design manual. Washington, AISI. CARVALHO, Paulo Roberto M. de, 2004. Curso Básico de Perfis Formados a Frio, Porto Alegre. CHEUNG, Y.K., 1971, Orthotropic Right Bridges by the Finite Strip Method – Concrete Bridge Design, ACI Publications SP 26-8. CHEUNG, M.S. e CHEUNG, Y.K., 1972, Static and Dynamic Behaviour of Rectangular Plates Using Hiher Order Finite Strips – Building Science, Vol.7. CHEUNG, Y.K., 1976, Finite Strip Method in Structural Analysis, Pergamon Press. CHEUNG, M. S., LI, W., 1989, A Modified Finite Strip Method for Geometrically Nonlinear Analysis of Plates, Computers and Structures, vol. 33, nº 4. BATISTA, E.M., 1988, Étude de la stabilité des profils à parois minces et section ouverte de types U et C, Tese de doutorado, Collection dês publications nº 119, Universidade de Liege, Bélgica. HANCOCK, G.J., 1977. Local, Distortional and Lateral Buckling of I-Beams, Research Report, School of Civil Engineering, University of Sydney. HANCOCK, G. J., 1978, Local, Distortional and Lateral Buckling of I-Beams, Journal of the Structural Division (ASCE), vol. 104, nº 11.
  80. 80. 64 HANCOCK, G. J., 1981, Interaction Buckling of I-Section Columns, Journal of Structural Division (ASCE), vol. 107, nº 1. HELLAN, K., 1963, Application of a Numerical Procedure to the Analysis of Thin Retangular Plates of Variable Thickness – Acta Poytech Scand. Civil Engineering and Building Construction Series. KÄRRHOL, G., 1956, Parallelogram Plates Analysed by Strip Method, Göteborg. KWON, Y.B., HANCOCK, G.J., 1991, A Nonlinear Elastic Spline Finite Strip Analysis for Thin-Walled Sections, Thin-Walled Structures, vol. 12. KWON, Y.B., HANCOCK, G.J., 1992, Design of Channels Against Distortional Buckling, Proceedings of 11th International Specialty Conference on Recent Research and Developments in Cold-Formed Steel Design and Construction, University of Missouri- Rolla, St. Louis, USA. LI, ZHANJIE, 2009, Buckling analysis of the finite strip method and theoretical extension of the constrained finite strip method for general boundary conditions, Report Research, Johns Hopkins University. PFEIL, M.S., 1985, Interação local-global na flambagem de colunas de seção U enrijecida, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. POWEL, G.H. e OGDEN, D.W., 1969, Analisys of Ortothropic Steel Plate Bridge Decks. J. Struct. Div. Am. Soc. Civ. Engrs, Vol. 95, ST5. SEGENREICH, S.A., 1972, Introdução aos Princípios Variacionais em Mecânica das Estruturas – Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ. SCHAFER, B.W., 1997, Cold-Formed Steel Behavior and Design: Analytical and Numerical Modeling of Elements and Members with Longitudinal Stiffeners, Ph.D. Thesis, Cornell University, Ithaca, New York. SCHAFER, B.W., PEKÖZ, T. (1998). Direct Strength Prediction of Cold-Formed Steel Members using Numerical Elastic Buckling Solutions. Fourteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures. St. Louis, Missouri.
  81. 81. 65 SCHAFER, B.W., 2000, “Distortional Buckling of Cold-Formed Steel Columns: Final Report.” Sponsored by the American Iron and Steel Institute, Washington, D.C. SCHAFER, B.W., and Adany, 2005, “Understanding and Classifing Local, Distorcional and Global Buckling in Open Thin-walled Members.” Annual Conference Strucutral Stability Research Council Montreal, Canada. SCHAFER, B.W., and Adany, 2006, S. "Buckling analysis of cold-formed steel members using CUFSM: Conventional and constrained finite strip methods.” Eighteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, Orlando, FL, United States. TIMOSHENKO, S.P., WOINOWSKI – KRIEGER, S., 1959, Theory of Plates and Shelles, McGraw-Hill, New York. TIMOSHENKO, S.P. & GERE, J.M., 1961, Theory of elastic stability. 2nd ed., McGraw-Hill, New York. TIMOSHENKO, S.P. & GOODIER, J.N, 1970, Theory of elasticity. 3rd ed., McGraw-Hill, New York.
