El documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Incluye métodos como separación de variables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de primer y segundo orden, así como ecuaciones de orden superior. También cubre resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando serie de Taylor.
Maquinaria Agricola utilizada en la produccion de Piña.pdf
Ecuaciones dif
1. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Solucionario de Problemas
de Ecuaciones
Diferenciales
Primer parcial (3ra versión)
Roberto Cabrera
09
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 2
Ecuaciones Diferenciales separables
Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
XY
XY
ͨ{Y Y{
Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa
ecuación diferencial de la siguiente manera:
XY
XY
ͨ{Y{ͩ{Y{
Donde ˘{˲ ˳{ se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la
variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta
ecuación diferencial:
XY
XY
ͨ{Y{ͩ{Y{
XY
ͩ{Y{
ͨ{Y{XY
XY
ͩ{Y{
ͨ{Y{XY
Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma:
{Y{ {Y{ - V
1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial:
00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
c4xln5x3yln5y
4x
dx5
dx
3y
dy5
dy
4x
dx5
4x
dx4x
3y
dy5
)3y(
dy)3y(
4x
dx1x
3y
dy2y
ecuaciónladeladosambosaIntegramos
4x
dx1x
3y
dy2y
);x(g)y(f
4)2)(x-(y
1)-3)(x(y
dx
dy
2)-4(y2)-x(y
3)(y-3)x(y
dx
dy
8-4y2x-xy
3-y-3xxy
dx
dy
++−=+−
+
−=
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
−
=
+
−
⇒
+
−
=
+
−
=
+
+
=
+
++
=
+
+
=
∫∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
∫∫
3. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 3
[ ]
( )[ ]
[ ];)e(2arctany
:esparticularsoluciónLa
1;KK;
4
tan
arctan(K);/4
;Ke2arctan/4
/4;y(0)si
;K)e(2arctany
:esgeneralsoluciónLa
K;)e(2tan(y)
;ee
c;e23lntan(y)ln
:vyudoReemplazan
3x
0
3x
3x
ce23lntan(y)ln
x
x
−=
=⇒=
=
−=
⇒
=
−=
−=
=
+−=
+−
;ce1ln2eln2
e
2
eye
:esgeneralimplicitasoluciónLa
;
)e(1e
dx
eye
;ce1ln2eln2
e
2
)e(1e
dx
;cu1ln2uln2
u
2
)u(1u
du2
;
u1
du
2
u
du
2
u
du
2
)u(1u
du2
;du
u1
1
u
1
u
1
2
)u(1u
du2
1;C1;-B1;A
:sonCB,A,devaloreslosDonde
;
u1
C
u
B
u
A
)1u(u
1
:obtenemosparcialesfraccionesporIntegrando
x/2x/2
x/2
yy
x/2x/2
yy
x/2x/2
x/2x/2x/2
2
22
22
22
+++−−=−⇒
+
=−
+++−−=
+
⇒
+++−−=
+
⇒
+
+−=
+
⇒
+
+−=
+
⇒
===
+
++=
+
∫
∫
∫
∫ ∫∫∫
∫∫
2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial:
SiSiSiSi ;)(y
4
0
π
=
3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:
0000
))))eeee(1(1(1(1eeee
dxdxdxdx
ydyydyydyydyeeee x/2x/2x/2x/2yyyy
x/2x/2x/2x/2
=
+
−
∫∫∫
∫
∫∫
+
=
+
=
+
⇒
=⇒=
=⇒=
=
+
+
=
=
+
=
=
+
=
+
=
)u(1u
du2
)uu(1
u
du2
)e(1e
dx
;
u
du2
dxudx
2
1
du
;dxe
2
1
dueu
?
)e(1e
dx
;
)e(1e
dx
dyye
;
ye
1
)y(g
;
)e(1e
1
)x(f
);y(g).x(f
)yee(1e
1
dx
dy
;
)e(1e
dx
ydye
2x/2x/2
2/x2/x
x/2x/2
x/2x/2
y
y
x/2x/2
yx/2x/2
x/2y
x/2
c;v3lnuln
;
v
3dv
u
du
:doReemplazan
dx;edve2v
(y);secdutan(y)u
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
f(x).g(y);
(y))sece(2
tan(y)3e
dx
dy
tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2
0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e
xx
2
x
x2
x
x2
2x
x
x2x
2xx
+=
=
⇒
−=⇒−=
=⇒=
−
−=
−
−=
=
−
−
=
−=−
=−+
∫∫
∫∫
4. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 4
4.- Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy
====++++−−−−−−−− −−−−
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
;
!1n21n2
y
dy
!1n2
y
dy
!1n2
y
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
!1n2
y
:emplazandoRe
;
!1n2
y
y
)y(senh
!1n2
y
)y(senhSi
dy
y
)y(senh
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y
)y(senh
)y(senh
2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;
)xln(1x
)xln(
)ee(
y2
)y(f
);x(g).y(f
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee(
0n
1n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
1n2
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
∑∫∑
∑
∫∫∑
∑∑
∫∫
∫∫
∞+
=
+∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
++
=
+
+
+
=
+
+
=⇒
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+−
=
+
=∧
−
=
=
+−
=
=+−
:queobtenemosIntegrando
:potenciasdeseriesusardebemosintegrarPara
:siguientelotenemosentoncesqueobservamosSi
:obtieneseecuaciónladeladosambosaIntegrando
g(x)
6. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 6
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:
g(x);p(x)yy' =+
Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:
El método del factor integrante.
