SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 75
Baixar para ler offline
Cours de Thermodynamique
       IST Agral 1
       Matthieu Tissier
Coursdethermodynamique
Avant de lire ce qui suit...

   J’ai pas mal h´sit´ avant de taper mes notes de cours. Ce qui m’y a finalement pouss´, c’est la tr`s mauvaise
                  e e                                                                         e           e
´criture dont m’a dot´e la Nature. Malheureusement, des notes de cours tap´es prennent tout de suite un cˆt´
e                       e                                                         e                                 oe
formel, dogmatique, qui ne plaˆ pas .. . Mon exp´rience personnelle, c’est qu’on a toujours une lecture plus
                                   ıt                    e
critique .. quand on a entre les mains un document manuscrit.
   Pour lutter contre ce cˆt´ formel, je vous incite a gribouiller votre version imprim´e. Quant a moi, je me suis
                           oe                          `                                 e            `
autoris´ un style t´l´graphique, plus oral qu’´crit.
        e           ee                          e
   Enfin, je suis acheteur de toutes vos remarques et critiques. Ne doutez pas que ce document est truff´ d’erreurs
                                                                                                            e
(malgr´ mes multiples relectures). Si vous tombez, au d´tour d’une ligne sur une partie louche, ou incompr´hensible,
        e                                                  e                                                 e
c’est peut-ˆtre le texte qui est en cause, et pas vous. Donc n’h´sitez pas a me faire part de vos r´flexions pour lever
           e                                                    e          `                        e
ces doutes (par e-mail, t´l´phone, ou en live pendant le TD), et pour que j’am´liore le texte au cours des ann´es.
                          ee                                                      e                               e
   Vous trouverez dans le texte des passages encadr´s, avec un ♥, qui indiquent les choses a connaˆ
                                                        e                                         `      ıtre pour les

partiels et autres examens. Les passages difficiles seront rep´r´s par le signe
                                                              ee                     .
  Derni`re chose, je mettrai le cours au fur et a mesure de son ´criture sur le net. N’imprimez pas syst´matiquement
         e                                      `               e                                       e
tout le cours, mais s´lectionnez uniquement la partie que vous n’avez pas d´j`, pour ´viter la sur-consommation
                      e                                                          ea        e
de papier...
Table des mati`res
              e

1 Introduction                                                                                                                                                                                         4

2 Description d’un syst`me macroscopique,
                           e                                      variables               d’´tat
                                                                                             e                                                                                                         6
  I.   Variables d’´tat . . . . . . . . . . . . . . .
                   e                                              . . . . . .             . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    6
       ´
  II. Equation d’´tat . . . . . . . . . . . . . . .
                   e                                              . . . . . .             . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
  III. Variables intensives / extensives . . . . .                . . . . . .             . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
  IV. Quelques remarques . . . . . . . . . . . .                  . . . . . .             . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    8

  ´
3 Energie, travail, chaleur, premier principe                                                                                                                                                          9
  I.   L’´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
         e                                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
  II. L’´nergie potentielle . . . . . . . . . . . . .
         e                                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
  III. Le travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   14
  IV. La chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   17
  V. Le premier principe de la thermodynamique                        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   19
  VI. Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . .                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   19

4 Le gaz parfait                                                                                                                                                                                      20
  I.   Description macroscopique des gaz dilu´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                             e                                                                                                                                                        20
  II. Quelques transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                                    21
  III. D´scription microscopique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
        e                                                                                                                                                                                             22

5 M´thodes de v´rification des calculs
     e             e                                                                                                  23
  I.   Les pr´dictions sont-elles sens´es ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
             e                        e
  II. Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Le second principe                                                                                                                                                                                  25
  I.    Notre postulat . . . . . . . . . . . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   25
  II. Mod`le d’un moteur . . . . . . . . . . . . .
            e                                                         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
  III. Le moteur id´al . . . . . . . . . . . . . . . .
                      e                                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
  IV. (In)´galit´s sur le rendement . . . . . . . .
           e     e                                                    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   27
  V. Rendement du moteur r´versible . . . . . .
                                e                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   27
  VI. Le moteur r´el . . . . . . . . . . . . . . . .
                     e                                                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   28
  VII. Le r´frig´rateur id´al . . . . . . . . . . . . .
            e e           e                                           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   28
  VIII. La pompe a chaleur (pour Axel) . . . . . .
                   `                                                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
  IX. Machines a n sources . . . . . . . . . . . . .
                  `                                                   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
  X. Quelques mots sur la notion de temp´raturee                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   29

7 L’entropie                                                                                                                                                                                          31
  I.   Cycles r´versibles . . . . . . . . .
               e                              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31
  II. D´finition de l’entropie . . . . . .
        e                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31
  III. Variation d’entropie de l’univers      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   32
  IV. Transformations irr´versibles . .
                           e                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   32
  V. Entropie d’un gaz parfait . . . .        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   33
Table des mati`res
              e



   VI. Entropie et ´tat d’´quilibre . . . . . . . . . .
                     e     e                                                        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   34
   VII. Entropie et d´gradation de l’´nergie . . . . .
                       e              e                                             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   35
   VIII. Interpr´tation probabiliste de l’irr´versibilit´ .
                e                            e          e                           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   36
   IX. L’entropie en physique statistique . . . . . . .                             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   37

8 Syst`mes purs
       e                                                                                                                                                                                                        40
  I.   Relations de Maxwell . . . . . . . . . . .                       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   41
  II. Relations entre d´riv´es partielles . . . .
                         e e                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   41
  III. Applications . . . . . . . . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   42
  IV. Comment reconstruire l’´nergie interne ?
                                 e                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   44

9 Les    autres potentiels thermodynamiques                                                                                                                                                                     45
  I.     L’enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                                        45
  II.    L’´nergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
           e                                                                                                                                                                                                    47
  III.   Potentiel de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                                                                         48

10 Transitions de phase                                                                                                                                                                                         49
   I.   Introduction . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   49
   II. Transition de vaporisation       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   49
   III. Le potentiel de Gibbs . .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   51
   IV. Humidit´ de l’air . . . . .
                e                       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   54
   V. Formation des nuages . .          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   56

11 R´actions chimiques
      e                                                                                                                                                                                                         59
   I.   Description du syst`me physique . .
                           e                                    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   59
   II. Condition d’´quilibre dans une phase
                     e                                          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   60
   III. M´lange de gaz parfaits inertes . . .
         e                                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   61
   IV. R´action entre gaz parfaits . . . . .
         e                                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   62
   V. Condition d’´quilibre entre phases .
                     e                                          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   62
   VI. Solution id´ale . . . . . . . . . . . .
                   e                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   63

A Annexes                                                                                                                                                                                                       66
  I.   ´
       Energie : les unit´s, les ordres de grandeur . . . .
                         e                                                                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   66
  II. D´veloppements limit´s . . . . . . . . . . . . . .
         e                     e                                                            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   66
  III. Traitement statistique du gaz parfait . . . . . . .                                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   68
  IV. Coefficients thermodynamiques et ´nergie interne
                                            e                                               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   71




                                                                                
Chapitre 1

Introduction

  On replace dans cette section la thermodynamique                    de la force ´lectromagn´tique qui repousse les ´lec-
                                                                                  e           e                      e
dans une perspective historique (arrang´e a la sauce mo-
                                       e `                            trons de ces atomes. Au niveau macroscopique, on
derne).                                                               oublie toute cette complexit´ a l’´chelle microsco-
                                                                                                     e ` e
  Physique classique (Galil´e, Newton, 18e si`cle, etc.)
                           e                   e                      pique, et on fait une mod´lisation tr`s simple de la
                                                                                                 e         e
  ´
  Etudie la trajectoire d’un corps dans diff´rents envi-
                                             e                        r´action de la table sur le livre.
                                                                       e
ronnements.
  – Une pomme / la lune dans le champ gravitationnel                Dans ces probl`mes, on ne tient pas compte de nom-
                                                                                   e
    de la terre                                                  breuses propri´t´s des corps consid´r´s, qui sont pour-
                                                                                 ee                    ee
  – Un ´lectron dans un champ ´lectrique / magn´tique
        e                        e                e              tant tr`s int´ressantes :
                                                                        e     e
  – Flottaison d’un bateau.                                         – la temp´rature ;
                                                                              e
  Bas´e sur une ´quation fondamentale : la relation fon-
      e         e                                                   – la phase de la substance (liquide, solide, vapeur,...) ;
damentale de la dynamique :                                         – les transformations chimiques ;
                                                                    – etc.
                          F = ma                           ♥     Bref, on oublie toutes les propri´t´s internes (intimes)
                                                                                                    ee
                                                                 des corps macroscopiques. La thermodynamique vise jus-
o` m est la masse du corps, a son acc´l´ration :
 u                                   ee                          tement a ´tudier ces propri´t´s. Cette branche de la phy-
                                                                          `e                 ee
                                                                 sique a connu un tr`s fort d´veloppement au XIXe si`cle,
                                                                                     e       e                         e
                            dv  d2 r                             notamment pour comprendre / am´liorer le fonctionne-
                                                                                                      e
                      a=       = 2
                            dt  dt                               ment des machines a vapeur.
                                                                                      `
et F la force exerc´e par l’environnement sur le corps.
                    e
   On range les forces dans deux cat´gories :
                                       e                            Remarques importantes
   – Les forces fondamentales : gravitation, ´lectroma-
                                                 e                   1 On sait caract´riser depuis Newton la trajectoire
                                                                                        e
     gn´tiques (plus 2 autres qui ne nous int´ressent pas
         e                                     e                 d’une plan`te gravitant autour du Soleil. C’est ce qu’on
                                                                            e
     ici).                                                       appelle un probl`me a deux corps, et la trajectoire asso-
                                                                                    e   `
   – Les forces effectives, macroscopiques : frottements,         ci´e est une ellipse. En revanche, on ne sait pas r´soudre
                                                                   e                                                   e
     pouss´e d’Archim`de. Ces forces ont pour origine
            e            e                                       le probl`me a trois corps (le soleil plus deux plan`tes). Ce
                                                                          e   `                                      e
     l’interaction entre atomes (` l’´chelle microsco-
                                     a e                         probl`me est tr`s compliqu´, et pr´sente notamment une
                                                                        e         e           e        e
     pique) de corps macroscopiques1 . Quand on                  forte sensibilit´ aux conditions initiales, li´e a ce qu’on
                                                                                 e                             e `
     consid`re ces forces, le plus souvent on “oublie”
             e                                                   appelle en physique le chaos.
     leur origine microscopique, et on en fait une mo-              Question : Comment alors esp´rer d´crire 1023 parti-
                                                                                                      e     e
     d´lisation effective a l’´chelle macroscopique. Par
       e                   ` e                                   cules en interaction ?
     exemple, quand on s’int´resse a un livre pos´ sur
                                e      `               e            R´ponse : C’est impossible, mais ca n’est pas ce que
                                                                      e                                  ¸
     une table, on invoque la “r´action de la table sur
                                    e                            l’on veut faire. En thermodynamique, on s’int´resse aux
                                                                                                                   e
     le livre”, qui compense le poids du livre. Si vous          propri´t´s globales de la mati`re, pas au comportement
                                                                         ee                       e
     y r´flechissez, au niveau microscopique, cette force
          e                                                      de chacune des particules ind´pendamment 2 . On voit
                                                                                                  e
     est assez complexe. Elle r´sulte de la r´pulsion entre
                                e            e                      2 Analogie  Il est tr`s difficile de savoir si monsieur D. va vo-
                                                                                         e
     les atomes solidaires de la table et ceux solidaires du     ter pour tel ou tel candidat aux ´lections. Son choix d´pend de
                                                                                                     e                      e
     livre. Cette r´pulsion est elle-mˆme une cons´quence
                   e                  e             e            son histoire personnelle, de ses rencontre, des d´bats auxquels il a
                                                                                                                  e
                                                                 assist´, etc. Mais :
                                                                       e
  1 c’est
        a dire compos´s d’un grand nombre de particules, typi-
        `            e                                             – Le vote de Monsieur D. ne nous int´resse pas directement. On
                                                                                                          e
quement le nombre d’Avogadro Na ∼ 6, 02 1023                          s’int´resse en premier lieu aux r´sultats des ´lections.
                                                                           e                           e            e
donc que, quand on s’int´resse a un syst`me compos´
                           e      `         e             e
d’un grand nombre de particules, certains concepts (tra-
jectoire d’une particule) perdent de leur int´rˆt. Inverse-
                                             ee
ment, nous verrons que de nouveaux concepts ´mergent
                                                 e
(par exemple la temp´rature).
                      e

    2 Les lois de la physique classique sont r´versibles
                                                e
dans le temps.
   – En termes math´matiques, si r(t) d´crit la trajec-
                        e                   e
     toire d’un corps dans un environnement (c’est a dire
                                                     `
     que r(t) est une solution des ´quations du mouve-
                                     e
     ment), r(−t) est aussi une trajectoire autoris´e.
                                                    e
   – Plus prosa¨ ıquement, si l’on filme une exp´rience de
                                               e
     physique classique, et qu’on passe le film a l’envers,
                                               `
     rien de choquant.
Toutefois, la vie est pleine de ph´nom`nes non-
                                          e   e
r´versibles.
 e
   Par exemple : Battez un œuf pour faire une omelette.
Le blanc se m´lange au jaune jusqu’` ce qu’on obtienne
               e                       a
un m´lange homog`ne. C’est un processus irr´versible
      e              e                           e
car on n’a jamais vu que, inversement, en “battant a     `
l’envers” notre m´lange, on reconstitue un jaune s´par´
                   e                                 e e
du blanc.
   Comment apparaˆ cette irr´versibilit´ macroscopique,
                     ıt         e        e
alors que la physique microscopique sous-jacente est r´-e
versible ?




