Integral tertentu cos^5x dapat diselesaikan dengan teknik substitusi, yaitu dengan mengganti cos^5x menjadi fungsi sin^2x dan cosx lalu mengganti variabel integrasi menjadi du.

3. Integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan
mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval
tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian
bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung
dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Definite integral is a number that magnitude is determined by taking the limit of
Riemann sum, which is associated with a norm closed interval partition approaches
zero, the fundamental theorem of calculus (see below) states that the definite
integrals of a continuous function can be calculated easily if we can find the
antiderivative / antiderivatif function.

4. • Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak
tentuprimitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:
Ataupun di mana:
The entire set of antiderivative / antiderivatif a function f is not tentuprimitif integral of ƒ with
respect to x and is written mathematically as:
Or where:
• Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
• Misalkan terdapat sebuah fungsi f(x) = x2, maka integral tak tentu ataupun anti turunan dari
fungsi tersebut adalah:
• Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam
bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah
• sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.
• The expression F (x) + C is a general antiderivatif f and C are arbitrary constants.
• Suppose there is a function f (x) = x2, then the indefinite integral or antiderivative of this
function are:
• Note that unlike certain integral indefinite integral. Definite integrals in the form is a
number, when the integral indeterminate: it is a function that has an additional
arbitrary constant C.

5. • Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:
• secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ,
sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
• Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan
domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx
adalah variabel pengintegralan.
• Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang
diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
• Given a function f of real variable x and the interval between [a, b] on the real line, definite integrals:
informally defined as an area on the xy plane bounded by the curve graph of f, the x-axis, and
vertical lines x = a and x = b.
• In integral notation above: a is the lower limit and b is the upper limit that determines the
integration domain, f is the integrands to be evaluated with respect to x on the interval [a, b], and dx
is the integration variable.
•
Along with the increasing number of subintervals and the limited width of subintervals are taken,
covering a total area of bars will get closer to the area under the curve.

6. • Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya
digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari
penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada
interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi
banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,…, xn
– 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
• There are various types of formal definition of definite integrals, but the most commonly used is the
definition of Riemann integral. Rieman Integral is defined as the limit of the Riemann sum.
Misalkanlah we want to find the area bounded by the function f on a closed interval [a, b]. In
searching the area, the interval [a, b] can we divide into many subintervals which do not have the
same width, and we choose the number of n-1 points {x1, x2, x3, ..., xn - 1} between a to b so that
satisfy the relation:
• Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi
[a,b] menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1,
demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi – xi – 1. Pada tiap-tiap subinterval
inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang
ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx
dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita
menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan
keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
• The set is what we call the partition [a, b], which divides [a, b] into a
number n subintervals . The width of the first subintervals *x0, x1+ we stated as Δx1, as well as the i-th
width subintervals we stated as Δxi = xi - xi - 1. In each of these subintervals we choose an arbitrary
point and at the i-th subintervals we choose an arbitrary point ti. So on each subintervals will have a
wide rectangular bars of Δx and height starts from the x-axis until it touches the point (ti, f (ti)) on the
curve. If we calculate the area of each bar is by multiplying f (ti) • Δxi and summing the total area of
the bar area, we will get:

7. • Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan
bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan
semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma
partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
• Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa
bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari
penjumlahan Riemann apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun
terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk
setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita
dapatkan
• Sp sum is called the Riemann sum for f on the interval [a, b]. Note that the smaller the partition
subintervals we take, this Riemann sum will get closer to the area we want. If we take the limit of
the norm of the partition is close to zero, then we will get a wide area.
Carefully, the definition of definite integrals as limits of Riemann sum is:
• Given f (x) as a function defined on a closed interval [a, b]. We say that a certain number I is the
integral f along [a, b] and that I is a limit of Riemann sum if the following conditions are met:
• For any number ε> 0 whatever there is a number δ> 0, corresponding with him so it seems for
every partition along [a, b] with and choice of any ti on [xk - 1, ti], we get:

8. • Secara matematis dapat kita tuliskan:
• Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga
persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
• Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati
tak terhingga banyaknya.
• Mathematically we can write:
• If each partition has the same number of n subintervals, then the width Δx = (ba) / n, so the equation
above we can also write as:
• This limit is always taken when the norm of the partition is close to zero and the number of subintervals
that there are many approaches infinity.