Método de variación de parámetros
El método del factor integrante:
[ ]
[ ]
[ ]
;u(x)g(x)dx
u(x)
1
y
;u(x)g(x)dxu(x)y
;u(x)g(x)dxu(x)yd
u(x)g(x);u(x)y
dx
d
u(x)g(x);p(x)yy'u(x)
;eu(x)
p(x)dx
∫
∫
∫∫
=
=
=
=
=+
∫=
=+ g(x);p(x)yy'
Método de variación de parámetros
v(x);y'v'(x)yy'
v(x);yy
Asumir:
ey
p(x)dx;y
p(x)dx;
y
dy
;p(x)y
dx
dy
;p(x)y'y
;p(x)y'y
hh
h
p(x)dx;
h
h
h
h
h
h
hh
hh
++++====
====
====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
====++++
====++++
∫∫∫∫ −−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
ln
0
g(x);p(x)yy'
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫====
====
====
====
====
====
====++++
====++++
====++++++++
====++++++++
====++++
−−−−
dx;
y
g(x)
ey
v(x);yy
dx;
y
g(x)
v(x)
dx;
y
g(x)
dv
g(x);y
dx
dv
g(x);yv'(x)
g(x);v(x)yv'(x)
s:, entoncep(x)yPero y'
g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x)
g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y
g(x);p(x)yy'
:emplazando
h
p(x)dx
h
h
h
h
h
h
hh
hhh
hhh
0
0
Re
7. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 7
1) ;
ctg(x)(x)sen
x
yxy'
42
3
=−2
[ ]
;C
3
)X(ctg4
xy
;C
3
)X(ctg4
y
x
1
;C
3
)X(ctg4
C
3
)X(ctg4
dx
ctg(x)
)x(csc
3
u4
4/3
u
duu
u
du
dx
ctg(x)
)x(csc
;dx)x(cscdu)x(ctguSi
;dx
ctg(x)
)x(csc
dx
ctg(x)(x)sen
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
d
;
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
dx
d
;
ctg(x)(x)sen
x
x
1
y
x
2
y'
x
1
;
x
1
xeee)x(u
;
ctg(x)(x)sen
x
y
x
2
y'
4 3
2
4 3
2
4 34/3
4
2
4/34/3
4/1
44
2
2
4
2
42
422
422
422
42
2
22
2
2)xln()xln(2
dx
x
2
42
2
2
+−=
+−=⇒
+−=+−=⇒
−=
−=−=
−
=⇒
−=⇒=
=
⇒
=⇒
=
⇒
=
=
−
====∫=
∫=
=+
=−
∫
∫∫∫
∫∫
∫
∫∫
−
−−
− −
:esldiferenciaecuacionladegeneralsoluciónLa
:ecuaciónladeladosambosau(x)integrantefactorelemosMultipliqu
eu(x)
:u(x)integrantefactorelsEncontremo
:integrantefactordelmétodoelaplicarpodemostantoloPor
g(x);p(x)yy'formalaTiene
p(x)dx
9. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 9
3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:
xe
y
dx
dy
y
2+
=
Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto
a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra
variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = .
( )
( )
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫∫
∫∫
=⇒=
=⇒=⇒=
=
−⇒=−
=
=⇒==
∫
=−=
∫=
=+
=+
=−⇒=−−⇒
=−−≡=−−
=+
=+
−
−−−
−
−
−
dy
y
e
ydy
y
e
xy
dy
y
e
xydy
y
e
xy
y
e
xy
.
y
e
y
x2
'x
y
e
y
x2
'x
e;
y
2
)y(p
;
;g(y)p(y)xx'
;
y
e
y
x2
'x;0
y
x2
y
e
'x
;0x2e'yx;0x2e
dy
dx
y
;
dy
dx
yx2e
;ydxdyx2e
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
y
xy
y
yln2
yy
yy
y
y
2
x
dd
dy
d
yy
:ldiferenciaecuaciónladeladosambosayu(y)integrantefactorelndoMultiplica
yu(y)yeu(y)sentonce
eu(y)
:ydedependeahoraintegrantefactorEl*
:integrantefactordelmétodoelApliquemos
:nteindependievariablelay esAhora
g(y);p(y)xx'formalaTiene
2-
dy
d
2-
2-
2-2-
dy
y
2
p(y)dy
4434421
+
−
++−−==
+++=
=⇒=
∑∫
∫ ∫ ∑∑
∑∑
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
;C
!n)2n(
y
)yln(
2
1
y
1
y2
1
dy
e
y)y(x
!n
y
y!2
1
y!1
1
y!0
1
dy
!n
y
!n
y
y
e
!n
y
e
dy
e
3n
2n
2
y
2
3n
3n
23
0n
3n
0n
3n
0n
3
yn
y
y
2
3
3
y
y
:potenciasdeseriesusamos
y
integrarPara
La solución es:
+
−
++−−=
∑
+∞
=
2
3n
n
2
yC
2)n!(n
y
ln(y)y
2
1
y
2
1
x
10. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 10
4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
;0==− y(1);sen(ln(x))xyxy' 2
Utilizando el método del factor integrante:
;x)x(u
;eee)x(u
;
x
1
e)x(u
e)x(u
;(x))lnxsen(
x
y
y'
;(x))lnsen(xyxy'
1
)xln(dx
x
1
dx)x(p
dx)x(p
;dx)x(p
2
−
−∫−
∫
∫
∫
=⇒
===⇒
−==⇒
=
=+
=−
=−
p(x)donde;
:entoncesg(x),p(x)yy'formasiguientelaTiene
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫
∫
∫∫
=
=
=⇒=⇒=
=−
−
−−−
−−−
−
(x))dxlnsen(xy
(x))dxlnsen(yx
(x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yx
dx
d
;(x))lnxsen(x
x
y
xy'x
1
111
1
yx
dx
d
11
1
:obtieneseldiferenciaecuaciónladeladosambosaintegrantefactorelndoMultiplica
4434421
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ;Cx
2
))xcos(ln())x(ln(senx
y
C
2
))xcos(ln())x(ln(senx
xy
;C
2
))xcos(ln())x(ln(senx
dx))x(ln(sen
;C
2
)zcos()z(sene
dze)z(sen
dze)z(sen
;dze)z(sendx))x(ln(sen
;dzedx
;;xdzdx
;
x
dx
dz);xln(z
?dx))x(ln(sen
2
z
z
z
z
z
+
−
=
+
−
=⇒
+
−
=⇒
+
−
=
=
=
==
=⇒=
=
∫
∫
∫
∫∫
∫
:queobtenemospartesporintegrando,
exPero z
[ ]
[ ]
[ ]
;
2
1
C;C
2
1
0
;C
2
)0cos()0(sen
0
);1(C
2
))1cos(ln())1(ln(sen1
0
;0)1(y
;Cx
2
))xcos(ln())x(ln(senx
y
2
2
=⇒+−=⇒
+
−
=⇒
+
−
=⇒
=
+
−
=
= 0;y(1)siparticularsoluciónlaahorasEncontremo
[ ]
2
x
2
cos(ln(x))sen(ln(x))x
y
:essoluciónLa
2
+
−
=
11. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 11
Ecuaciones diferenciales Exactas
Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma:
0;y)F(x,
:essoluciónlaDonde
h(x);y)H(x,y)F(x,
