Barem Culegere evaluare nationala 2012

Evaluare Naţională 2011-2012 www.mateinfo.ro
Modele de subiecte
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE

Varianta 1 Prof Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 02012=0, 20120=1,mai mic este numărul 0 5p

ro
2. Resturile ce se pot obţine la împărţirea cu 6 sunt 0, 1, 2, 3, 4,5.Suma lor este 5p
15

75
Amplificăm raportul cu 25 şi se obţine 100 , ceea ce înseamnă 75%

o.
3. 5p

4. 900- 39045’=50015’ 5p

5. V cub =l3=125, l=5, d=5 3

nf 5p

6.
ei
Dacă notăm cu x numărul total de persoane ce participă la sondaj, atunci 5p

10
=
228 ⋅ x , x=2280; 25% din 2280 înseamnă 570 de persoane ce răspund
at
100
cu „Nu”
.m

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Patrulaterul ortodiagonal este patrulaterul ce are diagonalele perpendiculare 5p
w

2. 42-13=29 cărţi se găsesc pe raftul al doilea, 29+5=34 cărţi pe raftul al treilea, 2p
42+29+34=105 cărţi în total 3p
w

3. Notăm cu „a” numărul răspunsurilor corecte şi cu „b” numărul răspunsurilor 2p
greşite.Din textul problemei rezultă relaţiile: a+b=30 şi 5a-3b=110.
w

Inmulţind prima relaţie cu 3 şi adunând-o cu a doua, se obţine a=25 3p
răspunsuri corecte

4. a) f(x) = 3x-3. Se aleg de exemplu punctele de intersecţie cu axele de 2p
coordonate A(0, -3) şi B(1,0)
3p
şi se reprezintă într-un sistem de axe, dreapta AB

b) Pentru a determina punctul de coordonate egale, situat pe graficul funcţiei, 2p
3 3 3
rezolvăm ecuaţia f(x) =x; se obţine x = deci punctul va fi M( , )
2 2 2 3p

1

Modele de subiecte

5 x 2 + 11x + 30 x 2 + 6 x + 5 x + 11 2p
= =
x 2 + 12 x + 35 x 2 + 7 x + 5 x + 35
3p
( x + 6)( x + 5) x+6
= , (∀) x ∈  − {−7}
( x + 7)( x + 5) x+7

SUBIECTUL III (30 de
puncte)

ro
V cutie = 48∙ 24 ∙ 1 = 1152cm3
1. a) l=240 mm=24 cm; h=0,1 dm =1 cm; 3p

o.
2p

b) O duzină are 12 cutii de chibrite;

V cub =12∙V cutie =22∙ 3 ∙ 24∙ 3 ∙ 3 ∙ 23=29∙ 33= (23∙ 3 )3→ latura cubului va fi
2p

egală cu23∙ 3 =24 cm

nf
P P P 3p
P
ei
c) Aria totală a unei duzini este 6l2=6∙242=3456 cm2 2p

Dacă pentru ambalarea unei duzini sunt necesari 3456 cm2 hărtie atunci 3p
pentru 125 duzini vor fi necesari 125∙3456 cm2=432000cm2=43,20 m2
at
2. a) 21+15+9+9+11+5=70 stâlpi 5p
.m

b) A ABEF =372 m2, A BCDE =432 m2,A totală =804 m2; 2p
p
⋅ 804= 432 → p= 53, 73
100 3p
w

c) BE= 6 13 ≅ 6 ⋅ 3,5 =21m, 2p

3p
w

BE=28 ⋅10−4 ⋅t , t=15000s
w

2

Modele de subiecte

Varianta 2 Prof. Andone Elena
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -2 5p

ro
2. Fals;dacă ultima cifră a unui număr este 2, acesta nu poate fi pătrat perfect 5p

3. (68, 88)=4 5p

o.
4. P=4l=36, l=9 5p

nf
5. l 3 2 27 2 9 2 5p
V= = =
12 12 4

Din cele 100 pătrăţele ale figurii sunt colorate 52; p%100=52; p=52
6.
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Se desenează un cub cu muchia de 4 cm 5p
.m

2. Notăm cu „m” preţul unei mese şi cu „s” preţul unui scaun. 2p

3m+12s=576; m=4s; s=24 lei, m=96 lei 3p
w

3. 7a+5b+3c= 2p

(a+b+3c)+(3a+2b)=108+132=240 3p
w

4. a) f(2)=1→a+b+2=1→a+b=-1 1p
w

2p
g(2)=1→3b-a=1. Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii şi se obţine
a=-1 şi b=0→f(x)=-x+3 şi g(x)=1 2p

b) Se obţine după reprezentarea într-un acelaşi sistem de axe, un trapez 2p
5
dreptunghic cu bazele 2 şi 3 , înălţimea 1→A =
2 3p

3

Modele de subiecte

5 (a + 3) 2 − (a − 3) 2 2p
=
(2a + 3) 2 + (2a − 3) 2
(a + 3 − a + 3)(a + 3 + a − 3) 6 ⋅ 2a 6a
= =
4a + 12a + 9 + 4a − 12a + 9 8a + 18 4a 2 + 9
2 2 2
3p

puncte)

a) A t = 2∙ (𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 + 𝐿𝐿 ∙ ℎ + 𝑙𝑙 ∙ ℎ)=35100 cm2

ro
1. 5p

b) V=𝐿𝐿 ∙ 𝑙𝑙 ∙ ℎ =450 dm3=450 l

o.
5p

c) preţ total= 6 ∙ 3,51 ∙ 25 = 526,5 𝑙𝑙 𝑙𝑙 𝑙𝑙 5p

2.

nf
a) 72=(x+7)(x+1)→x=5→ AB=12 cm şi AD=6 cm

b) A ABC = A ABCD =36, EC mediană în triunghiul ABC→A AEC=18
5p

1
ei 5p
2

c) DF este bisecroarea unghiului ADC; aplicănd teorema bisectoarei în
at
5p
AF AD AF 1
triunghiul ADC→ = → = , AC = 6 5 → AF = 2 5
CF DC FC 2
.m
w
w
w

