Prof.Dr. Nilo Sampaio
Experimento Aleatório: procedimento que, ao
ser repetido sob as mesmas condições, pode
fornecer resultados diferentes

Exe...
Espaço Amostral (): conjunto de todos os
resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplos:
1. Lançamento de um...
Eventos: subconjuntos do espaço amostral 
Notação: A, B, C ...
 (conjunto vazio): evento impossível
: evento certo

Exe...
Operações com eventos
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

A  B: união dos eventos A e B.
Representa a ocorrê...
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos
quando não têm elementos em comum, isto é,
AB=

• A e B são complementare...
Exemplo: Lançamento de um dado
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

• sair uma face par ...
Probabilidade
• Medida da incerteza associada aos resultados
do experimento aleatório
• Deve fornecer a informação de quão...
Probabilidade
Atribuição da probabilidade:
1. Através das freqüências de ocorrências.

• O experimento aleatório é repetid...
No caso discreto, todo experimento aleatório
tem seu modelo probabilístico especificado
quando estabelecemos:

•O espaço a...
Ainda no caso discreto,
• Se A é um evento, então P (A) 

 P (w )
j

w j A

• Se

Ω  {w 1 , w 2 , ..., w N }

e

1
P (...
Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados
relativos à distribuição de sexo e alfabetização em
habitantes de Sergipe com i...
 : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com
idade entre 20 e 24 anos.
Definimos os eventos
M: jovem sorteado é do sexo ...
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado e ser do sexo masculino?
S
nº. de elementos em M  L
39577
P(...
Regra da adição de probabilidades

P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Conseqüências:
• Se A e B forem eventos disjuntos, e...
PROBABILIDADE CONDICIONAL E
INDEPENDÊNCIA

P(A | B) 

P(A  B)
P(B)

,

P(B)  0 .

Da definição de probabilidade condici...
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?
Diretamente da tabela
Sex...
Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2
brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são
sorteadas sucessivamente, sem reposição.
A: 2ª b...
14

B

Resultados

2 5

B

2 1

5 4
2 3

5 4
3 2

5 4
3 2

5 4

BB

3 4
2 4
3 5

Probabilidades

V
B

BV
VB
VV

V

Tot...
Considere agora que as extrações são feitas
com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é
reposta na urna antes da 2a extra...
Neste caso,
4
6 2
P(A) = P(branca na 2ª) =


25 25 5

e

2
 P( A)
P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) =
5
2
 P(...
Independência de eventos: Dois eventos A e
B são independentes se a informação da
ocorrência (ou não) de B não altera a
pr...
Exemplo: A probabilidade de Jonas ser
aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena
é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos
...
Prof. Dr. Nilo Sampaio


É distribuição discreta de
probabilidade. Ela está associada
a um experimento de múltiplas
etapas.








O experimento consiste de uma seqüência de
n ensaios idênticos;
Dois resultados são possíveis em cada
ensaio: ...








O experimento consiste em 8 jogadas do
dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou
f...
Ensaios
1
2 3
4
5 6 7 8
Resultados
s
s s
s
f
f
f
f f
Probabilidade 1/6 1/6 1/6 5/6 5/6 5/6
5/6 5/6 3
5
3
5

1 5
   ...






Se os 3 sucessos cairem em qualquer um
dos 8 ensaios, deve-se calcular tadas as
combinações possíveis de se obte...


O que resulta em uma Combinação de 8, 3 a
3;

8!
8.7.6.5.4.3.2.1
 

 
 3  3!.(8  3)! 3.2.1.5.4.3.2.1
8.7.6

...


E unindo as duas partes da fórmula
teremos:

 1
 . 
36
8

3

5

5
.   56.0,0019  0,1064
6


Probabilidade de x sucessos em n ensaios é

x
n x
 
 . p  .1  p 
x
onde
n

n!
 
 
 x  x!.(n  x)!
n
 E(X)=

n.p

Variância da Binomial

• Var(X)= n.p.(1-p)
AULA:

Principais Modelos Discretos
Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois result...
1.2 Aleatória De Bernoulli
É uma variável aleatória X que apenas assume
apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 s...
2. Modelo Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de
cara seja p em cada lançamento. D...
Daí temos que:
P( X  0)  P ({FFF })  (1  p ) 3
P( X  1)  P({FFS , FSF , SFF })  3 p(1  p ) 2
P( X  2)  P({FSS , ...
Definição[Distribuição Binomial]
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com
a mesma probabi...
Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p

2

4

6

0.00

P(X=x)