:obtieneseforma,mismaladeprocedemosyeligeseSi
:essolucíonLa
:Entonces
y).F(x,deconstanteLa
y);N(x,
y
y)F(x,
conigualandoLuego
:yarespectocony)F(x,derivandoLuego
:obtienesey),M(x,escogemosSi
:quetaly)F(x,
:existeEntonces
x
y)(x,
y
y)M(x,
:siexactaEs
0;y)y'N(x,y)M(x,
=
+=
=
∂
∂
=+
=
+=
=
−=
=+
=
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂=∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=+
∫∫
,N(x,y)
y
F(x,y)
;0h(y)G(x,y)
;0F(x,y)
h(y);G(x,y)F(x,y)
)y(h
G'(x,y);N(x,y)h'(y)
N(x,y);h'(y)G'(x,y)
);y('h)y,x('G
y
)y,x(F
h(y);G(x,y)F(x,y)
;xM(x,y)F(x,y)
M(x,y)
x
F(x,y)
x
)y,x(F
N(x,y);
y
F(x,y)
M(x,y);
x
F(x,y)
;NM
;
N
xy
12. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 12
1.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
( ) 0dyxxln(x)
y
e
xdx4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
43
xy
3
=
−+−+
−++−
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
);x(hxy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx)y,x(F
;
!nn
yx
)yln(y
!n
yx
y
1
y
y
e
;
!n
yx
y
1
!n
yx
!n
xy
y
1
y
e
y
y
e
);x(hxy)xln(yxy
y
e
yx)y,x(F
;yx(x)lnx
y
e
x(F(x,y))
y;x(x)lnx
y
e
x(F(x,y))
x;(x)lnx
y
e
x
y
(F(x,y))
x;(x)lnx
y
e
xFy
Si
Existe
NxMy
;(x)lnex4Nx
)y,x(N
;(x)lnex4M
;4xx(x)lny
x
e
yx4M(x,y)
1n
nn
4
1n
nn
1n
1nnxy
1n
1nn
0n
1nn
0n
nxy
xy
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy3
xy3
y
3
xy
3
+−+−−=
+=∂
+=∂
+===
∂
+−+∂
−=
∂
−+−=∂
∂
−+−=∂
−+−=
∂
∂
−+−=
=
=
=
⇒
=
+−=
−+−=
+−=
−++−=
=
−+−+
−++−
∑
∑∫ ∑∫
∑∑∑
∫
∫∫
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
:potenciasdeseriesusaseintegrarPara
:ecuaciónladeladosambosaintegrandoEntonces
:siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,Fy
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
dondey),F(x,funciónuna
exacta;esldiferenciaecuacionlaentonces;
x;xln(x)
y
e
x
0y'xxln(x)
y
e
x4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
4
xy
43
xy
3
20. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 20
( )[ ]
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )[ ] ( )
( )
( )
( )
( )
C)y(h
;0h'(y)
;
y
x2
h'(y)
y
x2
);y(h
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
)y,x(F
;x(x)ln1x
y
1
)y,x(F
;(x)ln1x
y
1
x
))y,x(F(
;
y
2
Nx
;
y
x2
)y,x(N
;
y
2
My
;(x)ln1x
y
1
)y,x(M
;0dy
y
x2
dx(x)ln1x
y
1
;0xdy2
y
1
dx-(x)ln1xyy
y
1
;
y
1
ee)y(u
ee)y(u
;e
)y,x(N
(x);lnxy3xy31My
;(x)ln1xyyM(x,y)
33
222
2
2
2
3
3
3
2
32
3
3
3
3
dy
y
3dy
)xln(1xy1y
)xln(1xy13
dy
)xln(1xy1y
(x);lnxy3xy33
dy
(x)ln1xyy
(x);lnxy3xy312
dy
)y,x(M
MyNx
22
3
2
2
2
22
3
22
=
=
−=+−
=
+−++=
∂
++=
++=
∂
∂
=
=
=
∃
=
−=
−=
−=
++=
=
−
++
=++
=
∫∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
=
++=
++=
=++
∫
−
++
++−
++
−−−
++
−−−−
−
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaese.d.latantoloporNx,My
:ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego
u(y)
-2;Nx
-2x;
0;2xdy-dxln(x)1xyy 3
;0C
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
;C
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
)y,x(F
222
2
222
2
=+−++
+−++=
:Entonces
21. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 21
3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222
−=++
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) [ ]
[ ]
( )
;Cuu
3
1
Cu
3
2
2
1
duu
2
1
)y(h
;ydy2du
;1yu
;dy1yy)y(h
;1yyh'(y)
;1yy
y
x
h'(y)
y
x
);y(h)yln(x)y,x(F
;x(y)lnx2)y,x(F
;;(y)lnx2
x
))y,x(F(
;
y
x2
Nx
;1yy
y
x
)y,x(N
;
y
x2
My
;(y)lnx2)y,x(M
;0y'1yy
y
x
(y)lnx2
;0y'1yyx
y
1
(y)lnxy2
y
1
;
y
1
)y(u
;eee)y(u
;e)y(u
;x2Nx
;1yyx)y,x(N
;)yln(1x2My
;(y)lnxy2)y,x(M
;0y'1yyx(y)lnxy2
2/3
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
222
dy
y
1
dy
)yln(xy2
)yln(x2
dy
(y)lnxy2
)yln(1x2x2
dy
)y,x(M
MyNx
222
222
+=
+==
=
+=
+=
+=
++=+
=
+=
∂=
=
∂
∂
=
=
=
∃
=
=
++=
=
=
=
+++
=+++
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
++=
+=
=
=+++
∫
∫
∫
−
−
+−
−
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaese.d.latantoloporNx,My
:ecuaciónladeladosambosau(y)multiplicaseLuego
( )
( )
( ) ;0C1y1y)yln(x
;C1y1y)yln(x)y,x(F
C;1y1y
3
1
h(y)
222
222
22
=++++
++++=
+++=
3
1
3
1
:Entonces
22. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 22
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) { (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
.integrantefactordelmétodoelporresolverpuedeseque
Lineal,ldiferenciaecuaciónunaesEsto
:siguienteloobtieneSe
:BernoullideecuaciónladeladosambosafactorelrámultiplicaSe
:evariabldecambiosiguienteelhaciendo
linealenconviertelasequelineal,noldiferenciaecuaciónunaesEsta
0,1.ndondeBernoulli,deldiferenciaecuaciónuna
:esEsto
−−−−====−−−−++++
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−
−−−−========
====
≠≠≠≠====++++
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
)(1)(1
)(1)(11
)(1)(11
1
1.
