3. Avant de lire ce qui suit...
J’ai pas mal h´sit´ avant de taper mes notes de cours. Ce qui m’y a finalement pouss´, c’est la tr`s mauvaise
e e e e
´criture dont m’a dot´e la Nature. Malheureusement, des notes de cours tap´es prennent tout de suite un cˆt´
e e e oe
formel, dogmatique, qui ne plaˆ pas .. . Mon exp´rience personnelle, c’est qu’on a toujours une lecture plus
ıt e
critique .. quand on a entre les mains un document manuscrit.
Pour lutter contre ce cˆt´ formel, je vous incite a gribouiller votre version imprim´e. Quant a moi, je me suis
oe ` e `
autoris´ un style t´l´graphique, plus oral qu’´crit.
e ee e
Enfin, je suis acheteur de toutes vos remarques et critiques. Ne doutez pas que ce document est truff´ d’erreurs
e
(malgr´ mes multiples relectures). Si vous tombez, au d´tour d’une ligne sur une partie louche, ou incompr´hensible,
e e e
c’est peut-ˆtre le texte qui est en cause, et pas vous. Donc n’h´sitez pas a me faire part de vos r´flexions pour lever
e e ` e
ces doutes (par e-mail, t´l´phone, ou en live pendant le TD), et pour que j’am´liore le texte au cours des ann´es.
ee e e
Vous trouverez dans le texte des passages encadr´s, avec un ♥, qui indiquent les choses a connaˆ
e ` ıtre pour les
partiels et autres examens. Les passages difficiles seront rep´r´s par le signe
ee .
Derni`re chose, je mettrai le cours au fur et a mesure de son ´criture sur le net. N’imprimez pas syst´matiquement
e ` e e
tout le cours, mais s´lectionnez uniquement la partie que vous n’avez pas d´j`, pour ´viter la sur-consommation
e ea e
de papier...
6. Chapitre 1
Introduction
On replace dans cette section la thermodynamique de la force ´lectromagn´tique qui repousse les ´lec-
e e e
dans une perspective historique (arrang´e a la sauce mo-
e ` trons de ces atomes. Au niveau macroscopique, on
derne). oublie toute cette complexit´ a l’´chelle microsco-
e ` e
Physique classique (Galil´e, Newton, 18e si`cle, etc.)
e e pique, et on fait une mod´lisation tr`s simple de la
e e
´
Etudie la trajectoire d’un corps dans diff´rents envi-
e r´action de la table sur le livre.
e
ronnements.
– Une pomme / la lune dans le champ gravitationnel Dans ces probl`mes, on ne tient pas compte de nom-
e
de la terre breuses propri´t´s des corps consid´r´s, qui sont pour-
ee ee
– Un ´lectron dans un champ ´lectrique / magn´tique
e e e tant tr`s int´ressantes :
e e
– Flottaison d’un bateau. – la temp´rature ;
e
Bas´e sur une ´quation fondamentale : la relation fon-
e e – la phase de la substance (liquide, solide, vapeur,...) ;
damentale de la dynamique : – les transformations chimiques ;
– etc.
F = ma ♥ Bref, on oublie toutes les propri´t´s internes (intimes)
ee
des corps macroscopiques. La thermodynamique vise jus-
o` m est la masse du corps, a son acc´l´ration :
u ee tement a ´tudier ces propri´t´s. Cette branche de la phy-
`e ee
sique a connu un tr`s fort d´veloppement au XIXe si`cle,
e e e
dv d2 r notamment pour comprendre / am´liorer le fonctionne-
e
a= = 2
dt dt ment des machines a vapeur.
`
et F la force exerc´e par l’environnement sur le corps.
e
On range les forces dans deux cat´gories :
e Remarques importantes
– Les forces fondamentales : gravitation, ´lectroma-
e 1 On sait caract´riser depuis Newton la trajectoire
e
gn´tiques (plus 2 autres qui ne nous int´ressent pas
e e d’une plan`te gravitant autour du Soleil. C’est ce qu’on
e
ici). appelle un probl`me a deux corps, et la trajectoire asso-
e `
– Les forces effectives, macroscopiques : frottements, ci´e est une ellipse. En revanche, on ne sait pas r´soudre
e e
pouss´e d’Archim`de. Ces forces ont pour origine
e e le probl`me a trois corps (le soleil plus deux plan`tes). Ce
e ` e
l’interaction entre atomes (` l’´chelle microsco-
a e probl`me est tr`s compliqu´, et pr´sente notamment une
e e e e
pique) de corps macroscopiques1 . Quand on forte sensibilit´ aux conditions initiales, li´e a ce qu’on
e e `
consid`re ces forces, le plus souvent on “oublie”
e appelle en physique le chaos.
leur origine microscopique, et on en fait une mo- Question : Comment alors esp´rer d´crire 1023 parti-
e e
d´lisation effective a l’´chelle macroscopique. Par
e ` e cules en interaction ?
