Objetivo 8 de Matemática III COD 733 para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 8. Aplicar el calculo diferencial e integral de una función
vectorial en la solución de problemas específicos.
Ejercicio 1
Si la trayectoria de una partícula está dada por la función vectorial
F(t) = (et , 2t, e-t ) determina la velocidad, la aceleración y las componentes
tangencial y normal de la aceleración.
Solución
Justificación: Antes de comenzar este objetivo, es importante que tengas
algunos conceptos de funciones vectoriales de variable real muy claros, para
que puedas comprender y aprehender con los ejercicios resueltos y que
enfrentaras al final de esta guía. Estos conceptos son:
1) A medida que la función vectorial F(t) , toma valores
1 2 3 4 5 6 7 t , t , t , t , t , t , t ,... la función vectorial genera vectores, cuyos extremos
(punta de la flecha) delinea una curva:
2) La primera derivada de la función vectorial de posición F(t) es la
velocidad, es decir: V (t) = F' (t) y la aceleración es la segunda derivada de la

2. función vectorial posición o la primera derivada de la velocidad, es decir:
A(t) =V ' (t) = F'' (t) . La rapidez es el módulo del vector velocidad: V (t) = F' (t) .
La longitud de la curva de una función vectorial es la integral de la
rapidez:
b b
L = ∫ V ( t ) dt = ∫ F ' ( t )
dt
a a
Por ejemplo, una función de una variable real f (x) , se puede
parametrizar y escribir como la siguiente función vectorial:
F(t) = ti + f (t) j
El vector velocidad es: V(t) =1i + f ' (t) j
Su rapidez es: ( ) ( ) 2 ' 2 ' 2 V (t) = 1 + f (t) = 1+ f (t) dt
Por lo tanto:
( )' 2 1 ( )
b
L = ∫ + f t dt
a
3) Si la función vectorial F(t) es derivable y de longitud constante, se
tiene que el producto escalar es nulo:
F(t).F' (t) = 0
Recuerda que el producto escalar del mismo vector es igual a su modulo
elevado al cuadrado, es decir:
2 F(t).F(t) = F(t) = cons tan te
Y si derivamos en ambos miembros, se tiene la derivada de un producto
a la izquierda y la derivada de una constante a la derecha, que es cero:
' ' ' ' 0
F t F t + F t F t = ® F t F t = F t F t = =
( ). ( ) ( ). ( ) 0 2 ( ). ( ) 0 ( ). ( ) 0
2
Y como sabemos, dado que el producto escalar es nulo, entonces F(t)
y F' (t) son perpendiculares.
4) Sabemos que la velocidad, F' (t) es tangente a la trayectoria, se
tomara el vector unitario de este vector tangente y lo llamaremos:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=

3. 5) Sabemos de “3” que T (t).T ' (t) = 0 , por lo tanto el vector T ' (t) es un
vector perpendicular al vector tangente unitario T (t) .
6) Dado el punto “5” se tiene que el vector normal unitario es:
'
T t
'
( )
( )
( )
N t
T t
=
7) Los vectores T (t) y N(t) forman un plano llamado osculador en un
punto dado de la curva.
8) El vector aceleración se puede escribir:
A(t) =V ' (t)T(t) +V (t)T ' (t)
De “6” se tiene: T ' (t) = T ' (t) N(t)
Por lo tanto la aceleración se puede escribir:
A(t) =V ' (t)T(t) + V(t) T ' (t) N(t)
De esta ecuación se desprende que la componente tangencial de la
aceleración es:
( ) ' ( ) ( ) t A t =V t T t
Y la componente de la aceleración normal es:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
9) La función vectorial se puede reparametrizar con la longitud de arco
s , siendo así las cosas, podemos escribir:
'
1 1
= i = i = i = i =
1 . ( )
'
( )
dT dT dT dt dt dT dT
T t
ds ds ds dt ds dt ds dt s t
dt
Sabiendo que s' (t) = V (t) y que T ' (t) = T ' (t) N(t) , se tiene:
'
' ' 1 1 ( )
dT T t
= = =
. T ( t ) T ( t ) N ( t ) N ( t
)
( ) ( ) ( )
ds V t V t V t
Este vector obtenido
' ( )
= ( )
, es el vector curvatura y se denota
dT T t
( )
N t
ds V t
con la letra griega kappa:
' ( )
T t
( t ) N ( t
)
( )
V t
k =

4. Y el número
' '
( ) ( )
T t T t
k = = es la curvatura.
'
( )
( ) ( )
t
V t F t
10) Fíjate que la curvatura mide la variación de la dirección del vector
tangente unitario, observa:
k = q
d
ds
11) La aceleración también se puede escribir así:
Como: A(t) =V ' (t)T(t) + V(t) T ' (t) N(t)
De:
' '
( ) ( )
T t T t
k = = , se tiene: T ' (t) = k (t) V (t)
'
( )
( ) ( )
t
V t F t
Entonces:
( )A(t) =V ' (t)T(t) +k (t) V(t) 2 N(t)
De aquí se desprende que:
( ) ( )
A t V t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
Esto es así porque:
V (t) = F' (t)

5. Y como la velocidad es paralela al vector tangente unitario T (t) , se
tiene:
F' (t) = F' (t) T(t)
Derivando a ambos miembros obtenemos:
( ) ( )' ' F'' (t) = F' (t) T(t) + F' (t) T(t)
Multiplicando vectorialmente a la izquierda por F' (t) , se tiene:
( ) ( )' ' F' (t)´ F'' (t) = F' (t)´  F' (t) T(t) + F' (t) T(t)  
Pero F' (t) = F' (t) T(t) , entonces:
( ) ( )' ' F' (t)´ F'' (t) = F' (t) T(t)´  F' (t) T(t) + F' (t) T(t)  
( ) ( ) 2 '
F' (t)´ F'' (t) = F' (t) T(t)´T ' (t) + F' (t) F' (t) T(t)´T(t)
Recuerda que si los vectores son paralelos:
T (t)´T(t) = 0
Entonces:
( )2
F' (t)´ F'' (t) = F' (t) T(t)´T ' (t)
Sustituyendo F' (t) =V (t) y F'' (t) = A(t) , se tiene:
V (t)´ A(t) = V (t) 2 T(t)´T ' (t)
Tomando modulo en ambos miembros:
V(t)´ A(t) = V (t) 2 T(t)´T ' (t)
V(t)´ A(t) = V (t) 2 T(t)´T ' (t)
Sabemos por definición de producto vectorial que: a´b = a b sena
,
donde alfa es el ángulo entre a
y b
y como T(t) y T ' (t) son perpendiculares
porque de “3” se sabe T(t)´T ' (t) = 0 , se tiene:
V (t)´ A(t) = V (t) 2 T(t) T ' (t) sen90º
Como T(t) =1, por ser vector unitario y sen90º =1, se tiene:
V (t)´ A(t) = V (t) 2 T ' (t)

6. Dividiendo en ambos miembros por V (t) 3 se tiene:
2 '
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
V t A t V t T t
V t 3 V t
3
´
=
2
( ) ( ) ( )
( )
V t ´
A t V t
=
V t
3
'
T t
3
( )
( )
V t
'
( ) ( ) ( )
( ) ( )
V t A t T t
V t 3
V t
´
=
'
( ) ( ) ( )
( ) ( )
T t V t A t
V t V t
3
´
=
Como
' ( )
k ( )
= , se tiene finalmente:
T t
( )
t
V t
( ) ( )
V t A t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
12) El radio de curvatura de una curva es el reciproco de la curvatura:
1
(t)
r
k
=
13) El vector B(t) es llamado vector binormal y se obtiene del producto
vectorial:
B(t) = T (t)´ N(t)
También se puede escribir:
' ''
= ´ = ´
( ) ( ) ( ) ( )
F t F t V t A t
´ ´
' ''
( )
( ) ( ) ( ) ( )
B t
F t F t V t A t
14) Los 3 vectores T (t) , N(t) y B(t) forman el llamado triedro de
Frenet.
15) Los vectores N(t) y B(t) forman un plano llamado normal en un
punto dado de la curva.
16) Los vectores T (t) y B(t) forman un plano llamado rectificante en un
punto dado de la curva.
Observa los 3 planos dibujados en un mismo gráfico en un punto
cualquiera de la curva C:

7. 17) Una curva en el espacio se tuerce de 2 maneras. Por un lado se
curva dentro del plano osculador, y por otra se curva hacia afuera de dicho
plano. La primera forma viene descrita por la curvatura, que ya comente en los
puntos 9, 10 y 11, es decir, la razón de cambio de dirección del vector tangente
unitario T(t) . La segunda forma de curvarse viene dada por la razón de cambio
de dirección del vector binormal B = T ´ N , es decir, por el vector
dB
ds
, donde s
es el parámetro, longitud de arco. Cuando la curva es plana, este vector no
dB
ds
= .
varia, es decir, 0
Puesto que B , es de longitud constante, B =1, el vector
dB
ds
es
perpendicular a B . Por otra parte, BiT = 0 , derivando esta última desigualdad
se tiene:
dB dT
i = ® i + i =
0 0
B T T B
ds ds
dT
B B kN k B N
Pero: ( ) 0 ( ) 0
i = i = ® i = , por lo que: 0
ds
dB
T
ds
i = , por lo
tanto
dB
ds
también es perpendicular a T .

