Transformaciones lineales. Una mirada desde la teoría APOE

1. Transformaciones Lineales
Una mirada desde la teoría APOE
Programa de Doctorado
Didáctica de la Matemática
PUCV
Trabajo realizado por I. Maturana
Dirigido por la Dra. M. Parraguez
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2. Valparaíso- Chile
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3. Nos proponemos investigar las construcciones mentales que
los estudiantes universitarios ponen en juego para la
construcción y o reconstrucción del concepto transformación
lineal; reconoceremos en el concepto componentes de origen
geométrico, funcional y matricial, entendiendo cada uno de
estas componentes como diferentes interpretaciones de una
misma definición.
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4. 4

5. Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K. La
función T: V  W se llama Transformación Lineal de V
en W si las dos propiedades siguientes son verdaderas para
todo u y v en V y para cualquier escalar c en K.
T (u+v)= T (u) + T (v)
T (cu)= c T (u)
Introducción al Álgebra Lineal, Larson & Edwars. 2004
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6. La definición anterior proponemos entenderla como una síntesis
matemática de la linealidad, que captura en su forma mas
simple, a un tipo especifico de transformaciones de figuras
geométricas; por otra parte esta síntesis con carácter funcional
evoluciona convergiendo a las matrices, por lo que pensamos
es apropiado documentar un enfoque globalizador del
concepto.
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7. Analizaremos el concepto de transformación lineal considerando
tres formas en que éste se presenta, donde cada una de ellas
será descompuesta en sus elementos fundamentales y
articulados por el concepto matemático de combinación lineal.
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8. 8