exemple, quand on s’int´resse a un livre pos´ sur
e ` e R´ponse : C’est impossible, mais ca n’est pas ce que
e ¸
une table, on invoque la “r´action de la table sur
e l’on veut faire. En thermodynamique, on s’int´resse aux
e
le livre”, qui compense le poids du livre. Si vous propri´t´s globales de la mati`re, pas au comportement
ee e
y r´flechissez, au niveau microscopique, cette force
e de chacune des particules ind´pendamment 2 . On voit
e
est assez complexe. Elle r´sulte de la r´pulsion entre
e e 2 Analogie Il est tr`s difficile de savoir si monsieur D. va vo-
e
les atomes solidaires de la table et ceux solidaires du ter pour tel ou tel candidat aux ´lections. Son choix d´pend de
e e
livre. Cette r´pulsion est elle-mˆme une cons´quence
e e e son histoire personnelle, de ses rencontre, des d´bats auxquels il a
e
assist´, etc. Mais :
e
1 c’est
a dire compos´s d’un grand nombre de particules, typi-
` e – Le vote de Monsieur D. ne nous int´resse pas directement. On
e
quement le nombre d’Avogadro Na ∼ 6, 02 1023 s’int´resse en premier lieu aux r´sultats des ´lections.
e e e
7. donc que, quand on s’int´resse a un syst`me compos´
e ` e e
d’un grand nombre de particules, certains concepts (tra-
jectoire d’une particule) perdent de leur int´rˆt. Inverse-
ee
ment, nous verrons que de nouveaux concepts ´mergent
e
(par exemple la temp´rature).
e
2 Les lois de la physique classique sont r´versibles
e
dans le temps.
– En termes math´matiques, si r(t) d´crit la trajec-
e e
toire d’un corps dans un environnement (c’est a dire
`
que r(t) est une solution des ´quations du mouve-
e
ment), r(−t) est aussi une trajectoire autoris´e.
e
– Plus prosa¨ ıquement, si l’on filme une exp´rience de
e
physique classique, et qu’on passe le film a l’envers,
`
rien de choquant.
Toutefois, la vie est pleine de ph´nom`nes non-
e e
r´versibles.
e
Par exemple : Battez un œuf pour faire une omelette.
Le blanc se m´lange au jaune jusqu’` ce qu’on obtienne
e a
un m´lange homog`ne. C’est un processus irr´versible
e e e
car on n’a jamais vu que, inversement, en “battant a `
l’envers” notre m´lange, on reconstitue un jaune s´par´
e e e
du blanc.
Comment apparaˆ cette irr´versibilit´ macroscopique,
ıt e e
alors que la physique microscopique sous-jacente est r´-e
versible ?
– On peut faire des pr´dictions statistiques sur le vote des fran-
e
c
¸ais, et donc sur le r´sultat du scrutin.
e
8. Chapitre 2
Description d’un syst`me
e
macroscopique, variables d’´tat
e
I. Variables d’´tat
e et on appelle pression le coefficient de proportionnalit´ e
entre surface et force : F = PS. D’autre part, la force est
On va s’int´resser dans ce cours a des
e ` orthogonale a la surface :
`
syst`mes macroscopiques, c’est a dire
e `
constitu´s d’un grand nombre de parti-
e
cules. Pour fixer les id´es, commen¸ons
e c
par un exemple simple : le gaz contenu F
dans une bouteille (ferm´e). On va sim-
e
plifier la discussion en consid´rant une
e |F| = SP ♥
seul esp`ce de gaz (pas de m´lange).
e e
On a en tˆte de faire subir a notre syst`me des trans-
e ` e
formations, et de voir comment il r´agit. Pour v´rifier
e e
les conclusions de nos exp´riences, on demande a des
e ` S
coll`gues de les refaire. Il faut donc qu’on leur d´crive
e e Il existe plusieurs unit´s pour la pression. L’unit´ du
e e
notre syst`me. Question : Quelles sont les quantit´s per-
e e syst`me international est le Pascal (Pa).
e
tinentes ?
1. volume 1 Pa = 1 N m−2
2. masse On exprime ´galement la pression en “atmosph`res”,
e e
3. nombre de moles c’est a dire par rapport a la pression atmosph´rique au
` ` e
4. composition chimique niveau de la mer.
5. forme (g´om´trie)
e e
1Atm = 1.013 105 Pa
6. pression ♥
= 1013 hPa (pour les m´t´orologues)
ee
7. temp´rature
e
Remarque : Notez l’´conomie ! On arrive a d´crire notre
e ` e
syst`me de 1023 particules avec moins de 10 param`tres !
e e
Exemple d’application : L’air atmosph´rique (` la
e a
D´crivons ces quantit´s :
e e
pression de 1 Atm.) exerce une pouss´e sur la paume de
e
Volume, masse, nombre de moles composition chi-
ma main (de surface ∼ 20cm × 10cm ∼ 200cm2 ). Cette
mique et forme, ca doit ˆtre clair pour tout le monde.