8. Como
dB
ds
es perpendicular a B y a T , podemos concluir que
dB
ds
es
paralelo a N , es decir, es un vector proporcional a N , entonces podemos
escribir:
dB
N
ds
= -t
La constante t recibe el nombre de segunda curvatura o torsión.
Obtengamos una fórmula para calcular la torsión, sin necesidad de
reparametrizar con respecto al arco s :
El vector aceleración A ó F'' (t) se encuentra en el plano osculador, por
lo tanto es perpendicular al vector B , por lo que podemos escribir:
B.F'' (t) = 0
Derivando esta expresión con respecto al tiempo, se obtiene:
( '' )
'' ( )
d F t dB
i + i =
( ) 0
B F t
dt dt
De aquí:
( '' )
'' ( )
d F t dB
i B = - F ( t
)
i
dt dt
( '' )
'' ( )
d F t dB ds
=   ( )
 - 
B F t
i i
dt ds dt
 
( ''
( )
) '' ( ) ( . .
)
d F t
B F t N v
dt
i = i t
De:
' ( )
k ( )
= se tiene: T ' (t) = V (t) k (t) y como: A ( t ) = V ( t ) T ' ( t ) ,
n T t
( )
t
V t
n A = kv , donde:
se tiene: 2
 k = k ( t
)
, y como: F'' (t)N es la componente normal
v = V (  t
)
de la aceleración, es decir: '' ( ) 2 n F t N = A =k v , se tiene:
( ''
) ( )
'' '' 2 3 ( )
( ) . . . ( ) . . . .
d F t
B F t N v F t N v v v v
dt
i = i t =t =t k =t k
Además se sabe que la curvatura es:

9. ( ) ( ) ( ) ( )
V t A t F t F t
( )
' ''
3 3
( )
( )
t
V t v
k
´ ´
= =
Por lo tanto:
( '' ) ' ´
''
( ) ( ) ( )
d F t F t F t
i = t k 3
= t
v3 =t F' (t)´ F'' (t)
3
. .
B v
dt v
Despejando la torsión, se tiene:
'''
( )
( ) ( )
F t B
F ' t F ''
t
t =
´
i
Teniendo en cuenta que:
= ´
' ''
( ) ( )
F t F t
´
' ''
( )
( ) ( )
B t
F t F t
, se tiene finalmente la
fórmula de la torsión:
t = = ´ = ´
''' ''' ' '' ''' ' ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F t i B F t F t F t F t i
F t F t
i
F ' t F '' t F ' t F '' t F ' t F '' t ' '' 2
F t F t
´ ´ ´ ´
Observa que en la parte superior, obtuvimos el producto mixto de tres
vectores, por lo tanto podemos escribir:
( F ' ( t ). F '' ( t ). F ''' ( t
)
)
' '' 2
( )
( ) ( )
t
F t F t
t =
´
, F' (t)´ F'' (t) ¹ 0
Retomando nuestro ejercicio, se tiene la siguiente situación:

10. Observa que el vector velocidad es tangente a la curva, esto ya lo
sabíamos, y por ello el vector velocidad es la primera derivada de la función, en
nuestro caso:
V(t) = F' (t) = (et , 2,-e-t )
También sabemos que la aceleración es la primera derivada de la
velocidad o segunda derivada de la función de posición, así:
A(t) =V ' (t) = (et ,0, e-t )
De “8” se tiene: A(t) =V ' (t)T(t) + V(t) T ' (t) N(t)
Componente tangencial de la aceleración:
( ) ' ( ) ( ) t A t =V t T t
Componente de la aceleración normal:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
Por lo tanto, para obtener la componente tangencial, solo necesitamos el
vector tangente unitario, a saber:

11. '
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
Como: F' (t) = (et , 2,-e-t ), se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 F' (t) = et + 2 + -e-t = e2t + 2 + e-2t
Por lo tanto:
 
-
t t
( ) 2
F t e e
= =  -   + + + + + +   
( ) , ,
( ) ( ) ( )
'
' 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2
t t t t t t
T t
F t e e e e e e
- - -
Entonces la componente tangencial de la aceleración es:
( ) ' ( ) ( ) t A t =V t T t
( )
 
-
t t
2
e e
=  -   + + + + + +   
( ) ,0, , ,
( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2
2
t t
t
t t t t t t
A t e e
e e e e e e
-
- - -
- -
t t t t
. 0. 2 .
e e e e
= + -
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 ( 2 ) 2
( )
- - -
+ 2 + + 2 + + 2
+
t
t t t t t t
A t
e e e e e e
-
2 2
t t
e e
( )
2 2
( )
2
t
t t
A t
e e
-
= -
+ +
Otra manera de encontrar esta componente tangencial de la aceleración,
se observa claramente en la figura, donde la componente tangencial de la
aceleración es la proyección del vector aceleración en la dirección del vector
velocidad.
¿Cómo proyecto un vector sobre otro?
en
A través de la siguiente fórmula que indica la proyección del vector A
:
la dirección del vector B
( ) B B A U U
i
Donde B U
. Esta proyección se ilustra a
es el vector unitario del vector B
continuación:

12. Ya sabes como proyectar un vector sobre otro, apliquemos esto a
nuestro ejercicio, proyectando el vector aceleración a = (et ,0,e-t ) sobre el
vector velocidad V = (et , 2,-e-t ) para obtener la componente tangencial del
vector aceleración.
Esta proyección quedaría:
( ) t V V a = a U U
i
Calculamos primero el unitario del vector velocidad:
2 2 2
Módulo del vector velocidad: V = ( et ) + ( 2 ) + ( -e-t
) V = e2t + 2 + e-2t
Luego el unitario del vector velocidad es:
V 1 ( )  e t 2
- e
-
t
 = = t , 2, - -
t
=  , ,
2 + + 2  2 + + 2 2 + + 2 2 + + 2
 
U e e
V t t t t t t t t
- - - -
V e e e e e e e e
2 2 2 2
Después de haber obtenido el vector unitario de la velocidad, calculamos
el producto escalar, para obtener la componente tangencial de la aceleración:
( )  e t = 2
- -
t
 t ,0, t
e
 , ,
 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 2 + 2
+ 2
 
a U e e
V t t t t t t
e e e e e e
-
- - -
i i
- -
= + + -
t t t t
. 0. 2 .
2 2 2
e e e e
V t t t t t t
- - -
+ + + + + +
2 2 2 2 2 2
a U
e e e e e e
i
-
2 2
t t
0
e e
= + -
V t t t t t t
- - -
+ + + + + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a U
e e e e e e
i
- -
= - = -
2 2 2 2
t t t t
e e e e
V t t t t t t
- - -
+ + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a U
e e e e e e
i
Si nos piden el vector tangencial del vector aceleración, sería:

13. ( ) e 2 t - 2
t  t -
t
 = = - e e 2
- e
 , ,
+ +  + + + + + +  
t V V t t t t t t t t
- - - -
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a U U
e e e e e e e e
i
 
 - - - - 
=  
 + + + + + +   
( )
( )
( )
( )
( )
( )
- - - -
2 2 2 2 2 2
t t t t t t t t
2
e e e e e e e e
, ,
2 2 2
- - -
2 2 2 2 2 2
2 2 2
t
t t t t t t
a
e e e e e e
3 ( 2 2 ) ( 3 )
 e t - e - t 2
e t - e - t - e t - e
-
t
 =  , ,