0.2
0.0

P(X=x)

0

0.20

p=0,3

0.4

p=0,1

8

0

2...
Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p

0

5

0.00

0.15

p=0,3
P(X=x)

0.20
0.00

P(X=x)

p=0,1

10 15 20

0

5

1...
Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p

0

10

20

0.10
0.00

0.15

P(X=x)

p=0,3

0.00

P(X=x)

p=0,1

30

0

10

...
Exemplo 2.
O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla
escolha, consistente em 10 questões cada...
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

f(x)
0,107374
0,268435
0,301990
0,201327
0,088080
0,026424
0,005505
0,000786
0,000074
0,000004
0...
0.00

0.10

0.20

P(X=x)
0.30

B(10,p=0,20)

0
2
4
6

x
8
10
Distribuição de Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um inter...
Suposições básicas:
Considere que o intervalo pode ser dividido em
subintervalos com comprimento suficientemente
pequeno t...
Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição
de Poisson com parâmetro  se sua função de p...
P(X=x)

0.10

0.20

0

0
5

5
10

10
15

15

x

20

20

25

25
30
0.00 0.04 0.08 0.12

0.00

P(X=x)

0.00

0.0

0.3

0.20
...
P(X=x)

0.10

0.20

0

0
5

5
10

10
15

15

x

20

20

25

25
30
0.00 0.04 0.08 0.12

0.00

P(X=x)

0.00

0.0

0.3

0.20
...
Exemplo 1.

As consultas num banco de dados ocorrem de forma
independente e aleatório seguindo a distribuição de Poisson. ...
e 1,5 1,5 x
f ( x) 
, x  0,1,2,3....
x!
P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P ( X  2)  e

1, 5

1,52
[1  1,5 
]  ...
X: número de pedidos de empréstimos que um
banco recebe por dia
X~P(7,5)

e 7 ,5 7,5 x
f ( x) 
, x  0,1,2,
x!
0.00

0.05

P(X=x)
0.10

0.15

P(7,5)

0
5
10
15

x
20
25
30
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

f(x)=P(X=x)
0,000553
0,004148
0,015555
0,0388...
e 7 ,5 (7,5) 2
(a) P( X  2) 
 0,015555
2
(b) P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2) 
 0,000553  0,004148  0...
PROPRIEDADES
POISSON

DA

DISTRIBUIÇÃO

Se X ~P(), então.

(i) A função de distribuição acumulada é
dada por:
0

  x ...
x
0
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

P(X=x)
0,000553
0,004148
0,015555
0,03...
Exemplo 3: Consideremos o exemplo 2,
0

 x  7 ,5

x
F ( x)  P ( X  x)   e 7,5

x!
 k 0

x0
x0

(a) P( X  2...
Exemplo 3.

Contaminação é um problema de fabricação de discos
ópticos de armazenagem. O número de partículas de contamina...
A Distribuição Poisson Como Aproximação da
Distribuição Binomial
A distribuição Binomial para x sucessos em n
ensaios de B...
Exemplo 5. 5. A probabilidade de um rebite particular
na superfície da asa de uma aeronave seja
defeituosa é 0,001. Há 400...
Teorema: Se X ,, X são variáveis aleatórias independentes, com
distribuição de Poisson com parâmetros,  ,,  , spectiva...
O modelo multinomial é uma generalização do binomial:







São efetuados n experimentos iguais e independentes.
Cada...
n!
p1x1 p2x2 ...pkxk

P(X=x1, x2, ..., xk) =
x1! x2!... xk!

n = x1 + x2 + ... + xk


Considere o experimento: retiram-se bolas
da urna (com reposição), até que se consiga
uma bola vermelha. Define-se uma ...
Considere o experimento: retiram-se bolas
da urna (com reposição), até que se
consiga uma bola vermelha. Define-se
Define-...
3

2 2 2 5  2  5
40
    
P( X  3) 
 0,017
7 7 7 7  7   7  2401

P( X  0) 

5
 0,714
7

P( X  1) 

2 ...


E ( X )   xP( X  x )
x 0



f ( x )  pq x

E ( X )   xpq x
x 0



E ( X )  pq  xq x 1
x 1


E( X )  ?
V...
Considere o experimento: retiram-se
bolas da urna (com reposição), até que
se consiga uma bola vermelha. Definese uma v.a....
X: {0, 1, 2,
..., }
f ( x )  pq x

Var ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2

q2  q q2
Var ( X ) 
 2
p2
p

Var ( X ) 
E( X...
p=
5/7
q=
2/7

5 2
f ( x )  pq   
 
77

x

x

E( X ) 

q 27 2

  0,4
p 75 5

Var ( X ) 

q
2 49 14


 0,56...