9. • Contoh soal:
• Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas
daerah A dibawah kurva y=xb], b>0, maka perhitungan integral tertentu
sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah pada interval [0,
• Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang
norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b]
menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b – 0)/n = b/n dan titik t’i yang dipilih adalah titik
akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
dan sehingga:
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi
mendekati 0, maka didapatkan:

10. • Sample questions:
• For example, if we want to calculate definite integrals , ie to find the area A under the
curve y = xb], b> 0, then the calculation of definite integrals as limits of summation
Riemannnya is on the interval [0,
•
• Selection of partitions or arbitrarily ti point will produce the same value along the partition norm
close to zero. If we choose a partition P divide the interval [0, b] into n subintervals of equal width Δx
= (b - 0) / n = b / n and t'i point selected is the left endpoint of each subintervals, we partition get is:
and therefore:
Along with n approaching infinity and norm of the partition approaches
0, then we have:
•

11. • Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu
tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian
bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
• Teorema dasar
• Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang
saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif
dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada
menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis
dalam menghitung integral tertentu.
• In practice, the application of the definition of definite integrals in finding the value of
definite integrals is rarely used because it is not practical. The fundamental theorem of
calculus (see below) provides a more practical way to find the value of definite integrals.
• Basic theorem
The fundamental theorem of calculus states that derivatives and integrals are two conflicting
operations. More precisely, this theorem linking the value of a particular anti-derivative to
the integral. Because it is easier to calculate an anti-derivative rather than applying the
definition of definite integrals, Fundamental Theorem of Calculus provides a practical way to
calculate definite integrals.

12. • Teorema dasar kalkulus menyatakan:
• Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya
adalah f pada interval (a,b), maka
• Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
• Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada menggunakan
definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat
menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari
fungsi adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai
dari integral tertentu adalah:
The fundamental theorem of calculus states:
If a function f is continuous on the interval [a, b] and if F is a function for which derivatives are f on the
interval (a, b), then
• Furthermore, for every x in the interval (a, b),
• For example if we want to calculate the value of the integral , rather than using the definition
of definite integrals as limits of Riemann sum (see section above), we can use the fundamental
theorem of calculus in calculating the value of these integrals. Anti derivative of the function is
. Therefore, in accordance with the fundamental theorem of calculus, the value of definite
integrals are:

13. • Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0,
maka kita akan dapatkan:
• Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus
ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral
tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering
digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.
• If we want to find the area A under the curve y = x in the interval [0, b], b> 0, then we will
get:
Note that the results we get by using the fundamental theorem of calculus is the same as
the results we get by applying the definition of definite integrals (see section above).
Therefore, more practical, fundamental theorem of calculus is often used to find the value
of definite integrals.

14. dapat diselesaikan dengan teknik Integral
subtitusi, langkahnya :
- Ubah cos5x = cos4 x . cosx
= (cos2x)2 .cosx = (1 – sin2x)2.cosx
- Misalkan u = sin x , sehingga du =
cosx.dx
- Jadi : ∫cos5x.dx = ∫(1 – sin2x)2.cosx.dx
= ∫(1 – u2)2 .du
= ∫(1 – 2u2 + u4) .du
= u – 2/3u3 + 1/5u5
= sinx - 2/3sin3x+ 1/5sin5x + c
can be solved by substitution Integral techniques, steps:
- Change cos5x = cos4 x. cosx
= (Cos2x) 2. Cosx = (1 - sin2x) 2.cosx
- Let u = sin x, so du = cosx.dx
- So: ∫ cos5x.dx = ∫ (1 - sin2x) 2.cosx.dx
= ∫ (1 - u2) 2. Du
= ∫ (1 - 2u2 + U4). Du
= U - 2/3u3 + 1/5u5
= Sinx - 2/3sin3x + 1/5sin5x + c