  + + - + + - + + -
 
t t t t t t t
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a
e e e e e e
Ahora calculemos la componente normal de la aceleración:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
Sabemos que V (t) = e2t + 2 + e-2t , calculemos T ' (t) y su modulo:
 
=  e t 2
- e
-
t
    + + + + + + 
( ) , ,
( 2 ) - 2 ( 2 ) - 2 ( 2 ) -
2
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
Derivando componente por componente:
  + + - + +
  =  ( )
+ +    + +
( ) ( ) ( ( ) )
' ' ' 2 2 2 2
- -
t t t t t t
2 2
e e e e e e e
( ( ) )
2 2 2 2 2
- -
2 2
t
t t t t
e e e e
  - + +
   ( )
=  + +   + +
( ( ) )
( ( ) )
' '
2 2
t t
2 2 2
2 2
e e
2 t 2 t 2 2 t 2
t
e e e e
-
- -
  + + - + +
 -  = -  ( )
 + +   + +
( ) ( ) ( ( ) )
' ' ' 2 2 2 2
- - - -
t t t t t t
2 2
e e e e e e e
( ( ) )
t
-
2 2 2 2 2
- -
t t t t
2 2
e e e e
Continuando con cada componente:
    + + -   + +      + +       ( )
=  + +  + + 
( ) ( )
e e
( )
e e e e
e e e
( )
'
2 2
2 2
'
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e e e
-
-
-
- -

14.     -   + +      + +       ( )
=  + +  + + 
( )
( )
( )
'
2 2
'
t t
2
e e
2 2
2
t
t t
e
2 2 2
2 2
e e
2 2 2 2
t t t t
e e e e
-
-
- -
    - + + -   + +      + +   -     ( )
= -  + +  + + 
( ) ( )
e e
( )
e e e e
e e e
( )
'
2 2
2 2
'
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e e e
-
- - -
-
-
- -
Ahora:
( )
+ + -  -     + +    =    ( )
 + +  + + 
 
2 2
( )
( )
2 2
2 2
'
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e
e e e e
e e e
e e e e
-
-
-
- -
-  -     + +       ( )
=  + +  + + 
 
2 2
t t
2 2
e e
( )
( )
'
2 2
2
t
t t
e
2 2 2
2 2
e e
2 2 2 2
t t t t
e e e e
-
-
- -
- ( )
+ + -  -      + +   -  ( )
= -    + +  + + 
 
( )
( )
2 2
2 2
'
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e
e e e e
e e e
e e e e
-
- - -
- -
- -
Luego:
( )
( 2 ) 2
'
2 2
  2


  + +  
+ +
2
2
t t t t
t
t t
e e e e
e
e e
-
-
+ + -
 
  =  + +   
( 2 2 )
2
e t - e- t
( )
( )
2 2
2 2
2
2
t t
t t
e e
e e
-
-
( )
'
2 2
  2


  + +  
2
2
2
t
t t
e
e e-
-
 
  =  + +   
( 2 2 )
2
e t - e- t
( )
( )
2 2
t t
2
e e
2 2
t t
2
e e
-
-
+ +

15. ( )
( 2 ) 2
'
2 2
  2


  + +  
2
2
t t t t
t
t t
e e e e
e
e e
- - -
-
-
- + + -
 
 -  = -  + +   
( 2 2 )
2
e t - e- t
( )
( )
2 2
2 2
2
2
t t
t t
e e
e e
-
-
+ +
Ahora:
 -  + + -     + +       ( )
=  + +  + + 
( ) ( e e
)
( )
e e e
e e e
( )
3
2 2
'
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
t t
t t t
t t
t
t t t t
e e e e
-
-
-
- -
    - -  ( )
=  + +        + +   + + 
( t -
t
)
2 2
e e
2 2 2
( ) ( )
'
3
2 2 1
e e e e e e
2 2 2 2 2
t t
t t t t
-
- -
 -  - + + -     + +   -     ( )
= -  + +  + + 
( ) ( )
( )
( )
3
2 2
'
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
t t
t t t
t t
t
t t t t
e e
e e e
e e e
e e e e
-
- -
- -
- -
Luego:
   + +    =    ( )
 + +  + + 
( ) ( )
  e 2 t + 2
+ e - 2 t  e t - e 3
t -
t
    - e

( )
( )
'
2 2
t t
2
e e e
2 2 2 2
2 2
t
t t t t
e e e e
-
- -
    - -  ( )
=  + +     + +  
( )
2 2
2 2
( )
'
3
-
t t
e e
2 2 1 1
- + -
e e e e
2 2 2
t t
t t
   + +   -  =    ( )
 + +  + + 
( ) ( )
  e 2 t   + 2
+ e - 2 t  e - t t  + e - e
-
3
t
 
( )
( )
'
- -
2 2
t t
2
e t
e e
- -
2 2 2 2
t t t t
2 2
e e e e
Ahora:
   + +    =    ( )
 + +  + + 
( )
 e 3 t + 2
e t + e - t - e 3
t -
t
  - e

( )
( )
'
2 2
t t
2
e e e
2 2 2 2
2 2
t
t t t t
e e e e
-
- -

16.     - -  ( )
=  + +     + +  
( t -
t
)
2 2
2 2
( )
'
3
e e
2 2 3
e e e e
2 2 2
t t
t t
-
-
   + +   -  =    ( )
 + +  + + 
( )
 t  e + e - t + e - t + e t - e
-
t
 
( )
( )
3 3
'
- -
2 2
2
t t
2
e t
e e
- -
2 2 2 2
t t t t
2 2
e e e e
Luego:
 
   ( )
=   + + 
'
3
e e
e e-
2 2 2
t
t
t t
+ 2et + e-t - ( e3t -
e
-
t
)
( ) ( ) 1
 + + -   + + -
    
2 t 2 2 t 2 t 2 2 t
2
e e e e
    - -  ( )
=  + +     + +  
( )
( )
'
3
-
t t
2 2
2 2
e e
2 2 3 2 2
- -
t t t t
e e e e
  + +  -  =  ( )
+ +   
'
3
e e e e
2 2
2
2
t t t
t
t t
e e
- -
-
-
+ (et - e-3t )
( ) ( ) 1
 e2t + 2 + e-2t   e2t + 2 + e-2t  2    
Ahora:
'
 
 e t  2 e t = + 2
e
-
t
   + +    + +  
( ) ( )
2 2 1 1
- + -
2 2
e e e e
2 2 2
t t
t t
    - -  ( )
=  + +     + +  
( )
( )
'
3
-
t t
2 2
2 2
e e
2 2 3 2 2
- -
t t t t
e e e e
'
 
e -  t t -  = 2 e + 2
e
-
t
   + +    + +  
( ) ( )
2 2 1 1
- + -
2 2
e e e e
2 2 2
t t
t t
Finalmente:
  ( + - )
- ( 
3
- - )
( + -
)

=  
   ( )
+ +   ( )
+ +       ( )
+ +     
'
t t t t t t
2 2 2
e e e e e e
( ) , ,
3 3 3
- - -
2 2 2 2 2 2
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
Su modulo es:

17.      
 +   - -   + 
( )
( )
2 2 2
( )
( )
( )
( )
- 3
- -
'
t t t t t t
2 2 2
e e e e e e
=   +   +  
3 3 3
  2 + + - 2     2 + + - 2     2 + + -
2
             
( )
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
( )
( )
( )
( )
( )
( )
 + 2   3 - 2   + 2
 =   +   +      + +       + +                    + +  
'
- - -
t t t t t t
4 2 4
e e e e e e
3 3 3
- - -
2 2 2 2 2 2
( )
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
( ) ( ) ( )
 t + - t 2 4 e e + 2 e 3 t - - t 2  e + 4
e t + 2
 e
-
t
=     ( )
+ +       
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
( ) ( )
 2 e 6 t - 2 e 3 t e - t + e - 2 t + 8
e t + -
t
2
 e
=       ( )
    + +  
( ) ( )
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
 2 e 6 t - 4 e 2 t + 2 e - 2 t  + 8 e 2 t + 2
e t e - t + e
-
2
t
 =      ( )
    + +  
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
( ) ( )
 2 e 6 t - 4 e 2 t + 2 e - 2 t + 8 e 2 t + 16 + 8
e
-
2
t
 =       ( )
+ +      
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
 