As probabilidades não podem mais ser
calculadas através de equações do tipo
P(X=k) = FÓRMULA.
Para identificar uma d...


Considere o experimento: retiram-se 3 bolas
da urna (sem reposição). Define-se uma v.a.
X cujos valores representam o n...
número de bolas vermelhas na urna
número total de bolas na urna
número de bolas retiradas da urna
X: {1, 2, 3}
P( X  0) ...
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o núme...
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o núme...
1
f ( x) 
 2
 - média
 - desvio padrão

1 x 2
 (
)
e 2 
f(x)

1
f ( x) 
 2



X

1 x 2
 (
)
e 2 


Variável
identificada
pela média e
pelo desvio
padrão.





X
Média e
Desvio Padrão
=1
=2
=3

=4


X
Média e
Desvio Padrão
=3

1

2

3

X


Simetria
em
relação à
média.

50%



X



A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a
média e aquele ponto.
...
área = 68,3%

-



+
área = 95,4%

-2



+2
área = 99,7%

-3



+3
As áreas referem-se a probabilidades.
P(X<a)

 a

X




O cálculo de áreas sob a curva normal é
consideravelmente complexo.
Por isso, é conveniente trabalhar com valores
pa...


Para padronizar uma variável normal, tomase a média como ponto de referência e o
desvio padrão como medida de afastamen...
X-
Z=



Z - variável normal padronizada
X - variável normal
 - média
 - desvio padrão
= 1

= 0

Z


-2 -  + +2
-2

-1

0

1

2

X
Z




O peso de uma peça é normalmente
distribuído com média de 500 gramas e
desvio padrão de 5 gramas.
Encontrar os valor...


X = 510 g

X-
Z=



510 - 500
=

=
5

10

5

=2
= 5



X
485 490 495 500

-3

-2

-1

0

505 510 515

1

2

3

Z
P(X<510) = P(Z<2)

= 5

X
500

0

510

2

Z


Com base na tabela da normal padronizada,
calcular:
a) P(Z < -1)

0,158655

-1

0

Z
b) P(Z > 1)

0,158655

0

+1

Z
c) P(Z < 1)
0,841345

0

1

Z
c) P(-1 < Z < 1)
1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269

-1

0

1

Z
c) P(-2 < Z < 2)
1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545

-2

0

2

Z
c) P(-3 < Z < 3)
1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973

-3

0

3

Z


Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é ...


Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é ...


Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é ...


Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é ...


Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é ...
Probabilidade - Prof.Dr. Nilo Sampaio
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Probabilidade - Prof.Dr. Nilo Sampaio