:
)()(
1
1
xgnvxpn
dx
dv
xgnyxpn
dx
dy
yn
yxgynyxpyn
dx
dy
yn
yn
dx
dy
yn
dx
dy
dy
dv
dx
dv
Donde
yv
yxgyxp
dx
dy
Sea
v
n
dx
dv
n
nnnn
n
n
n
n
4434421
23. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 23
La solución general es:
;
x
K
9
2x
3
2xln(x)
x
3
2
1
y
2
++−−
=
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] ( )
( )
( )
( )∫
∫
∫
−−=
+−=
+−=
+−=
+−=+
=∫=
+−=+
+−=+−
+−=+−
−
−==
=
=
=+=−
=
++−
=++
−
−
−−−
−
−
−
−
;dx)xln(x2x
3
2
vx
;dx)xln(xx2vx
;dx(x)ln1x2vx
;(x)ln1x2
dx
vxd
;(x)ln1x2
x
v2
x'vx
;xe)x(u
;(x)ln12
x
v2
'v
;(x)ln12
x
y
2y'y2
;(x)ln1yy2
x
y
y2y'y2
y2
;
dx
dy
y2
dx
dv
'v
;yv
;(x)ln1y
x
y
y'
;0(x)ln1y
x
y
y'
;0dx(x)ln1xyyxdy-
232
222
22
2
2
222
2
dx
x
2
2
3
3333
3
3
2
3
3
3
:integrantefactorporoResolviend
:v'yvdoReemplazan
:ecuaciónladeambosamultiplicaseLuego
;yvsustituyeSe
3;n
n1
1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3
=++
.
(((( ))))
(((( ))))
;
9
2
3
)ln(2
3
2
:
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
93
)ln(
)ln(
;
3
;);ln(
?)ln(
2
2
2
33
32
33
2
3
2
2
x
Kxxx
xy
x
Kxxx
xv
K
xxx
xvx
C
xxx
dxxx
x
vdx;xdv
x
dx
duxu
dxxx
++++++++−−−−−−−−====
====
++++++++−−−−−−−−====
++++++++−−−−−−−−====
++++−−−−====
====⇒⇒⇒⇒====
====⇒⇒⇒⇒====
====
−−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫
yvdoReemplazan
:soluciónlaDespejando
2-
24. Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 24
2) 1;y(1)siln(x);yyxy' 2
==+
∫=
=
=−
=∫=
=−
−=−−
−
−=
==
==+
−
−−−
−
−
−−
;dx
x
)xln(
v
x
1
;
x
)xln(
dx
v
x
1
d
;
x
)xln(
x
v
'v
x
1
;
x
1
e)x(u
;
x
)xln(
x
v
'v
;
x
)xln(
yy
x
y
y'yy
y
;
dx
dy
y
dx
dv
;yyv
;
x
)xln(
y
x
y
'y
2
2
22
x
dx
2222
2
2
1n1
2
:integrantefactordelmétodoelporoResolviend
:ecuaciónlaenv'yvdoReemplazan
:ecuaciónladeladosambosamultiplicaseLuego
2;n
;
Cx1)xln(
1
y
;Cx1)xln(y
;Cx1)xln(v
C;
x
1
x
)xln(
-v
x
1
;
x
dx
x
)xln(
-v
x
1
;
x
1
-v;
x
dx
dv
;
x
dx
du(x);lnu
?dx
x
)xln(
1
2
2
2
+−−
=
+−−=
+−−=
+−=
+=
=⇒=
=⇒=
=
−
∫
∫Integrando
;2C
;11C
1C-
1
1
=
=−
=
= :entonces1,y(1)Si
;
2x1ln(x)
1
y
:essoluciónLa
+−−
=
27. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 27
;)x(ctg
4
1)x(xctgy 3
2
π
−+=
:esparticularsoluciónLa
Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma
=
x
y
f'y
);x(xy
);x(
x
y
);x(v
;
x
dx
v)v(f
dv
;v)v(f
dx
dv
x
);v(f
dx
dv
xv
;
x
y
f
dx
dy
;
dx
dv
xv
;
;
x
y
f
dx
dy
φ=
φ=
φ=
=
−
−=
=+
=
+=
==
=
=
:ecuaciónlaeny'yv,doReemplazan
dx
dy
vx;yentonces
x
y
v
:ónsustitucisiguientelahaceSe
:comoecuaciónestaexpresar
puedesesihomogéneaesy)f(x,
dx
dy
ecuaciónlaquediceSe
28. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 28
1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:
;
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
2
2
+=
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
dvcos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
dvcos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
2
sen(2v)v
6
v
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
cos(2v)
2
1
nsen(2v)dvdn
dv.dmvm
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
dv
2
2vsen(2v)
2
sen(2v)v
6
v
dvcos(2v)v
2
1
dv
2
v
vsec
dvv
;
2
sen(2v)
ncos(2v)dvdn
2vdv;dmvm
dv
2
cos(2v)v
dv
2
v
dv
2
cos(2v)v
2
v
vsec
dvv
dv
2
cos(2v)v
2
v
dv
2
cos(2v)1
v(v)dvcosv
vsec
dvv
?