6 t =  2 e + 4 e 2 t + 10 e
2
t
+ 16
    ( )
+ +     
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
-
La componente normal es:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
 
 2 e 6 t = + + + 4 e 2 t + 10 e
2
t
+ 16
2 2
   ( 2 )
+ + 3
2
     
( )( )
( ) 2
2
t t
n
t t
A t e e
e e
-
-
-
 e 2 t + 2 + e - 2 t 2 e 6 t 2 t  + 4 e + 10 e
-
2
t
+ 16
 =      ( 2 )
 + +  3
 2
  
( )
2
n
t t
A t
e e
-

18. ( ) ( ) ( )
 2 e 4 t + 4 + 10 e - 4 t + 16 e - 2 t + 4 e 6 t + 8 e 2 t + 20 e -
2 t + 32 + 2 e 8 t + 4 e 4 t + 10 + 16
e
2
t
 =      2   ( )
+ + 3
 2
   
( )
2
n
t t
A t
e e
-
 
8 t 6 t 4 t 2 t 4 t 2
t
=  2 e + 4 e + 6 e + 24 e + 10 e + 36 e
+ 46
   ( 2 )
  + + 3
2
   
( )
2
n
t t
A t
e e
- -
-
Respuesta:
Velocidad: V = (et , 2,-e-t )
Aceleración: a = (et ,0,e-t )
Componente tangencial de la aceleración:
-
2 2
t t
e e
( )
2 2
( )
2
t
t t
A t
e e
-
= -
+ +
Componente normal de la aceleración:
 
8 t 6 t 4 t 2 t 4 t 2
t
=  2 e + 4 e + 6 e + 24 e + 10 e + 36 e
+ 46
   ( 2 )
  + + 3
2
   
( )
2
n
t t
A t
e e
- -
-
Ejercicio 2
t
  =  
 
Considere la función vectorial ( ) cos , ,
F t t sent
p
2
, calcula su
curvatura en el punto
1
1, ,0
2
   - 
 
.
Solución
Justificación: De “9” La curvatura es:
'
T t
k = . Primero vamos a
'
( )
( )
( )
t
F t
buscar el punto 0 t = t al cual pertenece el punto
1
1, ,0
2
   - 
 
, así:
cos
x t
t
y
z sent
p
2
= 
= 
= 
Como la curva pasa por
1
1, ,0
2
   - 
 
, se tiene:

19. - = 
1 cos
1
2 2
= ® = 
0
t
t
t
sent
p
p
= 
Verifiquemos si 0 t =p satisface las otras ecuaciones:
1 cos
0 sen
p
p
- = 
 =
Si las satisface, luego como 0 t =p satisface todas las ecuaciones se
tiene que este es el punto 0 t =p , donde calcularemos la curvatura:
t
  =  
 
De ( ) cos , ,
F t t sent
p
2
, se tiene:
' 1
( ) , , cos
  = - 
 
F t sent t
p
2
El vector T(t) es:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
Pero:
  = - +   + = + + = +
( )
2
1 1 1
' 2 2 2 2
( ) cos cos 1
F t sent t sen t t
p p p
2 2
2 4 4
 
Luego:
'
 
 
( ) 2 cos ( ) , ,
F t sent t
= = - 
'
1
 
 + + + 
 
( ) 1 1 1
1 1 1
2 2 2
4 4 4
T t
F t
p
p p p
'
 
 1

( ) 2 cos ( ) , ,
F t sent t
= = - 
 + + +   
 
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
2 2 2
4 4 4
T t
F t
p
p p p
p p p
'
 1

 
( ) 2 cos ( ) , ,
F t sent t
= = - 
 + + + 
 
 
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
2 2 2
T t
F t
p
p p p
p p p

20.  
 
'
( ) 2 2 2 2 cos ( ) , ,
1
F t sent t
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
T t
F t
p p p p
p p p
= =  - 
 + + + 
 
'
 
( ) 2 1 2 cos
F t sent t
( ) , ,
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
T t
F t
p p
p p p
= =  - 
 + + + 
Ahora calculamos T ' (t) :
 
= - - 
 + + 
p p
T '
2 cos 2
t t sent
( ) ,0,
p p
2 2
4 1 4 1
Calculemos el módulo de este vector:
2 2
'
   
2 cos 2
t sent
2 2
( )
4 1 4 1
T t
p p
p p
=  -  + - 
 +   + 
T t p p p p
 2 2   2 2   2 2 + 2 2
 =   + +  +  =        + 
'
4 cos 4 4 cos 4
t sen t t sen t
p p p
2 2 2
( )
4 1 4 1 4 1
2 ( 2 2 ) 2
'
 + 
4 cos t sen t
4 2
=   = =  2 +  2 + 2
 
+ ( )
4 1 4 1 4 1
T t
p p p
p p p
Luego la curvatura en 0 t =p es:
p p
2 2
4 1 4 1 4 ( )
k p p p p
2 2 2
= + = + =
+ + +
p p p
p p
2 2 2
4 1 4 1 4 1
4 2
2
Respuesta:
k p p
2
p
2
4
( )
4 1
=
+
Ejercicio 3
Calcula la curvatura de la curva C descrita por:
  =  
 
( ) cos , ,
b
F t a t asent t
p
2
Solución
Justificación: Sabemos que la curvatura viene dada por:
' ( )
( )
T t
( )
t
V t
k =
En este caso se tiene:

21.   = = - 
( ) ' ( ) , cos ,
b
2
V t F t asent a t
p
 
Calculemos el vector tangente unitario:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
El modulo de la velocidad es:
b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b
2
  = - + +   = + +
' 2 2 2 2 2 2
2 ( ) cos cos
F t asent a t a sen t a t
p p
2 4
 
( ) ( ) b 2 b
2
 +  + = + =  
' 2 2
s 1
F t a sen t t a
p p
2 2
( ) 2 co 2
4 4
= + = + = + = +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' 2
4 4 4
b a b a b a b
2 2 2
( )
4 4 4 2
F t a
p p p
p p p p
Luego el vector tangente unitario es:
 b

'
  = =  - 
F ( t ) asent a cos t
( ) , ,
2 p
 + + + 
 
 
' 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 4 4 4
2 2 2
T t
F t a b a b a b
p p p
p p p
 
 = - p p p p
  
 p + p + p
+ 
 
2 2 cos 2 ( ) , , 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
b
asent a t
T t
a b a b a b
 = - 2 p asent 2 p
a cos
t b
  
 p + p + p
+ 
( ) , ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
T t
a b a b a b
El vector T ' (t) es:
'
 = - 2 p a cos t - 2
p
asent


 p + p
+ 
( ) , ,0
2 2 2 2 2 2
4 4
T t
a b a b
Luego su modulo es:
2 2
       
p p p p
p p p p
2 2 2 2 2 2
'
2 cos 2 4 cos 4
a t asent a t a sen t
= -  + -  =   +  2 2 + 2 2 2 + 2  2 2 + 2   2 2 + 2
     
( )
4 4 4 4
T t
a b a b a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 ( )
'
 p + p   p +
sen t
 =   =   
 p 2 2 +  p
2 + 2
  
2
2
2
2
4 cos 4 4 co
(
4 4
s
)
a t a sen t a
T
t
t
a b a b

22. p p p
p p p
 
2 2 2 2
'
4 1
4 2
a a a
=   = =  +  + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
4 4
4
T t
a b a b a b
Luego la curvatura es:
p
2
' 2 2 2 2
( ) 4 4 ( )
k = = p + =
p
p p
p
+ +
2 2 2 2 2 2
( ) 4 4
2
a
T t a b a t
V t a b a b
Resolveré el problema de otra manera, para que selecciones la forma
que se te haga más cómodo: Recuerda que tenemos la fórmula:
( ) ( )
V t A t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
Observa:
A(t) =V ' (t) = F'' (t) = (-a cos t,-asent,0)
Efectuando el producto vectorial:
i j k
( ) ( ) cos
b
2
V t A t asent a t
cos 0
a t asent
p
´ = -
- -
    ´ =  +  - - +  +  + 
( ) cos
absent ab t
( ) ( ) 0. cos 0. . cos . cos
V t A t a t i asent j asent asent a t a t k
p p
2 2
   
