Calculo, matematicos, derivadas

1. Unidad 3 – Lección 3.1
Derivadas de Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
06/10/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 13

2. Actividades 3.1
• Referencia: Section 12.3: Derivadas de Funciones
Exponenciales y Logarítmicas; Ejemplos del 1 al 8;
problemas impares 1 – 79 de la página 518 a 519
(4ta Ed páginas 525 a 526).
• Asignación 4.2: Páginas 518-519; Problemas 40, 48,
70 y 74.
• Referencias del Web:
– Moises Grillo (Video) – Derivadas de Funciones
Exponenciales y Logarítmicas
– Nilsa Toro – Derivadas de Funciones
Exponenciales
– Visual Calculus – Differentiation Formulas; Derivative of the
Exponential Functions.
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3. Objetivo
• Calcular la derivada de funciones
exponenciales
• Calcular la derivada de funciones
logarítmicas.
• Calcular la derivada de funciones
compuestas que envuelven funciones
exponenciales y logaritmos.
• Calcular el costo marginal, costo promedio
marginal e ingreso marginal
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4. Derivadas de la funciones exponenciales
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aaa
dx
d xx
ln)( 
)( x
e
dx
d
Ejemplos:
)3( x
dx
d
3ln3x

eex
ln x
e
 2
xe
dx
d x

xex
2
2
x
dx
d
e
dx
d x







 21
8 
xdx
d x
     21
8 
dx
d
x
dx
d
dx
d x
 
 8ln8x
  11
)1( x 0
2
8ln8 
 xx
2
1
8ln8
x
x

xx
ee
dx
d
)(
4 de 13

5. Ejemplo 1
• Calcule la derivada de
a)
b)
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12
 x
ey xu 2
x
e2
 2 0
x
e2
2
x
e
dx
dy 2
  x
dx
d
2  1
dx
d

 2
5x
dx
d

2
5x
 2
x
dx
d
x25ln5
2
 x
5ln52
2
x
x
Regla de la Cadena
Regla de la Cadena
5 de 13

6. Ejercicio #1
1.
2.
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 3
4 xe
dx
d xx

3
4 x
dx
d
e
dx
d
dx
d xx

 4ln4x
 x
e
dx
d 35
)35(35
x
dx
d
e x
 
x
e 35
3 

Regla de la Cadena
x
e 35
 3
x
e 2
3x
6 de 13

7. Ejemplo 2
Encuentre la ecuación de la recta tangente a
y = (ex + 1) por el punto (0, 2)
• Solución:
• Pendiente de la tangente en (0,2) es
• La ecuación de la tangente por (0,2) es:
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)1( x
e
dx
d
1
dx
d
e
dx
d x
 0 x
e x
e
1
0xdx
dy )0(
e
𝑦 − (2) = (1)(𝑥 − 0 )
𝑦 − 2 = 𝑥
𝑦 = 𝑥 + 2
7 de 13

8. Derivadas de la funciones logarítmicas
ax
x
dx
d
a
ln
1
)(log 
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ex
x
dx
d
ln
1
)(ln 
Ejemplos:
)(log5 x
dx
d
5ln
1
x

)(log
3
2 x
dx
d
3
2
ln
1
x

)(log x
dx
d
10ln
1
x

x
1

x
x
dx
d 1
)(ln 
8 de 13

9. Ejemplo 3
• Calcule
• Solución:
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)2ln( 23
 x
dx
d
dx
dy
)2(
2
1 23
23




 x
dx
d
x
2
23
6
2
1
x
x




)2ln( 23
x
dx
d
9 de 13
23
2
2
6


x
x

10. Ejemplo 4
Calcule cuando
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x
x
y
ln1
ln1



2
)ln1(
)ln1()ln1()ln1()ln1(
'
x
x
dx
d
xx
dx
d
x
y



2
)ln1(
1
)ln1(
1
)ln1(
x
x
x
x
x



2
)ln1(
2
x
x

2
)ln1(
ln1ln1
x
x
x
xx
x
x


 2
)ln1(
2
xx 

dx
dy
10 de 13

11. Ejercicio #2
• Calcule cuando
• Solución:
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dx
dy )10ln( 2
 xy
)10(
10
1
' 2
2


 x
dx
d
x
y
x
x
2
10
1
2



11 de 13
10
2
2


x
x

12. Ejemplo 5
• Calcule el costo marginal y el costo promedio
marginal para la función costo
• Solución:
• La función costo marginal es 𝐶′ 𝑥 :
• La función costo promedio es 𝐶(𝑥) =
𝐶(𝑥)
𝑥
:
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𝐶 𝑥 = 100 + 𝑥 + 𝑒−0.5𝑥
𝐶′ 𝑥 = 0 + 1 + 𝑒−0.5𝑥 ∙ (−0.5)
= 1 − 0.5𝑒−0.5𝑥
𝐶(𝑥) =
𝐶(𝑥)
𝑥
=
100 + 𝑥 + 𝑒−0.5𝑥
𝑥
Continúa …
12 de 13
𝐶(𝑥) =
100
𝑥
+ 1 +
𝑒−0.5𝑥
𝑥

13. Ejemplo 5 …
• La función costo promedio marginal es:
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𝐶′(𝑥) =
−100
𝑥2
+ 0 +
= 100𝑥−1
+ 1 + 𝑥−1
𝑒−0.5𝑥
𝐶(𝑥) =
100
𝑥
+ 1 +
𝑒−0.5𝑥
𝑥
𝑥−1
𝑑
𝑑𝑥
𝑒−0.5𝑥 + 𝑒−0.5𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥−1
=
−100
𝑥2
+
−0.5𝑒−0.5𝑥
𝑥
+
−𝑒−0.5𝑥
𝑥2
=
−100
𝑥2
+
−0.5𝑒−0.5𝑥
𝑥
−
𝑒−0.5𝑥
𝑥2
=
−100 − 𝑒−0.5𝑥
𝑥2
+
−0.5𝑒−0.5𝑥
𝑥
13 de 13