  – On peut faire des pr´dictions statistiques sur le vote des fran-
                          e
    c
    ¸ais, et donc sur le r´sultat du scrutin.
                          e




                                                                
Chapitre 2

Description d’un syst`me
                     e
macroscopique, variables d’´tat
                           e

I.     Variables d’´tat
                   e                                         et on appelle pression le coefficient de proportionnalit´   e
                                                             entre surface et force : F = PS. D’autre part, la force est
On va s’int´resser dans ce cours a des
            e                     `                          orthogonale a la surface :
                                                                          `
syst`mes macroscopiques, c’est a dire
    e                            `
constitu´s d’un grand nombre de parti-
         e
cules. Pour fixer les id´es, commen¸ons
                       e           c
par un exemple simple : le gaz contenu                                          F
dans une bouteille (ferm´e). On va sim-
                         e
plifier la discussion en consid´rant une
                               e                                                                    |F| = SP               ♥
seul esp`ce de gaz (pas de m´lange).
        e                     e
   On a en tˆte de faire subir a notre syst`me des trans-
             e                  `          e
formations, et de voir comment il r´agit. Pour v´rifier
                                      e            e
les conclusions de nos exp´riences, on demande a des
                              e                     `                 S
coll`gues de les refaire. Il faut donc qu’on leur d´crive
    e                                              e           Il existe plusieurs unit´s pour la pression. L’unit´ du
                                                                                       e                          e
notre syst`me. Question : Quelles sont les quantit´s per-
           e                                      e          syst`me international est le Pascal (Pa).
                                                                 e
tinentes ?
 1. volume                                                                          1 Pa = 1 N m−2

 2. masse                                                    On exprime ´galement la pression en “atmosph`res”,
                                                                           e                                   e
 3. nombre de moles                                          c’est a dire par rapport a la pression atmosph´rique au
                                                                   `                  `                    e
 4. composition chimique                                     niveau de la mer.

 5. forme (g´om´trie)
            e e
                                                               1Atm = 1.013 105 Pa
 6. pression                                                                                                              ♥
                                                                       = 1013 hPa        (pour les m´t´orologues)
                                                                                                    ee
 7. temp´rature
        e
Remarque : Notez l’´conomie ! On arrive a d´crire notre
                    e                    ` e
syst`me de 1023 particules avec moins de 10 param`tres !
    e                                            e
                                                               Exemple d’application : L’air atmosph´rique (` la
                                                                                                       e       a
  D´crivons ces quantit´s :
    e                  e
                                                             pression de 1 Atm.) exerce une pouss´e sur la paume de
                                                                                                 e
  Volume, masse, nombre de moles composition chi-
                                                             ma main (de surface ∼ 20cm × 10cm ∼ 200cm2 ). Cette
mique et forme, ca doit ˆtre clair pour tout le monde.
                 ¸       e
                                                             force est orthogonale a ma paume, et de norme :
                                                                                   `
Notons tout de mˆme que, en g´n´ral, la forme de notre
                  e             e e
syst`me ne joue aucun rˆle en thermodynamique.
    e                   o                                                      |F| = PS = 2.10−2 × 105
                                                                                    = 2000 N
1)    La pression
                                                             soit le poids d’un objet de 200kg.1 Alors pourquoi ma
  Lorsqu’un fluide (liquide, gaz, ...) est en contact avec        1 Vous pouvez vous souvenir qu’` la pression atmosph´rique, 1
                                                                                                a                    e
une paroi, il exerce une pouss´e, une force sur cette der-
                              e                              cm2 est soumis a une force ´quivalente au poids d’un objet de 1
                                                                              `          e
ni`re. Plus la paroi est grande, plus la force est grande,
  e                                                          kg.
III.. Variables intensives / extensives



main ne bouge pas ?                                            – On note que notre syst`me a 3 degr´s de libert´,
                                                                                             e            e           e
   Parce que une force de mˆme norme, et de sens oppos´
                            e                           e        c’est a dire qu’il est enti`rement d´crit par trois va-
                                                                       `                    e         e
s’exerce sur face de ma main, qui la compense exacte-            riables (par exemple P, T , n). Si l’on fixe le nombre
ment. En plus, le sang a l’int´rieur de la mai est ´gale-
                        `       e                  e             de moles (syst`me ferm´), on peut repr´senter l’´tat
                                                                                e          e               e        e
ment a la pression atmosph´rique, donc votre peau est
      `                       e                                  du syst`me par un point sur un graphe :
                                                                         e
soumise a une force pressante, de norme ´gale a la force
         `                                e     `                P
pressante exerc´e par l’air, et de sens oppos´.
                e                            e
   Comment mettre en ´vidence la pression ? Par une dif-
                       e
f´rence de pression :
 e


                    P2 S           P1 S
                                                                                              ´tat du syst`me
                                                                                              e           e
 P1                                              P2

                               (P1 − P2 ) S
                                                                                                  V
  On retrouve ce principe dans les ventouses, les sph`res
                                                     e           On peut ´videmment tracer le mˆme type de dia-
                                                                         e                        e
de Magdeburg, etc.                                               grammes en utilisant d’autres variables.


2)    La temp´rature
             e
                                                             III.         Variables intensives /
   On a une intuition de ce qu’est la temp´rature (Plus
                                            e
chaud, plus froid). Toutefois, m´fiance : Si vous mettez
                                 e                                        extensives
une pi`ce sur un tapis en hiver, et que vous pausez le
        e
pied sur la pi`ce, la pi`ce vous paraˆ
                e       e            ıtra plus froide que      On consid`re deux bouteilles identiques, contenant
                                                                          e
le tapis, alors qu’un thermom`tre vous donnera la mˆme
                              e                      e       une mˆme quantit´ de gaz dans le mˆme ´tat (temp´-
                                                                   e             e                    e    e           e
temp´rature pour ces deux objets...
      e                                                      ratures, pressions, etc. ´gales). On joint ces bouteilles :
                                                                                      e

                                                                     P, V, T , n                 P, V, T , n

II.       ´
          Equation d’´tat
                     e
  Toutes les variables que l’on a cit´es sont-elles ind´-
                                      e                e
                                                                       bouteille I                    bouteille II
pendantes ? Non.
  Par exemple, connaissant l’esp`ce chimique et le
                                    e                          Quelles sont les caract´ristiques de notre nouveau
                                                                                      e
nombre de moles n de gaz, la masse est fix´e. En plus de
                                           e                          gaz dans la bouteille I
ces relations triviales, on remarque exp´rimentalement
                                         e                   syst`me
                                                                 e                              ?
                                                                      gaz dans la bouteille II
que, a volume V, nombre de moles n, temp´rature T
     `                                         e
fix´s, on ne peut pas faire varier la pression. Celle-ci
  e
prend, dans ces conditions, une valeur bien d´termin´e.
                                              e       e          Le volume est 2 fois plus grand
Autrement dit, on peut ´crire :
                          e                                      Le nombre de moles est 2 fois plus grand
                                                             En revanche,
                                                               
                        P = f(T, V, n)                         La densit´ est la mˆme
                                                               
                                                                         e        e
                                                                 La pression est la mˆme
                                                                                     e
  Remarques :                                                  
                                                               
                                                               La temp´rature est la mˆme
                                                                         e               e
  – La fonction f(T, V, n) peut ˆtre d´termin´e exp´ri-
                                 e     e       e      e
                                                               On va donc classer les variables d’´tat en deux
                                                                                                      e
    mentalement
                                                             groupes :
  – de la relation P = f(T, V, n), on peut tirer les rela-
                                                               – d’une part, les variables extensives qui se trans-
    tions :
                                                                 forment comme le volume ou le nombre de moles,
                                                               – d’autre part les variables intensives qui se trans-
                           V = g(T, P, n)
                                                                 forment comme la densit´, la pression et la tem-
                                                                                           e
                           n = h(T, V, P)                        p´rature.
                                                                  e


                                                       
Chapitre 2. Description d’un syst`me macroscopique, variables d’´tat
                                                                                            e                              e



   Consid´rons maintenant deux bouteilles diff´rentes
           e                                 e                        Conclusion : avant de parler de pression, s’assurer que
contenant un mˆme gaz, mais dans des conditions dif-
               e                                                    ca a un sens... Si on a un doute, ca peut ˆtre une bonne
                                                                    ¸                                 ¸       e
f´rentes :
 e                                                                  id´e de saucissonner notre syst`me en plusieurs petits
                                                                      e                              e
                                                                    bouts.
                                    P2 , V 2 , T 2 , n 2
     P1 , V 1 , T 1 , n 1
                                                                       2 Les choses se compliquent un peu quand on m´-  e
                                                                    lange des gaz (on y reviendra). M´fiance aussi quand le
                                                                                                        e
                                                                    nombre de moles d’une esp`ce chimique peut varier, ce
                                                                                                 e
        bouteille I                                                 qui est le cas lors d’une r´action chimique.
                                                                                               e
                                           bouteille II

  Que dire du nouveau syst`me ?
                          e


                            V = V 1 + V2
                            n = n 1 + n2

   En revanche, on ne sait a priori rien dire sur les
autres variables. Cette propri´t´ peut ´galement nous
                              ee         e
permettre de diff´rencier les variables intensives des va-
                  e
riables extensives.



IV.         Quelques remarques
    1 Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement sup-
                               e e
pos´ que les variables d’´tat ´taient bien d´finies dans
    e                         e    e              e
notre syst`me. Attention, dans certaines situations, ca
            e                                               ¸
n’est pas le cas (ou au moins, il faut se m´fier) :
                                              e
   - Dans l’oc´an, la pression varie avec la profondeur.
                e
Dans ce cas, si on consid`re le syst`me “oc´an”, on ne
                               e         e        e
sait pas d´terminer la pression de notre syst`me (en quel
           e                                    e
point ?). Il apparaˆ alors que notre choix de syst`me
                        ıt                                e
n’est pas bien adapt´, et pour s’affranchir de ce pro-
                           e
bl`me, on peut d´couper virtuellement notre oc´an en
  e                   e                                 e
fines couches horizontales, suffisamment fines pour que
la pression y soit quasiment homog`ne. e
   - Si on met une claque a notre syst`me, la pression
                                 `          e
varie a cˆt´ du point d’impact. On arrive donc a une si-
       ` oe                                           `
tuation o`, comme dans l’exemple pr´c´dent, la pression
           u                             e e
n’est pas uniforme, et o` la pression de notre syst`me
                             u                            e
n’est pas bien d´termin´e. Deux possibilit´s s’offrent a
                    e        e                  e            `
nous :
   – On attend que le syst`me se retrouve dans un ´tat
                                e                         e
      d’´quilibre
        e
   – On d´coupe virtuellement notre syst`me en petites
            e                                 e
      cellules, suffisamment petites pour que la pression
      et la temp´rature puissent ˆtre consid´r´es comme
                  e                  e          ee
      homog`nes, et l’on se retrouve dans la mˆme confi-
              e                                     e
      guration que dans l’exemple de l’oc´an trait´ pr´c´-
                                            e          e e e
      demment. Il faut s’attendre dans ce cas a ce que la
                                                   `
      pression d’une cellule varie avec le temps.


