Apontamentos de algebra

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Apontamentos de algebra

  1. 1. Apontamentos de Álgebra Linear d a e a Geometria Analitica co. b uk rs . a m (ISEL 2007/2008) ng inee E IC // w ww .a lle ht tp :MasterZdran, 1/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  2. 2. Nota: ................................................................................................................................. 31. MATRIZES .............................................................................................................. 4 1.1- Álgebra das Matrizes ........................................................................................ 4 1.2- Operações elementares. Característica de uma Matriz..................................... 5 1.3- Sistema de Equações Lineares.......................................................................... 6 1.4- Inversa de uma Matriz Quadrada...................................................................... 62. Determinantes........................................................................................................... 6 2.1- Definição de Determinantes (Regra de Sarrus): ............................................... 6 2.2- Propriedades dos Determinantes ...................................................................... 7 2.3- Teorema de Laplace.......................................................................................... 7 2.4- Aplicações dos Determinantes.......................................................................... 7 2.4-1. Cálculo da Inversa de uma Matriz............................................................ 7 2.4-2. Resolução de Sistemas de Equações Lineares (Possíveis e Determinados) 83. Espaços Vectoriais.................................................................................................... 8 a 3.1- Combinação Linear/Dependência e Independência ......................................... 8 3.2- Subespaços vectoriais ....................................................................................... 8 a d 3.3- Subespaços Gerados ......................................................................................... 8 3.4- Base e dimensão ............................................................................................... 9 3.5- Matriz Mudança de Base .................................................................................. 9 o. uk b4. Aplicações Lineares.................................................................................................. 9 4.1- Núcleo e Imagem.............................................................................................. 9 s .c 4.2- Caracterização de Aplicações:.......................................................................... 9 m er 4.3- Operações de Aplicações Lineares ................................................................... 9 ine5. Vectores e Valores Próprios ................................................................................... 10 a len g E IC // w w w. al tt p: hMasterZdran, 2/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  3. 3. Nota:Estes apontamentos não pretendem de forma nenhuma substituir as sebentas ou recursosexistentes, pretende somente simplificar/clarificar algumas questões.Sugiro e aconselho que analisem as demonstrações dos teoremas e vejam exercíciosresolvidos como forma de compreender a síntese aqui descrita. d a b a s .c o. uk a m len g ine er E IC // w w w. al tt p: hMasterZdran, 3/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  4. 4. 