Cette intervention porte sur la modélisation et l'optimisation de la demande des stocks de distribution

1. Vème Conférence Internationale en Recherche Opérationnelle
CIRO'10
Marrakech, 24­27 Mai 2010
Modélisation Stochastique de la demande
pour les stocks de distribution par une loi
de probabilité Log­normale
Mohamed El Merouani
Département de Statistique et Informatique
Faculté Polydisciplinaire de Tétouan
Université Abdelmalek Essaâdi
Tétouan-Maroc

2. Introduction:
● Modéliser la demande lors de la période de
livraison.
● On considère la demande des stocks de
distribution comme variable aléatoire qui suit une
loi de probabilité Log­normale
● Tadikamalla (1979); Das (1983); Aggarwal
(1984); Al­Harkan & Hariga (2007).
2

3. Objectifs:
● Optimiser (minimiser) le coût total de stockage.
● Déterminer le minimum de la quantité
commandée et le point de commande.
● Déterminer le nombre moyen des ruptures.
● Déterminer le minimum de l'espérance du coût
total du stock de sécurité,
 On discute les deux cas:
✔ coût de rupture connu,
✔ coût de rupture proportionnel.
3

4. Modélisation Stochastique de la
demande:
● Lois de probabilités: discrètes et continues.
● Dans le cas discrèt, ● Dans le cas
on utilise la loi de continue, on utilise
Poisson. la loi normale.
● Loi de Poisson (Non), pourquoi?:
● Discrète.
● Sa variance=sa moyenne.
4

5. Loi normale?
● Loi normale, non, les raisons:
● une loi normale a une probabilité non nulle de
prendre des valeurs négatives.
● La demande d'un produit est normale
lorsqu'elle porte sur un grand nombre d'unités.
● Elle est symétrique par rapport à la moyenne.

6. Loi exponentielle?
● Losque la symétrie n'est plus vérifiée,
● La loi exponentielle (négative).
● De même, la loi exponentielle, non, parce que:
● Elle est caractérisée par E=

● Loi exponentielle négative, modélise les

phénomènes de désintégration.

7. Loi Log­normale:
● On se propose de modéliser la demande X
pendant le délai de livraison L par une loi de
probabilité Log­normale.
● X ~ , 
Notation: si sa fonction de densité
de probabilité est
{
2
1 1  Ln x −μ 
exp {− } si x0
f  x =  2π σx 2 σ
2
0 si x≤0

8. Loi Log­normale:
● La loi lognormale a la propriété d'être asymétrique
et étalée vers la droite

9. Schéma multiplicative:
● La demande durant le délai de livraison L est
notée X et elle est supposée égale à :
X=D.L
où D est la demande globale ou totale

10. Schéma multiplicative:
● Lorsque la demande D et le délai de livraison (ou
de production) L sont des v.a., alors la demande
X, les dates et durées de rupture de stocks
éventuelles et les coûts de détention deviennent
eux­mêmes aléatoires.

11. Schéma multiplicative:
● Si les lois suivies par D et L sont log­normales à
deux paramètres, alors la loi suivie par le produit
D.L=X est aussi log­normale dont les paramètres
sont exactement la somme des paramètres de D et
de L. Ceci est grâce à la propriété de la fonction
logarithme, Ln(D.L)=Ln(D)+Ln(L).

12. Espérance et variance de la
demande:
● La loi suivie par X et L se caractérise par les deux
paramètres: 2
σ
­L'espérance E  X =exp { μ }
2
­La variance σ2 2μσ
2
Var  X = e −1 e

13. La méthode à point de commande:
● Le point de commande Sc est le niveau de stock
auquel on déclenche une commande ou auquel on
entame la production d’un nouveau lot.

14. La méthode à point de commande:
● La fonction de répartition de la Log-normale étant:
2
1 x 1  Ln t− μ 
F  x =
σ  2π
∫0 t exp {− 2σ2 }dt
● L’événement “une rupture de stock se produit” n’est
rien d’autre que l’événement {X >SC}; en conséquence
la probabilité de rupture s’écrit:
2
1 ∞ 1  Ln t− μ 
P  X S C =1−F  S C =
σ  2π
∫S t exp {− 2σ2 }dt
C

15. Détermination de Sc lorsque le
coût de rupture Cr est connu:
● Nr=nombre de ruptures dans la période de
réference (l'année, par exemple)
●
Cr =Coût de ruptutre
Cr =
●
CS=Coût de détention
●
Ct=Coût totale du stock de sécurité
Ct=CS+Cr

16. ●
L'objectif est min Espérance du coût total de
stockage pendant le délai de livraison.
● Notons E(Ct) l’espérance du coût total du stock
de sécurité
E(Ct) =Cr E(Nr) + CS E(SS)

17. Nous supposons implicitement que la quantité
optimale de commande a déjà été déterminée par

Q
les techniques déterministes classiques (Le modèle
de Wilson).
le coût de rupture total est égal au produit Nr.Cr où
Nr est le nombre de ruptures dans l’année; on a
alors:

18. E D
E  N r = ×P  X S C 
Q
{ }
2
E D 1 ∞ 1  Ln t−μ 
E  N r =

Q σ  2π
∫S t exp − 2σ dt
C
ED
En effet, le rapport est le nombre moyen de
Q
commandes et par conséquent le nombre moyen
de possibilités de rupture de stock.