¸ e
force est orthogonale a ma paume, et de norme :
`
Notons tout de mˆme que, en g´n´ral, la forme de notre
e e e
syst`me ne joue aucun rˆle en thermodynamique.
e o |F| = PS = 2.10−2 × 105
= 2000 N
1) La pression
soit le poids d’un objet de 200kg.1 Alors pourquoi ma
Lorsqu’un fluide (liquide, gaz, ...) est en contact avec 1 Vous pouvez vous souvenir qu’` la pression atmosph´rique, 1
a e
une paroi, il exerce une pouss´e, une force sur cette der-
e cm2 est soumis a une force ´quivalente au poids d’un objet de 1
` e
ni`re. Plus la paroi est grande, plus la force est grande,
e kg.
9. III.. Variables intensives / extensives
main ne bouge pas ? – On note que notre syst`me a 3 degr´s de libert´,
e e e
Parce que une force de mˆme norme, et de sens oppos´
e e c’est a dire qu’il est enti`rement d´crit par trois va-
` e e
s’exerce sur face de ma main, qui la compense exacte- riables (par exemple P, T , n). Si l’on fixe le nombre
ment. En plus, le sang a l’int´rieur de la mai est ´gale-
` e e de moles (syst`me ferm´), on peut repr´senter l’´tat
e e e e
ment a la pression atmosph´rique, donc votre peau est
` e du syst`me par un point sur un graphe :
e
soumise a une force pressante, de norme ´gale a la force
` e ` P
pressante exerc´e par l’air, et de sens oppos´.
e e
Comment mettre en ´vidence la pression ? Par une dif-
e
f´rence de pression :
e
P2 S P1 S
´tat du syst`me
e e
P1 P2
(P1 − P2 ) S
V
On retrouve ce principe dans les ventouses, les sph`res
e On peut ´videmment tracer le mˆme type de dia-
e e
de Magdeburg, etc. grammes en utilisant d’autres variables.
2) La temp´rature
e
III. Variables intensives /
On a une intuition de ce qu’est la temp´rature (Plus
e
chaud, plus froid). Toutefois, m´fiance : Si vous mettez
e extensives
une pi`ce sur un tapis en hiver, et que vous pausez le
e
pied sur la pi`ce, la pi`ce vous paraˆ
e e ıtra plus froide que On consid`re deux bouteilles identiques, contenant
e
le tapis, alors qu’un thermom`tre vous donnera la mˆme
e e une mˆme quantit´ de gaz dans le mˆme ´tat (temp´-
e e e e e
temp´rature pour ces deux objets...
e ratures, pressions, etc. ´gales). On joint ces bouteilles :
e
P, V, T , n P, V, T , n
II. ´
Equation d’´tat
e
Toutes les variables que l’on a cit´es sont-elles ind´-
e e
bouteille I bouteille II
pendantes ? Non.
Par exemple, connaissant l’esp`ce chimique et le
e Quelles sont les caract´ristiques de notre nouveau
e
nombre de moles n de gaz, la masse est fix´e. En plus de
e gaz dans la bouteille I
ces relations triviales, on remarque exp´rimentalement
e syst`me
e ?
gaz dans la bouteille II
que, a volume V, nombre de moles n, temp´rature T
` e
fix´s, on ne peut pas faire varier la pression. Celle-ci
e
prend, dans ces conditions, une valeur bien d´termin´e.
e e Le volume est 2 fois plus grand
Autrement dit, on peut ´crire :
e Le nombre de moles est 2 fois plus grand
En revanche,
P = f(T, V, n) La densit´ est la mˆme
e e
La pression est la mˆme
e
Remarques :
La temp´rature est la mˆme
e e
– La fonction f(T, V, n) peut ˆtre d´termin´e exp´ri-
e e e e
On va donc classer les variables d’´tat en deux
e
mentalement
groupes :
– de la relation P = f(T, V, n), on peut tirer les rela-
– d’une part, les variables extensives qui se trans-
tions :
forment comme le volume ou le nombre de moles,
– d’autre part les variables intensives qui se trans-
V = g(T, P, n)
forment comme la densit´, la pression et la tem-
e
n = h(T, V, P) p´rature.
e
10. Chapitre 2. Description d’un syst`me macroscopique, variables d’´tat
e e
Consid´rons maintenant deux bouteilles diff´rentes
e e Conclusion : avant de parler de pression, s’assurer que
contenant un mˆme gaz, mais dans des conditions dif-
e ca a un sens... Si on a un doute, ca peut ˆtre une bonne
¸ ¸ e
f´rentes :
e id´e de saucissonner notre syst`me en plusieurs petits
e e
bouts.