1. MATRIZES1.1- Álgebra das Matrizes • Igualdade o A = B sse ∀i, j : a ij = b i, j • Adição (Subtracção) o Matrizes do mesmo tipo ∀i, j ; A + B = C ; a ij + b ij = c ij Ex.: a b e f a+e b+f + = c d g h c+g d+h • Multiplicação de matrizes o Matrizes do tipo A nm * B mo = C no (só é possível neste caso, ou matrizes d a a quadradas). Ex. (RGB Ruler Trick): o. uk b s .c RGB Ruler Trick A2,3 B3,3 C2,3 m er a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 * = ine a a4 a5 a6 b4 b5 b6 c4 c5 c6 g len IC b7 b8 b9 .a l E c1 = a1*b1 + a2*b4 + a3*b7 w ht // w c4 = a4*b1 + a5*b4 + a6*b7 tp : B w RGB Ruler Trick A 2,3 a1 a2 a3 3,3 b1 b2 b3 C2,3 c1 c2 c3 * = a4 a5 a6 b4 b5 b6 c4 c5 c6 b7 b8 b9c2 = a1*b2 + a2*b5 + a3*b8c5 = a4*b2 + a5*b5 + a6*b8MasterZdran, 4/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  5. 5. RGB Ruler Trick A2,3 a1 a2 a3 B3,3 b1 b2 b3 C2,3 c1 c2 c3 = RGB * a4 a5 a6 b4 b5 b6 c4 c5 c6 b7 b8 b9 c3 = a1*b3 + a2*b6 + a3*b9 c6 = a4*b3 + a5*b6 + a6*b9 o A multiplicação não é comutativa (excepto se forem permutáveis A*B=B*A) • a Potenciação (somente para matrizes n,n): A 0 = I n d o  n +1  A = A *A n a • Conceitos importantes: o Simétrica: AT = A o. uk o Anti-Simétrica (hemi-simétrica): AT = − A o Hermítica (hermitiana): A* = A o Hemi-Hermítica ( m T b ( ) = (A ) = A T er s.(Ac = (A ) = − A ): A = ) hemi-hermitiana, anti-Hermítica ne * T T Nota 1: a ng Estes dois últimos conceitos assumem que a imatriz seja quadrada de ordem IC lle n e que seja do corpo dos números complexos. Nota 2: .a E ww relação à diagonal principal, conjugados Uma matriz Hermítica tem: • Elementos diagonais, reais • Elementos w // opostos em tp: opostos em relação à diagonal principal, com a mesma Uma matriz hemi-Hermítica tem: t • elementos diagonais nulos e/ou imaginário puros •h Elementos parte imaginária e parte real simétrica • Propriedades: o (A ) * * =A o ( A ± B )* = A* ± B * o ( A * B )* = B * * A* o (αA)* = α A*1.2- Operações elementares. Característica de uma Matriz. • Operações o Trocar de Linhas (O1)MasterZdran, 5/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  6. 6. o Multiplicação uma linha/coluna por um escalar diferente de zero (O2) o Somar a uma linha/coluna outra multiplicada por um escalar (O3) • Característica Após se obter uma matriz com as linhas em escada: o C(A)=número de linhas não nulas.1.3- Sistema de Equações LinearesPara a resolver qualquer sistema/matriz, esta tem que ter as linhas em escada. • Sistema Matricial: AX=B • Sistema Homogéneo: AX=0 (tem sempre solução) • Matriz Ampliada: A|B • Determinação (n = n.º de variáveis) o C (A ) ≠ C (A | B ) ⇒ Sistema Impossível o C (A ) = C (A | B ) < n ⇒ Sistema Possível, mas indetermin ado o C (A ) = C (A | B ) ⇒ Sistema Possível e indeterminado o Grau de indeterminação: n - C(A) d a a Trick or Treat: uk Na discussão dos sistemas de equações (na forma matricial), fazer as operações o. b básicas das matrizes de forma que os escalares desconhecidos (os a, b, …, etc.), s .c fiquem situados depois dos pivot’s das matrizes. Desta forma, na altura de verificar se a matriz é ou não determinada, só temos que verificar os casos do último pivot, m que é o que tem as constantes desconhecidas.1.4- Inversa de uma Matriz Quadrada ine • a ng er IC A*B=B*A=I Matriz regular (não é singular): C(A)=n e • • el l Se A é regular então admite inversaaesta é única w. E2. Determinantes/ tt ww p:/quadradasSó se verifica com matrizes h2.1- Definição de Determinantes (Regra de Sarrus): a b c d Det(A) = a*d - b*cMasterZdran, 6/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  7. 7. a b c a b c d e f d e f g h i g h i D1 = a*e*i + b*g*f + d*c*h D2=c*e*g + h*a*f + d*i*b Det(A) = D1-D22.2- Propriedades dos Determinantes • d a Se a Matriz A tem uma linha/coluna composta por zeros: Det(A)=0 • • • • a Na troca de linhas/colunas de uma matriz: Det(A)= - Det(A) Det(α * A) = α n*Det(A) , n= numero de linhas/colunas s .c Se matriz A é triangular: Det(A)=multiplicação da diagonal principal uk Se a Matriz A tem duas linhas/colunas iguais ou proporcionais: Det(A)=0 b o. • • • Det ( A) = Det ( A )T Det(A*B)=Det(A)*Det(B) a m Se matriz A é complexa: Det (A ) = Det (A) = Det ( A)e * ng in er IC Matriz A é invertível se Det ( A) ≠ 0 lle • • Se A é invertível: Det (A ) = −1 1 ( a Det .A)2.3- • • E Teorema de Laplace Det ( A) = ∑ a * (: 1 * ht ww /)/wdet(A(i | j )) tp− da matriz eliminando a linha i e a coluna j ij A(i | j ) =complemento i+ j Trick or Treat: - Escolher a linha com mais zeros. - Aplicar condensação para obter mais zeros2.4- Aplicações dos Determinantes2.4-1. Cálculo da Inversa de uma Matriz • Matriz complementar de A=Â • Matriz Adjunta: adj(A) • ( ) adj ( A) = Â TMasterZdran, 7/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  8. 8. • Inversa: o se det ( A) ≠ 0 1 o A −1 = * adj ( A) det( A)2.4-2. Resolução de Sistemas de Equações Lineares (Possíveis e Determinados)Regra de Cramer • Matriz A de ordem n • Matriz B (coluna) • Matriz RPn (Resultado Parcial) resulta em n matrizes substituindo de cada Coluna da Matriz pela Coluna da Matriz B. • (x, y,..., z ) = det (RPn ) det ( A)3. Espaços Vectoriais3.1- Combinação Linear/Dependência e Independência d a ( ) a uk n • Combinação Linear: v = ∑ α i * u i o. b i =1 s .c • Se todos α i = 0 , então v é linearmente independente m er • Caso contrário é linearmente dependente ine Trick or Treat: Formas de resolver exercícios: a len g IC Só para quando a matriz é possível e determinado, ou estudar os caso para quando existe grau de indeterminação. l • v é combinação linear de u :.a quais são os α . achar E • Verificar dependência: v =w verificar que os α são zero. n i w 0, // w i3.2- ht tp : Subespaços vectoriais • 0 ∈ E (vector nulo pertence ao espaço) • Vector é combinação linear no espaço3.3- Subespaços Gerados • Denotação: < v n .> =L( v n ) • O sistema Matricial tem que ser possível, ou estudar o grau de indeterminação ( ) n • Combinação Linear: v = ∑ α i * u i i =1 • Determinar subespaço gerado pelos vectores u: o Obtém-se os valores (possíveis) do vector v.MasterZdran, 8/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  9. 9. 3.4- Base e dimensão • Espaço vectorial finitamente gerado • Conjunto de vectores linearmente independentes • Base é o conjunto dos geradores de E linearmente independentes • Característica da Matriz indica a dimensão da Base • Dim(E) = numero de vectores da Base • Resolução: o Cada coluna da matriz é um vector da base o Cada um destes vectores = coluna identidade da Base o Substitui-se os valores dos x, y, z, … na expressão da base o Põe-se em evidência as variáveis (x, y, z, …) e obtém-se os vectores independentes.3.5- Matriz Mudança de Base • A Matriz obtém-se achando os escalares dos vectores linearmente independentes a • Acha-se o Vector coluna e multiplica-se pela Matriz: determinamos as coordenadas • • base. Aconselha-se a ver exemplos e demonstrações. d Neste vector volta-se a aplicar o método usado no inicio para achar a segunda a o. uk4. Aplicações Lineares ( ) () () m b ine er s .c • • a ∀ x, v ∈ E : f x + y = f x + f y ∀α ∈ F , ∀ x ∈ E : f (α x ) = α * f (x ) len g4.1- • • E IC Núcleo e Imagem Nuc( f ) = {x ∈ E : f (x = 0)} w ww Im( f ) = {f (x ): x ∈ E}= f (E ) : // .al4.2- h ttp Caracterização de Aplicações: • Monoformismo se é injectiva ( Nuc ( f ) = 0 ) • Epimorfismo se é sobrejectiva ( Im( f ) = E’, sse C( f ) = dim ( E’ ) ) • Isomorfismo se é injectiva ( Nuc( f ) = 0 e C( f ) = dim( E ) = dim ( E’ ) ) • Endomorfismo se E’=E • Automorfismos se é um endomorfismo bijectivo4.3- Operações de Aplicações Lineares • ( f + g )(x ) = f (x )+ g (x ) • (α * f )(x ) = α * f (x ) • ( f o g )(x ) = f (g (x ))MasterZdran, 9/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0
  10. 10. 5. Vectores e Valores Próprios • v≠0 • () f v = α * v (subespaço próprio) • O conjunto dos valores próprios chama-se espectro. d a b a s .c o. uk a m len g ine er E IC // w w w. al tt p: hMasterZdran, 10/10Ano Lectivo 2007/2008Versão 1.0

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