19. ● Lorsqu’on cherche à évaluer un coût de rupture
moyen (une espérance), il faut connaître le
nombre moyen d’unités non livrées et appliquer
le coût unitaire de rupture à ce nombre (que nous
noterons E(Nn)). On a alors:
∞
E  N n =∫S  x−S  f  x  dx
C
C
∞  x−S C 
2
1  Ln x− μ 
E  N n =
σ  2π
∫SC x
exp {−
2σ 2
}dx

20. ● Un coût de rupture fixe est généralement associé
à des ventes différées et dans ce cas le stock de
sécurité s’écrit :
S S =S C −X

21. E D
Min E(Ct) =C r P  X S C  C S  S C −E  X  
Q
ce qui conduit à résoudre l’équation : ∂ E(Ct)=0
∂ SC
E D
−C r f  S C C S =0

Q
où f est la fonction de densité de la loi log-normale.

22. ● Le point de commande dans ce cas est déterminé
“implicitement” par: 
Q CS
f  S C =
E  D  Cr
pour éviter l’obtention du point de commande
« implicitement » est de considérer la demande
suivant une loi de probabilité log­normale à trois
paramètres, avec SC comme le paramètre seuil.

23. Détermination Sc lorsque Cr
proportionnel:
● Cr fonction linéaire de du nombre d’unités dont
la demande n’a pu être satisfaite Nn.
●
Distinguer deux cas:
●
Ventes différées:
●
Ventes perdues:

24. Ventes différées:
Cr=coût de rupture unitaire
E D
E(Ct) =C S  S C −E  X   C r  E  N n 
Q
E  D  ∞
=C S  S C −E  X   C r
Q ∫S  x−S C  f  x  dx
C
{ }
2
ED 1 ∞  x−SC   Ln x−μ 
 σ  2π ∫S
=C S  S C −E  X   C r exp − 2
dx
Q C x 2σ

25. ● Nn dépende de Sc
E D ∂
[ ]
∞
∂ E(Ct) =C S C r 
Q ∂ SC
∫  x−S  f  x  dx
S
C
C
∂ SC
E D
∂ E(Ct) =C S −C r P  X S C 

Q
∂ SC
Q CS ¿
P  X S C  =1−F  S C  =
E  D  Cr
ou F est la fonction de répartition de la log­normale
(de X)

26. Ventes perdues:
● Le stock de sécurité s’écrit, cette fois:
S
E  S S  =∫0  S C −x  f  x  dx
C
{ }
2
1 S  SC− x   Ln x−μ 
E  S S = ∫0 x exp − 2σ2 dx
C
σ  2π
● Le coût total de stockage s’écrit alors:
[ ]
∞
E(Ct) =C S S C −E  X ∫S  x−S C  f  x  dx
C
E  D  ∞
C r
Q ∫S  x−S C  f  x  dx
C

27. [ E  D
E(Ct)=C S [ S C −E  X  ]  C S C r 
Q ] ∞
∫  x−S  f  x  dx
SC C
∂ E(Ct)=0
∂ SC
CS 
CSQ
P  X S C = =
[ ] [C QC r E  D  ]
E  D S

C S C r
Q

28. Conclusion :
● Cas numériques d’application, surtout dans le cas
d’un très grand nombre de données, que ces
derniers soient réels ou générées par simulation.
● Inférence statistique, en particulier l’estimation
des paramètres de la loi log­normale pour prévoir
la demande futur, ainsi que les délai de livraison
dans les périodes à venir.

29. Conclusion:
● Considérer la demande suivant une loi de probabilité
log­normale à trois paramètres, avec SC comme le
paramètre seuil.
● Modéliser la demande par des processus stochastiques
au lieu de le faire par des simples lois de probabilités.

30. Réferences:
[1] Aggarwal, V. : « Modelling of distributions by value
for multi­item inventory», IEEE Trans., 16, 90­98, 1984.
[2] Aitchison, J. & Brown, J. A. C.: « The Lognormal
Distribution », Cambridge University Press, London,
1957.
[3] Al­Harkan, I. & Hariga, M.: « A Simulation
Optimization Solution to the Inventory Continuous
Review Problem with lot size dependent Lead Time »,
The Arabian Journal for Science and Engineering, Vol.
32, N° 2B, 327­338, October 2007.

31. Références:
[4] Crow, E. L. & Shimitzu, K.: « Lognormal
Distributions: Theory and Applications », Marcel
Dekker, Inc., New York, 1988.
[5] Cohen, A. C.: « Estimating parameters of logarithmic­
normal distributions by maximum likelihood », Journal
of the American Statistical Association, 46, 206­212,
1951.
[6] Das, C.: «Inventory control for Lognormal demand »,
Computers & Operations Res., 10, 267­276, 1983.

32. Références:
[7] Roger, P. : « Gestion de Production », Dalloz­Sirey,
1997.
[8] Strijbosch, L. W. G. & Moors, J. J. A. : « Modified
normal demand distributions in (R, S)­inventory control»,
European Journal of Operational Research, 172, 201­212,
2006.
[9] Tadikamalla, Pandu R : « The lognormal approximation
to the lead time demand in inventory control », Omega, vol.
7, issue 6, pages 553­556, 1979.
[10] Tadikamalla, Pandu R : « A comparison of several
approximations to the lead time demand distribution»,
Omega, vol. 12, issue 6, pages 575­581, 1984.