4

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -24+4= -20 5p

ro
2. 123, 153, 183 5p

3 {0,1,2,3,4} 5p

o.
4. m(B) = 0 − 240 ) : 2 = 0
(180 78 5p

nf
5. b=6, B=20, linia mijlocie va fi egală cu 13 5p

6. 32 8 5p
=P =
100 25
ei
SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Se va desena un paralelipiped dreptunghic respectând dimensiunile date 5p
.m

2. 1 5 5p
f(x) =ax+b, f(1) =2, f(-2) =1→a+b=2 şi -2a+b=1→ a = şi b =
3 3
w

3. x 2 7x 14 5p
Dacă = , atunci x =2k,y=3k→ =
y 3 7 x + y 17
w

4. a) 107: 3=35 rest 2, 107:4=16 rest 3, deci în sac pot fi 107 jucării 5p

b) x=3c 1 +2, x=4c 2 +3, x+1=12k, 300<12k-1<350, x+1∈{312,324,336,348} 5p
w

x∈{311, 323, 335,347}

5 9 x 2 + 12 x + 4 4 x − 5 (3 x + 2) 2 4x − 5 3x + 2 5p
⋅ = ⋅ =
16 x − 25 9 x + 6 (4 x − 5)(4 x + 5) 3(3 x + 2) 4 x + 5
2

puncte)

1. a) d2=L2+l2+h2→h=30 cm 5p

5

Modele de subiecte

b) CS ⊥ ( ESU ), SD ⊥ EU ; EU , ES ⊂ ( ESU ) → 5p

CD ⊥ EU (teorema celor trei perpendiculare); EU=50 cm, SD=24 cm, CD=
2 481

c) V apă =50∙ 40 ∙h apă , h apă =7,5 cm 5p

ro
2. a) ABCD trapez isoscel ortodiagonal→h=(b+B):2→CD=20 m 5p

o.
A ABCD =10000 m2=100 ari

b) A BMC =4000 m2=40% A ABCD 5p

c) P AMCD =220 +60 5 m

nf 5p
ei
(220 +60 5 ) ⋅ 12,5 ≅ 4427 lei
at
.m
w
w
w

6

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. x= -9 5p

ro
2. 5 zile 5p

3. 160 lei 5p

o.
4. 4 cm 5p

nf
5. 600 5p

6. 6 elevi 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Se va desena o prismă hexagonală regulată ce va fi notată 5p
ABCDEFA’B’C’D’E’F’
.m

2. Prin cardinalul unei mulţimi înţelegem numărul de elemente al acelei 1p
mulţimi.

1 4
Numerele raţionale din mulţimea A sunt -12; 3; 2,94; 0; şi .
w

2 2 3

Cardinalul mulţimii A ∩  este 6. 1
w

3. Dacă fiecare elev ar cunoaşte o singură limbă străină, atunci în clasă ar fi 35 2p
de elevi.
w

3p
Diferenţa 35-25=10 reprezintă numărul elevilor ce cunosc ambele limbi

4. a) A(1,4) ∈ G f ⇔ f(1) =4, B(-2,2) ∈ G f ⇔ f(-2) =2, 1p

după înlocuire se obţin relaţiile a+b=-4, -2a+b=2 2p

se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţii→a=-2, b=-2 2p

b) Se reprezintă într-un sistem de axe, de exemplu, punctele A(1,4) şi B(-2,2). 4p

7

Modele de subiecte

Dreapta AB reprezintă graficul funcţiei 1p

5 x2 + 6x + 5 x2 + x + 5x + 5 ( x + 5)( x + 1) x + 1 5p
= 2 = =
x + 2 x − 15 x + 5 x − 3 x − 15 ( x + 5)( x − 3) x − 3
2


ro
puncte)

1. a) CDAM este un trapez dreptunghic cu bazele AM=x, CD=9m şi înălţimea 2p
AD=8m.

o.
( B + b) ⋅ h
Aria unui trapez se calculează cu formula A=
2 1

nf
Înlocuind se obţine A DAMC = 4x+ 36 2

b⋅h 1p
ei
b) Aria triunghiului MBC poate fi calculată cu formula ,
2

înălţimea din C a triunghiului coincide cu înălţimea trapezului, deci are
at
lungimea 8 m şi baza este MB=15-x 2p

înlocuind se obţine A MBC = 4(15-x) 2p
.m

c) Fie MN ⊥ CD; CN=9-x=9-3=6m, MN=AD=8m 3p

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MNC se obţine CM= 10 2p
w

2. a) A l =2(Lh+lh)=1600 m2 5p

b) Suprafaţa vopsită este egală cu 2A l =3200 m2
w

2p

3200 ⋅ 0,025=80 kg 3p
w

c) 80 ⋅ 40=3200 lei ar costa vopseaua necesară 2p

20% din 3200=640 lei reducere

2p
3200-640=2560 lei a costat vopseaua
1p

8

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 17 5p

ro
2. 24 5p

3. 7 5p

o.
11

4. 1420 5p

5. 27 cm3

nf 5p

6. -30
ei 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Se desenează tetraedrul CORP 5p
.m

2. Numărul fetelor este 2 ⋅ 9=18 fete 2p

Numărul eelevilor este 9+18=27 elevi 3p
w

3. 7 5p
n= 63 − 7 3 + 147 − 2 7 − = 3 7 −7 3 +7 3 −2 7 − 7 = 0
7
w

4. x 3 2p
− 2 x =−6 − ⇒
2 4
w

3x 27 2p
a) − = ⇒ −
2 4 1p
x = 4,5

x y y 1p
= ⇒x=
2 4 2
x+ y 1p
b) = 12 ⇒ x + y = 24
2 2p
y
+ y = 24 ⇒ y = 16, x = 8
2 1p