                                                                      
Chapitre 3

´
Energie, travail, chaleur, premier
principe

   Dans ce chapitre, on va d´crire en d´tail la notion
                                 e           e                   avec l’ext´rieur (l’ext´rieur, c’est tout ce qui n’est pas le
                                                                           e            e
d’´nergie. On va ´galement introduire / rappeler (sui-
  e                e                                             syst`me). Dans ce cas, on peut ´crire :
                                                                     e                              e
vant votre cursus) des notions math´matiques qui nous
                                        e
seront utiles dans la suite, en particulier tout l’attirail de                  E2 = E1 + Eentrante − Esortante
d´rivation-int´gration de fonctions a plusieurs variables.
 e             e                      `
                                                                 2)     Les diff´rentes formes d’´nergie
                                                                               e                e
                                                                   Il existe plusieurs “formes” d’´nergie. C’est la somme
                                                                                                  e
I.      L’´nergie
          e                                                      de toutes ces formes d’´nergie qui se conserve dans un
                                                                                          e
                                                                 syst`me isol´ (pas chaque ´nergie ind´pendamment)
                                                                     e        e             e          e
1)    Introduction                                                 Exemples
                                                                   a) On connaˆ depuis le lyc´e l’´nergie cin´tique d’un
                                                                                 ıt             e e            e
   Le concept d’´nergie est parmi les plus importants et
                  e
                                                                 objet de masse m :
les plus utilis´s en physique. On le retrouve dans toutes
               e
                             `
les branches de la physique. A ce sujet, il faut absolument                                     1
lire ce qu’en dit Feynman dans le chapitre 4 de son livre
                                                                                         Ec =
                                                                                                2
                                                                                                  mv2                           ♥
de m´canique [1]
      e
                                                                 Lancez un satellite dans l’espace, loin de toute ´toile et
                                                                                                                  e
   Pourquoi l’´nergie est un concept si important ? Parce
               e                                                                    1
                                                                 de toute plan`te. Sa vitesse ne change pas avec le temps
                                                                               e
que l’´nergie ob´it a une loi de conservation :
       e          e `
                                                                 (voir Galil´e). Son ´nergie est donc conserv´e. OK.
                                                                            e         e                       e
                                                                   b) Revenons sur terre, et lˆchons un gravier (notre
                                                                                                 a
      L’´nergie d’un syst`me isol´ se conserve
        e                e       e                         ♥     syst`me). Au d´but de sa chute, la vitesse du syst`me
                                                                     e            e                                     e
                                                                 est nulle (Ec = 0). Mais lorsque le gravier arrive au sol,
Dit autrement :                                                  v = 0, Ec = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? !
                                                                                         e                        e
  – Prenez un syst`me, aussi compliqu´ que vous voulez,
                    e                     e                        Faux ! car notre syst`me a aussi une ´nergie potentielle
                                                                                        e               e
     que vous isolez du reste du monde (vous pouvez par          due a la pr´sence du champ gravitationnel terrestre :
                                                                      `      e
     exemple le mettre dans un thermos)
  – Calculez l’´nergie de votre syst`me et appelez-la E1
                e                     e                                                     Ep = mgz
  – Laissez le syst`me ´voluer selon les d´sirs de la na-
                    e     e                   e
     ture                                                        o` g est l’acc´l´ration gravitationnelle a la surface de la
                                                                  u            ee                         `
  – Attendez que tout se calme, et calculez a nouveau
                                                `                terre :
     l’´nergie de votre syst`me. Appelez cette valeur E2
       e                     e                                                          g ∼ 9, 8 ms−2                           ♥
  – constatez que E1 = E2 ! Hosanna !
  La conservation de l’´nergie d’un syst`me isol´ est la
                         e                  e       e              et z est l’altitude, de sorte que Ec + Ep est conserv´.
                                                                                                                        e
notion la plus importante de ce chapitre. C’est la chose         V´rification :
                                                                  e
dont il faut que vous vous souveniez dans 10 ans, quand            De la relation fondamentale de la dynamique, et en
vous aurez tout oubli´ de ce chapitre.
                      e                                          fixant les constantes d’int´gration en donnant les condi-
                                                                                            e
  Attention, il peut y avoir plusieurs pi`ges dans cette
                                            e                       1 ce qui assure que notre satellite n’est soumis a aucune force,
                                                                                                                     `
histoire. Assurez vous que votre syst`me est bien isol´.
                                        e              e         mais rend notre exemple acad´mique, difficilement r´alisable en
                                                                                                 e                      e
Si ca n’est pas le cas, il faut tenir compte des ´changes
   ¸                                              e              pratique.
´
                                                                  Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe



tions initiales z(t = 0) = h ; v(t = 0) = 0 on d´duit les
                                                 e          k est la constante de raideur du ressort, qui donne le
relations (v´rifiez que vous savez les retrouver) :
             e                                              coefficient de proportionnalit´ entre force appliqu´e sur
                                                                                        e                    e
                                                            la masse et d´placement de la masse par rapport a sa
                                                                          e                                    `
                     v(t) = −gt                             position d’´quilibre :
                                                                       e
                             1
                     z(t) = − gt2 + h                                                 F = −kx
                             2
                     v(z) = − 2g(h − z)                      On donne a la masse une pichenette. On observe un
                                                                       `
                                                            mouvement oscillatoire :
                                               v=0
                                                                                x(t) = xm sin(ωt)
Lorsqu’on lˆche le gravier :
           a
        1
                                 h                          o` ω2 = k/m.
                                                             u
    Ec = m × 0 2 = 0
        2                                                         x
        Ep = mgh
                                                              xm


Lorsque le gravier arrive au
sol :                                             √
                                             v=       2gh
      1
  Ec = m × 2gz = mgz                                                                                                 t
      2
            Ep = 0

    On v´rifie qu’on a bien conservation de l’´nergie to-
         e                                   e               −xm
tale... On peut dire que lors du d´placement du gravier,
                                   e
l’´nergie potentielle s’est transform´e en ´nergie cin´-
  e                                  e     e          e        La vitesse s’annule pour x = ±xm → Ec = 0
tique.                                                         La vitesse est maximale pour x = 0 → Ec
                                                               Pour compenser cette variation d’´nergie cin´tique, on
                                                                                                  e           e
        E                                                   invoque la pr´sence d’une ´nergie potentielle. Dans ce
                                                                           e             e
                                         mgz                cas :
               Ec + Ep = cte                                                               1
                                                                                    Ep = kx2
                                                                                           2
                           Ec                               de sorte que Ec + Ep se conserve. Jusque l` ca ressemble
                                                                                                         a¸
                                                            diablement a l’exemple pr´c´dent... Sauf que si on attend
                                                                         `             e e
                                                            quelques oscillations, on voit que les oscillations s’amor-
                                                            tissent, et que finalement le ressort s’arrˆte : x = v = 0
                                                                                                       e
                                                            → Ec + Ep = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? !
                                                                                      e                          e
                           Ep                                  On remarque dans ce cas que la temp´rature due
                                                            syst`me ressort+masse augmente. Comment interpr´ter
                                                                 e                                                 e
                                                            ca ? On va dire que l’´nergie m´canique Em = Ec + Ep
                                                            ¸                      e         e
                                         h        z         s’est transform´e sous une nouvelle forme, que l’on ap-
                                                                             e
                                                            pelle ´nergie thermique parce que reli´e a une variation
                                                                   e                                e `
                                                            de temp´rature.
                                                                     e
  c) Consid´rons un ressort accroch´ au plafond, avec
           e                        e                          d) On peut continuer cette histoire, et introduire
une masse attach´e a son extr´mit´.
                e `          e e                            d’autres formes d’´nergie (´nergie du champ ´lectroma-
                                                                               e        e                    e
                                                            gn´tique, ´nergie de masse E = mc2 , . . . )
                                                               e       e



                                     k
                                                            II.       L’´nergie potentielle
                                                                        e
                                                               On va s’int´resser ici a l’´nergie potentielle et a son
                                                                          e            ` e                       `
                                     m                      lien avec la force. En plus de son importance en pra-
                                                            tique, on va utiliser ce concept pour (re)voir des notions


                                                             
II.. L’´nergie potentielle
       e



math´matiques importantes pour la suite : d´riv´es, dif-
     e                                     e e               Num´riquement :
                                                                 e
f´rentielles, . . .
 e                                                             Prenons un exemple, la fonction sin(x) autour de x =
                                                             1:
1)    Probl`me ` une dimension
           e   a                                                                   x            sin(x)
   On consid`re un objet se d´pla¸ant le long d’une droite
            e                e c                                                1, 000     0, 84147098 . . .
(on d´crit sa position par une coordonn´e x), soumis a
      e                                    e             `                      1, 001     0, 84201087 . . .
une force F(x). On va d´finir l’´nergie potentielle par la
                        e       e                                               1, 002     0, 84254991 . . .
r`gle suivante :
 e                                                                              1, 003     0, 84308810 . . .

Lorsqu’un objet se trouve en x, et qu’on le d´place
                                             e                 Calculons maintenant la diff´rence entre deux valeurs
                                                                                          e
de dx (dx est tr`s petit, infinit´simal), l’´nergie
                   e             e          e                cons´cutives :
                                                                 e
potentielle varie de :
                                                                               x      sin(x + 0, 001) − sin(x)
                                                                            1, 000        5, 3988 . . . 10−4
                     dEp = −F(x)dx                (∗)   ♥
                                                                            1, 001        5, 3904 . . . 10−4
                Ep    Ep + dEp                                              1, 002        5, 3820 . . . 10−4

                x     x + dx              x                  On remarque que les valeurs sont tr`s proches, ce qui
                                                                                                    e
                                                             signifie que la fonction sin(x) est presque lin´aire au voi-
                                                                                                           e
   Plusieurs questions doivent vous venir en voyant cette    sinage de x = 1.
d´finition :
 e                                                              On peut ´crire :
                                                                        e
   – Quel est le sens de cette expression ?
                                                                           sin(1 + dx) − sin(1)        0, 539 dx             (†)
   – Que signifie “dx petit, infinit´simal” pour un physi-
                                    e
     cien ?                                                   u
                                                             o`     signifie “` peu pres ´gal a”. En fait, on peut es-
                                                                              a           e    `
   – comment d´terminer la variation d’´nergie poten-
                  e                          e               timer l’erreur commise en approximant la fonction par
     tielle lorsqu’on d´place l’objet de fa¸on appr´ciable
                       e                   c       e         une droite. En effet l’´cart a la lin´arit´ est de l’ordre de
                                                                                    e     `       e    e
     (pas infinit´simale) ?
                 e                                              −6
                                                             10 , c’est a dire de l’ordre de dx .
                                                                          `                       2 2

   – Pourquoi choisis-t’on cette d´finition (et pas une
                                      e                         Quelle est la signification du 0, 539 . . . que l’on a d´-
                                                                                                                        e
     autre) ?                                                termin´ num´riquement ? C’est (` peu pr`s) le coefficient
                                                                    e       e                   a         e
On va r´pondre a ces questions s´quentiellement.
         e        `                e                         directeur de la tangente, c’est a dire la d´riv´e de la fonc-
                                                                                             `           e e
                                                             tion sin(x) en x = 1. V´rification :
                                                                                      e
   Que signifie l’expression (∗) ? D’abord que quand on se
d´place tr`s peu, l’´nergie varie lin´airement avec le d´-
 e        e         e                e                  e                   sin (1) = cos(1) = 0, 54030231
placement, c’est a dire qu’on peut approximer notre ´ner-
                  `                                  e       Exp´rimentalement, on a d´termin´ la d´riv´e de la fonc-
                                                                 e                      e      e    e e
gie potentielle par une droite au voisinage d’un point.                                    −3
                                                             tion avec une pr´cision de 10 , c’est a dire de l’ordre
                                                                              e                     `
Est-ce raisonnable ?                                         de dx (voir la note en bas de page 2 )

               Ouvrons une parenth`se
                                  e                            Que se passe-t’il si l’on prend un dx de plus en plus
                                                             petit ?
Graphiquement :                                                – L’´cart a la lin´arit´ (qui se comporte comme dx2 )
                                                                     e     `      e    e
         Ep                                                       tend tr`s vite vers z´ro→ la fonction se comporte
                                                                          e              e
                                                                  strictement comme une droite quand dx → 0
                                                               – Le coefficient de proportionnalit´ que l’on d´termine
                                                                                                  e           e
                                                                 “exp´rimentalement” (voir l’´quation (†)), qui dif-
                                                                       e                        e
                                                                  f`re de la d´riv´e en x = 1 d’une quantit´ de l’ordre
                                                                   e          e e                          e
                                                                  de dx , tend vers la d´riv´e quand dx → 0.
                                                                                          e e
                                                               On peut donc ´crire :
                                                                               e
                                                                                       df = f (x)dx
                               x
                                                             qui devient une ´galit´ stricte (pas approch´e) quand
                                                                             e     e                     e
   Dans l’intervalle mis en ´vidence sur le diagramme,
                             e                                  2 Je vous encourage a v´rifier que l’erreur est de l’ordre de dx 2
                                                                                     ` e
il est raisonnable d’approximer notre ´nergie potentielle
                                      e                      en recommen¸ant l’exp´rience avec un dx plus petit (par exemple
                                                                           c         e
par la droite tangente a la courbe au point x.
                       `                                     remplacez les 0, 001 par des 0, 0001) et en observant ce qui change.