( 2 ( 2 2 )) cos
absent ab t
´ = - +  +   
( ) ( ) cos
V t A t i j a sen t t k
p p
2 2
2 cos
´ = - +
( ) ( )
absent ab t
V t A t i j a k
p p
2 2
Luego calculamos el módulo de este vector:
( ) 2 2
2 2 cos
    ´ =   + -  +
( ) ( )
absent ab t
V t A t a
p p
2 2
   
2 2
ab ab
    ´ =   +   +
( ) ( ) 2 cos2 4
V t A t sen t t a
p p
2 2
   
( ) 2 2
ab ab
    ´ =   + + =   +
( ) ( ) 2 cos2 4 4
V t A t sen t t a a
p p
2 2
   
Sustituyendo en la fórmula de curvatura, se tiene:

23.  ab  2  a 2 b 2   2 2 + 4
a b + 4
p
2 a 4
   + a 4 ´   a
  = =   =   =
  p p p k
2 2
( ) ( ) 2 4 4
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
 +   +  +    
     
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
( )
( ) 4 4 4
2 8 8
V t A t
t
V t a b a b a b
p p p
p p p
 
 
+
a b 4
p
a
4 p 8 p 4 p 8 p 4 p k
( )
+ + = = =
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 4
3 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2
3 3 3
+ + +
p p p p p
p
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4
3
8
a b a a b a
t
a b a b a b
3 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 )
( )
( )
p p p p
8 4 4 4
a b a a b a
3
2 2 2
( )
2 4
t
a b
k
p p
+ +
= =
p
p
4
4
a
a b
4p 2a2 + b2 ( )
+ ( )3
2
2
2 2 2
=
+
k p
2
4
2 2 2
( )
4
a
t
a b
p
=
+
Respuesta: La curvatura en este caso es:
k p
2
4
2 2 2
( )
4
a
t
a b
p
=
+
Ejercicio 4
Determina el vector binormal para la curva C de ecuación vectorial:
F(t) = (3cos t,3sent, t )
Solución
Justificación: De “13” se tiene que el vector binormal es:
B(t) = T (t)´ N(t) , por lo tanto debemos calcular los vectores unitarios tangente
y normal.
' '
( ) ( )
F t T t
= =
( ) y ( )
T t N t
' '
( ) ( )
F t T t
De F(t) = (3cos t,3sent, t ) , se tiene:
F' (t) = (-3sent,3cos t,1)
Su modulo es:
( ) ( ) ( ) ( ) F' (t) = -3sent 2 + 3cos t 2 +12 = 9  sent 2 + cos t 2  +12 = 9 +1 = 10  
Entonces:

24. '
F t
T t sent t
'
( ) 3 3 1
( ) , cos ,
( ) 10 10 10
F t
 
= =  - 
 
Posteriormente de
 = - 3 3 1


 
( ) , cos ,
T t sent t
10 10 10
, se tiene:
 
=  - - 
 
' 3 3
( ) cos , ,0
T t t sent
10 10
Su modulo es:
2 2
   
' 3 3
( ) cos
= -  +  - 
T t t sent
10 10
   
( ) ( ) ' 2 2 9 9 9 3
T ( t ) =  cos
t + sent  = = =
10 10 10 10
Luego el vector normal unitario es:
( )
'
'
3 3
( ) 10 10 0 ( ) cos , , cos , ,0
( ) 3 3 3
10 10 10
T t
N t t sent t sent
T t
 
 
= =  - -  = - -
 
 
 
Finalmente el vector binormal es el producto vectorial:
i j k
3 3 1
( ) ( ) ( ) cos
B t T t N t sent t
10 10 10
cos t sent
0
= ´ = -
- -
   -   
=  +  -  +  +  + 
     
3 sent 3 cos t
3 2 3 2
( ) 0. cos 0. cos
B t t i sent j sen t t k
10 10 10 10 10 10
 
cos 3 ( 2 2 ) cos 3
sent t sent t
= - +  +  = - +
( ) cos
B t i j sen t t k i j k
10 10  10 
10 10 10
( ) 1
B t = sent - t
( ) , cos ,3
10
1
Respuesta: El vector binormal es: B ( t ) = ( sent , - cos t
,3
) 10
Ejercicio 5
Considera la función vectorial ( ) : 0, 3
2
F t
 p  ®  
ℝ , definida por:

25. F(t) = ( 2 cos t, sent, sent )
Calcula el triedro de Frenet en el punto
4
F
p 
 
 
.
Solución
Justificación: De “14” se sabe que los 3 vectores T (t) , N(t) y B(t)
forman el triedro de Frenet, entonces se procederá semejante al ejercicio
inmediato anterior:
' '
( ) ( )
F t T t
= = = ´
( ) , ( ) y ( ) ( ) ( )
T t N t B t T t N t
' '
( ) ( )
F t T t
De F(t) = ( 2 cos t, sent, sent ), se tiene:
F' (t) = (- 2sent, cos t, cos t )
Su modulo es:
( ) ( ) 2
F' (t) = - 2sent + cos 2t + cos2 t = 2sen 2t + 2cos 2t = 2 sen 2t + cos 2t = 2
Como se pide en el punto
4
F
p 
 
 
, se tiene:
p     ' = - p  p  p  = - 2 2 2   2 2 2   2 2
 F   2 sen   , cos   , cos     2 , ,  = - , ,  =  - 1, ,
 4    4   4   4    2 2 2   2 2 2   2 2
 
Su modulo es:
( )
2 2
' 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
4 2 2 4 4 4
F
p           +    = - +   +   = +   +   = +   = + =            
NOTA: Como el módulo F' (t) no depende de t , puedes obviar el calculo
F p 
'
4
 
 
F p    =
y tomar sin problemas que: ' 2
4
 
.
Entonces:
'
 
    =  4   = - 1 2 2   = - 1 2 1 1   2 1 1
   , , , , = - , ,
 4  '
    2 2 2 2 2     2 2 2 2     2 2 2
 
4
F
T
F
p
p
p
 
 
Posteriormente se tiene:

26.  = - 2 1 1   
 = - 1 2 1 2

   
( ) , cos , cos , cos , cos
T t sent t t sent t t
2 2 2 2 2 2 2
 = - 2 2

 
 
( ) , cos , cos
T t sent t t
2 2
De donde:
 
=  - - - 
 
' 2 2
( ) cos , ,
T t t sent sent
2 2
Su modulo es:
( )
2 2
   
' 2 2 2
( ) cos
= - +  -  +  - 
T t t sent sent
2 2
   
' 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 ) 2 ( 2 )
    = +   +   = + = + =
( ) cos cos 2 cos 1
T t t sen t sen t t sen t t sen t
4 4 2
   
Como se pide en el punto
4
F
p 
 
 
, se tiene:
T p    =
 
' 1
4
Y el vector '
4
T
p 
 
 
es:
' p   = - p  - 2 p  2
p   T    cos   , sen   ,
- sen     4    4  2  4  2  4
 
p    '  = - 2 - 2 2 - 2 2 = - 2 2 2   2 1 1
 T   , , , - , - = - , - ,
-  4   2 2 2 2 2    2 4 4    2 2 2
 
Luego el vector normal unitario en
p
es:
4
'
  - - -    =      =   =  - - -    '
     
       
2 1 1
4 2 2 2 2 1 1 , , , ,
4 1 1 1 2 2 2
4
T
N
T
p
p
p
   
Finalmente el vector binormal es el producto vectorial:

27. i j k
2 1 1
p  p  p    =  ´   = -
     
4 4 4 2 2 2
2 1 1
2 2 2
B T N
- - -
B i j k p          =  - +  - - - +  + - - +         
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1
. . . . . .
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
B i j k p          =   -   +          
2 2 2 2 2
4 4 4 4
p    = - +
 
1 2 2
B i j k
4 2 2 2
Luego el Triedro de Frenet esta conformado por los 3 vectores:
Respuesta:
p   = - 2 1 1
 T   , ,
 4    2 2 2
 
