Prof.Dr. Nilo Sampaio
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 Pesquisa Operacional e Probabilidade
 Mega Sena
 O futebol é uma caixinha de…

probabilidades
Pesquisa Operacional
 A área de pesquisa operacional destina-

se a otimizar ou melhorar projetos
fazendo uso da matemáti...
Utilizando a Estatística
Planejamento dos Projetos

Para

 Criar um projeto nada mais é que fazer um
planejamento daquilo...
 A estatística é uma ferramenta muito utilizada na

elaboração de projetos , visando melhorias que podem
ser feitas em re...
Estudo de Caso 1
 Em uma empresa, foi elaborado um determinado

projeto constituído das seguintes atividades:
1. Prever u...
 Criou-se então uma tabela com as estimativas dos dias

para cada atividade , com a duração otimista ,
pessimista e mais ...
 Após determinar as durações anteriores , pode-se

determinar a duração estimada do projeto e a variância
utilizando as s...
 Tendo encontrado a duração estimado de cada

atividade pode-se montar o quadro PERT, que irá nos
mostrar o caminho críti...
 Caminho crítico: é o caminho de maior duração e que

garante que todas as atividades do projeto serão feitas
num menor t...
 A duração estimada do projeto é de 13 dias.
 A variância do projeto corresponde a soma das

variâncias que compõe o cam...
 Pelo fato de serem dados estimados, surgiu a seguinte

pergunta durante a elaboração do projeto:
“Qual a probabilidade d...
 Z = (14 – 13)/2,333
 Z = 0,43
 Após encontrar o valor de Z iremos utilizar a tabela de

distribuição normal, que irá i...
Tabela de Distribuição Normal
 O valor encontrado na tabela corresponde a 0,6664.
 Para

calcular a porcentagem correspondente a
probabilidade do proj...
Estudo de Caso 3 -O futebol é uma
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 As probabilidades apontam uma tendência (e nunca uma

afirmação) de que esse time saia vencedor do próximo
jogo ou aquel...
Critérios Utilizados
 Desempenho das equipes na competição ou no último

ano
 Mando de campo
 Qualidade dos adversários...
O que não é considerado pelos
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 Histórico das equipes: títulos, peso d...
Lei dos Grandes Números
 Fórmula:
Exemplo 1
 Num total de 100 jogos o Flamengo obteve 62

vitórias e nos 4 jogos obteve 3 vitórias. Qual a
probabilidade de...
Exemplo 2
 Para saber a probabilidade de um time ganhar o jogo

vamos utilizar o seguinte exemplo : Foi disputado no
Mara...
 Fórmula:

 Onde os números contidos entre parênteses(1,0,0)

correspondem a 1 vitória,0derrotas e 0 empates,p é o
peso ...
 O rendimento é calculado da seguinte maneira:

 Onde r max = 1 e r min =0
 Pra calcular o vetor do Palmeiros será feit...
 Não existe uma única “maneira correta”. Existem várias

formas possíveis, com várias formulações matemáticas
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Conquista
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Rebaixamento
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do Título
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para a Série B
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Santos
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Tabela
Time

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Internacional
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 12 rodadas -> 10 jogos por rodada = 120 jogos
 3 resultados possiveis(vitória,empate,derrota)
 120x3 = 360
 Cruzeiro ...
Quem tem mais chances
Mega-Sena
A Mega Sena é o jogo de loteria mais famoso no
Brasil,onde os sorteios ocorrem duas vezes na semana.

Na Mega-Sena você jo...
Tabela preço x números jogados
 Fórmula usada:

Onde:
 n=número total de pedras a serem sorteadas
 p=número de pedras “apostadas”
Probabilidade Jogando 6 Números
C(60,6) = 60!/6!(60-6)!
C(60,6) = 50.063.860 combinações
 p = 1/50063860= 1,99x10^-8
 Pr...
Jogando 10 Números
Ao jogar 10 dezenas para acertar 6, temos a seguinte
combinação:
 C(10,6) = 10! / (6!.(10-6)!)