                                                        
´
                                                                             Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe



dx est infinit´simal (aussi petit que vous voulez). On
               e                                                             A                                       B
appelle cette relation une forme diff´rentielle, ou plus
                                     e                                                    dEp
simplement une diff´rentielle, ou si il y a un doute la
                     e                                                                    dx
diff´rentielle de f.
   e
                                                                         – On somme les dEp sur chaque intervalle :
   Remarque conceptuelle profonde : la physique est une
science exp´rimentale. On ne peut donc jamais contrˆ-
           e                                            o
                                                                                    Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEp
ler une quantit´ avec une pr´cision arbitrairement. Pour
               e             e
nous physiciens, l’op´ration de prise de limite dx → 0 est
                     e
abstraite puisqu’elle ne peut jamais ˆtre mise en œuvre
                                       e                                 – En prenant dx infinit´simal, on obtient :
                                                                                               e
en pratique3 . Donc pour nous, dx est petit (pas forc´- e
ment infinit´simal), et suffisamment petit pour que l’er-
            e
                                                                                                                xB
reur induite par sa finitude soir ind´tectable exp´rimen-
                                     e             e                                   Ep (xB ) = Ep (xA ) +         dEp
talement. Ceci r´pond a la deuxi`me question qu’on se
                 e      `          e                                                                            xA
                                                                                                                xB
posait tout a l’heure. Si on franchit le pas de prendre
             `
                                                                                                 = Ep (xA ) −        F(x)dx
un dx infinit´simal, c’est pour pouvoir faire le lien avec
             e                                                                                                  xA
les math´matiques, et utiliser le puissant formalisme des
         e
d´riv´es.
  e e
                                                                       Ceci r´pond a la troisi`me question soulev´e plus haut.
                                                                             e     `          e                  e
   Remarque moins subtile : Si on utilise la notation
                                                                          Remarquez que notre d´finition nous permet de d´-
                                                                                                    e                          e
                                   df                                  terminer l’´nergie potentielle en Ep (xB ) a une constante
                                                                                    e                             `
                           f (x) =
                                   dx                                  pr`s (on n’a acc`s qu’` des diff´rences d’´nergies poten-
                                                                          e               e     a        e        e
la diff´rentielle s’´crit :
      e            e                                                   tielles). Il est donc n´cessaire de compl´ter notre d´fini-
                                                                                              e                 e           e
                                                                       tion, en fixant par exemple la valeur de l’´nergie poten-
                                                                                                                    e
                                  df                                   tielle en un point. Ce choix est arbitraire. Choisissez ce
                           df =      dx
                                  dx                                   qui vous arrange le plus, mais une fois que vous avez fait
ce qui est une forme assez parlante : si on “simplifie par              un choix, vous devez vous y tenir !
dx” on tombe sur une ´galit´ tr`s simple. Cette expres-
                       e     e e
sion est un bon moyen mn´motechnique pour retrouver
                           e                                              Passons maintenant a la quatri`me question qu’on se
                                                                                               `           e
la formule de la diff´rentielle, mais attention, du point
                    e                                                  posait tout a l’heure. Si l’on fait ce choix de d´finition
                                                                                   `                                      e
de vue math´matique, cette simplification par dx n’a
            e                                                          pour l’´nergie potentielle, c’est parce que avec cette d´fi-
                                                                              e                                                e
aucun sens ! ! !                                                       nition, on v´rifie que l’´nergie m´canique est conserv´e.
                                                                                   e           e          e                    e
                                                                       V´rifions-le :
                                                                         e
                    fin de la parenth`se
                                    e

  Revenons a notre d´finition de l’´nergie potentielle. En
              `        e             e                                           Em (v(t), x(t)) = Ec (v(t)) + Ep (x(t))
utilisant les conclusions tir´es de la parenth`se, elle nous
                             e                e
dit finalement que :

                                          dEp (x)
                 F(x) = −Ep (x) = −                             (‡)       dEm (v(t), x(t)) Ec (v(t)) Ep (x(t))
                                            dx                                            =           +
                                                                                dt             dt          dt
forme qui doit vous ˆtre plus famili`re. Connaissant
                         e                 e                                                Ec (v(t)) dv(t) Ep (x(t)) dx(t)
l’´nergie potentielle, on en d´duit la force par d´rivation.
  e                           e                     e                                     =                +
                                                                                             dv(t)     dt     dx(t)    dt
    Consid´rons maintenant le probl`me inverse. Connais-
           e                         e
                                                                                            =a × mv + v × (−F)
sant la force F(x), comment en d´duit-on l’´nergie poten-
                                  e           e
tielle ? Si on connaˆ l’´nergie potentielle en xA , on en
                     ıt e                                                                   =v(ma − F)
d´duit l’´nergie potentielle en xB de la fa¸on suivante :
  e       e                                  c                                              =0
    – On d´coupe l’intervalle [xA , xB ] en petits intervalles
            e
      de taille dx
                                                                       o` l’on a utilis´ dans la derni`re ligne la relation fonda-
                                                                        u               e             e
   3 Les gens qui travaillent sur la “gravitation quantique” pensent
                                                                       mentale de la dynamique et pour la 3o ligne l’expression
d’ailleurs que, a des distances de l’ordre de 10−35 m, notre espace
                `
a une structure tellement biscornue que l’on ne peut plus d´river
`                                                              e       de Ec et l’´quation (‡). Avec notre d´finition de l’´nergie
                                                                                  e                          e              e
aussi facilement . . .                                                 potentielle, l’´nergie m´canique est conserv´e ! ! !
                                                                                      e        e                     e


                                                                        
II.. L’´nergie potentielle
       e




                            R´sum´
                             e   e

 D´finition : dEp = −F(x)dx
   e
 d’o` l’on tire :
     u

                            F(x) = −Ep (x)                       ♥
                                         xB
             Ep (xB ) − Ep (xA ) = −          F(x)dx
                                         xA

 Il faut se fixer une origine des ´nergies (par exemple
                                 e
 Ep (xA ) = 0) pour en d´duire Ep (xB )
                          e                                                On voit que dans le voisinage du point o` l’on a consi-
                                                                                                                     u
                                                                        d´r´ le plan tangent, il est tr`s raisonnable d’approximer
                                                                          ee                           e
                                                                        la fonction par un plan.

2)     Probl`me ` deux dimensions
            e   a                                                          Connaissant l’´nergie potentielle, comment en d´duit-
                                                                                          e                                 e
                                                                        on la force ? Si on se d´place le long de l’axe des x uni-
                                                                                                e
   On va maintenant g´n´raliser la discussion pr´c´dente
                     e e                        e e                     quement (dy = 0), on se retrouve dans le cas unidimen-
au cas d’un objet se d´pla¸ant dans un plan (position
                      e c                                               sionnel (comparez nos d´finitions de l’´nergie potentielle
                                                                                                 e              e
d´termin´e par 2 coordonn´es x et y). Contraintes :
 e       e                e                                             dans le cas unidimensionnel, et dans le cas bidimension-
                                                                        nel avec dy = 0). Donc : Fx = −d´riv´e de Ep par rap-
                                                                                                            e e
   – Remplacer dx par dr                                                port a x en gardant y fixe. Remarquez que c’est mainte-
                                                                              `
                                                                                                    dEp
   – Remplacer F(x) par F(r)                                            nant tr`s ambigu d’´crire
                                                                                  e          e            pour la d´riv´e puisque
                                                                                                                    e e
                                                                                                     dx
   – Lorsqu’on varie une seule coordonn´e, on doit re-
                                       e                                                                5
                                                                        dEp d´pend de deux variables Pour ´viter cette ambi-
                                                                                e                               e
     trouver les r´sultats pr´c´dents.
                  e          e e                                        gu¨ e, on introduit une nouvelle notation : les ∂ (on dit
                                                                           ıt´
                                                                        le “d rond” oppos´ au d qu’on appelle le “d droit”)
                                                                                           e
   Tout naturellement, notre nouvelle d´finition de l’´ner-
                                       e             e
gie potentielle est :                                                   On note
                                                                                                   ∂Ep
                                                                                                    ∂x   y
                                                                                                                                       ♥
                                              x                         la d´riv´e de Ep par rapport a x en gardant y fix´.
                                                                            e e                      `                  e
 lorsque l’objet se trouve en r =               , et qu’on le
                                              y
                                                                                                                   p     ∂E
                     dx                                                   Tr`s souvent, on notera uniquement ∂x quand ca
                                                                             e                                           ¸
 d´place de dr =
  e                       (dr est tr`s petit, infinit´-
                                     e              e                   n’est pas ambigu. Avec notre nouvelle notation :
                     dy
 simal), l’´nergie potentielle varie de :
           e                                                     ♥                                        ∂Ep
                                                                                                 Fx = −
              dEp = −F(r) · dr                                                                             ∂x     y

                    = −Fx (r) · dx − Fy (r) · dy                        On trouve de la mˆme fa¸on :
                                                                                         e     c
                                                                                                          ∂Ep
                                                                                                 Fy = −
                                                                                                           ∂y     x
   La relation pr´c´dente signifie que, au voisinage du
                   e e
point r, l’´nergie potentielle varie lin´airement avec dx et
           e                            e                                 On va introduire une derni`re notation tr`s utile : le
                                                                                                     e              e
avec dy. Ca signifie que, au voisinage de r, on approxime
           ¸                                                            gradient . Le gradient est un “vecteur” dont les coor-
Ep (r) par un plan :4 le plan tangent a la courbe. Sur
                                            `                           donn´es sont des op´rations de d´rivation :
                                                                             e             e            e
le diagramme suivant, j’ai repr´sent´ une fonction a 2
                                   e      e             `                                                    ∂
variables (surface avec traits pleins) et le plan tangent a`                                         =       ∂x
                                                                                                             ∂
cette fonction (surface avec pointill´s).
                                        e                                                                    ∂y

                                                                        Ainsi
                                                                                                             ∂f
                                                                                                    f=       ∂x
                                                                                                             ∂f
                                                                                                             ∂y

                                                                           5 Regardez ce a quoi ressemblerait notre d´finition dans le cas
                                                                                         `                             e
     ˆ
   4 Etes-vous   convaincus de ¸a ? Si non, r´fl´chissez-y, faites des
                               c             e e                        bidimensionnel si on “divisait” par dx, et observez que ¸a ne donne
                                                                                                                                c
dessins...                                                              pas du tout ce qu’on voudrait.


                                                                 
´
                                                                    Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe



et l’on peut donc ´crire F = − Ep .
                  e                                             – En prenant dr infinit´simal, on obtient :
                                                                                      e
  Remarque tr`s importante pour la suite : si l’on rem-
               e                                                                                        rB
place, dans notre d´finition de l’´nergie potentielle Fx et
                   e             e                                           Ep (xB ) = Ep (xA ) +           dEp
de Fy par leurs expressions en terme de d´riv´es de Ep ,
                                           e e                                                          rA
                                                                                                        rB
on trouve :
                                                                                      = Ep (rA ) −           F(r) · dr
                                                                                                        rA
                         ∂Ep      ∂Ep
                 dEp =       dx +     dy
                          ∂x       ∂y
                     =      Ep · dr                           III.        Le travail
Cette expression est vraie pour toute fonction a deux va-
                                                `             1)    Introduction
riables (pas uniquement pour l’´nergie potentielle). Dans
                                 e                               Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement suppos´
                                                                                     e e                                e
la suite, on va utiliser cette relation dans tous les sens.   que a toute force on peut associer une ´nergie potentielle.
                                                                   `                                 e
Il faut absolument comprendre la signification                Mais ca n’est pas toujours le cas. Par exemple la force
                                                                     ¸
de cette relation !                                           de frottement visqueux subi par un solide qui se d´place
                                                                                                                  e
                                                              lentement dans l’eau : F = −αv ne peut pas ˆtre obtenue
                                                                                                            e
 Avec notre d´finition de l’´nergie potentielle, l’´nergie
              e            e                      e           en faisant −d/dx de quelque chose. Il faut donc bien
m´canique est conserv´e. V´rification :
 e                   e    e                                   distinguer :
                                                                 – Les forces conservatives (toutes les forces ´l´men-
                                                                                                                 ee
      dEm   dEc dEp                                                taires) qui d´coulent d’une ´nergie potentielle.
                                                                                e               e
          =      +
       dt    dt     dt                                           – Les forces non-conservatives (typiquement les forces
              dvx ∂Ec                 dx ∂Ep                       de frottement) qui ne d´coulent pas d’une ´nergie.
                                                                                            e                   e
                      +               dt ∂x +
          = dt y∂vx c
               dv ∂E    +              dy ∂Ep                    Pour ces derni`res, on introduit le concept de travail,
                                                                                e
                   dt ∂vy              dt ∂y
                                                              qui est le petit fr`re de l’´nergie potentielle (comparez
                                                                                  e       e
            = m(vx ax + vy ay ) + (−vx Fx − vy Fy )           l’encadr´ qui suit a celui qui pr´c`de)
                                                                       e          `            e e
            = v(ma − F)
                                                              Lorsqu’on se d´place de dx (petit, infinit´simal), le
                                                                              e                           e
            =0                                                travail de la force F est (notez le signe !) :