P2 , V 2 , T 2 , n 2
P1 , V 1 , T 1 , n 1
2 Les choses se compliquent un peu quand on m´- e
lange des gaz (on y reviendra). M´fiance aussi quand le
e
nombre de moles d’une esp`ce chimique peut varier, ce
e
bouteille I qui est le cas lors d’une r´action chimique.
e
bouteille II
Que dire du nouveau syst`me ?
e
V = V 1 + V2
n = n 1 + n2
En revanche, on ne sait a priori rien dire sur les
autres variables. Cette propri´t´ peut ´galement nous
ee e
permettre de diff´rencier les variables intensives des va-
e
riables extensives.
IV. Quelques remarques
1 Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement sup-
e e
pos´ que les variables d’´tat ´taient bien d´finies dans
e e e e
notre syst`me. Attention, dans certaines situations, ca
e ¸
n’est pas le cas (ou au moins, il faut se m´fier) :
e
- Dans l’oc´an, la pression varie avec la profondeur.
e
Dans ce cas, si on consid`re le syst`me “oc´an”, on ne
e e e
sait pas d´terminer la pression de notre syst`me (en quel
e e
point ?). Il apparaˆ alors que notre choix de syst`me
ıt e
n’est pas bien adapt´, et pour s’affranchir de ce pro-
e
bl`me, on peut d´couper virtuellement notre oc´an en
e e e
fines couches horizontales, suffisamment fines pour que
la pression y soit quasiment homog`ne. e
- Si on met une claque a notre syst`me, la pression
` e
varie a cˆt´ du point d’impact. On arrive donc a une si-
` oe `
tuation o`, comme dans l’exemple pr´c´dent, la pression
u e e
n’est pas uniforme, et o` la pression de notre syst`me
u e
n’est pas bien d´termin´e. Deux possibilit´s s’offrent a
e e e `
nous :
– On attend que le syst`me se retrouve dans un ´tat
e e
d’´quilibre
e
– On d´coupe virtuellement notre syst`me en petites
e e
cellules, suffisamment petites pour que la pression
et la temp´rature puissent ˆtre consid´r´es comme
e e ee
homog`nes, et l’on se retrouve dans la mˆme confi-
e e
guration que dans l’exemple de l’oc´an trait´ pr´c´-
e e e e
demment. Il faut s’attendre dans ce cas a ce que la
`
pression d’une cellule varie avec le temps.
11. Chapitre 3
´
Energie, travail, chaleur, premier
principe
Dans ce chapitre, on va d´crire en d´tail la notion
e e avec l’ext´rieur (l’ext´rieur, c’est tout ce qui n’est pas le
e e
d’´nergie. On va ´galement introduire / rappeler (sui-
e e syst`me). Dans ce cas, on peut ´crire :
e e
vant votre cursus) des notions math´matiques qui nous
e
seront utiles dans la suite, en particulier tout l’attirail de E2 = E1 + Eentrante − Esortante
d´rivation-int´gration de fonctions a plusieurs variables.
e e `
2) Les diff´rentes formes d’´nergie
e e
Il existe plusieurs “formes” d’´nergie. C’est la somme
e
I. L’´nergie
e de toutes ces formes d’´nergie qui se conserve dans un
e
syst`me isol´ (pas chaque ´nergie ind´pendamment)
e e e e
1) Introduction Exemples
a) On connaˆ depuis le lyc´e l’´nergie cin´tique d’un
ıt e e e
Le concept d’´nergie est parmi les plus importants et
e
objet de masse m :
les plus utilis´s en physique. On le retrouve dans toutes
e
`
les branches de la physique. A ce sujet, il faut absolument 1
lire ce qu’en dit Feynman dans le chapitre 4 de son livre
Ec =
2
mv2 ♥
de m´canique [1]
e
Lancez un satellite dans l’espace, loin de toute ´toile et
e
Pourquoi l’´nergie est un concept si important ? Parce
e 1
de toute plan`te. Sa vitesse ne change pas avec le temps
e
que l’´nergie ob´it a une loi de conservation :
e e `
(voir Galil´e). Son ´nergie est donc conserv´e. OK.
e e e
b) Revenons sur terre, et lˆchons un gravier (notre
a
L’´nergie d’un syst`me isol´ se conserve
e e e ♥ syst`me). Au d´but de sa chute, la vitesse du syst`me
e e e
est nulle (Ec = 0). Mais lorsque le gravier arrive au sol,
Dit autrement : v = 0, Ec = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? !
e e
– Prenez un syst`me, aussi compliqu´ que vous voulez,
e e Faux ! car notre syst`me a aussi une ´nergie potentielle
e e
que vous isolez du reste du monde (vous pouvez par due a la pr´sence du champ gravitationnel terrestre :
` e
exemple le mettre dans un thermos)
– Calculez l’´nergie de votre syst`me et appelez-la E1
e e Ep = mgz
– Laissez le syst`me ´voluer selon les d´sirs de la na-
e e e
ture o` g est l’acc´l´ration gravitationnelle a la surface de la
u ee `
– Attendez que tout se calme, et calculez a nouveau
` terre :
l’´nergie de votre syst`me. Appelez cette valeur E2
e e g ∼ 9, 8 ms−2 ♥
– constatez que E1 = E2 ! Hosanna !