,
p   = - 2 - 1 1
 N    , ,
-  4  2 2 2
  
y
p   = 1 - 2 2
 B   , ,
 4    2 2 2
 
.
Ejercicio 6
Dada la curva definida por F(t) = (a cos t, asent, g(t)) , prueba que ésta es
plana si g(t) es solución de la ecuación g''' (t) + g' (t) = 0 .
Solución
Justificación: Para que una curva sea plana, su torsión debe ser cero, y
como ya habíamos encontrado, la torsión es:
( F ' ( t ). F '' ( t ). F ''' ( t
)
)
' '' 2
( )
( ) ( )
t
F t F t
t =
´
Para que sea cero, tenemos:
( ' '' ''' )
t = = ' '' '''
=
( ). ( ). ( )
F t F t F t
( t ) 0 F ( t ). F ( t ). F ( t
) 0
' '' 2
´
( ) ( )
F t F t
Recuerda que el producto mixto F' (t).F'' (t).F''' (t) , se puede escribir:
F' (t)´ F'' (t) F''' (t)  i

28. Además, este producto mixto, no es más que un determinante, cuya
primera fila son las componentes del vector F' (t) , la segunda fila, las
componentes del vector F'' (t) y la tercera fila las componentes del vector:
F''' (t) .
Procedamos entonces a calcular F' (t) , F'' (t) y F''' (t) , para conocer
dichas componentes:
F(t) = (a cos t, asent, g(t))
La primera derivada es:
F' (t) = (-asent,a cos t, g' (t))
La segunda derivada es:
F'' (t) = (-a cos t,-asent, g'' (t))
La tercera derivada es:
F''' (t) = (asent,-a cos t, g''' (t))
Por lo tanto, se plantea el determinante:
'
cos ( )
asent a t g t
-
=  ´  = - - =
' '' ''' ' '' ''' ''
( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) 0
F t F t F t F t F t F t a t asent g t
'''
cos ( )
-
asent a t g t
i
Calculemos este determinante:
-
- - =  - - + + - -   
asent a t g t
a t asent g t asent asent g t asent a t g t a t a t g t
asent a t g t
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
'
'' ''' '' '
'''
' '' '
cos ( )
cos ( ) ( ) cos ( ) cos cos ( )
cos ( )
( ) cos ( ) cos cos
asent asent g t asent a t g t a t a t g
-
-  - + - - + - ( '' (t)) = 0
-
'
- - =  + + 
asent a t g t
a t asent g '' t g ''' t a 2 sen 2 t g '' t a 2 sent t g ' t a 2 2
t
asent a t g '''
t
' 2 2 '' 2 ''' 2 2
cos ( )
cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos
cos ( )
( ) ( ) cos ( ) cos 0
g t a sen t g t a sent t g t a t
-
- - + -  =
= g''' (t)a2sen2t + g' (t)a2sen2t + g'' (t)a2sent cos t - g'' (t)a2sent cos t + g' (t)a2 cos2 t + g''' (t)a2 cos2 t = 0
= g''' (t) + g' (t) a2sen2t + g' (t) + g''' (t) a2 cos2 t = 0    
= g''' (t) + g' (t) a2 (sen2t + cos2 t ) = 0

29. Como: sen2t + cos2 t =1, se tiene:
= ''' + ' 2 '''   = ® + '
= =
0
g (t) g (t) a 0 g (t) g (t) 0
2
a
Por lo tanto, el producto mixto es cero si:
g''' (t) + g' (t) = 0
Respuesta: Se desmostro que la curva es plana si g(t) es solución de la
ecuación g''' (t) + g' (t) = 0 .
Ejercicio 7
Dada la curva C descrita por F(t) = (cos t, sent,bt ) (hélice circular).
Calcula el valor de b para que la torsión sea siempre igual a la curvatura.
Solución
Justificación: En este caso, calcularemos la curvatura por un lado y
luego la torsión, para finalmente igualarlas, ya que se nos pide que sean
iguales.
La curvatura se puede calcular así:
' ''
( ) ( ) ( ) ( )
V t A t F t F t
( ) ( )
3 3
'
( )
( ) ( )
t
V t F t
k
´ ´
= =
De F(t) = (cos t, sent,bt ) , se tienen las 2 derivadas:
F' (t) = (-sent,cos t,b) y F'' (t) = (-cos t,-sent,0)
Por lo tanto:
i j k
' ( ) '' ( ) cos
F t F t sent t b
cos t sent
0
´ = -
- -
i j k
sent t b t bsent i sent b t j sen t t k
cos (0.cos ) ( ) ( 0. ) ( cos ) ( 2 ) (cos2 )
- =  +  -  - +  +    + 
- cos t -
sent
0
Recordando (sen2t )+ (cos2 t ) =1, se tiene:
F' (t)´ F'' (t) = bsenti - b cos t j + k
El modulo de este vector es:
F' (t)´ F'' (t) = b2sen 2t + b2 cos2 t +12 = b2 (sen 2t + cos2 t )+1 = b2 +1

30. Y el modulo del vector F' (t) = (-sent,cos t,b) , es:
F' (t) = sen2t + cos2 t + b2 = 1+ b2
Por lo tanto la curvatura es:
k = + = + = +
2 2 2
1 1 1
b b b
( ) ( )
3 3
3
+ 2 + 2
( )( )
1 1
t
b b
1 1
1 b 1 b
= =
2 +
2
1+ b2 ( + 2
)Ahora calculemos la torsión:
( ' '' ''' ) ' '' '''
( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( )
F t F t F t F t F t F t
' '' 2 ' '' 2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
F t F t F t F t
t
 ´  = =
´ ´
i
Calculemos la tercera derivada:
F''' (t) = (sent,-cos t,0)
Y como ya sabemos que: F' (t)´ F'' (t) = (bsent,-b cos t,1) , por lo tanto, el
producto mixto es:
F' (t)´ F'' (t)iF''' (t) = (bsent,-bcos t,1)i(sent,-cos t,0) = bsen2t + b cos2 t + 0 = b(sen2t + cos2 t ) = b.1 = b
Por otro lado, en la curvatura se calculo el modulo del vector:
F' (t)´ F'' (t) = b2 +1 , por lo tanto la torsión es:
b b
t = =
( )2 2
2
( )
+ 1 1
+
t
b b
Finalmente igualamos la curvatura y la torsión, así:
k (t) =t (t)
1
1 1
b
=
+ +
2 2
b b
1
=
b
1+ b 2
1 +
b
2
®1 = b
Por lo tanto para que la curvatura sea igual a la torsión, el valor de b es:
Respuesta: b =1.

31. Ejercicio 8
Calcula el vector tangente unitario a la curva representada por la función
  =  
 
vectorial ( ) 2cos ,3 2 ,
t
F t t sen t
p
en
t
= p .
3
Solución
Justificación: Este ejercicio es bastante sencillo, porque solo nos piden el
vector tangente unitario, que sabemos es:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
Entonces:
( )' ' 1
  = - 
 
F (t) 2sent,3 2 sent sent ,
p
i i i
' 1
F (t) 2sent,6sent cos t,
  = - 
 
p
Como se nos pide el vector tangente unitario en
t
= p , se tiene:
3
p p p p
            = -       
         
' 1
2 ,6 cos ,
F sen sen
3 3 3 3
p
Recuerda que en tu calculadora puede usar
t
= p , pero debes colocarla
3
en radianes, ó dejar la calculadora en grados y usar:
= p = 180º
t
= 60º
, así:
3 3
p
' ( ) ( ) ( ) 1
      = - 2 60º ,6 60º cos 60º ,

   
F sen sen
3
p
      = -  = -    
' 3 3 1 1
   
  = - 
   
2 ,6 , 2
3 2 2 2
F
p
p
3
2
3 1 3 3 1
,6 , 3, ,
4 p 2 p
Ahora calculamos el modulo de este vector:
( ) ( ) 2 2
  2
  = - + +         = + + = + + = + +      
'
3 3 1 9 3 1 27 1 12 27 1
3 3 3
2 2 2
3 2 4 4 4
F
p
p p p p
F p p p p
  2 + 2 + 2
= + = = =
+    
'
39 1 39 4 39 4 39 4
p 2 p 2 p 2
p
3 4 4 4 2
Por lo tanto el vector tangente unitario en
t
= p , es:
3

32. '
 
    =  3  = 1  3 3 1  2  3 3 1
   - 3, , = - 3, ,
 3  '
  2 +  2  2
+   39 4   39 4  2