vsec
dvv
;
x
dx
vsec
dvv
:randoInteg
x
dx
vsec
dvv
separable.ldiferenciaEcuación
v
vsec
dx
dv
x
vx
vsec
dx
dv
x
;
vx
vsec
vv
dx
dv
x
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
:obtienesev,
dx
dv
x
dx
dy
,
x
y
vxv,y,ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
v;
dx
dv
x
dx
dy
xv;y
x
y
v
:queAsumiendo
23
2
2
2323
2
2
2323
2
2
23
2
2
23
2
2
2
2
2
2222
2
2
22
222
2
2
2
2
32
2
32
2
2
2
3
22
2
22
2
2
2
++=
++=
+−−+=
+−−+=−+=
−=⇒=
=⇒=
−+=
−+=+
=
=⇒=
=⇒=
+
=
+=
+=
+
==
=
==⇒
=⇒=⇒
+=+⇒
+=
+===
+=⇒
=⇒=
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫
∫∫
2
1
2
1
2
1
29. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 29
( )
;
C
C
x
y
vdoReemplazan
x
1
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
x
1
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
x
dx
vsec
dvv
2
23
2
23
32
2
=
+−=++
+−=++⇔=
∫∫
2) ( ) ( ) /2;y(1)si0;dyxdx2xyxy 222
24 ==−++
C
La
+−=
+
+
2
23
x
1
x
y
2sen
8
1
-
x
y
2cos
4
v
4
x
y
2sen
x
y
6
x
y
:porexpresadaquedaimplícitaformadesolución
( )
;
4
K
;Ktan
2
1
2
;K
2
xln4
tan
2
x
y
;K
2
xln4
tan
2
1
x
y
;K
2
xln4
tan
2
1
v
;K
2
xln4
tanv2
π
=
=
=
+=
+=
+=
+=
2
;
2
2
y(1)Si
:obtieneseladosambosatanAplicando
;
42
xln4
tan
2
x
y
π
+=
:esparticularsoluciónLa
( )
( )
( )
( )
( ) ;K
2
xln4
v2arctan
;Cxln4v2arctan2
;
x
dx4
2/1v
dv
;
x
dx
2/1v4
dv
;
x
dx
2v4
dv
;2v4
dx
dv
x
;2v4v
dx
dv
xv
;
dx
dv
xv
dx
dy
;xvy
;
x
y
v
;2
x
y4
x
y
dx
dy
;
x
x2y4xy
dx
dy
2
2
2
2
2
2
2
2
22
+=
+=
=
+
=
+
=
+
+=
++=+
+=
=
=
++=
++
=
∫∫
30. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 30
3) 0;xdonde0;)y(x;yxy
dx
dy
x 00
22
>=−+=
/4;y(1)====
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
;
x
y
1
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
2
2
2
22
22
+=
=
=
−+=
−
+=
−
+=
:asumeSe
4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−−
( )
( )
( )
;
x
y
lnx
y
dx
dy
;
(x)ln(y)lnx
y
dx
dy
;0ydxdy(x)ln(y)lnx
;0ydxdy(y)ln(x)lnx
−=
−
−=
=+−
=−−
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
+=
=
=
:asumeSe
La solución general de forma implícita es:
C;xln
x
y
ln1ln
x
y
ln +−=
+−
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;
2
ln
;
2
);(1
;ln
;ln
;ln
;ln)(
;
;1
;1
;1'
;1'
2
2
2
2
++++====
====
====
====
++++====
++++====
++++====
++++====
====
−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−++++====++++
ππππ
ππππ
xxseny
C
Csen
Cxxseny
Cxsen
x
y
Cxsenv
Cxvarcsen
x
dx
v
dv
v
dx
dv
x
vxv
vvxvv
:espaticularsoluciónLa
1;y(1)Si
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;ln)ln(1lnln
;ln1ln
;ln
1
1
;ln
1
;
);ln(
;
)ln(1
)ln(
;
ln
)ln(1
;
ln
'
;
ln
'
Cxvv
Cxuu
Cxdu
u
du
Cxdu
u
u
v
dv
du
vu
x
dx
dv
vv
v
v
vv
dx
dv
x
v
v
v
xv
v
v
xvv
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====
++++
−−−−
++++−−−−====
++++
====
====
−−−−====
++++
++++−−−−
====
−−−−−−−−====
−−−−====++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
31. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 31
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales
1)
( )
( )
;
4y2x
5x2y
dx
dy
−−
+−
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
;z
z2
1z2
du
dz
u
;
z2
1z2
du
dz
uz
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
;
u
v
z
;
u
v
2
1
u
v2
du
dv
;
vu2
uv2
du
dv
;3h
;1-k
;04kh2
;05hk2
4kh2vu2
5hk2uv2
du
dv
;
4kvhu2
5hukv2
du
dv
;
du
dv
dx
dy
;kvy
;hux
;41
);2(2)1)(1(
;baba
;0dy4yx2dx)5y2x(
1221
−
−
−
=
−
−
=+
+=
=
=
−
−
=
−
−
=
=
=
=−−
=+−
−−+−
+−+−
=
−+−+
++−+
=
=
+=
+=
≠
−−≠
≠
=−−−−−
:homogénealdiferenciaecuaciónunacomooResolviend
:homogéneaecuaciónunaobtenerpoderparau,paraoDivivdiend
:Entonces
:el sistemaoResolviend
;
obtieneseecuación,laeny'y,x,doReemplazan
:asumeSe
40. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 40
Ecuaciones de Primer Orden
Aplicaciones
1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a
80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura
está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de
50ºC.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) min67.20
0453.0
74
29
ln
502174
º50min
2174
min
º
0453.0
5
74
59
ln
8021745
º80min5
2174
74219595210
º950
21
º21
ln
1
0453.0
1
1
0453.0
5
0
1
=
−
=→=+=
∴=
+=
−=
=→=+=
∴=
+=
=−=→=+=
∴=
+=
∴
+=
+=−
=
−
−=
−
−
∫∫
tetT
Caestácaféeltten
etT
C
keT
Caestácaféelten
etT
CCeT
Caestácaféelten
CetT
Cescuartodelatemperaturlaquesabemos
TCetT
CktTT
kdt
TT
dT
TTk
dt
dT
t
t
k
kt
k
kt
a
kt
a
a
a
2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico
encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula
donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante
de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y
media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el
momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de
Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte?
( )
( )
( )
( )auladelaTemperatur
cuerpodelaTemperatur
tiempoalrespectoconatemperaturladeVariación:
dt
dT
dt
dT
:NewtondetoenfriamiendeLey
:T
:T
TTK
a
c
ac −−=
42. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 42
3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a
pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la
razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de
infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de
alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la
cantidad de infectados era de 50.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) infectados
infectados
35350506x
50txetx
20000
50ln
k50e4x
50x4ten
etx
1
e
tx
4999
1
C1
Ce1
Ce5000
0x
1x0ten
Ce1
Ce5000
tx
Ckt5000
5000x
x
ln
Ckt
5000x
x
ln
5000
1
kdt
x5000x
dx
x5000kx
dt
dx
sanosde:#x5000
de:#x
5.16*25.0
t25.050lnt25.0
k20000
kt5000
kt5000
0
0
kt5000
kt5000
===∴
=→=
=→==∴
==
=→=
−=→=
−
−
=∴
==
−
−
=
+=
−
+=
−
⇔=
−
⇔−=
−
∫∫
4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad
existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede
esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento?
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 00
44
16
0
4
0
4
2ln
0
0
4
0
0
00
0
0
322216
2
4
2ln
24
x2x4en t
0
xx0en t
ln
existentecantidad:x
xxxx
xtxextx
kxexx
xCxCex
Cetx
Cktx
kd
x
dx
kx
dt
dx
tt
k
kt
===
=→=
=→==
==
=→==
==
=
+=
=
=
∫ ∫
43. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 43
5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una
velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional
a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s.
Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para
la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera.