La conservation de l’´nergie d’un syst`me isol´ est la
e e e et z est l’altitude, de sorte que Ec + Ep est conserv´.
e
notion la plus importante de ce chapitre. C’est la chose V´rification :
e
dont il faut que vous vous souveniez dans 10 ans, quand De la relation fondamentale de la dynamique, et en
vous aurez tout oubli´ de ce chapitre.
e fixant les constantes d’int´gration en donnant les condi-
e
Attention, il peut y avoir plusieurs pi`ges dans cette
e 1 ce qui assure que notre satellite n’est soumis a aucune force,
`
histoire. Assurez vous que votre syst`me est bien isol´.
e e mais rend notre exemple acad´mique, difficilement r´alisable en
e e
Si ca n’est pas le cas, il faut tenir compte des ´changes
¸ e pratique.
12. ´
Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe
tions initiales z(t = 0) = h ; v(t = 0) = 0 on d´duit les
e k est la constante de raideur du ressort, qui donne le
relations (v´rifiez que vous savez les retrouver) :
e coefficient de proportionnalit´ entre force appliqu´e sur
e e
la masse et d´placement de la masse par rapport a sa
e `
v(t) = −gt position d’´quilibre :
e
1
z(t) = − gt2 + h F = −kx
2
v(z) = − 2g(h − z) On donne a la masse une pichenette. On observe un
`
mouvement oscillatoire :
v=0
x(t) = xm sin(ωt)
Lorsqu’on lˆche le gravier :
a
1
h o` ω2 = k/m.
u
Ec = m × 0 2 = 0
2 x
Ep = mgh
xm
Lorsque le gravier arrive au
sol : √
v= 2gh
1
Ec = m × 2gz = mgz t
2
Ep = 0
On v´rifie qu’on a bien conservation de l’´nergie to-
e e −xm
tale... On peut dire que lors du d´placement du gravier,
e
l’´nergie potentielle s’est transform´e en ´nergie cin´-
e e e e La vitesse s’annule pour x = ±xm → Ec = 0
tique. La vitesse est maximale pour x = 0 → Ec
Pour compenser cette variation d’´nergie cin´tique, on
e e
E invoque la pr´sence d’une ´nergie potentielle. Dans ce
e e
mgz cas :
Ec + Ep = cte 1
Ep = kx2
2
Ec de sorte que Ec + Ep se conserve. Jusque l` ca ressemble
a¸
diablement a l’exemple pr´c´dent... Sauf que si on attend
` e e
quelques oscillations, on voit que les oscillations s’amor-
tissent, et que finalement le ressort s’arrˆte : x = v = 0
e
→ Ec + Ep = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? !
e e
Ep On remarque dans ce cas que la temp´rature due
syst`me ressort+masse augmente. Comment interpr´ter
e e
ca ? On va dire que l’´nergie m´canique Em = Ec + Ep
¸ e e
h z s’est transform´e sous une nouvelle forme, que l’on ap-
e
pelle ´nergie thermique parce que reli´e a une variation
e e `
de temp´rature.
e
c) Consid´rons un ressort accroch´ au plafond, avec
e e d) On peut continuer cette histoire, et introduire
une masse attach´e a son extr´mit´.
e ` e e d’autres formes d’´nergie (´nergie du champ ´lectroma-
e e e
gn´tique, ´nergie de masse E = mc2 , . . . )
e e
k
II. L’´nergie potentielle
e
On va s’int´resser ici a l’´nergie potentielle et a son
e ` e `
m lien avec la force. En plus de son importance en pra-
tique, on va utiliser ce concept pour (re)voir des notions
13. II.. L’´nergie potentielle
e
math´matiques importantes pour la suite : d´riv´es, dif-
e e e Num´riquement :
e
f´rentielles, . . .
e Prenons un exemple, la fonction sin(x) autour de x =
1:
1) Probl`me ` une dimension
e a x sin(x)
On consid`re un objet se d´pla¸ant le long d’une droite
e e c 1, 000 0, 84147098 . . .
(on d´crit sa position par une coordonn´e x), soumis a
e e ` 1, 001 0, 84201087 . . .
une force F(x). On va d´finir l’´nergie potentielle par la
e e 1, 002 0, 84254991 . . .
r`gle suivante :
e 1, 003 0, 84308810 . . .