9

Modele de subiecte

=
z xy= 16 ⋅ 8 8 2
=

5 (x+3)3- 25(x+3)= (x+3)(x+3-5)(x+3+5)= (x+3)(x-2)(x+8) 5p

puncte)

ro
1. a) A-B-C-D-E-F 22 km 5p

d 2p
b) d=v ⋅ t ⇒ t=
v

o.
1 1
distanţa AC=11 Km ⇒ t= h= ⋅ 60=10 minute 1p
6 6

nf
1p
1 1
distanţa CE=7 km ⇒ t= h= ⋅ 60=5 minute
12 12
ei
distanţa AE va fi parcursă în 15 minute 1p
at
c) 12800:500=25,6 4p

deci sunt necesare 26 de drumuri 1p
.m

2. a) A t =6l2=216 dm2=2,16 2p

216 dm2=2,16 m2 2p
w

deci sunt suficinţi 3 m2 1p
w

b) 2,16m2 ⋅ 3= 6,48 lei 5p

c) V=216 cm3=0,216 dm3<1 dm3 Deci nu încape 1l de suc. 5p
w

10

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 8 5p

ro
2. 2 5p
−
9

o.
3. -2,-1,0,1,2,3 5p

4. x2
x +1
nf 5p
ei
5. 36 2 5p
at
6. 3 feţe laterale şi două baze 5p

SUBIECTUL II (30 de
.m

puncte)

1. desen 5p
w

2. a+b=15, 1p

a=4b, 1p
w

Se rezolvă sistemul format din cele două ecuaţi ⇒ a=12, b=3 3p

3. 1− 3 = 3 −1 1p
w

1+ 3 = 3
1+ 1p

1 − 3 + 1 + 3= 3 − 1 + 1 + 3= 2 3 2p

1p
Rezultatul este număr iraţional

4. a)preţul după prima scumpire este de 300+20%300= 360 lei; 2p

preţul după a doua scumpire este de 360+ 10%360=396 lei 3p

11

Modele de subiecte

b) 300+30%300=390 lei 5p

5 256= (a-b)2=a2+b2-2ab; 2p

256=706-2ab 1p

2ab=450 1p

ro
ab=225 1p


o.
puncte)

1. a) ADCE=paralelogram; AD ⊥ DE, AD  CE ⇒ CE ⊥ DE ⇒  DCE 3p

nf
dreptunghic ⇒ DE= 5 3

tg (  DAB)= 3 ⇒ m(∢DAB)=600 2p
ei
b) EC=EB=5 cm, 2p

m(∢CBE) =600,deci triunghiul BEC este echilateral
at
3p

125 3 2p
c) Aria trapezului ABCD este cm2
.m

4

125 3 2p
Aria colii de hârtie este de 600 cm2>
4
w

1p
Deci poate fi decupat

a) V=L ⋅ l ⋅ h:2=4950 cm3
w

2. 5p

b) V 1 =22 ⋅ 15 ⋅ 20=6600 cm3 3p
w

V piatră =6600-4950=1650 cm3 2p

c) A sticla =A t -A b = 2550 cm2 5p

12

Modele de subiecte

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 7,(3) 5p

ro
2. 12 5p

3. 92,5g 5p

o.
4. 300 5p

nf
5. 9 3 5p

6. 6,65 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Inecuaţia este echivalentă cu 6x+2-10<4x+1 ⇒ 6x-4x<1+10-2 ⇒ 2x<9 4p

x este număr natural ⇒ x ∈ {0,1,2,3,4} 1
.m

2. Fie a preţul unui kg de banane şi b preţul unui kg de portocale 1p

14a+8b=86 1p
w

22a+24b=158 1p
w

Rezolvând sistemul format din cele două ecuaţii obţinem că 1 kg de banane 1p
costa 5 lei, un kg de portocale 2 lei,
1p
deci, 3kg banane şi 1 kg de portocale costă 17 lei
w

3. Raţionalizăm fiecare din termenii sumei cu expresiile conjugate 4p

Se obţine 121 − 1 =10 1p

4. a)2 x+1 ∈ { ± 1, ± 2, ± 3, ± 6} ⇒ 2x ∈ {-2,-3,-4,-7,0,1,2,5} ⇒ x ∈ {-1,-2,0,1} 2p
⇒ A={0,1}
2p
ecuaţia (2x+ 3 )(2-x 3 )=1 are soluţia x=1
1p

13

Modele de subiecte

A ∩ B={1}

b) -2 5p

5 (x+1)2+(y+3)2=0 3p

x= -1, y= - 3 2p

ro
puncte)

o.
1. a) A DMN = A ABCD – A DCM - A ADN –A MNB = 2p

=600-150-10(30-x)-5x= 150+5x 3p

b)150+5x=200 ⇒ 5x=50 ⇒ x=10

nf
aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ADN şi obţinem
2p

DN = 20 2
ei 3P

c) Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora ca triunghiul DMN este un 5p
at
triunghi dreptunghic în N

2. a) V=L ⋅ l ⋅ h=240000 cm3 5p
.m

b) Dreptele D’B şi AD sunt necoplanare, AD  BC, D’B ∩ BC={B} ⇒ unghiul 2p
dintre cele două drepte este unghiul D’BC.
2p
√5
w

Triunghiul D’BC este dreptunghic în C; D’B=50 5
cos D’BC= 5 ⋅ 1p
w

c)A t =2(l ⋅ L+L ⋅ h+l ⋅ h)= 1p

= 23600 cm2 4p
w

14

Modele de subiecte

Varianta8 Prof. Andrei Lenuţa
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 102 5p

2. 0 5p

ro
3. 770 5p

4. 25 5p

o.
5. 13 5p

nf
6. 30 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
ei
1. Desenează tetraedrul regulat 4p
Notează tetraedrul regulat MNPQ 1p
at
2. 10a-16b=a-b+9a-15b 2p
=17+3(3a-5b) 2p
=17+3·23=86 1p
.m