  1. 1. Prof.Dr. Nilo Sampaio
  2. 2. Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos: 1. Resultado no lançamento de um dado; 2. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; 3. Condições climáticas do próximo domingo; 4. Taxa de inflação do próximo mês; 5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.
  3. 3. Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado.  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .  = {A, B, AB, O} 3. Hábito de fumar.  = {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada.  = {t: t  0}
  4. 4. Eventos: subconjuntos do espaço amostral  Notação: A, B, C ...  (conjunto vazio): evento impossível : evento certo Exemplo: Lançamento de um dado. Espaço amostral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Alguns eventos: A: sair face par  A = {2, 4, 6}   B: sair face maior que 3  B = {4, 5, 6}    C = {1}   C: sair face 1
  5. 5. Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A  B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B. A  B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
  6. 6. • A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, AB= • A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, AB= e AB= c O complementar de A é representado por A .
  7. 7. Exemplo: Lançamento de um dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} • sair uma face par e maior que 3 A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6} • sair uma face par e face 1 A  C = {2, 4, 6}  {1} =  • sair uma face par ou maior que 3 A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} •sair uma face par ou face 1 A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6} • não sair face par AC = {1, 3, 5}
  8. 8. Probabilidade • Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório • Deve fornecer a informação de quão verossímil é a ocorrência de um particular evento Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas abordagens possíveis: 1. Freqüências de ocorrências 2. Suposições teóricas.
  9. 9. Probabilidade Atribuição da probabilidade: 1. Através das freqüências de ocorrências. • O experimento aleatório é repetido n vezes • Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado ocorre.  Para um número grande de realizações, a freqüência relativa aproxima-se da probabilidade. 2. Através de suposições teóricas. Exemplo: Lançamento de um dado  Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.
  10. 10. No caso discreto, todo experimento aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: •O espaço amostral  = {w1,w2, ... } •A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que: 0  P(w i )  1 e  P ()  P ({w1, w 2 , ...})   P(w i )  1. i1
  11. 11. Ainda no caso discreto, • Se A é um evento, então P (A)   P (w ) j w j A • Se Ω  {w 1 , w 2 , ..., w N } e 1 P (w i )  (pontos equiprováveis), então N nº. de elementos de A P (A)  nº. de elementos de Ω
  12. 12. Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos. Masc. Fem. Alfabetizado Sim Não 39.577 8.672 46.304 7.297 Total 85.881 Sexo Total 48.249 56.601 15.969 101.850 Fonte: IBGE- Censo 1991 Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.
  13. 13.  : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; S : jovem sorteado é alfabetizado; N : jovem sorteado não é alfabetizado. Temos 48.249  0,474 P(M)  101.850 85.881   0,843 P(S) 101.850 ir para a tabela 56.601  0,526 P(F)  101.850 15.969   0,157 P(N) 101.850
  14. 14. • Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado e ser do sexo masculino? S nº. de elementos em M  L 39577 P(M  L)    0,389 S) nº. de elementos em  101850 • Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado ou ser do sexo masculino? M  S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino S nº. de elementos em M  L S) P(M  L)  nº. de elementos em  85881  48249 - 39577   0,928 101850
  15. 15. Regra da adição de probabilidades P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Conseqüências: • Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A  B) = P(A) + P(B). • Para qualquer evento A de , c P(A) = 1 - P(A ).
  16. 16. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA P(A | B)  P(A  B) P(B) , P(B)  0 . Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades P(A  B)  P(B)  P(A | B). Analogamente, se P(A) >0, P(A  B)  P(A)  P(B | A) .
  17. 17. • Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino? Diretamente da tabela Sexo Alfabetizada Total Sim Não Masc. 39.577 8.672 48.249 Fem. 46.304 7.297 56.601 Total 85.881 15.969 101.850 temos P(S | M) = 39.577 / 48.249 = 0,82. Pela definição, P(S  M)  P(S | M)  P(M) 39.577 101.850  0,82. 48.249 101.850