( ) ( )
( ) ( )
+=→
+=
+−=−→+−=−→−=
−
=−
=−
−−
∫∫
300Ce
k
1
tvmgCe
k
1
tv
Ct
m
k
mgkvlnCtmgkvln
k
m
dt
mgkv
dv
m
dt
dv
mkvmg
dt
dv
mfmg
t
30
k
t
m
k
r
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) 148t40e148tx
148C0C040e1480x
Ct40e148tx
Ct40e148Cdt40e37tx
Cdttvtx
dt
dx
tv
40e37tv
5.277C5.7k40
k
300
40300Ce
k
1
v
0
300k3C3300Ce
k
1
0v
t25.0
0
t25.0
t25.0t25.0
t25.0
0
−+=
−=→=++=
==
++=
++=++−=
+=→=
+−=
−=∴=→=→=+=∞
=∞=
−=−→=+=
==
−
−
−−
−
∞−
∫
∫
0mx,0ten
m/s4v,ten
3m/sv,0ten
44. 6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40
constante de 50Newtons
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg
a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
.
a)
(((( ))))
(((( ))))
kev
kev-ee
C
dt
v
dv
dt
v
dv
dv
v
dt
dv
dif. sepaEcuación,v
dt
dv
, k
dt
dv
kv
kg.kgkgm
istemaotal del sm: masa t
dt
dv
mkv
ma;FrFmmaF
m/seg
Newtons
Entonces k
Newtons.tencia dea de resisy la fuerz
m/segdelocidad esComo la ve
kvFr
NewtonsFm
aguaencia delde resistFr: Fuerza
del motorFm: fuerza
t
-
-C
t
-v-
x
250
25025ln
25
25
ln
25025
500252
50
250500
502500
250050
50080420
50
2
20
40
40
20
50
++++====⇒⇒⇒⇒
====⇔⇔⇔⇔====
⇔⇔⇔⇔++++−−−−====
−−−−
−−−−====
−−−−
⇔⇔⇔⇔
−−−−
⇔⇔⇔⇔−−−−====
====++++
========−−−−⇒⇒⇒⇒
====++++====
====−−−−
====−−−−⇒⇒⇒⇒====
========
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∑∑∑∑
maFx =∑
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza
Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg.
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
C
t
-v-
dt
v
dv
rabledif. sepa
ma;
k
Newtons.
m/seg
agua
t
-
250
250
25ln
5002
2
++++====
====
−−−−
====⇒⇒⇒⇒
ev
b)
)e(tx(t)
miento es:n del moviLa ecuació
CC)(
;)x(el reposoSi parte d
)e(tx(t)
dtex(t)
e
dt
dx
Entonces:
dx/dtComo v
ev
locidad:n de la veLa ecuació
-kk
por partiial escidad inicSi la velo
t
-
t
t
t
t
-
t
-
t
-
252525lim
2502525
25250250
00
2502525
252525
2525
2525
25250
0
250
max
250
250
250
250
250
====
−−−−====
++++====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====
====
++++++++====
====
−−−−====
−−−−====
====
−−−−====
====⇒⇒⇒⇒++++====
∞∞∞∞→→→→
−−−−
−−−−
∫∫∫∫
máximaolimitevelocidadLa
44
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg
ejerce una fuerza
. En la dirección del movimiento. El bote tiene
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
pies/seg
)(
miento es:
)(
;
C
C)e(t
locidad:
;)s v(so entoncer del repopor parti
t
25
25025
25025
2502525
00
250
250
−−−−
++++++++
====
−−−−
:esmáxima
45. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 45
7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30
ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical.
Hallar la corriente para t=1/5 segundos.
( )
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ] ( )
( ) ampieti
etieti
CCei
Ceti
Cti
Cti
dt
i
di
dt
di
i
dt
di
LiRv
tt
t
301.0)5/1(3.07.0
5/1en t
3.07.0921
30
1
219
30
1
0
0i0en t
9
30
1
30930
930ln
30
1
930
309
6
3030
0
30
=→+=
=
+=→+=
=→+=
==
+=
+−=−
+−=−
−=
−
+=
+=
−
−−
−
∫∫
8. Una Fem. de t5
e200 −
voltios se conecta en serie con una resistencia de 20
Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga
inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier
instante de tiempo.
5t-
200efem
F0.01Ciacapacitanc:C
carga:q
ohmios20Raresistenci
RC.circuitoelparaldiferenciaEcuación
=
=⇒
=⇒
=+
:R
fem
C
q
dt
dq
R
49. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 49
2)
( )
2
-1 y'
x y'+ =y'';
x
( )
( )
( )
[ ]
;
xC
x
v
;
x
xC
x
C
1v
;
x
C
1z
;Cxdxxz
;1
dx
z.xd
;
x
1
xzxx'xz
;xe)x(u
;
x
1
zx'z
;
x
v
vvxv'vv
;
dx
dv
v
dx
dz
;
;
;
x
v
vx'v
v';
x
v
vx
;''y
dx
yd
dx
dv
'v
;'y
dx
dy
v
1
1
dxx
1
2
2122
2
2
1
2
1
2
2
1
−
=
−
=+−=
+−=
+−=−=
−=
−=+
=∫=
−=+
−=−−−
−=
=
==
=−
=+
=+
===
==
−
−
−
−−−−
−
−
−
∫
−
1-
n1-
2
1-
vz
2;nvz
:BernoullideldiferenciaE.unaEs
;'y'
x
y'
y'x
:ecuaciónlaendoReemplazan
;KCxlnxy
;
Cx
Cdx
dx
Cx
Cx
y
;
Cx
xdx
y
;
Cx
x
xC
x
dx
dy
+−−−=
−
−
−
−
−=
−
−=
−
−=
−
=
∫∫
∫
50. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 50
Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x”
Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable:
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
v;
dx
dy
========
====
3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22
=+ (HACE FALTA X)
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
;
;2
;
;;
;
1
;
1
;
;
;1
;
2
;)(
;
12
;
2
.2.2
2
;2
;
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
2
)1(1
2
1
Cuy
dyzdz
Cyu
dxdy
Cy
y
y
Cy
dx
dy
y
Cy
v
y
Cy
v
y
C
y
v
y
C
y
z
Cyzy
Cydyzy
dy
zyd
y
y
y
z
y
dy
dz
y
yeyu
yy
z
dy
dz
y
vv
y
vv
v
dy
dv
v
dy
dv
dv
dz
dy
dz
vz
vz
y
v
y
v
dy
dv
v
dy
y
−−−−====
====
++++====
====
++++
++++
====
++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
====
++++====⇒⇒⇒⇒++++====
++++====
++++========
====
====++++
====
∫∫∫∫
====
====++++
====++++
========
====
====
========++++
====++++
====++++
∫∫∫∫
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
esvariablseparandoentonces
dy
dv
:ecuaciónladeladosambosa2vndoMultiplica
-1.nBernoulli,deldiferenciaEcuacion
dy
dv
1;v2y2y
:ecuaciónlaen'y',y'doReemplazan
1;y'2y'y'2y
22
22
51. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 51
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) 2
12
3
2
1
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
CyC
Cy
Kx
:esf(y)xformaladesoluciónlatantoloPor
CyuPero
Cu
u