Cette d´monstration est compl`tement similaire a celle
       e                       e               `                                    δW = Fdx
qu’on a fait dans le cas unidimensionnel.
                                                              Pour un d´placement fini,
                                                                       e
                                                                                                                         ♥
                                                                                             B
  Connaissant la force, comment trouver l’´nergie po-
                                          e
                                                                                WA→B =           F dx
tentielle ? On va suivre la mˆme d´marche que dans le
                             e    e                                                         A
cas unidimensionnel :
  – On choisit un chemin allant de A a B
                                     `                           L’´nergie potentielle n’existe que pour les forces
                                                                   e
  – On d´coupe le chemin en petits intervalles de taille
        e                                                     conservatives. En revanche, on peut calculer le travail
    dr                                                        aussi bien pour une force conservative que pour une
                                                B             force non-conservative. Remarquez que pour une force
                                                              conservative, le travail prend une forme particuli`rement
                                                                                                                e
                                                              simple :

                    dEp
                                                                               WA→B = Ep (A) − Ep (B)                    (§)
                          dr
                                                              2)    Quelques propri´t´s
                                                                                   e e
                                                                 Trois questions (au moins) se posent :
     A                                                            1 Quelle est la diff´rence avec ce qu’on a fait pour
                                                                                      e
                                                              les forces conservatives ? Quoi de neuf ?
  – On somme les dEp sur chaque intervalle :                      2 Pourquoi cette notation ´trange δW ?
                                                                                              e
                                                                  3 Pourquoi introduit-on cette quantit´ ? Quelle signi-
                                                                                                        e
             Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEp              fication ? Quel int´rˆt ?
                                                                                 ee


                                                               
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique
Coursdethermodynamique

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

3 fm u_2020
3 fm u_20203 fm u_2020
3 fm u_20204book
 
Cours stochastic processes
Cours stochastic processesCours stochastic processes
Cours stochastic processeszoolyver
 
Cours theorie des-ensemble
Cours theorie des-ensembleCours theorie des-ensemble
Cours theorie des-ensemblehassan1488
 
Les 10 formes du verbe
Les 10 formes du verbeLes 10 formes du verbe
Les 10 formes du verbeMansour1
 
Polycope java enseignant
Polycope java enseignantPolycope java enseignant
Polycope java enseignanthnsfr
 

Mais procurados (6)

3 fm u_2020
3 fm u_20203 fm u_2020
3 fm u_2020
 
Cours stochastic processes
Cours stochastic processesCours stochastic processes
Cours stochastic processes
 
. Poly ac.dvi
. Poly ac.dvi. Poly ac.dvi
. Poly ac.dvi
 
Cours theorie des-ensemble
Cours theorie des-ensembleCours theorie des-ensemble
Cours theorie des-ensemble
 
Les 10 formes du verbe
Les 10 formes du verbeLes 10 formes du verbe
Les 10 formes du verbe
 
Polycope java enseignant
Polycope java enseignantPolycope java enseignant
Polycope java enseignant
 

Destaque

Les nouveaux marchés du cinéma français et européen
Les nouveaux marchés du cinéma français et européenLes nouveaux marchés du cinéma français et européen
Les nouveaux marchés du cinéma français et européenEY
 
Hexàgon simple
Hexàgon simpleHexàgon simple
Hexàgon simpleelena199
 
Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02
Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02
Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02Pauline Chevalier
 
Panorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels français
Panorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels françaisPanorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels français
Panorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels françaisEY
 
Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012
Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012
Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012OrangeDeveloperCenter
 
L´atelier littéraire
L´atelier littéraireL´atelier littéraire
L´atelier littérairenacarEOI
 
Adidas f50
Adidas f50Adidas f50
Adidas f50fakeguge
 
Student challenge 2013 - encore merci
Student challenge 2013  - encore merciStudent challenge 2013  - encore merci
Student challenge 2013 - encore merci4Leeway
 
Les alpes suisses
Les alpes suissesLes alpes suisses
Les alpes suissesnacarEOI
 
Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13
Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13
Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13INTERALPES Alcotra 2007-2013
 
Sauvegarder la vue_frank_famose
Sauvegarder la vue_frank_famoseSauvegarder la vue_frank_famose
Sauvegarder la vue_frank_famoseFrank FAMOSE
 
Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012
Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012
Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012OrangeDeveloperCenter
 
Educación y tecnologia
Educación y tecnologiaEducación y tecnologia
Educación y tecnologiagladitanava
 

Destaque (20)

4-Cm18 11-12
4-Cm18 11-124-Cm18 11-12
4-Cm18 11-12
 
Les nouveaux marchés du cinéma français et européen
Les nouveaux marchés du cinéma français et européenLes nouveaux marchés du cinéma français et européen
Les nouveaux marchés du cinéma français et européen
 
Hexàgon simple
Hexàgon simpleHexàgon simple
Hexàgon simple
 
4-Cm6 14-15
4-Cm6 14-154-Cm6 14-15
4-Cm6 14-15
 
Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02
Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02
Prsentationcorporate2 121121171839-phpapp02
 
Panorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels français
Panorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels françaisPanorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels français
Panorama Top 250 des éditeurs et créateurs de logiciels français
 
Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012
Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012
Samih Abid Orange Mobility Forum Mai 2012
 
L´atelier littéraire
L´atelier littéraireL´atelier littéraire
L´atelier littéraire
 
5-Cm28 14-15
5-Cm28 14-155-Cm28 14-15
5-Cm28 14-15
 
Adidas f50
Adidas f50Adidas f50
Adidas f50
 
Atencion Primaria en Salud (Atlantico)
Atencion Primaria en Salud (Atlantico)Atencion Primaria en Salud (Atlantico)
Atencion Primaria en Salud (Atlantico)
 
A8 management dans les grosses structures
A8 management dans les grosses structuresA8 management dans les grosses structures
A8 management dans les grosses structures
 
4-Cm29 14-15
4-Cm29 14-154-Cm29 14-15
4-Cm29 14-15
 
Student challenge 2013 - encore merci
Student challenge 2013  - encore merciStudent challenge 2013  - encore merci
Student challenge 2013 - encore merci
 
Les alpes suisses
Les alpes suissesLes alpes suisses
Les alpes suisses
 
Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13
Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13
Observatoire des transports_franco_italiens_nice_12_avril_13
 
Sauvegarder la vue_frank_famose
Sauvegarder la vue_frank_famoseSauvegarder la vue_frank_famose
Sauvegarder la vue_frank_famose
 
Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012
Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012
Pierre Perez Orange Mobility Forum Mai 2012
 
Educación y tecnologia
Educación y tecnologiaEducación y tecnologia
Educación y tecnologia
 
Synthèse 2012 glacier du Mont Valier
Synthèse 2012 glacier du Mont ValierSynthèse 2012 glacier du Mont Valier
Synthèse 2012 glacier du Mont Valier
 

Semelhante a Coursdethermodynamique

Oracle
OracleOracle
OracleMyBlj
 
Edito a2 guide pedagogique complet
Edito a2 guide pedagogique completEdito a2 guide pedagogique complet
Edito a2 guide pedagogique completDany Any
 
214275799 cours-cned-6-eme-maths
214275799 cours-cned-6-eme-maths214275799 cours-cned-6-eme-maths
214275799 cours-cned-6-eme-mathsEttaoufik Elayedi
 
Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...
Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...
Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...Serge Van Oudenhove
 
Francais lecture
Francais lectureFrancais lecture
Francais lectureKlouj Ramzi
 
Cours statistique descriptive
Cours statistique descriptiveCours statistique descriptive
Cours statistique descriptiveMouna Ettahiri
 
Job + de 45 ans extraits formeo
Job + de 45 ans   extraits formeoJob + de 45 ans   extraits formeo
Job + de 45 ans extraits formeoREALIZ
 
223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plus
223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plus223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plus
223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plusRaul Taranilla
 
Génération automatique de questions à partir de textes en français
Génération automatique de questions à partir de textes en françaisGénération automatique de questions à partir de textes en français
Génération automatique de questions à partir de textes en françaislouisdv
 
D’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au Québec
D’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au QuébecD’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au Québec
D’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au QuébecProspection
 
B4 tab calc excel
B4 tab calc excelB4 tab calc excel
B4 tab calc excelvangogue
 
CV Méthode Brutale François Meuleman
CV Méthode Brutale François MeulemanCV Méthode Brutale François Meuleman
CV Méthode Brutale François MeulemanREALIZ
 
Tendances A1 cahier Unité 2 (2).pdf
Tendances A1 cahier Unité 2 (2).pdfTendances A1 cahier Unité 2 (2).pdf
Tendances A1 cahier Unité 2 (2).pdfresponsableEC
 
Sout3
Sout3Sout3
Sout33on
 
Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)
Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)
Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)YoussefTrimech
 

Semelhante a Coursdethermodynamique (20)

Langage c
Langage cLangage c
Langage c
 
Oracle
OracleOracle
Oracle
 
Edito a2 guide pedagogique complet
Edito a2 guide pedagogique completEdito a2 guide pedagogique complet
Edito a2 guide pedagogique complet
 
cours-plaques
cours-plaquescours-plaques
cours-plaques
 
PMP Report
PMP ReportPMP Report
PMP Report
 
214275799 cours-cned-6-eme-maths
214275799 cours-cned-6-eme-maths214275799 cours-cned-6-eme-maths
214275799 cours-cned-6-eme-maths
 
Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...
Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...
Mémoire sur la dynamique des corrélations entre le marché des actions et des ...
 
Francais lecture
Francais lectureFrancais lecture
Francais lecture
 
Report MyProof
Report MyProofReport MyProof
Report MyProof
 
Cours statistique descriptive
Cours statistique descriptiveCours statistique descriptive
Cours statistique descriptive
 
Job + de 45 ans extraits formeo
Job + de 45 ans   extraits formeoJob + de 45 ans   extraits formeo
Job + de 45 ans extraits formeo
 
Analyse numérique
Analyse numériqueAnalyse numérique
Analyse numérique
 
223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plus
223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plus223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plus
223712877 guide-professeur-alter-ego-a2-plus
 
Génération automatique de questions à partir de textes en français
Génération automatique de questions à partir de textes en françaisGénération automatique de questions à partir de textes en français
Génération automatique de questions à partir de textes en français
 
D’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au Québec
D’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au QuébecD’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au Québec
D’égale à égal ? Un portrait statistique des femmes et des hommes au Québec
 
B4 tab calc excel
B4 tab calc excelB4 tab calc excel
B4 tab calc excel
 
CV Méthode Brutale François Meuleman
CV Méthode Brutale François MeulemanCV Méthode Brutale François Meuleman
CV Méthode Brutale François Meuleman
 
Tendances A1 cahier Unité 2 (2).pdf
Tendances A1 cahier Unité 2 (2).pdfTendances A1 cahier Unité 2 (2).pdf
Tendances A1 cahier Unité 2 (2).pdf
 
Sout3
Sout3Sout3
Sout3
 
Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)
Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)
Theorie des poutres_resistance_des_mater (1)
 

Mais de Fly like butterfly - Sting like a bee!!! (9)

Cours de Matlab
Cours de MatlabCours de Matlab
Cours de Matlab
 
cours de Matlab
 cours de Matlab cours de Matlab
cours de Matlab
 
MagnetoSTatique complet
MagnetoSTatique completMagnetoSTatique complet
MagnetoSTatique complet
 
Cours d'electromagnetisme
Cours d'electromagnetismeCours d'electromagnetisme
Cours d'electromagnetisme
 
L'astronomie
L'astronomieL'astronomie
L'astronomie
 
Cours d'optique géométrique
Cours d'optique géométriqueCours d'optique géométrique
Cours d'optique géométrique
 
Cours d'optique géométrique
Cours d'optique géométriqueCours d'optique géométrique
Cours d'optique géométrique
 
Chimie materiaux inorganique
Chimie materiaux inorganiqueChimie materiaux inorganique
Chimie materiaux inorganique
 
Cours doptique géométrique
Cours doptique géométriqueCours doptique géométrique
Cours doptique géométrique
 