  18. 18. Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. A: 2ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A) = ??? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.
  19. 19. 14 B Resultados 2 5 B 2 1  5 4 2 3  5 4 3 2  5 4 3 2  5 4 BB 3 4 2 4 3 5 Probabilidades V B BV VB VV V Total 2 4 1 V Temos 2 6 2 P( A)    20 20 5 1 P( A | C)  . 4 2 20 6  20 6  20 6  20  e
  20. 20. Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta na urna antes da 2a extração. Nesta situação, temos 2 5 B Resultados VB 2 2 4   5 5 25 2 3 6   5 5 25 3 2 6   5 5 25 VV 3 3 9   5 5 25 BB 2 5 3 5 B 3 5 2 5 BV V B V Total 3 5 Probabilidade V 1
  21. 21. Neste caso, 4 6 2 P(A) = P(branca na 2ª) =   25 25 5 e 2  P( A) P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = 5 2  P( A) P(A | C ) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) = 5 c ou seja, o resultado na 2a extração independe do que ocorre na 1a extração.
  22. 22. Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, P(A | B)  P(A), P(B)  0. Temos a seguinte forma equivalente: P(A  B)  P(A)  P(B).
  23. 23. Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: Jonas é aprovado B: Madalena é aprovada P(A  B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9  Qual foi a suposição feita?
  24. 24. Prof. Dr. Nilo Sampaio
  25. 25.  É distribuição discreta de probabilidade. Ela está associada a um experimento de múltiplas etapas.
  26. 26.     O experimento consiste de uma seqüência de n ensaios idênticos; Dois resultados são possíveis em cada ensaio: sucesso e fracasso; P(sucesso)=p P(fracasso)= 1-p = q p+ q=1 Os ensaios são independentes.
  27. 27.      O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos); Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso(não sair 6); P(sucesso)= P(sair 6)=1/6 P(fracasso)= P(não sair 6)=5/6 Os ensaios são independentes.
  28. 28. Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8 Resultados s s s s f f f f f Probabilidade 1/6 1/6 1/6 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6 3 5 3 5 1 5    .   0,17 .0,83 6 6  0,0049.0,3939  0,0019
  29. 29.     Se os 3 sucessos cairem em qualquer um dos 8 ensaios, deve-se calcular tadas as combinações possíveis de se obter 3 faces 6, em 8 jogadas. Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8 Resultados s f s f s f f f Resultados s f f f s s f f
  30. 30.  O que resulta em uma Combinação de 8, 3 a 3; 8! 8.7.6.5.4.3.2.1       3  3!.(8  3)! 3.2.1.5.4.3.2.1 8.7.6   56 3.2.1 8
  31. 31.  E unindo as duas partes da fórmula teremos:  1  .  36 8 3 5 5 .   56.0,0019  0,1064 6
  32. 32.  Probabilidade de x sucessos em n ensaios é x n x    . p  .1  p  x onde n n!      x  x!.(n  x)! n
  33. 33.  E(X)= n.p Variância da Binomial • Var(X)= n.p.(1-p)
  34. 34. AULA: Principais Modelos Discretos
  35. 35. Principais modelos probabilísticos discretos 1. Modelo Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados Exemplo: 1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa; 2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa. 3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita; 4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6; 5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa. Situações com alternativos dicotômicas, podem genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. ser representadas Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.
  36. 36. 1.2 Aleatória De Bernoulli É uma variável aleatória X que apenas assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), e, sendo p a probabilidade de sucesso, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a  p x (1  p)1 x ; x  0,1 0 1 x f ( x)  P( x)   distribuição de probabilidadeXédado por: 0; c.c  P(X=x) 1-p p Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli. Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X)=p Var(X)=p(1-p). Repetições independentes de um ensaio Bernoulli dão origem ao modelo Binomial. de
  37. 37. 2. Modelo Binomial Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3 lançamentos. Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k). O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é: ={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS} Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.  FFF FFS FSF SFF FSS SFS SSF SSS Probabilidade (1-p)3 (1-p)2p (1-p)2p (1-p)2p (1-p)p2 (1-p)p2 (1-p)p2 P3 X1 0 0 0 1 0 1 1 1 X2 0 0 1 0 1 0 1 1 X3 0 1 0 0 1 1 0 1 X=X1+X2+X3 0 1 1 1 2 2 2 3
  38. 38. Daí temos que: P( X  0)  P ({FFF })  (1  p ) 3 P( X  1)  P({FFS , FSF , SFF })  3 p(1  p ) 2 P( X  2)  P({FSS , SFS , SSF })  3 p 2 (1  p ) P( X  3)  P({SSS })  p 3 A distribuição de probabilidade da v.a. X é dada por: x f ( x)  P( X  x) 0 (1  p) 3 1 2 3 3 p(1  p) 2 3 p 2 (1  p) p3 O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:  3  x   p (1  p ) 3 x , f ( x)   x     0,   3 3! onde     x  x!(3  x)!   x  0,1,2,3 c.c
