Este documento presenta un resumen de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Explica que este tipo de ecuaciones contienen derivadas de primer orden de una variable dependiente y. También introduce el método para encontrar el factor integrante que permite convertir la ecuación en una forma exacta y así poder integrarla para obtener la solución general. Finalmente, presenta algunos ejemplos resueltos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden 𝑛 es
𝑑𝑛 𝑦 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
+ 𝑎 𝑜 𝑥 𝑦 = 0 la linealidad se
𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛 −1 𝑑𝑥
refiere a que todos los coeficientes son solamente funciones de 𝒙 y que 𝒚 y todas
sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Ahora si 𝒏 = 𝟏, se obtiene la
ecuación diferencial de primer orden
𝑑𝑦
𝑎1 𝑥 + 𝑎 𝑜 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) Dividiendo entre 𝑎1 (𝑥) resulta:
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
Factor Integrante:
𝑑𝑦
Suponemos que la ecuación diferencial + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) se puede escribir en
𝑑𝑥
la forma diferencial 𝑑𝑦 + 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
Las ecuaciones diferenciales tienen la conveniente propiedad de que siempre es
posible encontrar una función 𝜇(𝑥) tal que al multiplicar por la ecuación
𝜇(𝑥)𝑑𝑦 + 𝜇(𝑥) 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 se tiene una ecuación diferencial exacta,
𝜕 𝜕 𝑑𝜇
esto es, si 𝜇 𝑥 = 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 − 𝑓(𝑥) o bien si = 𝜇𝑃(𝑥). Esta
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥
es una ecuación separable a partir de la cual puede determinarse 𝜇(𝑥).
𝑑𝜇
Se tiene = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝜇
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑙𝑛 𝜇 = 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 De tal forma que 𝜇 𝑥 = 𝑒 .
A la función 𝜇(𝑥) se le llama factor integrante de la ecuación lineal.
Método de solución
Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, se debe escribir de
𝑑𝑦
tal forma que el coeficiente de sea igual a la unidad. Multiplicamos luego toda
𝑑𝑥
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
la ecuación por el factor integrante 𝑒 .

2. 𝑑𝑦
El primer miembro de 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) es la
𝑑𝑥
derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente:
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑒 𝑦.
𝑑 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
Luego escribimos la ecuación de la forma 𝑒 𝑦 = 𝑒 𝑓(𝑥) y por
𝑑𝑥
último integramos ambos lados de la ecuación.
Ejemplo
−𝑥
𝑑𝑦 11
Resolver − 𝑦= 𝑒3
𝑦 0 = −1 aquí tenemos 𝑃(𝑥) = −1 , de modo
,
𝑑𝑥 8
que el factor integrante es 𝜇 𝑥 = 𝑒 −𝑥 ; multiplicamos a ambos lados de la
−4𝑥
𝑑𝑦 11
ecuación por el factor integrante, esto produce 𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑦 = 𝑒 3 el
𝑑𝑥 8
primer término es la diferencial del producto entre la variable dependiente y el
−4𝑥
𝑑 −𝑥 11
factor integrante esto es 𝑒 𝑦 = 𝑒 3 , integramos con respecto a 𝑥 , se
𝑑𝑥 8
obtiene:
−4𝑥 4𝑥
−𝑥 11 33 −
𝑒 𝑦= 𝑒 3 𝑑𝑥 = − 𝑒 3 + 𝑐 Despejando 𝑦, resulta la
8 32
𝑥
𝑥 33 −
multiplicación por 𝑒 −𝑥
originando la solución general 𝑦 𝑥 = 𝑐 𝑒 − 𝑒 3
32
1
Ahora la sustitución de 𝑥 = 0 y 𝑦 = −1 resulta 𝑐 = de modo que la
32
𝑥
1 33 −
solución particular es 𝑦 𝑥 = 𝑒𝑥− 𝑒 3
32 32
1 𝑥 −
𝑥
𝑦 𝑥 = 𝑒 − 33𝑒 3
32
Ejemplo
𝑑𝑦
Encontrar la solución general de: 𝑥2 + 1 + 3𝑥𝑦 = 6𝑥
𝑑𝑥
Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 𝑥 2 + 1 se obtiene
𝑑𝑦 3𝑥 6𝑥 3𝑥
+ 𝑦= en este caso 𝑃 𝑥 = 2 hallamos el factor
𝑑𝑥 𝑥 2 +1 𝑥 2 +1 𝑥 +1
3
integrante 𝜇(𝑥), 𝜇 𝑥 = 𝑥2 + 1 2 multiplicando por el factor se tiene:
3 1 1
2 𝑑𝑦 2 2
𝑥 +1 2 + 3𝑥 𝑥 + 1 2 𝑦 = 6𝑥 𝑥 + 1 2 Y así:
𝑑𝑥

3. 3 1
𝑑 𝑥2 + 1 2 𝑦 = 6𝑥 𝑥 2 + 1 2 Integramos y resulta
3 3 3
2 2 2
𝑥 +1 2 𝑦= 6𝑥 𝑥 + 1 2 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 1 2 + 𝑐
3
−
Multiplicamos finalmente por 𝑥2 + 1 2 resulta la solución general
3
−
𝑦 𝑥 = 2 + 𝑐 𝑥2 + 1 2
Ejercicios propuestos
Resolver: Soluciones
1. 𝑦´ + 𝑦 = 2 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 𝑥 = 2(1 − 𝑒 −𝑥 )
𝑦 0 =0
2. 𝑦´ + 3𝑦 = 2𝑥𝑒 −3𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 𝑥 = 𝑒 −3𝑥 𝑥 2 + 𝑐
𝑦 𝑥5
3. 𝑦´ − = 𝑥 4 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = + 𝑐𝑥
𝑥 4
1
4. 𝑦´ = 𝑠𝑜𝑙. 𝑥 + 𝑦 3 + 3𝑦 2 + 6𝑦 + 6 = 𝑐𝑒 𝑦
𝑥+𝑦 2
𝑦
5. 𝑥+ 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑐𝑥
𝑥
1
𝑦´ + 3𝑥 2 𝑦 = 𝑥 2
3
6. 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = + 𝑐𝑒 −𝑥
3
7. 𝑦´ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 1 + 𝑐𝑒 −𝑠𝑒𝑛𝑥
8. 𝑥𝑦´ + 4𝑦 = 𝑥 −3 𝑒 𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑥 4 𝑦 = 𝑒 𝑥 + 𝑐
9. 𝑥𝑦´ − 3𝑦 = 𝑥 4 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 𝑥 3 −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
2 2
10. 𝑥𝑦´ − 2𝑥 2 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