C(10,6...
Jogando 15 Números
 JOGAR 15 números e acertar 6 números:
 C(15,6) = 15! / (6!.(15-6)!)
 C= 5005 combinações
 p = 5005...
É hora de testar a sorte!
Bibliografia
 http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2c2.html
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade
 http://pt.wi...
Grupo
 Fábio Rocha
 Jéssica Roza
 Míriam Fabris
 Pedro Pena
 Priscila Belsoff
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  1. 1. Prof.Dr. Nilo Sampaio
  2. 2. Tópicos  Pesquisa Operacional e Probabilidade  Mega Sena  O futebol é uma caixinha de… probabilidades
  3. 3. Pesquisa Operacional  A área de pesquisa operacional destina- se a otimizar ou melhorar projetos fazendo uso da matemática , estatística e algoritmos para auxiliar na tomada de decisões.
  4. 4. Utilizando a Estatística Planejamento dos Projetos Para  Criar um projeto nada mais é que fazer um planejamento daquilo que se deseja utilizando diferentes meios que possam auxiliar em seu desenvolvimento.
  5. 5.  A estatística é uma ferramenta muito utilizada na elaboração de projetos , visando melhorias que podem ser feitas em relação a custo, tempo dentre outros.
  6. 6. Estudo de Caso 1  Em uma empresa, foi elaborado um determinado projeto constituído das seguintes atividades: 1. Prever unidades do produto a serem vendidas (1-2) 2. Estudar o preço dos concorrentes(2-3) 3. Procurar mão de obra especializada(2-4) 4. Estabelecer salário dos funcionários(2-5) 5. Estabelecer preço de venda(3-5) 6. Levantamento do Material(4-5) 7. Levantamento do Custo(3-6) 8. Preparo do orçamento(5-6)
  7. 7.  Criou-se então uma tabela com as estimativas dos dias para cada atividade , com a duração otimista , pessimista e mais provável:
  8. 8.  Após determinar as durações anteriores , pode-se determinar a duração estimada do projeto e a variância utilizando as seguintes fórmulas:  Duração estimada =  Variância( ²)=
  9. 9.  Tendo encontrado a duração estimado de cada atividade pode-se montar o quadro PERT, que irá nos mostrar o caminho crítico do projeto e a duração estimada do projeto:
  10. 10.  Caminho crítico: é o caminho de maior duração e que garante que todas as atividades do projeto serão feitas num menor tempo. Todas as atividades do caminho crítico tem folga=0,portanto o caminho crítico do projeto será: (1 – 2), (2 – 3) e (3 – 6), que são as atividades do projeto cuja folga é igual a zero.
  11. 11.  A duração estimada do projeto é de 13 dias.  A variância do projeto corresponde a soma das variâncias que compõe o caminho crítico: Σ ²= 0,444 + 1 + 4 = 5,444  Sabendo-se que o desvio padrão corresponde à √ ²,logo o desvio padrão do projeto é: √ ²= √5,444=2,333
  12. 12.  Pelo fato de serem dados estimados, surgiu a seguinte pergunta durante a elaboração do projeto: “Qual a probabilidade de o projeto demorar mais de 14 dias para ficar pronto?” Para responder a esta pergunta iremos utilizar a fórmula da normal padronizada: Onde: X= 14;
  13. 13.  Z = (14 – 13)/2,333  Z = 0,43  Após encontrar o valor de Z iremos utilizar a tabela de distribuição normal, que irá indicar corresponde ao encontrado acima. o valor
  14. 14. Tabela de Distribuição Normal