3 2
F
T
F
p
p p
p p p p p
p
 
 
i
   = - 2 3 3 2 1 2
   3. , . , .
 3   39 2 +  4 2 39 2 + 4 39 2
+ 4

T
p p p p
p p p p
 
   + 
  -   =
  +
2 3 3 3
2
,
3 39 4 2
T
p p
p
2
p
p + p
.
2
1
,
39 4
2
p
. 39p 2 4
   = - 2 3 3 3 2
    , ,
 3   39 2 + 4 39 2 + 4 39 2
+  4

T
p p p
p p p
Respuesta:
   = - 2 3 3 3 2
    , ,
 3   39 2 + 4 39 2 + 4 39 2
+  4

T
p p p
p p p
.
Ejercicio 9
Calcula la curvatura de la curva S , descrita por:
cos
( ) cos
ab t
S t a ti asent j k
p t
2
= + +
(Hélice circular de paso b )
Solución
Justificación: En este ejercicio te enseñare a valorar el saber las 2
formas de calcular la curvatura, ya que si solo manejas una de ellas, es posible
que no puedas resolver el ejercicio por la magnitud de la derivada, Observa
atentamente.
Sabemos que la curvatura viene dada por:
' ( )
( )
T t
( )
t
V t
k =
En este caso se tiene:
( ) ( ) ' ' '
 ab cos t   ab  t cos t - t cos
t
  = '
=     -    =  -          2
      
( ) ( ) , cos , . , cos , .
V t S t asent a t asent a t
p t p t
2 2
 = = - ab  - tsent - t
'
     
2
cos
( ) ( ) , cos , .
2
V t S t asent a t
p t
   
Calculemos el vector tangente unitario:
'
S t
'
( )
( )
( )
T t
S t
=

33. El modulo de la velocidad es:
  - -   = - + +    
( ) ( )
2
' 2 2
ab tsent t
2
cos
( ) cos .
2
S t asent a t
p t
   
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
= + a b  tsent + cos t  = + a b  tsent + cos
t
2 2     
' 2 2
( ) .
c .
S t a a
2 2 2 2
4
os 1
4
t
e t
t
s n t
p 
p


+
 

2 2  2 2 + + 2
 = +  
' 2
2 cos cos
a b t sen t tsent t t
( ) .
2 4
4
S t a
p t
 
2 2 ( 2 2 2 )
= +    
' 2
 a b t sen t + 2 tsent cos t + cos
t

2 4
( )
4
S t a
p t
 
2 2 4 2 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t a b t sen t tsent t t
2 4
( )
4
S t
t
p
p
=
2 2 4 2 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t a b t sen t tsent t t
2 4
( )
4
S t
t
p
p
=
2 2 4 2 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t a b t sen t tsent t t
2
( )
2
S t
t
p
p
=
2 2 4 2 ( 2 2 2 )
'
a   4 t + b t sen t + 2 tsent cos t + cos
t
 =
 2
( )
2
S t
t
p
p
2 2 4 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t b t sen t tsent t t
2
( )
2
S t
t
p
p
=
2 4 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t b t sen t tsent t t
2
( )
2
S t
t
p
p
=
Luego el vector tangente unitario es:

34.   ab  - tsent - t
   =  - asent a t p
   t
2
   p 2 4 + 2 ( 2 2 2  + + ) p 2 4 + 2 ( 
2 2 + + 2 ) p
2 4 + 2 ( 2 2 + + 2
)

 
 
p p p
2 2 2
cos
.
cos 2
( ) , ,
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
2 2 2
T t
a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t
t t t
 - 2 p
abt 2
 tsent + cos
t
   .
2 2    =  - 2 p at sent 2 p at cos t 2
p
 t
2
 
 + + + + + + + + +   
 
( ) , ,
( ) ( ) ( )
p p p
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
T t
a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t
 
 
 2

 
 + + + 
 
 
( )
a
T t
= - p
t2sent
a 2 4 2 ( 2 2 2 )
2
,
4 2 cos cos
a
t b t sen t tsent t t
p
p + + +
t2 cos t
a 2 4 2 ( 2 2 2 )
2
,
4 t b t sen t 2tsent cos t cos t
p
p
-
+ + +
+
ab t2
2p 2
cos
.
tsent t
t
a
 
 
 
4p 2t 4 b2 (t2sen2t 2tsent cos t cos2 t )
   - 2 p t sent 2 p
t cos t - b tsent + cos
t
=    + + + + + + + + +  
( ) , ,
( ) ( )
( )
( )
2 2
p p p
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
T t
t b t sen t tsent t t t b t sen t tsent t t t b t sen t tsent t t
Ahora imagina si intentas calcular T ' (t) , pues sería muy laborioso, y la
probabilidad de equivocarte sería mucho mayor.
Afortunadamente, la curvatura, también puede calcularse así:
( ) ( )
V t A t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
Ahora veras que por este camino es mucho más sencillo obtener la
curvatura.
Ya sabemos que:
 = = - ab  - tsent - t
'
     
2
cos
( ) ( ) , cos , .
2
V t S t asent a t
p t
   
Entonces:
 = = = - - ab  - tsent - cos
t
 '
 ' ''
   2
   
( ) ( ) ( ) cos , , .
2
A t V t S t a t asent
p t
( ) ( ) ( )
  2 '
 ab t - tsent - cos t ' - t 2 - tsent - cos
t
  = - -      ( 2 )
2
 
   
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p t
2 ( ) ( )
 ab  t - sent - t cos t + sent - 2 t - tsent - cos
t
 
=  - -   4

   
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p t

35. = - - ( ) ( )
 ab  t
 - - + - - -   
   
   
   
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p
t sent t cos t sent 2 tsent cos t
4
t
 ab  t sent
- - -      
   
   
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p
-
= - -
( - t cos t + sent ) ( )
3
2 tsent cos t
t
  = - - ab - t 2
cos t + 2 tsent + 2cos
t
    
 3
   
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p t
Efectuando el producto vectorial:
 - -  ´ = -   =
2
i j k
2
3
cos
( ) ( ) cos .
2
cos 2 2cos
cos .
2
ab tsent t
V t A t asent a t
t
ab t t tsent t
a t asent
t
p
p
 
 - + +  - -  
 
 a 2 b cos t  - t 2 cos t + 2 tsent + 2cos t    + a 2
bsent  - tsent - cos
t
   .   .
3    2
 
 2     2
  
i
p t p t
 a 2 bsent  2    2
- - - t cos t + 2 tsent + 2cos t + a b cos t  - tsent - cos
t
   .     .
3   
 2     2
 2
 
j
p t p t
+ (a2sen2t )+ (a2 cos2 t ) k
Vamos a simplificar cada componente, para la componente i
, se tiene:
 - a 2 bt 2 cos 2 t + 2 ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos 2 t   - ta 2 bsen 2 t - a 2
bsent cos
t
   +  
 2 3   2
2

i
p t p t
- a 2 bt 2 cos 2 t + 2 ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos 2 t - t 2 a 2 bsen 2 t - ta 2
bsent cos
t

 
 2
3

i
p t
- a 2 bt 2 cos 2 t - t 2 a 2 bsen 2 t + ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos
2
t

 3

 2

i
p t
2 2 ( 2 2 ) 2 2 2
- a bt cos t + sen t + ta b cos tsent + 2 a b cos
t

 
 2
3

i
p t
Como cos2 t + sen2t =1, se tiene:

36. - a 2 bt 2 + ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos
2
t

 
 2
3

i
p t
, se tiene:
Para la componente j
 t 2 a 2 bsent cos t - 2 ta 2 bsen 2 t - 2 a 2 bsent cos t   - ta 2 2 2
- + b cos tsent - a b cos
t
  
 2 3     2
2

j
p t p t
 2 2 - t a bsent cos t - 2 ta 2 bsen 2 t - 2 a 2 bsent cos t - t 2 a 2 b cos tsent - ta 2 b cos
2
t
  
 2
3

j
p t
 - 
 
 
t 2a2bsent cos t -
- 2ta2bsen2t - 2a2bsent cos t - t 2a2b cos tsent 2 2
3
cos
2
ta b t
j
p t
 2 ta 2 bsen 2 t + 2 a 2 bsent cos t + ta 2 b cos
2
t