3. Notăm cu x numărul de probleme rezolvate în prima zi de Andrei ⇒ 2p
x+x+5+x+10+x+15= 110
4x+30=110 ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 (probleme a rezolvat Andrei în prima zi) 2p
In nicio zi numarul problemelor rezolvate nu este prim. 1p
w

4. a) f ( 0 ) = ⋅ 0 − 3 =−3 ⇒ A ( 0, −3)
3 1p
1p
f (1) = 3 ⋅1 − 3 = 0 ⇒ B (1, 0 )
w

Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în 2p
sistemul de axe xOy
Trasarea graficului funcţiei f 1p
w

b) A ( x, y ) ∈ G f ⇔ f ( x ) =
y 1p
x = y ⇒ f ( x ) = y ⇒ 3x − 3 = x 2p
3 3 3
2x = 3 ⇒ x = ⇒ A ,  2p
2 2 2

5 1  1
2

x + 2 = x +  − 2
2
3p
x  x
1
x 2 + 2 =7 2 − 2 =47 2p
x

15

Modele de subiecte

puncte)

1. DM ⊥ AB, M ∈ ( AB ) 

2p
a)  ⇒ AM =NB = m 10
CN ⊥ AB, N ∈ ( AB ) 

În ∆ADM m ( M ) = 900 şi m ( A ) = 450 ⇒ ∆ADM dreptunghic şi
1p
isoscel ⇒ AM = MD = 10 m

ro
= = 900m 2
AABCD
( AB + CD ) ⋅ DM 2p
2

AB ⋅ CN

o.
5p
=
b) A∆ABC = 500m 2
2

c) PABCD = AB + DC + 2 AD =180 + 20 2 3p

2.
2 PABCD = + 40 2 ≈ 416, 4m
360

T .P

nf
a) ∆ABC , m ( B ) = 0 ⇒ AC 2 =AB 2 + BC 2 =
2p

90
ei 10000 + 6400 =16400 2p
=
⇒ AC = 20 41 cm
16400
T .P
∆ACA′ , m ( A ) = 0 ⇒ AA′ 2 =A′C 2 − AC 2 = 20000 − 16400 = 3600 ⇒ AA′ =
at
90 60 cm 3p

b)Fie DM ⊥ D′ B, M ∈ ( D′ B ) ⇒ d ( D, D′ B ) =DM 1p
.m

DD′⋅ BD
DM = 2p
D′ B
60 ⋅ 20 41 12 41
= = = 6 82 cm
100 2 2 2p
w

c) 40l = 40000cm3 1p
Fie x înălţimea la care se ridică apa ⇒ V AABCD ⋅ x
= 1p
w

40000cm3 8000 ⋅ x ⇒ = 40000 : 8000
= x 2p
x = 5cm 1p
w

16

Modele de subiecte



SUBIECTUL I (30 de
puncte)

ro
1. 42 5p

2. (-∞;1] 5p

o.
3. 4 5p

nf
4. 192 5p

5. 26 5p
ei
6. 6 5p

SUBIECTUL II (30 de
at
puncte)

1. Desenează prisma triunghiulară regulată 4p
.m

Notează prisma triunghiulară regulată 1p

2. x 2p
Fie x suma pe care o are Nicoleta ⇒ 3 x + + 27 =
287
3
w

10 x 10 x
⇒ + 27 = 287 ⇒ = 260 2p
3 3
3
⇒ x= 260 ⋅ = 78 1p
w

10

3. 1 a− b 1p
=
w

a+ b a −b

2 −1 3− 2 2012 − 2011 3p
=
E + + ... +
2 −1 3− 2 2012 − 2011
1p
E =−1 + 2012

4. a) f ( 0 ) = ⋅ 0 − 2 = 2 ⇒ A ( 0, −2 )
3 − 1p
f (1) = 3 ⋅1 − 2 = 1 ⇒ B (1,1) 1p
Reprezentarea celor două puncte sau alte două puncte de pe grafic corect în 2p

17

Modele de subiecte

sistemul de axe xOy
Trasarea graficului funcţiei f 1p

b) Aflăm punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Oy ⇒ A ( 0, −2 ) 1p
Aflăm punctul de pe graficului funcţiei f care are ordonata egală cu 1
1p
⇒ B (1,1)
∆MAB este dreptunghic, deci distanţa de la M la graficul funcţiei f este

ro
înălţimea corespunzătoare ipotenuzei, MC ⊥ AB, C ∈ ( AB ) 1p

⇒ d (M ,Gf ) =
MC
Aplicăm teorema lui Pitagora în ∆MAB pentru a afla lungimea lui

o.
1p
AB ⇒ AB 2 = MA2 + MB 2 = 32 + 12 = 10 ⇒ AB = 10
MB ⋅ MA 3 ⋅1 3 10
MC = ⇒ MC = =

nf
AB 10 10 1p

5 4 x2 − 4 x + 9 y 2 + 6 y + 5 = 4 x2 − 4 x + 1 + 9 y 2 + 6 y + 1 + 3 1p
4 x2 − 4 x + 1
= ( 2 x − 1)
2
ei 1p
9 y 2 + 6 y + 1 ( 3 y + 1)
=
2
1p

( 2 x − 1) ≥ 0, ( 3 y + 1) ≥ 0
2 2
1p
at
4 x − 4 x + 9 y + 6 y + 5 >0
2 2 1p

.m

puncte)

1. a) Notăm VABCD piramida, O centrul bazei ABCD, M mijlocul laturii BC 1p
w

În ∆VOM ( m ( O ) = 900 ) ⇒ VO 2 = VM 2 − OM 2 2p

1p
OM apotema bazei ⇒ OM =
4m
w

1p
VO 2 = 2 − 42 = ⇒ VO = m
5 9 3
w

pb ⋅ a 1p
b) At =+ Ab , Al = p , Ab =
Al l2
2
2p
4 ⋅8⋅5
= = 80m 2
Al
2
Ab 64m 2 ⇒ A= 80m 2 + 64m 2 144m 2
= t = 1p
8 ⋅144m + 8 ⋅1m = m
2
11602 2 1p