15. • Bentuk integral tertentu dapat ditulis
b
• Apabila fungsi f terdefinisi ( kontinu ) pada interval [ a , b ] , maka f (x) dx
a
dinamakan Integral tertentu .
• Untuk menentukan nilai Integral tertentu tersebut , kita menggunakan Teorema
dasar kalkulus integral di atas ,yaitu
= F(b) F(a)
• Form of definite integrals can be written b
When defining the function f (continuous) on the interval [a, b], then f ( x ) dx called
a
Definite integral.
To determine the value of certain integrals, we use the fundamental theorem of
integral calculus above, namely

16. • Contoh :
•
• = [ 22 – 5.2] – [ (-1)2 – 5.(-1)]
• = [ 4 – 10 ] – [ 1 + 5 ]
• = - 12
•
• = [ -1/2 cos ] – [ -½ cos 0 ]
• = [ - ½ . -1 ] – [ - ½ .1]
• =1
• Example:
1.
= [22 - 5.2] - [(-1) 2-5. (-1)]
= [4-10] - [1 + 5]
= - 12
2.
] - [- ½ cos 0] = [-1 / 2 cos
= [- ½. -1] - [- ½ .1]
=1

17. Sifat sifat integral tertentu
b a
1. f ( x ) dx 0 f ( x ) dx 0
a a
b a
2. f ( x ) dx f ( x ) dx
a b
b b
3.; k f ( x ) dx k f ( x ) dx dimana k adalah konstanta real sembarang
a a
b b b
4.
( f ( x) g ( x ) ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
a a a
c b b
5. f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx ; dimana a < c < b
a c a b
f ( x ) dx 0
6. a. Jika f ( x ) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka a
b
b. Jika f ( x ) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka f ( x ) dx 0
a
Contoh :
= [ 22 – 5.2] – [ (-1)2 – 5.(-1)]
= [ 4 – 10 ] – [ 1 + 5 ]
= - 12

18. • Salah satu alplikasi intergaral adalah menentukan luas kurva,baik antara kurva
dengan sumbu x atau kurva dengan sumbu Y atau luas antara 2 kurva
• Luas kurva dengan sumbu x dapat dilakukan dengan mengambil elemen luas
berbentuk persegi panjang dengan panjang dx dan lebar y.
• Maka diperoleh elemen luas dL = y.dx,sehingga untuk luas keselruhan dapat
dilakukan dengan menggabungkan semua elemen luas dengan menggunakan
integral sehinga diperoleh :
L=
Yang perlu diperhatikan,jika luas daerah yang mau dihitung terletak di bawah
sumbu x,maka perlu ditamabahin minus di depan persamaan untuk memperoleh
luas bertanda positif
L=-

19. • One is to determine the extent of alplikasi intergaral curve, both between the curves
with the x-axis or Y axis or curve with wide between 2 curves
• Broad curve with the x-axis can be done by taking a rectangular area element with
length dx and width y.
Then obtained broad elements dL = y.dx, so to broad keselruhan can be done by
combining all the elements so widely by using the integral is obtained:
L=
To note, if the vast area that would be calculated located below the x-axis, it is necessary
to ditamabahin minus in front of the equation to obtain broad positive marked
L=-

20. LUAS SEBAGAI LIMIT SUATU JUMLAH ( INTEGRAL TERTENTU
SEBAGAI LUAS DAERAH DI BIDANG DATAR )
• Pengertian : perhatikan gambar di bawah ini , luas daerah yang di arsir merupakan luas
daerah yang di batasi oleh
• Kurva y = f ( x ) , garis x = a , garis x = b dan sumbu x . n
• Luas daerah tersebut jika dinyatakan dalam bentuk notasi sigma adalah L = x 1 ( y i xi )
• Jika n cukup besar ( mendekati tak berhingga ) , maka Δ x cukup kecil ( mendekati nol )
, maka nilai dari
• Notasi sigma di atas dapat dinyatakan sebagai limit , yaitu
n
•
b
L = nlim ( y i xi ) = lim
x 1
x 0 ( y x)
x a
• Dan limit di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk Integral yaitu :
b b
L = y dx = f ( x ) dx
a a