  39. 39. Definição[Distribuição Binomial] Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dado por:  n  x   p (1  p) n  x , x  0,1,  , n f ( x)   x     0, c.c  n n! onde     x  x!(n  x)! , representa o coeficient e Binomial.   Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. Se X~B(n,p) pode-se mostrar que: E(X)=np Var(X)=np(1-p).
  40. 40. Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p 2 4 6 0.00 P(X=x) 0.2 0.0 P(X=x) 0 0.20 p=0,3 0.4 p=0,1 8 0 2 4 6 2 4 6 x 8 0.00 0.15 0.00 0 0.20 p=0,8 P(X=x) x p=0,5 P(X=x) x 8 0 2 4 6 x 8
  41. 41. Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p 0 5 0.00 0.15 p=0,3 P(X=x) 0.20 0.00 P(X=x) p=0,1 10 15 20 0 5 10 15 20 5 10 15 20 x 0.00 0.00 0.10 0 0.15 p=0,8 P(X=x) x p=0,5 P(X=x) x 0 5 10 15 20 x
  42. 42. Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p 0 10 20 0.10 0.00 0.15 P(X=x) p=0,3 0.00 P(X=x) p=0,1 30 0 10 20 10 20 x 30 0.00 P(X=x) 0.00 0 0.15 p=0,8 0.10 x p=0,5 P(X=x) x 30 0 10 20 x 30
  43. 43. Exemplo 2. O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova não vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente). O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos aprovaram a disciplina?. Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10 questões. Então o evento de interesse é: S: “questão respondida corretamente” 10  1  x  4 10 x   , x  0,1, ,10 f ( x)   x  5   5  P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).       0, c.c A probabilidade de aprovar a prova um aluno  F:”questão respondida incorretamente” é: P( X  6)  1  P( X  6)  1  F (5)  1  0,9936306  0,000637 Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00637)2, alunos
  44. 44. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 0,107374 0,268435 0,301990 0,201327 0,088080 0,026424 0,005505 0,000786 0,000074 0,000004 0,000000 F(x) 0,10737 0,37581 0,67780 0,87913 0,96721 0,99363 0,99914 0,99992 1,00000 1,00000 1,00000
  45. 45. 0.00 0.10 0.20 P(X=x) 0.30 B(10,p=0,20) 0 2 4 6 x 8 10
  46. 46. Distribuição de Poisson Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida) Exemplo: 1. Número de consultas a uma base de dados em um minuto. 2. Número de acidentes de trabalho por semana em uma empresa industrial. 3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma geladeira. 4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa num intervalo de tempo (digamos de 8,0 a 12,0). 5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m. 6. Número de microorganismos por cm cúbico de água contaminada.
  47. 47. Suposições básicas: Considere que o intervalo pode ser dividido em subintervalos com comprimento suficientemente pequeno tal • a probabilidade de mais uma contagem em um subintervalo seja zero, • a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento de subintervalo e •a contagem em cada subintervalo seja
  48. 48. Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro  se sua função de probabilidade é dada por:  e   x  f ( x)   x!  0;  x  0,1,2,  c.c. Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida, : media de eventos discretos em uma unidade de medida, t: unidade de medida =  t: media de eventos discretos em t unidades de medida Notação: X~P(), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com parâmetro .
  49. 49. P(X=x) 0.10 0.20 0 0 5 5 10 10 15 15 x 20 20 25 25 30 0.00 0.04 0.08 0.12 0.00 P(X=x) 0.00 0.0 0.3 0.20 P(X=x) 0.2 0.10 0.1 P(X=x) P(1) P(2) 30 0 0 5 5 10 10 15 x x P(4) P(8) 15 x 20 25 30 20 25 30
  50. 50. P(X=x) 0.10 0.20 0 0 5 5 10 10 15 15 x 20 20 25 25 30 0.00 0.04 0.08 0.12 0.00 P(X=x) 0.00 0.0 0.3 0.20 P(X=x) 0.2 0.10 0.1 P(X=x) P(1) P(2) 30 0 0 5 5 10 10 15 x x P(4) P(8) 15 x 20 25 30 20 25 30
  51. 51. Exemplo 1. As consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatório seguindo a distribuição de Poisson. Suponha que a média de consultas é 3 a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que banco de dados seja consultado no máximo 2 em um intervalo de 2 minutos? Se X: número de consultas num banco de dados em 2 minutos, então, X ~P(). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5. Ou seja X~P(1,5) e 1,5 1,5 x f ( x)  , x  0,1,2,3.... x!
  52. 52. e 1,5 1,5 x f ( x)  , x  0,1,2,3.... x! P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P ( X  2)  e 1, 5 1,52 [1  1,5  ]  0,808847 . 2 Exemplo 2: O número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com =7,5. Determine as probabilidades de que, em um dia qualquer, o banco receba (a) Exatamente 2 pedidos de empréstimo; (b) No máximo 4 pedidos de empréstimo; (c) No mínimo oito pedidos de empréstimo.