Lorsqu’un objet se trouve en x, et qu’on le d´place
e Calculons maintenant la diff´rence entre deux valeurs
e
de dx (dx est tr`s petit, infinit´simal), l’´nergie
e e e cons´cutives :
e
potentielle varie de :
x sin(x + 0, 001) − sin(x)
1, 000 5, 3988 . . . 10−4
dEp = −F(x)dx (∗) ♥
1, 001 5, 3904 . . . 10−4
Ep Ep + dEp 1, 002 5, 3820 . . . 10−4
x x + dx x On remarque que les valeurs sont tr`s proches, ce qui
e
signifie que la fonction sin(x) est presque lin´aire au voi-
e
Plusieurs questions doivent vous venir en voyant cette sinage de x = 1.
d´finition :
e On peut ´crire :
e
– Quel est le sens de cette expression ?
sin(1 + dx) − sin(1) 0, 539 dx (†)
– Que signifie “dx petit, infinit´simal” pour un physi-
e
cien ? u
o` signifie “` peu pres ´gal a”. En fait, on peut es-
a e `
– comment d´terminer la variation d’´nergie poten-
e e timer l’erreur commise en approximant la fonction par
tielle lorsqu’on d´place l’objet de fa¸on appr´ciable
e c e une droite. En effet l’´cart a la lin´arit´ est de l’ordre de
e ` e e
(pas infinit´simale) ?
e −6
10 , c’est a dire de l’ordre de dx .
` 2 2
– Pourquoi choisis-t’on cette d´finition (et pas une
e Quelle est la signification du 0, 539 . . . que l’on a d´-
e
autre) ? termin´ num´riquement ? C’est (` peu pr`s) le coefficient
e e a e
On va r´pondre a ces questions s´quentiellement.
e ` e directeur de la tangente, c’est a dire la d´riv´e de la fonc-
` e e
tion sin(x) en x = 1. V´rification :
e
Que signifie l’expression (∗) ? D’abord que quand on se
d´place tr`s peu, l’´nergie varie lin´airement avec le d´-
e e e e e sin (1) = cos(1) = 0, 54030231
placement, c’est a dire qu’on peut approximer notre ´ner-
` e Exp´rimentalement, on a d´termin´ la d´riv´e de la fonc-
e e e e e
gie potentielle par une droite au voisinage d’un point. −3
tion avec une pr´cision de 10 , c’est a dire de l’ordre
e `
Est-ce raisonnable ? de dx (voir la note en bas de page 2 )
Ouvrons une parenth`se
e Que se passe-t’il si l’on prend un dx de plus en plus
petit ?
Graphiquement : – L’´cart a la lin´arit´ (qui se comporte comme dx2 )
e ` e e
Ep tend tr`s vite vers z´ro→ la fonction se comporte
e e
strictement comme une droite quand dx → 0
– Le coefficient de proportionnalit´ que l’on d´termine
e e
“exp´rimentalement” (voir l’´quation (†)), qui dif-
e e
f`re de la d´riv´e en x = 1 d’une quantit´ de l’ordre
e e e e
de dx , tend vers la d´riv´e quand dx → 0.
e e
On peut donc ´crire :
e
df = f (x)dx
x
qui devient une ´galit´ stricte (pas approch´e) quand
e e e
Dans l’intervalle mis en ´vidence sur le diagramme,
e 2 Je vous encourage a v´rifier que l’erreur est de l’ordre de dx 2
` e
il est raisonnable d’approximer notre ´nergie potentielle
e en recommen¸ant l’exp´rience avec un dx plus petit (par exemple
c e
par la droite tangente a la courbe au point x.
` remplacez les 0, 001 par des 0, 0001) et en observant ce qui change.
14. ´
Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe
dx est infinit´simal (aussi petit que vous voulez). On
e A B
appelle cette relation une forme diff´rentielle, ou plus
e dEp
simplement une diff´rentielle, ou si il y a un doute la
e dx
diff´rentielle de f.
e
– On somme les dEp sur chaque intervalle :
Remarque conceptuelle profonde : la physique est une
science exp´rimentale. On ne peut donc jamais contrˆ-
e o
Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEp
ler une quantit´ avec une pr´cision arbitrairement. Pour
e e
nous physiciens, l’op´ration de prise de limite dx → 0 est
e
abstraite puisqu’elle ne peut jamais ˆtre mise en œuvre
e – En prenant dx infinit´simal, on obtient :
e
en pratique3 . Donc pour nous, dx est petit (pas forc´- e
ment infinit´simal), et suffisamment petit pour que l’er-
e
xB
reur induite par sa finitude soir ind´tectable exp´rimen-
e e Ep (xB ) = Ep (xA ) + dEp
talement. Ceci r´pond a la deuxi`me question qu’on se
e ` e xA
xB
posait tout a l’heure. Si on franchit le pas de prendre
`
= Ep (xA ) − F(x)dx
un dx infinit´simal, c’est pour pouvoir faire le lien avec
e xA
les math´matiques, et utiliser le puissant formalisme des
e
d´riv´es.
e e
Ceci r´pond a la troisi`me question soulev´e plus haut.
e ` e e
Remarque moins subtile : Si on utilise la notation
Remarquez que notre d´finition nous permet de d´-
e e
df terminer l’´nergie potentielle en Ep (xB ) a une constante
e `
f (x) =
dx pr`s (on n’a acc`s qu’` des diff´rences d’´nergies poten-
e e a e e
la diff´rentielle s’´crit :
e e tielles). Il est donc n´cessaire de compl´ter notre d´fini-
e e e
tion, en fixant par exemple la valeur de l’´nergie poten-
e
df tielle en un point. Ce choix est arbitraire. Choisissez ce
df = dx
dx qui vous arrange le plus, mais une fois que vous avez fait
ce qui est une forme assez parlante : si on “simplifie par un choix, vous devez vous y tenir !