21. WIDE AS THE LIMIT OF A TOTAL (AS A BROAD AREA OF CERTAIN INTEGRAL IN
THE FLAT)
• Definition: look at the picture below, which in the shaded area represents the
area limited by
The curve y = f (x), the line x = a, the line x = b and x-axis.
n
Wide area if expressed in terms of sigma notation is L = ( y x )
x 1
i i
If n is big enough (approaching infinity), then Δ x is small enough (close to zero),
then the value of
Sigma notation above can be expressed as a limit, namely
n
( y x ) = lim 0
b
L = lim n
x 1
x ( y x)
i i
x a
• And the limit above can be expressed as an integral form, namely:
b b
y dx = f ( x ) dx
L = a a

22. • * . TEORI DASAR INTEGRAL KALKULUS ( TEORI FUNDAMENTAL )
• = F(b) F(a)
• Jika F ( x ) adalah anti diferensial dari fungsi f ( x ) dengan daerah asal DF = , x / a ≤ x
≤ b -,
• Dan kurva f ( x ) kontinu dalam interval [ a , b ] . maka :
• Luas daerah yang di batasi oleh kurva y = f ( x ) , sumbu X , garis x = a dan x = b
ditentukan dengan rumus : b b
L = f ( x ) dx [ F ( x) ]
a a
• dengan keterangan : F ( x ) = anti turunan dari f ( x ) atau hasil integral dari f ( x )
• a = batas bawah pengintegralan
• b = batas atas pengintegralan
• f (x ) = integran atau fungsi yang diintegralkan
•
• *. BASIC THEORY OF INTEGRAL CALCULUS (FUNDAMENTAL THEORY)
If F (x) is the anti-differential of f (x) by region of origin DF = ,x / a ≤ x ≤ b-,
And the curve f (x) is continuous in the interval [a, b]. then:
Wide area limited by the curve y = f (x), X axis, the line x = a and x = b is determined by the formula:
b b
L = f ( x ) dx [ F ( x) ]
a a
• with the statement: F (x) = anti derivative of f (x) or the integral of f (x)
a = lower limit of integration
b = upper limit of integration
f (x) = integrands or functions be integrated

23. • Ada beberapa penggunaan integral tertentu dalam pokok bahasan ini , a.l :
• 1. menghitung luas daerah
• a. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x) , sumbu x , garis x = a dan garis
x=b
• b. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x) , kurva y = g(x) , garis x = a
dan garis x = b
• c. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y) , sumbu y , garis y = a dan
garis y = b
• d. menghitung luas daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y) , kurva x = g(y) , garis y = a
dan garis y = b
• 2. menghitung Volume benda putar
• a. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x),
sumbu x , garis x = a
• dan garis x = b yang di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360°
• b. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y),
sumbu y , garis y = a
• dan garis y = b yang di putar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°
• c. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x),
kurva y = g(x) ,
• garis x = a dan garis x = b yang di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360°
• d. menghitung volume benda putar yang terjadi ,jika daerah yang di batasi oleh kurva x = f(y),
kurva x = g(y) ,
• garis y = a dan garis y = b yang di putar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°

24. • There is some use of the definite integrals in this subject, al:
1. calculate the area
a. calculate the area is limited by the curve y = f (x), x-axis, the line x = a and the line x = b
b. calculate the area is limited by the curve y = f (x), the curve y = g (x), the line x = a and the line x =
b
c. calculate the area is limited by the curve x = f (y), y-axis, the line y = a and the line y = b
d. calculate the area is limited by the curve x = f (y), the curve x = g (y), the line y = a and the line y =
b
2. calculate the volume of rotating objects
a. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve y = f (x), x-
axis, the line x = a
and the line x = b which in turn surrounds the X axis as far as 360 °
b. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve x = f (y), y-
axis, the line y = a
and the line y = b which in turn surrounds the Y axis as far as 360 °
c. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve y = f (x), the
curve y = g (x),
line x = a and the line x = b which in turn surrounds the X axis as far as 360 °
d. calculate the volume of round objects that happen, if the area is limited by the curve x = f (y), the
curve x = g (y),
line y = a and the line y = b which in turn surrounds the Y axis as far as 360 °