2. 1.Sarrera
Orain arte E eta B kteak aztertu ditugu
Badirudi fenomeno elektriko eta
magnetikoak independenteak direla
Baina zer gertatzen da B(t) bada?
(denborarekin aldatu)
LENZ & FARADAY : Baldin B(t) E
Indukzio elektromagnetikoaren
fenomenoa bi zientzialarik
deskubritu zuten, M. Faraday-ek eta
J. Henry-k, ia aldi berean 1830-ean,
baina bakoitzak bere aldetik.
4. 2.Indukziorako Faraday-ren legea
Esperimentu hauetatik ondorioztatzen da:
B(t) aldakorra Eremu elektriko bat sortu Indar elektroeragilea (i.e.e.) induzitu!
md
dt
Φ
ε = −
Minus zeinuaren esanahia: fluxu
aldaketari opozizioa.
Lenz-en legea (korronte induzituaren
noranzkoa eman)
(aldaketari aurka egiten dio)
∫∫∫∫ ⋅=⋅=Φ
SS
m dSnBSdB ˆ
ε: induzitutako i.e.e
φ: eremu magnetikoaren fluxua zirkuituan zehar:
Unitateak : Weber= T.m2
(Wb)
5. 2. Faraday-ren indukzio legea
Eremu magnetikoaren fluxua aldatzeko arrazoiak:
1. Eremu magnetiko aldakorrak (B(t)): Transformadore iee.
2. Zirkuituaren translazio edo errotazio higidura eremu magnetiko konstantea
izanda: Higidura iee.
3. Zirkuituaren deformazioa.
4. Aurrekoen konbinazioa.
• Eremu magnetiko baten fluxua espira eroale batetan zehar denborarekin aldatzen
denean, indar elektroeragile bat eragiten da.
• Korronte honek sortutako eremua fluxu magnetikoaren aldaketari kontra egiten dio.
∫∫∫ ⋅−=
Φ
−=⋅=
S
m
c
SdB
dt
d
dt
d
ldE
ε Faraday-ren legea
forma integralean
t
B
ESd
t
B
E
S
∂
∂
−=×∇→=
∂
∂
+×∇∫∫
0)( Faraday-ren legea
forma diferentzialean
8. 3.Indukzio fenomenoak
1. Eremu magnetiko aldakorrak (B(t)): Transformadore iee.
2. Zirkuituaren translazio edo errotazio higidura eremu magnetiko konstantea izanda:
Higidura iee.
1. Transformadore i.e.e.
S sekzioko solenoide bat:
dI
dt
> 0
SB
( )
dt
dI
nS- μn I Sμ
dt
d
-
dt
dΦ
- ooε ===
0
o
=
=
B
nIB µ barruan
kanpoan
Espiran induzitutako i.e.e:
I
Baldin I aldakorra:
dt
dΦ
-ε =0
t
>
∂
∂I
9. 3. Indukzio fenomenoak
Zirkuito baten translazioari esleitutako i.e.e:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
x
B =0B
εind
R
I
Fm
v
F
ext
( ) ( )
- Bbv
dt
dx
- Bb
Bbx
dt
d
-B·S
dt
d
-ε
==
===
Induzitutako i.e.e:
(Bakarrik induzitzen da iee espira B-n
sartzen edo irtetzen ari denean)
R
Bbv
I = eta beraz, indar magnetikoa:
R
vbB
IBbFm
22
==
higiduraren aurkakoa
marruskadura magnetikoa
( )
R
Bbv
vFvFvFP mextextmekanikoa
2
.. ===⋅=
( )
R
Bbv
RIPelek
2
2
. ==
Kanpo indarrak emandako potentzia:
Joule efektuaren ondorioz kontsumitutako potentzia:
mekelek PP =.
2. Higidura i.e.e. (translazioa)
10. 3. Faraday-ren generadorea Higidura i.e.e. (errotazioa)
Energia mekanikoa energia elektriko bihurtzen du.
a
b
I
I
⊗ B
n
F
F
F'
F'
ω
F'
F'
n
B
θ
Espira goitik ikusita
ω
( )ω tBabθBabΦ coscos ==
( )tsin
sin
ωω
θωε
Bab
Bab
dt
d
=
==
Φ
−=
Induzitutako i.e.e:
Induzitutako korrontea:
R
Bab
R
I
θωε sin
==
Indar magnetikoa: ( )BxlIF
=
Alde horizontaletan:
Alde bertikaletan:
F IbB cosθ=
F IaB=
Alde bertikaletako indarrek indar momentua sortu:
0 sin sinr F b IaB IabB tτ θ ω= × = × × =
Higidurari
aurka
3. Indukzio fenomenoak
M =
11. ( )
R
θBabω
RIPelek.
2
2 sin
==
Potentzia elektrikoa:
ω = kte mantentzeko, momentu berdina aurkako noranzkoan aplikatu behar zaio.
Potentzia mekanikoa:
2
sin( ) ( sin( ))
P sin( ) sin( )mek
Bab t Bab t
M IBab t Bab t
R R
ω ω ω ω
ω ω ω ω ω= = = =
mekelek PP =.