  53. 53. X: número de pedidos de empréstimos que um banco recebe por dia X~P(7,5) e 7 ,5 7,5 x f ( x)  , x  0,1,2, x!
  54. 54. 0.00 0.05 P(X=x) 0.10 0.15 P(7,5) 0 5 10 15 x 20 25 30
  55. 55. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 f(x)=P(X=x) 0,000553 0,004148 0,015555 0,038889 0,072916 0,109375 0,136718 0,146484 0,137329 0,114440 0,085830 0,058521 0,036575 0,021101 0,011304 0,005652 0,002649 0,001169 0,000487 0,000192 0,000072 0,000026 0,000009 0,000003 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000
  56. 56. e 7 ,5 (7,5) 2 (a) P( X  2)   0,015555 2 (b) P( X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)   0,000553  0,004148  0,015555  0,0202567 7 (d ) P( X  8)  1  P( X  8)  1   P( X  x)  x 0  1  [0,000553   0,136718]  1 - 0,37815  0,62185.
  57. 57. PROPRIEDADES POISSON DA DISTRIBUIÇÃO Se X ~P(), então. (i) A função de distribuição acumulada é dada por: 0    x  e  x F ( x)  P( X  x)    x!  k 0 (ii) E(X)=, Var(X)= . x0 x0 DE
  58. 58. x 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 P(X=x) 0,000553 0,004148 0,015555 0,038889 0,072916 0,109375 0,136718 0,146484 0,137329 0,114440 0,085830 0,058521 0,036575 0,021101 0,011304 0,005652 0,002649 0,001169 0,000487 0,000192 0,000072 0,000026 0,000009 0,000003 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 P(Xx) 0,00055 0,00470 0,02026 0,05915 0,13206 0,24144 0,37815 0,52464 0,66197 0,77641 0,86224 0,92076 0,95733 0,97844 0,98974 0,99539 0,99804 0,99921 0,99970 0,99989 0,99996 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 X~P(7,5)
  59. 59. Exemplo 3: Consideremos o exemplo 2, 0   x  7 ,5  x F ( x)  P ( X  x)   e 7,5  x!  k 0 x0 x0 (a) P( X  2)  F (3)  F (2)  0,02026- 0,00470  0,1556 (b) P( X  2)  F (2)  0,02026 (c) P( X  8)  1  P( X  8)  1  P( X  7)   1  F (7)  1  0,37815  0,62185.
  60. 60. Exemplo 3. Contaminação é um problema de fabricação de discos ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número médio de partículas por centímetro quadrado da superfície é 0,1. A área do disco em estudo é 100 centímetros quadrados. Encontre a probabilidade de que 12 partículas ocorram na área de um disco sob estudo. Se X: número de partículas na área de um disco sob estudo, então, X ~P(). Aqui t=100 e =0,1, então =(100)(0,1)=10. Ou seja X~P(10) 10 x e 10 f ( x)  , x  0,1,2,  x! e 10 (10 )12 P( X  12 )   0,095 12
  61. 61. A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e dada por:  n x P( X  x)    p (1  p) n x , x  0,, n.  x   Se =np, p=/n, substituindo p na função probabilidade temos n    x n x x 1  n         1  2   x  1    n  P( X  x)     1    1  1   1    x n n n  n   n  x!    x      1    n Fazendo n  , temos P( X  x)  e x  x!
  62. 62. Exemplo 5. 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que seja instalados não mais de Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então, X~B(400,0,001) defeituosos? seis rebites  4000  P( X  6)    0,001 0,999  x  6 x x 0 400 x  0,8894. Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4) e 4 4 x P ( X  6)    0,889 . x! x 0 6
  63. 63. Teorema: Se X ,, X são variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Poisson com parâmetros,  ,,  , spectivamente, então a variável aleatória, 1 n 1 Y  X X 1 n n tem distribuição de Poisson com parâmetro,      . 1 n Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas? Seja a variável aleatória, X : número de acidentes na i-ésima i semana, i=1,2,3. a v.a. , Y  X  X  X X ~ P( ) , então, distribuição de Poisson com parâmetro,   2,5  2  1,5  6 . i i 1 4 6 6e P( X  4)   0,1339 4! 2 3 tem
  64. 64. O modelo multinomial é uma generalização do binomial:     São efetuados n experimentos iguais e independentes. Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados). A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante. A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.
  65. 65. n! p1x1 p2x2 ...pkxk P(X=x1, x2, ..., xk) = x1! x2!... xk! n = x1 + x2 + ... + xk
  66. 66.  Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição), até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas azuis (fracassos) retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso). O experimento envolve de 1 a infinitos eventos independentes. Para cada evento: P(vermelha) = 5/7 P(azul) = 2/7
  67. 67. Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição), até que se consiga uma bola vermelha. Define-se Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas azuis (fracassos) retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
  68. 68. 3 2 2 2 5  2  5 40      P( X  3)   0,017 7 7 7 7  7   7  2401 P( X  0)  5  0,714 7 P( X  1)  2 5 10  0,204  7 7 49 2 2 2 5  2   5  20  P( X  2)    0,058 7 7 7  7   7  343     pq x