9. De esta forma nuestro estudio propondrá, y basándose en la
metodología propia de la teoría APOE, una descomposición
genética, DG, del concepto transformación lineal que
incorpore tres interpretaciones del concepto: geométrica –
funcional – matricial.
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10. En la mayoría de los cursos de matemáticas a nivel
universitario para carreras como: ingeniería, licenciaturas y
algunas pedagogías, es incorporada el álgebra lineal dentro de
sus planes y programas, uno de sus conceptos fundamentales
es el de Transformación Lineal.
Dicho concepto entre otros no logra ser aplicado en forma
adecuada en cursos posteriores, por ejemplo de ecuaciones
diferenciales.
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11. Dorier y su equipo hablan acerca del obstáculo del formalismo.
Estos autores concluyen que:
“para la mayoría de los estudiantes, el álgebra lineal no es más
que un catálogo de nociones muy abstractas que nunca pueden
ellos imaginarse”
(Dorier, Robert, Robinet, y Rogalski,
1997, p. 116).
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12. Así también, se ha reportado que el discurso matemático
escolar del álgebra lineal privilegia el tratamiento algorítmico
a través de las llamadas técnicas de resolución, en desmedro
de la comprensión conceptual de nociones básicas
(Dorier & Sierpinska, 2001; Sierpinska et al., 2002).
Otras investigaciones apuntan a las dificultades que los
estudiantes tienen cuando están aprendiendo el concepto de
espacio vectorial, y a la concepción esquema en sus tres
niveles Intra, Inter y Trans, del concepto espacio vectorial
(Parraguez & Oktaç, 2010) .
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13. Sostenemos como hipótesis de investigación que el
aprendizaje (la construcción) del concepto transformación
lineal se alcanza de forma más profunda, si se transita entre lo
práctico y lo teórico, considerando a la componente
geométrica como una forma de visualización de la
transformación lineal, de modo que el estudiante tenga la
oportunidad de recurrir primero a su conocimiento ingenuo, no
formal, de graficación y luego, en un ambiente más conocido,
preocuparse de la buena definición de la interpretación
funcional de trasformación lineal, para poder alcanzar de
forma eficaz a la interpretación matricial de la transformación
lineal, la cual constituye su forma más eficiente de
presentación.
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14. La teoría APOE.
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15. La teoría APOE.
Visión de
Parraguez – Trigueros
La Teoría APOE fue creada por Ed Dubinsky en 1991 a partir
de la epistemología genética de Piaget.
El origen de la epistemología genética se encuentra bajo la
concepción que todo conocimiento está siempre en devenir, es
decir, pasa de un estado de menor conocimiento a otro más
completo.
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16. APOE asume el concepto de abstracción reflexiva de Piaget,
el cual originalmente propone describir el desarrollo del
pensamiento lógico infantil, pero en la teoría APOE se
extienden los alcances de la abstracción reflexiva para
comprender el desarrollo del pensamiento matemático
avanzado.
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17. Dubinsky utiliza la idea abstracción reflexiva, dada por Piaget,
para describir cómo un individuo logra ciertas construcciones
mentales sobre un concepto matemático determinado, bajo la
hipótesis que
“el conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a
responder a las situaciones matemáticas problemáticas en un
contexto social, y construyendo acciones, procesos y objetos y
organizándolos en esquemas con el fin de manejar las
situaciones y resolver los problemas”
(Dubinsky & McDonald, 2001, p. 276).
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18. El propósito central de Dubinsky con esta teoría es entender
cómo las matemáticas se aprenden, bajo el supuesto que las
nociones claves que construyen el conocimiento están, las de
"acción, objetos, procesos y esquemas“
(APOE).
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19. Una acción es cualquier transformación física o mental de un
objeto para obtener otro objeto, cuando el sujeto reflexiona
sobre una acción, él puede comenzar a establecer un control
consciente sobre ésta.
Entonces la acción es interiorizada y ésta se convierte en un
proceso. Se define un objeto a partir de la encapsulación de
uno o varios procesos. Un objeto puede ser des encapsulado
para obtener un proceso del cual surgió.
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20. La noción de esquema se adopta e interpreta como una
colección más o menos coherente de objetos y procesos y
otros esquemas.
Los esquemas son las construcciones más complejas que
podemos determinar de un fragmento de conocimiento
matemático, al mismo tiempo, son estructuras inacabadas que
evolucionan.
Una característica fundamental de los esquemas es su
coherencia, que alude a la capacidad del individuo para
establecer si un esquema le permite solucionar un problema
particular.
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21. La descomposición genética
Una forma de entender la construcción del conocimiento matemático en
el aula es a través del modelo APOE (Asiala et al., 1996) que considera
distintas maneras de conocer los conceptos matemáticos a través de
acciones, procesos, objetos y esquemas; y diferentes mecanismos de
construcción de éstos: asimilación, encapsulación, coordinación,
generalización, interiorización y reversión.
Las distintas relaciones entre las dos componentes del modelo
(concepciones o formas de conocer y mecanismos de construcción) se
organizan en un mapa viable que llamamos descomposición genética de
un concepto.
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22. Elementos matemáticos involucrados en
las diversas interpretaciones
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23. f : Dom ⊆ ¡ → Codom ⊆ ¡
Función
x → y = f ( x)
∀x ∈ Dom, ∃y ∈ Codom, talque y = f ( x )
Funcional
( V , + ) grupo abeliano
Espacio vectorial ¡ es cuerpo, cumplen con
real, finito ∀α , β ∈ ¡ , ∀v1 ∈V (α + β )v1 = α v1 + β v1
dimensional ∀α ∈ ¡ , ∀v1, v2 ∈V α (v1 + v2 ) = α v1 + α v2
∀α , β ∈ ¡ , ∀v1 ∈V αβ (v1 ) = ( αβ ) v1
∀v1 ∈V 1(v1 ) = v1
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24. Co-lineal linealmente
dependiente
Geométrica α v1 + β v2 = v
α , β ∈ ¡ v1, v2 , v ∈ V
No linealmente
independiente
co-lineal
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25. Base ordenada
coordenadas Combinación
lineal
Matricial Teorema del
cambio de base
Teorema fundamental del
álgebra lineal
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26. • La descomposición genética en proceso de la
interpretación matricial del concepto
Transformación Lineal
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29. Gracias…
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30. Referencias Bibliográficas
Dorier, J.-L.; Harel, G.;Hillel, J.; Robinet, J. Robert, A.; Sierpinska, A. et
al. (1997). L’Enseignament de l’Algèbre Linéaire en Question (pp. 105-
147), Grenoble: La Pensée Sauvage Éditions
Larson, R.;Eduards, B.(2004). Introducción al Algebra Lineal.( pp. 355-
396) Limusa Noviera Editores.
Parraguez, M. (2009).Evolución Cognitiva del Concepto de Espacio
Vectorial. Tesis de doctorado, CICATA-IPN, D.F., México.
Parraguez, M. Trigueros, M. (2012).Apuntes sobre la teoría APOE PUCV,
CICATA-IPN, D.F., Chile-México.
Trigueros, M., Oktac, A. (2010). ¿Cómo se Aprenden los Conceptos del
Algebra Lineal?
Trigueros, M., Oktac, A. (2010). ¿Cómo se Aprenden los Conceptos del
Algebra Lineal? relme20.
Uzuriaga, V.; Martinez, A. (2010). Lecciones de Algebra Lineal. Libro de
trabajo para estudiantes y guía didáctica para docentes.(pp. 95-
100).Pereira- Risaralda. Colombia.
Williamson,R.;Crowell, R.; Trotter, H.(1973). Cálculo de Funciones
Vectoriales (pp 24-33), Editorial Prentice/Hall International
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