Coursdethermodynamique

  • 1. Cours de Thermodynamique IST Agral 1 Matthieu Tissier
  • 3. Avant de lire ce qui suit... J’ai pas mal h´sit´ avant de taper mes notes de cours. Ce qui m’y a finalement pouss´, c’est la tr`s mauvaise e e e e ´criture dont m’a dot´e la Nature. Malheureusement, des notes de cours tap´es prennent tout de suite un cˆt´ e e e oe formel, dogmatique, qui ne plaˆ pas .. . Mon exp´rience personnelle, c’est qu’on a toujours une lecture plus ıt e critique .. quand on a entre les mains un document manuscrit. Pour lutter contre ce cˆt´ formel, je vous incite a gribouiller votre version imprim´e. Quant a moi, je me suis oe ` e ` autoris´ un style t´l´graphique, plus oral qu’´crit. e ee e Enfin, je suis acheteur de toutes vos remarques et critiques. Ne doutez pas que ce document est truff´ d’erreurs e (malgr´ mes multiples relectures). Si vous tombez, au d´tour d’une ligne sur une partie louche, ou incompr´hensible, e e e c’est peut-ˆtre le texte qui est en cause, et pas vous. Donc n’h´sitez pas a me faire part de vos r´flexions pour lever e e ` e ces doutes (par e-mail, t´l´phone, ou en live pendant le TD), et pour que j’am´liore le texte au cours des ann´es. ee e e Vous trouverez dans le texte des passages encadr´s, avec un ♥, qui indiquent les choses a connaˆ e ` ıtre pour les partiels et autres examens. Les passages difficiles seront rep´r´s par le signe ee . Derni`re chose, je mettrai le cours au fur et a mesure de son ´criture sur le net. N’imprimez pas syst´matiquement e ` e e tout le cours, mais s´lectionnez uniquement la partie que vous n’avez pas d´j`, pour ´viter la sur-consommation e ea e de papier...
  • 4. Table des mati`res e 1 Introduction 4 2 Description d’un syst`me macroscopique, e variables d’´tat e 6 I. Variables d’´tat . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ´ II. Equation d’´tat . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III. Variables intensives / extensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV. Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ´ 3 Energie, travail, chaleur, premier principe 9 I. L’´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II. L’´nergie potentielle . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III. Le travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV. La chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V. Le premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VI. Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Le gaz parfait 20 I. Description macroscopique des gaz dilu´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 20 II. Quelques transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III. D´scription microscopique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 22 5 M´thodes de v´rification des calculs e e 23 I. Les pr´dictions sont-elles sens´es ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e e II. Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6 Le second principe 25 I. Notre postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II. Mod`le d’un moteur . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III. Le moteur id´al . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 IV. (In)´galit´s sur le rendement . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 V. Rendement du moteur r´versible . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 VI. Le moteur r´el . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 VII. Le r´frig´rateur id´al . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 VIII. La pompe a chaleur (pour Axel) . . . . . . ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 IX. Machines a n sources . . . . . . . . . . . . . ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 X. Quelques mots sur la notion de temp´raturee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7 L’entropie 31 I. Cycles r´versibles . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II. D´finition de l’entropie . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III. Variation d’entropie de l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 IV. Transformations irr´versibles . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 V. Entropie d’un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
  • 5. Table des mati`res e VI. Entropie et ´tat d’´quilibre . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 VII. Entropie et d´gradation de l’´nergie . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 VIII. Interpr´tation probabiliste de l’irr´versibilit´ . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IX. L’entropie en physique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8 Syst`mes purs e 40 I. Relations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II. Relations entre d´riv´es partielles . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 IV. Comment reconstruire l’´nergie interne ? e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 9 Les autres potentiels thermodynamiques 45 I. L’enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 II. L’´nergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 47 III. Potentiel de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 10 Transitions de phase 49 I. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 II. Transition de vaporisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III. Le potentiel de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 IV. Humidit´ de l’air . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 V. Formation des nuages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 11 R´actions chimiques e 59 I. Description du syst`me physique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 II. Condition d’´quilibre dans une phase e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 III. M´lange de gaz parfaits inertes . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 IV. R´action entre gaz parfaits . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 V. Condition d’´quilibre entre phases . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 VI. Solution id´ale . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 A Annexes 66 I. ´ Energie : les unit´s, les ordres de grandeur . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 II. D´veloppements limit´s . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 III. Traitement statistique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 IV. Coefficients thermodynamiques et ´nergie interne e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 
  • 6. Chapitre 1 Introduction On replace dans cette section la thermodynamique de la force ´lectromagn´tique qui repousse les ´lec- e e e dans une perspective historique (arrang´e a la sauce mo- e ` trons de ces atomes. Au niveau macroscopique, on derne). oublie toute cette complexit´ a l’´chelle microsco- e ` e Physique classique (Galil´e, Newton, 18e si`cle, etc.) e e pique, et on fait une mod´lisation tr`s simple de la e e ´ Etudie la trajectoire d’un corps dans diff´rents envi- e r´action de la table sur le livre. e ronnements. – Une pomme / la lune dans le champ gravitationnel Dans ces probl`mes, on ne tient pas compte de nom- e de la terre breuses propri´t´s des corps consid´r´s, qui sont pour- ee ee – Un ´lectron dans un champ ´lectrique / magn´tique e e e tant tr`s int´ressantes : e e – Flottaison d’un bateau. – la temp´rature ; e Bas´e sur une ´quation fondamentale : la relation fon- e e – la phase de la substance (liquide, solide, vapeur,...) ; damentale de la dynamique : – les transformations chimiques ; – etc. F = ma ♥ Bref, on oublie toutes les propri´t´s internes (intimes) ee des corps macroscopiques. La thermodynamique vise jus- o` m est la masse du corps, a son acc´l´ration : u ee tement a ´tudier ces propri´t´s. Cette branche de la phy- `e ee sique a connu un tr`s fort d´veloppement au XIXe si`cle, e e e dv d2 r notamment pour comprendre / am´liorer le fonctionne- e a= = 2 dt dt ment des machines a vapeur. ` et F la force exerc´e par l’environnement sur le corps. e On range les forces dans deux cat´gories : e Remarques importantes – Les forces fondamentales : gravitation, ´lectroma- e 1 On sait caract´riser depuis Newton la trajectoire e gn´tiques (plus 2 autres qui ne nous int´ressent pas e e d’une plan`te gravitant autour du Soleil. C’est ce qu’on e ici). appelle un probl`me a deux corps, et la trajectoire asso- e ` – Les forces effectives, macroscopiques : frottements, ci´e est une ellipse. En revanche, on ne sait pas r´soudre e e pouss´e d’Archim`de. Ces forces ont pour origine e e le probl`me a trois corps (le soleil plus deux plan`tes). Ce e ` e l’interaction entre atomes (` l’´chelle microsco- a e probl`me est tr`s compliqu´, et pr´sente notamment une e e e e pique) de corps macroscopiques1 . Quand on forte sensibilit´ aux conditions initiales, li´e a ce qu’on e e ` consid`re ces forces, le plus souvent on “oublie” e appelle en physique le chaos. leur origine microscopique, et on en fait une mo- Question : Comment alors esp´rer d´crire 1023 parti- e e d´lisation effective a l’´chelle macroscopique. Par e ` e cules en interaction ? exemple, quand on s’int´resse a un livre pos´ sur e ` e R´ponse : C’est impossible, mais ca n’est pas ce que e ¸ une table, on invoque la “r´action de la table sur e l’on veut faire. En thermodynamique, on s’int´resse aux e le livre”, qui compense le poids du livre. Si vous propri´t´s globales de la mati`re, pas au comportement ee e y r´flechissez, au niveau microscopique, cette force e de chacune des particules ind´pendamment 2 . On voit e est assez complexe. Elle r´sulte de la r´pulsion entre e e 2 Analogie Il est tr`s difficile de savoir si monsieur D. va vo- e les atomes solidaires de la table et ceux solidaires du ter pour tel ou tel candidat aux ´lections. Son choix d´pend de e e livre. Cette r´pulsion est elle-mˆme une cons´quence e e e son histoire personnelle, de ses rencontre, des d´bats auxquels il a e assist´, etc. Mais : e 1 c’est a dire compos´s d’un grand nombre de particules, typi- ` e – Le vote de Monsieur D. ne nous int´resse pas directement. On e quement le nombre d’Avogadro Na ∼ 6, 02 1023 s’int´resse en premier lieu aux r´sultats des ´lections. e e e
  • 7. donc que, quand on s’int´resse a un syst`me compos´ e ` e e d’un grand nombre de particules, certains concepts (tra- jectoire d’une particule) perdent de leur int´rˆt. Inverse- ee ment, nous verrons que de nouveaux concepts ´mergent e (par exemple la temp´rature). e 2 Les lois de la physique classique sont r´versibles e dans le temps. – En termes math´matiques, si r(t) d´crit la trajec- e e toire d’un corps dans un environnement (c’est a dire ` que r(t) est une solution des ´quations du mouve- e ment), r(−t) est aussi une trajectoire autoris´e. e – Plus prosa¨ ıquement, si l’on filme une exp´rience de e physique classique, et qu’on passe le film a l’envers, ` rien de choquant. Toutefois, la vie est pleine de ph´nom`nes non- e e r´versibles. e Par exemple : Battez un œuf pour faire une omelette. Le blanc se m´lange au jaune jusqu’` ce qu’on obtienne e a un m´lange homog`ne. C’est un processus irr´versible e e e car on n’a jamais vu que, inversement, en “battant a ` l’envers” notre m´lange, on reconstitue un jaune s´par´ e e e du blanc. Comment apparaˆ cette irr´versibilit´ macroscopique, ıt e e alors que la physique microscopique sous-jacente est r´-e versible ? – On peut faire des pr´dictions statistiques sur le vote des fran- e c ¸ais, et donc sur le r´sultat du scrutin. e 