  69. 69.  E ( X )   xP( X  x ) x 0  f ( x )  pq x E ( X )   xpq x x 0  E ( X )  pq  xq x 1 x 1  E( X )  ? Var ( X )  ? d  q  dq  1  q   1   p2 1 E ( X )  pq 2 p E ( X )  pq dq x E ( X )  pq  x 1 dq dq x  dq d  x q E ( X )  pq  q  dq x 1 1 q E( X )  q p
  70. 70. Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição), até que se consiga uma bola vermelha. Definese uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas X: {0, 1, 2, azuis (fracassos) retiradas da urna até ..., } obter uma bola vermelha (sucesso). f ( x )  pq x Var ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2  E ( X )   x 2 P( X  x ) 2 E( X )  q p x 0  E ( X )   x 2 pq x 2 E( X 2 )  q q p2 2 x 0
  71. 71. X: {0, 1, 2, ..., } f ( x )  pq x Var ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2 q2  q q2 Var ( X )   2 p2 p Var ( X )  E( X )  q p q p2
  72. 72. p= 5/7 q= 2/7 5 2 f ( x )  pq      77 x x E( X )  q 27 2    0,4 p 75 5 Var ( X )  q 2 49 14    0,56 p 2 7 25 25
  73. 73.   As probabilidades não podem mais ser calculadas através de equações do tipo P(X=k) = FÓRMULA. Para identificar uma distribuição contínua, existe a função densidade de probabilidade, que é uma equação do tipo y=f(x).
  74. 74.  Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
  75. 75. número de bolas vermelhas na urna número total de bolas na urna número de bolas retiradas da urna X: {1, 2, 3} P( X  0)  210 0 765 2 1 3! 5 2 1  3 P( X  1)  42 7 1!2! 7 6 5 P( X  2)  8 4 3! 5 4 2  3 42 7 2!1! 7 6 5 P( X  3)  5 4 3 12 2   7 6 5 42 7 K! ( M  K )! n! ( K  x)! [( M  K )  (n  x)]! M! x !(n  x)! ( M  n)!  K  M  K   x  n  x   f ( x)     M  n  
  76. 76. Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. E( X )  n X: {1, 2, 3}  K  M  K   x  n  x   f ( x)     M  n   E( X )  ? Var ( X )  ? K M Var ( X )  n K M K M n M M M 1 OBS: se M for muito grande: K p (probabilidade de sucesso) M M K q (probabilidade de fracasso) M M n  1  E ( X )  np Var( X )  npq M 1 Hipergeométrica  Binomial
  77. 77. Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. M= 7 K= 5 n=3  K  M  K   x  n  x   f ( x)     M  n   E( X )  n  5 2   x3 x    7  3   X: {?, ...,  X :{max(0, n?} M  K ),..., min(n, K )} X: {1, 2, 3} K 5  3  2,143 M 7 Var ( X )  n K M K M n 5 2 4 120 3   0,408 M M M 1 7 7 6 294
  78. 78. 1 f ( x)   2  - média  - desvio padrão 1 x 2  ( ) e 2 
  79. 79. f(x) 1 f ( x)   2  X 1 x 2  ( ) e 2 
  80. 80.  Variável identificada pela média e pelo desvio padrão.   X
  81. 81. Média e Desvio Padrão =1 =2 =3 =4  X
  82. 82. Média e Desvio Padrão =3 1 2 3 X
  83. 83.  Simetria em relação à média. 50%  X
  84. 84.   A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto. Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).
  85. 85. área = 68,3% -  +
  86. 86. área = 95,4% -2  +2
  87. 87. área = 99,7% -3  +3
  88. 88. As áreas referem-se a probabilidades. P(X<a)  a X
  89. 89.   O cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo. Por isso, é conveniente trabalhar com valores padronizados.
  90. 90.  Para padronizar uma variável normal, tomase a média como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento.
  91. 91. X- Z=  Z - variável normal padronizada X - variável normal  - média  - desvio padrão
  92. 92. = 1 = 0 Z
  93. 93.  -2 -  + +2 -2 -1 0 1 2 X Z
  94. 94.   O peso de uma peça é normalmente distribuído com média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas. Encontrar os valores padronizados relativos aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.
  95. 95.  X = 510 g X- Z=  510 - 500 = = 5 10 5 =2
  96. 96. = 5  X 485 490 495 500 -3 -2 -1 0 505 510 515 1 2 3 Z
  97. 97. P(X<510) = P(Z<2) = 5 X 500 0 510 2 Z
  98. 98.  Com base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z < -1) 0,158655 -1 0 Z
  99. 99. b) P(Z > 1) 0,158655 0 +1 Z
  100. 100. c) P(Z < 1) 0,841345 0 1 Z
  101. 101. c) P(-1 < Z < 1) 1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269 -1 0 1 Z
  102. 102. c) P(-2 < Z < 2) 1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545 -2 0 2 Z
  103. 103. c) P(-3 < Z < 3) 1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973 -3 0 3 Z
  104. 104.  Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: a) menos de 49.000 Km? 0,158655
  105. 105.  Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: b) mais de 51.000 Km? 0,158655
  106. 106.  Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: c) entre 49.000 Km e 51.000 Km? 0,68269
  107. 107.  Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: d) entre 48.000 Km e 52.000 Km? 0,9545
  108. 108.  Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: e) entre 47.000 Km e 53.000 Km? 0,9973

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