Eraztun birakorrak, espiraren
ertz bietan lotuta
BEskobila finkoak
Zirkuitura
Korrontea jaso eta erabili ahal izateko…
ω
Korronte alternoko generadore
edo sorgailua
ω
Korronte jarraituko generadore
edo sorgailua (Dinamo)
Bi delgadun kommutador
B
3. Indukzio fenomenoak
12. 4. Motore elektrikoak
Espira birarazi beharrean, espiratik korronte bar zirkularazten baldin badugu Espirak biratu!!
Motore
elektrikoa
Energia elektrikoa energia mekaniko bihurtzen du.
F
F
I
I
B
ε
B
ω
3. Indukzio fenomenoak
13. Translazio linealeko motorea:
3. Indukzio fenomenoak
R
ε
I
B
mF
v
magF BbI=
Barra v abiaduraz higitzen bada iee induzitu:
barra eroale higikorra b luzeraduna
Bbvind =ε kanpo iturriaren (ε) aurkako noranzkoan.
Korronte intentsitatea txikiagotu
RIind =−εε I=(ε−Bbv)/R ( )Bbv
R
Bb
Fmag −= ε Motore linealaren ek.
Errotazioa dagoenean indar momentua (parea) M
( )magM
R
Φ
Φωε= −
vFRIBbvIRII mag
22
+=+=ε
Zergatik berotzen dira motoreak?
Fmv: potentzia mekanikoa
Joule efektua: beroketa
emandako potentzia
Motorraren fluxu konstantea
15. 4. Indukzio koefizienteak
Ci bakoitzetik Ii eta beraz Bi sortzen du. Ci
Cj Ii
Ij
Bi
( )i j i jS j
B r dSΦ → = ×∫∫
0
2
4
i
i j i jS j
dl r
I dS
r
µ
Φ
π
→
×
= ×
∫∫ ∫
Ñ
0
2
( )
4
i i
i
I dl r
B r
r
µ
π
×
= ∫
Ñnon
Elkar-indukzio koefizientea Mij
Ci eta Cj zirkuituen artean
Bi zirkuituen artean “magnetikoki
akoplatzeko duten gaitasuna”
[Mij –ren unitatea Henrioa (H=Wb/A) da]
Mij simetrikoak dira: Mij = Mji
Cj -k jasaten duen fluxu totala: induzitutako i.e.e:⇒= ∑=1
N
i
iijj
IMΦ ∑
=
−=−=
N
i
i
ij
j
j
dt
dI
M
dt
dΦ
ε
1
Mjj -ri auto-indukzio koefizientea deritzo Lj = Mjj (zirkuitu batek bere buruari)
16. 5. Energia magnetikoa
Energía Magnetikoa: zirkuitu estatiko batean korrontea sortzeko beharrezkoa den
lan alderanzgarria.
- L autoindukziodun zirkuitu batean:
dt
di
-LεLIΦ =⇒=
IΦLILi dii dtPdtU
I
m ε
2
1
2
1 2
0
===−=−= ∫∫∫Energía Magnetikoa:
- N zirkuitu dauzkagunean:
ii
N
1i
m I
2
1
U Φ∑
=
=
Adibidea: N espiradun solenoide ideal bat.
I
N
InB oo
µµ ==
N
B
I
oµ
=
Bestalde fluxua denez:BSNΦ =
S
μ
B
BSN
Nμ
B
IΦU
oo
m
2
2
1
2
1
2
1
===
Solenoidearen
bolumenaEnergia magnetikoaren dentsitatea ρM
- 2 zirkuitu dauzkagunean:
21
2
22
2
11
2
1
2
1
IMIILILUm ++=
*
17. Maxwell-ek behatu zuen Ampereren legea ez zela baliagarria korronte
aldakorrekin.
6. Desplazamendu korrontea eta Maxwell-en
ekuazioak
0 ingc
B dl Iµ× =∫
rr
Ñ
Aldaketa proposatu:
Id Maxwell-en desplazamendu korrontea definitu: d o
S
d
I E dS
dt
ε= ×∫∫
rr
C-k mugatutako azalera
eta Ampere-ren legea berridatzi: ( )o d o o oC
S
d
B dl I I I E dS
dt
µ µ µ ε× = + = + ×∫ ∫∫
r rr r
Ñ
Ampere-Maxwell-en legea
Beraz…
FARADAY-REN LEGEA Eremu elektrikoa induzitu (E).
AMPÈRE-FARADAY-REN LEGEA (edo ) Eremu magnetikoa induzitu (B).
MAXWELL-EN EKUAZIOAK
barne
S o
Q
E ·dS =
ε∫
rr
Ñ
S
B ·dS =0∫
rr
Ñ
C S
d
E ·dl = B ·dS
dt
−∫ ∫∫
r rr r
Ñ
( )o d o o o
C S
d
B·dl = I+I = I + E·dS
dt
µ µ µ ε∫ ∫∫
r rr r
Ñ
Faraday-ren legea
Gauss-en legea B-rentzat
Gauss-en legea E-rentzat
EREMU ELEKTROMAGNETIKOAREN OINARRIZKO LEGEAK