  • 8. Chapitre 2 Description d’un syst`me e macroscopique, variables d’´tat e I. Variables d’´tat e et on appelle pression le coefficient de proportionnalit´ e entre surface et force : F = PS. D’autre part, la force est On va s’int´resser dans ce cours a des e ` orthogonale a la surface : ` syst`mes macroscopiques, c’est a dire e ` constitu´s d’un grand nombre de parti- e cules. Pour fixer les id´es, commen¸ons e c par un exemple simple : le gaz contenu F dans une bouteille (ferm´e). On va sim- e plifier la discussion en consid´rant une e |F| = SP ♥ seul esp`ce de gaz (pas de m´lange). e e On a en tˆte de faire subir a notre syst`me des trans- e ` e formations, et de voir comment il r´agit. Pour v´rifier e e les conclusions de nos exp´riences, on demande a des e ` S coll`gues de les refaire. Il faut donc qu’on leur d´crive e e Il existe plusieurs unit´s pour la pression. L’unit´ du e e notre syst`me. Question : Quelles sont les quantit´s per- e e syst`me international est le Pascal (Pa). e tinentes ? 1. volume 1 Pa = 1 N m−2 2. masse On exprime ´galement la pression en “atmosph`res”, e e 3. nombre de moles c’est a dire par rapport a la pression atmosph´rique au ` ` e 4. composition chimique niveau de la mer. 5. forme (g´om´trie) e e 1Atm = 1.013 105 Pa 6. pression ♥ = 1013 hPa (pour les m´t´orologues) ee 7. temp´rature e Remarque : Notez l’´conomie ! On arrive a d´crire notre e ` e syst`me de 1023 particules avec moins de 10 param`tres ! e e Exemple d’application : L’air atmosph´rique (` la e a D´crivons ces quantit´s : e e pression de 1 Atm.) exerce une pouss´e sur la paume de e Volume, masse, nombre de moles composition chi- ma main (de surface ∼ 20cm × 10cm ∼ 200cm2 ). Cette mique et forme, ca doit ˆtre clair pour tout le monde. ¸ e force est orthogonale a ma paume, et de norme : ` Notons tout de mˆme que, en g´n´ral, la forme de notre e e e syst`me ne joue aucun rˆle en thermodynamique. e o |F| = PS = 2.10−2 × 105 = 2000 N 1) La pression soit le poids d’un objet de 200kg.1 Alors pourquoi ma Lorsqu’un fluide (liquide, gaz, ...) est en contact avec 1 Vous pouvez vous souvenir qu’` la pression atmosph´rique, 1 a e une paroi, il exerce une pouss´e, une force sur cette der- e cm2 est soumis a une force ´quivalente au poids d’un objet de 1 ` e ni`re. Plus la paroi est grande, plus la force est grande, e kg.
  • 9. III.. Variables intensives / extensives main ne bouge pas ? – On note que notre syst`me a 3 degr´s de libert´, e e e Parce que une force de mˆme norme, et de sens oppos´ e e c’est a dire qu’il est enti`rement d´crit par trois va- ` e e s’exerce sur face de ma main, qui la compense exacte- riables (par exemple P, T , n). Si l’on fixe le nombre ment. En plus, le sang a l’int´rieur de la mai est ´gale- ` e e de moles (syst`me ferm´), on peut repr´senter l’´tat e e e e ment a la pression atmosph´rique, donc votre peau est ` e du syst`me par un point sur un graphe : e soumise a une force pressante, de norme ´gale a la force ` e ` P pressante exerc´e par l’air, et de sens oppos´. e e Comment mettre en ´vidence la pression ? Par une dif- e f´rence de pression : e P2 S P1 S ´tat du syst`me e e P1 P2 (P1 − P2 ) S V On retrouve ce principe dans les ventouses, les sph`res e On peut ´videmment tracer le mˆme type de dia- e e de Magdeburg, etc. grammes en utilisant d’autres variables. 2) La temp´rature e III. Variables intensives / On a une intuition de ce qu’est la temp´rature (Plus e chaud, plus froid). Toutefois, m´fiance : Si vous mettez e extensives une pi`ce sur un tapis en hiver, et que vous pausez le e pied sur la pi`ce, la pi`ce vous paraˆ e e ıtra plus froide que On consid`re deux bouteilles identiques, contenant e le tapis, alors qu’un thermom`tre vous donnera la mˆme e e une mˆme quantit´ de gaz dans le mˆme ´tat (temp´- e e e e e temp´rature pour ces deux objets... e ratures, pressions, etc. ´gales). On joint ces bouteilles : e P, V, T , n P, V, T , n II. ´ Equation d’´tat e Toutes les variables que l’on a cit´es sont-elles ind´- e e bouteille I bouteille II pendantes ? Non. Par exemple, connaissant l’esp`ce chimique et le e Quelles sont les caract´ristiques de notre nouveau e nombre de moles n de gaz, la masse est fix´e. En plus de e gaz dans la bouteille I ces relations triviales, on remarque exp´rimentalement e syst`me e ? gaz dans la bouteille II que, a volume V, nombre de moles n, temp´rature T ` e fix´s, on ne peut pas faire varier la pression. Celle-ci e prend, dans ces conditions, une valeur bien d´termin´e. e e Le volume est 2 fois plus grand Autrement dit, on peut ´crire : e Le nombre de moles est 2 fois plus grand En revanche,  P = f(T, V, n) La densit´ est la mˆme   e e La pression est la mˆme e Remarques :   La temp´rature est la mˆme e e – La fonction f(T, V, n) peut ˆtre d´termin´e exp´ri- e e e e On va donc classer les variables d’´tat en deux e mentalement groupes : – de la relation P = f(T, V, n), on peut tirer les rela- – d’une part, les variables extensives qui se trans- tions : forment comme le volume ou le nombre de moles, – d’autre part les variables intensives qui se trans- V = g(T, P, n) forment comme la densit´, la pression et la tem- e n = h(T, V, P) p´rature. e 
  • 10. Chapitre 2. Description d’un syst`me macroscopique, variables d’´tat e e Consid´rons maintenant deux bouteilles diff´rentes e e Conclusion : avant de parler de pression, s’assurer que contenant un mˆme gaz, mais dans des conditions dif- e ca a un sens... Si on a un doute, ca peut ˆtre une bonne ¸ ¸ e f´rentes : e id´e de saucissonner notre syst`me en plusieurs petits e e bouts. P2 , V 2 , T 2 , n 2 P1 , V 1 , T 1 , n 1 2 Les choses se compliquent un peu quand on m´- e lange des gaz (on y reviendra). M´fiance aussi quand le e nombre de moles d’une esp`ce chimique peut varier, ce e bouteille I qui est le cas lors d’une r´action chimique. e bouteille II Que dire du nouveau syst`me ? e V = V 1 + V2 n = n 1 + n2 En revanche, on ne sait a priori rien dire sur les autres variables. Cette propri´t´ peut ´galement nous ee e permettre de diff´rencier les variables intensives des va- e riables extensives. IV. Quelques remarques 1 Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement sup- e e pos´ que les variables d’´tat ´taient bien d´finies dans e e e e notre syst`me. Attention, dans certaines situations, ca e ¸ n’est pas le cas (ou au moins, il faut se m´fier) : e - Dans l’oc´an, la pression varie avec la profondeur. e Dans ce cas, si on consid`re le syst`me “oc´an”, on ne e e e sait pas d´terminer la pression de notre syst`me (en quel e e point ?). Il apparaˆ alors que notre choix de syst`me ıt e n’est pas bien adapt´, et pour s’affranchir de ce pro- e bl`me, on peut d´couper virtuellement notre oc´an en e e e fines couches horizontales, suffisamment fines pour que la pression y soit quasiment homog`ne. e - Si on met une claque a notre syst`me, la pression ` e varie a cˆt´ du point d’impact. On arrive donc a une si- ` oe ` tuation o`, comme dans l’exemple pr´c´dent, la pression u e e n’est pas uniforme, et o` la pression de notre syst`me u e n’est pas bien d´termin´e. Deux possibilit´s s’offrent a e e e ` nous : – On attend que le syst`me se retrouve dans un ´tat e e d’´quilibre e – On d´coupe virtuellement notre syst`me en petites e e cellules, suffisamment petites pour que la pression et la temp´rature puissent ˆtre consid´r´es comme e e ee homog`nes, et l’on se retrouve dans la mˆme confi- e e guration que dans l’exemple de l’oc´an trait´ pr´c´- e e e e demment. Il faut s’attendre dans ce cas a ce que la ` pression d’une cellule varie avec le temps. 
  • 11. Chapitre 3 ´ Energie, travail, chaleur, premier principe Dans ce chapitre, on va d´crire en d´tail la notion e e avec l’ext´rieur (l’ext´rieur, c’est tout ce qui n’est pas le e e d’´nergie. On va ´galement introduire / rappeler (sui- e e syst`me). Dans ce cas, on peut ´crire : e e vant votre cursus) des notions math´matiques qui nous e seront utiles dans la suite, en particulier tout l’attirail de E2 = E1 + Eentrante − Esortante d´rivation-int´gration de fonctions a plusieurs variables. e e ` 2) Les diff´rentes formes d’´nergie e e Il existe plusieurs “formes” d’´nergie. C’est la somme e I. L’´nergie e de toutes ces formes d’´nergie qui se conserve dans un e syst`me isol´ (pas chaque ´nergie ind´pendamment) e e e e 1) Introduction Exemples a) On connaˆ depuis le lyc´e l’´nergie cin´tique d’un ıt e e e Le concept d’´nergie est parmi les plus importants et e objet de masse m : les plus utilis´s en physique. On le retrouve dans toutes e ` les branches de la physique. A ce sujet, il faut absolument 1 lire ce qu’en dit Feynman dans le chapitre 4 de son livre Ec = 2 mv2 ♥ de m´canique [1] e Lancez un satellite dans l’espace, loin de toute ´toile et e Pourquoi l’´nergie est un concept si important ? Parce e 1 de toute plan`te. Sa vitesse ne change pas avec le temps e que l’´nergie ob´it a une loi de conservation : e e ` (voir Galil´e). Son ´nergie est donc conserv´e. OK. e e e b) Revenons sur terre, et lˆchons un gravier (notre a L’´nergie d’un syst`me isol´ se conserve e e e ♥ syst`me). Au d´but de sa chute, la vitesse du syst`me e e e est nulle (Ec = 0). Mais lorsque le gravier arrive au sol, Dit autrement : v = 0, Ec = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? ! e e – Prenez un syst`me, aussi compliqu´ que vous voulez, e e Faux ! car notre syst`me a aussi une ´nergie potentielle e e que vous isolez du reste du monde (vous pouvez par due a la pr´sence du champ gravitationnel terrestre : ` e exemple le mettre dans un thermos) – Calculez l’´nergie de votre syst`me et appelez-la E1 e e Ep = mgz – Laissez le syst`me ´voluer selon les d´sirs de la na- e e e ture o` g est l’acc´l´ration gravitationnelle a la surface de la u ee ` – Attendez que tout se calme, et calculez a nouveau ` terre : l’´nergie de votre syst`me. Appelez cette valeur E2 e e g ∼ 9, 8 ms−2 ♥ – constatez que E1 = E2 ! Hosanna ! La conservation de l’´nergie d’un syst`me isol´ est la e e e et z est l’altitude, de sorte que Ec + Ep est conserv´. e notion la plus importante de ce chapitre. C’est la chose V´rification : e dont il faut que vous vous souveniez dans 10 ans, quand De la relation fondamentale de la dynamique, et en vous aurez tout oubli´ de ce chapitre. e fixant les constantes d’int´gration en donnant les condi- e Attention, il peut y avoir plusieurs pi`ges dans cette e 1 ce qui assure que notre satellite n’est soumis a aucune force, ` histoire. Assurez vous que votre syst`me est bien isol´. e e mais rend notre exemple acad´mique, difficilement r´alisable en e e Si ca n’est pas le cas, il faut tenir compte des ´changes ¸ e pratique.
  • 12. ´ Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe tions initiales z(t = 0) = h ; v(t = 0) = 0 on d´duit les e k est la constante de raideur du ressort, qui donne le relations (v´rifiez que vous savez les retrouver) : e coefficient de proportionnalit´ entre force appliqu´e sur e e la masse et d´placement de la masse par rapport a sa e ` v(t) = −gt position d’´quilibre : e 1 z(t) = − gt2 + h F = −kx 2 v(z) = − 2g(h − z) On donne a la masse une pichenette. On observe un ` mouvement oscillatoire : v=0 x(t) = xm sin(ωt) Lorsqu’on lˆche le gravier : a 1 h o` ω2 = k/m. u Ec = m × 0 2 = 0 2 x Ep = mgh xm Lorsque le gravier arrive au sol : √ v= 2gh 1 Ec = m × 2gz = mgz t 2 Ep = 0 On v´rifie qu’on a bien conservation de l’´nergie to- e e −xm tale... On peut dire que lors du d´placement du gravier, e l’´nergie potentielle s’est transform´e en ´nergie cin´- e e e e La vitesse s’annule pour x = ±xm → Ec = 0 tique. La vitesse est maximale pour x = 0 → Ec Pour compenser cette variation d’´nergie cin´tique, on e e E invoque la pr´sence d’une ´nergie potentielle. Dans ce e e mgz cas : Ec + Ep = cte 1 Ep = kx2 2 Ec de sorte que Ec + Ep se conserve. Jusque l` ca ressemble a¸ diablement a l’exemple pr´c´dent... Sauf que si on attend ` e e quelques oscillations, on voit que les oscillations s’amor- tissent, et que finalement le ressort s’arrˆte : x = v = 0 e → Ec + Ep = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? ! e e Ep On remarque dans ce cas que la temp´rature due syst`me ressort+masse augmente. Comment interpr´ter e e ca ? On va dire que l’´nergie m´canique Em = Ec + Ep ¸ e e h z s’est transform´e sous une nouvelle forme, que l’on ap- e pelle ´nergie thermique parce que reli´e a une variation e e ` de temp´rature. e c) Consid´rons un ressort accroch´ au plafond, avec e e d) On peut continuer cette histoire, et introduire une masse attach´e a son extr´mit´. e ` e e d’autres formes d’´nergie (´nergie du champ ´lectroma- e e e gn´tique, ´nergie de masse E = mc2 , . . . ) e e k II. L’´nergie potentielle e On va s’int´resser ici a l’´nergie potentielle et a son e ` e ` m lien avec la force. En plus de son importance en pra- tique, on va utiliser ce concept pour (re)voir des notions 
