Problema de la dieta en programacion lineal

1. PROBLEMA DE LA DIETA

2. HISTORIA
La programación lineal fue
inicialmente desarrollada por Janos
Von Neumann quien proporciono los
fundamentos de la PL en su trabajo
Teoría de Juegos en 1928. Sin
embargo, los cimientos de la
programación lineal se remontan a
Newton, Leibnitz, Bernulli y Lagrange
que desarrollaron una serie de trabajos
para obtener mínimos y máximos en
condiciones de ciertas funciones.
Asimismo el matemático francés Jean
Baptiste-Joseph Fourier esbozó
métodos de la actual programación
lineal. Y en los últimos años del siglo
XVIII, Gaspar Monge asentó los
precedentes del Método Gráfico
gracias a su desarrollo de la Geometría
Descriptiva.

3. Luego en 1939, el matemático ruso L.
Kantorovich, en colaboración con el
matemático holandés T. Koopmans,
desarrolló la teoría matemática llamada
"Programación Lineal", por la que les
fue concedido el premio Nobel.
A finales de los años 30 y principios
de los 40, George Joseph Stigler
planteó un problema particular
conocido como régimen alimenticio
optimal o más comúnmente conocido
como problema de la dieta, que surgió
a raíz de la preocupación del ejército
americano por asegurar unos
requerimientos nutricionales al menor
coste para sus tropas. Fue resuelto
mediante un método heurístico cuya
solución difería tan sólo unos
céntimos de la solución aportada años
más tarde por el Método Simplex.

4. Este problema representa una de las primeras aplicaciones
de la PL, y comenzó a utilizarse en los hospitales para
determinar la dieta más económica con la que alimentar a
los pacientes a partir de unas especificaciones nutritivas
mínimas. En la actualidad también se aplica con éxito en el
ámbito agrícola con la misma idea de encontrar la
combinación óptima de alimentos que, logrando un aporte
nutritivo mínimo, suponga el menor coste posible.
La utilidad de la PL se basa en obtener el máximo de los
recursos dados una serie de restricciones.

5. "EL PROBLEMA DE LA DIETA" DE
STIGLER
La formulación general de este problema es:
Para que una dieta sea equilibrada deben ingerirse n
elementos nutritivos básicos en cantidades mínimas
b1, b2,..., bs. Estos elementos se encuentran en m
alimentos. Conocemos cuál es la cantidad de cada
elemento en cada unidad de cada uno de los
alimentos y el coste de la unidad de cada alimento.
Se debe minimizar el coste de la dieta pero
cubriendo las necesidades nutritivas mínimas.
Objetivo:
Encontrar la combinación de alimentos de costo
mínimo que permita satisfacer nueve requerimientos
nutricionales básicos de una persona de peso
promedio.
Motivación:
Reducir costos en el abastecimiento de tropas.

6. Motivación: Restricciones:
Reducir costos en el abastecimiento 2x1 + x2 = 3 (Requerimiento
de tropas. mínimo de proteína )
Modelación matemática x1 + 2x2 = 3 ( Requerimiento
Función objetivo: mínimo de carbohidratos )
min. x1 + x2 ( Buscar el mínimo x1 = 0 ( cantidad mínima de papas
costo al combinar cantidades x de en la dieta )
alimento por su costo unitario) x2 = 0 (Cantidad mínima de fréjoles
en la dieta )

7. En su intento por resolverlo, Stigler obtiene una de las primeras formulaciones de
programación lineal: con 77 variables y 9 restricciones. Encuentra una solución
por métodos heurísticos: $39.93 en 1939. Cabe destacar que los métodos
heurísticos son las soluciones basadas en la experiencia, como la programación
heurística. Estos métodos son utilizados dentro de la Investigación de
Operaciones y para resolver problemas de programación lineal entera.
Por otra parte luego de algunos años después Laderman en 1947 usó el simplex
para encontrar la solución óptima siendo el primer cálculo a gran escala que
preciso de 120 días-hombre empleando 10 calculadores de escritorio manuales con
$39.69 sólo 24 ctvs. Más barato que Stigler.
Claro el avance de la computación hace de estas experiencias simplemente
anecdóticas. Pero la idea básica es la misma. Ahora veamos un ejemplo donde la
programación lineal cobra importancia.

8. Ejemplo: A B C D
Nos proponemos
M 100 - 100 200
alimentar el ganado de una
granja con una dieta que N - 100 200 100
sea la más económica
posible. Dicha dieta debe La dieta diaria de un animal
contener cuatro tipos de debe estar compuesta por al
nutrientes que llamamos A, menos 0.4Kg del
B, C, y D. Estos componente A, 0.6Kg del
componentes se componente B, 2Kg del
encuentran en dos tipos de componente C, y 1.7Kg del
piensos M y N. La componente D. El
cantidad, en gramos, de compuesto M cuesta 0.2€/Kg
cada componente por kilo y el compuesto N 0.08€/Kg.
de estos piensos viene ¿Qué cantidades de piensos
dada en la tabla siguiente: M y N deben adquirirse para
que el gasto de comida sea el

9. Se determinan las variables de decisión Se expresan todas las
y se representan algebraicamente. En condiciones implícitamente
este caso:
establecidas por la naturaleza
X1: cantidad de pienso M en Kg
de las variables: que no puedan
X2: cantidad de pienso N en Kg ser negativas, que sean enteras,
Se determinan las restricciones y se y que solo puedan tomar
expresan como ecuaciones o determinados valores. En este
inecuaciones de las variables de
decisión. Dichas restricciones se
caso, la única restricción es que
deducen de la composición requerida las cantidades de pienso que
para la dieta diaria (en Kg): forman la dieta no pueden ser
En el componente A: 0.1·X1 + negativas:
0·X2 ≥ 0.4 X1 ≥ 0
En el componente B: 0·X1 + X2 ≥ 0
0.1·X2 ≥ 0.6
En el componente C: 0.1·X1 + Se determina la función
0.2·X2 ≥ 2 objetivo:
En el componente D: 0.2·X1 + Minimizar Z = 0.2·X1 +
0.1·X2 ≥ 1.7 0.08·X2

10. Cantidad de pienso M en Kg (X1): 4.0
Cantidad de pienso N en Kg (X2): 9.0
La función se minimiza en 1.52