dx” on tombe sur une ´galit´ tr`s simple. Cette expres-
e e e
sion est un bon moyen mn´motechnique pour retrouver
e Passons maintenant a la quatri`me question qu’on se
` e
la formule de la diff´rentielle, mais attention, du point
e posait tout a l’heure. Si l’on fait ce choix de d´finition
` e
de vue math´matique, cette simplification par dx n’a
e pour l’´nergie potentielle, c’est parce que avec cette d´fi-
e e
aucun sens ! ! ! nition, on v´rifie que l’´nergie m´canique est conserv´e.
e e e e
V´rifions-le :
e
fin de la parenth`se
e
Revenons a notre d´finition de l’´nergie potentielle. En
` e e Em (v(t), x(t)) = Ec (v(t)) + Ep (x(t))
utilisant les conclusions tir´es de la parenth`se, elle nous
e e
dit finalement que :
dEp (x)
F(x) = −Ep (x) = − (‡) dEm (v(t), x(t)) Ec (v(t)) Ep (x(t))
dx = +
dt dt dt
forme qui doit vous ˆtre plus famili`re. Connaissant
e e Ec (v(t)) dv(t) Ep (x(t)) dx(t)
l’´nergie potentielle, on en d´duit la force par d´rivation.
e e e = +
dv(t) dt dx(t) dt
Consid´rons maintenant le probl`me inverse. Connais-
e e
=a × mv + v × (−F)
sant la force F(x), comment en d´duit-on l’´nergie poten-
e e
tielle ? Si on connaˆ l’´nergie potentielle en xA , on en
ıt e =v(ma − F)
d´duit l’´nergie potentielle en xB de la fa¸on suivante :
e e c =0
– On d´coupe l’intervalle [xA , xB ] en petits intervalles
e
de taille dx
o` l’on a utilis´ dans la derni`re ligne la relation fonda-
u e e
3 Les gens qui travaillent sur la “gravitation quantique” pensent
mentale de la dynamique et pour la 3o ligne l’expression
d’ailleurs que, a des distances de l’ordre de 10−35 m, notre espace
`
a une structure tellement biscornue que l’on ne peut plus d´river
` e de Ec et l’´quation (‡). Avec notre d´finition de l’´nergie
e e e
aussi facilement . . . potentielle, l’´nergie m´canique est conserv´e ! ! !
e e e
15. II.. L’´nergie potentielle
e
R´sum´
e e
D´finition : dEp = −F(x)dx
e
d’o` l’on tire :
u
F(x) = −Ep (x) ♥
xB
Ep (xB ) − Ep (xA ) = − F(x)dx
xA
Il faut se fixer une origine des ´nergies (par exemple
e
Ep (xA ) = 0) pour en d´duire Ep (xB )
e On voit que dans le voisinage du point o` l’on a consi-
u
d´r´ le plan tangent, il est tr`s raisonnable d’approximer
ee e
la fonction par un plan.
2) Probl`me ` deux dimensions
e a Connaissant l’´nergie potentielle, comment en d´duit-
e e
on la force ? Si on se d´place le long de l’axe des x uni-
e
On va maintenant g´n´raliser la discussion pr´c´dente
e e e e quement (dy = 0), on se retrouve dans le cas unidimen-
au cas d’un objet se d´pla¸ant dans un plan (position
e c sionnel (comparez nos d´finitions de l’´nergie potentielle
e e
d´termin´e par 2 coordonn´es x et y). Contraintes :
e e e dans le cas unidimensionnel, et dans le cas bidimension-
nel avec dy = 0). Donc : Fx = −d´riv´e de Ep par rap-
e e
– Remplacer dx par dr port a x en gardant y fixe. Remarquez que c’est mainte-
`
dEp
– Remplacer F(x) par F(r) nant tr`s ambigu d’´crire
e e pour la d´riv´e puisque
e e
dx
– Lorsqu’on varie une seule coordonn´e, on doit re-
e 5
dEp d´pend de deux variables Pour ´viter cette ambi-
e e
trouver les r´sultats pr´c´dents.
e e e gu¨ e, on introduit une nouvelle notation : les ∂ (on dit
ıt´
le “d rond” oppos´ au d qu’on appelle le “d droit”)
e
Tout naturellement, notre nouvelle d´finition de l’´ner-
e e
gie potentielle est : On note
∂Ep
∂x y
♥
x la d´riv´e de Ep par rapport a x en gardant y fix´.