  15. 15.  O valor encontrado na tabela corresponde a 0,6664.  Para calcular a porcentagem correspondente a probabilidade do projeto durar mais que 14 dias corresponde a:  P(Duração > 14) = 1 – 0,6664 = 0,3336 = 0,3336 x 100 = 33,36% Portanto conclui-se que a probabilidade de o projeto demorar mais que 14 dias para ficar pronto é de 33,36%.
  16. 16. Estudo de Caso 3 -O futebol é uma caixinha de… probabilidades
  17. 17.  As probabilidades apontam uma tendência (e nunca uma afirmação) de que esse time saia vencedor do próximo jogo ou aquele time termine o campeonato em primeiro lugar. E é justamente por isso que as probabilidades veiculadas são 80%, 50%, 47% etc. e nunca 100% ou 0%.
  18. 18. Critérios Utilizados  Desempenho das equipes na competição ou no último ano  Mando de campo  Qualidade dos adversários  Resultados mais recentes têm mais peso
  19. 19. O que não é considerado pelos estatísticos  Contratações, contusões e suspensões  Histórico das equipes: títulos, peso da camisa e da torcida  Mudanças de treinador  Erros de arbitragem e “malas brancas”
  20. 20. Lei dos Grandes Números  Fórmula:
  21. 21. Exemplo 1  Num total de 100 jogos o Flamengo obteve 62 vitórias e nos 4 jogos obteve 3 vitórias. Qual a probabilidade deste time ser campeão?  A princípio muitas das pessoas utilizar os resultados dos últimos jogos para calcular a probabilidade, encontrando assim um valor de 75 %,pois (¾)x100=75%,mas na verdade é um erro pois a probabilidade real da equipe erguer a taça deve levar em consideração todos os jogos e todas as vitórias, sendo assim as chances reais giram em torno de 62% e não de 75% como muitos pensaram , pois (62/100)x100=62%.
  22. 22. Exemplo 2  Para saber a probabilidade de um time ganhar o jogo vamos utilizar o seguinte exemplo : Foi disputado no Maracanã um jogo entre Flamengo e Palmeiras, onde o Flamengo saiu campeão. Iremos calcular o vetor PC1 do Flamengo agora após a vitória. Para isso utilizaremos o vetor anterior ou seja PC0.
  23. 23.  Fórmula:  Onde os números contidos entre parênteses(1,0,0) correspondem a 1 vitória,0derrotas e 0 empates,p é o peso que damos ao passado, ou seja leva em consideração as vitórias e derrotas antigas.Não devemos considerar p=0, pois se p=0 quer dizer que o que passou não conta pra nada que é um absurdo e se elevarmos muito o valor os valores na probabilidade seguirão praticamente inalterados jogo a jogo e r = rendimento.
  24. 24.  O rendimento é calculado da seguinte maneira:  Onde r max = 1 e r min =0  Pra calcular o vetor do Palmeiros será feito algo parecido:  Neste caso nota-se que ao invés de utilizar somente o rendimento do flamengo usa-se  Constatamos que o novo vetor do Flamengo será igual a 1 e do Palmeira igual a zero , pelo fato de não termos adotado nenhum antecedente.
  25. 25.  Não existe uma única “maneira correta”. Existem várias formas possíveis, com várias formulações matemáticas possíveis e (pelo menos) duas maneiras possíveis de analisá-las.