Kx:Entonces
,duCuKxentonces,
u
uduCu
dx
dxdy
Cy
y
:enemplazandoRe
++++−−−−
++++
====++++
====
++++====
−−−−====++++
−−−−====++++
−−−−
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
4) ( ) 0;y''yy'yy' 22
=−+
( )
( )
;Cyyv
;Cyv
y
1
;dyv
y
1
;1
dy
v
y
1
d
;
y
1
y
y
v
y
1
dy
dv
y
1
;
y
1
e)y(u
;y
y
v
dy
dv
;0
y
v
dy
dv
y
;0v
dy
dv
yvvy
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
;
dx
dy
v
2
y
dy
22
+−=
+−=
−=
−=
−=−
=
∫
=
−=−
=−+
=−+
=−+
==
=
∫
−
0;y''yy'yy'
:ecuaciónlaendoReemplazan
22
dy
y Cy;
dx
dy dy dy
x ;
Cy y Cy C(C y)
= − +
= = +
− −∫ ∫ ∫
2
2
x ln y ln C y K;
C C
La solución es:
= − − +
1 1
52. Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
1) Resuelva: 2y3y''y' ++
Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
);sen(e2y x
=
52
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
60. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 60
[ ] [ ] [ ]
p
p p p p
x
p
h p
c b a c b x c x x ;
c b a
c b
c
c ;
b ;
a ;
y x x ;
y y y y ;
y sen(x) x e x x ;
y y y ;
y C
Resolviendo el sistema:
La tercera solución particular:
La solución general:
− + + + + = −
− + = −
− + =
=
=
=
=
= + +
= + +
= − + + + +
= +
=
2 2
2
3
1 2 3
2 2
2 2 2 1
2 2 1
4 0
1
1
4
5
5 4
1 3
5 4
2 2
x x x
e C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 2
1 2
1 3
5 4
2 2
61. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 61
Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy
1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβdonde0,βyxy''y'x2
∈α=+α+ , , se
la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el
cambio de variable z
ex = , y luego resuelva:
;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2
+=++
(((( )))) ;βy
dz
dy
α
dz
yd
;βy
dz
dy
α
dz
dy
dz
yd
;βy
dz
dy
x
αx
dz
dy
xdz
yd
x
x
;
dz
dy
xdz
yd
xdx
yd
y''
;
xdz
dy
x
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
yd
;
dx
dy
dx
d
dx
yd
;
dz
dy
xdx
dy
y'
;
xdz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
xdx
dz
xz
Si z
01
0
0
111
11
111
11
1
1
;
1
);ln(
;
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++−−−−
====++++
++++
−−−−
====++++++++
−−−−========
−−−−====
−−−−====
====
====
========
========
====
====
====
0;βyxy''y'x
ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
:'y'luegonecesitaSe
:Ahora
ex
2
αααα
(((( )))) ;y
dz
dy
dz
yd
0412
0
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++
++++====++++++++
;4y2xy''y'x
:homogéneasoluciónlaprimerooEncontrand
;e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaoResolviend
2
2ln(X)2
74. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 74
( )
( )
( )
;
!
ln
:essoluciónLa
;
!
ln
;)(
;
!
ln)(
;
!
)(
;
!
)(
;)(
++=
+=
=
+=
+=
=
=
∑
∑
∑
∫ ∑
∫∑
∫
∞+
=
−
−
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−
1
21
1
2
12
1
1
1
0
1
1
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
x
nn
x
xCeCy
e
nn
x
xy
yxuy
nn
x
xxu
dx
n
x
x
xu
dx
n
x
xu
x
dxe
xu
82. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 82
4. 3
2
2
2
3
3
3
x2y
dx
dy
2x
dx
yd
x
dx
yd
x =−+−
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
ln
:
4
ln
22
3
ln
2
1
ln1ln10
01ln1
0ln
'
2
2210
201
0
'
2
3
ln
2
1ln
1lnln221
21ln0
ln0
'
2
ln
1
2
21ln
20
21ln1
ln
,ln,
:
ln
21
021
0221
0221
012121
022121
022121
3
2
321
3
2
22
3
1
3
2
2
2
2
2
2
1
21
2
1
1
2
1
1
2
2
332211
2
321
321
2
12233
x
xCxxCCxy
generalSolución
x
y
xxxx
x
xx
x
y
xdxu
x
xxxx
x
x
x
xxx
u
x
xdxu
x
xxx
x
x
xx
u
x
x
dxxxu
x
xxxxx
x
x
xx
xxx
u
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
xxxx
xxxxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaencuentro
xCxxCCy
rrr
rr
rrrr
rrrr
rrrrrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo
p
p
p
c
r
rrrr
r
+++=
=
+−
−=
==→
−+
=
+
=
−=−=→
−
−==
−=−=→
+−
=
+
=
=−
+
=+=
++=
++=
===
=−−
=−−−−
=+−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=
∫
∫
∫
−
−
−−
−
−−−
83. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 83
Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables
Solución en serie alrededor de un punto ordinario
1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xy
dx
dy
3x
dx
yd
1x 2
2
2
===++−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ...
4
11
33
11
64
60'...
8
15
32
3
1...
8
5
2
'
40...
8
3
122
...
86
1
....
88
3
20
15
1323
233
3
1212
8
1222
222
2
2;
12
2
0122
62
036
002
0122362
03121
0311
0311
54
3
1
432
1
42
0
0
543
1
53
0
3
3
2
210
0
012323
5
11212
4
1
212
01
3013
22
2
120132
1
1
10
2
2
0
1
12
2
2
01
1
2
22
+++++=
==→
+++++
+++=
==→
+++++
+++=
++++==
+=
+
=
++
++
=→=
=
+
=
++
++
=→=
≥
++
++
=→=+++−+
+=→=++−
=→=−
=+++−++++−−
=++++−−
=++−−−
=++−−
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
−
+−+
∞+
=
−+
∞+
=
−
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
xx
xxxy
Cy
xxx
C
xx
xCxy
Cy
xxx
xC
xx
Cxy
xCxCxCCxCxy
CCCCCC
Cn
CCCCC
Cn
n
nn
CnnC
CCnnCnnC
CC
CCCC
CC
xCnnCnnCxCxCxCC
xCnxCxnnCxnnC
xCnxCxnnCxnnC
xCxnxCxxnnCx
n
n
n
nn
nnnn
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
84. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 84
2. 0xdealrededorexy''y' 0
x
==− −
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
+−+−+
++++=
+
−++
−+++=
++++==
−=→−=
++
−
+
++
=→=
=→+=
++
−
+
++
=→=
−=→
++
−
+
++
=→=
≥
++
−
+
++
=→
−
=−++
=→=
−+=−+++
−=−++
−=−−
−=−−
∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
++
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
....