e e ` e
lorsque l’objet se trouve en r = , et qu’on le
y
p ∂E
dx Tr`s souvent, on notera uniquement ∂x quand ca
e ¸
d´place de dr =
e (dr est tr`s petit, infinit´-
e e n’est pas ambigu. Avec notre nouvelle notation :
dy
simal), l’´nergie potentielle varie de :
e ♥ ∂Ep
Fx = −
dEp = −F(r) · dr ∂x y
= −Fx (r) · dx − Fy (r) · dy On trouve de la mˆme fa¸on :
e c
∂Ep
Fy = −
∂y x
La relation pr´c´dente signifie que, au voisinage du
e e
point r, l’´nergie potentielle varie lin´airement avec dx et
e e On va introduire une derni`re notation tr`s utile : le
e e
avec dy. Ca signifie que, au voisinage de r, on approxime
¸ gradient . Le gradient est un “vecteur” dont les coor-
Ep (r) par un plan :4 le plan tangent a la courbe. Sur
` donn´es sont des op´rations de d´rivation :
e e e
le diagramme suivant, j’ai repr´sent´ une fonction a 2
e e ` ∂
variables (surface avec traits pleins) et le plan tangent a` = ∂x
∂
cette fonction (surface avec pointill´s).
e ∂y
Ainsi
∂f
f= ∂x
∂f
∂y
5 Regardez ce a quoi ressemblerait notre d´finition dans le cas
` e
ˆ
4 Etes-vous convaincus de ¸a ? Si non, r´fl´chissez-y, faites des
c e e bidimensionnel si on “divisait” par dx, et observez que ¸a ne donne
c
dessins... pas du tout ce qu’on voudrait.
16. ´
Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principe
et l’on peut donc ´crire F = − Ep .
e – En prenant dr infinit´simal, on obtient :
e
Remarque tr`s importante pour la suite : si l’on rem-
e rB
place, dans notre d´finition de l’´nergie potentielle Fx et
e e Ep (xB ) = Ep (xA ) + dEp
de Fy par leurs expressions en terme de d´riv´es de Ep ,
e e rA
rB
on trouve :
= Ep (rA ) − F(r) · dr
rA
∂Ep ∂Ep
dEp = dx + dy
∂x ∂y
= Ep · dr III. Le travail
Cette expression est vraie pour toute fonction a deux va-
` 1) Introduction
riables (pas uniquement pour l’´nergie potentielle). Dans
e Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement suppos´
e e e
la suite, on va utiliser cette relation dans tous les sens. que a toute force on peut associer une ´nergie potentielle.
` e
Il faut absolument comprendre la signification Mais ca n’est pas toujours le cas. Par exemple la force
¸
de cette relation ! de frottement visqueux subi par un solide qui se d´place
e
lentement dans l’eau : F = −αv ne peut pas ˆtre obtenue
e
Avec notre d´finition de l’´nergie potentielle, l’´nergie
e e e en faisant −d/dx de quelque chose. Il faut donc bien
m´canique est conserv´e. V´rification :
e e e distinguer :
– Les forces conservatives (toutes les forces ´l´men-
ee
dEm dEc dEp taires) qui d´coulent d’une ´nergie potentielle.
e e
= +
dt dt dt – Les forces non-conservatives (typiquement les forces
dvx ∂Ec dx ∂Ep de frottement) qui ne d´coulent pas d’une ´nergie.
e e
+ dt ∂x +
= dt y∂vx c
dv ∂E + dy ∂Ep Pour ces derni`res, on introduit le concept de travail,
e
dt ∂vy dt ∂y
qui est le petit fr`re de l’´nergie potentielle (comparez
e e
= m(vx ax + vy ay ) + (−vx Fx − vy Fy ) l’encadr´ qui suit a celui qui pr´c`de)
e ` e e
= v(ma − F)
Lorsqu’on se d´place de dx (petit, infinit´simal), le
e e
=0 travail de la force F est (notez le signe !) :
Cette d´monstration est compl`tement similaire a celle
e e ` δW = Fdx
qu’on a fait dans le cas unidimensionnel.
Pour un d´placement fini,
e
♥
B
Connaissant la force, comment trouver l’´nergie po-
e
WA→B = F dx
tentielle ? On va suivre la mˆme d´marche que dans le
e e A
cas unidimensionnel :
– On choisit un chemin allant de A a B
` L’´nergie potentielle n’existe que pour les forces
e
– On d´coupe le chemin en petits intervalles de taille
e conservatives. En revanche, on peut calculer le travail
dr aussi bien pour une force conservative que pour une
B force non-conservative. Remarquez que pour une force
conservative, le travail prend une forme particuli`rement
e
simple :
dEp
WA→B = Ep (A) − Ep (B) (§)
dr
2) Quelques propri´t´s
e e
Trois questions (au moins) se posent :
A 1 Quelle est la diff´rence avec ce qu’on a fait pour
e
les forces conservatives ? Quoi de neuf ?
– On somme les dEp sur chaque intervalle : 2 Pourquoi cette notation ´trange δW ?
e
3 Pourquoi introduit-on cette quantit´ ? Quelle signi-
e
Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEp fication ? Quel int´rˆt ?
ee