  26. 26. Conquista Conquista Rebaixamento Rebaixamento do Título do Título para a Série B para a Série B Time Time Santos Santos 35.6 % 35.6 % < 0.01 % < 0.01 % Internacional Internacional 34.5 % 34.5 % < 0.01 % < 0.01 % Atlético MG Atlético MG 7.6 % 7.6 % 0.2 % 0.2 % Fluminense Fluminense 5.8 % 5.8 % 0.4 % 0.4 % Grêmio Grêmio 4.4 % 4.4 % 0.6 % 0.6 % Vasco Vasco 3.7 % 3.7 % 0.7 % 0.7 % São Paulo São Paulo 2.5 % 2.5 % 1.3 % 1.3 % Botafogo Botafogo 1.5 % 1.5 % 1.9 % 1.9 % Coritiba Coritiba 1.4 % 1.4 % 1.9 % 1.9 % Cruzeiro Cruzeiro 1.0 % 1.0 % 2.8 % 2.8 % Palmeiras Palmeiras 0.6 % 0.6 % 4.5 % 4.5 % Flamengo Flamengo 0.4 % 0.4 % 5.0 % 5.0 % Corinthians Corinthians 0.3 % 0.3 % 4.8 % 4.8 % Atlético GO Atlético GO 0.3 % 0.3 % 7.5 % 7.5 % Figueirense Figueirense 0.3 % 0.3 % 9.4 % 9.4 % Bahia Bahia 0.08 % 0.08 % 14.2 % 14.2 % Ponte Preta Ponte Preta < 0.01 % < 0.01 % 66.5 % 66.5 % Portuguesa Portuguesa < 0.01 % < 0.01 % 79.8 % 79.8 % Sport Sport < 0.01 % < 0.01 % 98.6 % 98.6 % Náutico Náutico < 0.01 % < 0.01 % 99.95 % 99.95 %
  27. 27. Tabela Time Santos Internacional Atlético MG Fluminense Grêmio Vasco São Paulo Botafogo Coritiba Cruzeiro Palmeiras Flamengo Corinthians Atlético GO Figueirense Bahia Ponte Preta Portuguesa Sport Náutico Pontos 3560 3450 760 580 4.4 0 370 250 150 140 100 60 40 30 30 30 6 1 1 1 1
  28. 28.  12 rodadas -> 10 jogos por rodada = 120 jogos  3 resultados possiveis(vitória,empate,derrota)  120x3 = 360  Cruzeiro = 97% de chances de ser campeão  360 -> 349 jogos
  29. 29. Quem tem mais chances
  30. 30. Mega-Sena
  31. 31. A Mega Sena é o jogo de loteria mais famoso no Brasil,onde os sorteios ocorrem duas vezes na semana. Na Mega-Sena você joga marcando de 6 a 15 números entre os 60 disponíveis na cartela. São sorteados 6 números e o valor destinado à premiação é distribuído nas seguintes proporções:  35% para os acertadores de 6 números (sena)  20% para os acertadores de 5 números (quina)  20% para os acertadores de 4 números (quadra).  Os 25% restantes são acumulados para serem distribuídos aos acertadores da Sena nos concursos de final 0 e 5. (Os concursos são numerados sequencialmente.)
  32. 32. Tabela preço x números jogados
  33. 33.  Fórmula usada: Onde:  n=número total de pedras a serem sorteadas  p=número de pedras “apostadas”
  34. 34. Probabilidade Jogando 6 Números C(60,6) = 60!/6!(60-6)! C(60,6) = 50.063.860 combinações  p = 1/50063860= 1,99x10^-8  Preço = R$ 2,00
  35. 35. Jogando 10 Números Ao jogar 10 dezenas para acertar 6, temos a seguinte combinação:  C(10,6) = 10! / (6!.(10-6)!) C(10,6) = 210 Então, ao jogar 10 dezenas, consegue-se 210 combinações (diferentes, lógico) de 6 dezenas. Então a chance de ganhar são de 210 em 50.063.860 Ou 1 chance em 238.400, isto é  p = 1/ 238.400 4,19.10^-4  Preço = R$420,00
  36. 36. Jogando 15 Números  JOGAR 15 números e acertar 6 números:  C(15,6) = 15! / (6!.(15-6)!)  C= 5005 combinações  p = 5005/50063860=0,09%  Preço: R$10010,00
  37. 37. É hora de testar a sorte!
  38. 38. Bibliografia  http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2c2.html  http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade  http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:Pesquisa_oper acional  http://afinaldecontas.blogfolha.uol.com.br/2012/05/26 /o-futebol-e-uma-caixinha-de-probabilidades/  Livro: Administração da Produção e Operações  Norman Gaither e Greg Fraizer – 8ª Edição
  39. 39. Grupo  Fábio Rocha  Jéssica Roza  Míriam Fabris  Pedro Pena  Priscila Belsoff

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