Ab ⋅ h 1p
c) V =
3
64 ⋅ 3
= = 64m3
V 3p
3

18

Modele de subiecte

64:3=21,(3), deci pot sta 21 de personae în cort.
1p

2. a)Fie ABCD trapezul dreptunghic, AB=10m,CD=8m, m ( B ) = 600 , 1p
1p
CM ⊥ AB ⇒ MB=2m ⇒ BC=4 m
În ∆CMB, m ( M ) = 0 ⇒ CM 2 = 2 − MB 2 ⇒ CM 2 = 42 − 22 = 12
90 BC 2p
⇒ CM =
2 3
( )

ro
1p
PABCD = AB + BC + CD + AD = 10m + 4m + 8m + 2 3m = 2 11 + 3 m

b) AABCD =
( AB + CD ) ⋅ CM 2p

o.
2

=
(=
10 + 8 ) ⋅ 2 3
18 3m 2 ≈ 32m 2 3p

nf
2

c)32·17,50=580 lei<590 lei, deci sunt suficienţi 5p
ei
at
.m


w

SUBIECTUL I (30 de
puncte)
w

1. -3 5p

2. 9 5p
w

3. 5 5p

4. 44 5p

5. 6 5p

6. 169 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

19

Modele de subiecte

1. Desenează paralelipiped dreptunghic 4p
Notează paralelipiped dreptunghic 1p

2. Fie a,b,c suma primită de ocupantul locului I, al II-lea respectiv al III-lea 1p
⇒ a+b+c = 330
k k
{a, b, c} i.p {1, 2,3} ⇒ a = 2b = 3c ⇒ a= k , b= , c= 1p
2 3
k k 6k + 3k + 2k 11k
k + + = 330 ⇒ = 330 ⇒ = 330 ⇒ k= 180

ro
2p
2 3 6 6
1p
⇒ a = lei, b = 90 lei, c = 60 lei
180

3. Notăm a = n 2 + 5n + 2 1p

o.
⇒ = a ( a + 2 ) + = a 2 + 2a + 1
x 1
2p
( a + 1) = ( n 2 + 5n + 3) , deci x este pătrat perfect pentru orice n ∈  .
2 2
2p

4.
E (1)
a) = 
 1
+
1  2 ⋅1
:
 1+ 2 1− 2  1− 2
nf 1p

1 1  2 1 3 2
ei
= :
 + = :
 − 1p
 3 −1  −1  3 3  −1
2  1
=− ⋅  − 
at
3  2 2p
1
= 1p
3
.m

x−2+ x+2 2x 2p
b) E ( x ) = :
( x + 2 )( x − 2 ) x − 2
2x 2x
= : 1p
w

( x + 2 )( x − 2 ) x − 2
2x x−2 1
= ⋅ =
( x + 2 )( x − 2 ) 2 x x + 2 2p
w

5 A (1, m ) ∈ G f ⇔ f (1) =
m 2p
w

f (1) = 2 ⋅1 + 1 = 3 2p
m=3 1p

puncte)

1. a)A=L·l 1p
A=1500·100=150000 m 2 2p
A=15 ha 2p

b)9,375 tone grâu obținute de pe 3,75ha 5p

20

Modele de subiecte

c) 9,375t=9375kg 5p

2. AB
a) MN linie mijlocie în ∆ABC ⇒ MN || AB, MN
= = 3 cm, dar 2p
2
AB ⊥ AC ⇒ MN ⊥ AC
ME ⊥ ( ABC )  Th.3⊥

 ⇒ NE ⊥ AC ⇒ d ( N , AC ) =
NE 1p
MN ⊥ AC  

ro
Th. Pitagora
În ∆EMN , m ( EMN ) = 0
90 ⇒ EN 2 = 2 + MN 2 = 16 + 9 = 25
EM 2p
EN=5 cm

o.
AC ⊥ MN 
 5p
b) AC ⊥ EN  ⇒ AC ⊥ ( EMN )

nf
MN , EN ⊂ ( EMN ) 


( EAC ) ∩ ( ABC ) =
AC 

ei 3p
c) MN ⊥ AC , MN ⊂ ( ABC )  ⇒  ( ( EAC ) , ( ABC ) ) = , NE ) =
 ( MN MNE

EN ⊥ AC , EN ⊂ ( EAC ) 
at
cat.opusă ME 4
sin ( MNE ) = = = 2p
ip. NE 5
.m
w
w
w

21

Modele de subiecte

Prof. Anghel Mihăiţă Giorgică

VARIANTA 11
SUBIECTUL I 30 de
puncte
1 18 5p

ro
2 5 5p

3 10/3 5p

o.
4 3 5p

nf
5 14 5p

6 a=6 si b=2 5p

SUBIECTUL al II-lea
ei 30 de
puncte
1 Reprezentarea corectă a desenului 5p
at
2 ( 3 + 2 +1)2=6+2 6 +2 3 +2 2 2p
3p
2[(1+ 2 )(1+ 3 )+2]= 6+2 6 +2 3 +2 2
.m

3 l=0,25 3p
A=0,0625m2 2p
w

4 a) f(2)=2 3p
2+m=10 , m=8 2p
b) A(0,6) B(3,0) 3p
w

Reprezentarea corectă a graficului 2p
5 15 lei 5p

SUBIECTUL al III-lea 30 de
w

puncte
1 a) BC=4 2 cm 5p

b) A=(B+b)h/2 3p
A=24 cm2 2p
c) 450 5p

2 a) AB=12m 3p
h=3 3 m 2p
b) A t =A l +2A b 3p
A t =12(18+ 3 )m2 2p
c) V=108 3 m3 3p
486 duble 2p