30862
....
406
......
30
1
408
1
6
1
62
1
.....
30
1
40120
1
20
3
1323!3
1
1323
3
3
8
1
24
1
61222!2
1
1222
2
2
6
1
61121!1
1
1121
1
1
1
12!
1
12!
1
12
2
1
12
!
11122
!
112
!
11
!
11
543253
10
514312
10
3
3
2
210
0
1
4
3
3
35
4
2
2
24
1
3
1
13
22
22
11
22
010
2
012
2
01
1
2
2
xxxxxx
xCCxy
x
C
xx
C
xxCCxy
xCxCxCCxCxy
C
C
C
CCn
C
C
CCn
C
CCCn
n
nnnnn
n
CC
n
nCnnC
CC
n
x
xnCnnCC
n
x
nxCxnnC
n
x
nxCxnnC
n
x
nxCxxnnC
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
85. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 85
3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto ˲" Ŵ.
Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos
de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para
encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros).
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
ŵ
˲
Desarrollo.
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
ŵ
˲
˜{˲{ {˲$
. ŵ{ ˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J ˜{Ŵ{ .ŵ Ŵ
˜JJ ˬJ ˮIJˮJ ˲ Ŵ ˥J ˯J J˯JˮJ JJˤ˩JIJ˩J
Se asume:
˳ I {˲ . ˲{
(
J˥JJ ˲ Ŵ
˳ I {˲{
(
˳Ȋ I {J{{˲{ #
(#
˳ȊȊ
I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación:
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳ Ŵ
{˲$
. ŵ{ I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- Ÿ˲ I {J{{˲{ #
(#
- Ŷ I {˲{
(
Ŵ
Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite
que en este caso es n:
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Para la
m = n – 2
Si n = 2, entonces m =
0
Pero n = m + 2
Luego m = n
86. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 86
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{
(
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2.
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. ŶI$ . źI%˲ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{
($
- ŸI#˲
- ŸI {J{{˲{
($
- ŶI - ŶI#˲ - ŶI {˲{
($
Ŵ
.ŶI$ . źI%˲ - ŸI#˲ - ŶI - ŶI#˲
- {I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI {{˲{
($
Ŵ
Se igualan los coeficientes:
.ŶI$ - ŶI Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I$ I
.źI%˲ - źI#˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I% I#
I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI Ŵ
La fórmula de recurrencia es:
I $
I {J{{J . ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI
{J - Ŷ{{J - ŵ{
J 4 Ŷ
I $
{J$
. J - ŸJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J$
- ŷJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J$
- ŷJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J - Ŷ{{J - ŵ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I I
Por lo tanto:
I $ I J 4 Ŷ
Encontrando los coeficientes:
˟˩ J Ŷ ˥JˮJJI˥J I I$ I
˟˩ J ŷ ˥JˮJJI˥J I' I% I#
˟˩ J Ÿ ˥JˮJJI˥J I I I
˟˩ J Ź ˥JˮJJI˥J I I' I#
˟˩ J ź ˥JˮJJI˥J I I I
˟˩ J Ż ˥JˮJJI˥J I I I
Volviendo a la solución:
˳{˲{ I ˲
(
I - I#˲ - I$˲$
- I%˲%
- I˲
- I'˲'
- I ˲ -
˳{˲{ I - I#˲ - I˲$
- I#˲%
- I˲
- I#˲'
- I˲ -
La solución homogénea:
˳{˲{ I ŵ - ˲$
-˲
- ˲ - - ˲$
-
{ {
G
- I# ˲ - ˲%
- ˲'
- - ˲$ #
-
{ {
G
87. Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 87
I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I#˲{ŵ - ˲$
- ˲
- - ˲$
- {
˳ {I{ I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I# Ә
˲
ŵ . ˲$
ә ˳I J˯˥
ŵ
ŵ . ˲
ŵ - ˲ - ˲$
- ˲%
-
Ahora se encuentra la solución particular ˳
Normalizando la ecuación diferencial {˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
#
, se obtiene:
˳
-
Ÿ˲˳
{˲$ . ŵ{
-
Ŷ˳
{˲$ . ŵ{
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
Usando el método de variación de parámetros:
˳ ˯#˳# - ˯$˳$
Encontrando el wronskiano: ˣ{˳# ˳${ }
˳# ˳$
˳#Ȋ ˳$Ȋ}
ˣ{˳# ˳${ ӶӶ
ŵ
ŵ . ˲$
˲
ŵ . ˲$
Ŷ˲
{ŵ . ˲${$
ŵ - ˲$
{ŵ . ˲${$
ӶӶ
ŵ
{ŵ . ˲${$
˖JJˤ˥ ˯#
Ŵ ˳$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
˳$Ȋ
ˣ{˳# ˳${
Ӷ
Ŵ
˲
ŵ . ˲$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
ŵ - ˲$
{ŵ . ˲${$
Ӷ
ŵ
{ŵ . ˲${$
˯#
ŵ
{ŵ . ˲${$
ŵ
{ŵ . ˲${$
ŵ ˥JˮJJI˥J ˯# ˲
˖JJˤ˥ ˯$
˳# Ŵ
˳#Ȋ
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
ˣ{˳# ˳${
Ӷ
ŵ
ŵ . ˲$ Ŵ
Ŷ˲
{ŵ . ˲${$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
Ӷ
ŵ
{ŵ . ˲${$
.
ŵ
˲{ŵ . ˲${$
ŵ
{ŵ . ˲${$
˯$
.
ŵ
˲
˥JˮJJI˥J ˯$ .Ž {˲{
Por lo tanto a solución particular es:
˳ ˯#˳# - ˯$˳$
˳ ˲
ŵ
ŵ . ˲$
F . Ž {˲{
˲
ŵ . ˲$
La solución general es:
˳{˲{ I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I# Ә
˲
ŵ . ˲$
ә - ˲
ŵ
ŵ . ˲$
F . Ž {˲{
˲
ŵ . ˲$
Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera
Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto
Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva
A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto
Cabrera.