 
 2
3

j
p t
, se tiene:
Para la componente k
(a2sen2t )+ (a2 cos2 t ) k = a2 (sen2t )+ (cos2 t ) k = a2 k
Entonces:
- a 2 bt 2 + ta 2 b cos tsent + 2 a 2 2
 ´ = b cos
t
  +
V t A t i
3
( ) ( )
p t
2
 
 2 2 + 2 + 2 2
   +
 
2
2 2 cos cos
ta bsen t a bsent t ta b t
3
2
j a k
p t
Luego calculamos el módulo de este vector:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
  ´ = - a bt + ta b cos tsent + 2 a b cos t + 2 ta bsen t + 2 a bsent cos t + ta b cos
t
     +
V t A t a
p t p t
3 3
( ) ( )
2 2
   
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
 - a bt + ta b cos tsent + 2 a b cos t   2 ta bsen t + 2 a bsent cos t + ta b cos
t
 ´ =   +   +
V t A t a
p t p t
2 6 2 6
( ) ( )
 4   4

   
( 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 2 2 2 2 ) 2
4
 - a bt + ta b cos tsent + 2 a b cos t + 2 ta bsen t + 2 a bsent cos t + ta b cos
t
 ´ =   +
V t A t a
p t
2 6
( ) ( )
 4

 
Ahora calculamos: ( )3 V (t) :
  - -   = =  -   
De: '
ab tsent t
2
cos
( ) ( ) , cos , .
2
V t S t asent a t
p t
   
, se tiene:

37.  - -  = - + +  
( ) ( )
2 2 2
2 2
a b tsent t
2 2
cos
( ) cos .
4
V t asent a t
p t
 
2 2 2
= 2 2 + 2 2
+ a b  tsent + t
  
2 2
cos
( ) cos .
4
V t a sen t a t
p t
 
( ) 2 2 2
= 2 2 + 2
+ a b  tsent + t
  
2 2
cos
( ) cos .
4
V t a sen t a t
p t
 
2 2 2
= 2
+ a b  tsent + t
  
2 2
cos
( ) .
4
V t a
p t
 
  +    +  =  +    = +  
2 2 2 2
cos cos
b tsent t b tsent t
2 2
( ) 1 . 1 .
V t a a
p t p t
2 2 2 2
4 4
     
2 2
= + b  tsent + t
  
2 2
cos
( ) 1 .
4
V t a
p t
 
Luego:
( )
3
 2  +  2
 =  +         
3 3
b tsent t
2 2
cos
( ) 1 .
4
V t a
p t
Sustituyendo en la fórmula de curvatura, se tiene:
 - a bt + ta b tsent + a b t + ta bsen t + a bsent t + ta b t
   +
 ( ) ´ ( ) 4
 = =
  ( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
2 6
3 3
 2  +  2
  +         
3
2 2
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p

38.  a - bt + tb tsent + b t + a tbsen t + bsent t + tb t
   +
 ( ) ´ ( ) 4
 = =
  ( )
4 ( 2 2 )2 4 ( 2 2 )2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
2 6
3 3
 2  +  2
  +         
3
2 2
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
 - + + + + +     +   
   ´    = =
( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
2 6
3 3
 2  +  2
  +         
3
2 2
1
4
( ) ( )
( )
( ) cos
1 .
4
a
t
V t A t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
 - + + + + +    +
  ´   = =
( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
2 6
3 3
 2  +  2
  +         
3
2 2
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
 - + + + + +    +
  ´   = =
( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
2
cos 2 cos 2 2 cos cos
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
2 6
3 3
 2  +  2
  +         
3
2 2
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
( ) ( )
( )
2
3
( )
( )
a
V t A t
t
V t
k
´
= =
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
 - bt + tb cos tsent + 2 b cos t + 2 tbsen t + 2 bsent cos t + tb cos
t
   +
 2 6

 
3
1
4
t
a
p
3
 2  + b  tsent + cos
t
 2
 1 .
    4
p 2  t
2
   
 - + + + + +    +
´   V t A t t
= =
  ( )
( bt 2 2 2
tb cos tsent 2 b cos 2 t ) ( 2 tbsen 2 t 2 bsent cos t tb cos
2 t
) 2 6
3 3
 2 2
  +  +    2   2
    
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
Respuesta: La curvatura en este caso es:

39.  - + + + + +    +
´   V t A t t
= =
  ( )
( 2 2 2
bt tb cos tsent 2 b cos 2 t )( 2 tbsen 2 t 2 bsent cos t tb cos
2 t
)2 6
3 3
 2 2
  +  +    2   2
    
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
Ejercicio 10
Demuestre que la curvatura de la hélice circular descrita por:
r(t) = (a cos t,asent,ct ), a 0
Es constante en todos sus puntos.
Solución
Justificación: Sabemos que la curvatura viene dada por:
' ( )
( )
T t
( )
t
V t
k =
En este caso se tiene:
V (t) = F' (t) = (-asent, a cos t, c)
Calculemos el vector tangente unitario:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
El modulo de la velocidad es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F' (t) = -asent 2 + a cos t 2 + c 2 = a2sen 2t + a2 cos2 t + c2
F' (t) = a2 (sen 2t )+ (cos2 t ) + c2 = a21+ c2
F' (t) = a2 + c2
Luego el vector tangente unitario es:
F '
( t )  - asent a cos
t c
 = =  
( ) , ,
' 2 2 2 2 2 2
( )
T t
F t a c a c a c
 + + + 
El vector T ' (t) es:
'
 = - a cos
t - asent


 + + 
( ) , ,0
2 2 2 2
T t
a c a c
Luego su modulo es:

40. 2 2
     2 2   2 2

'
cos cos
= -  +  -  =   +  2 + 2 2 + 2  2 + 2   2 + 2
     
( )
a t asent a t a sen t
T t
a c a c a c a c
2 2 2 2 2 ( )
'
 cos +   cos2 + n 2

=  =    2 + 2    2  + 2
 
( )
a t a sen t a
T t
a
t se
c a
t
c
 
2 2
'
1
=   = =  +  + +
2 2 2 2 2 2
( )
a a a
T t
a c a c a c
Luego la curvatura es:
k = = + = =
( )
'
2 2
+ + +
2 2 2 2 2 2 2
( )
( )
( )
a
T t a c a a t
V t a c a c a c
Se observa claramente que la curvatura es constante, porque no
depende de la variable te.
Respuesta: Se demostró que la curvatura es constante.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1

41. Calcula la ecuación del plano normal a la curva F(t) = (t2 -1 , t , t3 )
perpendicular al plano x + y –z = 1.
Ejercicio 2
Dada la curva r(t) = (2t2 +1, t3, t2 ) , determina la ecuación del plano
osculador en el punto de coordenadas (3,1,1).
Ejercicio 3
Si la trayectoria de una partícula esta dada por la función vectorial
F(t) = (t,1- t3,p ) , determina la velocidad, la aceleración y las componentes
tangencial y normal de la aceleración.
Ejercicio 4
Halle la velocidad, la rapidez y la aceleración para la función vectorial


 = - -2 t
f (t) e2t cos t , et (1 sent) , e

en el punto (1 , 1 , 1)
Ejercicio 5
Calcula el radio de curvatura de la curva F(t) = (t2 -1 , 2t , 4 - t3 ) en el
punto de coordenadas (3, 4, - 4).
Ejercicio 6


= + t
+ 2
Sea la función F:[0,2] ®R3 definida por:  

 

2
F(t) 2, t 1,
2
.
Halle el vector normal y la curvatura en el punto t = 1
Ejercicio 7


3t
= 4t
Considera la función vectorial 
F(t) sen 4t , , cos , calcula su

p
curvatura en el punto (0 , 3 , 1).
Ejercicio 8
Calcula la curvatura y la torsión de la curva descrita por la función f(t) =
(senh t, cosh t, t) en el punto (0 , 1, 0).
Ejercicio 9
Si la posición instantánea de una partícula viene dada por:
F(t)=(1 + sent , cos t , 2 cos t - sent).
a) Demuestra que la partícula se mueve en un plano.

42. b) Encuentra la ecuación del plano.
Ejercicio 10
Para calcular la curvatura de una función vectorial F con recorrido en IR3
encontramos que:
|| K(t) || =
|| F' (t)´ F' ' (t) ||
|| F' (t) || 3
Pruebe que para una curva plana con ecuación y=f(x) se tiene
f ''(x)
+ 2 3/2
|| K(t) || = .
(1 ( f ' (x)) )