22

Modele de subiecte

VARIANTA 12

SUBIECTUL I 30 de
puncte

ro
1 2 5p

2 b 5p

o.
3 x=11 si y=1 5p

4 1 5p

5 d= 119 cm

nf 5p

6 A=3 3 cm2
ei 5p

SUBIECTUL al II-lea 30 de
at
puncte
1 Realizarea corectă a desenului 5p

2 x+y=30; 15x+20y=500 2p
.m

20 duble 3p
3 2+3*5+4*7=45 2p
a=2, b=5, c=7 3p
4 a) 4 a=6b 2p
w

a=3 si b=2 3p
b)M a = (a+b)/2 2p
M a =2,5 3p
w

5 E(x)=(4x2+4x)(4x2+4x+2) 2p
E(x)=8x(x+1)(2x2+2x+1) 3p
w

puncte
1 a) 2a+b=0 ; - a+b= - 6 3p
f(x)=2x- 4 2p
b) A(0; - 4) B(2; 0) 3p
Reprezentarea corecta a graficului 2p
c) x=4 5 /5 u 5p

2 a) V=A b h=80m3 3p
80: 40=2m3 2p
b) V=A b h 3p
V=32 3 m3 2p
c) A=64m2 3p
1920 ţigle 2p

23

Modele de subiecte


VARIANTA 13

SUBIECTUL I 30 de
puncte

ro
1 6 5p

2 8 5p

o.
3 15 5p

4 л 5p

nf
5 22 5p

6 2ha 5p
ei
SUBIECTUL al II-lea 30 de
puncte
1 72m2 5p
at
2 t=12 5p
.m

3 M+C=4,10 (1) 3p
M+D=4,30 (2)
C+D=5,20 (3)
Adunând cele trei relaţii obţinem
w

2M+2C+2D=13,60 ⇒ M+C+D= 6,8 înlocuind în această relaţie relaţia (1)
obţinem D= 2,70 lei
Din relaţia (2) obţinem M= 1,60 lei 2p
w

Din relaţia (3) obţinem C= 2,50 lei

4 a) f(6)=6m+5=8 3p
w

m=0,5 2p
T .P 3p
Fie B = prOx A ⇒  AOB, m ( B ) = 0 ⇒ AO 2 = 2 + AB 2 ⇒
90 BO 2p
AO 2 = 62 + 82 = 100 ⇒ AO = 10 u.m
5 5. z − 1 ≤ 8 ⇒ −8 ≤ z − 1 ≤ 8 ⇒ −7 ≤ z ≤ 9 ⇒ z ∈ [ −7,9] 5p

pu
nc
te
1
( ) 3p
T .P
a) VOM , m ( O ) = 900 ⇒ VM 2 = 242 + 3 3
2
= 603 ⇒ a p = 3 67 dm 2p

24

Modele de subiecte
3 ⋅18 ⋅ 3 67
=Al = 81 67 dm 2
2
l2 3 3p
b) Ab = 81 3dm 2
= 2p
4
At = Al + Ab = 81 67 dm 2 + 81 3dm 2 = 81 ( )
67 + 3 dm 2
Ab ⋅ h 3p
=
c) V = 648 3dm3 2p
3

ro
2 a) (AB+MC) CB=3AD*DM 3p
DM=30cm 2p

o.
b) Perimetru AB+BC+CM+MA 3p
P=180cm 2p
c) PQ=(AB+MC)/2 2p
PQ=45cm 3p

nf
ei
at
.m
w
w
w

25

Modele de subiecte

Varianta 14 Prof. Badea Daniela
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. -99 5p

2. -4 5p

ro
3. 20 5p

4. 36 5p

o.
5. 12 5p

500

nf
6. 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
ei
1. Desenează tetraedrul 4p
Notează tetraedrul 1p
at
2. 2
S suma primită; mama îi dă S + 5 lei 1p
3
60  1  S
tata îi dă ⋅  S − 5  + 3 = lei
.m

1p
100  3  5
2 S 2S 2p
ecuaţia este S + 5 + + 25 = S ⇔ = 30
3 5 15
S = 225 lei. 1p
w

3. 11x − 2 y = 40 3p

20 x − 19 y =42
w

x = 4 2p

y = 2
w

4. a) x ∈  − {0;1} 1p
x ( x − 1)
E ( x ) = ( x + 1) : ( x − 1) − 1 ⋅
  2p
8
x + 1 − x + 1 x ( x − 1)
E ( x)
= ⋅ 1p
x −1 8
Finalizare 1p

42012 − 1 3p
( ) ( ) ( )
b) E ( 4 ) +E 42 +E 43 +....+E 42012 =1+4+42 + ... + 42011 =
3

26

Modele de subiecte

4 ⋅ E ( x − 1)
4 x −1 x −1 1p
=⋅ =
3 3 4 3
4 −1 x −1
2012 1p
= ⇔ = 42012
x
3 3

5. f :  → , f ( x ) =
ax + b 1p
G f ∩ Ox = { A ( 2, 0 )} ⇔ f ( 2 ) = 0 ⇔ 2a + b = 0 1p

ro
G f ∩ Oy = B ( 0, −6 )} ⇔ f ( 0 ) = 6 ⇔ b = 6
{ 1p
− −
a=3 1p
f ( x= 3 x − 6
) 1p

o.
puncte)

1.
At = 2 ( Ll + Lh + lh )= 796cm 2
nf
a) d 2 = L2 + l 2 + h 2 ⇔ 676 = 64 + 36 + h 2 ⇔ h = 25 2p
2p
= Llh 1200cm
V = 3
ei
1p

b) PQ ⊥ D`B, Q ∈ D`B ⇒ d ( P, D`B ) =
PQ 1p
at
D`P 2 D`P 2
= ⇔ = D`P=10cm
⇒ 1p
DP 3 D`D 5
∆D`PQ  ∆D`BD ( caz I ) 1p
.m

