Espacios Vectoriales

1. 1 1 2 3
2 1 2 3
1
1
2
2
3
3 2 4
5 8
Codomio
3 2 4
es la matriz estandar de T
5 8 1
sea
w x x x
w x x x
Dominio
x
w
x X W
w
x
A
  
  
 
  
   
  
 
 
  
 
*

2. respecto al eje
(x, y) (x, y)
1 0
0 1
respecto al eje
T(x, y) ( x, y)
respecto a la recta y = x
T(x,y)=(y,x)
x
T
A
y
 
 
  
 
 
*

3. Reflexion respecto al plano xy
T(x,y,z)=(x,y,-z)
Reflexion respecto al plano xz
T(x,y,z)=(x,-y,z)
Reflexion respecto al plano yz
T(x,y,z)=(-x,y,z)
*

4. Proyeccion Ortogonal en x
(x, y) (x, 0)
Proyeccion Ortogonal en y
T(x,y)=(0,y)
Proyeccion en el espacio Ortogonal
T(x,y,z)=(x,y,0)
T(x,y,z)=(x,0,z)
T(x,y,z)=(0,y,z)
T 
*

5. *
Rotacion en el Plano
cos sin
A=
sin cos
Rotacion sobre el eje x
1 0 0
A= 0 cos sin
0 sin cos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rotacion sobre el eje y
cos 0 sin
A= 0 1 0
sin 0 cos
Rotacion sobre el eje z
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 

6. Contracciones
(x, y) (kx, ky)
con 0<k<1
0
A=
0
Dilataciones con k>1
(x, y) (kx, ky)
T
k
k
T

 
 
 

 1 2 3
Composicion
T T To
*

7. *
𝑠𝑒𝑎 𝑉 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎
𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟. 𝑉 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:
* 𝑒𝑣1)𝑠𝑖 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉
* 𝑒𝑣2)𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
* 𝑒𝑣3)𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤
* 𝑒𝑣4)∃! 0 𝑒 𝑉, 𝑢 + 0 = 𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑢 ∃ 𝑉
* 𝑒𝑣5)∀ 𝑢 ∈ 𝑉, ∃ − 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣 + −𝑣 = 0
* 𝑒𝑣6)𝑘𝑢 ∈ 𝑉 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑘
* 𝑒𝑣7)𝑘 𝑢 + 𝑣 = 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣
* 𝑒𝑣8) 𝑘 + 𝑚 𝑢 = 𝑘𝑢 + 𝑚𝑢
* 𝑒𝑣9)𝑘 𝑚𝑣 = 𝑘𝑚 𝑣
* 𝑒𝑣10)1 ∗ 𝑢 = 𝑢

8. *
𝐸𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑊 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑉 𝑠𝑖:
*a)𝑠𝑖 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊
* 𝑏)si k es un escalar y u ∈ 𝑊 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑘𝑢 ∈ 𝑊
* 𝑐)𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
* 𝑑)𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛

9. *
𝑉 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒1 𝑦 𝑒2
𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒1 + 𝑦𝑒2
𝑍 = 𝐶1 𝑤 + 𝐶2 𝑉

10. *
* 𝑆𝑒𝑎 𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 V
𝐴𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒
𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑟 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝐺𝑒𝑛{𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑟}
𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑟
a)𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑖 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑎 𝑅 𝑛 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖
b)𝐼𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐 𝑟
1 2{v ,v ,...,v }n
rGen¡

11. *
*Si para cualquier combinación lineal de los
vectores iguala a cero, los escalares
correspondes a cero entonces se dice que son
linealmente independientes.
*Si 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑟No todos son cero entonces son
linealmente dependientes.
.dl
.il

12. *
*Sea V un espacio vectorial real y sea
un conjunto de vectores de V. Entonces
es una base para V si
a)
b)
1 2,...,{v ,v v }n 

es . .i l
( )Gen V 