  • 13. II.. L’´nergie potentielle e math´matiques importantes pour la suite : d´riv´es, dif- e e e Num´riquement : e f´rentielles, . . . e Prenons un exemple, la fonction sin(x) autour de x = 1: 1) Probl`me ` une dimension e a x sin(x) On consid`re un objet se d´pla¸ant le long d’une droite e e c 1, 000 0, 84147098 . . . (on d´crit sa position par une coordonn´e x), soumis a e e ` 1, 001 0, 84201087 . . . une force F(x). On va d´finir l’´nergie potentielle par la e e 1, 002 0, 84254991 . . . r`gle suivante : e 1, 003 0, 84308810 . . . Lorsqu’un objet se trouve en x, et qu’on le d´place e Calculons maintenant la diff´rence entre deux valeurs e de dx (dx est tr`s petit, infinit´simal), l’´nergie e e e cons´cutives : e potentielle varie de : x sin(x + 0, 001) − sin(x) 1, 000 5, 3988 . . . 10−4 dEp = −F(x)dx (∗) ♥ 1, 001 5, 3904 . . . 10−4 Ep Ep + dEp 1, 002 5, 3820 . . . 10−4 x x + dx x On remarque que les valeurs sont tr`s proches, ce qui e signifie que la fonction sin(x) est presque lin´aire au voi- e Plusieurs questions doivent vous venir en voyant cette sinage de x = 1. d´finition : e On peut ´crire : e – Quel est le sens de cette expression ? sin(1 + dx) − sin(1) 0, 539 dx (†) – Que signifie “dx petit, infinit´simal” pour un physi- e cien ? u o` signifie “` peu pres ´gal a”. En fait, on peut es- a e ` – comment d´terminer la variation d’´nergie poten- e e timer l’erreur commise en approximant la fonction par tielle lorsqu’on d´place l’objet de fa¸on appr´ciable e c e une droite. En effet l’´cart a la lin´arit´ est de l’ordre de e ` e e (pas infinit´simale) ? e −6 10 , c’est a dire de l’ordre de dx . ` 2 2 – Pourquoi choisis-t’on cette d´finition (et pas une e Quelle est la signification du 0, 539 . . . que l’on a d´- e autre) ? termin´ num´riquement ? C’est (` peu pr`s) le coefficient e e a e On va r´pondre a ces questions s´quentiellement. e ` e directeur de la tangente, c’est a dire la d´riv´e de la fonc- ` e e tion sin(x) en x = 1. V´rification : e Que signifie l’expression (∗) ? D’abord que quand on se d´place tr`s peu, l’´nergie varie lin´airement avec le d´- e e e e e sin (1) = cos(1) = 0, 54030231 placement, c’est a dire qu’on peut approximer notre ´ner- ` e Exp´rimentalement, on a d´termin´ la d´riv´e de la fonc- e e e e e gie potentielle par une droite au voisinage d’un point. −3 tion avec une pr´cision de 10 , c’est a dire de l’ordre e ` Est-ce raisonnable ? de dx (voir la note en bas de page 2 ) Ouvrons une parenth`se e Que se passe-t’il si l’on prend un dx de plus en plus petit ? Graphiquement : – L’´cart a la lin´arit´ (qui se comporte comme dx2 ) e ` e e Ep tend tr`s vite vers z´ro→ la fonction se comporte e e strictement comme une droite quand dx → 0 – Le coefficient de proportionnalit´ que l’on d´termine e e “exp´rimentalement” (voir l’´quation (†)), qui dif- e e f`re de la d´riv´e en x = 1 d’une quantit´ de l’ordre e e e e de dx , tend vers la d´riv´e quand dx → 0. e e On peut donc ´crire : e df = f (x)dx x qui devient une ´galit´ stricte (pas approch´e) quand e e e Dans l’intervalle mis en ´vidence sur le diagramme, e 2 Je vous encourage a v´rifier que l’erreur est de l’ordre de dx 2 ` e il est raisonnable d’approximer notre ´nergie potentielle e en recommen¸ant l’exp´rience avec un dx plus petit (par exemple c e par la droite tangente a la courbe au point x. ` remplacez les 0, 001 par des 0, 0001) et en observant ce qui change. 
  • 14. ´ Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe dx est infinit´simal (aussi petit que vous voulez). On e A B appelle cette relation une forme diff´rentielle, ou plus e dEp simplement une diff´rentielle, ou si il y a un doute la e dx diff´rentielle de f. e – On somme les dEp sur chaque intervalle : Remarque conceptuelle profonde : la physique est une science exp´rimentale. On ne peut donc jamais contrˆ- e o Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEp ler une quantit´ avec une pr´cision arbitrairement. Pour e e nous physiciens, l’op´ration de prise de limite dx → 0 est e abstraite puisqu’elle ne peut jamais ˆtre mise en œuvre e – En prenant dx infinit´simal, on obtient : e en pratique3 . Donc pour nous, dx est petit (pas forc´- e ment infinit´simal), et suffisamment petit pour que l’er- e xB reur induite par sa finitude soir ind´tectable exp´rimen- e e Ep (xB ) = Ep (xA ) + dEp talement. Ceci r´pond a la deuxi`me question qu’on se e ` e xA xB posait tout a l’heure. Si on franchit le pas de prendre ` = Ep (xA ) − F(x)dx un dx infinit´simal, c’est pour pouvoir faire le lien avec e xA les math´matiques, et utiliser le puissant formalisme des e d´riv´es. e e Ceci r´pond a la troisi`me question soulev´e plus haut. e ` e e Remarque moins subtile : Si on utilise la notation Remarquez que notre d´finition nous permet de d´- e e df terminer l’´nergie potentielle en Ep (xB ) a une constante e ` f (x) = dx pr`s (on n’a acc`s qu’` des diff´rences d’´nergies poten- e e a e e la diff´rentielle s’´crit : e e tielles). Il est donc n´cessaire de compl´ter notre d´fini- e e e tion, en fixant par exemple la valeur de l’´nergie poten- e df tielle en un point. Ce choix est arbitraire. Choisissez ce df = dx dx qui vous arrange le plus, mais une fois que vous avez fait ce qui est une forme assez parlante : si on “simplifie par un choix, vous devez vous y tenir ! dx” on tombe sur une ´galit´ tr`s simple. Cette expres- e e e sion est un bon moyen mn´motechnique pour retrouver e Passons maintenant a la quatri`me question qu’on se ` e la formule de la diff´rentielle, mais attention, du point e posait tout a l’heure. Si l’on fait ce choix de d´finition ` e de vue math´matique, cette simplification par dx n’a e pour l’´nergie potentielle, c’est parce que avec cette d´fi- e e aucun sens ! ! ! nition, on v´rifie que l’´nergie m´canique est conserv´e. e e e e V´rifions-le : e fin de la parenth`se e Revenons a notre d´finition de l’´nergie potentielle. En ` e e Em (v(t), x(t)) = Ec (v(t)) + Ep (x(t)) utilisant les conclusions tir´es de la parenth`se, elle nous e e dit finalement que : dEp (x) F(x) = −Ep (x) = − (‡) dEm (v(t), x(t)) Ec (v(t)) Ep (x(t)) dx = + dt dt dt forme qui doit vous ˆtre plus famili`re. Connaissant e e Ec (v(t)) dv(t) Ep (x(t)) dx(t) l’´nergie potentielle, on en d´duit la force par d´rivation. e e e = + dv(t) dt dx(t) dt Consid´rons maintenant le probl`me inverse. Connais- e e =a × mv + v × (−F) sant la force F(x), comment en d´duit-on l’´nergie poten- e e tielle ? Si on connaˆ l’´nergie potentielle en xA , on en ıt e =v(ma − F) d´duit l’´nergie potentielle en xB de la fa¸on suivante : e e c =0 – On d´coupe l’intervalle [xA , xB ] en petits intervalles e de taille dx o` l’on a utilis´ dans la derni`re ligne la relation fonda- u e e 3 Les gens qui travaillent sur la “gravitation quantique” pensent mentale de la dynamique et pour la 3o ligne l’expression d’ailleurs que, a des distances de l’ordre de 10−35 m, notre espace ` a une structure tellement biscornue que l’on ne peut plus d´river ` e de Ec et l’´quation (‡). Avec notre d´finition de l’´nergie e e e aussi facilement . . . potentielle, l’´nergie m´canique est conserv´e ! ! ! e e e 
  • 15. II.. L’´nergie potentielle e R´sum´ e e D´finition : dEp = −F(x)dx e d’o` l’on tire : u F(x) = −Ep (x) ♥ xB Ep (xB ) − Ep (xA ) = − F(x)dx xA Il faut se fixer une origine des ´nergies (par exemple e Ep (xA ) = 0) pour en d´duire Ep (xB ) e On voit que dans le voisinage du point o` l’on a consi- u d´r´ le plan tangent, il est tr`s raisonnable d’approximer ee e la fonction par un plan. 2) Probl`me ` deux dimensions e a Connaissant l’´nergie potentielle, comment en d´duit- e e on la force ? Si on se d´place le long de l’axe des x uni- e On va maintenant g´n´raliser la discussion pr´c´dente e e e e quement (dy = 0), on se retrouve dans le cas unidimen- au cas d’un objet se d´pla¸ant dans un plan (position e c sionnel (comparez nos d´finitions de l’´nergie potentielle e e d´termin´e par 2 coordonn´es x et y). Contraintes : e e e dans le cas unidimensionnel, et dans le cas bidimension- nel avec dy = 0). Donc : Fx = −d´riv´e de Ep par rap- e e – Remplacer dx par dr port a x en gardant y fixe. Remarquez que c’est mainte- ` dEp – Remplacer F(x) par F(r) nant tr`s ambigu d’´crire e e pour la d´riv´e puisque e e dx – Lorsqu’on varie une seule coordonn´e, on doit re- e 5 dEp d´pend de deux variables Pour ´viter cette ambi- e e trouver les r´sultats pr´c´dents. e e e gu¨ e, on introduit une nouvelle notation : les ∂ (on dit ıt´ le “d rond” oppos´ au d qu’on appelle le “d droit”) e Tout naturellement, notre nouvelle d´finition de l’´ner- e e gie potentielle est : On note ∂Ep ∂x y ♥ x la d´riv´e de Ep par rapport a x en gardant y fix´. e e ` e lorsque l’objet se trouve en r = , et qu’on le y p ∂E dx Tr`s souvent, on notera uniquement ∂x quand ca e ¸ d´place de dr = e (dr est tr`s petit, infinit´- e e n’est pas ambigu. Avec notre nouvelle notation : dy simal), l’´nergie potentielle varie de : e ♥ ∂Ep Fx = − dEp = −F(r) · dr ∂x y = −Fx (r) · dx − Fy (r) · dy On trouve de la mˆme fa¸on : e c ∂Ep Fy = − ∂y x La relation pr´c´dente signifie que, au voisinage du e e point r, l’´nergie potentielle varie lin´airement avec dx et e e On va introduire une derni`re notation tr`s utile : le e e avec dy. Ca signifie que, au voisinage de r, on approxime ¸ gradient . Le gradient est un “vecteur” dont les coor- Ep (r) par un plan :4 le plan tangent a la courbe. Sur ` donn´es sont des op´rations de d´rivation : e e e le diagramme suivant, j’ai repr´sent´ une fonction a 2 e e ` ∂ variables (surface avec traits pleins) et le plan tangent a` = ∂x ∂ cette fonction (surface avec pointill´s). e ∂y Ainsi ∂f f= ∂x ∂f ∂y 5 Regardez ce a quoi ressemblerait notre d´finition dans le cas ` e ˆ 4 Etes-vous convaincus de ¸a ? Si non, r´fl´chissez-y, faites des c e e bidimensionnel si on “divisait” par dx, et observez que ¸a ne donne c dessins... pas du tout ce qu’on voudrait. 
  • 16. ´ Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe et l’on peut donc ´crire F = − Ep . e – En prenant dr infinit´simal, on obtient : e Remarque tr`s importante pour la suite : si l’on rem- e rB place, dans notre d´finition de l’´nergie potentielle Fx et e e Ep (xB ) = Ep (xA ) + dEp de Fy par leurs expressions en terme de d´riv´es de Ep , e e rA rB on trouve : = Ep (rA ) − F(r) · dr rA ∂Ep ∂Ep dEp = dx + dy ∂x ∂y = Ep · dr III. Le travail Cette expression est vraie pour toute fonction a deux va- ` 1) Introduction riables (pas uniquement pour l’´nergie potentielle). Dans e Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement suppos´ e e e la suite, on va utiliser cette relation dans tous les sens. que a toute force on peut associer une ´nergie potentielle. ` e Il faut absolument comprendre la signification Mais ca n’est pas toujours le cas. Par exemple la force ¸ de cette relation ! de frottement visqueux subi par un solide qui se d´place e lentement dans l’eau : F = −αv ne peut pas ˆtre obtenue e Avec notre d´finition de l’´nergie potentielle, l’´nergie e e e en faisant −d/dx de quelque chose. Il faut donc bien m´canique est conserv´e. V´rification : e e e distinguer : – Les forces conservatives (toutes les forces ´l´men- ee dEm dEc dEp taires) qui d´coulent d’une ´nergie potentielle. e e = + dt dt dt – Les forces non-conservatives (typiquement les forces dvx ∂Ec dx ∂Ep de frottement) qui ne d´coulent pas d’une ´nergie. e e + dt ∂x + = dt y∂vx c dv ∂E + dy ∂Ep Pour ces derni`res, on introduit le concept de travail, e dt ∂vy dt ∂y qui est le petit fr`re de l’´nergie potentielle (comparez e e = m(vx ax + vy ay ) + (−vx Fx − vy Fy ) l’encadr´ qui suit a celui qui pr´c`de) e ` e e = v(ma − F) Lorsqu’on se d´place de dx (petit, infinit´simal), le e e =0 travail de la force F est (notez le signe !) : Cette d´monstration est compl`tement similaire a celle e e ` δW = Fdx qu’on a fait dans le cas unidimensionnel. Pour un d´placement fini, e ♥ B Connaissant la force, comment trouver l’´nergie po- e WA→B = F dx tentielle ? On va suivre la mˆme d´marche que dans le e e A cas unidimensionnel : – On choisit un chemin allant de A a B ` L’´nergie potentielle n’existe que pour les forces e – On d´coupe le chemin en petits intervalles de taille e conservatives. En revanche, on peut calculer le travail dr aussi bien pour une force conservative que pour une B force non-conservative. Remarquez que pour une force conservative, le travail prend une forme particuli`rement e simple : dEp WA→B = Ep (A) − Ep (B) (§) dr 2) Quelques propri´t´s e e Trois questions (au moins) se posent : A 1 Quelle est la diff´rence avec ce qu’on a fait pour e les forces conservatives ? Quoi de neuf ? – On somme les dEp sur chaque intervalle : 2 Pourquoi cette notation ´trange δW ? e 3 Pourquoi introduit-on cette quantit´ ? Quelle signi- e Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEp fication ? Quel int´rˆt ? ee 