D`P PQ D`Q 10
⇒ = = = 1p
D`B BD D`D 26
50 1p
PQ= cm
13
w

(
AAPD' ⋅ d M , ADD ' )
w

VAMPD' =VMAPD' = 1p
3

c)
( )
d M , ADD ' = MN , N mijlocul lui AD ' ⇒ MN = ( ) AB
= 3cm 2p
w

2
AD ⋅ PD ' 1p
=
AAPD' = 40cm 2
2
1p
VMAPD' = 40cm3

2. a)AM=MT= 4 2m ; TN=NB= 2 2m 2p
(
L= 2 4 2 + 2 2 =12 2m) 3p

b) R ` = 6m; R=4m; r=2m 1p

27

Modele de subiecte

π
=
S1
2
( )
R `2 + r 2 − R 2 12π m 2  37,8m 2
= 2p

S 2 = 2TN ⋅ 0,5 = 2 2m  2,82m 2 1p
S =  37,8 − 2,82=34,98m 2
S1 − S 2 1p

c) Lr = 2π R`=12π m  37,8m=3780cm 1p
3780:30=126 (arbuşti pe circumferinţa rondului) 1p

ro
La = π ( R+r ) =6π m  18,9m=1890cm 1p
1890:30=63(arbuşti) 1p
Finalizare: 126+63-1= 188 arbuşti 1p

o.

nf

SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. x
ei 5p

2. 9 5p
at
3. 2 5p

4. 7 5p
.m

8

5. 36 5p
w

6. 36 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)
w

1. Desen 4p
Notaţii 1p
w

2. x+ y+ z +t 1p
= 1904
4
3 3 3
= = =
x y; y z; z t 1p
5 5 5
27 9 3
t + t + t +t= 1904 ⇔ t 875
= 2p
125 25 5
= 189; y 315; z
x = = 525 1p

3. a + 6b = 77 ⇔ a + 2b = 77 − 4b 1p
( a + 2b )11 ⇔ ( 77 − 4b )11 1p

28

Modele de subiecte

( 77 − 4b )11
 1p
 ⇒ 4b 11
77 11 

finalizare 2p

4. a) G f  Gg =} ⇒ f ( 5 ) = g ( 5 ) =
{M 6⇒ 6 1p
1p
N (1;-2 ) ∈ Gg ⇔ g (1) =
−2
5m + n =

ro
6
 2p
m + n = 2
−
g ( x) 2x − 4
= 1p

o.
b) G f  Oy = ⇒ f ( 0 ) = A ( 0;1)
{A} 1⇒ 1p
1p
Gg  Oy = B} ⇒ g ( 0 ) = 4 ⇒ B ( 0; − 4 )
{ −

nf
AB ⋅ hM 2p
AMAB =
2
25
AMAB = 1p
2
ei
5 2p
( x − 2) + 9 ≥ 9= 3, ( ∀ ) x ∈ 
2
x 2 − 4 x + 13=
at
( y + 3) + 25 ≥ 25 = 5, ( ∀ ) y ∈ 
2p
2
y 2 + 6 y + 34 =
N ≥ 8, ( ∀ ) x, y ∈  ⇒ valoarea minimã este 8. 1p
.m

puncte)

1. a) cercurile au diametrul de 24 cm 1p
w

120:24=5 1p
85=24 ּ◌3+13=24 ּ◌3+12+1 1p
Total 35 coşuleţe (semidiscuri) 2p
w

b) ∆VAB isoscel cu m ( AVB ) =
450 1p
∆VNB dr.isoscel ⇒ VN=NB=6 2 1p
w

∆ANB dr. ⇒ AB = 12 2- 2cm
l= 1p
1, 41 < 2 < 1, 42 ⇒ 0,58 < 2 − 2 < 0,59 1p
⇒ 83,52 < l < 84,96 ⇒ 9 < l < 10 ⇔ 9 < l < 10
2 2 2 2 1p

c) ∆MAB echilateral 1p
din b )
p = 4MB = 4l ⇒ 36cm < p < 40cm 1p
1p
1260cm < 35 p < 1400cm
1p
1260cm 12, 6m > 12m
=
1p
Nu sunt suficienţi 12m de pamblică

29

Modele de subiecte

2. a) DB l = 24 2cm
= 2 1p
∆BCD echilateral ⇒ BC = 2cm
24 1p
( ) (
PABCD =2 ( AB+BC ) 2 24 + 24 2 =48 1+ 2 cm
= ) 1p

= AO+OC 12 2+12 6cm
AC = 1p
(
L=PABCD +BD+AC = 12 4 + 7 2 + 6 cm) 1p

ro
b) SABCD =SABD + S BCD 1p
l2
=
SABD = 288cm 2 1p
2

o.
S BCD = 288 3cm 2 1p

(
S= 288 1 + 3 cm 2
ABCD ) 2p

nf
c) SMNPQ =AC ⋅ BD 2p
AC ⋅ BD
ABCD ortodiagonal ⇒ SABCD = 1p
2
ei
SABCD 1 2p
=
SMNPQ 2
at
.m


SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 1 5p
w

2
2. 6 5p
w

3. 20 5p

4. 7 5p
w

5. 12 2 5p

6. 2200 5p

SUBIECTUL II (30 de
puncte)

1. Desen 4p
Notaţii 1p

30

Modele de subiecte

2.
( ) 3p
2
7− 3 − 7 + 2 21
10 − 2 21 − 7 + 2 21 =3 2p

3. E ( x ) =8 x + 16
− 3p
1p
E ( x ) = 0 ⇔ −8 x + 16 = 0
1p
x=2

ro
4. a) x = nr. vaze cu câte 3 fire; y = nr. vaze cu câte 5 fire 1p
x + y = 40
 2p
3 x + 5 y =154

o.
 x = 23

 y = 17
2p

nf
b) 154 = 2 ⋅ 7 ⋅11 1p
mulţimea divizorilor lui 154 mai mici ca 17 este {1, 2, 7,11,14} 2p
nr. minim de vaze : 154:14=11 2p
ei
5 f ( −2 ) =5 ⇒ A ( −2;5 ) ∈ G f , 1p
Reprezentarea punctului A 1p
at
f ( 3) = 5 ⇒ B ( 3; −5 ) ∈ G f
− 1p
Reprezentarea punctului A 1p
1p
.m