  82. 82. 66 ANEXO 1 - MANUAL DO PROGRAMA Esse capítulo é dedicado à apresentação do manual do programa computacional APFF. Uma breve explicação sobre todos os campos do programa deve ser desenvolvida nas próximas páginas. Comecemos pela figura 1 referente à tela inicial do programa. Nessa primeira tela deve ser escolhido o tipo de perfil a ser analisado. Existem alguns tipos padronizados, entre eles temos perfis U, U enrijecido, T, L, rack, rack enrijecido, Z, Z enrijecido e I. Figura 1 - Tela inicial do programa computacional APFF A barra no menu superior, figura 2, contém todos os comandos existentes no programa e é subdividida pelos menus principais conforme mostra a figura 2, são eles: -Arquivo. Abre, salva, imprime arquivos e reseta as veriáveis do programa. -Editar. Esse comando faz uma discretização maior dos elementos da seção transversal, duplicando a quantidade de elementos. -Perfis. Seleciona o tipo de perfil a ser utilizado, funciona do mesmo modo que os botões inferiores na tela inicial. Tela inicial, escolha o perfil que deve ser analisado pelo programa. Menu superior contém todos os comandos do programa.
  83. 83. 67 -Resultados. Esse é o menu mais importante pois nele estão os comandos de calcular as propriedades da seção e elaborar a análise pelo MFF. -Etiquetas. As etiquetas fazem as marcações dos nós, elementos, coordenadas e materiais na seção transversal. -Gráficos. O usuário pode atualizar a curva de flambagem, deformada do modo e apresentas as coordenadas de centro de cisalhamento. -Ajuda. O menu ajuda contém explicações sobre o programa. Figura 2 - Barra de menu principal Figura 3 - Entrada de dados e resultados das propriedades geométricas da seção Os itens 1 a 4 marcados na figura 3 são referentes a entrada de dados e devem ser explicados logo abaixo: 1- Na caixa de entrada superior, são digitados itens correspondents as propriedades do material do perfil analisado, por exemplo: Ex - módulo de deformação na direção longitudinal 1 2 3 4
  84. 84. 68 Ey - módulo de deformação na direção transversal Vx - módulo de deformação na direção transversal Vy - módulo de deformação na direção transversal Gxy - módulo de cisalhamento Figura 4 - Entrada de dados - propriedades do material 2- Na caixa de entrada intermediária, são inseridos dados como os nós que formam a seção transversal do perfil, coordenadas x, y e graus de liberdade dos nós. Figura 5 - Entrada de dados - geometria dos nós 3- Na caixa de entrada inferior, são inseridos dados como: elem# - número do elemento nói - nó inicial do elemento nój - nó final do elemento espess - espessura do elemento mat# - número do material do elemento Figura 6 - Entrada de dados - geometria dos elementos
  85. 85. 69 Figura 7 - Resultados da análise 4 - Propriedades Figura 8 - Propriedades da seção geométrica 1
  86. 86. 70 1- Na caixa de saída de propriedades são calculadas as propriedades geométricas da seção transveral: A - área da seção transversal J - momento de Inércia xcg - centro de gravidade em relação ao eixo x ycg - centro de gravidade em relação ao eixo y Ixx - momento de inércia em relação ao eixo x Iyy - momento de inércia em relação ao eixo y Ixy - momento polar de inércia θ - ângulo de rotação dos eixos principais I11 - momento de inércia principal 11 I22 - momento de inércia principal 11 Cw - constante de empenamento Xs - centro de cisalhamento em relação ao eixo x Ys - centro de cisalhamento em relação ao eixo y

×