Trasarea graficului

puncte)

a) 2 = a 2 ⇔ a x 2
=
w

1. x 3p
l = 2 ( x + a ) = 2x 1+ 2 ( ) 2p
w

b) P = ⋅ 2 ( x + a ) = x 1 + 2
8 16 ( ) 2p

P = ⋅10
16 ( )(
2 −1 1+ 2 ) 1p
w

P = 160cm 1p

( )
a2 1p
c) S ABCDEFGH = l − 4 ⋅ = 8 x 2 1 + 2
2

2
( )
1p
S paralelogram= ( 2 x + a ) ⋅ a ⋅ sin 450= x 2 2 + 2

( ) (
St = 8 x 2 1 + 2 + 8 x 2 2 + 2 = 8 x 2 3 + 2 2 ) ( ) 1p

( ) (3 + 2 2 ) =
2
St =
8 ⋅100 2 −1 800cm 2 2p

31

Modele de subiecte

2. a) 2p
MN ⊥ ( ABC ) 
 T 3⊥
PN ⊥ BD  ⇒ MP ⊥ BD ⇒ d ( M , BD ) =
MP

PN , BD ⊥ ( ABC ) 

∆MNP, N = 1dr 
 T . P. 3p
= 6  ⇒ MP 3 6cm
=

ro
MN
AC 
NP = 3 2 
=
4 

o.
b)
( DÀC )  ( ABC ) = AC 

DÒ ⊥ AC , DÒ ⊂ ( DÀC )  ⇒ m (  ( DÀC ) , ( ABC ) ) = )
m ( DÒD

nf
2p

DO ⊥ AC , DÒ ⊂ ( ABC ) 
T . P. 1p
∆DÒD, D = dr ⇒ DÒ = 6
1 6
ei
DD` 12 6
=
sin O = = 2p
DÒ 6 6 3
at
DE ⊥ DÒ  3p

c) AC ⊥ ( DÒD ) 
  ⇒ DE ⊥ ( DÀC ) ⇒ d ( D, ( DÀC ) ) =
DE
 ⇒ AC ⊥ DE 
.m

DE ⊂ ( DÒD ) 
 
DO ⋅ DD`
= = 4 3cm
DE 2p
DÒ
w
w
w

32

Modele de subiecte

Varianta 17 Prof. Badea Ion
SUBIECTUL I (30 de
puncte)

1. 2 5 5p

ro
2. 75 5p

3. 1 5p

o.
4. 8 5p

nf
5. 18 2 5p

6. 893 5p
ei
SUBIECTUL II (30 de
puncte)
at
1. Desen cercuri tangente exterioare 3p
Desen tangentă comună 2p
.m

2. 10 muncitori.............. 7 zile  i. p. 2p
⇒
14muncitori............... x zile 
10 ⋅ 7
=x = 5 2p
w

14
3 + 5 = zile
8 1p
w

3. 13 | abc ⇔ 13 |100a + 10b + c 1p
⇔ 13 | 91a + 13b + ( 9a − 3b + c ) 2p
⇔ 13 |13 ( 7 a + b ) + ( 9a − 3b + c )
w

1p
⇔ 13 | 3a − 3b + c 1p

4. a) G f  Gg ={M } ⇔ f ( x ) =g ( x ) 1p
⇔ 3x + 1 = 1 − 3x 1p

⇔ 2 3x = 0 ⇔ x = 0 2p

⇒ M ( 0,1) 1p

33

Modele de subiecte

b) A ( )
3, 4 ∈ G f 1p

( )
1p
B − 3, 4 ∈ Gg
1p
∆MAB isoscel (MN înălţime şi mediană)
∆MAN dr.  1p
 MN 3
N=1dr  ⇒ tgA = = = 3
 AN 3
MN=3,AN= 3 

ro
1p
⇒ m ( A ) = ⇒ m ( AMB ) =
600 600

5
(1 + ) (
2 − 3 + 11 + 7 1 + 2 − 3 + 11 )

o.
A= 1p
1 + 2 − 3 + 11
1p
⇔ A=+ 7
1

nf
22 < 7 < 32 ⇔ 2 < 7 < 3 / + 1 1p
⇔ 3 < 1+ 7 < 4 1p
⇔ A ∈ ( 3; 4 )
ei 1p

at
puncte)

1. a) fie SO ⊥ ( ABD )
.m

⇒ ∆SOA ≡ ∆SOB ≡ ∆SOC ≡ ∆SOD ( I.C.) 2p
⇒ OA = OB = OC = OD ⇔ O centrul bazei
(pătrat)
⇒ SABCD regulată
w

1p
∆SBD dr.is ⇒ SO=5 2 2p
Ab ⋅ h 102 ⋅ 5 2 500 2
= = =
w

V cm3
3 3 3

b) PPBD minim ⇔ PB şi PC au lungime minimă 1p
w

⇔ PB ⊥ SC şi PD ⊥ SC 1p
∆SBC echilateral ⇒ BP mediană 1p
⇒ P mijlocul lui ( SC )
1p
1p
⇔ SP=5 cm

c) ∆PBD isoscel ⇒ PO ⊥ BD 1p
( PBD )  ( ACD ) = BD 

PO ⊥ BD, PO ⊂ ( PBD )  ⇒ m (  ( PBD ) , ( ACD ) ) = )
m ( POC 2p

CO ⊥ BD, CO ⊂ ( ACD ) 

34

Barem Culegere evaluare nationala 2012

Barem Culegere evaluare nationala 2012

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Barem Culegere evaluare nationala 2012

Similar to Barem Culegere evaluare nationala 2012 (20)

Barem Culegere evaluare nationala 2012